山东省2020届高三新高考精准备考原创押题卷 数学(一)(pdf版无答案)
山东省潍坊市2020年高考押题预测卷1数学(文)试题(解析版)
山东省潍坊市2020年高考押题预测卷数学（文）试题一、单选题1．设集合()(){}130A x x x =∈--≤N ，{}1,0,1,2,3,4B =-，则集合A B I 元素的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．8【答案】C【解析】先求出()(){}130A x x x =∈--≤N 再求交集即可. 【详解】()(){}{}{}130131,2,3A x x x x x =∈--≤=∈≤≤=N N .所以{}1,2,3A B =I .故选：C 【点睛】本题主要考查了二次不等式的求解以及交集的基本运算,属于基础题型. 2．若复数i1ia z +=+（i 是虚数单位）在复平面上对应的点落在虚轴上，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】根据复平面上对应的点落在虚轴上可知复数i1ia z +=+为纯虚数,利用复数除法化简即可. 【详解】 复数()()()()()i 1i 1i 11i 1i 1i 22a a i a a z +--++===+++-,由题i1ia z +=+为纯虚数. 故10,1a a +==-. 故选：B 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算与纯虚数的理解,属于基础题型. 3．等差数列{}n a 的前7项和为28，108a =，则7a =（ ） A ．6 B ．7C ．9D ．14【答案】A【解析】先根据已知得到关于1,a d 的方程组，解方程组得1,a d 的值，再求7a 的值. 【详解】由题得11717672822,2,,26623398a d a d a a d ⨯⎧+⨯=⎪∴==∴=+⨯=⎨⎪+=⎩. 故选A 【点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列的前n 项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．已知实数x ，y 满足可行域20:100x y D x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则2z x y =+取最大值时的最优解为（ ） A ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．()2,0C ．52D ．4【答案】B【解析】画出可行域,再分析2z x y =+取最大值的时候的点判断即可. 【详解】画出可行域,因为2z x y =+有2y x z =-+,故当2z x y =+取最大值时的最优解为()2,0.故选：B 【点睛】本题主要考查了线性规划的问题,属于基础题型.5．设1e u r 与2e u u r 是单位向量，且其夹角为3π，若12a e e =-r u r u u r ，12b e =r u r ，则b r 在a r 上的投影为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】根据投影的公式求解即可. 【详解】b r 在a r上的投影为()21121121222cos 21e e e e e e b a a e e π-⋅⋅-⋅=====-u r u r u u r u r u r u u r r r r u r u u r . 故选：B 【点睛】本题主要考查了投影的计算,属于基础题型.6．对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ，下列命题中真命题是（ ） A ．若a m ⊥，a n ⊥，m α⊂，n ⊂α，则a α⊥B ．若//a b ，b α⊂，则//a αC ．若//αβ，a αγ⋂=，b βγ=I ，则//a bD ．若αβ⊥，a α⊂，则a β⊥ 【答案】C【解析】根据线线和线面与面面的平行与垂直的判定和性质判断即可. 【详解】A. 根据线面垂直的垂直的判定定理可知,m ,n 必须是相交直线,所以A 错误.B. 根据直线和平面平行的判定定理可知,a 必须在平面α外,所以B 错误.C. 根据面面平行的性质定理可知,两个平行平面同时和第三个平面相交,则交线平行,所以C 正确.D. 根据面面垂直的性质可知, a 必须垂直于,αβ的交线才有a β⊥.所以D 错误. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定与性质,需要根据题意找到满足的条件,属于基础题型.7．已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>的渐近线与()2244x y -+=相切，则该双曲线的离心率为（ ） A ．23B ．43C ．3D ．2【答案】A【解析】根据圆心到渐近线的距离等于半径求解关于,a b 的关系进而求得离心率即可. 【详解】由题,圆心()4,0到渐近线by x a=即0bx ay -=的距离为半径2. 即2244222bb c b c b a =⇒=⇒=+.故离心率222233c c a c b ==-. 故选：A 【点睛】本题主要考查了双曲线中的基本量间的关系求离心率的方法,需要列出关于基本量的等式再进行化简求解,属于基础题型. 8．如图，给出的是求1111 (24636)++++的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（ ）A ．18?i >B ．18?i <C ．19?i >D ．19?i <【答案】D【解析】由已知中程序的功能是计算111124636+++⋯+的值，根据已知中的程序框图，我们易分析出进行循环体的条件，进而得到答案． 【详解】模拟程序的运行，可知程序的功能是计算111124636+++⋯+的值，即36n …，19i <时，进入循环，当19i =时，退出循环， 则判断框内填入的条件是19i <． 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，解答本题的关键是根据程序的功能判断出最后一次进入循环的条件，属于基础题． 9．已知函数()22cos 24x f x ωπ⎛⎫=-⎪⎝⎭图像关于点2,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω=（ ） A ．32B ．3C ．92D ．6【答案】A【解析】利用降幂公式与诱导公式化简()22cos 24x f x ωπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,再根据图像关于点2,13π⎛⎫⎪⎝⎭对称与()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数求解即可. 【详解】()22cos cos 1sin 1242x f x x x ωππωω⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又因为图像关于点2,13π⎛⎫⎪⎝⎭对称,故2sin03πω=,故2,3k k Z πωπ=∈.故3=2k ω,k Z ∈. 又()sin 1f x x ω=+在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数,故042ππω<⋅≤,即02ω<≤, 所以31,2k ω==. 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据三角函数性质求解参数的问题,需要根据题意列出关于参数的不等式,再根据整数取值即可.属于中等题型.10．函数()()2xf x ax b e x =+-在2x =处取得极值2e -，则+a b 的值为（ ）A ．4-B ．3-C ．4D ．3【答案】A【解析】求导后代入2x =可得导函数为0,以及代入原函数可得极值2e -计算即可. 【详解】由题意, ()()2'2xf x ax b x a e x =+-++,故()2'0222220f a b a =⇒+-⨯+=+.()()222222e f a b e =+-=-.故38032501a b a a b b -+==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==-⎩⎩.故4a b +=-.故选：A 【点睛】本题主要考查了极值点的运用,需要根据题意列出关于,a b 的等式进行求解,属于中等题型.11．设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )A ．1-B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】【详解】试题分析：设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为（,y x --），由已知（,y x --）在函数2x a y +=的图像上，∴2y a x -+-=，解得2log ()y x a =--+，即2()log ()f x x a =--+，∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C ． 【考点】函数求解析式及求值12．数列{}n a 中，12a =且()()221122nn n n a aa a n n ---=-+≥，则数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前2019项和为（ ） A ．40362019B ．20191010C ．40372019D ．40392020【答案】B【解析】根据提示求出关于()21n a -的递推公式,再根据累加法求解通项公式,进而求得数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前2019项和即可.【详解】由题, ()()221122n n n n a a a a n n ---=-+≥,故()()22111221n n n n a a a a n --+--+-=()()22111n n a a n ----=.故()()2221121a a --=-,()()2322131a a --=-…()()22111n n a a n ----=累加可得()()()()1222123 (2)11n n n a a n +-=+++-=--,因为12a=所以()()2112n n n a +-=.故()212112(1)11n n n n n a ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭-.故数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前2019项和为11111111111122...22...12231122320192020n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1201921=20201010⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题主要考查了构造数列以及累加法求解数列通项公式的方法,需要根据题中给的信息找到构造数列的方法进行求解,同时也考查了裂项求和的方法,属于基础题型.二、填空题13．某单位有职工750人，其中有中年职工250人，老年职工150人，其余为青年职工.为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________. 【答案】15【解析】根据分层抽样的方法按比例抽取即可. 【详解】由题意可得,单位的青年职工人数为750250150350--=.故抽取的比例为7135050=. 故样本容量为17501550⨯=. 故答案为：15 【点睛】本题主要考查了分层抽样的方法,属于基础题型.14．如图,在正三棱柱111ABC A B C -中,16AA =,异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为6π,该三棱柱的体积为 ．【答案】183【解析】试题分析：由线线角定义知，又为直角三角形，16AA =，则，故该三棱柱的体积为．【考点】（1）线线角的定义；（2）正三棱柱的性质及体积公式．15．已知实数0,1a a >≠，函数()2,14,1x a x f x x alnx x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】25a ≤≤【解析】()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩Q 在R 上单调递增，22141ln 14ln '0a a a x x a x x ⎧⎪>⎪⎪∴≤++⎨⎪⎪⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，即215420a ax x x <≤⎧⎪⎨-+≥⎪⎩，由2420a x x x -+≥，得242,1a x x x ≥-≥Q 时，2422,2x a x-≤∴≥，综上，25a ≤≤，故答案为25a ≤≤． 【方法点晴】本题主要考查分段函数的解析式与单调性，以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.16．已知()11,P x y ，()22,Q x y 是抛物线24y x =上两点，且122233x x ++=，F 为焦点，则PFQ ∠最大值为________. 【答案】23π 【解析】根据抛物线的几何意义,再利用余弦定理与基本不等式求PFQ ∠余弦的最小值再判断即可. 【详解】由题得, 1212211x x x x PF QF ++=+++=+=,即)PQ PF QF =+ 故()22222234cos 22PF QF PF QF PQPFQ PF QFPF QF PF QF+-+-∠=+=⋅⋅22261=8682PF QF PF QFPF QF PF QFPF QFPF QF+-⋅⋅-⋅≥=-⋅⋅.即1cos 2PFQ ∠≥-.因为()0,PFQ π∠∈.且余弦函数在()0,π内单调递减, 故23PFQ π∠≤.当且仅当PF QF =时成立. 故答案为：23π【点睛】本题主要考查了抛物线的焦半径公式与余弦定理的综合运用等,需要根据题意列出对于的余弦定理,再利用基本不等式分析最值,属于中等题型.三、解答题17．已知ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量(),a b c m =+u r，(),n b c b a =--r ，且//m n u r r .（1）求角A 的大小；（2）设D 是边AC 的中点，若4b =，且ABD △的外接圆的面积为π，求边a . 【答案】（1）60A =︒（2）a =【解析】(1)根据//m n u r r可得对应的边的关系,再根据余弦定理求解角A 的大小即可. (2)根据正弦定理可得sin 1ABD ∠=,进而求得BD 的值,再根据余弦定理即可求解边a . 【详解】（1）由//m n u r r得,()()()0a b b a c b c +---=,即222b c a bc +-=故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===,又A 是三角形的内角,所以60A =︒（2）由题意2AD CD ==,ABD △的外接圆的直径为2. 在ABD △中,由正弦定理得2sin ADABD∠=,解得sin 1ABD ∠=,故90ABD ∠=︒于是150BDC =∠︒,sin 60BD AD =︒=在BCD V 中,由余弦定理得22222cos a BC BD CD BD CD BDC ==+-⋅⋅⋅∠342132⎛⎫=+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭,所以a =.【点睛】本题主要考查了向量平行的运用以及正余弦定理解三角形的方法,需要根据题意找到对应的边角关系列式,属于中等题型.18．某农户考察三种不同的果树苗A 、B 、C ，经引种试验后发现，引种树苗A 的自然成活率为0.8，引种树苗B 、C 的自然成活率均为0.9. （1）若引种树苗A 、B 、C 各10棵. ①估计自然成活的总棵数；②利用①的估计结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取两棵，求抽到的两棵都是树苗A 的概率；（2）该农户决定引种B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B 种树苗多少棵? 【答案】（1）①26②16（2）该农户至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元 【解析】(1)①用每种的棵树10乘以对应的成活率再相加即可. ②根据古典概型的方法求解即可.(2) 设该农户种植B 树苗n 棵,再根据题意求出获利的解析式,再求解不等式即可. 【详解】解：（1）①依题意：100.8100.9100.926⨯+⨯+⨯=,所以自然成活的总棵数为26.②没有自然成活的树苗共4棵,其中两棵A 种树苗、一棵B 种树苗、一棵C 种树苗, 分别设为1a ,2a ,b ,c ,从中随机抽取两棵,可能的情况有：()12,a a ,()1,a b ,()1,a c ,()2,a b ,()2,a c ,(),b c ,抽到的两棵都是树苗A 的概率为16. （2）设该农户种植B 树苗n 棵,最终成活的棵数为()30.910.90.80.964n n n +-⨯⨯=,未能成活的棵数为0.960.04n n n -=, 由题意知0.963000.0450200000n n ⨯-⨯≥,则有699.3n ≥.所以该农户至少种植700棵树苗,就可获利不低于20万元.【点睛】本题主要考查了古典概型的运用与根据概率解决实际情况的问题,属于基础题型. 19．如图，在BCD V 中，90BCD ∠=︒，1BC CD ==，AB ⊥面BCD ，60ADB ∠=︒，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且()01AE AF AC ADλλ==<<.（1）求证：EF ⊥平面ABC ；（2）是否存在λ，使得平面BEF ⊥面ACD ？如果存在，求出λ的值并求此时面BEF 分三棱锥A BCD -得到的上下两部分几何体体积之比；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在67λ=，使得平面BEF ⊥面ACD ，体积比为3613【解析】(1)先证//EF CD ,再证明CD ⊥平面ABC 即可.(2)由题意可知只需BE AC ⊥即可,再利用直角三角形中的关系列式求解即可.【详解】（1）AE AF AC ADλ==Q ,//EF CD ∴.又CD BC ⊥Q ,AB BC B ⋂=, CD \^平面ABC ,//EF CD Q ,EF ∴⊥平面ABC （2）存在67λ=,使得平面BEF ⊥面ACD.证明如下： 要使平面BEF ⊥面ACD ,只需BE ⊥平面ACD ,由（1）可知BE CD ⊥,故只需BE AC ⊥即可.当BE AC ⊥时,由三角形相似可得：2AB AE AC =⋅,即6AE AE =⇒=所以67AE AC λ===. 22136363149133AEF A BEF B ABF A BCD B ACDACD S BE V V V AE V V AC V S BE λ----⎛⎫=====⇒= ⎪⎝⎭⋅V V 上下 【点睛】 本题主要考查了线面垂直的证明以及几何体比例的性质等.属于中等题型.20．椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，1B ，2B 是椭圆C 的短轴端点，且126B B =，点M 在椭圆C 上运动，且点M 不与1B ，2B 重合，点N 满足11NB MB ⊥，22NB MB ⊥.（1）求椭圆C 的方程；（2）求四边形21MB NB 面积的最大值.【答案】（1）221189x y +=（2）2【解析】(1)根据椭圆的基本量求解即可.(2) 设()00,M x y ,()11N x y ,,再设方程联立求得01,x x 的关系,再将四边形21MB NB 面积表达成关于01,x x 的解析式,再分析最值即可.【详解】解：(1)e =Qa ∴=,又26b =,且222a bc =+, 218a ∴=,29b =,因此椭圆C 的方程为221189x y +=. (2)设()00,M x y ,()11N x y ,,11NB MB ⊥Q ,22NB MB ⊥.∴直线010:33x NB y x y +=-+……①直线020:33x NB y x y -=--……② 由①,②解得：20109y x x -=,又22001189x y +=Q ,012x x ∴=-,四边形21MB NB 的面积()211001922S B B x x x =+=, 20018x <≤Q ,∴当2018x =时,S . 【点睛】本题主要考查了根据基本量的方法求解椭圆的方程,同时也考查了联立直线与椭圆的方法求椭圆内面积的问题,属于中等题型.21．已知函数()ln f x x =，()1g x x =+.若函数()f x 图象上任意一点P 关于直线y x =的对称点Q 恰好在函数()h x 的图象上.（1）证明：()()g x h x ≤；（2）若函数()()()1f x F x g x =+在[)()*,k k +∞∈N 上存在极值，求k 的最大值. 【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】(1)根据题意先求得()e xh x =,再构造函数()()()H x h x g x =-,再求导分析单调性求最值再证明即可.(2)由题可得()0F x '=在()()*,k k +∞∈N 上有解,再构造分析函数的单调性,再根据零点存在性定理求解函数在4,5x =处的函数值大小再判定即可.【详解】解：（1）由已知,得()e xh x =. 设()()()e 1xH x h x g x x =-=--.()e 1x H x '∴=-. 当x 变化时,()H x ,()H x '的变化情况如下表：()()00H x H ∴≥=,即()()0h x g x -≥.()()g x h x ∴≤.（2）由已知()ln 2x F x x =+,()0,x ∈+∞.则()()221ln 2x x F x x +-'=+. Q 函数()F x 在[)()*,k k +∞∈N 上存在极值,()0F x '∴=在()()*,k k +∞∈N 上有解. 即方程21ln 0x x+-=在()()*,k k +∞∈N 上有解. 令()()21ln 0x x x xϕ=+->. x k >Q ,()2210x x x ϕ∴=--<'. ∴函数()x ϕ在()0,∞+上单调递减.由于()3331e 1274ln 4ln ln 02216216ϕ⋅=->>>, ()775571e 13121875ln 5ln ln ln 0555*******ϕ=-=<<<, 故函数()x ϕ的零点()04,5x ∈.Q 方程()0x ϕ=在()()*,k k +∞∈N 上有解,4k ∴≤. k ∴的最大值为4.【点睛】本题主要考查了根据导数证明函数表达式以及零点存在性定理求解与极值点有关的问题等.属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30°，且经过点()2,1A ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足12OM ON ⋅=，记点N 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求出直线1l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求AP AQ ⋅的值．【答案】（Ⅰ）2112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，()22400.x x y x -+=≠；（Ⅱ）3.【解析】（Ⅰ）直接由已知写出直线l 1的参数方程，设N （ρ，θ），M （ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得1112ρρθθ=⎧⎨=⎩，即ρ＝4cosθ，然后化为普通方程； （Ⅱ）将l 1的参数方程代入C 的直角坐标方程中，得到关于t 的一元二次方程，再由参数t 的几何意义可得|AP |•|AQ |的值．【详解】（Ⅰ）直线l 1的参数方程为x 2tcos30y 1tsin30=+⎧⎪=+⎨⎪⎩oo ，（t 为参数）即2112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．设N （ρ，θ），M （ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0）， 则1ρρ121θθ=⎧=⎨⎩，即3ρ12cos θ⋅=，即ρ=4cosθ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2-4x+y 2=0（x≠0）.（Ⅱ）将l 1的参数方程代入C 的直角坐标方程中，得221(242(1t)02⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭，即2t t 30+-=，t 1，t 2为方程的两个根， ∴t 1t 2=-3，∴|AP|•|AQ|=|t 1t 2|=|-3|=3．【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题．23．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)解不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8；(2)若|a |＜1，|b |＜1，且a ≠0，求证：f (ab )＞|a |·f b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）{x |x ≥3或x ≤－5}．（2）证明见解析【解析】（1）分段讨论当x ＜－3时，当－3≤x ≤1时，当x ＞1时，求解不等式即可；（2）利用分析法，要证f(ab)＞|a|fba⎛⎫⎪⎝⎭，只需证|ab－1|＞|b－a|，再两边平方证明即可.【详解】解：（1）依题意，原不等式等价于|x－1|＋|x＋3|≥8.当x＜－3时，则－2x－2≥8，解得x≤－5.当－3≤x≤1时，则4≥8不成立，不等式解集为∅.当x＞1时，则2x＋2≥8，解得x≥3.所以不等式f(x)＋f(x＋4)≥8的解集为{x|x≥3或x≤－5}．（2）证明：要证f(ab)＞|a|fba⎛⎫ ⎪⎝⎭，只需证|ab－1|＞|b－a|，只需证(ab－1)2＞(b－a)2.∵|a|＜1，|b|＜1，知a2＜1，b2＜1，∴(ab－1)2－(b－a)2＝a2b2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1)＞0.故(ab－1)2＞(b－a)2成立．从而原不等式成立．【点睛】本题考查了解绝对值不等式，重点考查了利用分析法证明不等式，属中档题.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考数学押题密卷
__________ 姓名：__________ 班级：__________评卷人 得分一、选择题1．γβα,,为三个不重合的平面，c b a ,,为三条不同的直线，则下列命题中不正确的（ ）①b a c b c a //////⇒⎭⎬⎫；②b a b a //////⇒⎭⎬⎫γγ；③βαβα//////⇒⎭⎬⎫c c ；④βαγβγα//////⇒⎭⎬⎫ ⑤a c a c //////αα⇒⎭⎬⎫；⑥αγγα//////a a ⇒⎭⎬⎫ A.④⑥ B.②③⑥ C.②③⑤⑥ D.②③2．执行如图的程序框图，如果输出的S=3，则输入的t=（ ）A. 1-B. 3-C. 1或3D. 1或3-3．如图，己知函数()f x 的图像关于坐标原点O 对称，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A. ()3ln f x x x =B. ()ln f x x x =C. ()xef x x=D.()ln xf x x=4．在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点34(,)55P -，则sin()4πα+=（ ）A.22221:4AA A AC C C Cv a r v v a v r ===B. -10C.10D. -105．在平行四边形ABCD 中，E,F 分别为边BC,CD 的中点，若AB x AE y AF =+(,),x y R ∈则 x y += ( ) A. 2B. 1C.32D.236．已知O 为四边形ABCD 所在的平面内的一点，且向量OA ，OB ，OC ，OD 满足等式OA OC OB OD +=+，若点E 为AC 的中点，则EABBCDS S ∆∆=（ ） A.14B.12 C.13D.237．已知实数x ，y 满足2210y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≤⎩，则3x ＋2y 的最大值为A.7B.5C.4D.928．解三角方程时尤其要注意角度的取值范围.9．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R)，f (1)＝2，则 f (－3)等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．9二、填空题10．已知点A 是抛物线214y x =的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PF m PA =,则m 的最小值为 ．评卷人 得分三、解答题11．（1）解关于x 不等式2111x x-≤- （2）若函数2()6(8)f x kx kx k =-++的定义域为R ，求实数k 的取值范围。
2020年2020届山东省高三高考模拟考试数学试卷及解析
2020年2020届山东省高三高考模拟考试数学试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、单项选择题：1.已知集合{1,2}A =-,{|1}B x ax ==,若B A ⊆,则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ）A. 11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C. 10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D. 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】分B 为空集和B 不为空集两种情况讨论,分别求出a 的范围,即可得出结果. 【详解】因为集合{1,2}A =-,{|1}B x ax ==,B A ⊆, 若B 为空集,则方程1ax =无解,解得0a =； 若B 不为空集,则0a ≠；由1ax =解得1x a=,所以11a =-或12a =,解得1a =-或12a =,综上,由实数a 的所有可能的取值组成的集合为11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选D2.若1iz i =-+（其中i 是虚数单位）,则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D分析：变形1iz i =-+,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z 的坐标即可得结论. 详解：由i 1i z =-+, 得()()21i i 1i 1i i iz -+--+===+-,1z i =- ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-,位于第四象限,故选D.3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数,图象关于y 轴对称,排除D ；根据()0,1x ∈时,()0f x <,排除,A C ,从而得到正确选项. 【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠,且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数,关于y 轴对称,排除D ；当()0,1x ∈时,220x x -+>,ln 0x <,可知()0f x <,排除,A C . 本题正确选项：B4.《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关,关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ） A. 甲付的税钱最多 B. 乙、丙两人付的税钱超过甲 C. 乙应出的税钱约为32 D. 丙付的税钱最少【答案】B 【解析】通过阅读可以知道,A D 说法的正确性,通过计算可以知道,B C 说法的正确性.【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少,可知,A D 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的3511002<不超过甲。
2020年普通高校招生考试新高考山东押题预测数学试卷全解全析(5页)
2020年普通高校招生考试新高考山东押题预测数学试卷数学全解全析13．30 14．2π 215．16．12π 17．（本小题满分10分） 【解析】（1）由①b ac -=()2223a c b +-=-， 所以222cos 2a c b B ac +-==，由②2cos 22cos 12AA +=得，22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A=或cos 1A =-（舍），所以3A π=，因为1cos 2B =<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾. 所以ABC ∆不能同时满足①，②.故ABC ∆满足①，③，④或②，③，④； （2）若ABC ∆满足①，③，④，因为2222cos b a c ac B =+-，所以2862c c =++2420c c +-=. 解得2c =.所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B == 若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B=sin B =，解得sin 1B =， 所以c =ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==18．（本小题满分12分）【解析】（1）对任意的n *∈N ，132n nS S +=+，则1133311n n n n S S S S +++==++且113S +=，所以，数列{}1n S +是以3为首项，以3为公比的等比数列；（2）由（1）可得11333n n n S -+=⨯=，31nn S ∴=-.当2n ≥时，()()111313123nn n n n n S a S ---=-=---=⨯，12a =也适合上式，所以，123n n a -=⨯.由于曲线()22:191n n C x a y +-=是椭圆，则190191n n a a ->⎧⎨-≠⎩，即1123192318n n --⎧⨯<⎨⨯≠⎩， n N *∈Q ，解得1n =或2；（3）11333log 3log 3322n n n nn n a a b n --⎛⎫⎛⎫=⨯==⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 01211323333n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++⋅L ，①()12131323133n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅L ，②①-②得()()012111312312333333132n n n n nnn T n n -⨯--⋅--=++++-⋅=-⋅=-L ， 因此，()21314n nn T -⋅+=. 19．（本小题满分12分）【解析】（1）证明：因为C 半圆弧»BD上的一点，所以BC BD ⊥. 在ABD ∆中，,E F 分别为,AD BD 的中点，所以112EF AB ==，且//EF AB . 于是在EFC ∆中， 222112EF FC EC +=+==， 所以EFC ∆为直角三角形，且EF FC ⊥. 因为AB BD ⊥，//EF AB ,所以.因为EF FC ⊥，，BD FC F ⋂=，所以EF ⊥平面BCD .又EF ⊂平面CEF ，所以平面CEF ⊥平面BCD .（2）由已知120BFC ∠=o ，以F 为坐标原点，分别以垂直于BD 、向量,FD FE u u u r u u u r所在方向作为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -，则1,,0)22C ，(0,0,1)E ，(0,1,0)B -，(0,1,2)A -,1=(,1)2CE -u u u r ,(0,1,1)BE =u u u r ,(0,1,1)AE =-u u u r .设平面ACE 的一个法向量为111(,,)x y z =m ,则·0·0AE m CE m ⎧=⎨=⎩u u u v u u u v即111110102y z x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取11z =,得3=（）m . 设平面BCE 的法向量222(,,)x y z =n ,则·0·0BE n CE n ⎧=⎨=⎩u u u v u u u v即2222201022y z x y z +=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取21z =,得1,1=-）n .所以cos ,||||<>==g m n m n m n ， 又二面角A CE B --为锐角，所以二面角A CE B --.20．（本小题满分12分）【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题知，点,P c ⎛ ⎝⎭，b =则有22212c a ⎝⎭+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =， 因此，椭圆C 的标准方程为22182x y +=；（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OMAB ⊥，由OMAB =12AOB S OM AB ∆=⋅=； 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+，21224814t x x k-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭已知OM =()2222214116k t k+=+.()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦Q ()()()222221682114k t k k -+=++. 设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k=+， ()()()222222221682114114AOBk t t S k k k ∆-+=+⋅++. 将()2222214116k t k+=+代入化简得()()2222219241116AOB k k S k ∆+=+.令2116k p +=，则()()()22222211211192414116AOBp p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2. 综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2. 21．（本小题满分12分）【解析】（1）所有可能的方式有43种，恰有2人申请A 大学的申请方式有2242C ⋅种，从而恰有2人申请A 大学的概率为224428327C ⋅=； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有1、2、3，则()4311327P X ===，()2232434341422327C A C A P X ⋅+===，()234344339C A P X ===. 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：()1144651232727927E X =⨯+⨯+⨯=. 22．（本小题满分12分） 【解析】（1）因为()()2112xa f x ex e x =--，所以()x a f x xe xe '=-． 所以()01f =-，()00f '=．所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线为1y =-； （2）因为()()xaxaf x xe xe x e e'=-=-，令()0f x '=，得0x =或()0x a a =<．列表如下：所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),a -∞和()0,∞+，单调递减区间为(),0a ， 所以，当0x =时，函数()y f x =有极小值()01f =-； （3）当1x ≤时，()0f x <，且()222220af e e e =->->．由（2）可知，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()y f x =的零点个数为1．。
2020年山东省新高考预测卷数学参考答案及解析
2020年山东省新高考预测卷数学 参考答案及解析参考答案：1-4：DCBA 5-8：DBCB 9：AC 10：ABD 11：ACD 12：ACD 13：14 14：22＋2 15：2 23 16：[25－4，25＋4]解析：1、z ＝(2＋i)(3－2i)＝8－i ，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(8，－1)，故选D.2、由题意得，A ＝{x |y ＝ln(x －1)}＝{x |x >1}，B ＝{x |x 2－4≤0}＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，故选C.3、根据线面垂直的判定和性质，可知由后者可推前者，但由前者不能推后者，故“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的必要不充分条件，选B.4、∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数，故排除B ，D.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2＞1，∴排除C.故选A.5、法一 设AB →＝a ，AD →＝b ，则a·b ＝0，a 2＝16，AC →＝AD →＋DC →＝b ＋12a ，AE →＝12(AC →＋AB →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＋a ＝34a ＋12b ，所以AB →·(AC →＋AE →)＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＋34a ＋12b ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫54a ＋32b ＝54a 2＋32a ·b ＝54a 2＝20，故选D.法二 以A 为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设AD ＝t (t ＞0)，则B (4，0)，C (2，t )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12t ，所以AB →·(AC →＋AE →)＝(4，0)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2，t ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12t ＝(4，0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫5，32t ＝20，故选D.6、由题意知，八卦中含1根与2根阴线的卦各有3种，含0根与3根阴线的卦各有1种，故从8种卦中取2卦的取法总数为C 28种，2卦中恰含4根阴线的取法为C 23＋C 13·1＝6种，所以所求概率P ＝6C 28＝314，故选B.7、由抛物线的定义知|AF |＝p 4＋p2＝3，解得p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x ，A (1，a )，则a 2＝8，解得a ＝22或a ＝－22(舍去)，所以A (1，22).又焦点F (2，0)，所以直线AF 的斜率为－22，直线AF 的方程为y ＝－22(x －2)，代入抛物线C 的方程y 2＝8x ，得x 2－5x ＋4＝0，所以x A ＋x B ＝5，|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝5＋4＝9，故选C.8、根据AB ⊥BC 可知AC 为三角形ABC 所在截面圆O 1的直径，又平面PAC ⊥平面ABC ，△APC 为等边三角形，所以P 在OO 1上，如图所示，设PA ＝x ，则AO 1＝12x ，PO 1＝32x ，所以PO 1＝32x ＝OO 1＋2＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －22＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2⇒x 2－23x ＝0⇒x ＝23，所以AO 1＝12×23＝3，PO 1＝32×23＝3，当底面三角形ABC 的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时三棱锥P －ABC 的体积最大，此时V ＝13S △ABC ×PO 1＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×3×3＝3.9、因为a 2，a 3＋1，a 4成等差数列，所以a 2＋a 4＝2(a 3＋1)，因此，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋3a 3＋2＝a 1＋14，故a 3＝4.又{a n }是公比为q 的等比数列，所以由a 2＋a 4＝2(a 3＋1)，得a 3⎝⎛⎭⎪⎫q ＋1q ＝2(a 3＋1)，解得q ＝2或12.10、由条形统计图知，B —自行乘车上学的有42人，C —家人接送上学的有30人，D —其他方式上学的有18人，采用B ，C ，D 三种方式上学的共90人，设A —结伴步行上学的有x 人，由扇形统计图知，A —结伴步行上学与B —自行乘车上学的学生占60%，所以x ＋42x ＋90＝60100，解得x ＝30，故条形图中A ，C 一样高，扇形图中A 类占比与C 一样都为25%，A 和C 共占约50%，故D 也正确.D 的占比最小，A 正确.11、g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.g (x )的最小正周期为π，选项A 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有增有减，选项B 错误；g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，故x ＝π12不是g (x )图象的一条对称轴，选项C 正确.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，且当2x ＋π3＝2π3，即x ＝π6时，g (x )取最小值－12，D 正确.12、∵φ(x )＝e x·f (x )－g （x ）ex只有一个零点，∴2m (x 2＋1)－e x－（m ＋2）（x 2＋1）2e x＝0只有一个实数根，即(m ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1e x 2－2m ·x 2＋1e x ＋1＝0只有一个实数根.令t ＝x 2＋1e x ，则t ′＝（x 2＋1）′e x －（x 2＋1）e x （e x ）2＝－（x －1）2e x≤0，∴函数t ＝x 2＋1ex在R 上单调递减，且x →＋∞时，t →0，∴函数t ＝x 2＋1ex的大致图象如图所示，所以只需关于t 的方程(m ＋2)t 2－2mt ＋1＝0(*)有且只有一个正实根. ①当m ＝2时，方程(*)为4t 2－4t ＋1＝0，解得t ＝12，符合题意；②当m ＝3时，方程(*)为5t 2－6t ＋1＝0，解得t ＝15或t ＝1，不符合题意；③当m ＝－3时，方程(*)为t 2－6t －1＝0，得t ＝3±10，只有3＋10>0，符合题意. ④当m ＝－4时，方程(*)为2t 2－8t －1＝0，得t ＝4±322，只有4＋322>0，符合题意.故选A ，C ，D.13、根据题意得：f (－2)＝(－2)2＝4， 则f (f (－2))＝f (4)＝24－2＝16－2＝14. 14、由题意得2b a ＋1b ＝2b a ＋a ＋2b b ＝2b a ＋ab＋2≥22b a ·ab＋2＝22＋2，当且仅当a ＝2b ＝2－1时，等号成立，所以2b a ＋1b的最小值为22＋2.15、由已知可得(2－12)(1＋a )3＝27，则a ＝2，∴(2－x 2)(1＋ax )3＝(2－x 2)(1＋2x )3＝(2－x 2)(1＋6x ＋12x 2＋8x 3)，∴展开式中含x 2的项的系数是2×12－1＝23.16、由题意可知，直线OP 的方程为y ＝k 1x ，OQ 的方程为y ＝k 2x ，因为OP ，OQ 与圆M 相切，所以|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝22，|k 2x 0－y 0|1＋k 22＝22， 分别对两个式子进行两边平方，整理可得k 21(8－x 20)＋2k 1x 0y 0＋8－y 20＝0，k 22(8－x 20)＋2k 2x 0y 0＋8－y 20＝0，所以k 1，k 2是方程k 2(8－x 20)＋2kx 0y 0＋8－y 2＝0的两个不相等的实数根，所以k 1k 2＝8－y 208－x 20.又k 1·k 2＝－1，所以8－y 208－x 20＝－1，即x 20＋y 20＝16.又|TO |＝4＋16＝25，所以|TO |－4≤|TM |≤|TO |＋4，所以25－4≤|TM |≤25＋4. 答案 [25－4，25＋4]17. (1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36，解得d ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)选条件①：b n ＝42n ·2（n ＋1）＝1n （n ＋1），S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 选条件②：∵a n ＝2n ，b n ＝(－1)na n ， ∴S n ＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n ， 当n 为偶数时，S n ＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n －1)＋2n ]＝n2×2＝n ；当n 为奇数时，n －1为偶数， S n ＝(n －1)－2n ＝－n －1.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，－n －1，n 为奇数.选条件③：∵a n ＝2n ，b n ＝2a n ·a n ，∴b n ＝22n ·2n ＝2n ·4n， ∴S n ＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n ×4n，① 4S n ＝2×42＋4×43＋6×44＋…＋2(n －1)×4n ＋2n ×4n ＋1，②由①－②得，－3S n ＝2×41＋2×42＋2×43＋…＋2×4n －2n ×4n ＋1＝8（1－4n ）1－4－2n ×4n ＋1＝8（1－4n ）－3－2n ×4n ＋1，∴S n ＝89(1－4n )＋2n 3·4n ＋1.18. (1)法一 因为m ∥n ，所以3a cos C ＝(2b －3c )cos A ， 由正弦定理得3sin A cos C ＝2sin B cos A －3cos A sin C ， 得3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，所以3sin B ＝2sin B cos A ，因为sin B >0，所以cos A ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6. 法二 因为m ∥n ，所以3a cos C ＝(2b －3c )cos A ，易知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，代入上式得，3a ×a 2＋b 2－c 22ab ＝(2b －3c )×b 2＋c 2－a 22bc，整理得，3bc ＝b 2＋c 2－a 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6.(2)由(1)得3bc ＝b 2＋c 2－a 2，又b 2－a 2＝12c 2，所以c ＝23b ，又S △ABC ＝12bc sin A ＝12b ×23b ×12＝332，得b 2＝9，所以b ＝3. 19. (1)E ，F 分别为BP ，CD 的中点，证明如下： 连接ME ，MF ，EF ，∵M ，F 分别为AD ，CD 的中点，∴MF ∥AC .又E 为BP 的中点，且四边形PBCD 为梯形，∴BC ∥EF .∵MF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴MF ∥平面ABC ，同理EF ∥平面ABC ， 又∵MF ∩EF ＝F ，MF ，EF ⊂平面MEF ， ∴平面MEF ∥平面ABC .(2)由题意知AP ，BP ，DP 两两垂直，以P 为坐标原点，PB ，PD ，PA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，AD ＝3，BP ⊥AD ，∴AP ＝1，BP ＝1，PD ＝2， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，P (0，0，0)，C (1，1，0)，A (0，0，1)，PC →＝(1，1，0)，PM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12.设平面MPC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC →＝0，n 1·PM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝－1，∴n 1＝(－1，1，－2)为平面MPC 的一个法向量. 同理可得平面PAC 的一个法向量为n 2＝(－1，1，0). 设二面角M －PC －A 的平面角为θ，由图可知θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝26×2＝33.∴二面角M －PC －A 的余弦值为33. 20. (1)根据表中数据，描点如图：(2)由已知数据得t －＝ 1＋2＋3＋4＋5＋66＝3.5，y －＝3＋5＋8＋11＋13＋146＝9，∑6i ＝1t i y i ＝3＋10＋24＋44＋65＋84＝230，∑6i ＝1t 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91， b ^＝∑6i ＝1t i y i －6t － y－∑6i ＝1t 2i －6t－2＝230－6×3.5×991－6×3.52≈2.34，a ^＝y －－b ^ t －＝9－2.34×3.5＝0.81， 所以y 关于t 的线性回归方程为y ^＝2.34t ＋0.81.(3)由(2)可知，当t ＝1时，y ^1＝3.15；当t ＝2时，y ^2＝5.49；当t ＝3时，y ^3＝7.83；当t＝4时，y ^4＝10.17；当t ＝5时，y ^5＝12.51；当t ＝6时，y ^6＝14.85.与年利润数据y i 对比可知，满足y ^i －y i <0的数据有3个，所以X 的所有可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 23C 26＝15，P (X ＝1)＝C 13C 13C 26＝35，P (X ＝2)＝C 23C 26＝15，X 的分布列为数学期望E (X )＝0×15＋1×35＋2×5＝1.21. (1)由椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为(3，0)，知a 2－b 2＝3，即b 2＝a 2－3，则x 2a 2＋y 2a 2－3＝1，a 2>3.又椭圆过点M (－2，1)，∴4a 2＋1a 2－3＝1，又a 2>3，∴a 2＝6.∴椭圆Γ的标准方程为x 26＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝k （x －1）得x 2＋2k 2(x －1)2＝6，即(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－6＝0，∵点N (1，0)在椭圆内部，∴Δ>0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k21＋2k2， ①x 1x 2＝2k 2－62k 2＋1， ②则t ＝MA →·MB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋(kx 1－k －1)·(kx 2－k －1) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2－k 2－k )(x 1＋x 2)＋k 2＋2k ＋5 ③， 将①②代入③得，t ＝(1＋k 2)·2k 2－62k 2＋1＋(2－k 2－k )·4k22k 2＋1＋k 2＋2k ＋5，∴t ＝15k 2＋2k －12k 2＋1，∴(15－2t )k 2＋2k －1－t ＝0，k ∈R ， 则Δ1＝22＋4(15－2t )(1＋t )≥0，∴(2t －15)(t ＋1)－1≤0，即2t 2－13t －16≤0， 由题意知t 1，t 2是2t 2－13t －16＝0的两根， ∴t 1＋t 2＝132.22.(1) ∵a ＝0时，∴f (x )＝e x －ln x ，f ′(x )＝e x－1x(x >0)，∴f (1)＝e ，f ′(1)＝e －1，∴函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为：y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.(2)证明 ∵f ′(x )＝ex ＋a－1x(x >0)，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x ＋a＋1x2>0，∴g (x )是增函数，∵ex ＋a>e a ，∴由e a >1x⇒x >e －a，∴当x >e －a时，f ′(x )>0； 若0<x <1⇒ex ＋a<ea ＋1，由ea ＋1<1x⇒x <e －a －1，∴当0<x <min{1，e －a －1}时，f ′(x )<0，故f ′(x )＝0仅有一解，记为x 0，则当0<x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )递减；当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )递增；∴f (x )min ＝f (x 0)＝e x 0＋a －ln x 0，而f ′(x 0)＝e x 0＋a －1x 0＝0⇒e x 0＋a ＝1x 0⇒a ＝－ln x 0－x 0，记h (x )＝ln x ＋x ， 则f (x 0)＝1x 0－ln x 0＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，a >1－1e ⇔－a <1e－1⇔h (x 0)<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e，而h (x )显然是增函数， ∴0<x 0<1e ⇔1x 0>e ，∴h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0>h (e)＝e ＋1. 综上，当a >1－1e时，f (x )>e ＋1.。
2020年高考全国高考数学押题卷(全国I卷)
绝密 ★ 启用前2020年高考全国高考数学押题卷（全国I 卷）理科数学时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集，集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在区间上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列命题中： ①“”是“”的充分不必要条件 ②定义在上的偶函数最小值为5；此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号③命题“，都有”的否定是“，使得”④已知函数的定义域为，则函数的定义域为．正确命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（ ）A ．90，86B ．94，82C ．98，78D ．102，746．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．7．在平面直角坐标系中，已知平面区域，则平面区域的面积为（ ）．A ．B ．C ．D ．22222正视图侧视图俯视图8．若仅存在一个实数，使得曲线：关于直线对称，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．11．设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径为，若二面角的正切值为，则（ ） A ．5 B ．6 C ．7D ．812．若函数，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的假周期，函数是上的级假周期函数，若函数是定义在区间内的3级假周期且，当，，函数，若，使成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．()0ω>第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分. 13．的展开式中的系数为__________．14．若实数，满足且的最小值为3，则实数的值为__________．15．在中，，，边上的中线，则的面积为__________．16．已知单位向量，，两两的夹角均为(，且)，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系(为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作，有下列命题：①已知，，则； ②已知，，其中，，均为正数，则当且仅当时，向量，的夹角取得最小值； ③已知，，则；④已知，，，则三棱锥的表面积．其中真命题为__________．(写出所有真命题的序号)三、解答题：共70分。
2020年高考数学押题(山东版)
班级： 姓名： 线订装绝密★启用前2020年高考数学押题（山东版）时间：120分钟满分：61分命卷人：*审核人：一、选择题（每小题5分,共5分）1. 系统测试试题【押题人:南昌二中孙庆宏特级教师】若a >b >c >1,且ac <b 2,则( )A. log a b >log b c >log c aB. log c b >log b a >log a cC. log b c >log a b >log c aD. log b a >log c b >log a c 【答案】B【解析】命题意图: 考查对数性质,属于运算型选择题,是非常常规计算题,把数学运算能力看作最重要核心素养. 方法指导: 本题也可以采用特殊法求解,比如取,,代入验证知答案. 法一:取,,代入验证知选项B 正确. 法二:对选项A,由,从而,,,从而选项A 错误. 对选项B,首先,,,从而知最小,下只需比较与的大小即可,采用差值比较法:,从而,选项B 正确. 对于选项C,由,,C 错误. 对于选项D,由选项B 可知,从而选项D 错误.二、多选题（每小题5分,共10分）2. 系统测试试题【押题人:南昌二中孙庆宏特级教师】正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ,F ,G 分别为BC ,CC 1,BB 1的中点,则( )A. 直线D 1D 与直线AF 垂直B. 直线A 1G 与平面AEF 平行C. 平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D. 点C 与点G 到平面AEF 的距离相等【答案】B,C【解析】命题意图: 考查对数性质,属于运算型选择题,是非常常规计算题,把数 学运算能力看作最重要核心素养. 方法指导: 本题也可以采用特殊法求解,比如取,,代入验证知选项B 正确. 对于选项A:法一:以点为坐标原点,,,所在的直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,,从而,,从而,所以与直线不垂直,选项A 错误. 法二:取的中点,连接,则为直线在平面内的射影,与不垂直,从而与也不垂直,选项A 错误. 取的中点为,连接,,则,,所以平面平面,从而平面,选项B 正确.对于选项C,连接,,易知四边形为平面截正方体所得的截面四边形(如图所示),且,,所以,而,从而选项C 正确.装订线对于选项D(法一)由于,而,而,,所以,即,点到平面的距离为点到平面的距离的二倍,从而D 错误. 法二:假设点与点到平面的距离相等,即平面将平分,则平面必过的中点,连接交于点,易知不是的中点,故假设不成立,从而选项D 错误.3. 系统测试试题【押题人:南昌二中孙庆宏特级教师】函数f(x)的定义域为R ,且f(x +1)与f(x +2)都为奇函数,则( )A. f(x)为奇函数B. f(x)为周期函数C. f(x +3)为奇函数D. f(x +4)为偶函数 【答案】A,B,C【解析】命题意图: 考查对数性质,属于运算型选择题,是非常常规计算题,把数 学运算能力看作最重要核心素养. 方法指导: 本题也可以采用特殊法求解,比如取,,代入验证知选项B 正确. 由与都为奇函数知函数的图象关于点,对称,所以,,所以,所以是 以为周期的函数,所以,均为奇函数.三、填空题（每小题5分,共10分）4. 系统测试试题【押题人:南昌二中孙庆宏特级教师】直线l 过抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点F(1,0),且与C 交于A ,B 两点,则p =__________,1|AF|+1|BF|=__________.【答案】,【解析】命题意图: 考查对数性质,属于运算型选择题,是非常常规计算题,把数学运算能力看作最重要核心素养. 方法指导: 本题也可以采用特殊法求解,比如取,,代入验证知答案. 法一:将代入,解得,从而. 法二:设的方程为,联立,整理得,设,,则,从而. 法三:利用书中结论:,即可结果.5. 系统测试试题【押题人:南昌二中孙庆宏特级教师】半径为2的球面上有A ,B ,C ,D 四点,且AB ,AC ,AD 两两垂直,则ΔABC ,ΔACD 与ΔADB 面积之和的最大值为__________.【答案】【解析】命题意图: 考查对数性质,属于运算型选择题,是非常常规计算题,把数学运算能力看作最重要核心素养. 方法指导: 本题也可以采用特殊法求解,比如取,,代入验证知答案. 如图所示,将四面体置于一个长方体模型中,则该长方体外接球的半径为,不妨设,,,则有,即,记,从而,即,从而,当且仅当,即该长方体为正方体时等号成立,从而最大值为.班级： 姓名： 线订装四、解答题（每小题12分,共36分）6. 系统测试试题【押题人:南昌二中孙庆宏特级教师】如图,四棱锥S −ABCD 中,底面ABCD 为矩形,SA ⊥平面ABCD ,E ,F 分别为AD ,SC 的中点,EF 与平面ABCD 所成的角为45∘. (1)证明:EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线. (2)若EF =12BC,求二面角B −SC −D 的余弦值.【答案】见解析【解析】命题意图: 考查对数性质,属于运算型选择题,是非常常规计算题,把数 学运算能力看作最重要核心素养. 方法指导: 本题也可以采用特殊法求解,比如取,,代入验证知答案. (1)连接,交于点,连接,,因为四边形为矩形,且,分别是,的中点,所以,且,又平面,所以平面,所以,又,,所以平面,所以,因为与平面所成的角为,所以,从而,所以,取的中点,连接,,则由,分别为,的中点,从而且,从而四边形为平行四边形,又由,知,又平面,所以,又,从而平面,从而平面,平面,从而,综上知为异面直线与的共垂线. (2)因为,设,则,从而,所以,以为坐标原点,,,所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,则,,,,从而,,设平面的一个法向量为,则,令, 从而得,同理,可求得平面的一个法向量为,设二面角的平面角为,从而.7. 系统测试试题【押题人:南昌二中孙庆宏特级教师】下面给出了根据我国2012年~2018年水果人均占有量y (单位:kg )和年份代码x 绘制的散点图和线性回归方程的残差图(2012年~2018年的年份代码x 分别为装订线1~7).(1)根据散点图分析y 与x 之间的相关关系. (2)根据散点图相应数据计算得∑i=17y i =1074,∑i=17x i y i =4517,求y 关于x 的线性回归方程. (3)根据线性回归方程的残差图,分析线性回归方程的拟合效果(精确到0.01) 附:回归方程y ̂=a ̂+b̂x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b ̂=∑i=1n(x i −x ̅)(y i−y ̅)∑i=1n (x i −x̅)2,a ̂=y ̅−b̂x̅.【答案】见解析【解析】命题意图: 考查对数性质,属于运算型选择题,是非常常规计算题,把数学运算能力看作最重要核心素养. 方法指导: 本题也可以采用特殊法求解,比如取,,代入验证知答案. (1)散点图可以看出,当由小变大时,也由小变大,从而与之间时正相关关系. (2)由题中数据可得,,从而,,从而所求关于的线性回归方程为. (3)由残差图可以看出,残差对应的点均匀地落在水平带状区域内,且宽度较窄,说明拟合效果较好.8. 系统测试试题【押题人:南昌二中孙庆宏特级教师】设中点在原点,焦点在x 轴上的椭圆E 过点(1,√32),且离心率为√32,F 为E 的右焦点,P 为E 上一点,PF ⊥x 轴,⊙F 的半径为PF . (1)求E 和⊙F 的方程. (2)若直线l:y =k(x −√3)(k >0)与⊙F 交于A ,B 两点,与E 交于C ,D 两点,其中A ,C 在第一象限,是否存在k 使|AC|=|BD|?若存在,求l 的方程,若不存在,请说明理由.【答案】见解析【解析】命题意图: 考查对数性质,属于运算型选择题,是非常常规计算题,把数学运算能力看作最重要核心素养. 方法指导: 本题也可以采用特殊法求解,比如取,,代入验证知答案. (1)设椭圆的方程为,由,从而得,从而,即,又椭圆过点,从而得,解得,,从所求椭圆的方程为,所以,令,得,所以的方程为. (2)不存在,理由如下,若,则,联立,整理得,设,,则,从而,由,从而,从而,矛盾,从而满足题设条件的直线不存在.。
山东省2020届高三新高考预测数学试卷-教师版
山东省2020届高三新高考预测数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．设复数(2)(32)z i i =+-，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．(4,1) B ．()8,1C ．(4,)1-D ．(8,1)-【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘法化简得到8=-z i ，然后利用复数的几何意义求解. 【详解】因为(2)(32)8=+-=-z i i i ，使用复数z 在复平面内对应的点的坐标为(8,1)-. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．已知集合{|ln(1)}A y y x ==-，{}2|40B x x =-≤，则A B =（ ）A ．{|2}x x ≥-B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x <≤D ．{|22}x x -≤≤【答案】D 【解析】 【分析】化简集合,A B ,再根据交集的概念进行运算可得. 【详解】因为函数ln(1)y x =-的值域为R 所以A R =, 又集合[2,2]B =-,所以[2,2]A B B ⋂==-. 故选:D 【点睛】本题考查了交集的运算,函数的值域,解一元二次不等式,属于基础题.3．“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既非充分条件又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面几何知识可得一个平面内的一条直线可以垂直此平面内的无数条直线，可得不是充分条件；利用直线与平面垂直的定义可得应该是必要条件。
【详解】因为直线l 在平面α内，也可以与平面α内的无数条直线垂直，所以，“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”不是“直线l 与平面α垂直”的充分条件；若直线l 与平面α垂直，则直线l 与平面α内的所有直线都垂直。
2020年高考数学押题预测卷02(山东卷)(参考答案)
2020年高考押题预测卷02（山东卷）数学·全解全析13．30 14．2π 215． 16．12π 17．（本小题满分10分）【解析】（1）由①b ac -=()2223a c b +-=-，所以222cos 23a cb B ac +-==-， 由②2cos 22cos 12AA +=得，22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），所以3A π=，因为1cos 2B =<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾.所以ABC ∆不能同时满足①，②. 故ABC ∆满足①，③，④或②，③，④； （2）若ABC ∆满足①，③，④，因为2222cos b a c ac B =+-，所以2862c c =++2420c c +-=.解得2c =.所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B=sin 2B =，解得sin 1B =，所以c =ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==18．（本小题满分12分）【解析】（1）对任意的n *∈N ，132n n S S +=+，则1133311n n n n S S S S +++==++且113S +=，所以，数列{}1n S +是以3为首项，以3为公比的等比数列；（2）由（1）可得11333n n n S -+=⨯=，31nn S ∴=-.当2n ≥时，()()111313123nn n n n n S a S ---=-=---=⨯，12a =也适合上式，所以，123n n a -=⨯.由于曲线()22:191n n C x a y +-=是椭圆，则190191n n a a ->⎧⎨-≠⎩，即1123192318n n --⎧⨯<⎨⨯≠⎩， n N *∈Q ，解得1n =或2；（3）11333log 3log 3322n n n nn n a a b n --⎛⎫⎛⎫=⨯==⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 01211323333n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++⋅L ，①()12131323133n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅L ，②①-②得()()012111312312333333132n nn n n nn T n n -⨯--⋅--=++++-⋅=-⋅=-L ， 因此，()21314n nn T -⋅+=. 19．（本小题满分12分）【解析】（1）证明：因为C 半圆弧»BD上的一点，所以BC BD ⊥. 在ABD ∆中，,E F 分别为,AD BD 的中点，所以112EF AB ==，且//EF AB . 于是在EFC ∆中， 222112EF FC EC +=+==， 所以EFC ∆为直角三角形，且EF FC ⊥. 因为AB BD ⊥，//EF AB ,所以.因为EF FC ⊥，，BD FC F ⋂=，所以EF ⊥平面BCD .又EF ⊂平面CEF ，所以平面CEF ⊥平面BCD .（2）由已知120BFC ∠=o ，以F 为坐标原点，分别以垂直于BD 、向量,FD FE u u u r u u u r所在方向作为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -，则31(,,0)22C ，(0,0,1)E ，(0,1,0)B -，(0,1,2)A -, 31=(,,1)2CE --u u u r ,(0,1,1)BE =u u u r ,(0,1,1)AE =-u u u r .设平面ACE 的一个法向量为111(,,)x y z =m ,则·0·0AE m CE m ⎧=⎨=⎩u u u v u u u v 即1111103102y z x y z -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取11z =,得3,1,13=（）m . 设平面BCE 的法向量222(,,)x y z =n ,则·0·0BE n CE n ⎧=⎨=⎩u u u v u u u v 即22222031022y z x y z +=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取21z =,得3,1,1=-（）n . 所以105cos ,=||||2153<>==⨯g m n m n m n ， 又二面角A CE B --为锐角，所以二面角A CE B --的余弦值为105.20．（本小题满分12分）【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题知，点2,P c ⎛ ⎝⎭，2b =则有222212c a ⎝⎭+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =，因此，椭圆C 的标准方程为22182x y +=；（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OM AB ⊥，由OM =可得AB =12AOB S OM AB ∆=⋅=； 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+，21224814t x x k-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭已知OM =()2222214116k t k+=+.()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦Q ()()()222221682114k t k k -+=++. 设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k =+，()()()222222221682114114AOBk t t S k k k ∆-+=+⋅++. 将()2222214116k t k+=+代入化简得()()2222219241116AOB k k S k ∆+=+.令2116k p +=，则()()()22222211211192414116AOBp p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2. 综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2. 21．（本小题满分12分）【解析】（1）所有可能的方式有43种，恰有2人申请A 大学的申请方式有2242C ⋅种，从而恰有2人申请A 大学的概率为224428327C ⋅=； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有1、2、3，则()4311327P X ===，()2232434341422327C A C A P X ⋅+===，()234344339C A P X ===. 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：()1144651232727927E X =⨯+⨯+⨯=. 22．（本小题满分12分） 【解析】（1）因为()()2112xa f x ex e x =--，所以()x a f x xe xe '=-．所以()01f =-，()00f '=．所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线为1y =-； （2）因为()()xaxaf x xe xe x e e'=-=-，令()0f x '=，得0x =或()0x a a =<．列表如下：所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),a -∞和()0,∞+，单调递减区间为(),0a ， 所以，当0x =时，函数()y f x =有极小值()01f =-； （3）当1x ≤时，()0f x <，且()222220af e e e =->->．由（2）可知，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()y f x =的零点个数为1．。