离散数学课件_7 格与布尔代数
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02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
格和布尔代数
a,bL，若a≤b a∧b = a
分三步： 1) 证明’≤’是L上的偏序关系 2）证明 a,bL, {a,b}的下确界存在， 且 a∧b = glb(a,b)。 3）a,bL, {a,b}的上确界存在，且 lub(a,b) a∨b 具体证法见后面
1) 证明’≤’是L上的偏序关系 自反性：aL 由等幂律 a∧a=a, a≤a 反对称性：a,bL, 若a≤b, b≤a 则 a∧b=a, b∧a=b a = a∧b = b∧a = b 传递性：a,b,cL, 若 a≤b,b≤c 则a∧b=a, b∧c=b a∧c=(a∧b)∧c = a∧(b∧c)= a∧b=a a≤c
2、格的对偶原理
① 集合S的偏序关系≤的逆关系≥也是偏序关 系，若AS, 其中 ≤的glb(A) 对应于 ≥的lub(A), ≤的lub(A) 对应于 ≥的glb(A), 所以，若<S,≤>是格，则<S,≥>也是格， 称这两个格互为对偶。
2、格的对偶原理
② 因为<S,≤>的交是<S,≥>的并， <S,≤>的并是<S,≥>的交，
一般格只满足分配不等式： a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)
一、定义
设<L,∧,∨>是格，若a,b,cL，有： (1) a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c), (2) a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c), 则称 <L,∧,∨> 为分配格。
注：(1)(2)是互相等价的，由对偶原理，从一式可推
2）证明 a,bL, {a,b}的下确界存在， 且 a∧b=glb(a,b)。
a) 因为 (a∧b)∧a =(a∧a)∧b=a∧b a∧b≤a 同理a∧b≤b a∧b 是a,b的下界。
分三步： 1) 证明’≤’是L上的偏序关系 2）证明 a,bL, {a,b}的下确界存在， 且 a∧b = glb(a,b)。 3）a,bL, {a,b}的上确界存在，且 lub(a,b) a∨b 具体证法见后面
1) 证明’≤’是L上的偏序关系 自反性：aL 由等幂律 a∧a=a, a≤a 反对称性：a,bL, 若a≤b, b≤a 则 a∧b=a, b∧a=b a = a∧b = b∧a = b 传递性：a,b,cL, 若 a≤b,b≤c 则a∧b=a, b∧c=b a∧c=(a∧b)∧c = a∧(b∧c)= a∧b=a a≤c
2、格的对偶原理
① 集合S的偏序关系≤的逆关系≥也是偏序关 系，若AS, 其中 ≤的glb(A) 对应于 ≥的lub(A), ≤的lub(A) 对应于 ≥的glb(A), 所以，若<S,≤>是格，则<S,≥>也是格， 称这两个格互为对偶。
2、格的对偶原理
② 因为<S,≤>的交是<S,≥>的并， <S,≤>的并是<S,≥>的交，
一般格只满足分配不等式： a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)
一、定义
设<L,∧,∨>是格，若a,b,cL，有： (1) a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c), (2) a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c), 则称 <L,∧,∨> 为分配格。
注：(1)(2)是互相等价的，由对偶原理，从一式可推
2）证明 a,bL, {a,b}的下确界存在， 且 a∧b=glb(a,b)。
a) 因为 (a∧b)∧a =(a∧a)∧b=a∧b a∧b≤a 同理a∧b≤b a∧b 是a,b的下界。
离散数学格与布尔代数
<L, > <L, , *>
§7.1 格
例 < P(S) ， >是格 表示为<P(S), , * > 又可表示为< P(S) ,∪,∩>
例 <Z+,≤>,或 <Z+,|> <Z+, , * > <Z+, LCM,GCD>
§7.2 格——代数系统
格〈L，≤〉中自然存在两个运算 和 * ，从而 派生出一个代数系统〈L，，*〉
6
<S15,|>,
2
2019/10/5
30
10
15
3
5
1
§7.1 格
例 判断图中的哈斯图表示的偏序集是否构成格,说明为什么。
d c
b a
(a)
e d
c b
a (b)
f
d
e
d
e
c
b
c
a (c)
a
b
(d)
e
c
d
a
b
(e)
2019/10/5
§7.1 格
例 设Z+为正整数集合，对于a,b Z+，关系“≤”定义为： a≤b当 且仅当a整除b。则偏序集<Z+,≤>构成格，
并、交 运算的性质
定理１ 设〈L，≤〉是一个格，并运算与交运算 * 满足 如下性质：
L1 a a ＝ a
a*a＝a
（幂等律）
L2 a b ＝ b a a * b ＝ b * a （交换律）
L3 （a b） c ＝ a （b c）
§7.1 格
例 < P(S) ， >是格 表示为<P(S), , * > 又可表示为< P(S) ,∪,∩>
例 <Z+,≤>,或 <Z+,|> <Z+, , * > <Z+, LCM,GCD>
§7.2 格——代数系统
格〈L，≤〉中自然存在两个运算 和 * ，从而 派生出一个代数系统〈L，，*〉
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<S15,|>,
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1
§7.1 格
例 判断图中的哈斯图表示的偏序集是否构成格,说明为什么。
d c
b a
(a)
e d
c b
a (b)
f
d
e
d
e
c
b
c
a (c)
a
b
(d)
e
c
d
a
b
(e)
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§7.1 格
例 设Z+为正整数集合，对于a,b Z+，关系“≤”定义为： a≤b当 且仅当a整除b。则偏序集<Z+,≤>构成格，
并、交 运算的性质
定理１ 设〈L，≤〉是一个格，并运算与交运算 * 满足 如下性质：
L1 a a ＝ a
a*a＝a
（幂等律）
L2 a b ＝ b a a * b ＝ b * a （交换律）
L3 （a b） c ＝ a （b c）
离散数学(第二版)第7章格和布尔代数和
第七章 格和布尔代数
离散数学(第二版)第7章格和布尔代 数和
第七章 格和布尔代数
7.1 格 与 子 格
本章将讨论另外两种代数系统——格与布尔代数， 它 们与群、 环、 域的基本不同之处是： 格与布尔代数的基集 都是一个偏序集。 这一序关系的建立及其与代数运算之间 的关系是介绍的要点。 格是具有两个二元运算的代数系统， 它是一个特殊的偏序集， 而布尔代数则是一个 特殊的格。
于是， 我们有下列对偶原理。
第七章 格和布尔代数
定理7.1.2 如果命题P在任意格〈L， 〉上成立， 则
将L中符号∨， ∧，
∧， ∨，
P*在任意格〈L， 〉上也成立， 这里P*称为P的对偶式。
在上述对偶原理中， “如果命题P在任意格〈L， 〉
上成立”的含义是指当命题P中的变量取值于L中， 且上确
界运算为∨， 下确界运算为∧， 则P对于它们也成立。
第七章 格和布尔代数
再设a=a∧b， 则a∨b=(a∧b)∨b=b(由吸收律)， 即
a∨b=b。
最后， 设b＝a∨b， 则由a a∨b可得a b。
因此， (1)中3个命题的等价性得证。
(2) 因为 a a∨b， a a∨c, 故a (a∨b)∧(a∨c)。 又
因为
b∧c b a∨b b∧c c a∨c
条件是b a, 则〈L, 也是偏序集。 我们把偏序集〈L, 和〈L, 称为是相互对偶的。 并且它们所对应的哈
斯图是互为颠倒的。 关于格我们有同样的性质。 定理7.1.1 若〈L, 是一个格， 则〈L, 也是一
个格, 且它的并、 交运算∨r, ∧r对任意a, b∈L满足 a∨rb=a∧b，a∧rb=a∨b
证明 先证幂等性成立。 由吸收律知 a∧a＝a∧(a∨(a∧b))＝a a∨a＝a∨(a∧(a∨b))＝a
离散数学(第二版)第7章格和布尔代 数和
第七章 格和布尔代数
7.1 格 与 子 格
本章将讨论另外两种代数系统——格与布尔代数， 它 们与群、 环、 域的基本不同之处是： 格与布尔代数的基集 都是一个偏序集。 这一序关系的建立及其与代数运算之间 的关系是介绍的要点。 格是具有两个二元运算的代数系统， 它是一个特殊的偏序集， 而布尔代数则是一个 特殊的格。
于是， 我们有下列对偶原理。
第七章 格和布尔代数
定理7.1.2 如果命题P在任意格〈L， 〉上成立， 则
将L中符号∨， ∧，
∧， ∨，
P*在任意格〈L， 〉上也成立， 这里P*称为P的对偶式。
在上述对偶原理中， “如果命题P在任意格〈L， 〉
上成立”的含义是指当命题P中的变量取值于L中， 且上确
界运算为∨， 下确界运算为∧， 则P对于它们也成立。
第七章 格和布尔代数
再设a=a∧b， 则a∨b=(a∧b)∨b=b(由吸收律)， 即
a∨b=b。
最后， 设b＝a∨b， 则由a a∨b可得a b。
因此， (1)中3个命题的等价性得证。
(2) 因为 a a∨b， a a∨c, 故a (a∨b)∧(a∨c)。 又
因为
b∧c b a∨b b∧c c a∨c
条件是b a, 则〈L, 也是偏序集。 我们把偏序集〈L, 和〈L, 称为是相互对偶的。 并且它们所对应的哈
斯图是互为颠倒的。 关于格我们有同样的性质。 定理7.1.1 若〈L, 是一个格， 则〈L, 也是一
个格, 且它的并、 交运算∨r, ∧r对任意a, b∈L满足 a∨rb=a∧b，a∧rb=a∨b
证明 先证幂等性成立。 由吸收律知 a∧a＝a∧(a∨(a∧b))＝a a∨a＝a∨(a∧(a∨b))＝a
离散数学布尔代数
一个非零元素b，至少存在一个原子a，使得a ≤ b。 1
证明：若b本身就是一个原子，则b ≤ b，得证。c
df
若b不是原子，肯定存在b1，使得0 ≤ b1 ≤ b， a
be
若b1是原子，则定理得证；
0
否则，若b1不是原子，则必存在b2，使得0 ≤ b2 ≤ b1 ≤ b
∵<A, ≤>是一个有全下界的有限格，
定理1：对于布尔代数中任意两个元素 a, b，必定有
(1) ( a ) = a， (2) a∨b = a∧b ， (3) a∧b = a∨b
3
❖ 布尔代数
定义3：设<A,∨1,∧1, - > 和<B,∨2,∧2, ~ >是两个布尔代数， 如果存在A到B的双射 f，对于a,bA，有
f (a∨1b) = f (a) ∨2 f (b)
2、对a,bA，有 f (a∧b) = f (a)∩f (b)
9
❖ 格与布尔代数
定理3 ( Stone表示定理 ) ：
设<A,∨,∧, - >是由有限布尔格<A, ≤>所诱导的一个有 限布尔代数，S是布尔格<A, ≤>中的所有原子的集合，则 < A,∨,∧, - >< P(S),∪,∩, ~ >同构。 分析：要证两个代数系统同构，分为以下几步：
1、找一个双射函数 f: A P(S)
∴a ≤ c ，又∵a ≤ c， ∴a ≤ c ∧ c，即 a ≤ 0，
这与a是原子相矛盾， ∴假设错
∴b ∧ c = 0，由引理1得： b≤c ∴b=c，即：b= a1∨a2∨... ∨ak
7
❖ 格与布尔代数
证明(2)：设b的另一种表示形式为 b = aj1∨aj2∨... ∨ajt 其中aj1,aj2,……,ajt是A中原子。∵b是 aj1,aj2,……,ajt 的最小上界， ∴有aj1≤b, aj2≤b,…,ajt≤b，而a1,a2,……,ak是A中满足 a j ≤b的所有原子， {aj1,aj2,…,ajt}是{a1,a2,…,ak}的子集，即 |{aj1,aj2,…,ajt}|<=|{a1,a2,…,ak}|， 即：t ≤ k。(下面证 t < k 是不可能的)
离散数学课件_7 格与布尔代数
布尔代数可用相互独立的亨廷顿公理给出, 即一个代数系统 (L, ∧,∨,-,0,1)是布 尔代数当且仅当交换律、分配律、同一律 及互补律成立;
有限布尔代数同构于某个集合上的幂集构 成的布尔代数；
两个有限布尔代数同构当且仅当它们所含 的元素个数相同.
返回本章首页
5 2019/12/4
本章小结
第七章 格与布尔代数
布尔代数是计算机科学最重要的基础理论之 一,它在开关网络及数字电路的设计上有广 泛深入的应用. 布尔代数是计算机科学工作者必备的基础知 识，应掌握格与布尔代数的一般理论和方法， 除§3 Stone定理的证明细节可根据具体情 况删减外，其他内容应很好地掌握.
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1 2019/12/4
本章我们介绍了代数格、偏序格，并证 明了这两种格的等价性，此外我们还介 绍了对偶原理、分配格、有补格、布尔 代数等概念.布尔代数是数字逻辑的基 础、在学习数字逻辑时会更深刻地体会 到布尔代数在计算机中的应用.
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6 2019/12/4
第一节 格的概念(1)
格有两种等价的定义:一种是从偏序集 的角度给出格的定义，这种定义可以借 助哈斯（Hasse）图来表示，因而比较 直观，易于理解，这样定义的格称为偏 序格；另一种是从代数系统的角度来给 出格的定义，这种定义方法我们在上一 章的群、环的定义中已有所体会，用代 数系统的方法定义的格称为代数格.
主要概念有:有界格、余元素(或补元素) 、 有余格、分配格等.
主要结论有: 1.格的基本性质(见教材定理7.2.1); 2.序集构成的格是分配格; 3.在有界分配格中,若某个元素有补元,
则补元惟一.ຫໍສະໝຸດ 返回本章首页4 2019/12/4
第三节 布尔代数
有限布尔代数同构于某个集合上的幂集构 成的布尔代数；
两个有限布尔代数同构当且仅当它们所含 的元素个数相同.
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5 2019/12/4
本章小结
第七章 格与布尔代数
布尔代数是计算机科学最重要的基础理论之 一,它在开关网络及数字电路的设计上有广 泛深入的应用. 布尔代数是计算机科学工作者必备的基础知 识，应掌握格与布尔代数的一般理论和方法， 除§3 Stone定理的证明细节可根据具体情 况删减外，其他内容应很好地掌握.
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1 2019/12/4
本章我们介绍了代数格、偏序格，并证 明了这两种格的等价性，此外我们还介 绍了对偶原理、分配格、有补格、布尔 代数等概念.布尔代数是数字逻辑的基 础、在学习数字逻辑时会更深刻地体会 到布尔代数在计算机中的应用.
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6 2019/12/4
第一节 格的概念(1)
格有两种等价的定义:一种是从偏序集 的角度给出格的定义，这种定义可以借 助哈斯（Hasse）图来表示，因而比较 直观，易于理解，这样定义的格称为偏 序格；另一种是从代数系统的角度来给 出格的定义，这种定义方法我们在上一 章的群、环的定义中已有所体会，用代 数系统的方法定义的格称为代数格.
主要概念有:有界格、余元素(或补元素) 、 有余格、分配格等.
主要结论有: 1.格的基本性质(见教材定理7.2.1); 2.序集构成的格是分配格; 3.在有界分配格中,若某个元素有补元,
则补元惟一.ຫໍສະໝຸດ 返回本章首页4 2019/12/4
第三节 布尔代数
离散数学格与布尔代数ppt课件
精选ppt
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定理11.2
(3) 证明<S，≤>构成格。 即证明a∨b＝ab，a∧b＝a*b 。
a,b∈S 有 a(ab)＝(aa)b＝ab
说明 通过规定运算及其基本性质可以给出格的定义。
精选ppt
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定理11.2
(1)证明在S中*和运算都适合幂等律。 a∈S，由吸收律得 a*a ＝ a*(a(a*a)) ＝ a
同理有 aa＝a。
(2)在S上定义二元关系R， a,b∈S 有 <a,b>∈R ab＝b
下面证明R在S上的偏序。
根据幂等律， a∈S都有aa＝a，即<a,a>∈R，
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例11.3
例11.3 设G是群，L(G)是G的所有子群的集合。即 L(G)＝{ H|H≤G }
对任意的H1,H2∈L(G)，H1∩H2也是G的子群，而<H1∪H2>是由 H1∪H2生成的子群（即包含着H1∪H2的最小的子群）。 在L(G)上定义包含关系，则L(G)关于包含关系构成一个格， 称为G的子群格。 易见在L(G)中，H1∧H2就是H1∩H2，H1∨H2就是<H1∪H2>。
(1)交换律 a,b∈L 有
a∨b＝b∨a
a∧b＝b∧a
(2)结合律 a,b,c∈L 有
(a∨b)∨c＝a∨(b∨c) (a∧b)∧c＝a∧(b∧c)
(3)幂等律 a∈L 有
a∨a＝a
a∧a＝a
(4)吸收律 a,b∈L 有
a∨(a∧b)＝a
a∧(a∨b)＝a
精选ppt
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定理11.1
(1)a∨b和b∨a分别是{a,b}和{b,a}的最小上界。 由于{a,b}＝{b,a}，所以a∨b＝b∨a。 由对偶原理，a∧b＝b∧a得证。
离散数学第7章PPT课件
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
第38页/共94页
例1、(2)
图(2)中过v2的回路 (从 v2 到 v2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
第34页/共94页
一、通路，回路。 2、简单通路，简单回路。 简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
第35页/共94页
一、通路，回路。 3、初级通路，初级回路。 初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路)，
但反之不真。
4、通路，回路的长度—— 中边的数目。
补图的概念， 5、图的同构的定义。
第4页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
无序积 A & B (a,b) a A b B
无向图 G V , E
E V &V ， E 中元素为无向边，简称边。
有向图 D V, E
E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
第5页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
2、握手定理。
定理1： 设图 G V , E 为无向图或有向图，
V v1,v1,
则
,vn，E m ( m为边数)，
n
d (vi ) 2m
i 1
第20页/共94页
n
2、握手定理 d (vi ) 2m i 1
推论：任何图中，度为奇数的顶点个数为偶数。
定理2： 设D V, E 为有向图，
第36页/共94页
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
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例1、(2)
图(2)中过v2的回路 (从 v2 到 v2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
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一、通路，回路。 2、简单通路，简单回路。 简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
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一、通路，回路。 3、初级通路，初级回路。 初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路)，
但反之不真。
4、通路，回路的长度—— 中边的数目。
补图的概念， 5、图的同构的定义。
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一、图的概念。 1、定义。
无序积 A & B (a,b) a A b B
无向图 G V , E
E V &V ， E 中元素为无向边，简称边。
有向图 D V, E
E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
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一、图的概念。 1、定义。
2、握手定理。
定理1： 设图 G V , E 为无向图或有向图，
V v1,v1,
则
,vn，E m ( m为边数)，
n
d (vi ) 2m
i 1
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n
2、握手定理 d (vi ) 2m i 1
推论：任何图中，度为奇数的顶点个数为偶数。
定理2： 设D V, E 为有向图，
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离散数学第七章格与布尔代数
离散数学第七章格 与布尔代数
contents
目录
• 格的概述 • 布尔代数 • 格与布尔代数的应用 • 格与布尔代数的关系 • 格与布尔代数的扩展知识
01
CATALOGUE
格的概述
格的定义与性质
定义
格是一个有序的二元组(L,≤)，其中L 是非空集合，≤是L上的二元关系， 满足自反性、反对称性和传递性。
布尔代数性质
布尔代数具有一些基本性质，如交换 律、结合律、吸收律等，这些性质使 得布尔代数成为逻辑推理和电路设计 等领域的重要工具。
布尔代数的运算
逻辑与运算
逻辑与运算用符号"∧"表示，表示两个逻辑量同时 为真时结果才为真。
逻辑或运算
逻辑或运算用符号"∨"表示，表示两个逻辑量至少 有一个为真时结果才为真。
布尔代数的扩展运算
布尔函数的复合
01
通过将两个或多个布尔函数连接在一起，形成更复杂的布尔函
数。
布尔函数的展开
02
将一个复杂的布尔函数分解为简单的布尔函数，以便更好地理
解和分析。
布尔函数的化简
03
通过消除冗余的输入和输出，简化布尔函数的表示。
格与布尔代数在其他领域的应用
计算机科学
01
格与布尔代数在计算机科学中有着广泛的应用，例如
布尔代数用于描述命题逻辑和谓词逻辑中的各种关系和运算，而格理论则用于描述集合论和集合运算。
格与布尔代数的理论框架为逻辑推理提供了数学基础，有助于深入研究和理解逻辑推理的本质和规律。
计算机科学中的应用
01 02 03 04
计算机科学是离散数学的另一个重要应用领域，其中格与布尔代数在 计算机算法、数据结构和程序设计语言等方面有广泛应用。
contents
目录
• 格的概述 • 布尔代数 • 格与布尔代数的应用 • 格与布尔代数的关系 • 格与布尔代数的扩展知识
01
CATALOGUE
格的概述
格的定义与性质
定义
格是一个有序的二元组(L,≤)，其中L 是非空集合，≤是L上的二元关系， 满足自反性、反对称性和传递性。
布尔代数性质
布尔代数具有一些基本性质，如交换 律、结合律、吸收律等，这些性质使 得布尔代数成为逻辑推理和电路设计 等领域的重要工具。
布尔代数的运算
逻辑与运算
逻辑与运算用符号"∧"表示，表示两个逻辑量同时 为真时结果才为真。
逻辑或运算
逻辑或运算用符号"∨"表示，表示两个逻辑量至少 有一个为真时结果才为真。
布尔代数的扩展运算
布尔函数的复合
01
通过将两个或多个布尔函数连接在一起，形成更复杂的布尔函
数。
布尔函数的展开
02
将一个复杂的布尔函数分解为简单的布尔函数，以便更好地理
解和分析。
布尔函数的化简
03
通过消除冗余的输入和输出，简化布尔函数的表示。
格与布尔代数在其他领域的应用
计算机科学
01
格与布尔代数在计算机科学中有着广泛的应用，例如
布尔代数用于描述命题逻辑和谓词逻辑中的各种关系和运算，而格理论则用于描述集合论和集合运算。
格与布尔代数的理论框架为逻辑推理提供了数学基础，有助于深入研究和理解逻辑推理的本质和规律。
计算机科学中的应用
01 02 03 04
计算机科学是离散数学的另一个重要应用领域，其中格与布尔代数在 计算机算法、数据结构和程序设计语言等方面有广泛应用。
离散数学布尔代数
离散数学布尔代数离散数学（discrete mathematics）是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。
离散的含义是指不同的连接在一起的元素，主要是研究基于离散量的结构和相互间的关系，其对象一般是有限个或可数个元素。
简介离散数学在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有著广为的应用领域，同时离散数学也就是计算机专业的专业课程，例如程序设计语言、数据结构、操作系统、编程技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
通过离散数学的自学，不但可以掌控处置线性结构的叙述工具和方法，为时程课程的自学创造条件，而且可以提升抽象思维和严苛的逻辑推理能力，为将来参予创新性的研究和研发工作奠定稳固的基础。
发展随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的已连续数学占到主流的地位已经出现了变化，离散数学的重要性逐渐被人们重新认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广为地彰显在计算机科学技术及有关专业的诸领域，从科学计算至信息处理，从理论计算机科学至计算机应用技术，从计算机软件至计算机硬件，从人工智能至心智系统，无不与离散数学密切相关。
由于数字电子计算机就是一个线性结构，它就可以处置线性的或线性化后了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用领域密切相关的现代科学研究领域，都遭遇着如何对线性结构建立相应的数学模型；又如何将已用已连续数量关系创建出来的数学模型线性化，从而可以由计算机予以处置。
离散数学是传统的逻辑学，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数（包括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学也可以说道就是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的存有一个知名的典型例子-四色定理又称四色悖论，这就是世界近代三小数学难题之一，它就是在年，由英国的一名绘图员弗南西斯·格思里明确提出的，他在展开地图着色时，辨认出了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上时相同的颜色”。
离散数学第7章 格
4
2
3
7．2
格及其性质
1．格的定义
定义7-4
设<L；≤>是一个偏序集，如果L中任
意两个元素都存在着最大下界和最小上界，则称<L；≤> 是格. 在格上定义两个二元运算“˄” 和 “˅” 如下：
l1˄ l2=glb(l1, l2), l1˅ l2=lub(l1, l2). 因此 <L；≤>是一个格意味着 <L；≤> 也是一个形为<L； ˄ ,˅>的代数系统，其中˄和˅是L上的两个二元运算， 对于任意l1，l2 L ， l1˅ l2表示在偏序“≤”意义下， l1 和l2的最小上界， l1˄ l2表示l1和l2的最大下界.
l1 ≤ l 1 (7-1) (7-2) (7-3) (7-1')
若 l1 ≤ l2 , l2 ≤ l1, 则 l1= l2 若 l1 ≤ l2 , l2 ≤ l3, 则 l1 ≤ l3 l1 ≥ l1
若 l1 ≥ l2 , l2 ≥ l1 , 则 l1 = l2
若 l1 ≥ l2 , l2 ≥ l3, 则 l1 ≥ l3
非分配格非有补格75布尔代数布尔代数的定义定义710如果一个格是有补分配格则称其为布尔代数一般记作具有如下性质对于b中任意元素上定义的集合的并交和补运算与称作集合代数它是一个布尔代数
第7章 格和布尔代数
7.1 偏序集
7.2 格及其性质 7.3 格是一种代数系统 7.4 分配格和有补格 7.5 布尔代数
可以证明关系 ≤ 是 L 上的自反，反对称和可传递
的关系，因此 ≤ 是 L 上的偏序关系. 进一步还可以证明，对任意 l1 , l2 L ， l1 ∨ l2 是在 偏序关系 ≤ 意义下 l1 和 l2 的最小上界， l1 ∧ l2 是 l1
离散数学课件ppt
随机性与概率
随机性表示试验结果的不 确定性，概率则表示随机 事件发生的可能性大小。
统计数据的收集和整理
数据来源
数据质量
数据可以来源于调查、实验、观测、 查阅文献等多种途径。
数据质量包括数据的准确性、可靠性 、完整性等方面，是数据分析的前提 和基础。
数据整理
数据整理包括数据的分类、排序、分 组、编码等步骤，以便更好地进行数 据分析。
必然事件
概率值为1的事件。
03
04
不可能事件
概率值为0的事件。
互斥事件
两个或多个事件不能同时发生 。
概率的加法原理和乘法原理
加法原理
对于任意两个互斥事件A和B，有 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
乘法原理
对于任意两个事件A和B，有 P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
条件概率和独立性
要点一
条件概率
离散数学课件
目录 CONTENTS
• 离散数学简介 • 集合论基础 • 图论基础 • 离散概率论基础 • 离散统计学基础 • 离散数学中的问题求解方法
01
离散数学简介
离散数学的起源
19世纪初
集合论的提出为离散数学的起源 奠定了基础。
20世纪中叶
随着计算机科学的兴起，离散数 学逐渐受到重视和应用。
子集、超集和补集
总结词
子集、超集和补集是集合论中的重要概念，它们描述了集合之间的关系。
详细描述
子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合，超集是指一个集合包含另一 个集合的所有元素，补集是指属于某个集合但不属于其子集的元素组成的集合。
集合的运算性质
总结词
集合的运算性质包括并集、交集、差集等，这些运算描述了 集合之间的组合关系。
离散数学-格和布尔代数
8
注： 从偏序集 < L; > 的次序图来看 l1 和 l2 有最大下界：从结点 l1 和 l2 出发，经过向下的路径 至少可以共同到达次序图的一个结点，这些结点中最上面 的那一个就代表 l1 和 l2 的最大下界。 l1 和 l2 有最小上界：从结点 l1 和 l2 出发，经过向上的路径 至少可以共同到达次序图的一个结点，这些结点中最下面 的那一个就代表 l1 和 l2 的最小上界。
且 a2 a1，a1 a2，
由 的反对称性得 a1 = a2。 类似地可以证明，l1 和 l2 若存在 lub，则 lub 也一定是唯一的。
11
三、最小元素和最大元素
定义7-4 设 < L; > 是一偏序集。 (1) 如果存在元素 a L，使得对所有的元素 l L，有 a l， 则称 a 是 < L; > 的最小元素。 (2) 如果存在元素 b L，使得对所有的元素 l L，有 l b， 则称 b 是 < L; > 的最大元素。 定理7-2 若偏序集 < L; > 有最小元素，则最小元素是唯一的。 若 < L; > 有最大元素，则最大元素也是唯一的。 证明：设 a1, a2 都是 < L; > 的最小元素，b1, b2 都是 < L; > 的 最大元素，则由定义7-4，有 a1 a2，a2 a1，b1 b2，b2 b1。 由反对称性得 a1 = a2，b1 = b2。 12
18
定理7-5（结合律）设 < L; > 是格，则对任意的 l1, l2, l3 L， 有 (1) l1 (l2 l3) = (l1 l2) l3；(2) l1 (l2 l3) = (l1 l2) l3。
注： 从偏序集 < L; > 的次序图来看 l1 和 l2 有最大下界：从结点 l1 和 l2 出发，经过向下的路径 至少可以共同到达次序图的一个结点，这些结点中最上面 的那一个就代表 l1 和 l2 的最大下界。 l1 和 l2 有最小上界：从结点 l1 和 l2 出发，经过向上的路径 至少可以共同到达次序图的一个结点，这些结点中最下面 的那一个就代表 l1 和 l2 的最小上界。
且 a2 a1，a1 a2，
由 的反对称性得 a1 = a2。 类似地可以证明，l1 和 l2 若存在 lub，则 lub 也一定是唯一的。
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三、最小元素和最大元素
定义7-4 设 < L; > 是一偏序集。 (1) 如果存在元素 a L，使得对所有的元素 l L，有 a l， 则称 a 是 < L; > 的最小元素。 (2) 如果存在元素 b L，使得对所有的元素 l L，有 l b， 则称 b 是 < L; > 的最大元素。 定理7-2 若偏序集 < L; > 有最小元素，则最小元素是唯一的。 若 < L; > 有最大元素，则最大元素也是唯一的。 证明：设 a1, a2 都是 < L; > 的最小元素，b1, b2 都是 < L; > 的 最大元素，则由定义7-4，有 a1 a2，a2 a1，b1 b2，b2 b1。 由反对称性得 a1 = a2，b1 = b2。 12
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定理7-5（结合律）设 < L; > 是格，则对任意的 l1, l2, l3 L， 有 (1) l1 (l2 l3) = (l1 l2) l3；(2) l1 (l2 l3) = (l1 l2) l3。
离散数学课件13.4布尔代数
有限布尔代数的表示定理
定理13.11 若B是有限布尔代数,则 B含有2n个元(n∈N), 并且B与<P(S),∩,∪,~,,S>同构, 其中S是一个n元集合.
举例
格S12,gcd.lcm是布尔代数吗? 解: S12={1,2,3,4,6,12}的元素个数6, 不是2的整数幂, 故不是布尔代数. 不难看出2没有补元,因为 2∨x=lcm(2,x)=12当且仅当 x=12, 而12的补元是1而不是2.
例
集合代数<P(S),∩,∪,~,,S>是 布尔代数.
开关代数<{0,1},∧,∨,￢,0,1>是 布尔代数,其中∧为与运算,∨为或 运算, ￢为非运算.
布尔代数有以下性质.
定埋13.10 设<B,∧,∨,',0,1>是布尔代数, 则有:
a∈B,(a’)’＝a(双重否定律), a,b∈B, (a∨b)'=a'∧b'
布尔格、布尔代数
定义13.12 如果格<L,∧,∨,0,1>是有 补分配格,则称L为布尔格,也叫做布 尔代数. 由于布尔代数L中的每个元都有唯一 的补元,求补运算也可以看成是L中的 一元运算. 因此,布尔代数L可记为<L,∧,∨,',0,1>, 其中'表示求补运算.
布尔代数的等价定义
定义13.13(公理化定义): 有两个二元运算的代 数B,*, 称为布尔代数,如果对任意元素 a,b,cB,成立
•此类布尔表达式可用带3个基本元件的电路来实 现.3个基本元件是:
①反相器
x
x’
②与门
x xy
y
③或门
x xy
y
实例之一
•实例1: 三人委员会表决某个提案,如有两张赞 成票即获通过,实现上述过程的表决机器的控制 电路如下图所示:
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5 2014-9-23
本章小结
本章我们介绍了代数格、偏序格，并证 明了这两种格的等价性，此外我们还介 绍了对偶原理、分配格、有补格、布尔 代数等概念.布尔代数是数字逻辑的基 础、在学习数字逻辑时会更深刻地体会 到布尔代数在计算机中的应用.
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6 2014-9-23来自第七章 格与布尔代数布尔代数是计算机科学最重要的基础理论之 一 , 它在开关网络及数字电路的设计上有广 泛深入的应用. 布尔代数是计算机科学工作者必备的基础知 识，应掌握格与布尔代数的一般理论和方法， 除§3 Stone定理的证明细节可根据具体情 况删减外，其他内容应很好地掌握.
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1 2014-9-23
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4 2014-9-23
第三节
布尔代数
有余的分配格称为布尔代数 , 布尔代数有 良好的代数性质 , 有相当广泛应用 , 应很 好地掌握它. 布尔代数可用相互独立的亨廷顿公理给出, 即一个代数系统 (L, ∧,∨,-,0,1)是布 尔代数当且仅当交换律、分配律、同一律 及互补律成立; 有限布尔代数同构于某个集合上的幂集构 成的布尔代数； 两个有限布尔代数同构当且仅当它们所含 的元素个数相同.
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2 2014-9-23
第一节
格的概念(2)
主要概念有:偏序格、代数格、对偶、 子格、格的同态、格的同构等. 主要结论有: 1.偏序格与代数格相互等价,是一回事, 因而统称为格; 2.格中的对偶原理成立;
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3 2014-9-23
第二节 有余格与分配格
本节讨论两类特殊的格,即有余格和分配格， 这两类格有较好的代数性质，也是比较接 近布尔代数的两类格. 主要概念有:有界格、余元素(或补元素) 、 有余格、分配格等. 主要结论有: 1.格的基本性质(见教材定理7.2.1); 2.序集构成的格是分配格; 3.在有界分配格中,若某个元素有补元,则 补元惟一.
第一节
格的概念(1)
格有两种等价的定义 : 一种是从偏序集 的角度给出格的定义，这种定义可以借 助哈斯（ Hasse ）图来表示，因而比较 直观，易于理解，这样定义的格称为偏 序格；另一种是从代数系统的角度来给 出格的定义，这种定义方法我们在上一 章的群、环的定义中已有所体会，用代 数系统的方法定义的格称为代数格.
5 2014-9-23
本章小结
本章我们介绍了代数格、偏序格，并证 明了这两种格的等价性，此外我们还介 绍了对偶原理、分配格、有补格、布尔 代数等概念.布尔代数是数字逻辑的基 础、在学习数字逻辑时会更深刻地体会 到布尔代数在计算机中的应用.
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6 2014-9-23来自第七章 格与布尔代数布尔代数是计算机科学最重要的基础理论之 一 , 它在开关网络及数字电路的设计上有广 泛深入的应用. 布尔代数是计算机科学工作者必备的基础知 识，应掌握格与布尔代数的一般理论和方法， 除§3 Stone定理的证明细节可根据具体情 况删减外，其他内容应很好地掌握.
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第三节
布尔代数
有余的分配格称为布尔代数 , 布尔代数有 良好的代数性质 , 有相当广泛应用 , 应很 好地掌握它. 布尔代数可用相互独立的亨廷顿公理给出, 即一个代数系统 (L, ∧,∨,-,0,1)是布 尔代数当且仅当交换律、分配律、同一律 及互补律成立; 有限布尔代数同构于某个集合上的幂集构 成的布尔代数； 两个有限布尔代数同构当且仅当它们所含 的元素个数相同.
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第一节
格的概念(2)
主要概念有:偏序格、代数格、对偶、 子格、格的同态、格的同构等. 主要结论有: 1.偏序格与代数格相互等价,是一回事, 因而统称为格; 2.格中的对偶原理成立;
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第二节 有余格与分配格
本节讨论两类特殊的格,即有余格和分配格， 这两类格有较好的代数性质，也是比较接 近布尔代数的两类格. 主要概念有:有界格、余元素(或补元素) 、 有余格、分配格等. 主要结论有: 1.格的基本性质(见教材定理7.2.1); 2.序集构成的格是分配格; 3.在有界分配格中,若某个元素有补元,则 补元惟一.
第一节
格的概念(1)
格有两种等价的定义 : 一种是从偏序集 的角度给出格的定义，这种定义可以借 助哈斯（ Hasse ）图来表示，因而比较 直观，易于理解，这样定义的格称为偏 序格；另一种是从代数系统的角度来给 出格的定义，这种定义方法我们在上一 章的群、环的定义中已有所体会，用代 数系统的方法定义的格称为代数格.