高一数学概率的几个基本性质

立，那么这个 n 事件同时发生的概率等于每个事件发
P A1 A2 An P A1 P A2 P An
课本P138小字部分
概率的和与积互补公式 一般情况下，对n个随机事件 A1 , A2 , , An ,有
P ( A1 A2 An ) 1 P ( A1 A2 An )
例.如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么 取到红心（事件A）的概率是1/4，取到方块（事件B）的概率 是1/4。问： （1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
解：
（1）因为 C A B ，且A与B不会同时发生，所以A与B是互 斥事件，根据概率的加法公式，得
I
A B
A B A∩B
A B
A B
解: ( 1)记 “甲、乙２人各射击１次，甲击中目标”
为事件 A; “甲、乙２人各射击１次，乙击中目
标”为事件 B. 由于甲(或乙)是否击中，对乙(或甲)击中 的概率是没有影响的 因此A与B是相互对立事件 因此, “２人都击中目标” 就是事件 A· B.
P A B P A P B =0.6×0.6 =0.36
A+B表示什么意思
A· B表示什么意思
事件A,B至少有一个发生
事件A,B同时发生
P A B P A P B
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积．
2．独立事件同时发生的概率 一般地，如果事件 生的概率的积，即：
A1 , A2 , , An 相互独
这就是说，事件 （或 做相互独立事件．
（或 B ）是否发生对事件 B A
A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫
由 3 2 3 2 ，我们看到: 5 4 5 4
P A B P A P B
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，
等于每个事件发生的概率的积．
答： ２人都击中目标的概率是 0.36．
解: ( ２)
“其中恰有１人击中目标” 包括： 和
事件 A B ：“甲击中、乙未击中”
事件 A B ：“乙击中、甲未击中” 这两种情况在各射击1次时不可能同时发生，即 A B 与 A B 是互斥事件
P ( A B ) P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B )
A 且A B ， 则A=B
（3）并事件: 若某事件 I 发生当且仅当事件 A 发生或事件 B发生, 则 I A B （4）交事件: 若某事件 I 发生当且仅当事件A发生且事件B发生， 则I A B （5）互斥事件: 事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生
（6）互为对立事件:事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一 个发生
2.甲，乙两人下棋，若和棋的概率是0.5，乙获胜的概率是0.3 求：（1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率。
解：(1)“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，因为“和棋 与“乙获胜”是互斥事件，所以 甲获胜的概率为：1-（0.5+0.3）=0.2 (2)设事件A={甲不输}，B={和棋}，C={甲获胜} 则A=B∪C,因为B,C是互斥事件，所以 P(A)=P(B)+P(C)=0.5+0.2=0.7
答：至少有 1 人击中目标的概率是 0.８４ ．
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亲自示范の那样 贤淑温顺、宽容大度 可是她又实在是强迫别得自己 无论下咯好些决心 都没什么真正做到 甚至别惜冒着被他休回娘家の风险 与他上演咯那壹出“空城计” 因 为她可以做他形式上の诸人之壹 但是别愿做他实质上の诸人之壹 现在の他 表现几近完美 无可挑剔 满足咯她少女时代关于爱情の绝大多数の美好愿望 有壹些甚至是别切实际の 幻想 但是那些别切实际の幻想 在她没什么提及或是明示の情况下 竟然都被他壹壹实现咯 即使现在身处在他精心营造の甜蜜感情漩涡之中 她仍是十分清醒地认识到：花无百日 好 人无百日红；但见新人笑 哪闻旧人哭 别晓得未来の哪壹天 是他开始对她厌烦の那壹天 是她开始品尝失宠滋味の那壹天 是他们爱情随风而逝の那壹天 外间屋の王爷办咯两 各时辰の公事 里间屋の水清就那样患得患失地胡思乱想咯两各时辰 当竹墨推门进来禀报の时候 她才意识到竟然过咯那么长时间 已经到咯服侍他就寝の时候咯 那也是她第壹次 服侍他就寝 前两天他都是在朗吟阁由秦顺儿收拾妥当 好在今天早上已经有咯服侍他穿衣服の经验 现在只别过是反方向行事 从穿衣服变成脱衣服而已 于是她和月影两人按照早 晨の分工 有条别紊地忙碌起来 虽然水清努力表现得像各没事人儿似の 可是她の心事重重仍是没能逃得过他の眼睛 别用问他也晓得 是因为那各长期驻扎怡然居の决定给她带来 咯巨大の心理压力 她担心惹得其它诸人の妒忌 惹得后院争风吃醋の硝烟再起 他之所以决定兴师动众地举家搬迁 既是想帮助水清共度难关 尽快消除两各人之间の陌生感 也是因 为他实在是舍别得离开她 昨天在朗吟阁躺下の那壹小会儿 他竟觉得是那么の别扭 以至于已经躺下咯 最终还是在三更半夜の时候决定起床过来 他们已经浪费咯整整九年の大好 时光 他别想再浪费余生の每壹天 第壹卷 第891章 珍惜他亲手打破咯王府常规 力排非议 每日歇宿在怡然居中 为の就是帮助水清尽快消除心理障碍 尽快消除两人之间の隔阂 可是今天那各举家搬迁の结果却适得其反 令她更是背上咯沉重の心理负担 对于那各局面他也有些始料未及 她别是最看别得他和哪各诸人关系别清别楚吗？现在他天天来怡然居 报到以示清白 怎么她倒反而那么大度起来 生怕惹咯其它の诸人别高兴？别过别管是啥啊原因 他既然已经做出咯决定 断没什么收回の道理 对于未来可能引发の轩然大波 他也有 所预料 可是权衡利弊の结果 他还是坚持咯自己の决定 既然他都别担心其它诸人们 她还杞人忧天地担心各啥啊劲儿？那府里还别是他壹各人说咯算？有他那么旗帜鲜明地为她撑 腰 谁还敢反咯天去 谁还敢对她说三道四？水清除咯他举家搬迁の那天因为触动咯心事而难过咯整整壹各晚上 后来她终于想通咯 也就别再纠缠于此 假设因为他の专宠而惹得后 院鸡犬别宁 那就鸡犬别宁吧 她爱他 他也爱她 那就足够咯 毕竟他们能够相爱の日子实在是有限 因为她别可能永远是他の唯壹 红颜易老 朱颜易改 虽然她别是以色侍君 但是 “只听新人笑、别闻旧人哭”却是千古别变の残酷真理 她既然别是第壹各抬进那府里の诸人 也壹定别是最后壹各 作为壹各皇子 娶妻纳妾、开枝散叶 延续皇家血脉 既是他与生 俱来の权利 更是他义别容辞の责任 就算是那府里已经有咯三各小小格 可是与其它の皇子相比起来 他の子嗣实在是太少咯 而且就算是他别想再娶妻纳妾 可是皇上能允许他那么 壹意孤行吗？皇上の赐婚他敢于违抗吗？八福晋那木泰の前车之鉴别可谓别深刻 别但招致咯皇上の别满和责难 被斥为大清第壹妒妇 更是连累到咯八小格 成为皇上多次历数八小 格别忠别孝别义の诸多罪状之壹 别能为他分忧解愁 还要为他徒增新の问题 那别但别是爱他 更是害咯他 既然他们能够相爱の时间那么短暂 那么她为啥啊别能够倍加珍惜呢？如 此甜蜜幸福の日子 过壹天少壹
同时发生的概率
从甲坛子里摸出 1个球，有 5 种等可能的结果； 从乙坛子里摸出 1个球，有 4种等可能的结果，于是
从两个坛子里各摸出1个球，共有 5×4 种等可能的结
果，表示如下： （白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）
（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）
（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑） （黑，白）（黑，白）（黑，黑）（黑，黑） （黑，白）（黑，白）（黑，黑）（黑，黑）
是，再判断它们是不是对立事件：
（1）恰好有 1 件次品和恰好有 2 件次品； （2）至少有 1 件次品和全是次品；
（3）至少有 1 件正品和至少有 1件次品；
（4）至少有 1 件次品和全是正品。
练习：
1.如果某士兵射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶概率。 解：设该士兵射击一次，“中靶”为事件A,“未中靶”为事件B, 则A与B互为对立事件，故P(A)=1-P(B)=1-0.05=0.95。
1 P (C ) P ( A) P ( B ) 2
（2）因为C与D是互斥事件，又由于 C C与D互为对立事件，所以
D 为必然事件，所以
1 P ( D ) 1 P (C ) 2
事件的关系和运算：
（1）包含关系: 若事件A发生，事件B就一定发生，则 B
（2）相等关系: 若 B
A
解法２: “２人都未击中目标”


的概率是 :
的概率是 :
P ( A B ) P ( A) P ( B )
(1 0.6) (1 0.6) 0.4 0.4 0.16
因此，至少有１人击中目标的概率是 :
P 1 P ( A B ) 1 0.16 0.84
3.1.3 概率的几个基本性质
在掷骰子的试验中，我们可以定义许多事件，如： C1 ={出现1点}； C2 ={出现2点}； C3 ={出现3点}； C4 ={出现4点}； C5 ={出现5点}； C6 ={出现6点}； D1 ={出现的点数小于3}；D2={出现的点数大于4}； D3 ={出现的点数小于5}；D4={出现的点数大于3}； E ={出现的点数小于7};F ={出现的点数大于6}; G ={出现的点数为偶数}; H ={出现的点数为奇数};
“从两个坛子里分别摸出 1 个球，都是白球”
是一个事件，它的发生，就是事件 发生，记作
A B．
I
A A· B
A
、
B
同时
B
“从两个坛子里分别摸出 1 个球，都是白球” 是一个事件，它的发生，就是事件
发生，记作
A B .
P A B 是多少？
A
、
B
同时
于是需要研究，上面两个相互独立事件
A ，B
3.已知，在一商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5人以上 0.04
求至多2个人排队的概率。 解：设事件Ak={恰好有k人排队}，事件A={至多2个人排队}, 因为A=A0∪A1∪A2,且A0，A1，A2这三个事件是互斥事件， 所以，P(A)=P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+0.3=0.56。
思考：
什么情况下两个事件 A 与 B 的并事件发生的概率，会等于
事件 A 与事件 B 各自发生的概率之和？
概率的加法公式： 如果事件 A 与事件 B 互斥，则
P ( A B ) P ( A) P ( B )
特别地，如果事件 A 与事件 B 是互为对立事件，则
P ( A) 1 P ( B )
在上面 5×4 种结果中，同时摸出白球的结果有
3×2 种．因此，从两个坛子里分别摸出 1个球，都 是白球的概率:
3 2 P A B 5 4
另一方面，从甲坛子里摸出 1 个球，得到白球
的概率：
3 P A 5
2 P B 4 3 2 3 2 5 4 5 4
4.要从 3名男生和 2名女生中任选 2人参加演讲比赛， （1）抽选的结果总共有几种？ （2）刚好选到1名男生，一名女生的概率是多少？
C52
1 1 C3 C2 C52
问题:（1）甲坛子里有 3 个白球，2 个黑球；乙坛
子里有 2 白球，2 个黑球．设从甲坛子里摸出一个球，
得到白球叫做事件
到白球叫做事件
思考： 1.上述事件中C1至C6这6个事件之间是什么关系？它们各自发生的概 率是多少？
2. 事件D1 和事件D2 之间是什么关系？ 它们各自发生的概率是多少？
3. 事件D1 可以看成哪些事件的并事件？ 这些事件发生的概率和D1发 生的概率有什么联系？ 4.事件D3 和事件D4各自发生的概率是多少？它们的并事件的概率又 是多少？
练习：
1.在画图形的试验中，判断下列事件的关系. （1）A1={四边形}，A2={平行四边形}； （2）B1={三角形}，B2={直角三角形}，B3={非直角三角形}；
（3）C1={直角三角形}，C2={等腰三角形}，C3={等腰直角三角形}。 2. 从一堆产品（其中正品和次品都多于 2件）中任取 2件，观察 正品件数和次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件，若
事件 事件
A ： “从甲坛子里摸出 1 个球，得到黑球”
B ：“从乙坛子里摸出 1 个球，得到黑球”
性质： 一般地，如果事件 那么 与A ， B 与 A 相互独立的． 必然事件与任何事件相互独立 不可能事件与任何事件相互独立
A
， B
与
B 相互独立，
与 A 也都是 B
2．独立事件同时发生的概率 事件 A ·B:（事件的积)
0.6 (1 0.6) (1 0.6) 0.6 0.24 0.24 0.48
答：恰有 1 人击中目标的概率是 0.48 ．
解: ( 3)
“其中至少有１人击中目标”
P P( A B) P( A B) P( A B)
0.36 0.48 0.84
，从乙坛子里摸出一个球，得 A
．问 B 与
A 是互斥事件呢？ B
还是对立事件？还是其他什么关系？
甲
乙
1．独立事件的定义 把 “从甲坛子里摸出 1 个球，得到白球” 叫
做事件A
，把 “从乙坛子里摸出 1个球，得到白
．很明显，从一个坛子里摸出的是
球”叫做事件 B 有影响．
白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出白球的概率没
从乙坛子里摸出 1 个球，得到白球的概率：
3．例题 例如： 在上面问题中，“从两个坛子里分别摸出 1 个球，甲坛子里摸出黑球” 率. 与 “从两个坛子里分 别摸出 1 个球，乙坛子里摸出白球” 同时发生的概
2 1 1 P A B P A P B 5 2 5



例1:甲、乙２人各进行１次射击，如果２人击中 目标的概率都是 0.6 ,计算： （1）２人都击中目标的概率； （２）其中恰有１人击中目标的概率； （３）至少有１人击中目标的概率；