材料力学-刘鸿文 第十三章 13-3

例：图（a）所示重为P的重物于薄壁圆环顶点A，已知：EI为常数， 求A点的位移。
解：根据莫尔积分，利用对称性计算一半 在B点加单位力 P M ( ).M ( ) BC: M ( ) 2 R(1 cos ) yB 2 Rd 0 EI P 2 M ( ) R(1 cos ) 3 P R 1 cos 2 2 d 0 EI A B 3 PR 2 2 1 2 cos cos d 0 2EI
==〉(等于)
第二组力B点在第一组力A点引起的位移上所作的功。
PA AB PB BA
注：位移互等定理中位移一般用δij双角标表示，即：
i 表示位移产生的位置，
j 表示引起位移的力。
* y y * y * ( x) 1、如图所示，随着载荷P的移动，自由端B的挠度 由挠度表读出，
问方程
用莫尔积分计算的步骤： 1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程 2、将结构单独取出，在结构上施加一与所求位移对应的单位 载荷即： 求位移时施加单位力；求相对位移时施加一对相反单位力。 求转角时施加单位力偶；求相对转角时施加一对相反单位力偶。 3、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程 4、将同一段的同一种内力方程相乘积分 注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证 分段相同，并且每段自变量的基准点相同
3
A 1 C A
B
1 3 2 2sin sin 2 4 2 0

3

PR 3 PR 2 2 0.178 2EI 2 EI 0
3
B
例1:开口圆环,EI为常量,求AB之间相对水平位移 1、求原载荷引起的内力：M ( ) PRSin R
A) C1 C 2
B) B1 B 2 C ) C1 B 2 D) C 2 B1
答案：C
C1
C2
3、如图所示，一简支梁分别承受两种形式的单位力，则
A
A
C
1
VC
1
B
B
A
1
A)VC A
C )VC A B)VC A B
CE段：。。。。。
1x
1
A
2l
C
x3
D
x2
A
ql
q
ql
B
2l
C
D
B
q
5 ql 2
E
l
YA 2
F
l
YB 1
l
X A ql
E
l
11 ql 2
F
l
7 ql 2
l
3 YB ql 2
YA
AC段
1 M ( x1 ) qlx1 qx12 2
AC段 DB段 CБайду номын сангаас段
M ( x1 ) x1
AB
2
0
2 2 PR sin M ( ).M ( ) Rd d 0 EI EI
PR 2 2 cos 0 0 EI
θ
1
1
例3:开口圆环,EI为常量,求AB之间相对竖直位移 1、求原载荷引起的内力：M ( ) R
θ
PR(1 cos )
例7:选择题
y * y * ( x) 表示：
A）力P的作用点的挠度与x的关系 B）梁在自由端受集中力P的作用时的挠曲线方程 C）梁在自由端受集中力P的作用时的转角方程 D）无任何力学意义
x
P
答案：B
2、如图所示，同一刚架的两种受力形式， 若P与 M 0 数值相同， 则比较二者变形， B1 可知： B2 P M0
其中:
M ( x)M ( x) 所以： dx EI l
M ( x) 为原载荷引起 的弯矩，
M ( x)为单位载荷引起的弯矩，
注意单位载荷一定要与所求位移：在种类和位置上对应。
莫尔积分的应用范围：
线弹性结构
T ( x )T ( x ) N ( x)N ( x) dx , dx GI P EA l l


3PR3 1 EI
θ
1
例4:开口圆环,EI，GIP为常量,求AB之间垂直于纸面方向的相对位移 1、求原载荷引起的内力： R
R
P
B
A
P
R
2、求原载荷引起的内力：
M ( ) PR sin
M ( ) R sin
P T ( ) PR(1 cos )
3、求竖直相对位移，施加单位载荷


PR 3 1 2 2sin sin 2 2EI 2 4 0
3

PR 3 PR 3 2 2 0.178 2EI 2 EI 0
3

θ
B
θ
B 1
P/2
解：也可以根据莫尔积分计算整体静变形，在C点加单位力 P P M ( ) R(1 cos ) M ( ) R(1 cos ) AC: BC: 2 2
M ( ) R(1 cos )
2
P 2、求竖直相对位移，施加单位载荷 A 3、根据莫尔积分，利用对称性 B P 2 AB


0
3 PR M ( ).M ( ) 1 cos Rd 2 d 0 EI EI
2 PR3 EI


0
3 2 PR 3 1 1 2 cos cos2 d sin 2 EI 2 4 0
1 M ( ) R(1 cos ) 2

0
1 M ( ) R(1 cos ) 2
y B 2
2 M ( ).M ( ) Rd EI 3 2
P C
2 2 PR 1 cos d 0 4 EI PR 3 2 2 1 2 cos cos d 0 2EI PR 2EI
第十三章 能量方法
习题课
莫尔积分的应用： M ( x ) M ( x) dx EI 1、计算梁发生弯曲变形的位移： l 2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移： 3、计算圆轴发生扭转变形的位移：


s
M ( )M ( ) Rd EI
T ( x)T ( x) dx GI l P
M ( x2 ) P.x2 l T ( x2 ) P. 2 M ( x3 ) P.x3 T ( x3 ) P.l
弯曲变形 DA段 扭转变形 弯曲变形 FA段 扭转变形
T ( x3 ) l
4、积分：
ED段 DA段
弯曲变形 弯曲变形
M ( x1 ) P.x1 M ( x2 ) P.x2 l T ( x2 ) P. 2 M ( x3 ) P.x3 T ( x3 ) P.l
AC段
1 M ( x1 ) qlx1 qx12 2
AC段 DB段 CD段
M ( x1 ) x1
DB段 M ( x2 ) CD段
1 2 qx 2 2
M ( x2 ) 0
M ( x3 ) x3
5 1 2 1 2 M ( x3 ) qlx3 qx3 ql 2 2 2 CE段：。。。。。
三、莫尔积分的应用范围： 线弹性结构
的符号的含义： 四、 1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同 2、-：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反
组合变形：

l
M ( x)M ( x) T ( x )T ( x ) N ( x)N ( x) dx dx dx EI GI P EA l l
1 3 2 qlx qx1 1 l l 2 yE dx1 0dx2 0 0 EI 5 1 3 1 2 2 qlx3 qx3 ql x3 4 l 2 Pl 2 2 2 dx3 0 EI 3EI
11 YA ql 2
功的互等定理： 第一组力A点在第二组力B点引起的位移上所作的功
x3
B 解: 1、求原载荷引起的内力：
F
A
3、求由单位载荷引起的内力 F B ED段 弯曲变形
由于对称于y轴，仅考虑一半: M ( x1 ) P.x1 弯曲变形 ED段
M ( x1 ) x1 M ( x2 ) x2 l T ( x2 ) 2 M ( x3 ) x3
弯曲变形 DA段 扭转变形 弯曲变形 FA段 扭转变形
θ
2、求水平相对位移，施加单位载荷： P A M ( ) RSin 3、根据莫尔积分 B P
θ
M ( ).M ( ) AB Rd 0 EI 3 2 2 PR sin d 0 EI 1 3 2 PR 1 1 cos 2 d 2 EI 0
T ( ) R(1 cos )
R
4、根据莫尔积分，利用对称性
1
B
A
AB 2
2

0

0
1
T ( ). M ( ).M ( ) T ( ) Rd 2 Rd 0 EI GI P
2
3 PR PR3 sin 2 1 cos d 2 d 0 EI GI P
4、计算杆发生轴向拉压变形的位移： n N .N .l i 5、计算桁架节点位移： i 1 Ei Ai 6、计算结构组合变形的位移：
N ( x) N ( x) dx EA l
M ( x) M ( x) T ( x)T ( x) N ( x) N ( x) dx dx dx EI GI P EA l l l
2
PR 2 EI
3
1 PR sin 2 2 EI 0
2
3
例2:开口圆环,EI为常量,求AB之间相对转角 R
θ
1、求原载荷引起的内力： P B A P
M ( ) PR sin
2、求相对转角，施加单位载荷 M ( ) 1 3、根据莫尔积分:
B A B D)VC
答案：D
VC
4、两悬臂梁，设BD之间的距离为 B C
BD ，CE之间的距离为 CE ，则
A） BD 增大， CE 不变 B） BD 增大， CE 改变 C） BD 减小， CE 不变
l 2
A
x3
5Pl 3 3Pl 3 6 EI 2GI P
F B
5
例6：图示桁架，所有杆长均为L，且抗拉压刚度均为EA， 求：B点沿铅垂方向的位移。 4 分析：根据莫尔积分求桁架结点位移公式 6 N .N .l 1 i i i 3 y
A i 1

EAi
6
B
2
A 在B点沿铅垂方向加一单位力。列表如下： P 杆号 1 2 杆长 li
ED段
弯曲变形
M ( x1 ) x1 M ( x2 ) x2 l T ( x2 ) 2 M ( x3 ) x3
扭转变形
弯曲变形 DA段 扭转变形 弯曲变形 FA段 扭转变形
弯曲变形 FA段 扭转变形
T ( x3 ) l
x2
D
x1
E C
Px12 EF 2 dx1 0 EI 2 l 2 l Px 2 l Pl 2 l Px l P 2 3 2 4 2 dx2 2 dx2 2 dx3 2 2 dx3 0 EI 0 GI 0 0 EI GI P P
3PR3 EI GI P
PR3
x2
D
x1
y E P
例5:图示正方形刚架,边长为L,各部分刚度均相同, E处有一开口, 开口两侧分别作用一垂直于刚架平面的水平力P, P 求切口两侧垂直于纸面方向的水平相对位移. y D C E 1 2、求切口水平相对 x 位移，施加单位载荷 C 1 x
A
Ni
Ni
Ni N ili
Ai
l l l l l l
2P
P
3
3
4
5
3
1
3 4 A 5 6
2P 2P 2P
3P
3 3 3
3
0 0 0 0
2 3
1 3
0 0 0 0
4 Pl 3
A
A
A A A A
6
1
B
2
Pl
Pl 4 7 Pl yB ( 1) EA 3 3EA
练习: 刚架的EI为常量,求：A点竖直位移
DB段 M ( x2 ) CD段
1 2 qx 2 2
M ( x2 ) 0
M ( x3 ) x3
5 1 2 1 2 M ( x3 ) qlx3 qx3 ql 2 2 2 CE段：。。。。。
CE段：。。。。。
ql
q
ql
A
C
2l
X A ql
D
B
E
l l
F
l
3 YB ql 2