空间图形的公理(公理1,2,3)

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1.4.1-2《空间图形基本关系的认识与空间图形的公理(1、2、3)》课件(北师大版必修2)

3.平面α ∩平面β =l,点A∈α ,B∈α ,C∈β ,且Cl,AB∩l=R,
过A、B、C三点确定平面γ ,则β ∩γ =(
(A)直线AC (C)直线CR (B)直线BC (D)以上∈AB,R∈l,又α∩β=l, ∴lβ,∴R∈β,R∈γ. 又C∈β,C∈γ,∴β∩γ=CR.
示平面， l表示直线，A、B、C表示点）
（1）若A∈l,A∈α ,B∈l,B∈α ，则l α ; （2）A∈α ,A∈β ,B∈α ,B∈β ,则α ∩β =AB；（3）若l α ,A∈l,则Aα ; （4）若A、B、C∈α ,A、B、C∈β ,且A、B、C不共线，则α
与β 重合.
则上述说法中正确的个数是__________.
将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这
四条线段所在直线是异面直线的有哪几对？【解析】还原为正方体如图所示，可判断AB 与CD异面，AB与GH异面，EF与GH异面.
4.（2010·湛江高一检测）正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别
是棱AA1与CC1的中点,则经过P、B、Q三点的截面是(
(A)邻边不相等的平行四边形 (B)菱形但不是正方形 (C)矩形 (D)正方形
)
【解题提示】画截面的关键在于画面与面的交线，交线只要有两个公共点就能画出.画出截面后可计算边长判断其形状.
一、选择题（每题4分，共16分） 1.（2010·深圳高一检测）下列说法正确的是( (A)三点确定一个面 (B)四边形一定是平面图形 )
(C)梯形一定是平面图形
(D)两个平面有不在同一条直线上的三个交点【解析】选C.由公理2知A错，B错.
3
8.如图所示，在正方体
ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是

高中数学北师大版必修二 1.4.1公理1、公理2、公理3及应用课件(39张)

方法二：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，又∵A∈a，B∈b，∴AB Ø α，即l Ø α. ∵c∥b，∴c，b确定一个平面β，而B∈b，C∈c，∴BC Ø β，即l Ø β. ∴b，l Ø α，b，l Ø β，而b∩l＝B， ∴α与β重合，∴a，b，c，l共面．
方法归纳解决点线共面问题的基本方法
类型三 [例3]
多线共点和多点共线问题
已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于 P，Q，R(如图)．求证：P，Q，R三点共线．
【证明】方法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α. 又AB Ø 平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P，Q，R三点共线．方法二：∵AP∩AR＝A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR， ∵B∈平面APR，C∈平面APR， ∴BC Ø 平面APR，又∵Q∈直线BC， ∴Q∈平面APR.又Q∈α， ∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．
类型二点、线共面问题 [例2] 已知一条直线与另三条互相平行的直线都相交，求证：这四条直线共面．
【思路点拨】可运用已有的平行或相交条件，先确定一个平面，然后证明剩余元素也在这个平面内，或者由两组元素分别确定平面，然后证明两平面重合．
【解析】已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：a，b，c，l共面．证明：方法一：如图，∵a∥b， ∴a，b确定一个平面α. 又∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴l上有两点A，B在α内，即直线l Ø α， ∴a，b，l共面．即若a，l确定平面α，过l上一点B作b∥a，则b Ø α. 同理，过l上一点C作c∥a，则c也在a，l确定的平面内． ∴a，b，c，l共面．

立体几何公理定理总结

面面平行：
判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
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四．垂直
线线垂直：
平面上的判定如果直线与平面垂直，则该直线与平面内任意
一条直线垂直．
线面垂直：定义：如果Fra bibliotek条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直.
线线位置关系：平行、相交、异面．定理：空间中如果两个角的两边分别对应
平行，那么这两个角相等或互补. 线面位置关系：线在平面内、线与平面相
交、线与平面平行．面面位置关系：平行、相交．
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三．平行
线面平行：
判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
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立体几何公理定理总结
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一．公理
公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.
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二．空间位置关系
判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
性质：垂直于同一个平面的两条直线平行．
整理课件
面面垂直：
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理

第十二页，共42页。
[小组合作型]
空间点、线、面的位置(wèi zhi)关系
(1)如果 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β 的位置关系是________．
(2)如图 1-4-1，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中，哪几条棱所在的直线与直线 BC′是异面直线？
图 1-4-1
第十页，共42页。
两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
【解析】若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合．
【答案】 C
第十一页，共42页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
平面与平面的位置关系
面面平行面面相交
α∥β α∩β＝a
第五页，共42页。

高三一轮复习7.2 空间图形的基本关系与公理

第2节
空间图形的基本关系与公理
【2015年高考考纲下载】
1．理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的
位置关系的简单命题.Fra bibliotek考点梳理
一､知识结构
1．空间图形的公理两点在一个平面内，那么这 (1)公理1：如果一条直线上的_____ 条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．不在同一条直线上的三点，有且只有一个 (2)公理2：经过_________________ 平面(即可以确定一个平面)．一个公共点，那么它 (3)公理3：如果两个不重合的平面有_____ 们有且只有一条通过这个点的公共直线．
考向二
空间中两直线的位置关系
【例2】►如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中， ①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60°角； ④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
[审题视点] 还原成正四面体来判断．
解析
如图所示，GH与EF为异面直线，
BD与MN为异面直线，GH与MN成60° 角，DE⊥MN. 答案 ②③④
空间中两直线位置关系的判定，主要是异
面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线
情况．
平行、_____ 相交两种情况． (2)平面与平面的位置关系有_____
(3) 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两相等或互补．个角___________
【助学· 微博】一个理解异面直线概念的理解

空间图形的基本关系与公理(2)

符号语言公理作用

P
l
l且P l.
（1）判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共一、判定两个平面相交的依据点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线；（2）判定点在直线上的依据，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上. 二、判定点在线上的依据 10
25
4
知识探究（二）：平面的基本性质2
观察下图，你能得到什么结论？
A
C
B
5
知识探究（二）：平面的基本性质2 文字语言
公理2 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
B A C 不在同一条直线上的三点A、B、 C⇒有且只有一个平面α，使 A∈ 面α ，B∈ 面α ，C ∈ 面α
一、确定平面的依据二、判断点线共面得依据.
推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
作用：确定平面的依据
8
知识探究：平面的基本性质3 观察下图，你能得到什么结论？
天花板
墙面
P
墙面

P
a
9
知识探究：平面的基本性质3 文字语言
公理3如果两个不重合的平面有一
个公共点，那么这两个平面有且只有一条通过这个点的公共直线.
图形语言

P 且P
23
当堂练习4
下列结论正确的是（ D ） A.若两个角相等，则这两个角的两边分别平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交
24
当堂练习5
如图：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F分别是AB , BC 的中点，求证：EF∥A1C1.

立体几何公式定理大全

立体几何公式定理大全、公理定理（一）平面基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

（二）空间中两条直线的位置关系空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角。

范围为0 , 90两异面直线间距离: 公垂线段（有且只有一条） 2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面三）平行关系1．线面平行定义：直线和平面没有公共点判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

2．面面平行定义：空间两平面没有公共点判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

性质定理引理：两个平面互相平行则其中一个平面内的直线平行于另一个平面。

性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

（四）垂直关系1线面垂直定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

高中数学-8.3 空间图形的基本关系与公理

知识梳理知识梳理双击自测核心考点学科素养
考纲要求
-3-
1.空间图形的公理 (1)公理1:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面). 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (2)公理2:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内). (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线. (4)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
考点1 考点2 考点3
8.3
空间图形的基本关系与公理
知识梳理双击自测核心考点核心考点学科素养
考纲要求
-18-
知识方法
易错易混
对点训练2 (1)如图,G,N,M,H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则直线GH,MN是异面直线的图形有 .(填上所有正确答案的序号)
关闭
题图①中,直线GH∥MN; 题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面; 题图③中,连接MG,GM∥HN, 因此GH与MN共面; 题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面.
解析
答案
第八章 1 2 3 4 5
8.3
空间图形的基本关系与公理
知识梳理双击自测双击自测核心考点学科素养
考纲要求
-11-
自测点评 1.做有关平面基本性质的判断题时,要抓住关键词,如“有且只有”“只能”“最多”等. 2.两个不重合的平面只要有一个公共点,那么两个平面一定相交且得到的是一条直线. 3.异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点的直线.不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.

1.4.1空间图形基本关系的认识1.4.2__空间图形的公理(公理1、2、3)

D A B
C 共点B′，经过点B有且只有一条过该点的
公共直线B′C′.
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么
它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
P l , 且P l

P
l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
1、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
（5）空间平面与平面的位置关系有两种： I 如图②中，平面α和平面β没有公共点，这样
的两个平面叫作平行平面，记作:α∥β； II 如图③中，平面α和平面β不重合，但有公共点，
这样的两个平面叫作相交平面.
思考交流
1. 观察图①②③所示的长方体，再举出一些点、线、面
的位置关系的例子.
2.
观察你周围的一些实物，指出一些点、线、面的位置
关系.
课堂探究2
空间图形的公理思考1：如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？
思考2:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否在
平面α 内？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这
条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）．

A
l B
A l ,B l ,A ,B l
作用：

在生产、生活中，人们经过长期观察与实践，总结出关于平面的一些基本性质，我们把它作为公理．这些公理是进一步推理的基础．
判定直线是否在平面内．
思考3：我们知道，两点确定一条直线.那么怎样确定一个

空间图形的基本关系与公理课件

工具
第七章
立体几何
栏目导引
【变式训练】 3.下列四个命题：
①若直线a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c是异面直线； ②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交； ③若a∥b，则a、b与c所成的角相等； ④若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 其中真命题的个数是( A．4 C．2 ) B．3 D．1
A．1条
C．3条
B．2条
D．4条
解析：
连接AC1，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过
点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD， AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条．答案： D
工具
第七章
立体几何
栏目导引
2．(2009·湖南卷)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( A．3 C．5 ) B．4 D．6
∴EF∥CD1.
故E、F、D1、C四点共面．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1，所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内．同理，P在平面ABCD内， ∴P在平面A1ADD1与平面ABCD的交线DA上，
【阅后报告】
该题难度较小，第(1)问的关键在于“找到角”，
而第(2)问关键在于证明BM⊥平面A1B1M，这些方法是解决立体问题常用
思路．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
1．(2010·江西卷)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l 与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )

2021学年高中数学第1章立体几何初步§4第1课时空间图形的公理公理123ppt课件北师大版必修2

4．据图填入相应的符号：A________平面 ABC，A________平面 BCD，BD________平面 ABC，平面 ABC________平面 ACD＝AC.
[答案] ∈ ∉
∩
合作探究释疑难
三种语言的相互转换【例 1】用符号表示下列语句，并画出图形． (1)平面 α 与 β 相交于直线 l，直线 a 与 α，β 分别相交于点 A，B； (2)点 A，B 在平面 α 内，直线 a 与平面 α 交于点 C，点 C 不在直线 AB 上．
[跟进训练] 1．(1)如果 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么 l 与 α 的位置关系是________．
(2)如图，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中，哪几条棱所在的直线与直线 BC′是异面直线？
(1)直线 l 在平面 α 内 [如图，l 上有两点 A，B 在 α 内，根据公理 2，l α.]
A．P∈a，a∥α
B．a∩α＝P
C．P∈a，P∉α
D．P∈a，a α
[答案] C
2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
C [若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点
不在同一直线上，则这两个平面重合．]
3．如下所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是( ) D [画空间图形时，被遮挡部分应画成虚线，故选 D.]
对于长方体有 12 条棱和 6 个面．思考 1：12 条棱中，棱与棱有几种位置关系？提示：相交，平行，既不平行也不相交．思考 2：棱所在直线与面之间有几种位置关系？提示：棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交．

空间图形的公理

① Q A ⊂ α , B ⊂ α ∴ AB ⊂ α ③ Q A ∉ a, a ⊂ α ∴ A ∉ α ② Q A ∈ α , B ∈ α ∴ AB ∈ α ④ Q A ∉α , a ⊂ α ∴ A ∉ a
④ 其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是_______________．其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是．
1．点P在直线上，而直线在平面α 内，用符号表示为（ D ）．在直线l上而直线l在平面用符号表示为（在直线
P A． ⊂ l ⊂ α ．
C． ⊂ l ∈ α ． P
B． ∈ l ∈ α ． P D． ∈ l ⊂ α ． P
2．下列推理，错误的是（ C ）．下列推理，错误的是（ A．A ∈ l , A ∈ α , B ∈ l , B ∈ α ⇒ l ⊂ α ． B．A ∈ α , A ∈ β , B ∈ α , B ∈ β ⇒ α I β = AB ．
平面的基本性质
证法二：证法二：因为A∉ 直线BC上因为 ∉ 直线上，
B A C
所以过点A和直线确定平面（推论1）所以过点和直线BC确定平面α.（推论）和直线确定平面α 因为A∈α， B∈BC，所以 ∈α. 因为 ∈ ∈ ，所以B∈ 同理AC ⊂ α，故AB ⊂ α，同理所以AB，，共面共面. 所以，AC，BC共面
平面的基本性质
B
证法三：证法三：
A
C
因为A，，三点不在一条直线上三点不在一条直线上，因为，B，C三点不在一条直线上，要证各线共面，先确定一个平面，要证各线共面，先确定一个平面，所以过A，，三点可以确定平面（公理3）三点可以确定平面α 再证明其他直线也在这个平面内。所以过，B，C三点可以确定平面α.（公理再证明其他直线也在这个平面内。）因为A∈ 所以AB ⊂ α.（公理）因为 ∈α，B∈α，所以 ∈ （公理1）同理BC ⊂ α，AC ⊂ α，同理所以AB，，三直线共面三直线共面. 所以，BC，CA三直线共面

空间图形基本关系的认识及公理123

【微思考】 (1)四边形一定能确定一个平面吗？提示：不一定，如空间四边形不能确定平面. (2)两个平面有三个公共点，这两个平面重合吗？提示：不一定，当三点在同一直线上时，不能判定两个平面重合；当三点不在同一条直线上时，根据不共线的三点确定一个平面可知两平面重合.
【即时练】 (2014·南昌高一检测)下列说法： ①空间不同的三点可以确定一个平面； ②如果线段AB在平面α内，那么直线AB一定在平面α内； ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 其中错误的说法是________(填序号).
A.AB∩α=C
B.AB α
C.C∈α
D.C∉α
(2)已知如图，直线a∥b，直线l∩a=A，直线l∩b=B，求证：直
线a，b，l共面.
【解题探究】1.题(1)中A∈平面α，B∈平面α，说明什么问题？ 2.题(2)中，由a∥b可得到什么结论？怎样才能说明a，b，l 共面？【探究提示】1.A∈平面α，B∈平面α，说明AB 平面α.
2.对公理1的两点说明 (1)“不在同一条直线上的三点”的含义 ①经过一点，两点和在同一条直线上的三点可能有无数个平面； ②任意给定不在同一条直线上的四个点，不一定有一个平面同时过这四个点. (2)“有且只有一个”的含义这里“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，公理 1强调的是存在和唯一两个方面.
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两两相交的三条直线确Байду номын сангаас一个平面.( ) (2)经过一条直线和一个点确定一个平面.( ) (3)如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点.( )
【解析】(1)错误.两两相交的三条直线交于一点，可能确定三个平面，故错误. (2)错误.若点在直线上，则无法确定一个平面. (3)错误.平面α与平面β相交有无数个公共点. 答案：(1)× (2)× (3)×

立体几何-空间图形的基本关系与公理1

空间图形的基本关系与公理研究对象：点、线、面的关系三种语言：文字语言、符合语言、图形语言（看图说话）点线关系：点在线上、点在线外点面关系：点在面上、点在面外线线关系：平行、相交、异面线面关系：线面平行、线面相交、线在面内面面关系：面面平行、面面相交公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

公理2：不共线的三点，可以确定一个平面。

推论1：直线和直线外的一点可以确定一个平面推论2：两条平行直线可以确定一个平面。

推论3：两条相交直线可以确定一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线（两个平面的交线）。

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行（平行的传递性）。

等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所组成的锐角（或直角）相等。

异面直线a 、b 所成角：过空间任意一点P 分别引两条异面直线a 、b 的平行线1l 、2l ()12//,//a l b l ，这两条相交直线所成的锐角（或直角）就是异面直线a 、b 所成角。

如果两条异面直线所成的角是直角，我们称这两条直线互相垂直，记作a b ⊥。

论证点、线共面的通法之一，即证部分元素确定一个平面，再证余下元素也在平面内。

论证点、线共面的通法之二，即根据确定平面的条件，先证各部分元素分别确定平面，再证这些平面有相同的确定平面的条件，即重合。

点共线、线共点：依据是公理3，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线（两个平面的交线）。

证明多点共线：通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点在这条直线上，或者根据已知条件设法证明这些点在两个相交平面内，然后根据公理2就得到这些点在两个平面的交线上。

证明多线共点：可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后再证另两条直线的交点在此直线上。

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B．两条直线确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．不共面的四点可以确定4个平面
2. 下列命题中正确的是（ B ） A ．空间三点可以确定一个平面 B ．三角形一定是平面图形 C ．若 A ， B ， C ， D 既在平面 α 内，又在平面 β 内，则平面 α 和平面 β 重合 D ．四条边都相等的四边形是平面图形

B
A l ,B l ,A ,B l

作用：判定直线是否在平面内．
思考5：观察长方体，你发现长方体的两个平面有
什么位置关系？
D
A
提示：两个平面平行或者相交．
C
B
平面与平面的公共直线叫作交线.
D
C
A B
思考6:把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所
在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
思考4:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否
在平面α 内？提示：实际生活中，我们有这样的经验：把一把直尺
边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整
个边缘就落在了桌面上．
在平面α内
公理2
如果一条直线上的两点在一个平面内，那
么这条直线在此平面内（即直线在平面内）．
A l 公理是进一步推理的基础．

B
提示：不只相交于一点B，如下图所示：

B
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那
么它们有且只有一条过该点的公共直线．
P l, 且 P l

P
l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
1．下列说法中正确的是( D )
A．经过三点确定一个平面
3.培养空间想象能力及运用图形语言进行交流的能力 .
探究点1
空间图形基本关系的认识
思考：观察长方体，你能发现长方体的顶点与棱所在的直线、侧面、底面之间的位置关系吗？
D
A
C
B
提示：有些点在棱所在的直线上，有些点在棱所在的直线外；有些点在侧面或底面内，有些点在侧面或
D
C
A B
底面外，等等．
确定一个平面呢？
用三角架支撑照相机．
测量员用三角架支撑测量仪器平板仪．
公理1
过不在一条直线上的三点，有且只有一
个平面（即可以确定一个平面）．
B

A
C
确定平面的主要依据．
经过不在同一条直线上的三个点A，B，C
的平面α，又可记作“平面ABC”．
A,B,C不共线 ⇒ A,B,C确定一个平面
思考2：（1）一条直线和直线外一点,可以确定一个平
a I b = l ,a 在（2）中，
a ,b
b,a I l = P,b I l = P.
实例引入空间图形的基本关系
点、直线、平面的位置关系
平面三个公理
空间图形
文字叙述
符号表示
不能自助的人也难以受到别人的帮助.
故选B．
3.下列图形中不一定是平面图形的是（ D ） A．三角形 B．梯形 C．对角线相交的四边形
D．边长相等的四边形
【解析】选D.由不共线的三点确定一个平面，知三角形是平面图形，故A一定是平面图形；由两条平行线确定一个平面，知梯形是一个平面图形，故B一定是平面图形；由两条相交直线确定一个平面，知对角线相交的四边形是平面图形，故C一定是平面图形；边长相等的四边形有可能是平面图形，也有可能是空间四边形，故D不一定是平面图形．故选D．
② 4.下列平面内 ③三条互相平行的直线必共面 ④ 四条线段顺次首尾连接，构成平面图形
5.如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．

a

a P l b
（2）

A l
B

（1）
a I b = l ,a I a = A,a I b = B. 解：在（1）中，
如图①，B∈b,B Ï a.
（2）空间点与平面的位置关系有两种: 点在平面内和点在平面外.
B 蝍 ,A 蟖 . 如图①，
思考交流 1. 观察图①②③所示的长方体，再举出一些点、线、面的位置关系的例子. 2. 观察你周围的一些实物，指出一些点、线、面的位置关系.
探究点2：空间图形的公理思考1：我们知道，两点确定一条直线.那么怎样
面吗?
提示：可以.
（2）两条相交直线,可以确定一个平面吗？
提示：可以.
（3）两条平行直线,可以确定一个平面吗？提示：可以.
提升总结：三条结论 1. 一条直线和直线外一点确定一个平面.
2. 两条相交直线确定一个平面.
3. 两条平行直线确定一个平面.
思考3：如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？提示：不一定.
§4 空间图形的基本关系与公理
4.1 空间图形基本关系的认识
4.2 空间图形的公理（公理1,2,3）
空间图形是丰富的，它由一些基本的图形：点、线、面组成,认识清楚它们的位置关系，对于我们认识空间图形是很重要的，今天我们就来学习这些关系！
1.通过长方体这一常见的空间图形，了解空间图形的基本构成----点、线、面的基本位置关系.（难点） 2.掌握空间图形的三个基本公理.（重点）
【解析】选B.A、根据公理1知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A不对； B 、因为三角形的 3 个顶点不共线，所以由公理 1 知一定确定一个平面，故B正确； C 、当 A ， B ， C ， D 四点在两个平面的交线上时，满足是两个平
面的交点，但是这两个平面相交，故C不对；
D、比如空间四边形则不是平面图形，故D不对．
D
A
C
B
D
C
问题1：观察上述长方体，并填空 .
A
B
①长方体共有 8 个顶点,有 12 条棱，有 6 个面；
②归纳一下，空间图形通常由点、线、面组成.
问题2：观察并归纳点与线、面之间的位置关系有哪些.
a A A
b
a

c ① B

b ②

③
（1）空间点与直线的位置关系有两种. 点在直线上和点在直线外.