任意角与弧度制导学案.doc
北师大版4.1.3 任意角和弧度制及任意角的三角函数导学案
【导学释疑】
1.已知sin = ,cos = ,若 是第二象限角，求实数a的值. .
2.（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；
（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
3.设 为第三象限角，试判断 的符号. ＜0.
4.角 终边上的点P与A（a，2a）关于x轴对称（a≠0），角 终边上的点Q与A关于直线y=x对称，
A.-3B.3或
C.- D.-3或-
答案C
【学生小结】
谈谈学完本节课有什么收获？
教学反思
4、掌握三角函数在各个象限的符号
5.会做出某角的三角函数线
三、教学过程
【温故知新】
一、选择题
1.已知cos ·tan ＜0,那么角 是（）
A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角
2.若0＜x＜ ，则下列命题中正确的是（）
A.sinx< B. sinx> C. sinx< D. sinx>
答案D
3.与610°角终边相同的角表示为
A.k·360°+230°(k∈Z)B.k·360°+250°(k∈Z)
C.k·360°+70°(k∈Z)D.k·360°+270°(k∈Z)
答案B
4.已知（ ）sin2 ＜1,则 所在象限为
A.第一或第二象限B.第二或第四象限
C.第二或第三象限D.第一或第三象限
求sin ·cos +sin ·cos +tan ·tan 的值.-1.
【检测反馈】
5.已知点P（tan ，cos ）在第三象限，则角 的终边在第几象限（）
高二数学必修四《任意角和弧度制》教案
【导语】⾼⼆时孤⾝奋⽃的阶段，是⼀个与寂寞为伍的阶段，是⼀个耐⼒、意志、⾃控⼒⽐拚的阶段。
但它同时是⼀个厚实庄重的阶段。
由此可见，⾼⼆是⾼中三年的关键，也是最难把握的⼀年。
为了帮你把握这个重要阶段，⾼⼆频道整理了《⾼⼆数学必修四《任意⾓和弧度制》教案》希望对你有帮助！！ 教案【⼀】 教学准备 教学⽬标 ⼀、知识与技能 (1)理解并掌握弧度制的定义;(2)领会弧度制定义的合理性;(3)掌握并运⽤弧度制表⽰的弧长公式、扇形⾯积公式;(4)熟练地进⾏⾓度制与弧度制的换算;(5)⾓的集合与实数集之间建⽴的⼀⼀对应关系.(6)使学⽣通过弧度制的学习，理解并认识到⾓度制与弧度制都是对⾓度量的⽅法，⼆者是辨证统⼀的，⽽不是孤⽴、割裂的关系. ⼆、过程与⽅法 创设情境,引⼊弧度制度量⾓的⼤⼩,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运⽤弧长公式和扇形⾯积公式.以具体的实例学习⾓度制与弧度制的互化,能正确使⽤计算器. 三、情态与价值 通过本节的学习，使同学们掌握另⼀种度量⾓的单位制---弧度制，理解并认识到⾓度制与弧度制都是对⾓度量的⽅法，⼆者是辨证统⼀的，⽽不是孤⽴、割裂的关系.⾓的概念推⼴以后,在弧度制下,⾓的集合与实数集之间建⽴了⼀⼀对应关系:即每⼀个⾓都有的⼀个实数(即这个⾓的弧度数)与它对应;反过来，每⼀个实数也都有的⼀个⾓(即弧度数等于这个实数的⾓)与它对应，为下⼀节学习三⾓函数做好准备 教学重难点 重点:理解并掌握弧度制定义;熟练地进⾏⾓度制与弧度制地互化换算;弧度制的运⽤. 难点:理解弧度制定义，弧度制的运⽤. 教学⼯具 投影仪等 教学过程 ⼀、创设情境，引⼊新课 师：有⼈问：海⼝到三亚有多远时，有⼈回答约250公⾥，但也有⼈回答约160英⾥，请问那⼀种回答是正确的?(已知1英⾥=1.6公⾥) 显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢?那是因为所采⽤的度量制不同，⼀个是公⾥制，⼀个是英⾥制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英⾥=1.6公⾥. 在⾓度的度量⾥⾯，也有类似的情况，⼀个是⾓度制，我们已经不再陌⽣,另外⼀个就是我们这节课要研究的⾓的另外⼀种度量制---弧度制. ⼆、讲解新课 1.⾓度制规定：将⼀个圆周分成360份，每⼀份叫做1度，故⼀周等于360度，平⾓等于180度，直⾓等于90度等等. 弧度制是什么呢?1弧度是什么意思?⼀周是多少弧度?半周呢?直⾓等于多少弧度?弧度制与⾓度制之间如何换算?请看课本，⾃⾏解决上述问题. 2.弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆⼼⾓叫做1弧度⾓，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). (师⽣共同活动)探究:如图,半径为的圆的圆⼼与原点重合,⾓的终边与轴的正半轴重合,交圆于点,终边与圆交于点.请完成表格. 我们知道，⾓有正负零⾓之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，⼀般地,正⾓的弧度数是⼀个正数，负⾓的弧度数是⼀个负数，零⾓的弧度数是0,⾓的正负主要由⾓的旋转⽅向来决定. ⾓的概念推⼴以后,在弧度制下,⾓的集合与实数集R之间建⽴了⼀⼀对应关系:即每⼀个⾓都有的⼀个实数(即这个⾓的弧度数)与它对应;反过来，每⼀个实数也都有的⼀个⾓(即弧度数等于这个实数的⾓)与它对应. 四、课堂⼩结 度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学⽤表》进⾏;在具体运算时，“弧度”⼆字和单位符号“rad”可以省略如：3表⽰3radsinp表⽰prad⾓的正弦应确⽴如下的概念：⾓的概念推⼴之后，⽆论⽤⾓度制还是弧度制都能在⾓的集合与实数的集合之间建⽴⼀种⼀⼀对应的关系。
人教A版数学四1.1任意角导学案
1.1任意角和弧度制§1.1.1任意角 使用时间:【使用说明及学法指导】1. 先精读一遍教材P 2～P5,完成P5的练习，用红笔进行勾画；再针对导学案问题导学部分二次阅读并回答，时间不超过50分钟；2.限时完成导学案合作探究部分，书写规范。
3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；4.必须记住的内容：○1任意角的概念（正确理解正角、负角、零角的概念，关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针还是没有动）○2认识终边相同的角（其核心是周期现象）（理解终边相同的角之间的关系）并会用集合语言简单表示；○3会判定给定角的终边所在位置。
【学习目标】1.自主学习，合作探究学会 .○1．理解任意大小的角、正角、负角和零角概念；○2．掌握终边相同的角的表示；○3．了解象限角、区间角、终边在坐标轴上的角集合的表示。
2.激情投入，享受学习成功的快乐一．问题导学：复习 1：回忆初中所学的角是如何定义？角的范围？角可以看成平面内一条 绕着 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 如图，一条射线由原来的位置 OA ，绕着它的端点 O 按逆时针方向旋转到终止位置 OB ，就形成角α. 旋转开始时的射线 OA 叫做角的 ，OB 叫 ，射线的端点 O 叫做叫α的顶点． 初中所研究的角的范围为 ． 复习 2：举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ ①体操比赛中术语：“ 转体720°” （ 即转体 周），“转体 1080°” （ 即转体 周）；②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（ 时针旋转 度）如果慢了 5 分钟，又该如何校正？（ 时针旋转 度）二．合作探究探究任务一：角的概念问题：上面的实例中，已经形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围．如何重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法呢？新知：按逆时针方向旋转所形成的角叫 角，按顺时针方向旋转所形成的角叫 角，未作任何旋转所形成的角叫 角．试试：图 2 中的角a 是正角，为 ；图 3中的角β、γ是负角，分别为 、 ．BO α图2 图3再试试画出－45 °及405°．反思：角的概念推广到了，包括任意大小的角、角和角．探究任务二：坐标系中讨论角问题：如何将角放入坐标系中讨论？角的顶点与重合，角的与x轴的非负半轴重合．新知：角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．试试：在坐标系中表示300°、390°、－330°角，并判别它们分别在第、、象限．反思：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？探究任务三：终边相同的角问题：与60°终边相同的角有、、、…都可以用代数式表示为．与α终边相同的角如何表示？新知：与α角终边相同的角,都可用式子k×360°＋α表示，k∈Z，写成集合为：．试试：与390°终边相同的角可表示为，也可以表示为．反思：给定顶点、终边、始边的角有个. 终边相同的角相等；但相等的角，终边相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．※典型题例1 在0°～360°间，找出下列终边相同角：（1）－150°；（2）1040°；（3）－940°变式：写出与下列终边相同的角的集合，并写出－720°～360°间角．（1）120°；（2）－270°；（3）1020°例 2 写出终边在下列位置上的角的集合：（1）y 轴； （2）直线y =x ．变式：终边在坐标轴上呢？第一象限呢？小结：0°～360°是指 ；注意区分终边相同的角、象限角、区间角的表示．※ 动手试试练 1. 如图，终边落在 OA 位置时的角的集合是__ ；终边落在OB 位置，且在－360°～360°内的角的集合是_ _ ；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是 _．练 2. 写出终边在直线 y =－x 的角的集合．三、总结提升※ 学习小结1．角的推广；2．象限角的定义；3．终边相同角的表示；4．终边落在坐标轴时等；5．区间角表示．※ 知识拓展第一象限角：｛α |..36036090k k α︒<<︒+︒，k ∈Z }第二象限角：｛α|..36090360180k k α︒+︒<<︒+︒，k ∈Z }第三象限角：｛α|..360180360270k k α︒+︒<<︒+︒，k ∈Z }第四象限角：{α|..360270360360k k α︒+︒<<︒+︒，k ∈Z }学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1．460° 是（ ）.A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2．在 0°～360°范围内，与-60 °终边相同的角是（ ）.A ．30°B ．60°C ．300°D ．330°3．0°～90°间的角可表示为（）.A．{α| 0°<α< 90°} B．{α| 0°≤α< 90°}C．{α| 0°<α≤90°} D．{α| 0°≤α≤90°}4. 一个角为30°，其终边按逆时针方向旋转一周后的角的度数为.5. 集合M＝{α=k×90︒，k∈Z}中，各角的终边都在.课后作业1．在0°～720°间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1）－120°；（2）760°.2．分别写出在下列位置上的角的集合：（1）y 轴负半轴；（2）轴；（3）第一、三象限角平分线；（4）第四象限角平分线．四.合何作探究：1.在0°～360°范围内，找出与－950°12′终边相同的角有；它是第象限角。
弧度制
) 15、 类）扇形 （B 的面积为 ，它的周长为 ，求扇形圆心角的弧度数
3
3
(B)－
3
(C)
(D)－
6
4、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 (A) (B)
2 3
(
)
(C) 3
(D)2 ( (D) π+α ，终边在一、三象限的角平分线上的角 β 的集合 O
AOB 的弧度数
AOB 的度数
B
y
r
2 r
r
2r
A x
0
180 180
1 2
O
强化：
度；
弧度． ②终边在 y 轴上的角的集合
〖例 2〗 ：用弧度制表示：①终边在 x 轴负半轴上的角的集合
③终边在坐标轴上的角的集合
4、思考:如果一个半径为 r 的圆的圆心角 所对的弧长是 l ,那么 a 的弧度数是多少?
数学是人类思考中的最高成就（米斯拉）
5、 若 α 是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 (A)
2
)
-α
(B)
2
+α
(C)2π-α
16、 类）如下图，圆周上点 A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知 A 点 1 分钟转过 θ (0＜θ＜π)角，2 分钟 （A 到达第三象限，14 分钟后回到原来的位置，求 θ. y A x
弧度制与角度制之间如何换算？
3、 探究:如图,半径为 r 的圆的圆心与原点重合,角 的终边与 x 轴的正半轴重合,交圆于点 A ,终边与圆交 于点 B .请完成表格. 〖例 1〗（1）把 67 30' 化成弧度 ： 弧 AB 的长
高中数学教案《任意角和弧度制》
教学计划：《任意角和弧度制》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握任意角的概念，熟悉角度制与弧度制的转换方法，掌握利用弧度制进行简单三角函数的计算。
2.过程与方法：通过直观演示和抽象概括，引导学生自主探究任意角与弧度制的定义及性质；通过例题解析和课堂练习，提高学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和探究精神；通过学习任意角和弧度制，让学生体会到数学知识的连续性和统一性。
二、教学重点和难点●教学重点：任意角的概念，角度制与弧度制的转换，弧度制下三角函数的基本性质。
●教学难点：理解并接受弧度制作为角的另一种度量方式，以及利用弧度制进行三角函数的计算。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●情境导入：以生活中的实例（如钟表指针的转动、体操运动员的旋转动作）为例，引导学生思考角的度量不仅仅局限于0°到360°之间，从而引出任意角的概念。
●定义揭示：明确任意角的定义，包括正角、负角和零角，强调角的旋转方向和度量范围。
●激发兴趣：简述历史上角度制与弧度制的发展过程，引起学生对弧度制的好奇心。
2. 讲授新知（约15分钟）●弧度制介绍：详细介绍弧度制的定义，即弧长与半径的比值，强调弧度制在三角学和微积分中的重要性。
●转换方法：讲解角度制与弧度制之间的转换公式，并通过具体例子演示转换过程。
●性质探讨：引导学生探讨弧度制下三角函数的基本性质，如正弦、余弦和正切函数的周期性、奇偶性等。
3. 直观演示与操作（约10分钟）●单位圆与弧度制：利用多媒体或实物教具展示单位圆上的角度与弧度的对应关系，加深学生对弧度制的理解。
●互动操作：让学生在纸上绘制单位圆，并尝试用尺子量取特定弧长，计算对应的弧度值，以增强感性认识。
●小组讨论：组织学生讨论角度制与弧度制的优缺点，促进知识的内化和吸收。
4. 例题解析与练习（约15分钟）●例题解析：选取典型例题，如角度制与弧度制的转换、利用弧度制计算三角函数值等，进行详细解析，展示解题步骤和思路。
任意角和弧度制》优秀教学教案教学设计
5.1.2 弧度制本节课是普通高中教科书人教A版必修第一册第五章第一节第二课，本节课起着承上启下的作用:在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”，并且上节课学了任意角的概念,将角的概念推广到了任意角;本节课作为三角函数的第二课时,该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备,因此本节课还起着启下的作用。
通过本节弧度制的学习,我们知道实数与角之间一一对应的关系，而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。
另外弧度制为今后学习三角函数带很大方便。
A.理解角集与实数集的一一对应，熟练掌握角度制与弧度制间的互相转化；B.能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题；C.找出弧度与角度换算的方法，领悟从特殊到一般的思想方法。
1.教学重点：角度制与弧度制间的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明；2.教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题。
多媒体任意角的集合 实数集R例3.利用弧度制证明下列扇形的公式：（1）2R 21S 2αα==）（R l lR 21S 3=）（。
（其中R 是扇形的半径，l 是弧长，为圆心角（)20παα<<，S 是扇形的面积）。
三、达标检测由于弧度制是一个新的角单位制的概念,主要是让学生理解弧度制的意义,重点是让学生能正确进行弧度制与角度制的换算,并理解任意角的集合与实数集之间建立一一对应的关系,关键是让学生学会类比思想,并让学生学会在弧度制下的弧长公式,及扇形的面积公式。
学生在学习弧度制的时候主要是对弧度制理解的不够透彻,可能是因为新的概念,所以有大部分学生还不够熟悉,在讲解习题的时候我就逐层深入的讲解,所以学生反映还是不错。
只是学生的作业还是做得不太好。
所以在讲解作业的时候要继续加强弧度制的定义的理解。
任意角、弧度制小结学案
1.1.3 任意角、弧度制小结【学习目标】 1．通过小结形成知识网络，更加熟练、系统地掌握和运用本小节的知识点；2．能正确表示某一范围的角；能熟练应用弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，能求有关扇形面积的最值等.【学习重点】（1）角的集合表示；（2）弧长公式、扇形面积公式的灵活运用【难点提示】构建知识网络、灵活运用解决实际问题.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材110P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一．知识梳理请感悟上面的知识网络（建议自己在电脑自作），主动复习教材中相关知识，并将各知识内容填写在横线上或空白处.二、热身练习1.在直角坐标系中，若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系是（ ）90;90360();A B k k Z βαβα=+=++⋅∈． ．90;90360();C D k k Z βαβα=±=±+⋅∈． ．任意角、弧度制任意角弧度制角的概念象限角 同终边上的角 轴上角 正角负角零角弧度制的概念 弧度制与角度制互化弧长、面积公式{}{},,,n Z Y k Z ⋅∈=±⋅∈２．集合Z ＝x ｜x=(2n+1)180x ｜x=(4k 1)180之间的关系是（ ）.;.;.;..A Z Y B Z Y C Z Y D Z Y ≠≠⊂⊃= 与之间的关系不确定三、典例赏析例1 写出如图(0)y x x =±≥所夹区域内的角的集合．思路启迪 以两条射线为终边上的角是多少度（或弧度）？再看周期性吧！解：解后反思 你是怎样理解题的？求解该题的关键点、易错点在哪里？变式练习 写出终边在四个象限角平分线上的角的集合.解：例2.已知α是第二象限角，试求下列角的范围与所在的象限：(1) 3α；(2) 3α．思路启迪：准确写出α，在33αα、的范围，根据求出的范围，运用数形结合，试试看.解后反思（1）若例2中的α分别是第一象限、第三象限、第四象限的角，怎样确定 33αα、所在象限？有规律吗？各自的周期是多少？（2）解答本题用到了什么数学思想方法？该题中33ααα、、的范围还有不同的写法吗？角的两种制度能用在同一个表达式中出现吗？变式练习 已知α是第三象限角，试求角4α与2α的范围和所在的象限. 解：例3（１）已知扇形OAB 的圆心角α为120，半径6r =，求弧长AB 及扇形面积． （２）已知扇形周长为20cm ，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？解：解后反思 在第（1）问中，应怎样选择公式更好？第（2）问是一道什么题型，求解时 的入手点在哪里？易错点在哪里？变式练习 已知圆中一条弦的长等于半径r ，求：（1）这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧组成的弓形的面积.解：例4. 2003年10月15日9时，中国首位航天员杨利伟乘坐的“神舟”五号载人飞船， 在酒泉卫星发射中心用“长征二号F ”型运载火箭发射升空，按规定轨道3地球14圈，在太空飞行21小时18分，16日6时23分在内蒙古中部地区成功着陆，中国首次载人航天飞行任务获得圆满成功.视飞船在地面343千米的太空中绕地球做匀速圆周运动，90分钟绕地球一圈，地球的平均半径为6378千米，计算：（1）飞船绕地球14圈共转过的度数是多少？（2）在太空飞行中，杨利伟与家人进行了一次特别的通话，通话时间持续4分50秒，在这段时间内，杨利伟所乘坐的飞船转过的角度是多少？飞船走了多少千米（不考虑其他因素，计算时取 3.14π≈）？解：解后反思 该题是什么题型？求解它的思想方法是什么、步骤如何？变式练习 在以原点为圆心半径为4的圆周上，动点P 、Q 从点A （4,0）出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟旋转3π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟旋转6π弧度，求P 、Q 第一次相遇时所用的时间，相遇点的坐标及P 、Q 各自走过的弧长.解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：知识网络理解了吗？里面的知识内容都掌握了吗？本节课有哪些题型？运用了哪些思想方法求解的？有哪些需要我们注意的？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？（学习链接——阅读材料）五、学习评价1将分针拨慢10分钟，则分钟转过的弧度数是（ ） A.3π B.－3π C.6π D.－6π2.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）A.2B.1sin 2 C.1sin 2 D.2sin 3.集合A={},322|{},2|Z n n Z n n ∈±=⋃∈=ππααπαα， B={},21|{},32|Z n n Z n n ∈+=⋃∈=ππββπββ，则A 、B 之间关系为（ ） A. A B ⊂ B. B A ⊂ C. B ⊂A D. A ⊂B4.在半径为1的单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则弦AB 所对圆心角α是( )A ．α＝3B ．α＜3C ．α＝32π D ．α＝120 5.若角α与β的终边关于x 轴对称，则α与β的关系是 ； 若角α与β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是 ；若角α与β的终边关于原点对称，则α与β的关系是 ；若角,αβ的终边关于直线y x =对称，则αβ与的关系式是 .6.12弧度的圆心角所对的弦长为2，求此圆心角所夹扇形的面积．解：7.扇形的面积一定，问它的中心角α取何值时，扇形的周长L 最小?解：8.半径为R 的扇形，其周长为R 4，则扇形中所含弓形的面积是多少？解：◆承前启后 现在我们学习了角的推广，角的两种度量制度？在数学中角与三角函数联系最为紧密，那对任意角又怎样定义三角函数呢？【学习链接】（阅读材料）密位制:一种军用的角度计量法.以密位为单位来量角的制度是：把圆周6000等分，每一等分的弧所对圆心角称为1密 位的角，即：1密度位就是圆的16000所对的圆心角（或这条弧）的大小. 密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如15密位记为“0—15”，读作“零，一五”；1370密位记为“13—70”，读作“一三，七零”。
任意角的概念与弧度制教案
任意角的概念与弧度制教案数学课程第7章第7.1.1节任意角的概念知识目标：1.了解角的概念推广的实际背景意义；2.理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念。
教学备品：教学课件、研究演示用具（两个硬纸条一个扣钉）。
授课班级：海乘1601/轮机1601授课时间：10周授课方法：讲授法教学目的能力目标：1.能够判断角所在的象限；2.能够求指定范围内与已知角终边相同的角；3.培养观察能力和计算技能。
教学重点：终边相同角的概念。
教学难点：终边相同角的表示和确定。
教学过程】1.揭示课题：任意角的概念与弧度制。
2.创设情景兴趣导入：问题1：游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，___与___两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，___下了摩天轮，___继续乘坐一圈。
那么，___走下来时，旋臂转过的角度是多少呢？问题2：用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到OB位置时，就形成一个角；在扳手由OA逆时针旋转10周的过程中，就形成了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于的角。
如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成与上述方向的角。
通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0°360°范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广。
3.动脑思考探索新知：任意角的概念：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB就形成角α。
旋转开始位置的射线OA叫角α的始边，终止位置的射线OB叫做角α的终边，端点O叫做角α的顶点。
4.讲解关键点：任意角的概念推广的实际背景意义，以及任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念。
5.结合图形讲解角的图形，并可以加入学生的举例。
6.练和讨论深化、巩固知识，培养能力。
7.反思交流中，总结知识，品味研究方法。
动轴转动，主动轴每分钟转速为1800转，从动轴每分钟转速为1200转，试求主动轴和从动轴之间的转速比。
任意角与弧度制教案
1、1任意角和弧度制一、教材说明：本节任意角和弧度制选自必修四第一章第一节二、三维目标（一）知识与技能（1）了解正、负角与零角的相关定义;（2）根据图形写出角及根据终边写出角的集合;（3）了解弧度制；（二）过程与方法（1）培养学生数型转化的思想；（2）训练学生思维活跃性，能够举一反三;（3）培养学生思维的抽象与具体转化的过程；（三）情感态度与价值观（1）增强学生观察生活中事物的规律能力;（2）在老师的引导下建立数学模型，把数学运用到生活中去；三、教学重难点（一）重点（1）根据图形写出任意角度数；（2）根据已知图形终边位置写出该终边所表示的角的集合；（二）难点根据终边写角的集合（三）教学设计（1）情境设计（2）教学过程（3）给出相关定义（4）举出例题，深化正负角定义（5）提出要点（6）提出关于终边相同，写出所有角所在集合（7）通过练习（教师引导，并作为主体练习），能够独立进行习题练习（8）学生自主练习、教师个别指导、师生互动（9）习题讲解（10）归纳总结（11）引出下堂课知识点：弧度制（12）布置作业四、教学过程（一）创设情境（1）墙上挂钟，在某段时间内,指针转过角度；（2）当手表不准时,我们旋转指针使之准时，这是指针转过的角度是多少？方向如何？（二）揭示课题(1）1、1任意角和弧度制（2）1、1、1任意角（三）复习旧知识顺时针、逆时针（四）给出例题（1）当指针快速顺时针由“12”调至“6”，指针转过多少度?（2）指针由“6”又调回到“12”是,转过角度如何?方向又怎样呢？（五）给出正角、负角定义（1）正角:逆时针方向旋转形成的角叫做正角；（2）负角：顺时针方向旋转形成的角叫做负角；（六）注意要点如果一条射线没有做任何旋转,则称它为零角。
（七）复习旧知识(1）0°—180°内所有角（2）周角（3）平角的整数倍所有角（八）新知识（1）任意角的表示方法;（2）判断当角的始变何种变相同时，角度是否相同.（九）给出任意角及象限角概念注意角的终边在轴上不叫做象限角。
任意角、弧度制及任意角的三角函数复习学案
第21课 任意角、弧度制及任意角的三角函数一、目标导引已知半径为r 的圆O 的圆心与原点重合，角α(0360)α≤<oo的始边与x 轴的非负半轴重合，交圆O 于点A ，终边与圆O 交于点B ，请把下列表格填写完整． 角α的度数角α的的弧度数 OB 旋转的方向 »AB 的长点B 的坐标sin αcos αtan α60o56π-逆时针22(,)22r r -顺时针r π1.根据表格内容填写，回答下面知识梳理 二、知识梳理任意角的三角函数知识框架的横向沟通：角与三角函数．提出问题：理解和比较这两个体系中的内容，思考它们之间有什么内在的联系． 引导学生根据数学对象研究的一般套路，思考表格横向项目与纵向项目的确定． 角三角函数概念 分类 表示 关系 应用过程中核心问题推进：问题1：从概念上看，这两者之间有什么区别和联系？问题2：除了概念，我们还能从哪些方面对角与三角函数进行研究呢？请同学们继续思考并在表格中表述出来．问题3：能否举一些例子来进一步说明它们之间的关系？三、问题研讨 问题1（角及其表示）例题1：已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内，则角α用集合可表示为 .问题2（三角函数的概念）例题2：已知角α的终边过点)30sin 6,8(︒--m P ，且54cos -=α. 求αsin ，αtan .问题3：（扇形弧长、面积公式的应用）例题3：已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l . （Ⅰ）若︒=60α，cm R 10=，求扇形的弧长l ；（Ⅱ）若扇形的周长为cm 10，面积为24cm ，求扇形的圆心角α；（Ⅲ）若扇形的周长为定值)0(>C C ，当α为多少弧度时，该扇形的面积最大.O300450yx问题4：（三角函数线）例题4：求函数)sin 43lg(2x y -=的定义域.四、总结提升1.回顾刚才的学习过程，想一想，在这些内容的沟通中渗透了哪些数学思想方法？2.提炼复习过程中的方法：回顾本节课的整理的过程，我们经历了怎样的学习过程？五、即时检测1.(三角函数定义）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若(4)P y ，是角θ终边上的一点，且25sin 5θ=-，则y = ． 2.（三角函数定义、弧度、扇形面积公式）已知单位圆（半径为1的圆）的圆心O 为坐标原点，与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边OB 交于点B ，且点B 在直线3y x =上.（Ⅰ）求α，tan α的值；（Ⅱ）若α为第一象限角，求弧AB 的长及扇形OAB 的面积.校本作业21：任意角、弧度制及任意角的三角函数1．（终边相同的角、象限角的概念）下列说法正确的是（ ） A ．小于︒90的角是锐角 B ．角α是第四象限角，则)(222Z k k k ∈<<-παππC ．第二象限的角大于第一象限的角D ．若角α与角β的终边相同，那么βα=2．（任意角的三角函数的定义）若角α的终边过点(4,3)P -，则cos αtan α的值为（ ） A .35-B .45C .43- D .3-3．（角的象限与三角函数值的正负）如果cos 0θ<，且tan 0θ>，则θ是（ ） A .第一象限的角 B .第二象限的角 C .第三象限的角 D .第四象限的角 4．（三角函数线）设0tan35cos55sin 23a b c ===，，，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 5.（新定义；三角函数的概念）在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点00(,)P x y ，且||(0)OP r r =>，定义：00cos y x si rθ-=，称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若cos 0si θ=，则sin(2)3πθ-=_________.6．（扇形弧长与面积）若扇形OAB 的面积是2，它的周长是6，则该扇形圆心角的弧度数是 ．7．（任意角的三角函数的定义）已知角α的终边与以坐标原点为圆心，以1为半径的圆交于点)32cos 32(sinππ，P ，则角α的最小正值为 ． 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在)10(，，此时圆上一点P 的位置在)00(，，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于)12(，时，点P 的坐标为 ．9．已知A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 坐标为)01(，，︒=∠60BOA .质点A 以s rad /1的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以s rad /1的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．(Ⅰ)求经过s 1后，BOA ∠的弧度；(Ⅱ)求质点A ，B 在单位圆上第一次相遇所用的时间．10．（三角函数的定义）已知角α的终边上一点(3)P m -，，且2sin 4mα=，求cos tan αα，的值．11．（三角函数定义、扇形面积）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．（Ⅰ）若点B 的横坐标为54-，求αtan 的值； （Ⅱ）若AOB ∆为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合； （Ⅲ）若]320[πα，∈，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．12．如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A ，与钝角α的终边OB 交于点)(00y x B ，，设β=∠BAO . (Ⅰ)用β表示α； (Ⅱ)如果 54sin =β，求点),(00y x B 坐标； (Ⅲ)求00y x -的最小值．BAyxODCBCA提高题：1．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关； ④若βαsin sin =，则α与β的终边相同； ⑤若0cos <θ，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．（三角函数的定义）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(sincos )88P ππ，，则)122sin(πα-等于（ ）A ．32-B ．12-C ．12D ．323．如图，将边长为cm 1的正方形ABCD 的四边沿BC 所在直线l 向右滚动(无滑动)，当正方形滚动一周时，正方形的顶点A 所经过的路线的长度为________cm .4．（三角函数值在各个象限内的符号）已知点)sin (tan θθ，P 在第四象限，则角2θ的终边在第__________象限．5．（弧度数、圆的弧长公式）如图，一根长为2米的木棒AB 斜靠在墙壁AC 上，060=∠ABC ，若AB 滑动至DE 位置， 且)23(-=AD 米，木棒AB 中点O 所经过的路程为 米．6．（弧长、扇形面积公式）一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为c ，面积为S ，求1c S-的最大值.。
任意角和弧度制(第1课时)
第四课时：任意角和弧度制（第1课时）编写人：潘有金审核人：张广泉审批：苏自先学习目标：1.理解任意角的概念，学会在平面直角坐标系中讨论角；2.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角的表示方法；3.了解角的概念推广的现实意义，学会用数学的观点分析、解决实际问题。
预习案一、教材助读认真阅读课本P 1 -P 5 ,完成下列问题1.在初中，我们已学习过角的有关知识。
请同学们回忆：角的定义：角的表示：角的范围：2.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的几何图形。
我们规定：按逆时针方向旋转所成的角叫做_________;按顺时针方向旋转所成的角叫做_________;如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了_________。
3.在直角坐标系内讨论角，必须使角的顶点与________________重合，角的始边与______________________重合.4. 在直角坐标系内，如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是_________；如果角的终边在坐标轴上，我们就说这个角_________。
5. 在直角坐标系内，相等的两个角终边一定相同；反过来，终边相同的两个角不一定相等。
6. 在直角坐标系内，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S=______________________二、预习自测（牛刀小试）1.下列命题正确的是（）A.终边相同的角一定相等B.第一象限的角都是锐角C.锐角都是第一象限的角D.小于90°的角都是锐角2.已知集合A={第一象限的角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，则下面正确的是（）A.A=B=CB.A BC.A∩C=BD.以上都不对3.已知角的顶点与坐标原点重合，终边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角：（1）420°；（2）-75°；（3）-510°在下面记下预习中的困惑在课上和同学讨论或向老师请教第四课时：任意角和弧度制（第1课时）导学案一、学始于疑同学们首先认真独立思考如下问题问题1.体操中，有“转体720°”、“转体1080°”，这些动作名称的含义是什么？问题2.被动轮随主动轮旋转而旋转，OA绕O旋转形成的角与O/B/绕O/旋转形成的角有什么区别？如何准确地描述这些现象？二、质疑探究小组内讨论上述问题，准备展示，将组内不能解决的问题用小纸条交给老师探究一任意角的概念（利用几何画板展示任意角形成的过程）⎧⎪⎨⎪⎩正角按逆时针方向旋转形成的角任意角零角未作任何旋转负角按顺时针方向旋转形成的角探究二如何在直角坐标系内讨论角？今后，我们一般地都是在直角坐标系内讨论角，为了讨论问题的方便，规定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合探究三象限角的定义探究四终边相同的两个角之间的关系问题1.给定一个角，它的终边是不是唯一的？问题2.对于直角坐标系中的任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？问题3.在直角坐标系中，如果角α与β的终边相同，那么α与β有什么关系？探究五终边相同的角的集合所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k×360°,k∈Z}即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
任意角的概念与弧度制教案
任意角的概念与弧度制教案一、任意角的概念：1.任意角的定义：在坐标平面上，如果将终边与正半轴之间的交点记作点A，即A=(1,0)，以正向旋转方向将终边与正半轴旋转到位时所转过的角叫做任意角。
任意角由初始边和终边两部分构成。
2.任意角的位置：任意角不限于0到360度之间，可以是任意大小的角度。
旋转方向可以是正向（逆时针）或反向（顺时针）。
3.任意角的度数：任意角的度数即为终边与正半轴的夹角的度数，用角度符号°表示。
4.任意角的象限：根据终边在哪个象限上，可以将任意角分为一、二、三、四象限。
二、弧度制的概念：1.弧度的定义：将半径等于1的圆的周长分成等份，每份叫做一个弧度。
如果圆上的一段弧的长度等于半径的长度，则该弧对应的角叫做一弧度。
2.弧度与度数的关系：360°对应的弧度为2π，即一周对应2π弧度。
所以，任意角对应的弧度数等于该角度数乘以π/180。
3.弧度制的优势：在三角函数的计算中，弧度制比度数制更为方便和精确，有利于进行各种数学计算。
三、教学步骤：教学目标：学生了解任意角的概念与弧度制的定义，掌握任意角的度数与弧度的转化关系。
教学步骤：Step 1：导入新知识通过出示一个角的图片，提问学生这个角是什么角，是否为任意角。
引导学生思考任意角的含义与特点。
Step 2：任意角的概念解释与举例教师对任意角的概念进行解释，并用实际生活中的例子来说明。
比如：针对绕场地跑的运动员，可以将终点的方向与正北方向之间的夹角视为任意角。
Step 3：弧度制的引入教师让学生回忆以前学过的圆的知识，引出弧度的概念。
通过实际的展示，向学生展示单位圆上的一个弧度与该弧度对应的角。
Step 4：弧度与度数的转化通过一个表格或示例，教师向学生解释弧度与度数之间的转化关系。
提醒学生要掌握好π、角度、弧度之间的换算。
Step 5：练习与巩固提供一些练习题，让学生进行弧度与度数之间的互相转化，巩固所学知识。
Step 6：拓展应用教师提出一些与弧度制相关的实际问题，让学生运用所学知识解决问题。
任意角的概念与弧度制教案
任意角的概念与弧度制教案一、概念解释任意角是指角的顶点可以位于坐标系中的任意位置，而不仅仅局限于角的顶点位于原点或坐标轴上。
在平面直角坐标系中，如果将角的顶点放在原点上，且不在坐标轴上，则该角为任意角。
在数学中，角的度量方式有两种，分别是度度量和弧度度量。
本教案将重点介绍弧度制的概念与应用。
二、弧度制的定义弧度制是一种用弧长来度量角的单位制度。
弧度制中，角的度量用弧长与半径相等的弧所对应的弧度数表示。
三、弧度制与度度量的转换1. 弧度制转度度量：角度(度) = 弧度数× (180°/π)2. 度度量转弧度制：弧度数 = 角度(度) × (π/180°)四、弧度制的优点1. 精确性：弧度制可以更精确地表示小角度，保证计算结果的准确性。
2. 便利性：在三角函数的计算中，弧度制更便于推导与计算，使得计算过程更加简洁。
3. 单位统一：由于弧度制是用弧长来度量角度的单位制度，使得角度和长度的单位得到了统一。
五、任意角的弧度表示在任意角中，以顺时针为正方向，角的弧度表示为正角度的弧度数。
六、弧度制在三角函数中的应用在三角函数中，弧度制是最常用的单位制度。
以下是几个常用三角函数值对应的弧度制表示：1. 正弦函数：sin(30°) = sin(π/6) = 0.52. 余弦函数：cos(45°) = cos(π/4) = 0.7073. 正切函数：tan(60°) = tan(π/3) = √3七、弧度制的练习与应用1. 练习一：求解以下各角的弧度制表示：a) 45°b) 60°c) 90°2. 练习二：根据题意求解下列三角函数的值（保留两位小数）：a) sin(π/4)b) cos(π/3)c) tan(π/6)3. 应用一：计算角度为45°的正弦值解答：sin(45°) = sin(π/4) = 0.7074. 应用二：计算角度为60°的余弦值解答：cos(60°) = cos(π/3) = 0.5八、总结通过本教案的学习，我们了解了任意角的概念以及其中的弧度制度量方式。
任意角的概念与弧度制教案
任意角的概念与弧度制教案导言：任意角是初中数学中一个重要的概念，它是我们研究三角函数的基础。
为了更好地理解任意角，我们需要引入弧度制这一概念。
本教案将从任意角的定义开始，逐步介绍弧度制的概念以及如何进行角度与弧度的转换，帮助学生深入理解和掌握这两个概念。
一、任意角的定义在平面直角坐标系中，通过原点O以及一条射线OA，可以确定一个角，这个角叫做任意角。
其中，射线OA称为角的始边，射线OB （OB ≠ OA）称为角的终边，O点叫做角的顶点。
二、弧度制的概念角度制是我们最常用的一种角度单位，但在一些高级数学和物理问题中，常常使用弧度制来度量角的大小。
弧度制定义如下：当半径为r 的圆的圆心角所对的弧长等于半径时，这个角的度数为1弧度，记作1 rad。
三、角度与弧度的转换1. 角度转弧度：已知角的度数α，可以使用如下公式将其转化为弧度：弧度数 = 角度数× π/1802. 弧度转角度：已知角的弧度数β，可以使用如下公式将其转化为角度：角度数 = 弧度数× 180/π四、任意角的性质1. 一个任意角可绘制无数个与之终边相同的角。
2. 一个任意角的终边在平面直角坐标系中的位置决定了该角在坐标系中的唯一性。
3. 弧度制中的任意角大小范围为0≤θ<2π，其中2π的意义相当于360°。
五、任意角的相关公式在三角函数的研究中，任意角的概念是非常重要的。
以下是一些与任意角相关的基本公式。
1. sin任意角和cos任意角的定义：在平面直角坐标系中，给定角θ的终边上的点P（x,y），则有：sinθ = y/rcosθ = x/r其中，r为OP的长度。
2. tan任意角的定义：在平面直角坐标系中，给定角θ的终边上的点P（x,y），则有：tanθ = y/x注：当x=0时，tanθ不存在。
3. 值域：在上述公式中，可以发现sinθ、cosθ、tanθ的值与终边上的坐标有关，因此它们的值域都在[-1,1]之间。
学案1任意角和弧度制
∴sin(cosθ)<0,cos(sin2θ)>0,
∴ s in(cos) <0,∴ s in(cos) 的符号是负号.
cos (s in2)
cos (s in2)
【评析】 (1)熟记各个三角函数在每个象限内的符号是 关键.
(2)判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限. (3)对于已知三角函数式的符号判断角所在象限,可 先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号,再判断 角所在象限.
【分析】 (1)由点P所在的象限,知道sinθ·cosθ,2cosθ 的符号,从而可求sinθ与cosθ的符号.
(2)由θ是第二象限角,可求cosθ,sin2θ的范围,进而把 cosθ,sin2θ看作一个用弧度制的形式表示的角,并判断其所在u 的象限,从而sin(cosθ),cos(sin2θ)的符号可定.
= π 弧度.
（5）弧长公式:
S扇形=
1 lr 2
=
l |a|r
1 a r2 2
.
,扇形的面积公式:
考点1 象限角、三角函数值符号的判断
(1)如果点P(sinθ·cosθ,2cosθ)位于第三象限，试判断角θ 所在的象限； (2)若θ是第二象限角,则 sin(cos)的符号是什么?
cos(sin2)
做1弧度的角.
（2）规定:正角的弧度数是一个 正数 ,负角的弧度数
l
是一个 负数 ,零角的弧度数是 0 .|α|= r (l是以角α 作为圆心角时所对圆弧的长,r为半径).
（3）用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.
பைடு நூலகம்
比值lr与所取的r的大小无关 ,仅与角的大小 有关.
（4）弧度与角度的换算:360°= 2π弧度; 180°
1.1.2弧度制 导学案
- 1 -第一章 三角函数1.1.2 弧度制一、课标要求了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。
二、考纲要求了解弧度的概念，会进行弧度与角度的换算。
三、学习目标叙写：1、理解匀速圆周运动的特点，掌握描述匀速圆周运动快慢的几个物理量：线速度、角速度、周期、转速的定义，理解它们的物理意义并能灵活的运用它们解决问题。
2、理解并掌握描写圆周运动的各个物理量之间的关系3、理解匀速圆周运动的周期性的确切含义。
4、理解向心加速度产生的原因和计算方法。
四．使用说明与学法指导认真阅读教材的6-9页内容，理解弧度制的定义是基础，掌握角度与弧度的换算关系是关键。
理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性，运算时要熟练使用弧度制【预习案】一、复习：（1）1度角是指把圆周 等份，其中每一份所对的圆心角的度数。
这种用 来度量角的制度叫角度制。
（2）设圆心角为0n 的圆弧长为l ，圆的半径为r ，则l = ；r l= 。
（3）写出终边在下列位置的角的集合。
（1）x 轴： ； （2）y 轴： 。
二、自主学习：自学课本7P -9P 回答：问题1：什么叫角度制？问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？问题3：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？【探究按】探究：如图所示，半径为r 的圆的圆心与原点重合，角α始边与x 轴的非负半轴重合，交圆与点A ，终边交与点B.请在下列表格中填空，并思考：如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少？既然角度制，弧度制都是角的度量制，那么它们之间如何换算？新知： ① 正角的弧度数是 数，负角的弧度数是 数，零角的弧度数是 。
② 角α的弧度数的绝对值反思：① 1rad 等于 度，②1︒等于 弧度。
试试：完成特殊角的度数与弧度数的对应表：在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立了________对应关系：三．典型例题例1.(A 级）把3730'︒化成弧度- 2 -例2.(B 级）利用弧度制证明下列关于扇形的公式：（1）l=αR; (2)S=221R α; (3)S=lR 21其中R 是半径，l 是弧长，α（0<α<π2）为圆心角，S 是扇形面积。
任意角弧度制教案
任意角弧度制教案教案标题：任意角弧度制教案教案目标：1. 理解任意角的概念和弧度制的基本原理。
2. 掌握任意角与弧度之间的转换关系。
3. 能够在解决相关问题时使用弧度制进行计算。
教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、教学投影仪等。
2. 学生准备：教科书、笔记本、计算器等。
教学过程：引入活动：1. 教师可以通过提问来引导学生思考：你们知道什么是角度吗？我们平时常用的角度单位是什么？有没有其他表示角度的方法呢？2. 学生回答后，教师可以简要介绍一下角度的概念和常用的度数制。
概念讲解：1. 教师通过示意图和实例，引导学生理解任意角的概念：任意角是指角的两条边可以是任意长度的角。
2. 教师引导学生思考：在解决一些数学问题时，角度单位常常不够灵活，有时候我们需要更精确的表示角度的方法。
这时，我们就可以使用弧度制。
3. 教师简要介绍弧度制的基本原理：弧度是角度的一种度量方式，表示角所对应的圆的弧长与半径的比值。
一个完整的圆周对应的弧度为2π。
转换关系讲解：1. 教师引导学生思考：如何将角度转换为弧度？如何将弧度转换为角度？2. 教师通过示意图和实例，讲解角度与弧度之间的转换关系：- 角度转弧度：弧度 = 角度× π / 180- 弧度转角度：角度 = 弧度× 180 / π练习活动：1. 学生进行练习题，巩固角度与弧度之间的转换关系。
2. 学生解决一些实际问题，应用弧度制进行计算。
总结：1. 教师对本节课的内容进行总结，强调任意角的概念和弧度制的重要性。
2. 学生回答问题，进行互动讨论。
拓展活动：1. 学生自主学习相关知识，扩展弧度制的应用领域。
2. 学生可以进行小组讨论，分享自己在实际生活中发现的弧度制的应用案例。
评估方式：1. 教师观察学生在课堂上的参与情况和回答问题的准确性。
2. 教师布置作业，检验学生对角度与弧度之间转换关系的掌握程度。
拓展阅读：1. 推荐学生阅读相关教材或网络资料，进一步了解角度与弧度制的应用。
任意角和弧度制及任意角的三角函数
石楼中学高三数学导学案 编号： 高三理数应届003 班级： 姓名： 编写时间：2013拼十年寒窗挑灯苦读不畏难;携双亲期盼背水勇战定夺魁。
·5课题 ：第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数主备人：王慧卿 赵军 审核： 备课组长：姬世军一、考纲要求1.了解任意的概念，了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化2.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义二、知识梳理三、典型例题考点一 角的集合的表示例1.①写出终边在直线y=x 3上的角的集合②若角θ的终边与π76角的终边相同，求在[]π2,0内的终边与3θ角的终边相同的角 ③已知角α是第二象限角，试确定2,2αα所在的象限。
变式：若α是第三象限角，则2απ-是 象限角考点二 三角函数的定义及其应用例2． 已知角α终边经过点P ()2,-x ，(x )0≠且cos α=x 63求sin α， tan α 的值·6· 变式：若β的终边所在直线经过点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ43sin,43cos 则=βsin tan =β考点三 扇形的弧长、面积公式及其应用例3： 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R（1）,若α=60度，R=10㎝,求扇形的弧所在的弓形面积（2）若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多大弧度时，该扇形有最大面积；求出其最大面积变式：已知扇形AOB 的周长为8①若这个扇形的面积为3cm,求其圆心角的大小②求这个扇形面积取得最大值是,圆心角的大小和弦长AB例4：圆弧长度等于其所在圆的内接正三角形的边长，则该圆弧所对的圆心角的弧度数是多少？变式：已知2弧度的圆心角所对的弦长为2那么这个圆心角所对的弧长为。
任意角与弧度制 教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
任意角与弧度制课时教学设计课题5.1任意角与弧度制授课时间： 年 月 日课型：新授课课时：第一课时数学核心素养目标1.通过探索让学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”、“终边相同的角”的含义。
2.培养学生判断推理和化归转化能力，加强数形结合思想的运用。
3. 培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比 等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力。
学习重点难点教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法； 教学难点： 终边相同的角的表示； 教学准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体课件，三角尺，直尺 学习活动设计环节一：情景引入，温故知新 一、问题情境：1.思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？2．复习：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.3．情境：生活中很多实例不在范围]360,0[00内. 体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？4．问题：这些例子不仅不在范围]360,0[00，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（二）教授新课 二、建构理论： 1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点．突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”ABαO⑵“正角”与“负角”、“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角α或α∠ 可以简记成α.⑶意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了. 1︒ 角有正负之分 如：α=210︒β=-150︒γ=660︒ 2︒ 角可以任意大3︒ 还有零角： 一条射线，没有旋转.要注意：正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．2．“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角. 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）.例如：30︒、390︒、-330︒是第象一限角，300︒、-60︒是第四象限角，585︒、1180︒是第三象限角，-2000︒是第二象限角等.3.终边相同的角观察：390︒，-330︒角，它们的终边都与30︒角的终边相同⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Z k k ∈个周角的和： 390︒=30︒+360︒)1(=k -330︒=30︒-360︒)1(-=k30︒=30︒+0×360︒)0(=k 1470︒=30︒+4×360︒)4(=k -1770︒=30︒-5×360︒)5(-=k⑶结论：所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合：{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. ⑷注意以下四点： ①Z k ∈②α是任意角；③0360⋅k 与α之间是“+”号，如︒-⋅303600k ，应看成)30(3600︒-+⋅k .④终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．教师活动：通过对问题情景中4个问题的引入，让学生思考并从实际问题中抽象找出其中的角的关系，教师进行补充说明；通过现实生活中的问题，引导学生进一步的观察，研究。
《任意角和弧度制》课堂导入设计
能力维度
□学情分析 □教学设计 √学法指导 □学业评价
所属环境
√多媒体教学环境 □混合学习环境 □智慧学习环境
微能力点
A5技术支持的课堂导入
教学环境
多媒体教学环境
教学主题
任意角和弧度制
教学对象
高一学生
教学内容
本节主要介绍推广角的概念,引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示法。树立运动变化的观点,并由此进一步理解推广后的角的概念。教学方法可以选用讨论法,通过实际问题，如时针与分针、体操等等都能形成角的流念,给学生以直观的印象,形成正角、负角、零角的概念,明确规定角的概念，通过具体问题让学生从不同角度理解终边相同的角,从特殊到一般归纳出终边相同的角的表示方法。
自评等级
□优秀☑合格 □不合格
2、通过生活中常见的事例，引发学生的思考，让学生带着问题进入新课。
媒体资源
自由体操片段，图片
技术工具
钉钉课堂直播
导入设计
展示自由体操视频片段
发现问题：视频中出现了哪些角？学生带着问题观看视频，思考作答。
本课堂的导入设计旨在创设与主题相关的情境，通过视频导入引起学生注意，让学生能结合生活中的具体实例，感受角的概念的推广的必要性，引发学生的认知冲突，激发他们的学习兴趣和求知欲，让其认识到刻画这些角，不仅要用旋转量，还要有旋转方向，从而自然过渡到本节课的任意角概念。
教学目标
1．了解任意角的概念;
2．掌握正角、负角、零角及象限角的定义，理解任意角的概念;
3．掌握终边相同的角的表示方法;
4．会判断角所在的象限.
ห้องสมุดไป่ตู้教学重点
任意角的概念，象限角的表示，终边相同角的表示;
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第一章三角函数【学习目标】1.了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念2.正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角【日主学习】一、复习引入问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围是什么？问题2：在体操、跳水中，有“转体720°”这样的动作名词，这里的“ 720°”，怎么刻画?二、建构数学1.角的概念角同•以看成平面内一条绕着它的从一个位置到另一个位置所形成的图形。
射线的端点称为角的，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的和O2.角的分类按方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做O如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个,它的和重合。
这样，我们就把角的概念推广到了,包括________________________ 、 ________ 和 ________ 。
3.终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个，即任一与角a终边相同的角，都可以表示成•4.象限角、轴线角的概念我们常在直鱼坐度内讨论角。
为了讨论问题的方便，使角的与重合，角的与重合。
那么，角的（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是o如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为.象限角的集合(1)第一象限角的集合： ____________________________________________(2)第二象限角的集合： ____________________________________________(3)第三象限角的集合： ____________________________________________(4)第四象限角的集合： ____________________________________________轴线角的集合(1)终边在x轴正半轴的角的集合：_____________________________________________(2)终边在x轴负半轴的角的集合：_____________________________________________(3)终边在y轴正半轴的角的集合：____________________________________________(4)终边在y轴负半轴的佑的集合：____________________________________________(5)终边在X轴上的角的集合：____________________________________________(6)终边在y轴上的角的集合：____________________________________________(7)终边在坐标轴上的角的集合： ____________________________________________三、课前练习在百.角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。
30° ,150°,-60°, 390°, -390° ,-120°【典型例题】例1 (1)钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？(2)若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度?例2在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角(1) 650°(2) -150°(3) -240°⑷ -990°15‘例3已知a与240°角的终边相同，判断?是第几象限角。
例4写出终边落在第一、三象限的角的集合。
例5写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)(3)【拓展延伸】(1) 1200° (2) -55° (3) 1563° (4) -1590°Of已知角a 是第二象限角，试判断一为第几象限角？ 2【巩固练习】1、 设。
=-60°,则与角a 终边相同的角的集合可以表示为.2、把下列各角化成二+如360°(0° Va v360°,A cZ)的形式，并指出它们是第几象限的角。
3、 终边在y 轴上的角的集合;终边在直线y = x 上的角的集合;终边在四个象限角平分线上的角的集合.4、 终边在30°角终边的反向延长线上的角的集合.5、 若角。
的终边与45°角的终边关于原点对称，则。
=；若角a, 的终边关于直线工+ ^ = 0对称，且a = —60°，则/? =.6、 集合A = {ala = A ・90°—36°M 《Z},8 = {”|一180° </?<180°},则AcB =.Of7、若兰是第一象限角，则。
的终边在2【课后训练】1、 分针走10分钟所转过的角度为;时针转过的角度为.2、 若90° </?<a<135°,则。
一”的范围是,。
+尸的范围是3、(1)与-35°30'终边相同的最小正角是(2) 与715°终边相同的最大负角是;(3)__________________________________ 与1000°终边相同且绝对值最小的角是;(4)与-1778。
终边相同且绝对值最小的角是.4、与—15°终边相同的在-1080° </?<-360°之间的角为.5、已知角的终边相同，则a-p的终边在.6、若”是第四象限角，则180°一月是第象限角；180°+0是第—象限角。
7、若集合A = ｛口成• 180° + 30° v a v 3 ・ 180° + 90°』E Z｝,集合B = ｛仞如360°—45° v"vk.360°+45°M cZ｝,则AHB =.8、已知集合心=｛锐角｝, N = ｛小于90。
的角｝,尸=｛第一象限的角｝,下列说法：(I) PjN , (2) N CP= M , (3) M gP , (4) (M P N) j P其中正确的是.9、角。
小于180°而大于-180°,它的7倍角的终边又与自身终边重合，求角10、已知。
与60°角的终边相同，分别判断巳，2。
是第几象限角。
【课堂小结】【布置作业】1.1.2弧度制【学习目标】3.理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟祀特殊角的孤度数4.掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题5.了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系【学习重点、难点】孤度的概念，弧度与角度换算【自主学习】一、复习引入请同学们回忆一•下初中所学的1°的角是如何定义的？二、建构数学1.孤度制角还M以用为单位进行度量，叫做］孤度的角，用符号表示，读作o2.孤度数：正角的弧度数为 ___________ ，负角的弧度数为 ___________ ,零角的孤度数为 ______ 如果半径为尸的圆心角所对的孤的长为/,那么，角a的孤度数的绝对值是。
这里，［的正负由决定03.角度制与弧度制相互换算360° = rad 180° =___ rad1° =—rad 1 rad =°°4.角的概念推广后，在弧度制下，与之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数（即）与它对应；反过来，每一个实数也都有（即）与它对应。
5.弧度制下的弧长公式和扇形面积公式：角。
的孤度数的绝对值lai （/为弧长，尸为半径）弧长公式：_______________________________扇形面积公式：_______________________________【典型例题】例1.把下列各角从弧度化为度。
(1) —(2) —(3) (4) 2 (5) 3.55 12 6例2.把下列各角从度化为弧度。
(1) -750°(2) -1440°(3) 67°30‘(4) 252°(5) 11°15‘例3. (1)已知扇形的周长为8cw ,圆心角为Irad ,求该扇形的面积。
(2)已知扇形周长为4cm,求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的孤度数。
例4.已知一扇形周长为C(C>0),当扇形圆心角为何值时，它的面积最大？并求出最大而积。
【巩固练习】、若伯。
则角。
的终边在第—象限；若则们。
的终边在第—象限。
3、将下列各角化成6Z + 2^,(0<6Z<2^), k.Z的形式，并指出第几象限角。
/、19),、CM()/ 、22〃,、23勿(1) a = ------ (2) a - -315 (3) a = ------ (4) a --------- ----3 3 24、圆的半径为10,则2的圆心角所对的孤长为；扇形的而积为5、用弧度制表示卜,列角终边的集合。
（1）轴线角（2）角平分线上的角（3）直线y = 4^x上的角6、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三伯形的边长，那么该圆弧的圆心伯等于【课堂小结】【布置作业】。