广义线性模型
广义线性模型
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伽玛分布
1
ln
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二项分布 ln p
ln1 e 1
1 p
Poisson 分布 ln
e
1
p
e 1 e
e
p1 p
负二项分布 ln
e
k
e
k2
何为“广义线性模型”？(续)
一个广义线性模型包括以下三个组成部分： （1）线性成分(linear component ) ：
SAS软件中的PROC GENMOD：
The GENMOD Procedure
The GENMOD procedure fits generalized linear models. The class of generalized linear models is an extension of traditional linear models that allows the mean of a population to depend on a linear predictor through a nonlinear link function and allows the response probability distribution to be any member of an exponential family of distributions. Many widely used statistical models are generalized linear models. These include classical linear models with normal errors, logistic and probit models for binary data, and log-linear models for multinomial data. Many other useful statistical models can be formulated as generalized linear models by the selection of an appropriate link function and response probability distribution.
统计学中的广义线性模型解析
统计学中的广义线性模型解析统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，而广义线性模型（Generalized Linear Model，简称GLM）则是统计学中一种重要的分析方法。
GLM不仅可以用于描述和预测数据，还可以帮助我们理解变量之间的关系和影响。
一、GLM的基本概念广义线性模型是由统计学家Nelder和Wedderburn于1972年提出的，它是线性回归模型的扩展。
在传统的线性回归模型中，我们假设因变量Y与自变量X之间存在线性关系，即Y = β0 + β1X + ε，其中β0和β1是待估计的系数，ε是误差项。
而GLM则允许因变量和自变量之间的关系不是线性的，可以是非线性的、离散的、非正态的等。
二、GLM的三个重要组成部分GLM由三个重要的组成部分构成：随机分布、系统性成分和连接函数。
随机分布用于描述因变量的分布特征，系统性成分用于描述自变量和因变量之间的关系，连接函数则用于将系统性成分与随机分布联系起来。
1. 随机分布在GLM中，我们常常假设因变量Y服从指数分布家族中的某个分布，如正态分布、泊松分布、二项分布等。
通过选择合适的分布，我们可以更好地描述和解释数据。
2. 系统性成分系统性成分是GLM中的关键部分，它用于描述自变量和因变量之间的关系。
通常，我们将系统性成分表示为线性组合的形式，即η = β0 + β1X1 + β2X2 + ... +βpXp，其中η是系统性成分，β0、β1、β2等是待估计的系数，X1、X2等是自变量。
3. 连接函数连接函数是将系统性成分和随机分布联系起来的桥梁。
它的作用是将系统性成分的线性组合映射到随机分布的参数空间中，使得我们可以通过系统性成分来预测和解释因变量的分布特征。
常见的连接函数有恒等函数、对数函数、逆正态函数等。
三、GLM的应用领域广义线性模型在统计学中有着广泛的应用领域。
以下是几个常见的应用示例：1. 生物医学研究在生物医学研究中，研究人员常常需要分析和解释疾病发生的风险因素。
第3章-广义线性模型
年收入 （万元）
是否有车
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2. 正态线性回归模型
• 只要取联结函数为 m (i) i x iT (i 1 , ,n ),则正
态线性回归模型满足广义线性模型的定义.
• 类似的,容易验证,二项分布和泊松分布都属 于指数分布族.
• 下面介绍实际中应用广泛的两种广义线性
模型:Logistic模型和对数线性模型.
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2. 模型的参数估计和检验
• 采用R软件中的广义线性模型过程glm( )可以完成 回归系数的估计,以及模型回归系数的显著性检验. 程序如下：
generalized linear model结果解释-概述说明以及解释
generalized linear model结果解释-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括对广义线性模型的简要介绍以及结果解释的重要性。
以下是一种可能的编写方式：在统计学和机器学习领域，广义线性模型（Generalized Linear Model，简称GLM）是一种常用的统计模型，用于建立因变量与自变量之间的关系。
与传统的线性回归模型不同，广义线性模型允许因变量（也称为响应变量）的分布不服从正态分布，从而更适用于处理非正态分布的数据。
广义线性模型的理论基础是广义线性方程（Generalized Linear Equation），它通过引入连接函数（Link Function）和系统误差分布（Error Distribution）的概念，从而使模型能够适应不同类型的数据。
结果解释是广义线性模型分析中的一项重要任务。
通过解释模型的结果，我们可以深入理解自变量与因变量之间的关系，并从中获取有关影响因素的信息。
结果解释能够帮助我们了解自变量的重要性、方向性及其对因变量的影响程度。
通过对结果进行解释，我们可以推断出哪些因素对于观察结果至关重要，从而对问题的本质有更深入的认识。
本文将重点讨论如何解释广义线性模型的结果。
我们将介绍广义线性模型的基本概念和原理，并指出结果解释中需要注意的要点。
此外，我们将提供实际案例和实例分析，以帮助读者更好地理解结果解释的方法和过程。
通过本文的阅读，读者将能够更全面地了解广义线性模型的结果解释，并掌握解释结果的相关技巧和方法。
本文的目的是帮助读者更好地理解和运用广义线性模型，从而提高统计分析和机器学习的能力。
在接下来的章节中，我们将详细介绍广义线性模型及其结果解释的要点，希望读者能够从中受益。
1.2文章结构文章结构部分的内容应该是对整篇文章的结构进行简要介绍和概述。
这个部分通常包括以下内容：文章结构部分的内容：本文共分为引言、正文和结论三个部分。
其中，引言部分主要概述了广义线性模型的背景和重要性，并介绍了文章的目的。
广义线性模型的分析及应用
广义线性模型的分析及应用一、引言广义线性模型（Generalized Linear Model, GLM）提供了一种在保持简单性的前提下，对非正态响应变量建立连续性预测模型的方法，适用于许多实际应用问题中。
本文旨在介绍广义线性模型的基本概念、模型构建方法、推断等内容，并通过实际案例的分析加深对GLM的理解与应用。
二、基本概念GLM是统计学中一种具有广泛适用性的模型框架，它的基本思想是将未知的响应变量与已知的协变量之间的关系描述为一个线性预测器和一个非线性函数的组合，即：g(E(Y)) = β_0 + β_1X_1 + ⋯+ β_pX_p其中，g(·)称为联接函数（Link Function），它定义了响应变量的均值与预测变量之间的关系，E(Y)为响应变量的期望，X_1,X_2,…,X_p为解释变量（predictor）或协变量（covariate），β_0, β_1, …, β_p是模型的系数或参数。
GLM假定响应变量Y服从指数分布族中的某一个分布，如正态分布、二项分布、泊松分布等。
三、模型构建方法1. 选择联接函数和分布族：不同的响应变量应选用不同的分布族。
例如，连续性响应变量可选用正态分布，二元响应变量可选用二项分布，而计数型响应变量可选用泊松分布等。
2. 选择解释变量：可使用变量选择算法，如前向选择法、向后选择法、逐步回归等，在给定样本内拟合出最佳模型。
3. 选择估计方法：由于某些非正态分布族无法使用最小二乘法拟合，可以使用极大似然估计法或广义估计方程法。
对于大样本，一般使用广义线性混合模型等。
4. 模型比较与选择：模型拟合后，需要进行模型检验和模型诊断，主要包括残差分析、Q-Q图检验、$R^2$值、F检验、AIC/BIC值等指标的分析。
四、模型应用GLM的应用非常广泛，特别是在医学、生态、社会科学、金融等领域。
下面以某市2019年全年医疗保险数据为例，运用GLM模型进行分析。
1. 数据描述健康保险数据包含了每个缴费人的性别、年龄、缴费金额、报销金额等信息。
glm原理
glm原理GLM原理广义线性模型（Generalized Linear Model，简称GLM）是一种常用的统计模型，广泛应用于各个领域的数据分析和建模中。
GLM 的核心原理是通过将响应变量与预测变量之间的关系建模为一个线性函数，然后通过一个非线性的连接函数将线性预测转换为实际的响应。
GLM的基本原理是建立一个线性模型，其中响应变量与预测变量之间的关系可以用线性函数来描述。
线性模型的形式为：y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βpxp其中，y是响应变量，β0是截距，β1到βp是回归系数，x1到xp 是预测变量。
这个线性模型可以用来预测响应变量的数值。
然而，GLM与传统的线性回归模型不同之处在于，GLM允许响应变量不必遵循正态分布，而可以是其他分布，如泊松分布、二项分布等。
为了处理这种非正态分布的数据，GLM引入了一个连接函数，将线性预测转换为实际的响应。
连接函数（Link Function）是GLM的核心组成部分，它将线性预测与实际响应之间的关系进行转换。
连接函数的选择取决于响应变量的分布。
以下是一些常见的连接函数：1. 二项分布：对于二项分布的响应变量，常用的连接函数有logit 函数、probit函数和complementary log-log函数。
这些连接函数可以将线性预测转换为概率。
2. 泊松分布：对于泊松分布的响应变量，常用的连接函数是自然对数函数。
这个连接函数可以将线性预测转换为事件的平均发生率。
3. Gamma分布：对于Gamma分布的响应变量，常用的连接函数是倒数函数。
这个连接函数可以将线性预测转换为数据的均值。
通过选择合适的连接函数，GLM能够处理各种不同类型的响应变量，从而适应不同的数据分布。
除了连接函数，GLM还引入了一个称为“链接函数”的方差函数，用于描述响应变量的方差与预测变量之间的关系。
链接函数的选择也取决于响应变量的分布。
例如，在二项分布中，方差函数是二项方差函数，它与连接函数共同描述了响应变量的方差。
广义线性模型（GLM,GeneralizedLinearModel）
⼴义线性模型（GLM,GeneralizedLinearModel）
引⾔：通过⾼斯模型得到最⼩⼆乘法(线性回归)，即：
通过伯努利模型得到逻辑回归，即：
这些模型都可以通过⼴义线性模型得到。
⼴义线性模型是把⾃变量的线性预测函数当作因变量的估计值。
在机器学习中，有很多模型都是基于⼴义线性模型的，⽐如传统的线性回归模型，最⼤熵模型，Logistic回归，softmax回归，等等。
今天主要来学习如何来针对某类型的分布建⽴相应的⼴义线性模型。
1. ⼴义线性模型
⼴义线性模型：⼴义线性模型是基于指数分布族(Exponential Family)，⽽指数分布族的原型如下：
其中，η是⾃然参数(Natural Parameter)，T(y)为充分统计量(Sufficient Statistic)，通常T(y)=y。
实际上，许多分布(如，⾼斯分布、指数分布、泊松分布、伽马分布灯)都属于指数分布族。
所以，线性回归、逻辑回归等都是⼴义线性模型的特例，实际上，性分布中，y服从⾼斯分布那么⼴义线性模型为线性回归，y服从伯努利分布为逻辑回归。
在使⽤⼴义线性模型构建其他模型之前，⾸先有三个假设：
(1) y|x; θ~ExpFamily；
(2) 给定x，⽬标是输出期望E[T(y)|x]，得到h(x)= E[T(y)|x]；
(3) η与x的关系是线性的，即：
1. 常见概率模型由⼴义线性模型的推导
(1) ⾼斯模型
⾼斯分布可以表⽰为：
⾼斯模型的⾃然参数与均值成线性分布，所以
(2) 伯努利模型
伯努利模型可以表⽰为：
其中，b(y)=1。
从⽽得到逻辑回归模型。
带⼊a(η)可以得到：。
广义线性模型的推广及应用
广义线性模型的推广及应用广义线性模型（Generalized Linear Model，简称GLM）是统计学中一种重要的模型，它将线性模型推广到了更广泛的情况下，可以处理非正态分布的响应变量。
在实际应用中，广义线性模型被广泛应用于各个领域，如医学、金融、市场营销等。
本文将介绍广义线性模型的推广及其在实际应用中的具体案例。
## 一、广义线性模型的基本概念广义线性模型是由Nelder和Wedderburn于1972年提出的，它是线性模型的一种推广形式。
在传统的线性模型中，假设因变量服从正态分布，而在广义线性模型中，因变量的分布可以是指数分布族中的任意一种分布，如正态分布、泊松分布、二项分布等。
广义线性模型的基本形式如下：$$g(E(Y)) = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + ... +\beta_pX_p$$其中，$g()$是连接函数（link function），用于将因变量的均值与自变量的线性组合联系起来；$E(Y)$表示因变量的期望；$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_p$是模型的系数；$X_1, X_2, ..., X_p$是自变量。
## 二、广义线性模型的推广### 1. 权重广义线性模型（Weighted GLM）在一些实际应用中，观测数据的方差可能不相等，此时可以使用权重广义线性模型来处理这种情况。
权重广义线性模型通过赋予不同观测数据不同的权重，来更好地拟合数据。
在权重广义线性模型中，模型的似然函数被修改为考虑到每个观测数据的权重，从而得到更准确的参数估计。
### 2. 分层广义线性模型（Hierarchical GLM）分层广义线性模型是将广义线性模型与分层模型相结合的一种形式。
在分层广义线性模型中，模型考虑了数据的层次结构，将数据分为不同的层次，并在每个层次上建立广义线性模型。
这种模型适用于具有多层次结构的数据，能够更好地捕捉数据之间的相关性。
广义线性模型及其在统计学中的应用
广义线性模型及其在统计学中的应用广义线性模型是统计学中一个重要的模型，可以用来建立响应变量与解释变量之间的关系，它是线性模型的一种推广形式。
该模型的应用范围十分广泛，可以用于分类、回归、时间序列分析等多个领域。
一、广义线性模型的定义广义线性模型是基于分布族以及链接函数的概率论模型，可以用来描述解释变量对响应变量的影响。
该模型通过将响应变量转化为一组线性预测器的和，并通过一个链接函数将这个和映射到一个合适的响应变量上，从而建立响应变量与解释变量之间的关系。
广义线性模型中假设响应变量的分布属于指数分布族，该分布族仅包含正态分布、泊松分布、二项分布等概率分布。
二、广义线性模型的组成部分广义线性模型由三部分组成：随机部分、线性预测部分和链接函数。
1.随机部分：随机部分是广义线性模型中的响应变量Y的概率分布，可以假设Y服从指数分布族中的某款分布，如正态分布、泊松分布等等。
2.线性预测部分：线性预测部分是用来建立解释变量和响应变量之间的关系。
假设我们有p个解释变量，那么线性预测部分就可以表示为：η = β_0 + β1x1 + β2x2 + ...+ βpxp其中，η代表了Y的总体期望值的线性预测，βi是解释变量xi 的系数。
3.链接函数：链接函数用于将线性预测部分的计算结果映射到响应变量Y的值上，使得Y的值与线性预测部分保持一致。
由于不同的概率分布族需要采用不同的链接函数，因此广义线性模型的链接函数是根据分布族来确定的。
例如，对于二项分布，采用的是logit函数作为链接函数，而对于泊松分布，采用的是对数链接函数。
三、广义线性模型的应用广义线性模型在统计学中的应用十分广泛，这里简单介绍一下它在分类和回归中的应用。
1.分类在分类问题中，广义线性模型可以通过二项分布来描述响应变量Y的分布。
例如，在疾病诊断中，我们可以将疾病的结果分为两种情况：患病与未患病。
假设我们有一些特征来描述每个患者，如年龄、性别、体重等，我们可以使用广义线性模型来预测每个患者是否患病。
广义线性模型的参数估计及其经验应用
广义线性模型的参数估计及其经验应用广义线性模型是统计学中重要的一种模型，它统一了多种线性回归模型，包括普通线性回归、Logistic回归、Poisson回归、Gamma回归等。
广义线性模型的参数估计是模型分析的关键步骤之一，本文将探讨广义线性模型的参数估计及其经验应用。
一、广义线性模型广义线性模型（Generalized Linear Models，简称GLM）的基本表达式为：$g(E(Y))=\beta_0+\sum_{i=1}^{n}\beta_ix_i$其中，$g(E(Y))$是链接函数，$Y$是因变量，$x_i$是自变量，$\beta_i$是系数。
链接函数在不同的模型中有不同的定义，下面介绍几种常见的链接函数及其作用。
1.1. 普通线性回归普通线性回归的链接函数为恒等函数，即：$g(E(Y))=E(Y)$因此，普通线性回归的模型表达式为：$Y=\beta_0+\sum_{i=1}^{n}\beta_ix_i+\epsilon$其中，$\epsilon$为误差项。
1.2. Logistic回归Logistic回归的链接函数为logit函数，即：$g(E(Y))=\log\frac{E(Y)}{1-E(Y)}$Logistic回归用于二分类问题，因此$Y$只有两种取值，通常用0和1表示。
Logistic回归的模型表达式为：$\log\frac{P(Y=1)}{1-P(Y=1)}=\beta_0+\sum_{i=1}^{n}\beta_ix_i$其中，$P(Y=1)$表示$Y$取值为1的概率。
1.3. Poisson回归Poisson回归的链接函数为log函数，即：$g(E(Y))=\log(E(Y))$Poisson回归用于计数数据的分析，因此$Y$只能取非负整数值。
Poisson回归的模型表达式为：$\log(E(Y))=\beta_0+\sum_{i=1}^{n}\beta_ix_i$1.4. Gamma回归Gamma回归的链接函数为倒数函数，即：$g(E(Y))=-\frac{1}{E(Y)}$Gamma回归用于连续正值数据的分析。
广义线性模型
线性模型也称经典线性模型或一般线性模型，其模型的形式为：
其中， 是因Biblioteka 量的第i次观测， 是自变量，它是一个列向量，表示第i次观测数据。未知系数向量 可以通过对 的最小二乘拟合估计， 是均值为零，方差为常数的随机变量。
模型的几个基本假设：
因变量是连续随机变量
自变量相互独立
每一个数值型自变量与因变量呈线性关系
广义线性模型
广义线性模型
1．概述
广义线性模型是传统的线性模型的延伸，它是总体均值通过一个非线性连接函数依赖于线性预测值，有许多广泛应用的统计模型都属于广义线性模型，其中包括正态误差的经典性模型，二元数据的对数和概率单位模型以及多项数据的对数线性模型，还有其它许多有用的统计模型，如果选择合适的连接函数和响应概率分布，也可以表示为广义线性模型。
连接函数：
参数估计
一般线性模型：参数估计采用极大似然法和最小二乘法
广义线性模型：参数估计采用极大似然法和加权最小二乘
4.因变量常见分布及其常用的连接函数
广义线性模型建立
通过对数据选定因变量和自变量，以及选择合适的连接函数和响应概率分布，既可以建立一个广义线性模型。例如：
一般线性模型
因变量：连续变量
分布：正态分布
连接函数：
Logistic回归模型
因变量：（0，1）
分布：二项分布
连接函数：
Poisson回归模型
因变量：计数和个数
分布：Poisson分布
一般线性模型中，自变量的线性预测值 就是因变量的估计值 ，而广义线性模型中，自变量的线性预测值 是因变量的函数估计值 。
广义线性模型包括一下组成部分：
线性部分正好是一般线性模型所定义的：
SPSS数据分析—广义线性模型
SPSS数据分析—广义线性模型
我们前面介绍的一般线性模型、Logistic回归模型、对数线性模型、Poisson 回归模型等，实际上均属于广义线性模型的范畴，广义线性模型包含的范围非常广泛，原因在于其对于因变量、因变量的概率分布等条件的限制放宽，使其应用范围加大。
广义线性模型由以下几个部分组成
1.因变量
广义线性模型的因变量还是要去独立性，但是分布不再局限于正态分布一种，而是可以是指数族概率分布的任意一种，其方差也可以不稳定，但必须要能表达为依赖均值的函数
2.线性部分
广义线性模型因变量与自变量必须为线性关系，即因变量与自变量之间是一次方函数关系，这点和传统线性模型也一样
3.连接函数
用于描述因变量的期望值是如何和预测值相关联的
由上可知，和传统线性模型相比，广义线性模型主要从以下两个方面进行了扩展
1.因变量的分布范围扩大
2.连接函数的引入
通过选定不同的因变量概率分布、连接函数等，就可以拟合各种不同的广义线性模型，例如当因变量分布为正态分布、连接函数为恒等函数时，就是拟合一般线性模型；当因变量分布为二项分布，连接函数为Logit函数时，就是拟合Logistic回归，当因变量分布为Poisson分布，连接函数为对数时，就是拟合Poisson回归，下面我们通过一个例子来进行说明广义线性模型在SPSS中的使用情况。
例，希望研究不同温度不同催化剂不同批次条件下，某化合物的转化率情况，数据如下。
广义线性模型（GeneralizedLinearModels）
⼴义线性模型（GeneralizedLinearModels）转载请注明出⾃BYRans博客：前⾯的⽂章已经介绍了⼀个回归和⼀个分类的例⼦。
在模型中我们假设：在分类问题中我们假设：他们都是⼴义线性模型中的⼀个例⼦，在理解⼴义线性模型之前需要先理解指数分布族。
指数分布族（The Exponential Family）如果⼀个分布可以⽤如下公式表达，那么这个分布就属于指数分布族：公式中y是随机变量；h(x)称为基础度量值（base measure）；η称为分布的⾃然参数（natural parameter），也称为标准参数（canonical parameter）；T(y)称为充分统计量，通常T(y)=y；a(η)称为对数分割函数（log partition function）；本质上是⼀个归⼀化常数，确保概率和为1。
当T(y)被固定时，a(η)、b(y)就定义了⼀个以η为参数的⼀个指数分布。
我们变化η就得到这个分布的不同分布。
伯努利分布属于指数分布族。
伯努利分布均值为φ，写为Bernoulli(φ)，是⼀个⼆值分布，y ∈ {0, 1}。
所以p(y = 1; φ) = φ; p(y = 0; φ) = 1 −φ。
当我们变化φ就得到了不同均值的伯努利分布。
伯努利分布表达式转化为指数分布族表达式过程如下：其中，再举⼀个⾼斯分布的例⼦，⾼斯分布也属于指数分布族。
由⾼斯分布可以推导出线性模型（推导过程将在EM算法中讲解），由线型模型的假设函数可以得知，⾼斯分布的⽅差与假设函数⽆关，因⽽为了计算简便，我们设⽅差=1。
⾼斯分布转化为指数分布族形式的推导过程如下：其中许多其他分部也属于指数分布族，例如：伯努利分布（Bernoulli）、⾼斯分布（Gaussian）、多项式分布（Multinomial）、泊松分布（Poisson）、伽马分布（Gamma）、指数分布（Exponential）、β分布、Dirichlet分布、Wishart分布。
广义线性模型
广义线性模型广义线性模型（Generalized Linear Model，GLM）是一种在统计学中常用的模型，它是对普通线性模型的扩展和推广。
在广义线性模型中，因变量不需要满足正态分布的假设，而是通过连接函数（link function）与线性组合的结果进行建模。
广义线性模型的应用领域十分广泛，涵盖了回归分析、分类分析以及其他众多领域。
1. 普通线性模型普通线性模型是一种经典的建模方法，其基本形式为：$$ Y = \\beta_0 + \\beta_1 X_1 + \\beta_2 X_2 + ... + \\beta_k X_k + \\epsilon $$ 其中，Y表示因变量，X1,X2,...,X k表示自变量，$\\beta_0, \\beta_1,\\beta_2, ..., \\beta_k$为模型参数，$\\epsilon$为误差项。
普通线性模型的关键假设是因变量Y服从正态分布。
2. 广义线性模型的基本原理广义线性模型是对普通线性模型的推广，其基本形式为：$$ g(\\mu) = \\beta_0 + \\beta_1 X_1 + \\beta_2 X_2 + ... + \\beta_k X_k $$其中，g()为连接函数（link function），$\\mu$表示期望的因变量Y，其他符号的含义同普通线性模型。
通过连接函数g()，广义线性模型在一般性上不再要求因变量Y服从正态分布。
3. 连接函数（Link Function）连接函数g()的选择是广义线性模型的关键之一，不同的连接函数对应不同的模型形式。
常见的连接函数包括：•恒等连接函数（Identity link function）: $g(\\mu) = \\mu$，对应普通线性模型。
•对数连接函数（Log link function）: $g(\\mu) = log(\\mu)$，常用于泊松回归等模型。
•逆连接函数（Inverse link function）: $g(\\mu) = \\frac{1}{\\mu}$，用于逻辑回归等模型。
广义线性模型
⼴义线性模型从线性回归，logistic回归，softmax回归，最⼤熵的概率解释来看，我们会发现线性回归是基于⾼斯分布+最⼤似然估计的结果，logistic回归是伯努利分布+对数最⼤似然估计的结果，softmax回归是多项分布+对数最⼤似然估计的结果，最⼤熵是基于期望+对数似然估计的结果。
前三者可以从⼴义线性模型⾓度来看。
⼴义线性模型⼴义线性模型建⽴在三个定义的基础上，分别为：定义线性预测算⼦η=θT x定义y的估计值h(x,θ)=E(y|x,θ)定义 y 的估值概率分布属于某种指数分布族：Pr(y|x,θ)=b(y)exp(ηT T(y)−a(η))接下来详细解释各个定义指数分布家族指数分布家族是指可以表⽰为指数形式的概率分布，指数分布的形式如下：p(y;η)=b(y)exp(ηT T(y)−a(η))其中:1. η被称为⾃然参数(natural parameters)2. T(y)称为充分统计量,通常T(y)=y3. a(η)称为对数分割函数（log partition function）；4. e−a(η)本质上是⼀个归⼀化常数，确保p(y;η)概率和为1。
当T(y)被固定时，a(η)、b(y)就定义了⼀个以η为参数的⼀个指数分布。
我们变化η就得到这个分布的不同分布。
为什么要把$ y的条件分布定义为这么奇怪的指数分布族？这是因为，在这样的定义下，我们可以证明：p(y|η)$ 的期望值满⾜：E(y|η)=ddηa(η)p(y|η)的⽅差满⾜：Var(y|η)=d2dη2a(η)如此简洁的期望和⽅差意味着：⼀旦待估计的y的概率分布写成了某种确定的指数分布族的形式（也就是给定了具体的a,b,T），那么我们可以直接套⽤公式h(x,θ)=E(y|x,θ)=ddηa(η) 构建回归模型。
实际上⼤多数的概率分布都属于指数分布家族，⽐如1）伯努利分布 0-1问题2）⼆项分布，多项分布多取值多次试验3）泊松分布计数过程4）伽马分布与指数分布5）β分布6）Dirichlet分布7）⾼斯分布现在我们将⾼斯分布和伯努利分布⽤指数分布家族的形式表⽰：Bernoulli分布的指数分布族形式：p(y=1;ϕ)=ϕ;p(y=0;ϕ)=1−ϕ⟹p(y;ϕ)=ϕy(1−ϕ)1−y=exp(ylogϕ+(1−y)log(1−ϕ))=exp((log(ϕ1−ϕ))y+log(1−ϕ))即：在如下参数下⼴义线性模型是 Bernoulli 分布η=log(ϕ/(1−ϕ))⟹ϕ=1/(1+e−η)T(y)=ya(η)=−log(1−ϕ)=log(1+eη)b(y)=1 Gaussian 分布的指数分布族形式：在线性回归中，σ对于模型参数θ的选择没有影响，为了推导⽅便我们将其设为1：p(y;µ)=1√2πexp(−12(y−µ)2)=1√2πexp(−12y2)⋅exp(µy−12µ2)得到对应的参数：η=µT(y)=ya(η)=µ2/2=η2/2b(y)=1√2πexp(−12y2)⽤⼴义线性模型进⾏建模想⽤⼴义线性模型对⼀般问题进⾏建模⾸先需要明确⼏个假设：1.y|x;θ∼ExponentialFamily(η)的条件概率属于指数分布族2.给定x ⼴义线性模型的⽬标是求解 T(y)|x ，不过由于很多情况下T(y)=y所以我们的⽬标变成了y|x , 也即我们希望拟合函数为h(x)=E[y|x](NOTE：这个条件在线性回归和逻辑回归中都满⾜，例如逻辑回归中hθ(x)=p(y=1|x;θ))3.⾃然参数η与x是线性关系：η=θT x (η为向量时,ηi=θT i x )有了如上假设就可以进⾏建模和求解了：⼴义线性模型推导出线性回归：step1: p(y|x;theta)∼N(µ,θ)step2: 由假设2h(x)=E[y|x]得到：h(x)=E[y|x]=µ=η=θT x⼴义线性模型推导出逻辑回归：step1: p(y|x;theta)∼Bernoulli(ϕ)step2: 由假设2h(x)=E[y|x]得到：h(x)=E[y|x]=ϕ=11+e−η=11+e−θT xProcessing math: 100%。
线性模型(5)——广义线性模型
我们知道，混合线性模型是一般线性模型的扩展，而广义线性模型在混合线性模型的基础上又做了进一步扩展，使得线性模型的使用范围更加广阔。
每一次的扩展，实际上都是模型适用范围的扩展，一般线性模型要求观测值之间相互独立、残差(因变量)服从正态分布、残差(因变量)方差齐性，而混合线性模型取消了观测值之间相互独立和残差(因变量)方差齐性的要求，接下来广义线性模型又取消了对残差(因变量)服从正态分布的要求。
残差不一定要服从正态分布，可以服从二项、泊松、负二项、正态、伽马、逆高斯等分布，这些分布被统称为指数分布族，并且引入了连接函数，根据不同的因变量分布、连接函数等组合，可以得到各种不同的广义线性模型。
要注意，虽然广义线性模型不要求因变量服从正态分布，但是还是要求相互独立的，如果不符合相互独立，需要使用后面介绍的广义估计方程。
=================================================一、广义线性模型广义线性模型的一般形式为：有以下几个部分组成1.线性部分2.随机部分εi3.连接函数连接函数为单调可微(连续且充分光滑)的函数，连接函数起了"y的估计值μ"与"自变量的线性预测η"的作用，在一般线性模型中，二者是一回事，但是当自变量取值范围受限时，就需要通过连接函数扩大取值范围，因此在广义线性模型中，自变量的线性预测值是因变量的函数估计值。
广义线性模型设定因变量服从指数族概率分布，这样因变量就可以不局限于正态分布一种形式，并且方差可以不稳定。
指数分布族的概率密度函数为其中θ和φ为两个参数，θ为自然参数，φ为离散参数，a,b,c为函数广义线性模型的参数估计：广义线性模型的参数估计一般不能使用最小二乘法，常用加权最小二乘法或极大似然法。
回归参数需要用迭代法求解。
广义线性模型的检验和拟合优度：广义线性模型的检验一般使用似然比检验、Wald检验。
模型的比较用似然比检验，回归系数使用Wald检验。
线性模型(5)——广义线性模型
线性模型(5)——广义线性模型广义线性模型是一种扩展了一般线性模型的模型，它在混合线性模型的基础上进一步扩展，使得线性模型的使用范围更加广泛。
每次扩展都是为了适用更多的情况。
一般线性模型要求观测值之间相互独立，残差（因变量）服从正态分布，残差（因变量）方差齐性。
而混合线性模型取消了观测值之间相互独立和残差（因变量）方差齐性的要求。
广义线性模型又取消了对残差（因变量）服从正态分布的要求。
残差不一定要服从正态分布，可以服从二项、泊松、负二项、正态、伽马、逆高斯等分布，这些分布被统称为指数分布族，并且引入了连接函数。
根据不同的因变量分布、连接函数等组合，可以得到各种不同的广义线性模型。
需要注意的是，虽然广义线性模型不要求因变量服从正态分布，但是仍要求相互独立。
如果不符合相互独立的要求，需要使用广义估计方程。
广义线性模型的一般形式包括线性部分、随机部分εi和连接函数。
连接函数为单调可微的函数，起到连接因变量的估计值μ和自变量的线性预测值η的作用。
在广义线性模型中，自变量的线性预测值是因变量的函数估计值。
广义线性模型设定因变量服从指数族概率分布，这样因变量就可以不局限于正态分布，并且方差可以不稳定。
指数分布族的概率密度函数包括θ和φ两个参数，其中θ为自然参数，φ为离散参数，a、b、c为函数广义线性模型的参数估计。
广义线性模型的参数估计一般不能使用最小二乘法，常用加权最小二乘法或极大似然法。
回归参数需要用迭代法求解。
广义线性模型的检验和拟合优度一般使用似然比检验和Wald检验。
似然比检验是通过比较两个相嵌套模型的对数似然函数来进行的，统计量为G。
模型P中的自变量是模型K 中自变量的一部分，另一部分是要检验的变量。
G服从自由度为K-P的卡方分布。
回归系数使用Wald检验进行模型比较。
广义线性模型的拟合优度通常使用以下统计量来度量：离差统计量、Pearson卡方统计量、AIC、AICC、BIC、CAIC准则，准则的值越小越好。
glm 的用法
标题：glm的用法一、概述glm是Generalized Linear Model（广义线性模型）的缩写，是一种广泛用于统计和机器学习的模型。
它能够描述因变量和自变量之间的关系，并且能够处理多种不同类型的数据。
二、glm的种类1. 正态分布glm：适用于因变量为连续型数据，且服从正态分布的情况。
常见的模型有线性回归模型、逻辑回归模型等。
2. 二项分布glm：适用于因变量为二元分类数据的情况，如二分类逻辑回归模型。
3.泊松分布glm：适用于因变量为计数数据，且数据量较大，但每个样本的计数相对较小的情况。
三、glm的参数估计glm的参数估计通常采用最大似然估计法，通过最大化似然函数来求解参数。
对于正态分布glm，参数估计可以通过最小二乘法进行求解；对于二项分布和泊松分布glm，参数估计通常采用迭代算法进行求解。
四、glm的应用场景1. 回归分析：通过建立因变量和自变量之间的线性关系，对未知数据进行预测和解释。
2. 分类问题：利用广义线性模型的特性，对数据进行分类和预测。
3. 生存分析：用于研究生存时间与某些因素之间的关系，如疾病的发生时间与某些风险因素之间的关系。
4. 生物信息学：用于基因表达数据的分析，如基因表达与疾病之间的关系。
5. 金融领域：用于预测股票价格、市场趋势等。
五、glm的优缺点1. 优点：能够处理多种类型的数据，包括连续型数据、二元分类数据和计数数据；能够描述因变量和自变量之间的线性关系；模型简单易懂，易于实现和使用。
2. 缺点：对于非线性关系的数据处理能力较差；对于极端值或异常值的处理能力较弱；对于缺失数据的处理能力有限。
六、总结glm是一种广泛应用于统计和机器学习的模型，能够描述因变量和自变量之间的关系，并且能够处理多种不同类型的数据。
在应用过程中需要注意数据的类型和处理方式，以及模型的适用性和局限性。
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另一种取法( , ⋯, )
(三) 联系函数·自然联系函数
联系函数∶ (μ) η ′β,μ ( ) ,其反函数 也很常用。 作为联系函数, 必须严格单调且充分光滑,即有 足够阶数的导数。有一个特殊的联系函数,即
起着重要的作用。它称为自然联系函数,这时 有′β (μ) ( (θ) ) θ
因此,指数型分布(. ) 中的自然参数,就是′β。这 一重要关系式是“自然联系函数”这一名称的 由来。
多维
通常的线性回归
( ) μ ′( )β(线性,线性指对β,非) , ( ) 为 的已 知(向量) 函数, ′表示转置(本讲义中“′”都 表示转置,不是导数) , ′( ) 常简记为′。
, ( ) , 都是取连续值的变量,如农作物的产 量,人的身高体重之类。
的分布为正态,或接近正态之分布。
例. 研究两种化学物质 与 对引发细 胞癌变的影响。
( , )′:
例. 是某种极值(水文、地震、材 料断裂强度之类)
采用 (Γ) 分布去描述: 有密度
提醒两点
当 为 维时,只能有 个未知参数(此例中为μ) 。 若有多个参数,剩下的为冗余,它必须已知或 可由样本估计,即以估计值为已知值。
在各次观察中冗余参数不变。如在此例中, 相应 的μ值可变,为μ (与此相应,θ值则为θ μ ) ,但 则不随 变化。
两点注意:
在有些实际问题中,数据显示均值方差之间 的关系不符合(. ) 。这时就不可能使用单参 指数族的模型。在Γ和正态分布的例中包含 了一个冗余参数,调整它的值有时可以解决 上述问题。
其形式比在其他联系函数下来得简单,其最 重要的优点是:它使广义线性模型下统计推 断的大样本理论更易处理。当然,在一个实 际问题中选择联系函数,主要应依据问题本 身的情况。
模型 模型
这个差距中有一部分是由于“位置”与 “刻度”的差异而来, 并非真实的有实际意 义的差距。
个分布的均值,方差分别为: 把 者的均值,方差都调整为 。
广义线性回归从以下几方面推广:
1. ( ) μ ( ′β) , 为一严格单调,充分光滑的函 数。 已知, ( 的反函数) 称为联系函数 ( ) 。有 (μ) ′β。
2. , ( ) , 可取连续或离散值,且在应用上更多 见的情况为离散值,如{ , } ,{ , ⋯⋯}等
3. 例如, 为 维, ( ) 可以是( , ) , ( , , ) , ( , ) 等。若 ( , )′, ( ) 可以是
过。 年 和 在一篇论文中引进广义线性模型一词,
自那前后以来研究工作逐渐增加 年 和 出版了系统论述此专题的专著并于
年再版
主要参考资料
. 等《 》
及 等的《 》 年第 版 。
. 等:
. —。
第一部分 建模
§. 一维广义线性回归 (一) 定义 设有因变量 ,自变量 。 为一维, 一般为
广义线性模型(一)
数理统计与管理 卷 期 年月
简介
广义线性模型是常见的正态线性模型的直 接推广
适用于连续数据和离散数据,特别是后者,如 属性数据,计数数据
在实用上,尤其是生物,医学和经济、社会数 据的统计分析上,有重要的意义
起源
在 年曾用过它。 模型,在 世纪四五十年代曾由 和 等人使用
经过取代后3 个分布的形状如图(1. 2) 所示, 由图上看出,其差距与图一相比有所接近
(二) 哑(或虚) 变量( )
设有一个因素(自变量之一) 有 个“状态”, 我们固然可以用数字 , ⋯ 来标识它,但不可用 于计算,因为它们无数量意义。例如农业试 验中,品种是一个因素。有 类种子,解决的办 法是引进哑变量
设这个试验只包括“品种”这一个因素,模型 为
可见
这种取哑变量法,是以状态 作为标准,而β 衡量(在产量上) 状态 超出状态之值。
. 当 为连续变量时, μ( ) 为 测度: μ( ) ;
. 当 为离散变量时, 取有限个值 , ⋯, 或可列 个值 , , ⋯,这时μ({ } ) , , ⋯, ;些因素(自变量) 对“剖腹 产后是否有感染”的影响。
此例中 就取为 ,引进记号
4. ( , , )′, ( , , , , , ) 等。
. 的分布属于指数型,正态是其一特例。这里 考虑的 为一维,故属于一维指数型。其形式 为:
( ) (θ (θ) ) μ( ) ,θ ∈Θ (参数空间)
θ为参数,称为自然参数。 (θ) 为θ的已知函 数。μ为一测度(不一定是概率测度) ,常见的 有两种可能: