线性代数讲义 (9)行列式4

在 D 中, 把第 n + 1 行的 a11 倍, 第 n + 2 行的 a12 倍, , …, 第 2n 行的 a1n 倍全部加到第 1 行上去, 得
20/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
a11 a12
a1n 0 0
0
a21 a22
a2n 0 0
0
D = an1 an2
ann 0 0
0
a1n
第i行
ai1 ai2
ain
= ai1Ak1 + ai2Ak2 +
+ ainAkn,
ak–1,1 ak–1,2 ak–1,n
ai1 ai2 ak+1,1 ak+1,2
ain ak+1,n
10/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
= 0.
第k行
合并上面两个定理的结论，得
ai1Ak1 + ai2Ak2 + a1j A1l + a2j A2l +
第 3 章 行列式
第1节 线性方程组的行列式解法 第2节 行列式的定义 第3节 行列式的性质 第4节 行列式的展开 第5节 行列式的计算 第6节 克拉默法则
第4节 行列式的展开
行列式的定义实际上是按它的第一列展开的, 下面对行列式的展开进行进一步讨论.
2/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
(–1)i–1(ai1aMn1i1
–aani22Mi2
+
+ ann
(–1)n+1ainMin)
= (–1)i+1ai1Mi1 + (–1)i+2ai2Mi2 + + (–1)i+nainMin)
= ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin.
9/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
a41 a43 a44
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个 代数余子式.
5/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
根据行列式的定义,
即 D 可以按第 1 列展开.
a11 a12
a1n
a22
a2n
D = a21 a22
a2n = a11 a32
a3n
an1 aan122
aan1nn
an2
ann a12
cr1 cr3
crk br1
brr
a21
a2,k–1 0
0
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+ + (–1)k+1a1k ak1
ak,k–1 0
0
c11
c1,k–1 b11
b1r
a22
= a11
a2k – a12cr1a21 ac23r,k–1 ab2rk1
brr
ak2
akk
aa2k11 ak3 a2,k–1akk
b11
b1r
+ + (–1)k+1a1k
c2n
+ + ainbnj
D= 0 0
–1 0 0 –1
0 cn1 cn2 0 b11 b12 0 b21 b22
OC
cnn =
b1n
–E
B
b2n
再交换第 10 列0和第 n–1+ 1b列n1 ,b第n2 2 列b和nn 第 n + 2 列, 第 n 列和第 2n 列, 并应用例 2 得
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a1n
a32 – a21
a3n +
+ (–1)n+1an1 a22
a2n
= a11M11a–n2a21Ma21nn+ = a11A11 + a21A21 +
+ (–1)n+1an1Mna1 n–1,2 + an1An1,
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an–1,n
再由性质3.3.5, 有
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0 2 –1 0
23 2 3
2A21 + 3A22 + 2A23 + 3A24 =
23
2
= 0; 3
–2 2 –2 0
M13 – 2M33 + M43 = 1A13 + 0A23 – 2A33 – 1A43
02 10
=
1 –1 0 –1 2 3 –2 3
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若 A 可逆, 则有 AA–1 = E,
由例3知,
|
A–1
|
=
––1–
|A|
.
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p.44 例4, D 就是例1中的D
0 2 –1 0 例4 已知行列式 D = 1 –1 5 –1
23 2 3 –2 2 –2 0 求 2A21 + 3A22 + 2A23 + 3A24 ; M13 – 2M33 + M43 . 解 由定理3.4.1及定理3.4.2可知， 2A21 + 3A22 + 2A23 + 3A24 等于用 2, 3, 2, 3 代替 D 的第 2 行所得的行列式，即
1 –1 –1
D = –2 2 2 3 – 2 3 3
–2 –2 0
–2 2 0
按第3列展开
22
15
= –2
–
–2
–2
–3 –2
–2
–
2 – –2
3 2
1 –3
–2
–1 2
= –2( 0 – 38 ) – ( –10 + 0 ) = 58.
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p.41 例2
brr
证明 对 k 用归纳法.
当 k = 1 时,
a11 0 D = c11 b11
0 b1r
b11 = a11
b1r
,
故结c论r1 成b立r1 .
brr
br1
brr
假设 k > 1且结论对左上角是 k –1形式的行列式成立,
则按第 1 行展开并利用归纳法得
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定理 3.4.2 若 k i, 则 ai1Ak1 + ai2Ak2 + + ainAkn = 0, 若 l j, 则 a1j A1l + a2j A2l + + anj Anl = 0.
证明 仅证明前一个结论, 行列交换即得第二个结论.
不妨设 k > i, 对如下行列式按第 k 行展开, 得
a11 a12
8/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
依次交换 i 行和 i – 1行, i – 1行和 i – 2行, ,
第 2 行和第 1 行, 得
ai1 ai2
ain
a11 a12
a1n
按此行展开
D = (–1)i–1
ai–1,1 ai–1,2 ai+1,1 ai+1,2
ai–1,n ai+1,n
=
例如 a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 = (– 1)2+3 M23 = – M23 .
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 , A12 = (– 1)1+2 M12 = – M12 .
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p.42 例3
例 3 设 A, B 都是 n 阶方阵, 则
| AB | = | A | | B | ; | AB | = | BA | .
即矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积.
证明 设 A = ( aij )nn, B = ( bij )nn, C = AB = ( cij )nn.
1 =–2 2
0 –1 –2 3
+
1 2
–1 –1 33
–2 2 –1 0
–2 –1 0 –2 2 0
= – 29 + (–10) = –28.
a11 a12 D = a21 a22
a1n a2n = a11A11 + a12A12 +
+ a1nA1n,
an1 an2
ann
因此 D 也可以按第 1 行展开.
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定理 3.4.1 对 i, j = 1, 2, , n, 有
a11 a12
a1n
D = a21 a22
a11
a1k 0
0
D = ak1
akk 0
0
c11
c1k b11
b1r
car212
cark2k b0r1
b0rr
a21 a23
a2k 0
0
= a11 ak2
akk 0
0 – a12 ak1 ak3
akk 0
0
c12
c1k b11
b1r
c11 c13
c1k b11
b1r
cr2
crk br1
brr
15/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
c11 c12
c1n 0 0
0
c21 c22
c2n 0 0
0
D = (–1)n cn1 cn2
cnn 0 0
0
b11 b12
b1n –1 0
0
b21 b22
b2n 0 –1
0
= (–1)n
Cbn1 bOn2 B –E
bnn 0 0
–1
= (–1)n |C | | –E |
= |C | .
于是， | AB | = |C | = | A | | B | .
b2n
21/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
如此下去, 把第 n + 1 行的 ai1 倍, 第 n + 2 行的 ai2 倍, , …, 第 2n 行的ain倍全部加到第 i 行上去( i = 2, ..., n), 得
00 00
0 c11 c12 0 c21 c22
c1n cij = ai1b1j + ai2b2j
a2n
= aia1An1i1 +ana2i2Ai2 a+nn + ainAin = a1j A1j + a2j A2j + + anj Anj . 证明 仅证明关于行的等式, 利用性质3.3.5, 即可得 关于列的等式. 当 i = 1 时, 前面已验证. 对 i > 1, 证明方法是化成 i = 1 的情形.
ak1
ak,k–1
a11
a1k b11
b1r
br2
brr
=
= D1D2 .
a a b b 16/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
证明(证法2)
对 D1 作行运算，把 D1 化为下三角形行列式
p11 设为 D1 =
pk1
0 = p11 pkk ;
pkk
对 D2 作列运算，把 D2 化为下三角形行列式
q11 设为 D2 =
qr1
0 = q11 qrr .
qrr
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对 D 的前 k 行作行运算，再对后 r 列作列运算，把 D 化为下三角形行列式
p11
D=
pk1 c11
0 pkk
c1k q11
cr1
crk qr1
qrr
故 D = p11 pkk q11 qrr = D1D2 .
+ ainAkn = + anj Anl =
D, i = k, 0, i k, D, j = l, 0, j l.
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p.40 例1
0 2 –1 0
例 1 计算行列式 D = 1 –1 5 –1 23 2 3
按第1行展开
–2 2 –2 0
解
1 5 –1
ai–1,j–1 ai–1,j+1 ai+1,j–1 ai+1,j+1
ai–1,n ai+1,n
3/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
称 (–1)i+jMij 称是 aij 的代数余子式, 记为Aij . 设 A = ( aij )nn 是方阵, 并用 Aij 表示 aij 在行列式
| A | 中的代数余子式.
a11
a1k 0
0
例 2 设 D = ak1
akk 0
0
c11
c1k b11
b1r
D1 = det(aij ) = cra111 , ba1k11
D2 = det(bij ) = , br1
13/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
crak1k br1
brr
ba1krk 证明 D = D1D2 .
–1 0
0 b11 b12
b1n
0 –1
0 b21 b22
b2n
00 a021 a022
0 a–21n
bc01n11 cb01n22
cb01nnn
c1j = a11b1j + a12b2j + + a1nbnj
= an1 an2
ann 0 0
0
–1 0
0 b11 b12
b1n
0 –1
0 b21 b22
注意: Mij 和 Aij 只与 aij 在所在的位置(行 i 和列 j ) 有关, 而与 aij 的具体数值无关.
123 例如: 对行列式 D = 4 5 6 ,
789 13 M22 = 7 9 = 9 – 21 = –12,
A22 = (–1)2+2M22 = M22 = –12.
4/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
记 2n 阶行列式
19/39 第3章 行列式 第4节 行列式的展开
a11 a12 a21 a22
D = an1 an2 –1 0 0 –1
a1n 0 0 a2n 0 0
ann 0 0 0 b11 b12 0 b21 b22
0 0
AO
=
0 –E B
b1n b2n
由上例知
= | A0| | B0| . –1 bn1 bn2 bnn
a11 a12
a1j
a1n
定义 3.4.1 n 阶行列式 D =
ai1 ai2
ai j
ain
的 ( i, j ) 元素 第 i 行和第 j
a列ij 的, 其余它子元式素M不ij 是动an指1所在a得n2D的中下a划列nj去n所– 1在an阶n的
行列式 a11
a1,j–1 a1,j+1
a1n
ai–1,1 ai+1,1