高数第一章习题

高等数学第一章习题

一、填空

1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=ϕ，则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域为),1[e

2. 设)(x f y =的定义域是[1,2],则)1

1

(

+x f 的定义域 [-1/2,0] 。 3.设⎩⎨

⎧≤<-≤≤=2

11

101

)(x x x f ， 则)2(x f 的定义域 [0，1] 。

5.设)(x f 的定义域为)1,0(，则)(tan x f 的定义域 Z k k k x ∈+

∈,)4

,(π

ππ

6. 已知2

1)]([,sin )(x x f x x f -==φ，则)(x φ的定义域为 22≤≤-x 。

7. 设()f x 的定义域是[]0,1,则()x

f e 的定义域(,0]-∞

8.设()f x 的定义域是[]0,1,则(cos )f x 的定义域2,22

2k k π

πππ⎡⎤

-+

⎢⎥⎣

⎦

9. x

x

sin lim

x ∞→＝ 0

(

10.()()()=+-+∞→17

6

1125632lim x x x x 176

5

3。

11.x x x

)2

1(lim -∞

→＝ 2

e -

12.当∞→x 时，

x

1

是比3-+x 13.当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则=a 2

3-

14.若数列}{n x 收敛，则数列}{n x 是否有界 有界 。 15.若A x f x x =→)(lim 0

（A 为有限数），而)(lim 0

x g x x →不存在，

则)]()([lim 0

x g x f x x +→ 不存在 。

16.设函数)(x f 在点0x x =处连续，则)(x f 在点0x x =处是否连续。（ 不一定 ） 17.函数2

31

22

++-=

x x x y 的间断点是－1、－2 18. 函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在该点处有定义的充分条件；函数)(x f 在0x 处有定义是)(x f 在该点处有极限的无关条件。（填：充要，必要，充分，既不充分也不必要，无关）。

、

19.函数左右极限都存在且相等是函数极限存在的 充要 条件，是函数连续的 必要 条件。（填：充分、必要、充要、既不充分也不必要） 21.函数x

y 1

=

在区间[)2,1内的最小值是 不存在 22.已知⎪⎩

⎪⎨⎧≥+-<+=0,230

,)1ln(2sin )(2x k x x x x x

x f 在x ＝0处连续，则k ＝ 2 。

23.设)(x f 处处连续，且3)2(=f ，则 )2sin (3sin lim

0x

x

f x x x →＝ 9

24.a x =是a

x a x y --=

的第 1 类间断点，且为 跳跃 间断点.

25.0=x 是x

y 1

cos

2

=的第 2 类间断点，且为 振荡 间断点. 26．设函数⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧<+=>+=--1 ,1b 1

,1,)1(1)(2

)1(1

2

x x x a x e x x f x ,当=a 0 ，=b －1 时，函数)(x f 在点x=1处连续.

27.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：

（1）数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的 必要 条件。数列{}n x 收敛是数列{}n x 有界的 充分 条件。

（2）()f x 在0x 的某一去心邻域内有界是0

lim ()x x f x →存在的 必要 条件。0

lim ()x x f x →存在是()f x 在

0x 的某一去心邻域内有界的 充分 条件。

~

（3）()f x 在0x 的某一去心邻域内无界是0

lim ()x x f x →=∞存在的 必要 条件。0

lim ()x x f x →=∞存在是

()f x 在0x 的某一去心邻域内无界的 充分 条件。

二、选择

1.如果0

lim ()x x f x →+

与0

lim ()x x f x →-

存在，则（ C ）.

（A ）0

lim ()x x

f x →存在且00

lim ()()x x

f x f x →=

（B ）0

lim ()x x

f x →存在但不一定有00

lim ()()x x

f x f x →=

（C ）0

lim ()x x

f x →不一定存在

（D ）0

lim ()x x

f x →一定不存在

2.如果()∞=→x f x x 0

lim ，()∞=→x g x x 0

lim ，则必有（ D ）。

A 、()()[]∞=+→x g x f x x 0

lim B 、()()[]0lim 0

=-→x g x f x x

C 、()()

01

lim

=+→x g x f x x D 、()∞=→x kf x x 0lim （k 为非零常数）

、

3.当∞→x 时，arctgx 的极限（ D ）。

A 、2

π

=

B 、2

π

-

= C 、∞= D 、不存在，但有界

4.1

1lim

1

--→x x x （ D ）。

A 、1-=

B 、1=

C 、=0

D 、不存在

5.当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（ C ）。 A 、x 1sin

B 、x

x sin C 、12--x

D 、x ln 6. 下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的有（ A ）。

A 、()+

→0lg x x B 、()1lg →x x C 、1

3

2+x x ()+∞→x D 、()-→01

x e x 7.无穷小量是（ C ）.

（A ）比0稍大一点的一个数 （B ）一个很小很小的数 】

（C ）以0为极限的一个变量 （D ）常数0

8. 如果)(),(x g x f 都在0x 点处间断，那么（ D ）

（A ）)()(x g x f +在0x 点处间断 （B ）)()(x g x f -在0x 点处间断 （C ）)()(x g x f +在0x 点处连续 （D ）)()(x g x f +在0x 点处可能连续。 9.已知0

()

lim

0x f x x

→=，且(0)1f =，那么（ A ） （A ）()f x 在0x =处不连续。 （B ）()f x 在0x =处连续。 （C ）0

lim ()x f x →不存在。 （D ）0

lim ()1x f x →=

10.设2()43x x

f x x x

+=

- ，则0lim ()x f x →为（ D ）

（A ）

12 (B)1

3 (C) 1

4

(D)不存在

~