复积分的各种计算方法与应用

第1章 引言

曹

1.1研究背景及研究内容

复变函数的积分理论是复变函数理论的重要组成部分，是研究解析函数的重要工具之一.但对于如何计算复变函数积分以及如何处理有关复变函数积分的问题，往往很难迅速找到解决问题的方法.因此，理解复变函数积分，并能够灵活运用复积分计算方法进行复积分计算就显得极其重要.复积分中的Cauchy 积分定理在理论上处于关键地位，由它派生出的Cauchy 积分公式、留数定理、辐角原理等都涉及到积分的计算问题.解析函数在孤立奇点的留数原本是一个积分，而实际计算却需要Laurent 展式.因而把积分与级数结合起来的留数定理使复积分理论甚至是复变函数理论达到高潮，且其用途十分广泛.因此，研究复变函数积分计算的各种方法有着非常重要的意义，本文以所列参考文献[3]中的复积分计算方法为基础，并通过查阅相关资料，借鉴了文献[4]-[7]的结果，总结复积分计算的各种方法，并通过应用[1],[2],[8],[9]中的相关知识和方法，对所列出的每种方法作典型例证和分析.

1.2预备知识

定义1.1[3] 复积分 设有向曲线C ：()()βα≤≤=t t z z ,，以()αz a =为起点，

()βz b =为终点，()z f 沿C 有定义.顺着C 从a 到b 的方向在C 上依次取分点：011,,

,,n n a z z z z b -==.把曲线C 分成若干个弧段.在从1-k z 到k z ()n k ,..,2,1=的每

一弧段上任取一点k ζ.作成和数()1

n

n k k k S f z ζ==∆∑，其中1k k k z z z -∆=-.当分点无限

增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数n S 的极限存在且等于J ，则称()z f 沿C (从a 到b ）可积，而称J 为()z f 沿C (从a 到b ）的积分，并记以

()c

f z dz ⎰.C 称为积分路径. ()c

f z dz ⎰表示沿C 的正方向的积分，()c f z dz -

⎰

表

示沿C 的负方向的积分.

定义1.2[3] 解析函数 如果函数()z f 在0z 点及()z f 的某个邻域内处处可导，那么称 ()z f 在0z 点解析，如果()z f 在区域D 内解析就称()z f 是D 内的一个解析

函数.

定义1.3[3] 孤立奇点 若函数()z f 在点的0z 邻域内除去点0z 外处处是解析的，即在去心圆域{}00()N z z z z δδ=-<内处处解析，则称点0z 是()z f 的一个孤立奇点.

定义 1.4[3] 留数 函数()z f 在孤立奇点0z 的留数定义为

()1

2c f z dz i

π⎰，记作()0Re ,s f z z ⎡⎤⎣⎦.

第2章 复积分的各种计算方法

2.1复积分计算的常见方法

（1）参数方程法

定理[3] 设光滑曲线:()()()()C z z t x t iy t t αβ==+≤≤，(()z t '在[,]αβ上连续，且()0z t '≠)，又设()f z 沿C 连续，则()d [()]()d C

f z z f z t z t t β

α

'=⎰⎰.(α、β分别与

起、终点对应)

1.若曲线C 为直线段，先求出C 的参数方程

C 为过12,z z 两点的直线段，1211:(),[0,1],C z z z z t t z =+-∈为始点，2z 为终点.

例1 计算积分1Re d i

z z -⎰，路径为直线段.

解 设1(1)(1),[0,1]z i t t it t =-++=-+∈，则

1

1

210

1Re d (1)d 22

i

i

z z t i t t t i -⎛⎫

=-=-=- ⎪⎝⎭

⎰⎰

2.若曲线C 为圆周的一部分，例如C 是以a 为圆心，R 为半径的圆. 设:C z a R -=，即Re ,[0,2]i z a θθπ=+∈，（曲线的正方向为逆时针）. 例2 计算积分d ,C

z z C ⎰为从1-到1的下半单位圆周.

解 设,d d ,[,0]i i z e z ie θθθθπ==∈-，

d (cos sin )d 2C

z z i i π

θθθ-=+=⎰

⎰.

用Green 公式法也可计算复积分, Green 公式法是参数方程法的一种具体计算方法.

例3 设C 为可求长的简单闭曲线，A 是C 所围区域的面积，求证：

2c

zdz iA =⎰

.

证明 设z x iy =+，则

c

c

c

zdz xdx ydy i xdy ydx =++-⎰⎰⎰

由Green 公式，有：

0c

xdx ydy +=⎰

2c

xdy ydx A -=⎰

得证.

本题目用Green 公式解决了与区域面积有关的复积分问题. （2）用Newton-Leibnize 公式计算复积分

在积分与路径无关的条件下（即被积函数()f z 在单连通区域内处处解析）也可直接按类似于实积分中的Newton-Leibnize 公式计算.

例4 计算222

(2)d i z z -+-+⎰

.

解 因为2()(2)f z z =+在复平面上处处解析，所以积分与路径无关.

22222322

2

2

1(2)d (44)d 2433i

i i i

z z z z z z z z -+-+-+---+=++=++=-⎰

⎰

.

（3)用Cauchy 定理及其推论计算复积分

Cauchy 积分定理[3] 设函数()f z 在复平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则()d 0C

f z z =⎰.

Cauchy 积分定理的等价定理[3]

设函数()f z 在以周线C 为边界的闭域

D D C =+上解析, 则()d 0C

f z z =⎰

例5 计算2d ,22

C z

C z z ++⎰

为单位圆周1z =.

解 1z =是21

()22

f z z z =++的解析区域内的一闭曲线，由Cauchy 积分定理

有2d 022

C z

z z =++⎰.

注1 利用Cauchy 积分定理也有一定的局限性，主要是要求被积函数的解析区域是单连通的，计算起来较为方便.

注2 此题可用参数方法，但计算要复杂得多，而用Cauchy 积分定理很简单. 另外，Cauchy 积分定理可推广到复周线的情形.

定理[3] 设D 是由复周线012n

C C C C C --

-

=+++

+ 所围成的有界1n +连通 区域，函数()f z 在D 内解析，在D D C =+上连续，则()0C

f z dz =⎰，

或写成 ()()()0

1

0n

C C C f z dz f z dz f z dz -

-++

=⎰

⎰

⎰

，