离散数学第七章二元关系
离散数学第七章 关系-集合的笛卡尔积集
（a1,a2,…,an-1,an ）
笛卡尔积集
定义4 设A1，A2，…，An 是 n(≥2)个集合，这n 个集合的笛卡尔积集记作 A1×A2×…×An，
即
A1×…×An＝{(a1,a2,…,an)│ a1∊A1,┅,an∊An}
当 A1＝A2＝…＝An时, 记之为An, 即 An= A×A×…×A
第七章 关系
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 集合的笛卡尔积集 二元关系的基本概念 二元关系的性质 二元关系的闭包运算 等价关系和集合的划分 偏序关系和格 链与反链
目录（集合论）
第六章 集合（4学时） 第七章 关系（8学时） 第八章 函数与集合的势（5学时）
第七章 关系
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 集合的笛卡尔积集 二元关系的基本概念 二元关系的性质 二元关系的闭包运算 等价关系和集合的划分 偏序关系和格 链与反链
7.1 集合的笛卡尔积集
思路: 要分别证明 A×(B∪C)⊆(A×B)∪(A×C) (A×B)∪(A×C) ⊆A×(B∪C)
例１ 求证： A×(B∪C)=(A×B) ∪(A×C)
证明：对于任意的x，y， 若(x,y) ∊A×(B∪C)，即有x∊A且 y∊B或C. 若y∊B, 则 (x,y) ∊A×B； 若y∊C, 则 (x,y) ∊A×C ， 所以(x,y) ∊(A×B) ∪(A×C)，故 A×(B∪C)⊆(A×B)∪(A×C). 对于任意的x，y，若(x,y) ∊(A×B) ∪(A×C)， 即(x,y)∊A×B, 或 (x,y) ∊A×C. 若(x,y)∊A×B，则x∊A且 y∊B； 若(x,y)∊A×C，则x∊A且 y∊C。 所以x∊A且 y∊B∪C, 得(x,y)∊A×(B∪C)，故 (A×B)∪(A×C) ⊆A×(B∪C). 综上可知， A×(B∪C)=(A×B) ∪(A×C) 。
二元关系 离散数学
二元关系离散数学
二元关系是离散数学中非常重要的概念之一。
二元关系是指将两个元素组合在一起形成的一种关系。
例如，整数之间的“大于”、“小于”等关系。
在二元关系中，每个元素都称为关系的一部分。
二元关系可以用箭头或括号表示。
例如，如果我们有集合A={1，2，3}和集合B={a，b，c}，那么我们可以定义二元关系R={(1，a)，(1，b)，(2，b)}，这表示1和a、1和b，2和b之间存在关系。
二元关系的性质也是离散数学中非常重要的。
二元关系可以是自反的，反对称的，传递的和等价的。
自反关系表示每个元素都与自己存在关系，反对称关系表示如果两个元素之间存在关系，那么它们不能同时与相同的元素存在关系，传递关系表示如果两个元素之间存在关系，那么这种关系会传递到它们之间的其他元素之间，等价关系表示该关系是自反的、对称的和传递的。
这些性质有助于我们理解和描述二元关系。
二元关系在离散数学中有许多应用。
例如，它们可以用于网络分析、逻辑推理、图像处理等领域。
在计算机科学中，二元关系在数据库中的查询和排序算法中也有广泛应用。
总之，二元关系是离散数学中重要的概念之一，它将两个元素联系在一起，并具有许多重要的性质和应用。
离散数学ch2.二元关系(5、6、7节)
VS
详细描述
关系的对称差运算可以用符号表示为 R△S，其中 R 和 S 是两个关系。它包括 属于 R 但不属于 S，以及属于 S 但不属 于 R 的所有有序对。如果 (a, b) 在 R△S 中，那么 (a, b) 或者只属于 R，或者只属 于 S。
04
CATALOGUE
关系的闭包
闭包的定义
1 2
关系的交运算可以用符号表示为 R ∩ S，其中 R 和 S 是两个关系 。它包括同时属于 R 和 S 的所有 有序对。如果 (a, b) 在 R ∩ S 中 ，那么 (a, b) 同时是 R 和 S 的差是一种集合差集操作，它从第一个 关系中去除与第二个关系共有的元素。
中可以推导出的新事实。
数据完整性
03
在数据库设计中，闭包的概念用于确保数据的完整性和准确性
，防止出现冗余和不一致的情况。
05
CATALOGUE
关系的类型
函数关系
总结词
函数关系是一种特殊的二元关系，它满足每 个自变量都有唯一的因变量与之对应。
详细描述
在函数关系中，对于定义域中的每一个元素 ，在值域中都有唯一一个元素与之对应。这 种关系具有明确性、确定性和无重复性。常 见的函数关系有数学函数、映射函数等。
离散数学ch2.二元 关系(5、6、7节)
contents
目录
• 引言 • 二元关系的性质 • 关系的运算 • 关系的闭包 • 关系的类型 • 关系在数据库中的应用 • 关系在人工智能中的应用
01
CATALOGUE
引言
定义与概念
定义
二元关系是集合论中的一个基本概念 ，它描述了两个元素之间的联系。
在设计关系型数据库时，需要考虑数据结构、数据完整性、数据冗余和数 据安全性等方面。
同等学力研究生计算机学科离散数学基础第七章二元关系
第七章二元关系§1 有序对与笛卡尔积定义两个元素x与y按一定顺序排列构成的二元组称为一个有序对（或序偶），记为〈x,y〉，称x 为第一元素，y为第二元素。
性质 (1) ,,x y x y y x≠⇒〈〉≠〈〉(2) ,,x y u v x u y v〈〉=〈〉⇔=∧=例25 2,45,242xx x yx y+=⎧〈+〉=〈+〉⇒⎨=+⎩3,2x y⇒==−定义：设A、B为两个集合，称{},x y x A y B〈〉∈∧∈为集合A与B的笛卡尔积，记为A×B。
性质：(1) ,A A×=×=∅∅∅∅(2)笛卡尔积不满足交换律与结合律(3)笛卡尔积对并、交满足分配律×=××∪∪A B C A B A C()()()×=××∪∪B C A B A C A()()()×=××∩∩A B C A B A C()()()×=××∩∩B C A B A C A()()()(4)A C B D A B C D⊆∧⊆⇒×⊆×例A={1,2}，求P(A)×A。
§2 二元关系定义设R是集合，若R=∅或A≠∅且A中元素均为有序对，则称R为一个二元关系。
若〈x,y〉∈R，则称x与y有关系R，记为xRy。
定义：设A与B是两个集合，由A×B的子集定义的二元关系称为A到B的二元关系；当A=B 时，称之为A上的二元关系。
例 设A ={0,1}，则R 1={〈0,0〉,〈1,1〉}，R 2=∅， R 3=A ×A 都是A 上的二元关系。
例 设A 是n 元集，则A ×A 有n 2个元素，于是A ×A 有22n 个子集，由此得A 上有22n 个二元关系。
例 设A 是任一集合① 称∅是A 上的空关系 ② 称A ×A 是A 上的全域关系③ 称{},A I x x x A =〈〉∈是A 上的恒等关系。
离散数学结构 第7章 二元关系2
第7章二元关系2主要内容1. 有序对与卡氏积2. 二元关系（包括空关系，恒等关系，全域关系等）及其表示（关系矩阵，关系图）3. 关系的五种性质（自反性，反自反性，对称性，反对称性，传递性）4. 二元关系的幂运算5. 关系的三种闭包（自反闭包，对称闭包，传递闭包）6. 等价关系和划分（包括等价类，商集，划分块等）7. 偏序关系（包括哈斯图，最大元，最小元，极大元，极小元，上界，下界，最小上界，最大下界等）学习要求1. 掌握：有序对及卡氏积的概念及卡氏积的性质2. 掌握：二元关系，A到B的二元关系，A上的二元关系，关系的定义域和值域，关系的逆，关系的合成，关系在集合上的限制，集合在关系下的象等概念，掌握关系的定义域、值域、逆、合成、限制、象等的主要性质3. 掌握：关系矩阵与关系图的概念及求法4. 掌握：集合A上的二元关系的主要性质（自反性，反自反性，对称性，反对称性，传递性）的定义及判别法，对某些关系证明它们有或没有中的性质5. 掌握：A上二元关系的n次幂的定义及主要性质6. 掌握A上二元关系的自反闭包、对称闭包、传递闭包的定义及求法7. 掌握：等价关系、等价类、商集、划分、等概念，以及等价关系与划分之间的对应8. 掌握：偏序关系、偏序集、哈斯图、最大元、最小元、极大元、极小元、上界、下界、上确界、下确界等概念典型习题1. 下列等式中哪些成立？哪些不成立？为什么？2. 设A={1,2,3}, R={<x,y>|x,y∈A且x+3y<8}，S={<2,3>,<4,2>}，求下列各式：3. 说明下列关系是否是自反的、对称的、传递的或反对称的。
4. 设R是二元关系，设S={<a,b>|存在某个c，使得<a,c>∈R且<c,b>∈R}。
证明如果R是等价关系，则S也是等价关系。
5. 设R是Z上的模n等价关系，即x～y当且仅当x≡y(mod n)，试给出由R确定的Z的划分π。
离散数学第七章二元关系
19
证明
(2) 任取<x,y>, <x,y>∈(FG)1 <y,x>∈FG t (<y,t>∈F∧<t,x>∈G) t (<x,t>∈G1∧<t,y>∈F1) <x,y>∈G1 F1 所以 (F G)1 = G1 F1
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关系运算的性质
定理7.3 设R为A上的关系, 则 RIA= IAR=R <x,y> <x,y>∈RIA t (<x,t>∈R∧<t,y>∈IA) t (<x,t>∈R∧t=y∧y∈A) <x,y>∈R
例如 A = P(B) = {,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关系是 R = {<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>} 类似的还可以定义： 大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等.
注意： 关系矩阵适合表示从A到B的关系或A上的关系（A,B为有 穷集） 关系图适合表示有穷集A上的关系
11
实例
例4 A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, R的关系矩阵MR和关系图GR如下：
1 1 0 0 0 0 1 1 MR 0 0 0 0 0 1 0 0
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关系的表示
离散数学第七章 关系-二元关系的基本概念
“相关性”意义既可以是描述学生们所选取的课程, 以是表示学生对某些课程有偏爱。
也可
二元关系的四种表示方法 • • • • 有序二元组 表 图 矩阵
R1–R2 ={(x,y)│x∊A, y∊B, 学生x学习不喜欢课程y } R1⊕ R2 ={(x,y)│x∊A, y∊B, 学生x学习不喜欢课程y , 或者学生x喜欢课程y但不学习课程y}
逆关系
定义2 设A和B是两个集合, R是从A到B的一个二元关系
。令
R={(x,y) ∊ B×A│(y,x)∊R} 称之为R的逆关系。
例 A={a,b,c,d}, B={α,β,γ} R={ (a, α),(b, γ),(c, α),(c, γ),(d, β) }
a b c d β γ α
B A
α
β
γ
a
b c d
√
√ √ √ √
0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1
综上所述，结论R1 ◦△B = R1得证。
证明③ R1◦R2 = R2◦R1
对于任意的x,y, 若（x,y）∊R1◦R2，则(y，x)∊R1◦R2，所 以存在b∊B，使得（y，b）∊R1，（b，x）∊R2， 即有（x，b）∊R2，（b，y）∊R1， ∴（x，y）∊R1◦R2 。 故有 R1◦R2 ⊆R2◦R1 反之，对于任意的x,y, 若（x,y）∊R2◦R1， 则存在b∊B，使得（x，b）∊R2，（b，y）∊R1 ， 即（y，b）∊R1，（b，x）∊R2， ∴（y，x）∊R1◦R2 ，亦即（x，y）∊R1◦R2。
离散数学二元关系习题讲解
极 大 元
极 小 元
作业
2.设集合X={x1,x2,x3,x4,x5}上的偏序关系如下图所示 最 最 极 极 上 下 ，求X的最大元、最小元、极大元、极小元。求子 集 上 下 大 小 大 小 确 确 集X1={x2,x3,x4}，X合 ={x ,x ,x } ， X ={x ,x ,x } 的上 界 界 2 3 4 5 3 1 3 5 元 元 元 元 界 界 界、下界、上确界、下确界、最大元、最小元、极 大元和极小元。 X1 无 x4 x2， x4 x1 x x1 x4
3
偏序关系
1.设集合A={a,b,c,d,e,f,g,h}，对应的哈斯图见下图令 B1={a,b}，B2={c,d,e}。求出B1，B2的最大元、最小 元、极大元、极小元、上界、下界、上确界、下确 界。 h
f d
c a
4
g e
集 合 B1
最 大 元 无
最 小 元 无
b
B2
无
c
上 下 下 上界 确 确 界 界 界 c,d,e,f a,b a,b ,g,h 无 c 无 a, b, h c d,e c h c
x1
x3 x3 x1 x1
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X2
x2 x3
x3 x1 x1
无 x5 无
X3
x5 X
x4， x3， 无 x3 x5 x1 x x5 x1 x1
5
无 x5
x4
5
x4， x5
二元关系
二元关系基本概念(重点) 关系的运算 关系的性质(重点) 关系的闭包运算 等价关系与偏序关系(难点)
关系的性质
例5 判断下述关系所具备的性质。
(1)集合A上的恒等关系，全域关系。 (2)R1={<x,y>｜x≤y， x,y∈N}注：将≤改为＜? (3)R2={<x,y>｜x|y，x,y∈N-{0}} (4)R3={<S1,S2>｜S1S2，S1,S2∈P(S)}其中P(S)是 S的幂集。注：若改为? (5)R4={<x,y>｜x+y=偶数，x,y∈N}
离散数学复习————二元关系
离散数学复习————⼆元关系先吐槽⼀下我的民科⽼师吧，要不是你，我tm也不⽤⾃学⼀遍离散.脏话。
要想学好算法，先学离散，我的学校课程安排也不合理，⼀般都是先ds再离散的，我学校偏偏反着来，呵呵————————————————————————————————————————————————————————————⼆元关系顾名思义就是两个元素之间的关系，（关系就是集合）像这样的<x,y>的有序的⼆元组（向量）叫有序对，设A，B为集合，A中的元素为第⼀个元素，B中的元素为第⼆个元素，的集合叫笛卡尔（就是那个说我思故我在的家伙）集，。
记作A*B。
如果⼀个集合为空或为笛卡尔集则称这个集合为⼆元关系，简称为关系，设A，B为集合，A*B的任意⼦集所定义的关系称为从A到B的⼆元关系，当A=B时称为A上的⼆元关系，对于任意集合A，空集是A*A的⼦集，称作A上的空关系，对于任意集合A，有：偷⼀下懒对于x,y我们还可以定义其他关系⽐如x>y,则称⼩于关系等等————————————————————————————————————————————————关系的表述⽅法————集合表达式，关系矩阵和关系图。
————————————————————————————————————————————————关系的运算——————————————————————————————————————————————————————关系的性质 ⾃反，反⾃反，对称，反对称，传递。
这个课本上说的太抽象了，我⽤通俗的描述⼀下假设集合A，以及基于A上的关系R⾃反：如果a是A的元素，那么<a,a>是R的元素反⾃反：如果a是A的元素，那么<a,a>不是R的元素对称：如果<a,b>是R的元素，那么<b,a>是R的元素反对称：如果<a,b>，<b,a>是R的元素，那么a,b相等传递：如果<a,b>，<b,c>是R的元素，那么<a,c>是R的元素———————————————————————————————————————————————————————关系的闭包 设R是A上的关系，我们希望R具有某些有⽤的性质，⽐如⾃反性，如果不具有则我们可以往R中添加⼀些有序对来改造R成为R1，是R具有⾃反性，但有要求添加的有序对尽量少，满⾜⾃反性的R1就称为R的⾃反闭包，或者还可以求对称闭包，传递闭包等。
《离散数学》中二元关系传递性的判定
《离散数学》中二元关系传递性的判定1. 引言1.1 介绍二元关系二元关系是离散数学中一个非常重要的概念。
在离散数学的研究中，我们常常需要研究元素之间的各种关系，而二元关系就是其中一种最基本的形式。
简而言之，二元关系就是一个元素对的集合，其中每个对代表了两个元素之间的关系。
举个简单的例子来说明二元关系。
假设我们有一个集合A={1,2,3,4}，我们可以定义一个二元关系R为{(1,2),(2,3),(3,4)}。
在这个关系中，元素1和2之间存在关系，元素2和3之间也存在关系，但是元素1和3之间并没有直接的关系。
二元关系可以通过图形的形式来表示，通常我们用有向图或者无向图来表示不同类型的二元关系。
有向图中，每个节点代表集合中的一个元素，而每条边代表元素之间的关系。
无向图则更多地表示元素之间的对称关系。
通过研究二元关系，我们可以更深入地探讨元素之间的关系性质，为解决各种离散数学中的问题奠定基础。
在接下来的我们将深入研究二元关系的性质以及传递性的重要性。
1.2 引入传递性概念传递性是离散数学中一个重要的性质，它指的是如果集合中的元素之间存在某种关系，那么这种关系是否能够由某种规律或者条件连接起来，使得如果集合中的某两个元素之间存在这种关系，那么它们之间也存在这种关系。
传递性是二元关系中的一个基本概念，它能够帮助我们理解和分析集合中元素之间的关系，从而推断出更多的信息。
在离散数学中，传递性的概念是非常重要的。
通过传递性，我们可以将复杂的关系简化为更加清晰和直观的形式，从而更好地理解集合中元素之间的联系。
传递性也为我们解决问题提供了一种有效的方法，例如在图论、逻辑推理和关系代数等领域中，传递性都扮演着重要的角色。
了解二元关系的传递性及其判定方法对于深入学习离散数学是非常有帮助的。
在接下来的正文中，我们将详细介绍二元关系的定义、性质和传递性的概念，以及如何判定二元关系是否具有传递性，希望能够带给读者更多的启发和认识。
离散数学二元关系知识点总结
定义1
设R是A上的二元关系，nN，那么R的n次幂记为Rn，定义如下：
（1）R0是A上的相等关系，R0={<x, x> | xA}
（2）Rn+1= RnR
RmRn
（5）如果对每一x，y，zA，xRy，yRz蕴含着xRz，那么R是传递的。即
A上的关系R是传递的xyz(xAyAzAxRyyRzxRz)
《关系的合成》
定义1
设R1是从A到B的关系，R2是从B到C的关系，从A到C的合成关系记为R1R2，定义为
R1R2 = {<a, c> | aAcCb [bB<a, b>R1<b, c>R2]}R1R2有时记为R1R2。表示合成运算。
二元关系
《关系》
定义1
AX B的子集叫做A到B的一个二元关系
A1 X A2 X A3…Xan(n>1)的子集叫做A1 X A2 XA3…Xn上的一个n元关系。
An=A X A X… X A(n>1)的子集叫做A上的n元关系。
定义2
设R是Xn t=1Ai的子集，如果R=，则称R为空关系，如果R=Xn t=1Ai。则称R为全域关系。
D(R) = {x |y (<x, y>R)}叫做关系R的定义域。
R(R) = {y |x (<x, y>R)}叫做关系R的值域。
《关系矩阵和关系图》
矩阵：表达有限集合到有限集合的二元映射。
定义1
给定集合A= {a1, a2, …, an}和B= {b1, b2, …, bn}，及一个A到B的二元关系R，使
定义3
设R1是Xn t=1Ai上的n元关系,R2是Xmt=1Bi上的m元关系。那么R1 = R2，当且仅当n=m，且对一切i，1<=i<=n，Ai=Bi，并且R1和R2是相等的有序n重组集合。
《离散数学》中二元关系传递性的判定
《离散数学》中二元关系传递性的判定【摘要】《离散数学》中二元关系的传递性是重要的概念之一，本文将讨论传递性的定义、判定方法以及在离散数学中的具体应用。
文章首先介绍了传递性的概念，即对于集合A上的关系R，若aRb且bRc成立，则必有aRc成立。
然后详细讲解了传递性的判定方法，包括直接证明和间接证明两种方法。
文章探讨了离散数学中二元关系的传递性，通过实际例子解释了传递性在离散数学中的应用。
传递性在离散数学中具有重要意义，能够帮助我们理解和分析各种关系的性质。
通过深入学习传递性的概念和方法，我们能够更好地解决离散数学中的问题，提高数学建模和推理的能力。
【关键词】离散数学、二元关系、传递性、判定、定义、方法、结论1. 引言1.1 引言离散数学中的二元关系传递性是数学中一个重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用和意义。
在《离散数学》中，我们需要通过一定的方法来判定一个二元关系是否满足传递性。
传递性是二元关系的三个基本性质之一，它是指如果关系中的两对元素(a,b)和(b,c)都属于这个关系，那么元素(a,c)也必须属于这个关系。
换句话说，如果关系中存在一条从a到b的路径，且存在一条从b 到c的路径，那么一定存在一条从a到c的路径。
这个性质在描述事物之间的联系和转移关系时非常有用。
在离散数学中，我们可以通过一些方法来判定一个二元关系是否具有传递性。
这些方法包括使用定义，构造反例，或者通过数学推导等方式。
在实际问题中，我们可以通过观察和分析关系中的元素，找出其中的规律和特点，来判断这个关系是否满足传递性。
通过对离散数学中二元关系传递性的研究和探讨，我们可以更深入地理解关系和映射在数学中的重要性和应用。
在学习和应用中，我们需要灵活运用这些知识，解决实际问题，提高数学思维和分析能力。
部分就到这里，下面将介绍。
2. 正文2.1 传递性定义传递性是离散数学中一个非常重要的概念，在研究二元关系时经常会用到。
传递性的定义是指对于一个关系R，如果对于集合A中的任意元素a、b、c，如果(a, b)属于R且(b, c)属于R，则(a, c)也属于R。
离散数学中的二元关系
离散数学中的二元关系1 什么是二元关系二元关系是离散数学里面一个重要的概念，指的是两个可以分别属于两个集合A和B的元素之间的关系。
它是一种特殊的集合论概念，意味着在某一个函数f上，两个元素之间存在着一种单一的关系，这种关系被称之为二元关系。
这种二元关系可以用写成集合的形式也可以是表的形式。
2 二元关系表的一般形式一般的二元关系表的形式为：$f=\left\{\left(x,y\right)\inA\times B \mid P(x,y)\right\}$其中，A和B都是集合，P(x,y)是关于它们的关系式，学习中会有各种关系式，比如等于、不等于、大于及小于等。
3 二元关系的类型由于不同的二元关系关系式不同，所以，二元关系也可以分为多种类型。
常见的有：（1）等价关系：表示两个可以互换的元素之间的关系，一般以“=”表示，也可以一一对应；（2）全序关系：表示两个元素之间的一种“前大于后”的关系，一般以“>”或“<”表示，可以用来描述一种有序的类型；（3）传递关系：这种关系意味着“当关系式成立时，如果保持原有的条件不变，则关系式仍然成立”，这种关系一般以“++”表示；（4）偏序关系：和全序关系类似，也是一种前大于后的一种关系，但不代表完全的大小，只是一种大体的参照，一般以“>+”及“<+”表示；（5）子集关系：子集关系是一个集合是某个集合的子集，一般以“⊆”表示；（6）关联关系：此关系也称为满足关系，是指满足一定的关系式，两个或多个元素有直接或间接的关系，一般以“→”表示。
4 二元关系的应用二元关系是离散数学中很重要的概念，与它特殊的表达方式有着密切的联系。
在数学运算中，二元关系常常被用来表示集合之间的关系、排列组合以及概率等，还应用于计算机科学中的图论。
此外，在社会学、心理学等学科中，二元关系也被广泛应用，它有助于理解彼此之间的关系、区分概念及表达媒体变化等。
(完整版)离散数学二元关系
二、从A到B的关系与A上的关系 定义7.4 设A,B 为集合,A×B 的任何子集所定义的二 元关系叫做从A 到B 的二元关系,当A=B 时则叫做A 上 的二元关系. 例 A={0,1}, B={1,2,3}, 那么R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=∅, R4={<0,1>} R1, R2, R3, R4 是从A 到B 的二元关系, R3和R4同时 也是A 上的二元关系.
{<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,<3,a>,<3,b>
,<3,c>} B×A =
{<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>,<a,3>,<b,3>
,<c,3>}
2
注:笛卡儿积的性质 （1）不适合交换律 A×B ≠ B×A (A≠B, A≠∅, B≠∅) （2）不适合结合律 (A×B)×C ≠ A×(B×C) (A≠∅, B≠∅, C≠∅) （3）对于并或交运算满足分配律 A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C) (B∪C)×A = (B×A)∪(C×A) A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C) (B∩C)×A = (B×A)∩(C×A) （4）若A 或B 中有一个为空集，则A×B 就是空集. A×∅ = ∅×B = ∅ （5）若 |A| = m, |B| = n, 则 |A×B| = mn
这些性质是二元集{x,y}所不具备的.例如当x≠y 时 有{x,y}={y,x}.
1
二、笛卡儿积 定义7.2 设A,B 为集合，用A中元素为第一元素,B中 的元素为第二元素构成有序对.所有这样的有序对组 成的集合叫做A 与B 的笛卡儿积,记作A×B. 笛卡儿积的符号化表示为
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注意： 关系矩阵适合表示从A到B的关系或A上的关系（A,B为有 穷集） 关系图适合表示有穷集A上的关系
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实例
例4 A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, R的关系矩阵MR和关系图GR如下：
1 1 0 0 0 0 1 1 MR 0 0 0 0 0 1 0 0
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笛卡儿积的性质
(1) 不适合交换律 AB BA (AB, A, B) (2) 不适合结合律 (AB)C A(BC) (A, B, C) (3) 对于并或交运算满足分配律 A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA) A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA) (4) 若 A 或 B 中有一个为空集，则 AB 就是空集. A = B = (5) 若 |A| = m, |B| = n, 则 |AB| = mn
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实例
例2 (1) 证明A=B,C=D AC=BD (2) AC = BD是否推出 A=B,C=D? 为什么？ 解 (1) 任取<x,y> <x,y>AC xAyC xByD <x,y>BD (2) 不一定.反例如下： A={1}，B={2}, C = D = , 则AC = BD但是A B.
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关系的表示
1. 关系矩阵 若A={x1, x2, …, xm}，B={y1, y2, …, yn}，R是从A到B的 关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = [ rij ] mn, 其中 rij = 1 < xi, yj> R. 2. 关系图 若A= {x1, x2, …, xm}，R是从A上的关系，R的关系图是 GR=<A, R>, 其中A为结点集，R为边集. 如果<xi,xj>属于 关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边.
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性质证明
证明 A(BC) = (AB)(AC) 证 任取<x,y> <x,y>∈A×(B∪C) x∈A∧y∈B∪C x∈A∧(y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C) 所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
第七章 二元关系
主要内容 有序对与笛卡儿积 二元关系的定义与表示法 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系
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7.1 有序对与笛卡儿积
定义7.1 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的二元组 称为有序对，记作<x,y>.
有序对性质: (1) 有序性 <x,y><y,x> （当xy时） (2) <x,y>与<u,v>相等的充分必要条件是 <x,y>=<u,v> x=uy=v.
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笛卡儿积
定义7.2 设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作AB，且 AB = {<x,y>| xAyB}.
例1 A={1,2,3}, B={a,b,c} AB ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,<3,a>,<3,b>,<3,c>} BA ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>,<a,3>,<b,3>,<c,3>} A={}, B= P(A)A = {<,>, <{},>} P(A)B =
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实例
例如, A={1, 2}, 则 EA = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA = {<1,1>,<2,2>}
例如 A = {1, 2, 3}, B={a, b}, 则 LA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
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7.2 二元关系
定义7.3 如果一个集合满足以下条件之一： (1) 集合非空, 且它的元素都是有序对 (2) 集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如果<x,y>∈R, 可记作xRy；如果<x,y>R, 则记作x y
实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写1R2, aRb, a c等.
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A到B的关系与A上的关系
定义7.4 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A 到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.
例3 A R R1, R2, R3 8和 R
A上重要关系的实例
定义7.5 设 A 为集合, (1) 是A上的关系，称为空关系 (2) 全域关系 EA = {<x,y>| x∈A∧y∈A} = A×A 恒等关系 IA = {<x,x>| x∈A} 小于等于关系 LA = {<x,y>| x,y∈A∧x≤y}, A为实数子集 整除关系 DB = {<x,y>| x,y∈B∧x整除y}, A为非0整数子集 包含关系 R = {<x,y>| x,y∈A∧xy}, A是集合族.127.3 关系的运算
关系的基本运算 定义7.6 关系的定义域、值域与域分别定义为 domR = { x | y (<x,y>R) } ranR = { y | x (<x,y>R) } fldR = domR ranR