AR,MA,ARIMA模型介绍及案例分析
自回归AR模型、移动平均MA模型及自回归移动平均ARMA模型的比较分析
自回归AR模型、移动平均MA模型与自回归移动平均ARMA模型的比较分析系统中某一因素变量的时间序列数据没有确定的变化形式，也不能用时间的确定函数描述，但可以用概率统计方法寻求比较合适的随机模型近似反映其变化规律。
(自变量不直接含有时间变量,但隐含时间因素)1．自回归AR(p)模型（R：模型的名称P：模型的参数）（自己影响自己，但可能存在误差，误差即没有考虑到的因素）(1)模型形式（εt越小越好，但不能为0：ε为0表示只受以前Y的历史的影响不受其他因素影响）yt=φ1yt-1+φ2yt-2+……+φpyt-p+εt式中假设：yt的变化主要与时间序列的历史数据有关，与其它因素无关；εt不同时刻互不相关，εt与yt历史序列不相关。
式中符号：p模型的阶次，滞后的时间周期，通过实验和参数确定；yt当前预测值，与自身过去观测值yt-1、…、yt-p是同一序列不同时刻的随机变量，相互间有线性关系，也反映时间滞后关系；yt-1、yt-2、……、yt-p同一平稳序列过去p个时期的观测值；φ1、φ2、……、φp自回归系数，通过计算得出的权数，表达yt依赖于过去的程度，且这种依赖关系恒定不变；εt随机干扰误差项，是0均值、常方差σ2、独立的白噪声序列，通过估计指定的模型获得。
(2)识别条件当k>p时，有φk=0或φk服从渐近正态分布N(0,1/n)且(|φk|>2/n1/2)的个数≤4.5%，即平稳时间序列的偏相关系数φk为p步截尾，自相关系数rk逐步衰减而不截尾，则序列是AR(p)模型。
实际中，一般AR过程的ACF函数呈单边递减或阻尼振荡，所以用PACF函数判别(从p阶开始的所有偏自相关系数均为0)。
(3)平稳条件一阶：|φ1|<1。
二阶：φ1+φ2<1、φ1-φ2<1、|φ2|<1。
φ越大，自回归过程的波动影响越持久。
(4)模型意义仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标的影响和作用，不受模型变量相互独立的假设条件约束，所构成的模型可以消除普通回归预测方法中由于自变量选择、多重共线性等造成的困难。
AR,MA,ARIMA模型介绍及案例分析
BOX-JENKINS 预测法（1）()AR p 模型（AutoregressionModel ）——自回归模型p 阶自回归模型：式中，为时间序列第时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量；，为时序的滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量；是随机误差项；，，，为待估的（2）q t e ，1t e -，2t e -均参数。
（3）归模型改进的（1（2）(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型对于具有季节性的非平稳时序（如冰箱的销售量，羽绒服的销售量），也同样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。
这里的D 即为进行季节差分的阶数；,P Q 分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S 为季节周期的长度，如时序为月度数据，则S =12，时序为季度数据，则S =4。
在SPSS19.0中的操作如下● 必须要先打开一个数据源，才可以定义日期● 数据→定义日期→选择日期的起始点，此时变量栏中会出现日期变量。
（3）ARIMAX 模型在(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型中，再加入除自身滞后时序变量以外的解释变量X 。
模型的识别模型的识别的本质是确定(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 中的,,p d q 以及,,P D Q 与S 的取值。
借助于自相关函数（AutocorrelationFunction,ACF ）以及自相关分析图和偏自相关函数（PartialCorrelationFunction,PACF ）以及偏自相关分析图来识别时序特性，并进一步确定p 、q 、P 、Q 。
自相关函数k r关系数未进入置信区间，说明该序列非平稳，2步时，差分选项选择1或2。
偏自相关函数偏自相关函数是时间序列t Y ，在给定了121,,t t t k Y Y Y ---+的条件下，t Y 与t k Y -之间的条件相关。
由于它需要考虑排除其他滞后期的效应，因而被称为偏自相关。
AR,MA,ARIMA模型介绍及案例分析
BOX-JENKINS 预测法1 适用于平稳时序的三种基本模型（1）()AR p 模型（Auto regression Model ）——自回归模型p 阶自回归模型：式中，为时间序列第时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量；，为时序的滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量；是随机误差项；，，，为待估的自回归参数。
（2）()MA q 模型（Moving Average Model ）——移动平均模型q 阶移动平均模型：式中，μ为时间序列的平均数，但当{}t y 序列在0上下变动时，显然μ=0，可删除此项；t e ，1t e -，2t e -，…，t q e -为模型在第t 期，第1t -期，…，第t q -期的误差；1θ，2θ，…，q θ为待估的移动平均参数。
（3）(,)ARMA p q 模型——自回归移动平均模型（Auto regression Moving Average Model ）模型的形式为：显然，(,)ARMA p q 模型为自回归模型和移动平均模型的混合模型。
当q =0,时，退化为纯自回归模型()AR p ；当p =0时，退化为移动平均模型()MA q 。
2 改进的ARMA 模型（1）(,,)ARIMA p d q 模型这里的d 是对原时序进行逐期差分的阶数，差分的目的是为了让某些非平稳（具有一定趋势的）序列变换为平稳的，通常来说d 的取值一般为0,1,2。
对于具有趋势性非平稳时序，不能直接建立ARMA 模型，只能对经过平稳化处理，而后对新的平稳时序建立(,)ARMA p q 模型。
这里的平文化处理可以是差分处理，也可以是对数变换，也可以是两者相结合，先对数变换再进行差分处理。
（2）(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型对于具有季节性的非平稳时序（如冰箱的销售量，羽绒服的销售量），也同样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。
这里的D 即为进行季节差分的阶数；,P Q 分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S 为季节周期的长度，如时序为月度数据，则S =12，时序为季度数据，则S =4。
ARMAARIMA模型介绍及案例分析
ARMAARIMA模型介绍及案例分析AR、MA和ARIMA是时间序列分析中常见的模型，用于分析和预测时间序列数据的特征和趋势。
下面将对这三种模型进行介绍，并提供一个案例分析来展示它们的应用。
自回归模型（AR）是一种基于过去的观测值来预测未来观测值的模型。
它基于一个假设：未来的观测值可以由过去的观测值的线性组合来表示。
AR模型的一般形式可以表示为：y_t=c+ϕ_1*y_(t-1)+ϕ_2*y_(t-2)+...+ϕ_p*y_(t-p)+ε_t其中，y_t表示时间t的观测值，c是常数项，ϕ_1至ϕ_p是自回归系数，p是自回归阶数，ε_t是误差项。
AR模型的关键是确定自回归阶数p和自回归系数ϕ。
移动平均模型（MA）是一种基于过去的误差项来预测未来观测值的模型。
它基于一个假设：未来的观测值的误差项可以由过去的误差项的线性组合来表示。
MA模型的一般形式可以表示为：y_t=c+ε_t+θ_1*ε_(t-1)+θ_2*ε_(t-2)+...+θ_q*ε_(t-q)其中，y_t表示时间t的观测值，c是常数项，ε_t是误差项，θ_1至θ_q是移动平均系数，q是移动平均阶数。
MA模型的关键是确定移动平均阶数q和移动平均系数θ。
自回归移动平均模型（ARIMA）结合了AR和MA模型的特点，同时考虑了时间序列数据的趋势性。
ARIMA模型一般形式可以表示为：y_t=c+ϕ_1*y_(t-1)+ϕ_2*y_(t-2)+...+ϕ_p*y_(t-p)+ε_t+θ_1*ε_(t-1)+θ_2*ε_(t-2)+...+θ_q*ε_(t-q)其中，y_t表示时间t的观测值，c是常数项，ϕ_1至ϕ_p是自回归系数，p是自回归阶数，ε_t是误差项，θ_1至θ_q是移动平均系数，q是移动平均阶数。
ARIMA模型的关键是确定自回归阶数p、移动平均阶数q和相关系数ϕ和θ。
下面举一个电力消耗预测的案例来展示AR、MA和ARIMA模型的应用：假设有一段时间内的电力消耗数据，我们想要用AR、MA和ARIMA模型来预测未来一段时间内的电力消耗。
时序预测中的ARIMA模型详解(Ⅱ)
时序预测中的ARIMA模型详解时序预测是一项重要的研究课题，它涉及到对未来一段时间内的数据进行预测和分析。
在时序预测中，ARIMA（自回归移动平均）模型是一种常用的预测方法，它能够对时间序列数据进行建模和预测，具有较好的预测效果。
本文将对ARIMA模型进行详细地介绍和分析，以便读者更好地了解和应用该模型。
1. ARIMA模型的基本概念ARIMA模型是由自回归（AR）模型、差分（I）运算和移动平均（MA）模型组成的。
AR模型是指时间序列数据与其过去若干个时间点的值之间存在线性关系，而MA模型是指时间序列数据与其滞后值的误差之间存在线性关系。
差分运算是指对时间序列数据进行差分处理，将非平稳时间序列数据转换成平稳时间序列数据。
ARIMA模型能够很好地处理非平稳时间序列数据，并且适用于各种类型的时间序列预测问题。
2. ARIMA模型的建模过程ARIMA模型的建模过程包括模型识别、参数估计和模型检验三个步骤。
模型识别是指根据时间序列数据的自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）来确定ARIMA模型的阶数。
参数估计是指利用最大似然估计方法对ARIMA模型的参数进行估计。
模型检验是指对所建立的ARIMA模型进行残差检验，以验证模型的拟合效果和预测能力。
这三个步骤是建立ARIMA模型的关键，需要认真对待和仔细分析。
3. ARIMA模型的应用场景ARIMA模型适用于多种时间序列预测问题，例如股票价格预测、气温预测、销售额预测等。
在金融领域，ARIMA模型能够较好地捕捉股票价格的波动规律，帮助投资者进行风险控制和收益预测。
在气象领域，ARIMA模型能够准确地预测未来的气温变化趋势，为农业生产和城市规划提供重要参考。
在商业领域，ARIMA模型能够有效地预测销售额的变化，帮助企业制定营销策略和库存管理计划。
可以看出，ARIMA模型具有广泛的应用前景和市场需求。
4. ARIMA模型的局限性尽管ARIMA模型在时序预测中具有较好的预测效果，但它也存在一定的局限性。
常见时间序列算法模型
常见时间序列算法模型
1. AR模型（自回归模型）：AR模型是一种基本的时间序列模型，它假设当前时刻的观测值与过去时刻的观测值之间存在线性关系。
AR模型根据过去的一系列观测值来预测未来的观测值。
2. MA模型（滑动平均模型）：MA模型也是一种基本的时间序列模型，它假设当前时刻的观测值与过去时刻的误差项之间存在线性关系。
MA模型根据过去的一系列误差项来预测未来的观测值。
3. ARMA模型（自回归滑动平均模型）：ARMA模型结合了AR模型和MA模型的特点，它假设当前时刻的观测值既与过去时刻的观测值有关，又与过去时刻的误差项有关。
ARMA 模型根据过去的观测值和误差项来预测未来的观测值。
4. ARIMA模型（自回归积分滑动平均模型）：ARIMA模型是对ARMA模型的扩展，它引入了差分操作，用来对非平稳时间序列进行平稳化处理。
ARIMA模型根据差分后的时间序列的观测值和误差项来预测未来的观测值。
5. SARIMA模型（季节性自回归积分滑动平均模型）：SARIMA模型是对ARIMA模型的扩展，用于处理具有季节性的时间序列。
SARIMA模型基于季节性差分后的观测值和误差项来预测未来的观测值。
6. LSTM模型（长短期记忆网络）：LSTM模型是一种递归神经网络模型，它通过学习时间序列中的长期依赖关系来进行预测。
LSTM模型能够捕捉到时间序列中的复杂模式，适用于处理非线性和非稳定的时间序列。
以上是几种常见的时间序列算法模型，可以根据具体问题选择合适的模型进行建模和预测。
ARMAARIMA模型介绍及案例分析
ARMAARIMA模型介绍及案例分析ARMAARIMA模型是一种时间序列分析方法，用于对具有自回归和移动平均特性的数据进行建模和预测。
这个模型是由自回归（AR）和移动平均（MA）两个组成部分构成的，对于非平稳的数据还需要加入差分（I）的过程，所以称为ARMAARIMA模型。
ARMA模型是根据时间序列的自相关和滑动平均性质来进行建模的。
自回归是指当前数据与历史数据之间的相关关系，移动平均则关注当前数据与滞后差分误差之间的关系。
ARMA模型的一般形式可以表示为：Y(t)=c+φ₁Y(t-1)+...+φₚY(t-p)+ε(t)-θ₁ε(t-1)-...-θₚε(t-q)其中，Y(t)表示当前的观测值，c是常数，φ₁...φₚ是自回归系数，ε(t)是白噪声误差项，θ₁...θₚ是滑动平均系数，p和q分别表示AR和MA的阶数。
对于非平稳的时间序列数据，需要进行差分操作，即I（积分）的过程，来将数据变为平稳的。
差分阶数常用d表示。
而ARIMA（自回归移动平均积分模型）则是对ARMA模型进行补充，主要针对非平稳时间序列数据。
ARIMA模型的一般形式可以表示为：ΔY(t)=c+φ₁ΔY(t-1)+...+φₚΔY(t-p)+ε(t)-θ₁ε(t-1)-...-θₚε(t-q)其中ΔY(t)表示差分后的序列，其他参数与ARMA模型类似。
下面以一个股票价格的时间序列数据为例进行ARMAARIMA模型的案例分析。
假设我们有一段时间内的股票价格数据，要通过ARMAARIMA模型对未来的股票价格进行预测。
首先，我们需要对数据进行平稳性检验，可以使用单位根检验（如ADF检验）来确定是否需要进行差分。
接下来，需要确定ARMA模型的阶数，可以通过观察自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）来确定。
根据图形的截尾和拖尾情况，可以估计出AR和MA的阶数。
然后，可以利用最大似然估计方法来估计模型参数，这可以通过软件来实现。
在估计参数之后，需要对模型进行检验，主要包括检查残差序列是否为白噪声，可以通过自相关图和偏自相关图进行检查。
时间序列分析教程(四)AR与MA模型详细分析(公式推导慎入)
时间序列分析教程（四）AR与MA模型详细分析（公式推导慎入）时间序列分析中，AR模型（Autoregressive Model）和MA模型（Moving Average Model）是两种常用的模型类型。
本教程将详细介绍AR和MA模型的公式推导，让读者更好地理解其原理和应用。
首先，我们先来解释AR和MA模型的概念。
AR模型是一种基于时间序列过去的值来预测未来值的模型。
AR模型的基本思想是当前值与过去若干个时间点的值相关，即当前值是过去值的加权和。
AR模型的表示形式为AR(p)，其中p表示过去时间点的数量。
MA模型是一种基于时间序列过去的误差项来预测未来值的模型。
MA 模型的基本思想是当前值与过去若干个时间点的误差项相关，即当前值是过去误差的加权和。
MA模型的表示形式为MA(q)，其中q表示过去误差的数量。
下面我们将对AR和MA模型的公式进行推导。
一、AR模型的公式推导假设我们有一个时间序列{Y_t}，其中Y_t表示时间点t的值。
AR(p)模型的一般形式为：Y_t=c+ϕ₁Y_(t-1)+ϕ₂Y_(t-2)+...+ϕ_pY_(t-p)+ε_t其中c是常数项，ϕ₁、ϕ₂、..、ϕ_p是过去时间点的权重系数，ε_t 是一个白噪声误差项。
为了方便推导，我们将AR(p)模型简化为AR(1)模型，即只考虑过去一个时间点的值。
即：Y_t=c+ϕY_(t-1)+ε_t我们首先假设时间序列{Y_t}是平稳的，即均值和方差不随时间变化。
然后，我们将AR(1)模型代入Y_(t-1)的表达式中，得到：Y_t=c+ϕ(c+ϕY_(t-2)+ε_(t-1))+ε_t展开后整理得：Y_t=c(1+ϕ)+ϕ²Y_(t-2)+ϕε_(t-1)+ε_t再次代入Y_(t-2)的表达式中，得到：Y_t=c(1+ϕ+ϕ²)+ϕ³Y_(t-3)+ϕ²ε_(t-2)+ϕε_(t-1)+ε_t以此类推，我们可以得到AR(1)模型的一般表达式：Y_t=c(1+ϕ+ϕ²+...+ϕ^p-1)+ϕ^pY_(t-p)+ϕ^(p-1)ε_(t-p+1)+...+ϕ²ε_(t-2)+ϕε_(t-1)+ε_t其中，c(1+ϕ+ϕ²+...+ϕ^p-1)是常数项，ϕ^pY_(t-p)是过去p个时间点的加权和，ϕ^(p-1)ε_(t-p+1)、..、ϕ²ε_(t-2)、ϕε_(t-1)和ε_t是误差项。
浅谈时间序列分析——以ARIMA为例
浅谈时间序列分析——以ARIMA为例时间序列分析是运用统计学中的方法，对一系列按时间顺序排列的数据进行分析和预测的一种方法。
它可以帮助我们理解时间序列数据的趋势、季节性、周期性和随机性等特征，进而进行预测和决策。
ARIMA模型是时间序列模型中最常用的一种，它的全称是自回归移动平均模型(AutoRegressive Integrated Moving Average Model)。
ARIMA模型通过对时间序列进行差分、自回归和移动平均等操作，建立了一个线性的预测模型。
主要分为三个部分：自回归(AR)、差分(Integrated)和移动平均(MA)。
首先，自回归过程是指时间序列的当前值与前几个值之间的线性关系。
例如，AR(1)模型表示当前值与前一个值之间存在线性关系。
自回归的阶数p代表了与前p个值相关的线性关系。
自回归过程可以表示为：Y(t)=c+ϕ1*Y(t-1)+…+ϕp*Y(t-p)+ε(t)其中，c是常数项，ϕ1,…,ϕp是模型的系数，Y(t)是时间序列的当前值，Y(t-1),…,Y(t-p)是前p个时刻的值，ε(t)是白噪声误差。
其次，差分过程是为了消除非平稳性，使得时间序列变得平稳。
差分操作简单地说就是对时间序列的当前值与前一个值之间的差。
差分的阶数d代表了操作的次数。
差分过程可以表示为：dY(t)=Y(t)-Y(t-1)然后，移动平均过程是指时间序列的当前值与前几个误差项之间的线性关系。
例如，MA(1)模型表示当前值与前一个误差项之间存在线性关系。
移动平均的阶数q代表了与前q个误差项相关的线性关系。
移动平均过程可以表示为：Y(t)=c+θ1*ε(t-1)+…+θq*ε(t-q)+ε(t)其中，c是常数项，θ1,…,θq是模型的系数，ε(t-1),…,ε(t-q)是前q个时刻的误差项，ε(t)是当前时刻的误差项。
综上所述，ARIMA模型就是将自回归、差分和移动平均三个过程结合起来建立一个线性预测模型，用于对时间序列进行分析和预测。
AR,MA,ARIMA模型介绍及案例分析
BOX-JENKINS 预测法1 适用于平稳时序的三种基本模型（1）()AR p 模型（Auto regression Model ）——自回归模型p 阶自回归模型：式中，为时间序列第时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量；，为时序的滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量；是随机误差项；，，，为待估的自回归参数。
（2）()MA q 模型（Moving Average Model ）——移动平均模型q 阶移动平均模型：式中，μ为时间序列的平均数，但当{}t y 序列在0上下变动时，显然μ=0，可删除此项；t e ，1t e -，2t e -，…，t q e -为模型在第t 期，第1t -期，…，第t q -期的误差；1θ，2θ，…，q θ为待估的移动平均参数。
（3）(,)ARMA p q 模型——自回归移动平均模型（Auto regression Moving Average Model ）模型的形式为：显然，(,)ARMA p q 模型为自回归模型和移动平均模型的混合模型。
当q =0,时，退化为纯自回归模型()AR p ；当p =0时，退化为移动平均模型()MA q 。
2 改进的ARMA 模型（1）(,,)ARIMA p d q 模型这里的d 是对原时序进行逐期差分的阶数，差分的目的是为了让某些非平稳（具有一定趋势的）序列变换为平稳的，通常来说d 的取值一般为0,1,2。
对于具有趋势性非平稳时序，不能直接建立ARMA 模型，只能对经过平稳化处理，而后对新的平稳时序建立(,)ARMA p q 模型。
这里的平文化处理可以是差分处理，也可以是对数变换，也可以是两者相结合，先对数变换再进行差分处理。
（2）(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型对于具有季节性的非平稳时序（如冰箱的销售量，羽绒服的销售量），也同样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。
这里的D 即为进行季节差分的阶数；,P Q 分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S 为季节周期的长度，如时序为月度数据，则S =12，时序为季度数据，则S =4。
浅谈时间序列分析——以ARIMA为例
浅谈时间序列分析——以ARIMA为例时间序列分析是研究固定时间间隔下观测到的数据的统计方法，可以用于预测未来数据趋势、检验数据的稳定性和相关性等问题。
ARIMA（自回归移动平均模型）是时间序列分析中应用广泛的方法之一，结合自回归模型和移动平均模型，可以对具有一定规律性的时间序列数据进行建模和预测。
ARIMA模型的核心思想是通过对过去时间点的观测值进行回归分析，得到一个线性函数，然后通过对残差进行移动平均，得到模型的建模。
ARIMA模型包括三个参数，分别为p、d和q:1.p表示自回归（AR）的阶数，即利用过去p个时间点的观测值来预测当前时间点的观测值。
自回归模型假设当前观测值与过去观测值之间存在相关性。
2. d表示差分（difference）的次数，即对时间序列进行平稳化处理的阶数。
如果原始数据不平稳，需要对其进行一阶或多阶差分，使得序列变得平稳。
3.q表示移动平均（MA）的阶数，即利用过去q个时间点的残差来预测当前时间点的观测值。
移动平均模型假设当前观测值与过去残差之间存在相关性。
ARIMA模型的选择可以通过观察自相关图（ACF）和部分自相关图（PACF）来确定，ACF表示给定滞后度的观测值与其他滞后度的观测值之间的相关性，PACF表示给定滞后度的观测值与其他滞后度的观测值之间的部分相关性。
在实际应用中，ARIMA模型的建立需要经过以下步骤：1.对原始时间序列进行平稳性检验。
平稳序列的均值和方差应该是常数，相关性不随时间变化而变化。
2.如果序列不平稳，需要进行差分运算，直到序列变为平稳序列为止。
3.对差分后的序列进行ACF和PACF分析，确定合适的ARIMA阶数。
4.根据确定的ARIMA阶数，进行模型拟合。
可以使用极大似然估计法或最小二乘法来估计模型参数。
5.检验模型残差的平稳性和正态性。
对于平稳性和正态性的检验，可以使用ADF检验和Q-Q图。
6.利用已经确定的模型对未来的数据进行预测。
ARIMA模型的建立虽然相对简单，但对数据的平稳性和阶数的选择要求较高。
时序预测中的ARIMA模型详解(十)
时序预测中的ARIMA模型详解一、引言时序预测是指根据一系列时间上连续的数据，对未来时间点或时间段内的数据进行预测。
这种预测方法在经济、金融、气象、交通等领域都有着广泛的应用。
而在时序预测中，ARIMA模型是一种常用的方法，本文将对ARIMA模型进行详细解读。
二、ARIMA模型概述ARIMA模型是自回归移动平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model）的缩写，它是一种基于时间序列数据的预测模型。
ARIMA模型包含三个部分，分别为自回归(AR)、差分(I)和移动平均(MA)。
ARIMA模型的基本思想是，通过将非平稳的时间序列数据进行差分，使其成为平稳序列，然后建立ARMA模型进行预测。
三、ARIMA模型的建模过程1. 根据数据特征确定模型参数在建立ARIMA模型之前，首先需要对时间序列数据进行分析。
通过观察数据的自相关性和偏自相关性函数图，确定ARIMA模型的阶数。
自相关性函数图可以帮助我们找到时间序列数据的自相关性模式，从而确定AR模型的阶数。
偏自相关性函数图则可以帮助我们确定MA模型的阶数。
2. 数据平稳化ARIMA模型要求时间序列数据是平稳的，因此如果数据是非平稳的，需要对其进行差分处理。
差分的目的是使数据的均值和方差保持不变，从而使其成为平稳序列。
3. 模型训练和预测在确定了ARIMA模型的阶数和对数据进行平稳化后，就可以进行模型的训练和预测。
模型的训练是指利用历史数据对ARIMA模型的参数进行估计，然后利用训练好的模型进行未来数据的预测。
四、ARIMA模型的优缺点ARIMA模型作为一种经典的时序预测模型，具有以下优点：1. 适用性广泛：ARIMA模型适用于各种类型的时间序列数据，包括具有趋势和季节性的数据。
2. 参数可解释性强：ARIMA模型的参数具有明确的统计学意义，便于解释和理解。
然而，ARIMA模型也有一些缺点：1. 对数据要求高：ARIMA模型要求时间序列数据是平稳的，而有些实际数据不满足这一条件，需要进行差分处理。
时间序列分析中的ARIMA算法介绍及应用案例分析
时间序列分析中的ARIMA算法介绍及应用案例分析时间序列分析是一种从历史数据中提取信息并预测未来趋势的方法，它在金融、经济、气象等领域有广泛的应用。
而ARIMA模型则是时间序列分析中最常用的一种模型。
本文将介绍ARIMA模型的原理及应用案例。
一、ARIMA模型的原理ARIMA模型全称为AutoRegressive Integrated Moving Average Model，即自回归积分滑动平均模型。
它是一种将自回归模型和滑动平均模型结合在一起的时间序列模型，用于对非平稳时间序列进行建模和预测。
ARIMA模型可以表示为ARIMA(p, d, q)，其中p表示自回归项数，d表示差分次数，q表示滑动平均项数。
如果时间序列是平稳的，可以使用ARMA模型，而非平稳时间序列则需要使用ARIMA模型。
ARIMA模型的建立一般有三个步骤：确定阶数，估计系数，检验模型。
首先，我们需要通过观察时间序列的自相关图和偏自相关图来确定p和q的值。
自相关图可以反映时间序列的自相关性，即同一时间点前后的样本值之间的相关性。
而偏自相关图是指当与其他滞后时期的影响被移除后，两个时期之间的相关性。
如图1所示：图1 自相关图和偏自相关图在确定p和q的值之后，我们需要进行差分运算，将非平稳序列转换为平稳序列，以确保ARIMA模型的有效性。
当d=1 时，表示进行一次一阶差分运算，将原来时间序列的差分序列变为平稳序列。
当然也有可能需要进行多阶差分。
最后，我们需要通过最大似然估计法或最小二乘法来估计ARIMA模型的系数，进而用模型进行预测。
二、ARIMA模型的应用案例为了更好地理解ARIMA模型的应用，我们可以通过一个实际案例来进行分析。
案例：某导购商城每天的销售额某月份的数据如下：日期销售额（万元）2020-06-01 1022020-06-02 892020-06-03 772020-06-04 622020-06-05 812020-06-06 932020-06-07 1042020-06-08 982020-06-09 762020-06-10 702020-06-11 672020-06-12 932020-06-13 93 2020-06-14 111 2020-06-15 93 2020-06-16 77 2020-06-17 72 2020-06-18 56 2020-06-19 81 2020-06-20 99 2020-06-21 110 2020-06-22 104 2020-06-23 81 2020-06-24 75 2020-06-25 59 2020-06-26 84 2020-06-27 95 2020-06-28 112 2020-06-29 92 2020-06-30 77通过观察时间序列的图像，我们可以看出该序列的趋势、季节性和噪声。
实验三序列相关和ARIMA模型分析
第三章序列相关和ARIMA模型分析一、实验目的了解AR , MA以及ARIMA 模型的特点，了解三者之间的区别联系，以及AR与MA的转换，掌握如何利用自相关系数和偏自相关系数对ARIMA模型进行识别，利用最小二乘法等方法对ARIMA模型进行估计，利用信息准则对估计的ARIMA模型进行诊断，以及如何利用ARIMA 模型进行预测。
掌握在实证研究如何运用Eviews软件进行ARIMA模型的识别、诊断、估计和预测。
二、基本概念所谓ARIMA模型，是指将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。
ARIMA模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程（MA ）、自回归过程（AR ）、自回归移动平均过程（ARMA ）以及ARIMA 过程。
在ARIMA模型的识别过程中，我们主要用到两个工具：自相关函数（简称ACF），偏自相关函数（简称PACF）以及它们各自的相关图（即ACF、PACF相对于滞后长度描图）。
对于一个序列丫七来说，它的第j阶自相关系数（记作j）定义为它的j阶自协方差除以它的方差，即j = 打o，它是关于j的函数，因此我们也称之为自相关函数，通常记ACF（j）。
偏自相关函数PACF（j）度量了消除中间滞后项影响后两滞后变量之间的相关关系。
三、实验内容及要求1实验内容：根据1995年1月〜2005年1月我国货币供应量（广义货币M2 ）的月度时间数据来说明在Eviews软件中如何利用B-J方法论建立合适的ARIMA （p,d,q）模型，并利用此模型进行数据的预测。
2、实验要求：（1）深刻理解上述基本概念；（2）思考：如何通过观察自相关，偏自相关系数及其图形，禾U用最小二乘法，以及信息准则建立合适的ARIMA模型；如何利用ARIMA模型进行预测；（3）熟练掌握相关Eviews操作。
四、实验指导1、ARIMA模型的识别（1 ）导入数据打开Eviews软件，选择 "File菜单中的“New^Workfile '选项，出现“Workfile Rangd'对话框，在“Workfile frequency 框中选择Monthly",在“ Startdate 和“ Enddate '框中分别输入1996:01 ”和2011:02”，然后单击“OK；工作文件夹建立完毕。
ARMA模型与ARIMA模型的推导与应用
ARMA模型与ARIMA模型的推导与应用ARMA模型（AutoRegressive Moving Average model）和ARIMA模型（AutoRegressive Integrated Moving Average model）是一种常用的时间序列分析方法。
本文将对这两个模型进行推导，并探讨它们在实际应用中的作用。
一、ARMA模型的推导ARMA模型是一种线性预测模型，它由两部分组成：自回归部分（AR）和移动平均部分（MA）。
1. 自回归部分（AR）自回归部分是指当前序列的值与前一时刻的值之间存在线性关系，记作AR(p)。
其中p表示自回归阶数，即前p个时刻的值对当前值的影响。
假设当前时刻的值为yt，则AR(p)模型的表示为：yt = c + φ1*yt-1 + φ2*yt-2 + ... + φp*yt-p + εt其中，c为常数项，φ1, φ2, ..., φp为自回归系数，εt为误差项。
2. 移动平均部分（MA）移动平均部分是指当前序列的值与前一时刻的误差之间存在线性关系，记作MA(q)。
其中q表示移动平均阶数，即前q个时刻的误差对当前值的影响。
假设当前时刻的误差为et，则MA(q)模型的表示为：yt = c + θ1*et-1 + θ2*et-2 + ... + θq*et-q其中，c为常数项，θ1, θ2, ..., θq为移动平均系数。
二、ARIMA模型的推导ARIMA模型是在ARMA模型的基础上加入差分操作，以处理非平稳时间序列。
ARIMA模型由三部分组成：自回归部分（AR）、差分部分（I）和移动平均部分（MA）。
1. 自回归部分（AR）自回归部分与ARMA模型中的自回归部分相同，表示为AR(p)。
2. 差分部分（I）差分部分用于处理非平稳时间序列。
一阶差分操作即将当前值与前一时刻的值相减，次阶差分操作则再次对差分后的序列进行差分。
一般记作d阶差分，其中d表示差分阶数。
3. 移动平均部分（MA）移动平均部分与ARMA模型中的移动平均部分相同，表示为MA(q)。
时间序列分析模型汇总
时间序列分析模型汇总时间序列分析是一种广泛应用于各个领域的统计分析方法，它用来研究一组随时间而变化的数据。
时间序列数据通常具有趋势、季节性和随机性等特征，时间序列分析的目的是通过建立适当的模型来描述和预测这些特征。
本文将汇总一些常用的时间序列分析模型，包括AR、MA、ARIMA、GARCH和VAR等。
1.AR模型（自回归模型）:AR模型是根据过去的观测值来预测未来的观测值。
它假设未来的观测值与过去的一系列观测值有关，且与其他因素无关。
AR模型的一般形式为：Y_t=c+Σ(φ_i*Y_t-i)+ε_t，其中Y_t表示时间t的观测值，c 为常数，φ_i为系数，ε_t为误差项。
2.MA模型（移动平均模型）:MA模型是根据过去的误差项来预测未来的观测值。
它假设未来的观测值与过去的一系列误差项有关，且与其他因素无关。
MA模型的一般形式为：Y_t=μ+ε_t+Σ(θ_i*ε_t-i)，其中Y_t表示时间t的观测值，μ为平均值，θ_i为系数，ε_t为误差项。
3.ARIMA模型（自回归积分移动平均模型）:ARIMA模型是AR和MA模型的组合，它结合了时间序列数据的趋势和随机性特征。
ARIMA模型的一般形式为：Y_t=c+Σ(φ_i*Y_t-i)+Σ(θ_i*ε_t-i)+ε_t，其中Y_t表示时间t的观测值，c为常数，φ_i和θ_i为系数，ε_t为误差项。
4.GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）:GARCH模型用于建模并预测时间序列数据的波动性。
它假设波动性是由过去观测值的平方误差和波动性的自相关引起的。
GARCH模型的一般形式为：σ_t^2=ω+Σ(α_i*ε^2_t-i)+Σ(β_i*σ^2_t-i)，其中σ_t^2为时间t的波动性，ω为常数，α_i和β_i为系数，ε_t为误差项。
5.VAR模型（向量自回归模型）:VAR模型用于建模并预测多个时间序列变量之间的相互关系。
它假设多个变量之间存在相互依赖的关系，即一个变量的变动会对其他变量产生影响。
实验 ARIMA模型分析
第七章 ARIMA 模型分析一、实验目的了解AR ，MA 以及ARIMA 模型的特点，了解三者之间的区别联系，以及AR 与MA 的转换，掌握如何利用自相关系数和偏自相关系数对ARIMA 模型进行识别，利用最小二乘法等方法对ARIMA 模型进行估计，利用信息准则对估计的ARIMA 模型进行诊断，以及如何利用ARIMA 模型进行预测。
掌握在实证研究如何运用Eviews 软件进行ARIMA 模型的识别、诊断、估计和预测。
二、基本概念所谓ARIMA 模型，是指将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。
ARIMA 模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程（MA ）、自回归过程（AR ）、自回归移动平均过程（ARMA ）以及ARIMA 过程。
在ARIMA 模型的识别过程中，我们主要用到两个工具：自相关函数(简称ACF ），偏自相关函数(简称PACF)以及它们各自的相关图（即ACF 、PACF 相对于滞后长度描图）。
对于一个序列 来说，它的第j 阶自相关系数(记作 )定义为它的j 阶自协方差除以它的方差，即 j ρ＝ j 0γ ，它是关于j 的函数，因此我们也称之为自相关函数，通常记ACF(j)。
偏自相关函数PACF(j)度量了消除中间滞后项影响后两滞后变量之间的相关关系。
三、实验内容及要求 1、实验内容：根据1991年1月～2005年1月我国货币供应量（广义货币M2）的月度时间数据来说明在Eviews 软件中如何利用B-J 方法论建立合适的ARIMA （p,d,q ）模型，并利用此模型进行数据的预测。
2、实验要求：（1）深刻理解上述基本概念；（2）思考：如何通过观察自相关，偏自相关系数及其图形，利用最小二乘法，以及信息准则建立合适的ARIMA 模型；如何利用ARIMA 模型进行预测； （3）熟练掌握相关Eviews 操作。
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BOX -JENKINS 预测法1（1）()AR p 模型（Auto regression Model ）——自回归模型p 阶自回归模型：y t =c +∅1y t−1+∅2y t−2+⋯+∅p y t−p +e t式中，y t 为时间序列第t 时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量；y t−1，y t−2，⋯，y t−p 为时序y t 的滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量；e t 是随机误差项；c ，∅1，∅2，⋯，∅p 为待估的自回归参数。
（2）()MA q 模型（Moving Average Model ）——移动平均模型q 阶移动平均模型：1122t t t t q t q y e e e e μθθθ---=+----式中，μ为时间序列的平均数，但当{}t y 序列在0上下变动时，显然μ=0，可删除此项；t e ，1t e -，2t e -，…，t q e -为模型在第t 期，第1t -期，…，第t q -期的误差；1θ，2θ，…，q θ为待估的移动平均参数。
（3）(,)ARMA p q 模型——自回归移动平均模型（Auto regression Moving Average Model ）模型的形式为：11221122t t t p t p t t t q t q y c y y y e e e e φφφθθθ------=+++++----显然，(,)ARMA p q 模型为自回归模型和移动平均模型的混合模型。
当q =0,时，退化为纯自回归模型()AR p ；当p =0时，退化为移动平均模型()MA q 。
2 改进的ARMA 模型（1）(,,)ARIMA p d q 模型这里的d 是对原时序进行逐期差分的阶数，差分的目的是为了让某些非平稳（具有一定趋势的）序列变换为平稳的，通常来说d 的取值一般为0,1,2。
对于具有趋势性非平稳时序，不能直接建立ARMA 模型，只能对经过平稳化处理，而后对新的平稳时序建立(,)ARMA p q 模型。
这里的平文化处理可以是差分处理，也可以是对数变换，也可以是两者相结合，先对数变换再进行差分处理。
（2）(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型对于具有季节性的非平稳时序（如冰箱的销售量，羽绒服的销售量），也同样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。
这里的D 即为进行季节差分的阶数；,P Q 分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S 为季节周期的长度，如时序为月度数据，则S =12，时序为季度数据，则S =4。
在SPSS19.0中的操作如下● 必须要先打开一个数据源，才可以定义日期● 数据→定义日期→选择日期的起始点，此时变量栏中会出现日期变量。
（3）ARIMAX 模型在(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型中，再加入除自身滞后时序变量以外的解释变量X 。
3 模型的识别模型的识别的本质是确定(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 中的,,p d q 以及,,P D Q 与S 的取值。
借助于自相关函数（Auto correlation Function, ACF ）以及自相关分析图和偏自相关函数（Partial Correlation Function, PACF ）以及偏自相关分析图来识别时序特性，并进一步确定p 、q 、P 、Q 。
3.1 自相关函数自相关是时间序列12,,t Y Y Y 诸项之间的简单相关。
它的含义与相关分析中变量之间的简单相关一样，只不过它所涉及的是同一序列自身，因而称作自相关。
自相关程度的大小，用自相关系数k r 度量。
121()()()n ktt k t k ntt yy y y r yy -+==--=-∑∑式中，n 为样本数据的个数；k 为滞后期；y 为样本数据平均值。
自相关系数k r ，可看作自变量k 的函数，即自相关函数。
它表示时间序列滞后k 个时间段的两项之间相关的程度。
如1r 表示每相邻两项间的相关程度；2r 表示每隔一项的两个观察值得相关程度。
随机序列自相关系数的抽样分布，近似于以0为均值，分布。
自相关系数的95%置信区间为( 1.96,1.96)σσ-，此处σ=时间序列的自相关系数全部落入这个区间，则认为该序列是纯随机序列。
将时间序列的自相关系数绘制成图，并标出一定的置信区间（通常采用2±倍标准差作为置信区间的两个端点），被称作自相关分析图。
SPSS19.0中的操作1. 输入变量数据；定义时间序列日期（数据⇒定义日期）2. 分析⇒预测⇒自相关（如下）；将要分析的变量从左侧移入右侧变量框中3. 勾选自相关、偏自相关，转换暂时不选（如果为非平稳序列，可勾选差分/自然对数转换，其中差分的阶数需要根据自相关图形来确定，通常为0,1,2）未进行差分处理，由图可知几乎一半的自相关系数未进入置信区间，说明该序列非平稳，此时需要进行差分处理，即在重复第2步时，差分选项选择1或2。
3.2 偏自相关函数偏自相关函数是时间序列t Y ，在给定了121,,t t t k Y Y Y ---+的条件下，t Y 与t k Y -之间的条件相关。
由于它需要考虑排除其他滞后期的效应，因而被称为偏自相关。
偏自相关系数kk φ计算公式如下。
111,111,1 1 2,3,1k k k j k jkk j k k j k j j r k r r k r φφφ---=---==⎧⎪⎪-⋅⎪=⎨=⎪⎪-⋅⎪⎩∑∑偏自相关系数kk φ，可看作自变量k 的函数，即偏自相关函数，11kk φ-≤≤。
它用以测量当剔除其他滞后期（1,2,3,,1t k =-）的干扰的条件下，t Y 与t k Y -之间相关的程度。
与自相关系数类似，同样可以采用偏自相关分析图来对模型进行识别。
3.3 ARIMA 模型的参数确定Step1：判断时序是否平稳，若不平稳，经过若干次逐期差分或季节差分使其平稳，则可确定d 和D 。
对于社会经济现状，一般d 和D 的数值取0,1或2。
若自相关系数ACF 随着滞后期（一般设为16）增大，而迅速趋于0，则认为该时序是平稳的。
若自相关系数ACF 随着滞后期增大，自相关系数ACF 不趋于0，则认为该时序是非平稳的。
更具体地说，若随着时滞k 的增大，自相关系数ACF 缓慢减小，说明随着序列两项间隔的提前，相关程度变弱，则序列具有趋势性；若对于季度数据或月度数据，当滞后期为4（或12），8（24）等时，自相关系数ACF 显著地部位0，即在随机区间之外，则意味着该时序具有季节性。
如果时序具有趋势性，那么需要进行逐期差分，由逐期差分的次数决定d 的取值；如果序列具有季节性，那么要进行季节差分，由季节差分次数决定D 的值。
左侧图形为未经过差分处理的某城市农村居民收入的ACF 图，可以看出自相关系数并未迅速趋于0，说明该时序是非平稳的。
右侧为该序列的线性图，也正说明了该时序是有明显的上升趋势的，需要进行差分处理。
Step2：经差分平稳后，确定时序所适合的模型，其依据如下表所示。
关于,p q 的取值当不包括时滞12k =（或4），24（或8），p 取落入随机区间之外的偏相关系数PACF 的个数或与0有显著差异的PACF 的个数，q 取落入随机区间之外的自相关系数ACF 的个数或与0有显著差异的ACF 的个数。
当仅观察时滞12k =（或4），24（或8），p 取显著不为0的PACF 的个数，q 取显著不为0的季节自相关数目。
4案例分析4.1数据准备某城市农村居民收入数据（1980-2015年）单位：元对36年农村居民收入建立B-J模型，并预测2016年的收入情况。
4.2时序分析Step1：将数据输入到SPSS19.0中，并定义变量的精度为小数点后两位；Step2：定义日期。
数据——定义日期——输入“1980”因为本次数据没有季节性，所以只需要选择年份为1980年，如下图。
Step3：绘制其时序图，观察其是否平稳。
分析——预测——序列图此时可以看出该曲线有明显上升趋势，为非平稳序列，需要进行差分平稳化。
同时，也可以绘制自相关图形（操作：分析——预测——自相关）来观察其趋势，如下图。
由上面自相关系数图可知，随着延迟数目的增加，系数并没有显著的趋近于0，且许多数值较大的系数落在了置信区间之外，说明该时间序列并非平稳的。
4.3差分平稳化对时间序列进行差分平稳，并绘制相关系数图和偏自相关系数图如下。
操作为：分析——预测——自相关（勾选：1阶差分）从右侧图形可以看出，在滞后期k=3之后，自相关函数衰减，并且均在置信区间范围之内，因此可以认为该序列平稳了。
再观察变换后的序列的偏自相关函数图，如下图。
=0.437较大，其他并没有明显趋于0，可以认为在K=3后拖尾，而其中33自相关函数可以看做是K=3后截尾，也可以看做为拖尾。
（自拖，偏拖）——ARIMA 模型，（自截，偏拖）——MA模型，因此，经过一阶差分变换后的农村居民收入所选定的模型为(3,1,3)ARIMA。
分别对两个模型进行拟合和预ARIMA或(0,1,3)测，比较其精度。
4.4建立ARIMA模型4.4.1ARIMA（3,1,3）模型Step1：菜单栏：分析——预测——创建模型在变量栏中，将农村居民收入移入因变量框中；方法选择ARIMA模型，点击右侧“条件”，输入自回归，差分和移动平均数的值。
Step2：确定输出的统计量和相关信息。
其中拟合值和置信区间可备选，根据需要选择。
如果需要预测下一年的数据值，必须要在变量栏中的时间变量下再加入一个年份值，否则不会显示预测值，如下图。
模型结果分析可以看到模型的R平方为0.990，平稳的R方为0.493，说明模型的拟合效果较好，预测值为13387.9。
将实际值和预测值画在同一个时序图中如下。
4.4.2ARIMA（0,1,3）模型步骤和上面基本一致，只是在创建模型的时候，把条件中的自回归p值改为0，运算结果如下。
上述统计量表明，该模型的R平方值为0.988，平稳的R方为0.365，sig值为0.421，与(3,1,3)ARIMA模型，因此可ARIMA相比，三个统计量都小于(3,1,3)以认为(3,1,3)ARIMA模型的结果更为可信和准确。
则2016年农村收入为13387.9。