2020高考压轴题解题策略——导数与放缩法技巧大全

同构新天地，放缩大舞台在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度．找到这个函数模型的方法，我们就称为同构法．如，若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)]≥f[ℎ(x)]，然后利用f(x)的单调性，如递增，再转化为g(x)≥ℎ(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力、对代数式的变形能力的要求也是比较高的．正所谓，同构解题，观察第一！同构出马，谁与争锋！同构思想放光芒，转化之后天地宽！1.地位同等要同构，主要针对双变量；方程组上下同构，合二为一泰山移.（1）f(x1)−f(x2)x1−x2>k(x1<x2)⟺f(x1)−f(x2)<kx1−kx2⟺f(x1)−kx1<f(x2)−kx2⟺y=f(x)−kx为增函数.（2）f(x1)−f(x2)x1−x2<kx1x2(x1<x2)⟺f(x1)−f(x2)>k(x1−x2)x1x2=kx2−kx1⟺f(x1)+kx1>f(x2)+kx2⟺y=f(x)+kx为减函数.含有地位同等的两个变量x1,x2，或p,q等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）.2.指对跨阶想同构，同左同右取对数.同构基本模式：（1）积型：ae a≤b ln b三种同构方式→{同右:e a ln e a≤b ln b−− −−−−−−−→f(x)=x ln x 同左:ae a≤(ln b)e ln b−−−−−−−−−→f(x)=xe x取对：a+ln a≤ln b+ln(ln b)−−−−− →f(x)=x+ln x.如：2x3ln x≥me m x⟺x2ln x2≥mx e m x⟺x2ln x2≥mxe m x，后面的转化同（1）.说明：在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知．（2）商型：e aa <bln b三种同构方式→{同左:e aa<e ln bln b−−−−−−−−−−−−−−→f(x)=e xx同右: e aln e a<bln b−−−−−−−−−−−−−→f(x)=xln x取对：a−ln a<ln b−ln(ln b)−−−−−− →f(x)=x−ln x.（3）和差型：e a±a>b±ln b 两种同构方式→{同左:e a±a>e ln b±ln b−−−−−→f(x)=e x±x同右:e a±ln e a>b±ln b−−−−− →f(x)=x±ln x.如：e ax+ax>ln(x+1)+x+1⟺e ax+ax>e ln(x+1)+ln(x+1)⟺ax>ln(x+1).3.无中生有去同构，凑好形式是关键，凑常数或凑参数，如有必要凑变量.（1）ae ax>ln x同乘x(无中生有)→ axe ax>x ln x，后面的转化同2.（1）（2）e x>a ln(ax−a)−a⟺1ae x>ln a(x−1)−1⟺e x−ln a−ln a>ln(x−1)−1同加x(无中生有)→ e x−ln a+x−ln a>ln(x−1)+x−1=e ln(x−1)+ln(x−1)⟺x−ln a>ln(x−1).（3）a x>lo g a x⟺e x ln a>ln xln a⟺(x ln a)e x ln a>x ln x，后面的转化同2.（1）.1说明：由于a x>lo g a x两边互为反函数，所以还可以这样转化a x>lo g a x⇒a x>x⇒ln a>ln xx. 对于某些不等式，两边互为反函数是比较隐蔽的，若能发现，则难者亦易矣.如：1a e x+1>ln a(x−1)，左右两边互为反函数，所以只需1ae x+1>x，即1a>x−1e x，可得1a>1e2.4.同构放缩需有方，切放同构一起上．这个是对同构思想方法的一个灵活运用．【放缩也是一种能力】利用切线放缩，往往需要局部同构．【利用切线放缩如同用均值不等式，只要取等号的条件成立即可】掌握常见放缩：（注意取等号的条件，以及常见变形）（1）e x≥x+1⇒e x−1≥x⇒e x≥ex⇒e x≥e24x2，e x≥1+x+x22，e x≤2+x2−x(0≤x<2)，e x≥ax+1(x≥0,0<a≤1).【变形：xe x=e x+ln x≥x+ln x+1，e xx =e x−ln x≥x−ln x+1；xe x=e ln x−x≥ln x−x+1；x2e x=e x+2ln x≥x+2ln x+1，x2e x=e x+2ln x≥e(x+2ln x).】（2）ln x≤x−1⇒ln ex≤x⇒ln x≤xe ，ln x≤x−1⇒ln x≤ex−2，ln x≥1−1x⇒x ln x≥x−1，ln x≤12(x−1x)(x≥1)，ln x≥2(x−1)x+1(x≥1)；ln x≤a(x−1)(x≥1,a≥1)【变形：x+ln x=ln xe x，x−ln x=ln e xx.】说明：xe x=e x+ln x，e xx =e x−ln x，xe x=e ln x−x，x+ln x=ln xe x，x−ln x=ln e xx等，这些变形新宠是近年来因为交流的频繁而流传开来的．对解决指对混合不等式问题，如恒成立求参数取值范围，或证明不等式，都带来极大的便利．当然，在具体使用中，往往要结合切线放缩，或换元法。

可以说掌握了这些变形新宠及常见切线型不等式，就大大降低了这类问题的难度．（会推广到关于x与a x或log a x的各种组合的变形）．例1.对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．（1）log2x−k∙2kx≥0；解析：log2x−k∙2kx≥0⟺x log2x≥kx∙2kx⟺(log2x)∙2log2x≥kx∙2kx，f(x)=x∙2x.（2）e2λx−1λln√x≥0；解析：e2λx−1λln√x≥0⟺e2λx≥12λln x⟺2λxe2λx≥x ln x⟺2λxe2λx≥(ln x)e ln x，f(x)=xe x.（3）x2ln x−me m x≥0；解析：x2ln x−me m x≥0⟺x ln x≥mx e m x⟺ln x+ln(ln x)≥mx+ln mx，f(x)=x+ln x.（4）a(e ax+1)≥2(x+1x)ln x；解析：a(e ax+1)≥2(x+1x)ln x⟺axe ax+ax≥2x2ln x+2ln x=x2ln x2+ln x2⟺ax∙e ax+ax≥ln x2∙e ln x2+ln x2，f(x)=xe x+x.（5）a ln(x−1)+2(x−1)≥ax+2e x解析：a ln(x−1)+2(x−1)≥ax+2e x⟺a ln(x−1)+2(x−1)≥a ln e x+2e x，f(x)=a ln x+2x （6）x+a ln x+e−x≥x a(x>1).解析：x+a ln x+e−x≥xα⟺x+e−x≥x a−ln x a⟺e−x−ln e−x≥x a−ln x a，f(x)=x−ln x.23（7）e −x −2x −ln x =0.解析：e −x −2x −ln x =0⟺e −x −x =x +ln x ⟺e −x +ln e −x =x +ln x ，f (x )=x +ln x . （8）x 2e x +ln x =0.解析：x 2e x +ln x =0⟺xe x =−ln x x⟺xe x =1x ln 1x ⟺e x ln e x =1x ln 1x ，f (x )=x ln x .例2.已知不等式a x >lo g a x (a >0,a ≠1)，对∀x ∈(0,+∞)恒成立，则a 的取值范围是_____. 解析： a x >lo g a x ⟺e x ln a >ln x ln a⟺(x ln a )e x ln a >x ln x⟺{(x ln a )e x ln a >(ln x )e ln x →f (x )=xe x ⑴e x ln a ln e x ln a >x ln x →f (x )=x ln x ⑵x ln a +ln(x ln a)>ln x +ln(ln x)→f (x )=x +ln x ⑶ （三种模式，只需写一种）由（3）得，x ln a >ln x ，即ln a >ln x x，由导数法可得ln a >1e，从而a >e 1e ．例3.若对任意x >0，恒有a (e ax +1)≥2(x +1x)ln x ，则实数a 的最小值为_______.解析：a (e ax +1)≥2(x +1x)ln x ⟺ax (e ax +1)≥(x 2+1)ln x 2⟺(e ax +1)ln e ax ≥(x 2+1)ln x 2，【积型同构】令f (x )=(x +1)ln x ，则f ′(x )=ln x +x+1x，f ′′(x )=1x−1x2=x−1x 2，易知f′(x)在（0，1）上递减，在(1,+∞)上递增，所以f ′(x )≥f ′(1)=2>0， 所以f(x)在(0,+∞)单调递增。

则(e ax +1)ln e ax ≥(x 2+1)ln x 2⟺f (e ax )≥f (x 2)⟺e ax ≥x 2⟺ax ≥2ln x ⟺a ≥2ln x x，由导数法易证2ln x x≤2e ，所以a ≥2e ．故答案为答案：2e .例4.已知函数f (x )=e x −a ln (ax −a )+a(a >0)，若关于x 的不等式f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.(0,e 2]B.(0,e 2)C.[1,e 2]D.(1,e 2) 答案：B.解析： f (x )=e x −a ln (ax −a )+a >0⟺1a e x >ln a (x −1)−1⟺e x−ln a −ln a >ln (x −1)−1⟺e x−ln a +x −ln a >e ln (x−1)+ln (x −1)，【和差型同构】 令g (x )=e x +x ，显然g(x)为增函数.则原命题又等价于g (x −ln a )>g (ln (x −1)) ⟺x −ln a >ln (x −1)⟺ln a <x −ln(x −1). 由于x −ln (x −1)≥x −(x −2)=2，所以ln a <2，即得0<a <e 2.例5.对任意x >0，不等式2ae 2x −ln x +ln a ≥0恒成立，则实数a 的最小值为_____. 解析：2ae 2x −ln x +ln a ≥0⟺2ae 2x ≥ln xa ⟺2xe 2x ≥xa ln xa (x >0)【积型同构】⟺2x +ln 2x ≥ln xa +ln (ln xa )(x >a).由于f (x )=x +ln x 为增函数，所以由f (2x )≥f (ln xa )，得2x ≥ln xa ，即a ≥xe 2x 恒成立．4令g (x )=x e 2x ，则g ′(x )=1−2x e 2x，易得g (x )max =g (12)=12e ，所以实数a 的最小值为12e .例6.已知函数f (x )=m ln(x +1)−3x −3，若不等式f (x )>mx −3e x 在(0,+∞)上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A.0≤m ≤3B.m ≥3C.m ≤3D.m ≤0 解析：m ln(x +1)−3(x +1)>mx −3e x =m ln e x −3e x ，【同构】令g (x )=m ln x −3x ，由g (x +1)>g(e x )，且1<x +1<e x ，知g(x)在(1,+∞)为减函数， 所以g ′(x )=m x−3≤0⇒m ≤3x ⇒m ≤3．故选C.例7.已知函数f (x )=ae x −ln x −1，证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0. 证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e x e−ln x −1，所以只需证明e xe−ln x −1≥0.由于e x e −ln x −1≥0⟺e x ≥e ln ex ⟺xe x ≥exlnex ⟺xe x ≥e ln ex ln ex ，【同构】 令g (x )=xe x ，由g ′(x )=e x (x +1)>0知g(x)为增函数，又易证x ≥ln ex =ln x +1，所以g (x )≥g(ln ex)，即xe x ≥e ln ex ln ex 成立. 故当a ≥1e 时，f (x )≥0.例8.已知x 0是函数f (x )=x 2e x−2+ln x −2的零点，则e 2−x 0+ln x 0=________. 答案：2.解析：x 2e x−2+ln x −2=0⟺x 2e x−2=2−ln x⟺xe x =e 2x lne 2x⟺ln x +x =ln (ln (e 2x ))+ln (e 2x).所以ln (e 2x )=x ，即2−ln x =x ，或e 2−x =x . 则e 2−x 0+ln x 0=x 0+ln x 0=2.例9.已知函数f (x )=ln x −x +1，g (x )=axe x −4x ，其中a >0．求证：g (x )−2f (x )≥2(ln a −ln 2). 证明：g (x )−2f (x )=axe x −4x −2(ln x −x +1)=axe x −2(ln x +x +1)=axe x −2ln xe x −2，令ℎ(t )=at −2ln t −2，则ℎ′(t )=a −2t =at−2t，易知ℎ(t )≥ℎ(2a )=−2ln 2a =2(ln a −ln 2)，故g (x )−2f (x )≥2(ln a −ln 2).例10.已知函数f (x )=xe ax−1−ln x −ax ．若f (x )≥0对任意x >0恒成立，则实数a 的最小值是____. 解析：xe ax−1−ln x −ax =e ln x+ax−1−(ln x +ax )≥(ln x +ax )−(ln x +ax )=0(利用了e x−1≥x )等号成立的条件是ln x +ax =1，即a =1−ln x x有解．令g (x )=1−ln x x，则g′(x)=ln x−ln e 2x 2，易得g (x )min =g (e 2)=−1e 2．故a 的最小值为−1e 2.5例11.已知函数f (x )=x(e 2x −a)，若f (x )≥1+x +ln x ，求a 的取值范围． 解析：f (x )≥1+x +ln x ⟺x (e 2x −a )≥1+x +ln x ⟺e 2x+ln x −1−x −ln x ≥ax⟺a ≤e 2x+ln x −1−x−ln xx.由于e 2x+ln x −1−x−ln xx≥2x+ln x+1−1−x−ln xx=1，当且仅当2x +ln x =0等号成立，所以a ≤1.例12.已知f (x )=xe x −ax 2，g (x )=ln x +x −x 2+1−ea ，当a >0时，若ℎ(x )=f (x )−ag (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围.解析：f (x )−ag (x )≥0⟺xe x +e ≥a (ln x +x +1)⟺e x+ln x +e ≥a (ln x +x +1).当ln x +x +1≤0，不等式恒成立； 当ln x +x +1>0时， a ≤e x+ln x +e x+ln x+1，由于e x+ln x +e x+ln x+1≥e(x+ln x)+e x+ln x+1=e ，【利用e x ≥ex 】当且仅当x +ln x =1等号成立，所以a ≤e . 故0<a ≤e .例13.已知函数f (x )=mx ln x ，若关于x 的不等式f (x )≥x −1在(0,+∞)上恒成立，则实数m 的取值集合是_____. 答案：{1}.解析：mx ln x ≥x −1恒成立，又等价于m ∙1x∙ln 1x≥1x−1，即m ln x ≤x −1恒成立，根据ln x ≤x −1恒成立，可知m =1.例14.已知函数f (x )=e x x+a(ln x −x)．求证：0<a ≤e 2时，f (x )+e 2≥0.证明：f (x )=e x x+a (ln x −x )+e 2=e x x−a (x −ln x )+e 2=e x x −a ln e x x+e 2=t −a ln t +e 2(t =e x x≥e)，令g (t )=t −e 2ln t +e 2(t ≥e)，则g ′(t )=1−e 2t=t−e 2t，易知g (t )≥g (e 2)=e 2−2e 2+e 2=0，又0<a ≤e 2时，t −a ln t +e 2≥t −e 2ln t +e 2=g(t). 所以0<a ≤e 2时，f (x )+e 2≥0.例15.证明：xe x −ln (x 2+x )x+1−2x+1+1≥0.证明：xex −ln (x 2+x )x+1−2x+1+1≥0⟺x (x+1)e x−ln (x 2+x )+x −1≥0.因为x (x+1)e x−ln (x 2+x )+x −1=e ln (x 2+x )−x−ln (x 2+x )+x −1≥ln (x 2+x )−x +1−ln (x 2+x )+x −1=0. 所以xe x −ln (x 2+x )x+1−2x+1+1≥0.例16.已知a >0，函数f (x )=e x−a −ln (x +a )−1(x >0)的最小值为0，则实数a 的取值范围是（ ） A.(0,12+ B.*12,1) C.,12- D.6答案：C.解析：f (x )=e x−a −ln (x +a )−1≥x −a +1−(x +a −1)−1=1−2a =0，当且仅当,x −a =0x +a =1，即x =12,a =12时等号成立，所以a =12.例17.完成下列各问（1）已知f (x )=ln x +x −xe x+1，则函数f (x )的最大值为_____； （2）函数f (x )=e x −ln x+1x的最小值是 ；（3）函数f (x )=(x +ln x +1)e −x −x 的最大值是 ； （4）函数f (x )=x 2e x −2ln xx+1的最小值是 ．答案：（1）−2；（2）1；（3）0；（4）1解析：（1）f (x )=ln x +x −xe x+1=x +ln x −e x+ln x+1，由于x +ln x −e x+ln x+1≤x +ln x −(x +ln x +2)=−2， 当且仅当x +ln x +1=0时等号成立，所以f (x )≤−2.（2）f (x )=e x −ln x+1x=xe x −ln x−1x=e x+ln x −ln x−1x ≥x+ln x+1−ln x−1x =1，当且仅当x +ln x =0时等号成立.（3）f (x )=e−x (x +ln x +1)−x =x+ln x+1−xe xe x=x+ln x+1−e x+ln xe x≤x+ln x+1−(x+ln x+1)e x=0，当且仅当x +ln x =0时等号成立. （4）f (x )=x 2e x −2ln xx+1=e x+2ln x −2ln xx+1≥x+2ln x+1−2ln xx+1=1，当且仅当x +2ln x =0时等号成立.例18.完成下列各问（1）已知函数f (x )=xe x −a(x +ln x)，若f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围是_______； （2）已知函数f (x )=xe x −a(x +ln x +1)，若f (x )≥0恒成立，则正数a 的取值范围是_______； （3）已知函数f (x )=xe x +e −a(x +ln x +1)，若f (x )≥0恒成立，则正数a 的取值范围是_______； （4）已知不等式xe x −a (x +1)≥ln x 对任意正数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________.（5）已知函数f (x )=x b e x −a ln x −x −1(x >1)，其中b >0，若f (x )≥0恒成立，则实数a 与b 的大小关系是_______；（6）已知函数f (x )=ae x −ln x −1，若f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______； （7）已知函数f (x )=ae 2x −ln x −1，若f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围是_______； （8）已知不等式e x −1≥kx +ln x ，对∀x ∈(0,+∞)恒成立，则k 的最大值为_____； （9）若不等式ax +xe −ax −ln x −1≥0对x >0恒成立，则实数a 的取值范围是_______； 答案：（1）0≤a ≤e ；（2）0<a ≤1；（3）0<a ≤e ；（4）a ≤1；（5）a ≤b ；（6）a ≥1e ；（7）a ≥12e ；（8）k ≥e −1；（9）(−∞,1e +.解析：（1）f (x )≥0⟺xe x −a (x +ln x )≥0⟺e x+ln x ≥a (x +ln x )⟺e t ≥at(t =x +ln x)，⟺{a ≥e tt (t <0)a ≤e t t (t >0)⟺,a ≥0a ≤e ⟺0≤a ≤e .【或通过数形结合，得0≤a ≤e .】 （2）f (x )≥0⟺xe x −a (x +ln x +1)≥0⟺e x+ln x ≥a (x +ln x +1)，。