2020高考压轴题解题策略——导数与放缩法技巧大全

同构新天地，放缩大舞台

在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度．找到这个函数模型的方法，我们就称为同构法．如，若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)]≥f[ℎ(x)]，然后利用f(x)的单调性，如递增，再转化为g(x)≥ℎ(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力、对代数式的变形能力的要求也是比较高的．正所谓，同构解题，观察第一！同构出马，谁与争锋！同构思想放光芒，转化之后天地宽！

1.地位同等要同构，主要针对双变量；方程组上下同构，合二为一泰山移.

（1）f(x1)−f(x2)

x1−x2

>k(x1

（2）f(x1)−f(x2)

x1−x2

x1x2

(x1k(x1−x2)

x1x2

=k

x2

−k

x1

⟺f(x1)+k

x1

>f(x2)+k

x2

⟺y=f(x)+k

x

为减函数.

含有地位同等的两个变量x1,x2，或p,q等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）.

2.指对跨阶想同构，同左同右取对数.

同构基本模式：

（1）积型：ae a≤b ln b三种同构方式

→{同右:e a ln e a≤b ln b−− −−−−−−−→f(x)=x ln x 同左:ae a≤(ln b)e ln b−−−−−−−−−→f(x)=xe x

取对：a+ln a≤ln b+ln(ln b)−−−−− →f(x)=x+ln x

.

如：2x3ln x≥me m x⟺x2ln x2≥m

x e m x⟺x2ln x2≥m

x

e m x，后面的转化同（1）.

说明：在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知．

（2）商型：e a

a

ln b

三种同构方式

→

{

同左:e a

a

ln b

−−−−−−−−−−−−−−→f(x)=e x

x

同右: e a

ln e a

ln b

−−−−−−−−−−−−−→f(x)=x

ln x

取对：a−ln a

.

（3）和差型：e a±a>b±ln b 两种同构方式

→{

同左:e a±a>e ln b±ln b−−−−−→f(x)=e x±x

同右:e a±ln e a>b±ln b−−−−− →f(x)=x±ln x

.

如：e ax+ax>ln(x+1)+x+1⟺e ax+ax>e ln(x+1)+ln(x+1)⟺ax>ln(x+1).

3.无中生有去同构，凑好形式是关键，凑常数或凑参数，如有必要凑变量.

（1）ae ax>ln x同乘x(无中生有)

→ axe ax>x ln x，后面的转化同2.（1）

（2）e x>a ln(ax−a)−a⟺1

a

e x>ln a(x−1)−1⟺e x−ln a−ln a>ln(x−1)−1

同加x(无中生有)

→ e x−ln a+x−ln a>ln(x−1)+x−1=e ln(x−1)+ln(x−1)⟺x−ln a>ln(x−1).

（3）a x>lo g a x⟺e x ln a>ln x

ln a

⟺(x ln a)e x ln a>x ln x，后面的转化同2.（1）.

1

说明：由于a x>lo g a x两边互为反函数，所以还可以这样转化a x>lo g a x⇒a x>x⇒ln a>ln x

x

. 对于某些不等式，两边互为反函数是比较隐蔽的，若能发现，则难者亦易矣.

如：1

a e x+1>ln a(x−1)，左右两边互为反函数，所以只需1

a

e x+1>x，即1

a

>x−1

e x

，可得1

a

>1

e2

.

4.同构放缩需有方，切放同构一起上．这个是对同构思想方法的一个灵活运用．【放缩也是一种能力】利用切线放缩，往往需要局部同构．【利用切线放缩如同用均值不等式，只要取等号的条件成立即可】掌握常见放缩：（注意取等号的条件，以及常见变形）

（1）e x≥x+1⇒e x−1≥x⇒e x≥ex⇒e x≥e2

4x2，e x≥1+x+x2

2

，e x≤2+x

2−x

(0≤x<2)，

e x≥ax+1(x≥0,0

【变形：xe x=e x+ln x≥x+ln x+1，e x

x =e x−ln x≥x−ln x+1；x

e x

=e ln x−x≥ln x−x+1；

x2e x=e x+2ln x≥x+2ln x+1，x2e x=e x+2ln x≥e(x+2ln x).】

（2）ln x≤x−1⇒ln ex≤x⇒ln x≤x

e ，ln x≤x−1⇒ln x≤ex−2，ln x≥1−1

x

⇒x ln x≥x−1，

ln x≤1

2(x−1

x

)(x≥1)，ln x≥2(x−1)

x+1

(x≥1)；ln x≤a(x−1)(x≥1,a≥1)

【变形：x+ln x=ln xe x，x−ln x=ln e x

x

.】

说明：xe x=e x+ln x，e x

x =e x−ln x，x

e x

=e ln x−x，x+ln x=ln xe x，x−ln x=ln e x

x

等，这些变形新宠是近

年来因为交流的频繁而流传开来的．对解决指对混合不等式问题，如恒成立求参数取值范围，或证明不等式，都带来极大的便利．当然，在具体使用中，往往要结合切线放缩，或换元法。可以说掌握了这些变形新宠及常见切线型不等式，就大大降低了这类问题的难度．（会推广到关于x与a x或log a x的各种组合的变形）．

例1.对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．

（1）log2x−k∙2kx≥0；

解析：log2x−k∙2kx≥0⟺x log2x≥kx∙2kx⟺(log2x)∙2log2x≥kx∙2kx，f(x)=x∙2x.

（2）e2λx−1

λ

ln√x≥0；

解析：e2λx−1

λln√x≥0⟺e2λx≥1

2λ

ln x⟺2λxe2λx≥x ln x⟺2λxe2λx≥(ln x)e ln x，f(x)=xe x.

（3）x2ln x−me m x≥0；

解析：x2ln x−me m x≥0⟺x ln x≥m

x e m x⟺ln x+ln(ln x)≥m

x

+ln m

x

，f(x)=x+ln x.

（4）a(e ax+1)≥2(x+1

x

)ln x；

解析：a(e ax+1)≥2(x+1

x

)ln x⟺axe ax+ax≥2x2ln x+2ln x=x2ln x2+ln x2⟺ax∙e ax+ax≥ln x2∙e ln x2+ln x2，f(x)=xe x+x.

（5）a ln(x−1)+2(x−1)≥ax+2e x

解析：a ln(x−1)+2(x−1)≥ax+2e x⟺a ln(x−1)+2(x−1)≥a ln e x+2e x，f(x)=a ln x+2x （6）x+a ln x+e−x≥x a(x>1).

解析：x+a ln x+e−x≥xα⟺x+e−x≥x a−ln x a⟺e−x−ln e−x≥x a−ln x a，f(x)=x−ln x.

2