正弦级数与余弦级数
643正弦级数和余弦级数50079
an
1
F (t)cosntdt1
l
l f ( x)cosnx dx ，
l
l
bn
1
F (t)sinntdt1
l
l f ( x)sinnx dx 。
l
l
F
(t
)~
a0 2
(an
n1
cos
nt
bn
s
innt
)
，
从而
f
( x)~ a0 2
(ancos
n1
nx l
nx bnsin l
a0
1
20(2
x)dx5
，
1
1
1
an 20(2 x)cosnxdx40cosnxdx20 xcosnxdx
2
1
xd(sinnx)
2 [xsinnx
1
1
sinnxdx]
n 0
n
00
2 n2
2
cos
nx
1
0
2 n22
[(
1)n
1]
(2k
4 1)2
0
2 , n2k , n2k.
1,
∴
f
( x)2
nxdx
2 [
x
cos n
nx
sin n
nx
2
]0
2 cos n
n
2 (1)n1, n
(n 1,2,)
f
(
x)
2(sin
x
1 sin 2
2x
1 3
sin
3x
)
2
n1
(1)n1 n
sin
nx.
正弦级数和余弦级数
正弦级数和余弦级数在数学中是两种非常重要的级数，它们是函数在区间 $[-\pi, \pi]$ 上的 Fourier 级数，常用于分析和表示周期性现象。
本文将详细介绍的定义、性质以及应用。
一、正弦级数正弦级数可以表示为：$$\frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty a_n \sin(nx),$$其中 $a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$ 都是常数，而 $x$ 是角度（或弧度），并且满足 $-\pi \leq x \leq \pi$。
在正弦级数中，每一项都是正弦函数的倍数，这些正弦函数的频率从 $1$ 开始，逐渐增加。
根据 Fourier 级数的理论，只要一个函数$f(x)$ 是周期性的，那么它就可以被表示为正弦级数的形式。
正弦级数有许多性质和应用，下面我们分别来介绍一下。
1. 正弦级数的系数在正弦级数中，系数 $a_n$ 可以用以下公式计算：$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(n x) \operatorname{d} x.$$这个公式叫做正弦级数的系数公式。
它的物理意义是将周期为 $2\pi$ 的周期信号 $f(x)$ 按照频率 $n$ 分解为若干个正弦信号的叠加，系数 $a_n$ 就是 $f(x)$ 中包含频率为 $n$ 的正弦信号的强度大小。
此外，由于正弦函数是奇函数，所以正弦级数系数满足 $a_{-n} = -a_n$。
2. 正弦级数的收敛性我们知道，对于周期为$2\pi$ 的周期函数$f(x)$，它可以用Fourier 级数展开，即可以表示为正弦级数的形式。
那么问题来了，这个正弦级数是否一定收敛呢？答案是肯定的，事实上，对于任何一个周期为 $2\pi$ 的周期函数 $f(x)$，它对应的正弦级数都是收敛的。
而且，这个级数的和函数 $S(x)$ 也是周期为 $2\pi$ 的函数。
三角函数的级数展开与泰勒公式
三角函数的级数展开与泰勒公式级数展开和泰勒公式在数学中是非常重要的概念，可以用来近似计算函数的值以及研究函数的性质。
在三角函数中，级数展开和泰勒公式同样适用，可以用来推导三角函数的各种性质和应用。
一、级数展开的概念级数展开是指将一个函数根据某种规律展开成无穷级数的形式。
在三角函数中，常用的级数展开有正弦函数展开和余弦函数展开。
1. 正弦函数展开正弦函数的级数展开形式为：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...这个级数展开表示了正弦函数可以通过无穷个项的加和来近似表示，每一项的系数是x的不同幂次的倒数阶乘。
级数展开的优点是可以通过截取有限项来近似计算正弦函数的值，在一定范围内计算精度较高。
2. 余弦函数展开余弦函数的级数展开形式为：cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...这个级数展开同样表示了余弦函数可以通过无穷个项的加和来近似表示，每一项的系数是x的不同幂次的倒数阶乘。
和正弦函数展开类似，通过截取有限项也能够近似计算余弦函数的值。
二、泰勒公式的概念泰勒公式是对于一个光滑函数在某点附近进行局部近似的公式，可以通过泰勒公式将函数展开成一个多项式形式。
1. 一般泰勒公式对于可导函数f(x)，其在x=a处展开形式满足以下公式：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) / 1! + f''(a)(x-a)^2 / 2! + f'''(a)(x-a)^3 / 3! + ...这个泰勒公式表示了一个函数可以通过其在某点的函数值、导数值以及各阶导数值来近似表示。
相比级数展开，泰勒公式展开只涉及到有限项，因此更适用于局部近似计算。
2. 泰勒公式在三角函数中的应用在三角函数中，由于正弦函数和余弦函数在某些特殊点的导数值可以通过原函数本身表示，因此可以使用泰勒公式来对其进行级数展开。
正弦级数和余弦级数
a0 (an cos nx bn sin nx ) 2 n 1 f ( x ) f ( x ) , x 为间断点
x 为连续点
f (x) 的傅里叶系数
f ( x) ,
2
例1. 设周期函数 在一个周期内 的表达式为
则它的傅里叶级数在 x 处收敛于
2
2
y
它的傅里叶级数在
o
x
x 处收敛于 ( n 1,2,3,...) 4 0 0 , 在 x 0 处收敛于 . n 1,3,5,... n 0 1 1 1 0 1 cos nx cos nx f ( ) cos nx)d x1 1 cos nx d x f ( 1 n n 0 n 2,4,6,... 0 0 0 4 1 1 2 2 0 1 1 [sin x 2 1 f1 (2 x) sin 3 sin(2 k 1) x ] 0 x n 1 1 (1 sin cos nx n d)x sin nx d x1 f (0 f (0 ) 0 sin nx [1 ( 1) ] 3 2 k 0 0 n n ( x n n 0 2 , x 02, , 2 , )
1 nx cos nx 1 2 2 x sin cos 5 x cos 3 x x (cos n 1) [ cos 2 ]0 2 2 2 5 3 2 n n n
)
2
1 1 cos x 2 cos 3 x 2 cos 5 x 3 5
)
说明: 利用此展式可求出几个特殊的级数的和. 当 x = 0 时,
8个常用泰勒级数展开
8个常用泰勒级数展开常用泰勒级数是数学中的一个重要概念，它可以用来近似计算各种函数的值。
在本文中，我们将介绍8个常用泰勒级数，并讨论它们的应用。
1. 正弦函数的泰勒级数正弦函数的泰勒级数是一个无限级数，它可以用来近似计算正弦函数在某个点的值。
这个级数的形式非常简单，只需要将正弦函数在0点处展开即可。
正弦函数的泰勒级数在物理学和工程学中有广泛的应用。
2. 余弦函数的泰勒级数余弦函数的泰勒级数与正弦函数的泰勒级数非常相似，只是系数有所不同。
余弦函数的泰勒级数也可以用来近似计算余弦函数在某个点的值。
3. 指数函数的泰勒级数指数函数的泰勒级数是一个无限级数，它可以用来近似计算指数函数在某个点的值。
这个级数的形式非常简单，只需要将指数函数在0点处展开即可。
指数函数的泰勒级数在金融学和经济学中有广泛的应用。
4. 对数函数的泰勒级数对数函数的泰勒级数是一个无限级数，它可以用来近似计算对数函数在某个点的值。
这个级数的形式比较复杂，但是可以通过一些技巧来简化计算。
对数函数的泰勒级数在统计学和计算机科学中有广泛的应用。
5. 正切函数的泰勒级数正切函数的泰勒级数是一个无限级数，它可以用来近似计算正切函数在某个点的值。
这个级数的形式比较复杂，但是可以通过一些技巧来简化计算。
正切函数的泰勒级数在物理学和工程学中有广泛的应用。
6. 反正弦函数的泰勒级数反正弦函数的泰勒级数是一个无限级数，它可以用来近似计算反正弦函数在某个点的值。
这个级数的形式比较复杂，但是可以通过一些技巧来简化计算。
反正弦函数的泰勒级数在统计学和计算机科学中有广泛的应用。
7. 反余弦函数的泰勒级数反余弦函数的泰勒级数是一个无限级数，它可以用来近似计算反余弦函数在某个点的值。
这个级数的形式比较复杂，但是可以通过一些技巧来简化计算。
反余弦函数的泰勒级数在统计学和计算机科学中有广泛的应用。
8. 反正切函数的泰勒级数反正切函数的泰勒级数是一个无限级数，它可以用来近似计算反正切函数在某个点的值。
高数：正弦级数和余弦级数
练习题答案
( 1) n+1 2 nπ + 2 sin ] sin nx . 一, f ( x ) = ∑ [ n nπ 2 n =1 ( x ≠ ( 2n + 1) π, n = 0, ±1, ±2,)
∞
4 2 π2 2 二, f ( x ) = ∑ [( 1) n ( 3 ) 3 ] sin nx n n n π (0 ≤ x < π) ;
( ∞ < t < +∞)
二,函数展开成正弦级数或余弦级数
非周期函数的周期性开拓
设f ( x )定义在[0, π]上, 延拓成以2π为周期的 函数 F ( x ).
f ( x ) 0 ≤ x ≤ π 且F ( x + 2π ) = F ( x ), , 令 F ( x) = g( x ) π < x < 0
同理可证(2) 同理可证 定理证毕. 定理证毕
∞ n =1
定义 如果 f ( x ) 为奇函数,傅氏级数 ∑ bn sin nx 为奇函数,
称为正弦级数. 称为正弦级数. 正弦级数
a0 ∞ 为偶函数, 如果 f ( x ) 为偶函数, 傅氏级数 + ∑ a n cos nx 2 n =1
称为余弦级数. 称为余弦级数. 余弦级数
证明
(1) 设f ( x )是奇函数 ,
1 π a n = ∫ π f ( x ) cos nxdx = 0 π 奇函数
( n = 0,1,2,3,)
1 π 2 π bn = ∫ π f ( x ) sin nxdx = ∫0 f ( x ) sin nxdx π π 偶函数 ( n = 1,2,3,)
b.在[0, π ]上, 展成周期为2π的傅氏级数唯一;
函数展开成正弦级数与余弦级数
0 x
f ( x)的傅氏正弦级数
f ( x) bn sin nx (0 x ) n1
偶延拓: g( x) f ( x)
y
则F ( x)
f f
(x) ( x)
0 x x0
f ( x)的傅氏余弦级数
f
(x)
a0 2
an
n1
cos nx
nx
sin n
nx
2
]0
2 cos n 2 (1)n1, (n 1,2,)
n
n
f ( x) 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x )
2
3
2
(1)n1 sin nx.
n1 n
( x ; x ,3,)
0
(0 x )
x
例 3 将函数 f ( x) x 1 (0 x )分别展开成
正弦级数和余弦级数.
解 (1)求正弦级数.
去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,
Chapter 7
§7.5 函数展开成正弦级数与余弦级 数
Infinite Series 无穷级数
教学目的与要求：理解正弦级数和余弦级数的概念，能 够根据所给函数的奇偶特点将函数展开为正弦级数或余 弦级数。
知识点：周期为2的函数展开为正弦级数或余弦级数； 定义在区间上的函数展开成正弦级数或余弦级数；周期 为2l的函数展开为正弦级数或余弦级数。
同理可证(2)
定理证毕.
定义
如果 f ( x)为奇函数,傅氏级数 bn sin nx
n1
称为正弦级数.
正弦级数与余弦级数
f ( x) 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x )
2
3
2
(1)n1 sin nx
n1 n
( x ; x ,3 ,)
y 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x 1 sin 4x 1 sin 5x)
2
3
4
5
观
察
两
函 数
y x
图
形
函数定义在[0, ]上 函数延拓到一个周期[ , ]上
函数按周期延拓到整个数轴上
定义在[0, ]上的函数展开成傅立叶级数
二、函数展开成正弦级数或余弦级数
非周期函数的周期性开拓
设f ( x)定义在[0,]上, 延拓成以2为周期的
函数 F ( x).
令
F
(
x)
f ( x), g( x),
0 x ; 且F( x 2 ) F( x),
x 0.
傅里叶级数时, 它的傅里叶系数为
an 0,
(n 0,1, 2, )
2
bn
f ( x)sin nxdx,
0
(n 1, 2,
)
(2) 当周期 2 为的偶函数 f ( x) 展开成傅里叶
级数时, 它的傅里叶系数为
an
2
f ( x)cos nxdx,
0
(n 0,1, 2,
)
bn 0,
(n 1, 2, )
y
则F
(
x)
f f
( x), ( x),
0 x x 0
f ( x)的傅氏余弦级数
0 x
f
(x)
~
a0 2
an
n1
cos
nx,
三角函数的级数展开与泰勒公式的应用
三角函数的级数展开与泰勒公式的应用三角函数是数学中经常出现的函数之一，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在数学的研究中，我们经常会遇到需要对三角函数进行级数展开的情况，而泰勒公式是一个常用的工具，用于近似表示函数的展开式。
本文将介绍三角函数的级数展开以及泰勒公式在三角函数中的应用。
一、正弦函数的级数展开正弦函数是数学中常见的一种三角函数，其定义如下：sin(x) = x - (x^3/3!) + (x^5/5!) - (x^7/7!) + ...其中，x为自变量，n为正整数，n!表示n的阶乘。
可以看出，正弦函数可以用级数展开的形式表示。
在实际应用中，我们通常会根据需要确定保留的精度，截取级数的前几项作为近似计算。
这在数值计算和科学研究中经常会用到。
二、余弦函数的级数展开余弦函数也是一种常见的三角函数，其定义如下：cos(x) = 1 - (x^2/2!) + (x^4/4!) - (x^6/6!) + ...与正弦函数类似，余弦函数也可以使用级数展开形式表示。
在实际应用中，我们可以通过截取级数的前几项来近似计算余弦函数的值。
在科学计算和工程应用中，这种方法常被采用。
三、泰勒公式在三角函数中的应用泰勒公式是数学中的一种重要工具，用于将一个函数用无穷级数的形式表示。
对于光滑的函数，在某一点的附近，可以使用泰勒公式将该函数展开为一个级数。
对于三角函数而言，泰勒公式非常适用。
泰勒公式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + ...其中，f(x)表示要展开的函数，a为展开的中心点，f'(a)表示函数在点a处的导数，f''(a)表示函数的二阶导数，以此类推。
通过泰勒公式，我们可以将三角函数展开为无穷级数的形式，从而更好地对函数进行分析和计算。
在实际应用中，我们可以根据需求确定所需的级数项数，以达到所需的精度和近似程度。
50个常见收敛发散级数
50个常见收敛发散级数在数学中，级数是由无穷多个数相加或相乘的表达式。
其中，收敛级数指的是其部分和序列逐渐趋于一个有限值，而发散级数则是其部分和序列无穷大或无穷小。
在本文中，我们将探讨50个常见的收敛与发散级数。
1. 调和级数（Harmonic series）是最简单的级数之一，其公式为1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n。
经过研究发现，调和级数是发散的。
2. 几何级数（Geometric series）是由等比数列构成的级数。
例如，1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n。
当公比小于1时，几何级数收敛于有限值；当公比大于等于1时，则发散。
3. 幂级数（Power series）是由幂函数构成的级数。
例如，1 + x + x^2 +x^3 + ... + x^n。
幂级数的收敛半径与x的取值有关，超出收敛半径将发散。
4. 指数级数（Exponential series）是由指数函数构成的级数。
例如，1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + ... + (x^n)/n!。
指数级数在整个实数范围内都是收敛的。
5. 对数级数（Logarithmic series）是由对数函数构成的级数。
例如，1 + (x-1)/1 - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 - ... + (-1)^(n-1)*(x-1)^n/n。
对数级数在-1<x<1范围内收敛。
6. 斯特林级数（Stirling series）是用于估算阶乘的级数。
它基于斯特林公式，其公式为n! ≈ √(2πn)*(n/e)^n。
7. 贝塞尔级数（Bessel series）是由贝塞尔函数构成的级数。
贝塞尔函数广泛应用于物理和工程学领域中的振动问题。
8. 超几何级数（Hypergeometric series）是由超几何函数构成的级数。
它在统计学和数论中有重要应用。
傅里叶级数--周期函数的展开式
问题: (1) f ( x )能否展开成三角级数？
(2) 如果可以，an , bn ?
物理意义：把一个一般的周期运动分解 为不同频率的简谐振动的叠加。
二、三角函数系的正交性
三角函数系：
1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,cos nx , sin nx ,
正交性：其中任意两个 不同函数的乘积在 [ , ]上的积分等于零（请验 证） .
1 cosnxdx 0, 1 sinnxdx 0, (n 1,2,3,) sinmx cosnxdx 0, sinmx sinnxdx 0 (m n)
由例2结果可得，
作偶周期延拓 ,
yБайду номын сангаас
o
x
(0 x )
三、以2l为周期的函数的傅里叶展开
周期为 2l 函数 f (x)
伸缩
周期为 2 函数 f ( x )
将 f ( x )作傅氏展开并换元
l
l
f (x) 的傅氏展开式
定理：设周期为2l 的周期函数f (x) 满足收 敛定理条件,则它的傅里叶展开式为
(在 f (x) 的连续点处)
2 2
2 2 ( 2 k 1 )
如果f ( x )不是周期函数，只定义 在[ , ]上,
可进行周期延拓: 在( , ]外补充函数f ( x )
的定义，使其成为周期 为2的函数F ( x )。将 F ( x )展开为傅里叶级数，最 后限制x在( , ) 内，即得f ( x )的傅里叶级数展开式 .
an
1
f ( x) cos nxdx
周期函数的傅里叶级数
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再求余弦级数. 将 作偶周期延拓 , 则有
2
π
π
(x 1) d x
0
2
π
x2
π
2
x
0
2π
π 0 (x 1) cos nx d x
2
π
x sin nx cos nx sin nx
n
n2
n
π 0
y 1 O x
2 n2π
cos
nπ
1
( k 1, 2, )
cos
nπ
π 0
y
1
O x
( k 1, 2, )
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bn
( k 1, 2, )
y
因此得
x
1
2
(
2)
sin
x
2
sin
2x
1
O x
2 sin 3x 3
sin 4x 4
注意: 在端点 x = 0, , 级数的和为0 , 与给定函数 f (x) = x + 1 的值不同 .
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例1. 设 f (x) 是周期为2 的周期函数,它在
的表达式为 f (x) x , 将 f (x) 展成傅里叶级数.
解: 若不计
周期为 2 的奇函数, 因此
y
an 0 (n 0 ,1 , 2 , )
bn
2
0
f
( x) sin
nxd x
O
x
2
0
x sin
nx d
x
• 偶函数
余弦级数
2. 在 [ 0, ] 上函数的傅里叶展开法
正弦级数和余弦级数
若 f (x) 为奇函数，则
f ( x) ～ bnsinnx ， 是正弦级数。
n1
若 f (x) 为偶函数，则
f
(
x
)
～
a 2
an
n1
cosnx
，是余弦级数。
例 5．将周期函数 u(t ) E sint （ E 是正常数）展开成 傅里叶级数。
解 所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个
2E
[1
2
n1
cos 2nt
4n2
]. 1
( t )
例 6．将 2 为周期的函数 f ( x) x, x [ , ) 展开成
傅里叶级数。
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.
f ( x)在x( x (2k 1) )处连续。
x (2k 1)时 f ( x)是 以2为周期的奇函数,
an 0, (n 0,1,2, )
cos(n 1)t n1
0
(n 1)
4E [(2k)2
1]
,
0,
当n 2k (k 1,2, )
当n 2k 1
a1
2
0u(t )cos tdt
2
0E
sin
t
cos tdt
0,
u(t) 4E (1 1 cos 2t 1 cos 4t 1 cos 6t )
23
15
35
在点x (2k 1)(k 0,1,2, )处不连续,
级数收敛于f ( 0) f ( 0) () 0,
2
y
2
和
函
数
图
象 3 2
0 2 3 x
y 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x 1 sin 4x 1 sin 5x)
正弦级数与余弦级数的性质
正弦级数与余弦级数的性质正弦级数与余弦级数是高等数学中常见的函数级数。
它们的形式非常相似，但是在性质上却有些不同。
首先，我们回顾一下正弦级数和余弦级数的定义。
正弦级数可以表示为：$$\sin x =\sum^{\infty}_{n = 0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$而余弦级数可以表示为：$$\cos x =\sum^{\infty}_{n = 0}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$$这两个级数看起来很相似，但是却有些微妙的差别。
首先，正弦级数是奇函数，而余弦级数是偶函数。
这可以从它们的定义中清楚地看出来。
其次，它们在不同的$x$值上收敛的速度也有所不同。
正弦级数在$x=\pm\pi$处收敛，而余弦级数在$x=(2n+1)\frac{\pi}{2}$处收敛。
这些点被称为级数的“收敛点”。
接下来，我们讨论一些正弦级数和余弦级数的性质。
首先是它们的周期性。
显然，正弦函数的周期是$2\pi$，而余弦函数的周期是$2\pi$。
这也导致了正弦级数和余弦级数的周期都是$2\pi$。
这可以简单地从它们的定义中得到证明，因为级数中只包含类似于$x^{2n+1}$和$x^{2n}$这样的项，周期为$2\pi$。
其次是它们的可导性质。
由于正弦函数和余弦函数都是光滑函数，因此它们的级数也是光滑函数。
换句话说，它们是可以无限次可导的。
这可以从级数的定义中逐项求导得到证明。
正弦级数在可导性质上与余弦级数是相同的。
第三个性质是它们的收敛性。
虽然正弦级数在$x=\pm\pi$处收敛，余弦级数在$x=(2n+1)\frac{\pi}{2}$处收敛，但是它们在整个实数轴上都是一致收敛的。
这意味着，当$x$取任何实数值时，级数都会收敛到一个唯一的值。
这可以从级数的定义中得到证明。
最后一个性质是它们的解析性质。
由于正弦级数和余弦级数都是无限次可导的光滑函数，因此它们是解析函数。
高等数学第七节傅里叶级数
例3. 设 f (x) 是周期为2 的周期函数,它在
的表达式为 f (x) = x , 将 f (x) 展成傅里叶级数.
解: 若不计
周期为 2 的奇函数, 因此
y
an = 0 (n = 0 ,1, 2 , )
bn
=2
0
nx
d
x
=
1 xsin π n
nx
+
cos nx n2
0 −π
=
1− cos nπ n2 π
1− (−1)n
= n2 π
an
=
1
−
cos n n2 π
π
=
2 (2k −1)2 π
0,
,
n = 2k −1 n = 2k
( k = 1, 2 , )
bn
=
1 π
π
f (x)sin nx d x
傅里叶展开
上的傅里叶级数
例4. 将函数
解: 将 f (x)延拓成以 2为周期的函数 F(x) , 则
展成傅里叶级数.
y
−π O π
x
a0
=
1 π
π
F(x)d x =
−π
1 π
π −π
f (x)d x
=π
an
=
1 π
π
−π
F (x)cos nx d
x
=
1 π
π
−π
f
(x)cos nx dx
=
2 π
n=1
cos
n
x
+ bn
sin
n
三角函数的级数展开与傅里叶变换
三角函数的级数展开与傅里叶变换级数展开是数学中的一种重要的方法，可以将一个函数表示为无穷多项的和的形式。
在三角函数中，级数展开的应用尤为广泛，其中尤以傅里叶级数展开和傅里叶变换为代表。
本文将探讨三角函数的级数展开及其与傅里叶变换的关系。
一、三角函数的级数展开三角函数在数学中起到了至关重要的作用，它们以简洁的方式描述了周期性变化的现象。
而三角函数的级数展开则是将一个周期为2π的函数展开成三角函数的和的形式。
常见的三角函数包括正弦函数（sin(x)）和余弦函数（cos(x)），它们的级数展开分别如下所示：正弦函数的级数展开：sin(x) = x - (x^3 / 3!) + (x^5 / 5!) - (x^7 / 7!) + ...余弦函数的级数展开：cos(x) = 1 - (x^2 / 2!) + (x^4 / 4!) - (x^6 / 6!) + ...其中，n!表示n的阶乘（n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1），指的是从1到n的所有自然数相乘。
二、傅里叶级数展开傅里叶级数展开是将一个周期函数表示成无穷级数的形式，通过将函数分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加来实现。
f(t) = a0/2 + ∑(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0/2为直流分量，an和bn分别为正弦和余弦函数的系数，ω=2π/T为角频率，n为正整数。
通过计算函数f(t)与正弦和余弦函数的内积，可以求得其傅里叶系数an和bn的值。
对于周期函数的级数展开，通常只需要计算有限项，即可得到一个逼近解。
三、傅里叶变换傅里叶变换是将一个函数从时间域转换到频率域的一种数学工具。
它通过将函数分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加来实现。
对于一个非周期的函数f(t)，它的傅里叶变换可以表示为：F(ω) = ∫f(t)*e^(-jωt) dt其中，F(ω)表示傅里叶变换后的函数，e^(-jωt)为复指数函数。
三角函数的级数展开与傅里叶级数
三角函数的级数展开与傅里叶级数三角函数在数学和物理学等领域中起着重要的作用。
它们可以通过级数展开的形式来表示，其中最著名的展开形式之一就是傅里叶级数。
本文将介绍三角函数的级数展开以及傅里叶级数的应用。
一、三角函数的级数展开三角函数的级数展开是将三角函数表示为无穷级数的形式。
例如，正弦函数和余弦函数的级数展开可以通过泰勒级数来得到。
1. 正弦函数的级数展开正弦函数的级数展开形式如下：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...其中，x 是角度或弧度。
这个级数展开是基于泰勒级数展开而来，通过不断增加阶数，我们可以得到更加精确的近似结果。
2. 余弦函数的级数展开余弦函数的级数展开形式如下：cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...同样地，这个级数展开也是基于泰勒级数展开而来的。
通过增加阶数，我们可以得到更加精确的余弦函数的近似结果。
除了正弦函数和余弦函数，其他的三角函数如正切函数、余切函数等也可以通过级数展开来表示。
二、傅里叶级数的应用傅里叶级数是一种将周期函数表示为三角函数的级数展开的方法。
它在信号处理、频谱分析等领域中得到广泛应用。
1. 傅里叶级数的表示形式傅里叶级数的表示形式如下：f(x) = a0/2 + ∑ (an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))其中，f(x) 是一个周期函数，ω 是角频率，an 和 bn 是系数。
2. 傅里叶级数的计算要计算一个函数的傅里叶级数，首先需要确定周期。
然后，利用傅里叶级数的公式计算相关的系数an 和 bn。
最后，将这些系数代入到傅里叶级数的表达式中，即可得到原始函数的级数展开。
傅里叶级数的优点在于它可以将一个复杂的周期函数表示为无穷个简单的三角函数的叠加。
通过选择适当的系数，我们可以对信号进行分析和处理，从而获得有关信号的有用信息。
结论三角函数的级数展开和傅里叶级数是研究和分析三角函数的重要工具。
7.6 函数展开成正弦级数与余弦级数
由于f(x)在[,]上为奇函数, 故Fourier级数为正弦级数.
an 0,
bn
2
0
a sin nxdx
2a[1 (1)n1]
n
2a[1
n1
(1)n1]sin
n
nx
a, a, 0,
x 0 0 x x 0, x
即4a
n1sin(22nn11)
x
a, a, 0,
x 0 0 x . x 0, x
同理可证(2) 定理证毕.
定义:
如果
f
(
x
)
为奇函数,Fourier
级数
bn
sin
nx
n1
称为正弦级数.
如果
f
( x)为偶函数,Fourier
级数a0 2
an
n1
cos nx
称为余弦级数.
Example1.
将f
(
x)
a
a
x 0展成Fourier级数. 0 x
Solution. 将f(x)作周期延拓, See Figure y
1
0
(
2
z) cos
nzdz
2[1
(1)n]
n2
bn
1
0
(z
) sin
2
nzdz
1
0
(
2
z) sin
nzdz
0
F
(
z)
2[1
n1
(1)n
n2
]
cos
nz
( z )
故f
(
x)
2[1
n1
(1)n
n2
]
cos
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π
O
π
x
−1
8
代入得 f ( x ) 的正弦级数展开式，得 的正弦级数展开式，
π π 2 1 − sin 4 x + ⋯ x + 1 = (π + 2)sin x − sin 2 x + (π + 2)sin 3 x 4 2 3 π
(0 < x < π).
注： 级数的和为零， 它不代表原函数的值。 级数的和为零， 它不代表原函数的值。 在端点 x = 0 及 x = π 处， 而是该级数收敛于0. 而是该级数收敛于 ? y 偶延拓： 再求余弦级数。 对函数进行偶延拓 再求余弦级数。 对函数进行偶延拓： 余弦级数 2 π 2 π a n = ∫ f ( x )cos nxdx = ∫ ( x + 1)cos nxdx
(− ∞ < x < +∞ ; x ≠ ± π ,±3π ,⋯).
5
例2 将周期函数
t u(t ) = E sin 2
y
展开成傅立叶级数, 其中E 是正的常数. 展开成傅立叶级数 其中 是正的常数 解
O
x
所给函数满足收敛定理的条件， 它在整个数轴上连续， 因此 所给函数满足收敛定理的条件， 它在整个数轴上连续，
2 x cos nx sin nx 2 = − + 2 = − cos nπ π n n 0 n 2 n +1 = (− 1) , (n = 1 ,2 ,3 ,⋯). n 则 f ( x ) 的傅立叶级数展开式为
π
1 1 (− 1)n+1 sinnx + ⋯ f ( x) = 2sinx − sin2x + sin3x −⋯+ 2 3 n
2
π
4 1 1 x + 1 = + 1 − cos x + 2 cos 3 x + 2 cos 5 x + ⋯ 2 π 3 5
π
(0 ≤ x ≤ π).
10
第九节 周期为2 l 的周期函数的傅里叶级数
满足收敛定理的条件 定理 设周期为 2 l 的周期函数 f ( x ) 满足收敛定理的条件, 则其傅里 a0 ∞ nπx nπx 叶级数展式为: 叶级数展式为 f ( x) = + ∑an cos + bn sin （1） ） 2 l l
∫ π f ( x)sinnxdx= π ∫ f ( x)sinnxdx (n = 1,2,3,⋯). π
1 2
− 0
π
π
bn =
这个定理说明了: 这个定理说明了: 如果 f ( x)为奇函数，那么它的傅立叶级数是 为奇函数， 只含有正弦项的正弦级数： 只含有正弦项的正弦级数： 正弦级数
∫ π f ( x)sinnxdx = 0,(n = 1,2,3,⋯). π
若 x 0为间断点 则等式右边级数收敛于 f ( x0 − 0) + f ( x0 + 0) . 为间断点, πx 2 令z = , 则当 − l ≤ x ≤ l , − π ≤ z ≤ π . 证: l lz = f = F(z), 则 F (z )是周期为 2π 的周期函数 令 f ( x) 的周期函数, π 并且满足收敛定理的条件, 展成傅里叶级数: 并且满足收敛定理的条件 将 F(z)展成傅里叶级数 ∞ a πx F (z ) = 0 + ∑ (a n cos nz + bn sin nz ) z= 回代 2 n=1 l 1 π 1 l nπx an = ∫ F (z )cosnzdz = ∫ f ( x )cos dx (n = 0 ,1,2 ,⋯) −π −l π l l 1 l n πx 1 π dx (n = 1 ,2 ,3 ,⋯) bn = ∫ F (z )sin nzdz = ∫ f ( x )sin −π −l π l l a0 ∞ nπx nπx + ∑ a n cos + bn sin f (x) = 所以, 所以
的周期函数。 例1 设 f ( x )是周期为 2 π 的周期函数。它在 − π, π) 上的表达式为
[
− 5π
•
− 3π
•
−π
•
Oπ
•
3π
•
5π
•
7π
•
x
f (π − 0) + f (− π + 0) π + (− π) = = 0. 2 2 在连续点 x( x ≠ (2k + 1)π) 处收敛于 f ( x ).
1
−
π
−π
π
π
0
(n = 0,1,2,3,⋯).
∑b
如果 f ( x)为偶函数 为偶函数, 弦项的余弦级数： 弦项的余弦级数： 余弦级数
n=1
∞
n
sinnx
那么它的傅立叶级数是只含有常数项和余
a0 ∞ + ∑an cos nx 2 n=1
3
f ( x ) = x . 将 f ( x ) 展开成傅立叶级数。 展开成傅立叶级数。 y 解
在 (− π , π ] 上的函数 f ( x ), 使它在(− π , π )成为奇函数（偶函数） 成为奇函数 偶函数） 奇函数（
分别展开成正弦级数和余弦级数。 例3 将函数 f ( x) = x +1(0 ≤ x ≤ π) 分别展开成正弦级数和余弦级数。 y 对函数进行奇延拓： 奇延拓 解 先求正弦级数。 对函数进行奇延拓： 先求正弦级数 正弦级数。 2 π 2 π bn = ∫ f ( x )sin nxdx = ∫ ( x + 1)sin nxdx 1
a0 ∞ + ∑ (a n cos nx + bn sin nx ) 2 n=1 f ( x ) 的傅立叶级数何时收敛？收敛于什么？ 的傅立叶级数何时收敛？收敛于什么？ 何时收敛
1
第八节
正弦级数和余弦级数
一、奇函数和偶函数的傅立叶级数 的周期函数。 在一个周期上可积, 定理 设 f ( x )是周期为 2 π 的周期函数。 在一个周期上可积 则 是奇函数时， 它的傅立叶系数为 ⑴ 当 f ( x)是奇函数时，
u(t )的傅立叶级数处处收敛于 u(t ).
是周期为2π的偶函数 的偶函数， 因为 u(t ) 是周期为 的偶函数， 按公式有
b n = 0, (n = 1,2,3, ⋯).
an = 2
π
π ∫0 E π = ∫0 π
u(t ) cos ntdt =
t cos ntdt ∫0 π 2 1 1 sin n + t − sin n − t dt 2 2 E sin
y
所给函数满足收敛定理的条件， 所给函数满足收敛定理的条件，它在点 (k = 0,±1,±2,±3,⋯). x = (2k + 1)π 处不连续，因此， 处不连续，因此， f ( x ) 的傅立叶级数在点 x = (2k + 1)π 处收敛于
和函数的图像: 和函数的图像:
− 5π
•
− 3π
•
−• π
2
n=1
连续点处成立, ） （ ） （ ）式都是在连续点处成立 说明 （1）,（2）,（3）式都是在连续点处成立
l
l
类似可证（ ） （ ）。 类似可证（2）,（3）。
12
是周期为6 的周期函数, 它在一个周期内的定义为: 例1. 设 f ( x ) 是周期为 的周期函数 它在一个周期内的定义为 2 x + 1 , − 3 ≤ x < 0 , f (x ) = 展开成傅里叶级数。 将 f ( x ) 展开成傅里叶级数。 0 ≤ x < 3. 1, 解 l = 3, 则在间断点 x = 3 (2 k + 1 ), (k = 0 , ± 1, ± 2 , ⋯ ) 处, f ( x ) 的傅里叶级数收敛于 −5+1 f (− 3 + 0 ) + f (3 − 0 ) = = −2 2 2 3 1 3 1 0 a 0 = ∫− 3 f ( x )dx = (2 x + 1)dx + ∫0 dx = −1 3 3 ∫− 3 1 3 n πx a n = ∫− 3 f ( x ) cos dx 3 3 函数满足收敛定理的条件, 函数满足收敛定理的条件
6
2
π
1 1 cos n + t cos n − t 2 2 E = − + 1 1 π n+ n− 2 2 0 Nhomakorabeaπ
4E E 1 1 =− , (n = 0 ,1, 2 , ⋯ ). = − 2 1 1 π 4n − 1 π n+ n− 2 2
) an = 0,(n = 0,1,2,3,⋯ .
2
π
0
bn =
是偶函数时, ⑵ 当 f ( x)是偶函数时 它的傅立叶系数为 2 π ) an = ∫ f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,3,⋯ . 证 是奇函数时， ⑴ 当 f ( x) 是奇函数时，
∫ f ( x)sinnxdx, (n = 1,2,3,⋯). π
预备知识： 预备知识： 周期为2π的函数 周期为 的函数 f ( x )的傅立叶系数 傅立叶系数:
an =
∫ π f ( x )cos nxdx (n = 0,1,2,⋯) π
1
−
π
bn =
∫ π f ( x )sin nxdx (n = 1,2,⋯) π
1
−
π
函数 f ( x ) 的傅立叶级数 傅立叶级数:
(
)