模糊数学(格贴近度)PPT
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模糊数学pptCh1_Sec3-4-5
NL (A, B) = (Ao B) ∧(AoB) ˆ
c
格贴近度
is said a lattice measure of similarity of A and B on F (X), NL(A,B) is called a lattice measure function of similarity of A and B on F (X).
1.4.3 Crisp domain of fuzzy operator (p.33)
清晰点 A(x)=0 or A(x)=1—— x is a crisp point. A(x)∈(0,1) —— x is a fuzzy point. Definition 1.4.3 Let * be a fuzzy operator on [0,1] and
1 NH (A B) =1− (0.2+0.1+0.1+0.1+0.1+0.2) ≈ 0.867 , 6 1 2 2 2 2 2 2 1 NE (A B) =1− , (0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.2 )2 ≈ 0.859 6
0.5+0.7 +0.9+0.9+0.6+0.3 NM (A B) = , ≈ 0.830 0.7 +0.8+1.0+1.0+0.7 +0.5
2 n d1(A) = ⋅ ∑ A(xi ) − A (xi )| | 0.5 n i=1
d2 (A) =
2 n
1 2
⋅ (∑ A xi ) − A (xi )| ) | ( 0.5
i=1
n
模糊模式识别PPT课件
2）序偶表示法： ~A {(1, a), (0.9, b), (0.5, c), (0.2, d)}
3）向量表示法： ~A (1, 0.9, 0.5, 0.2)
4）其他方法，如： ~A 1 a, 0.9 b, 0.5 c, 0.2 d
注：当某一元素的隶属函数为0时，这一项可以不计入。
第17页/共113页
例 3.2：以年龄作为论域，取 X=[0,200]，Zadeh 给出了“年老” 与“年轻”两个模糊集 O~ 和Y~ 的隶属函数如下：
0 ,
0 x 50
①
ox
~
1
(x
50 5
)
2
1
,
50 x 200
1,
0 x 25
Y ~
x
1
(
x
25)2 5
1
,
25 x 200
② X是一个连续的实数区间，模糊集合表示为
用精确数学方法判断“秃头”： 方法：首先给出一个精确的定义，然后推理，最后结论。
定义：头发根数≤n时，判决为秃头；否则判决为不秃。 即头发根数n为判断秃与不秃的界限标准。
问题：当头发根数恰好为n+1，应判决为秃还是不秃？
第2页/共113页
推理：两种选择 (1) 承认精确方法：判定为不秃。
均表现出精确方法在这个 问题上与常理对立的情况
当 x 为多变量，即 x {x1, x2 , , xn}时，隶属函数通常定义为
A x A(1) x1 A(2) x2 A(n) xn
~
~
~
~
其中， A(1) ， A(2) ，…， A(n) ：对应于各变量的模糊子集；
~~
~
A(i) xi ：相应的单变量隶属函数。
模糊数学教学课件完整
~
~
~
2014年4月15日
14
模糊集合及其运算
模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：
（1）Zadeh表示法
A( x1 ) A( x2 ) A( xn ) A x1 x2 xn
A( xi ) 这里 表示 xi 对模糊集A的隶属度是 A( xi ) 。 xi
如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为
隶属次数
隶属频率
62
0.78
68
0.76
76
85
95
0.79
101
0.78
0.76 0.75
A(27) = 0.78 (变动的圈是否盖住不动的点)
2014年4月15日
31
模糊集合及其运算
2、指派方法
这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种 方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模 糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。
问年龄 u0 27属于模糊集A（青年人）的隶属度。
2014年4月15日
30
对年龄27作出如下的统计处理：
n 隶属次数 隶属频率 n 10 6 0.60 80 20 14 0.70 90 30 23 40 31 50 39 0.78 120 60 47 0.78 129 70 53 0.76
0.77 0.78 100 110
4.模糊线性规划——将线性规划的约束条件或目标函数模糊
化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优 解称为原问题的模糊最优解
2014年4月15日
7
模糊数学
一 二 三 四 五
2014年4月15日
模糊集合及其运算
模糊聚类分析
模糊模式识别 模糊综合评判 模糊线性规划
~
~
2014年4月15日
14
模糊集合及其运算
模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：
（1）Zadeh表示法
A( x1 ) A( x2 ) A( xn ) A x1 x2 xn
A( xi ) 这里 表示 xi 对模糊集A的隶属度是 A( xi ) 。 xi
如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为
隶属次数
隶属频率
62
0.78
68
0.76
76
85
95
0.79
101
0.78
0.76 0.75
A(27) = 0.78 (变动的圈是否盖住不动的点)
2014年4月15日
31
模糊集合及其运算
2、指派方法
这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种 方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模 糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。
问年龄 u0 27属于模糊集A（青年人）的隶属度。
2014年4月15日
30
对年龄27作出如下的统计处理：
n 隶属次数 隶属频率 n 10 6 0.60 80 20 14 0.70 90 30 23 40 31 50 39 0.78 120 60 47 0.78 129 70 53 0.76
0.77 0.78 100 110
4.模糊线性规划——将线性规划的约束条件或目标函数模糊
化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优 解称为原问题的模糊最优解
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7
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一 二 三 四 五
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模糊集合及其运算
模糊聚类分析
模糊模式识别 模糊综合评判 模糊线性规划
模糊数学ppt课件
1 2
，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等
第八讲模煳数学简介-PPT精品.ppt
集合的运算规律 幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A， A∩( A∪B ) = A； 分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C ); ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C );
1965年, 美国加利福尼亚大学自动控制专 家L. A. Zadeh第一次提出了模糊性问题, 从不 同于经典数学的角度, 研究数学的基础集合论, 给出了模糊概念的定量表示方法, 发表了著名 的论文“模糊集合” (Fuzzy sets). 这篇论文 的问世, 标志着模糊数学的诞生.
随着研究的深入, 模糊数学的内容日益丰 富, 其思想与方法正在广泛地渗透到科学和技 术的很多领域, 取得了很多重要成果, 例如: 模 糊识别、模糊决策、模糊控制、预报预测等.
与y有关系,则y与x有关系,即若R(x, y) =1，则 R(y, x) = 1；
系矩阵. 布尔矩阵是元素只取0或1的矩阵. 关系的合成
设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关 系, 则R1与 R2的合成 R1 ○ R2是 X 到 Z 上的一 个关系.
(R1 ○ R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y }
关系合成的矩阵表示法
例 设 X ={1, 2, 3, 4}, Y ={ 2, 3, 4}, Z = {1,
2, 3}, R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是Y 到 Z 的关系,
R1 ={(x, y) | x + y = 6} = {(2,4), (3,3), (4,2)},
数学建模-模糊数学ppt课件
0.5 0.2
0 0..3 6,B0 0 0...5 3 1
0 0..4 2,则 0.6
AB0.5 0.3
0.6 0.3
B0.1 A0.3来自0.40.2 0.3 0.5
0.2 0.3 0.5
模糊集合及其运算
〔3〕模糊矩阵的转置 定义：设 A(aij)mn, 称 AT(aijT)mn为A的
转置矩阵，其中 aijT aji 。
模糊集合及其运算
2、指派方法 这是一种客观的方法，但也是用得最普遍的一种
方法。它是根据问题的性质套用现成的某些方式的模 糊分布，然后根据丈量数据确定分布中所含的参数。
3、其它方法 德尔菲法：专家评分法；
二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序， 由此决议隶属函数的大致外形。主要有以下方法： 相对比较法、择优比较法和对比平均法等。
制约着 A* 的运动。A* 可以覆盖 u0 , 也可以不覆盖 u0 , 致使 u 0 对A的隶属关系是不确定的。
模糊集合及其运算
特点：在各次实验中，u 0 是固定的，而 A* 在随机变动。 模糊统计实验过程：
〔1〕做n次实验，计算出 u0对 A的隶属 u0 频 A* n 的 率次数
〔2〕随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为 u 0 对A的隶属度： A(u0)ln i mu0A*n的次数
模糊集合及其运算二模糊集合及其运算美国控制论专家zadeh教授正视了经典集合描述的非此即彼的清晰现象提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是非此即彼那么简单而概念的差异常以中介过渡的形式出现表现为亦此亦彼的模糊现象
Part2: 模糊数学
一 模糊集合及其运算 二 模糊聚类分析 三 模糊综合评判 四 模糊线性规划
A:U{0,1} uA(u),
《模糊数学教案》PPT课件
(3) 0≤E(A,B,C)≤1.
因此，不妨定义E(A,B,C ) = 1 – (A –
C)/180.则E(x0) =0.677.
或者
E(A,B,C) 则E(x0)=0.02.
111p,801p,
完整版课件ppt
其中 p = A – C p0,
p0.
12
等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)应满足下列约 束条件：
判别规则往往通过的某个函数来表达, 我们 把它称为判别函数, 记作W(i; x).
一旦知道了判别函数并确定了判别规则，最
好将已知类别的对象代入检验，这一过程称为回
代检验，以便检验你的判别函数和判别规则是否
正确.
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3
§3.2 最大隶属原则
模糊向量的内积与外积
定义 称向量a = (a1, a2, …, an)是模糊向量, 其 中0≤ai≤1. 若ai 只取0或1, 则称a = (a1, a2, …, an)是 Boole向量.
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10
先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数.
直角三角形的隶属函数R(A,B,C)应满足下列 约束条件：
(1) 当A=90时, R(A,B,C)=1;
(2) 当A=180时, R(A,B,C)=0;
(3) 0≤R(A,B,C)≤1.
因此，不妨定义R(A,B,C ) = 1 - |A - 90|/90.
于A,即为“优”.
例2 论域 X = {x1(71), x2(74), x3(78)}表示三 个学生的成绩,那一位学生的成绩最差？
C(71) =0.9, C(74) =0.6, C(78) =0.2,
根据最大隶属原则Ⅱ， x1(71)最差.
模糊数学方法_数学建模ppt课件
相同 • 传递性：如果a和b的关系隶属度大于等于ⅰ，b和
c的关系隶属度大于等于ⅰ，那么a 和c的关系隶属度也大于等于ⅰ
传递性的判断
模糊数学应用
• 模糊聚类 • 模糊综合评判 • 模糊预测 • 模糊层次分析法 • 模糊推理 • 模糊控制 • 模糊约束
模糊聚类
模糊聚类
模糊综合评判
模糊预测
• 元素指标评价向量的距离或相似度
模糊关系
• 定义5 从集合A到集合B的一个模糊关系是指AXB 的一个模糊子集. 特别地
• 定义6 AXA的一个模糊子集称为A上的一个二元模 糊关系.
模糊关系的运算
模糊关系的运算
模糊关系的截集
• 模糊关系的a截集为一个经典关系. • 将模糊关系当成模糊子集来理解，其截集定义可
由模糊子集的定义来刻画. • 通过矩阵理解，a截集表示将矩阵中元素大于等于
n
模糊集合的相似度
• 用1减去相对距离，则可以得到相似度的概念. • 相似度，也可以理解为贴近度.有多种理论模型.
【0，1】区间上的算子
• [0,1]区间上的一个二元运算称为算子. • 这里的二元运算是广义的二元运算.例如常规乘法
运算，取大，取小，加法运算与1的取小复合： Min（a+b，1）. • 重要的有两类：三角模，像乘法运算，取小运算； • 三角余模：像取大， Min（a+b，1）等. • 同学们可以查其它的算子
a的数变为1，其余的变为0.
模糊关系的合成
• 一个从X到Y的模糊关系R和一个从Y到Z的关系Q 合成为一个从X到Z的模糊关系Q.R，合成规则为 将常规矩阵乘法运算中的加法用取大，乘法用取 小代替.
论域X上的模糊关系的三大性质
• 自反性：自身和自身的关系隶属度为1 • 对称性： a和b的关系隶属度与b 和a的关系隶属度
c的关系隶属度大于等于ⅰ，那么a 和c的关系隶属度也大于等于ⅰ
传递性的判断
模糊数学应用
• 模糊聚类 • 模糊综合评判 • 模糊预测 • 模糊层次分析法 • 模糊推理 • 模糊控制 • 模糊约束
模糊聚类
模糊聚类
模糊综合评判
模糊预测
• 元素指标评价向量的距离或相似度
模糊关系
• 定义5 从集合A到集合B的一个模糊关系是指AXB 的一个模糊子集. 特别地
• 定义6 AXA的一个模糊子集称为A上的一个二元模 糊关系.
模糊关系的运算
模糊关系的运算
模糊关系的截集
• 模糊关系的a截集为一个经典关系. • 将模糊关系当成模糊子集来理解，其截集定义可
由模糊子集的定义来刻画. • 通过矩阵理解，a截集表示将矩阵中元素大于等于
n
模糊集合的相似度
• 用1减去相对距离，则可以得到相似度的概念. • 相似度，也可以理解为贴近度.有多种理论模型.
【0，1】区间上的算子
• [0,1]区间上的一个二元运算称为算子. • 这里的二元运算是广义的二元运算.例如常规乘法
运算，取大，取小，加法运算与1的取小复合： Min（a+b，1）. • 重要的有两类：三角模，像乘法运算，取小运算； • 三角余模：像取大， Min（a+b，1）等. • 同学们可以查其它的算子
a的数变为1，其余的变为0.
模糊关系的合成
• 一个从X到Y的模糊关系R和一个从Y到Z的关系Q 合成为一个从X到Z的模糊关系Q.R，合成规则为 将常规矩阵乘法运算中的加法用取大，乘法用取 小代替.
论域X上的模糊关系的三大性质
• 自反性：自身和自身的关系隶属度为1 • 对称性： a和b的关系隶属度与b 和a的关系隶属度
模糊数学(格贴近度)
A(x)=B(x)，求 x*，
即从
( xa1 )2
( xa2 )2
e 1 e 2
求得
x1
1 2 1
21 2
,
x2
21 2
1 2 1
其中 x2 不是其最大值点，故选 x*=x1.于是
(
2
1
)2
A B A(x1) e 21
而
Ac Bc ((1 A(x)) (1 B(x))) 1
xR
性质 7 A B A C B C, 并且 AC BC .
精选可编辑ppt
4
由性质发现，给定F集A，让F集B靠近A， 会使内积增大而外积减少。即，当内积较 大且外积较小时，A与B比较贴近。
所以，以内外积相结合的“格贴近度” 来刻划两个F集的贴近程度。
精选可编辑ppt
5
Hale Waihona Puke 引理 1 设 A, B F(U )，令 (A, B) (A B) (A B)c, 则下
列结论成立： （1） 0 (A, B) 1; （2） (A, B) (B, A); （3） (A, A) a (1 a); （4） A B C (A,C) (A, B) (B,C). 特别当 a 1时， a 0, 则 (A, A) 1.
精选可编辑ppt
6
根据引理 1 和格贴近度的定义，立即得到：
精选可编辑ppt
8
解法（格贴近度法） 对上述函数，有
若 A(x) B(x), 则 A B ( A(x) B(x)) A(x) B(x*).
xR
xR
若 B(x) A(x), 则 A B (A(x) B(x)) B(x) A(x*).
xR
xR
可见，内积 A B 是 A(x)与 B(x)相等时的值，这时，x=x*.故令
模糊数学.ppt
性质3 A A a; A ˆ A a.
性质4 ( A B) a; ( A ˆ B) a.
BF (U )
BF (U )
性质5 A B A B a; A ˆ B b.
性质6 A Ac 1; A ˆ Ac 1 .
2
2
性质7 A B A C B C,并且A ˆ C B ˆ C.
0 ( A, B) ( A B) ( A ˆ B)c 1
② ( A, B) ( A B) ( A ˆ B)c (B A) (B ˆ A)c (B, A)
③ 根据性质 3，得 ( A, A) ( A A) ( A ˆ A)c a (a)c a (1 a)
证 性质1 先证第一式 ( A ˆ B)c 1 ( A(u) B(u))
uU
(1 ( A(u) B(u))) uU
((1 A(u)) (1 B(u))) uU
( Ac (u) Bc (u)) uU
Ac (u) Bc (u)
N2( A, B)
e dx x*
xa2 2
2
e dx
x a1 1
2
e dx
x a1 1
2
x*
e dx
xa2 2
2
其中a1
x
a2;
x*
2a1
得到
e e
x a1 1
2
xa2 2
2
x a1 x a2
1
模糊数学 第一章-预备知识PPT课件
反之 x , A (， x )B (设 x )
若 x A ,则 A (x ) 1
从 B (x ) 而 1 ,即 x B
于是 A ， B
( v ) A B x X ,A ( x ) B ( x )
推广：
x X , A i(x ) m i I A a i(x )x i I
( i) i x iX , A c ( x ) 1 A ( x )
( i ) A v B x X ,A ( x ) B ( x )
证： 先A 设 B.
若 A(x)0, A (x)B (x)显. 然
若 A (x ) 1 ,则 x A
x B B(x)1
A (x )B (x )
在2例 .3中， X到 从 Y的小于R1关 ,则系 ：为 （ R1 ） 1{3(,2)(,4， 3)(,4， 2)为 } Y 从 到 X的大于关系
合成 R 1 P ( ： X Y )设 R ,2 P (Y Z )则 ,R 1 与 R 2 的合 R 1R 2 P (X Z )定义为：
R 1 R 2 { x , z ) | y ( Y , ( x , y ) R 1 且 ( y , z ) R 2 } 特别地, R P ( X X )R 2 , 定 R R 义 ,R n R n 为 1 R 。 例2.5 X { 1 , 2 , 3 } Y { , a , b ,c ,d } Z { , 甲 , 乙 }
注 从X到Y的关系与从Y到X关系不同。
例 2.3
X{2，3}，Y{1，2，3,4}，从 X到 Y的小于关系为
R1{x(,y)|xy,xX,yY}{2(,3)(,3,4)(,2,4)}
从 Y到 X 的小于关系为： R 2{y(,x)|yx,xX,y Y}{1,(2)(,1,3)(,2,3)}
第四章模糊向量、贴近度与择近原则.ppt
=0.4∨0.5∨0.3∨0.2=0.5
一般地有
a b (ai bi )
t 1
n
设有两个模糊概念 , ,它们同在一论域 U u ,...., u 1 n 上的表现为两个模糊子集 A, B，分别具有模糊向量a，b. 将a，b看作矩阵，表现模糊关系： a b U U
证毕；
ab 1 ab 1 ( a b ) i i i 1
c
n
1 m i n ( ab )m a x ( 1 ab ) i i i i
m i n 1 a 1 b i, i
i
i
1 a 1b i i
T
按模糊关系合成，应有
T a b
故a，b表示同一论域中两个模糊概念之间的相关程度。
b (ai bi ) 叫做a与b的 • 定义4.3 设 a,b 1 n , 记 a i1 外积。 c c c c c c a b a b a b a b • 性质1： 证明： n c
一、用距离表示贴近度
a ( A , B )1 c [ D ( A , B ) ] ~ ~ ~~
D( A, B)为 A , B 的距离。 c、a 两个适当选择的参数； ~ ~ ~ ~ 1 n 闵可夫距离： p p
D ( A ,B ) [ |u ( u ) u ( u ) |] A k B k
为 A 与 B 的外积。
u U~
~
• 例： U={a, b, c, d, e, f}
A ( 0 . 6 , 0 . 8 , 1 , 0 . 8 , 0 . 6 , 0 . 4 )
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( xa2 )2
B(x) e 2
求 N(A,B).
8
解法（格贴近度法） 对上述函数，有
若 A(x) B(x), 则 AoB (A(x) B(x)) A(x) B(x*).
xR
xR
若 B(x) A(x), 则 AoB (A(x) B(x)) B(x) A(x*).
xR
xR
2.2 格贴近度
1
一、内积与外积的概念
1、内积：设
A,
B
F(U )
，称
AoB
(A(u)
uU
B(
u))
为
F 集 A、B 的内积。
2、外积：设
A,
B
F
(U
)
，称
A
B
uU
(
A(u)
B(u))
为
F 集 A、B 的外积。
2
二、内积与外积的一些性质
性质 1 (A B)c Ac oBc,ຫໍສະໝຸດ (AoB)c Ac Bc .
6
根据引理 1 和格贴近度的定义，立即得到：
定理 1 设 A, B F(U ) ，则 (A, B) (AoB) (A B)c, 是 F 集 A,B 的贴近度，叫做 A、B 的格贴近度。记为
N1( A, B) ( A oB) ( A B)c
n
式中，当 U 为有限论域时， A oB (A(ui ) B(ui )) i 1
并且 AC BC .
4
由性质发现，给定F集A，让F集B靠近A， 会使内积增大而外积减少。即，当内积较 大且外积较小时，A与B比较贴近。
所以，以内外积相结合的“格贴近度” 来刻划两个F集的贴近程度。
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引理 1 设 A, B F(U) ，令 (A, B) (AoB) (A B)c, 则下 列结论成立： （1） 0 (A, B) 1; （2） (A, B) (B, A); （3） (A, A) a (1 a); （4） A B C (A,C) (A, B) (B,C). 特别当 a 1时， a 0, 则 (A, A) 1.
性质 2 AoB a b , AB a b .
性质 3 AoA a, A A a .
性质 4
(AoB) a,
BF (U )
BF (U
(
)
A
B)
a
.
3
性质 5 A B AoB a, A B b .
性质 6
A o Ac 1 , 2
1 AB
2
性质 7 A B AoC B oC,
当 U 为无限论域时， AoB (A(u) B(u)) uU
这里“V”表示取上确界。 注，2.1 节中的海明贴近度、欧几里得贴近度、黎曼贴近度 和本节的格贴近度这些贴近度很难比较，只有在应用时加以 选择。
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例 1 设论域 R 为实数域，F 集的隶属函数为
( xa1 )2
A(x) e 1 ,
而
Ac oBc ((1 A(x)) (1 B(x))) 1
xR
由格贴近度公式，得
(2 1 )2
N( A, B) e 12
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黎曼贴近度的求解方法见书35页，求解 起来相当麻烦，故本例用格贴近度比较好。
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可见，内积 AoB 是 A(x)与 B(x)相等时的值，这时，x=x*.故令
A(x)=B(x)，求 x*，
即从
( xa1 )2
( xa2 )2
e 1 e 2
求得
x1
1 2 1
21 2
,
x2
21 2
1 2 1
其中 x2 不是其最大值点，故选 x*=x1.于是
(2 1 )2
AoB A(x1) e 2 1