★离散数学 东北师范大学离线作业与答案

离线考核
《离散数学》
满分100分
一、计算题（共25分）
1. 设集合{}c b a A , , =，R 是A 上的二元关系，{}b c c a b a a a R , , , , , , , =， 试求：
(1) ()A P ； （8分）
(2) R 的关系图与关系矩阵R M ； （8分）
(3) ()R r 、()R s 、()R t 。

（9分）
设集合{}c b a A , , =，R 是A 上的二元关系，{b c a b a a a R , , , , , , , =，试求：
(1) ()A P ；
(2) R 的关系图与关系矩阵R M ；
(3)()R r 、()R s 、()R t 。

解：(1) (){}{}{}{}{}{}{}
{}c b a c b c a b a c b a A P ,,,,,,,,,,,,Φ= (2) ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=010000111R M
关系图为：
(3) (){}b c c a b a c c b b a a R r ,,,,,,,,,,,=
(){}c b c a c c a a b b a a a R s ,,,,,,,,,,,=
(){}
R b c a b a a a R t ==,,,,,,
二、证明题（每小题15分，共75分。

）
1.证明等价式
：()()()()C Q P A C Q P A C A Q P →↔∧=∨∨→∧→∧∧。

证明等价式： ()()()()C Q P A C Q P A C A Q P →↔∧=∨∨→∧→∧∧
证明：
()()
()()()
()()
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()C Q P A C
Q P Q P A C
Q P Q P A C
Q P Q P A C
Q P Q P A C
Q P A Q P A C Q P A C Q P A C Q P A C A Q P C Q P A C A Q P →↔∧=→⌝∧⌝∨∧∧=→∨∧⌝∨⌝⌝∧=→∨∧⌝∨⌝∨⌝⌝=∨∨∧⌝∨⌝∨⌝=∨∨∨⌝∧⌝∨⌝∨⌝=∨∨∨⌝∧∨⌝∨⌝∨⌝=∨∨∨⌝∧∨∧∧⌝=∨∨→∧→∧∧
2. 证明：树是一个偶图。

证明：树是一个偶图。

证明：设E V T ,=是一棵树，对任意的V u ∈，令
{}为奇数之间的基本通路的长度与u v V v V ∈=1
{}为偶数之间的基本通路的长度与u v V v V ∈=2
(1) 因为T 是连通的，所以对任意的V v ∈，必有1V v ∈或2V v ∈，因此V V V =⋃21，(2) 因为T 是树，v 与u 之间的基本通路有且只有一条，所以Φ=⋂21V V ，
(3) 因为T 是树，T 中无回路，所以1V 或2V 中的任意的两个顶点不可能是相邻的。

综上，T 是一个偶图。

3. 设* , 是群，对任意的G a ∈，令{}x a a x G x H ** =∈=，证明：H 是G 的子群。

设* , G 是群，对任意的G a ∈，令{}
x a a x G x H ** =∈=，证明：H 是G 的子群。

证明：对任意的H y x ∈,，有 y a a y x a a x ** , **==
所以
1111******----=y y a y y a y y
经整理，得
***11a y y a --=
所以
()()()()()()
111111************------=====y x a y x a y a x y a x a y x a y x 因此H y
x ∈-1*，由子群判定定理，H 是G 的子群。

4. 设R 为实数集，R R R R f ⨯→⨯:，对任意的R R y x ⨯∈ , ，定义：()
y x y x y x f -+=, , 证明：f 是双射。

设R 为实数集，R R R R f ⨯→⨯:，对任意的R R y x ⨯∈ , ，定义： ()y x y x y x f -+=, ,
证明：f 是双射。

证明：(1) 对任意的R R y x ⨯∈ , ，存在R R y x y x ⨯∈-+2
,2，使得 y x y x y x f ,2,2=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+ 所以f 是满射。

(2) 对任意的R R v u y x ⨯∈, , ，若()()v u f y x f , , =，即
v u v u y x y x -+=-+,,
所以，有
⎩⎨⎧-=-+=+v
u y x v u y x 解得：
⎩⎨⎧==v
y u x 即
v u y x ,,=
因此f 是单射。

综上，f 是双射。

5. 设,*,⊕B 是含幺环,且*满足等幂律,在B 上定义运算+,·,ˉ如下:
()b a b a b a *⊕⊕=+, b a b a *=⋅, 1⊕=a a 。

证明:1 , 0 , , , , ⋅+B 是一个布尔代数，其中0和1分别是关于运算⊕和*的幺元。

设,*,⊕B 是含幺环,且*满足等幂律,在B 上定义运算+,·,ˉ如下:
()b a b a b a *⊕⊕=+, b a b a *=⋅, 1⊕=a a
证明:1 , 0 , , , , ⋅+B 是一个布尔代数，其中0和1分别是关于运算⊕和*的幺元。

证明：(1) 由题设条件可知，运算+和·在B 上是封闭的。

(2) 对任意的B b a ∈,，由书上习题结论，有
0=⊕a a
a b b a **=
从而有
a b b a +=+
a b b a ⋅=⋅
即，运算+和·在B 上是可交换的。

(3) 对任意的B c b a ∈,,，有
()()c b a c a b a c b c b a c b a ******⊕⊕=⊕⊕=+⋅
()()c b a c a b a c a b a c a b a c a b a *********⊕⊕=⊕⊕=⋅+⋅
即
()()()c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅
所以运算·对+是可分配的。

另外
()c b a c b a c b a ***⊕⊕=⋅+
()()c a b a +⋅+
()()c a c a b a b a ***⊕⊕⊕⊕=
c a b a c b a a b a c a b c b a b c a a c a a a ***************⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕= c b a c b a b a c b a c b b a c a c a a ***********⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕= c b a c b a ***⊕⊕=
即
()()c a b a c b a +⋅+=⋅+
所以运算+对·是可分配的。

(4) 对任意的B a ∈，有
a a a ==⋅1*1
a a a a a =⊕=⊕⊕=+00*00
(5) 对任意的B a ∈，有
()()10111**101*1=⊕=⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕⊕=+a a a a a a a a a a a
()01**1*=⊕=⊕=⊕=⋅a a a a a a a a a 综上，由亨廷顿公理，1 , 0 , , , , ⋅+B 是布尔代数。