层次分析模型
层次分析法与层次分析模型
b15
1b11 2b12 5b15
b25
1b21 2b22 5b25
b35
1b31 2b32 5b35
4 层次总排序的一致性检验
设 最下层对最上层中因素的层次单排序一致性指标为 CIj， 随机一致性指为 RIj，则层次总排序的一致性比率为：
CR
a1CI1 a1RI1
a2CI 2 a2 RI 2
amCI m am RI m
当 CR 0.1时，认为层次总排序通过一致性检验。到
此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。
三 层次分析法建模举例
(1)建模
一、旅游问题
Z
A1, A2 , A3, A4 , A5
分别分别表示景色、费用、
A1
A2 A3 A4 A5 居住、饮食、旅途。
B1
B2
计算 CR可k知 B1, B2 , B通3, 过B4一, B致5 性检验。
（4）计算层次总排序权值和一致性检验
B1 对总目标的权值为： 0.595 0.263 0.082 0.475 0.429 0.055 0.633 0.099 0.166 0.110 0.3
饮食 1/3 1/5 2 1 1
旅途 1/3 1/5 3 1 1
由上表，可得成对比较矩阵
1
1 2
4
3
3
2 1 7 5 5
A
1 4
1 7
1
1 1 2 3
1 3
1 3
1 5
1 5
2 3
1 1
1
1
问题：两两进行比较后，怎样才能定量求出到底去哪个地 方旅游最合理？
3 层次单排序
层次分析法用权值表示各个因素的优劣性，那 如何求权值呢？
层次分析模型(数学建模)
第k层nk个元素对于第k-1层上第j个元素为 准则的单排序向量 uj(k)=(u1j(k)，u2j(k)，…，un j(k))T j=1，2，…nk-1 其中不受第j个元素支配的元素权重取零，
于是可得到nk×nk-1阶矩阵
u (k ) u21 = ( ) unk1 k
(k ) 11
1 A = ( aij ) n×n , aij > 0, a ji = aij
1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 1/ 2 1 1
3 成对比较阵 5 A~成对比较阵 1 / 3 是正互反阵 A是正互反阵 1 1
要由A确定 要由 确定C1,… , Cn对O的权向量 确定 的权向量
1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质 正互反矩阵A 是正单根， 正互反矩阵 的最大特征根λ是正单根， Ak e T 对应正特征向量w， 对应正特征向量 ， lim T k = w, e = (1,1, L ,1) k →∞ e A e 定理1 定理1 正互反阵的最大特征根是正数， 正互反阵的最大特征根是正数， 特征向量是正向量。 特征向量是正向量。 定理2 定理2 n阶正互反阵 的最大特征根λ ≥ n , 阶正互反阵A的最大特征根 λ= n是A为一致阵的充要条件。 为一致阵的充要条件。 是 为一致阵的充要条件 一致性指标 CI =
“选择旅游地”思维过程的归 选择旅游地” 选择旅游地 纳 • 将决策问题分为 个层次：目标层 ，准则层 ， 将决策问题分为3个层次 目标层O，准则层C， 个层次： 方案层P；每层有若干元素， 方案层 ；每层有若干元素， 各层元素间的关系 用相连的直线表示。 用相连的直线表示。 • 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 通过相互比较确定各准则对目标的权重， 案对每一准则的权重。 案对每一准则的权重。 • 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 将上述两组权重进行综合， 权重。 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。
层次分析法——精选推荐
一、层次分析模型和一般步骤1、定义：层次分析法是一种定性与定量分析相结合的多因素决策分析方法。
这种方法将决策者的经验判断给于数量化，在目标因素结构复杂且缺乏必要数据的情况下使用更为方便，因而在实践中得到广泛应用。
2、层次分析的四个基本步骤：（1）在确定决策的目标后，对影响目标决策的因素进行分类，建立一个多层次结构；（2）比较同一层次中各因素关于上一层次的同一个因素的相对重要性，构造成对比较矩阵；（3）通过计算，检验成对比较矩阵的一致性，必要时对成对比较矩阵进行修改，以达到可以接受的一致性；（4）在符合一致性检验的前提下，计算与成对比较矩阵最大特征值相对应的特征向量，确定每个因素对上一层次该因素的权重；计算各因素对于系统目标的总排序权重并决策。
二、建立层次结构模型将问题包含的因素分层：最高层——解决问题的目的；中间层——实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。
也可称策略层、约束层、准则层等；最低层——用于解决问题的各种措施、方案等。
把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。
用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。
例1购物模型某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：〔例2〕选拔干部模型练习：画出下列问题的层次模型评选优秀学校某地区有三个学校，现在要全面考察评出一个优秀学校。
主要考虑以下几个因素： （1）教师队伍（包括平均学历和年龄结构）（2）教学设施（3）教学工作（包括课堂教学，课外活动，统考成绩和教学管理） （4）文体活动三、构造成对比较矩阵比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重aij来描述。
设共有 n 个元素参与比较，则称n n ij a A ⨯=)( 为成对比较矩阵。
成对比较矩阵中aij的取值可参考 Satty 的提议，aij按下述标度进行赋值。
在 1— 9及其倒数中间取值。
对例 2， 选拔干部考虑5个条件：品德x1，才能x2，资历 x3 ，年龄x4，群众关系x5。
完全层次结构模型
层次分析模型一、层次分析法讲解在现实世界中，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题，选择升学志愿的问题等等。
在决策者作出最后的决定以前，他必须考虑很多方面的因素或者判断准则，最终通过这些准则作出选择。
比如下面的问题：例1 选择旅游地国庆节即将来临，张鶇一家准备去旅游，他们想从黄山、桂林、北戴河三个旅游景点选出一个，请帮助他们作出最佳选择。
根据什么作出选择呢？为解决这个问题，我们需要作问题的分析，以便得到选择景点要考虑的因素.问题的分析：景点的选择大体上有两方面要考虑：1、是旅游者自身的情况；2、是对景点的评价。
首先分析旅游者的情况：如果经济条件宽绰、醉心旅游，自然特别看重景色条件，那么景色在他的心目中的比重就大。
如果平素俭朴，则会优先考虑费用，即费用的比重就大.中老年旅游者还会对居住条件，旅游条件，饮食比较关注。
因此，应该考虑景色、费用、居住、饮食、旅途条件等因素在张鶇一家心目中的重要程度.如何衡量这五个因素的重要程度呢？其次，如何评价景点呢？自然应该就上面的五个因素景色、费用、居住、饮食、旅途条件对景点进行评价。
最后，还要把旅游者的情况和对景点的评价进行综合，以便选定最佳的旅游景点.可是如何综合呢？下面我们用层次分析法解决上面提出的问题。
层次分析法的第一步：建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立，把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。
大体可以分成三个层次：（1）最高层（目标层）：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果；（2）中间层（准则层）：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它还可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则；（3）最低层（方案层）：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等。
就本例题而言，通过上面的分析，我们可以建立如下层次模型：层次分析法的第二步：构造成对比较矩阵建立好层次后，就可以进行各因素之间的比较了.首先考虑对于选择旅游地而言，景色、费用、居住、饮食、旅途条件等准则在张鶇一家心目中的影响，即：对于第一层目标来说，第二层各因素的权重。
层次分析法模型
二、模型的假设1、假设我们所统计与分析的数据,都就是客观真实的;2、在考虑影响毕业生就业的因素时,假设我们所选取的样本为简单随机抽样,具有典型性与普遍性,基本上能够集中反映毕业生就业实际情况;3、在数据计算过程中,假设误差在合理范围之内,对数据结果的影响可以忽略、三、符号说明四、模型的分析与建立1、问题背景的理解随着我国改革开放的不断深入,经济转轨加速,社会转型加剧,受高校毕业生总量的增加,劳动用工管理与社会保障制度,劳动力市场的不尽完善,以及高校的毕业生部分择业期望过高等因素的影响,如今的毕业生就业形势较为严峻、为了更好地解决广大学生就业中的问题,就需要客观地、全面地分析与评价毕业生就业的若干主要因素,并将它们从主到次依秩排序、针对不同专业的毕业生评价其就业情况,并给出某一专业的毕业生具体的就业策略、2、方法模型的建立(1)层次分析法层次分析法介绍:层次分析法就是一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法,它用来帮助我们处理决策问题、特别就是考虑的因素较多的决策问题,而且各个因素的重要性、影响力、或者优先程度难以量化的时候,层次分析法为我们提供了一种科学的决策方法、通过相互比较确定各准则对于目标的权重,及各方案对于每一准则的权重、这些权重在人的思维过程中通常就是定性的,而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法、我们现在主要对各个因素分配合理的权重,而权重的计算一般用美国运筹学家T、L、Saaty教授提出的AHP法、(2)具体计算权重的AHP 法AHP法就是将各要素配对比较,根据各要素的相对重要程度进行判断,再根据W、计算成对比较矩阵的特征值获得权重向量kStep1、 构造成对比较矩阵假设比较某一层k 个因素12,,,k C C C L 对上一层因素ο的影响,每次两个因素i C 与j C ,用ij C 表示i C 与j C 对ο的影响之比,全部比较结果构成成对比较矩阵C ,也叫正互反矩阵、*()k k ij C C =,0ij C >,1ij jiC C=, 1ii C =、若正互反矩阵C 元素成立等式:* ij jk ik C C C = ,则称C 一致性矩阵、标度ij C含义1i C 与j C 的影响相同 3 i C 比j C 的影响稍强 5 i C 比j C 的影响强 7 i C 比j C 的影响明显地强 9i C 比j C 的影响绝对地强2,4,6,8i C 与j C 的影响之比在上述两个相邻等级之间11,,29Li C 与j C 影响之比为上面ij a 的互反数 Step2、 计算该矩阵的权重通过解正互反矩阵的特征值,可求得相应的特征向量,经归一化后即为权重向量12 = [ , ,..., ]T kkkkkQ q qq ,其中的ikq 就就是i C 对ο的相对权重、由特征方程A-I=0λ,利用Mathematica 软件包可以求出最大的特征值max λ与相应的特征向量、Step3、 一致性检验1）为了度量判断的可靠程度,可计算此时的一致性度量指标CI :max1kCI k λ-=-其中maxλ表示矩阵C 的最大特征值,式中k 正互反矩阵的阶数,CI 越小,说明权重的可靠性越高、2)平均随机一致性指标RI ,下表给出了1－14阶正互反矩阵计算1000次得到3）当0.1CR RI=<时,(CR 称为一致性比率,RI 就是通过大量数据测出来的随机一致性指标,可查表找到)可认为判断就是满意的,此时的正互反矩阵称之为一致性矩阵、进入Step4、 否则说明矛盾,应重新修正该正互反矩阵、转入Step2、 Step4、 得到最终权值向量将该一致性矩阵任一列或任一行向量归一化就得到所需的权重向量、计算出来的准则层对目标层的权重即不同因素的最终权重,这样一来,我们就可以按权重大小将进行排序了、 (3)组合权向量的计算成对比较矩阵显然非常好体现了我们研究对象——各个因素之间权重的比较状态,能够有效地全面而深刻地表现出有关的数据信息,显然也就是矩阵数学模型的重要应用价值、 因素往往就是有层次的,我们经常在进行决策分析时,要进行多方面、多角度、多层次的分析与研究,把我们的决策选择建立在深刻而广泛的分析研究基础之上的、一个总的指标下面可以有第一层次的各个方面的指标、因素、成份、特征性质、组成成分等等,而每个这种因素又有新的成份在里面、这就就是决策分析的数学模型的真正的意义之所在、定理1:对于三决策问题,假设第一层只有一个因素,即这就是总的目标,决策总就是最后要集中在一个总目标基础之上的东西,然后才能进行最后的比较、又假设第二层与第三层因素各有n 、m 个,并且记第二层对第一层的权向量(即构成成份的数量大小、成份的比例、影响程度的大小的数量化指标的量化结果、所拥有的这种属性的程度大小等等多方面的事情的量化的结果)为:(2)(2)(2)(2)12(,,,)Tn w w w w =L , 而第3层对第2层的全向量分别就是:(3)(3)(3)(3)12(,,,)Tk k k km w w w w =L ,这表示第3层的权重大小,具体表示的就是第2层中第k 个因素所拥有的面对下一层次的m 个同类因素进行分析对比所产生的数量指标、那么显然,第三层的因素相对于第一层的因素而言,其权重应当就是:先构造矩阵,用 (3)k w 为列向量构造一个方阵 (3)(3)(3)(3)12(,,)nWw w w=L,这个矩阵的第一行就是第3层次的m 个因素中的第1个因素,通过第2层次的n 个因素传递给第1层次因素的权重,故第3层次的m 个因素中的第i 个因素对第1层次的权重为 (2)(3)1nkkik w w=∑,从而可以统一表示为:(1)(3)(2)wWw=,它的每一行表示的就就是三层(一般就是方案层)中每一个因素相对总目标的量化指标、定理2:一般公式如果共有s 层,则第k 层对第一层(设只有一个因素)的组合权向量为()()(1),3,4,k k k k s wWw-==L ,其中矩阵 ()k W的第i 行表示第k 层中的第i 个因素,相对于第1k -层中每个因素的权向量;而列向量 (1)k w-则表示的就是第1k -层中每个因素关于第一层总目标的权重向量、于就是,最下层对最上层的的组合权向量为:()()(1)(3)(2)s s s wWWWw-=L ,实际上这就是一个从左向右的递推形式的向量运算、逐个得出每一层的各个因素关于第一层总目标因素的权重向量、 (4)灰色关联度综合评价法灰色系统的关联分析主要就是对系统动态发展过程的量化分析,它就是根据因素之间发展态势的相似或相异程度,来衡量因素间接近的程度,实质上就就是各评价对象与理想对象的接近程度,评价对象与理想对象越接近,其关联度就越大、关联序则反映了各评价对象对理想对象的接近次序,即评价对象与理想对象接近程度的先后次序,其中关联度最大的评价对象为最优、因此,可利用关联序对所要评价的对象进行排序比较、利用灰色关联度进行综合评价的步骤如下:1)用表格方式列出所有被评价对象的指标、2)由于指标序列间的数据不存在运算关系,因此必须对数据进行无量纲化处理、3)构造理想对象,即把无量纲化处理后评价对象中每一项指标的最佳值作为理想对象的指标值、4)计算指标关联系数、其计算公式为:min max imax()()ik k ρρξ+=+∆∆∆∆其中min()()minminiikk k x x =-∆,max()()maxmaxiikk k x x =-∆,()ik ∆=()()ik k x x -,1,2,i n =L ,1,2,k m =L 、式中n 为评价对象的个数;m 为评价对象指标的个数;()ik ξ为第i 个对象第k 个指标对理想对象同一指标的关联系数;A 表示在各评价对象第k 个指标值与理想对象第k 个指标值的最小绝对差的基础上,再按1,2,,i n =L 找出所有最小绝对差中的最小值;max ∆表示在评价对象第k 个指标值与理想对象第k 个指标值的最大绝对差的基础上,再按1,2,,i n =L 找出所有最大绝对差中的最大值;min ∆为评价对象第k 个指标值与理想对象第k 个指标值的绝对差、ρ为分辨系数,ρ越小分辨力越大,一般ρ的取值区间[0,1],更一般地取ρ=0、5、5)确立层次分析模型、6)确定判断矩阵,计算各层次加权系数及加权关联度,加权关联度的计算公式为:()mk iikk γξω=∑,式中7为第i 个评价对象对理想对象的加权关联度,kω为第k 个指标的权重、7)依加权关联度的大小,对各评价对象进行排序,建立评价对象的关联序,从而可以得出关联度较大的对象,关联度越大其综合评价结果也越好、 (5)线性回归分析法假如对象(因变量)y 与p 个因素(自变量)12,,,p x x x L 的关系就是线性的,为研究她们之间定量关系式,做n 次抽样,每一次抽样可能发生的对象之值为12,,ny y yL它们就是在因素(1,2,,)i i p x =L 数值已经发生的条件下随机发生的、把第j 次观测的因素数值记为:12,,,jjpj x xx L (1,2,j n =L )那么可以假设有如下的结构表达式:1111011212201213011p p p p n np p y x x y x x y x x βββεβββεβββε⎧=++++⎪⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎪⎩L L L L L L L L L L L L L L L L L L 其中,01,,,pβββL 就是1p +个待估计参数,12,,,n εεεL 就是n 个相互独立且服从同一正态分布2(0,)N σ的随机变量、这就就是多元线性回归的数学模型、若令12n y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ,111212122212111p p n n np x xx x xx x xxx ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎝⎭L L L LLL L L,012p βββββ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ,12n εεεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M则上面多元线性回归的数学模型可以写成矩阵形式:y x βε=+在实际问题中,我们得到的就是实测容量为n 的样本,利用这组样本对上述回归模型中的参数进行估计,得到的估计方法称为多元线性回归方程,记为%011p p y b b x b x =+++L式中,012,,,,p b b b b L 分别为01,,,p βββL 的估计值、 (6)主成分分析法1)主成分的定义设有p 个随机变量12,,,p x x x L ,它们可能线性相关,通过某种线性变换,找到p 个线性无关的随机变量12,,,pz z zL ,称为初始向量的主成分、设12(,,,)Tp αααα=L为p 维空间pR 中的单位向量,并记所有单位向量的集合为{}0|1TR ααα==,且记X ＝12(,,,)Tp X X X L 、2)用相关矩阵确定的主成分令*i E X -=,**(,),ij i j E r X X =1,2,,j p =L 、*X=***12(,,)Tp X X X L ,则1212121211()1pp ij p p R r r r rr r r⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L LL L LLL 为*X 的协方程、类似地,我们可对R 进行相应的分析、3)主成分分析的一般步骤 第一步、选择主成分设X 的样本数据经过数据预处理后计算出的样本相关矩阵为121*21212111*()11()()pT p p p R ij n r r r rr XX r r⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭L LL L LLL %%、 由特征方程0R I λ-=,求出p 个非负实根,并按值从大到小进行排列:120p λλλ≥≥≥≥L 、将iλ带入下列方程组,求出单位特征向量iα()0,1,2,,i i R I i m λα-==L确定m的方法就是使前m个主成分的累计贡献率达到85％左右、第二步、利用主成分进行分析在实际分析时,通常把特征向量的各个分量的取值大小与符号(正负)进行对照比较,往往能对主成分的直观意义作出合理的解释、利用主成分可以进行以下分析:a)对原指标进行分类;b)对原指标进行选择;c)对样品进行分类;d)对样品进行排序;e)预测分析、。
层次分析模型介绍
层次分析模型介绍
§ 1.2 层次分析法的基本原理和步骤
运用层次分析法解决问题，大体可以分为 四个步骤：
1. 建立问题的递阶层次结构； 2. 构造两两比较判断矩阵； 3. 由判断矩阵计算被比较元素相对权重； 4. 计算各层次元素的组合权重。
层次分析模型介绍
§ 1.2.2 构造两两比较判断矩阵
在建立递阶层次结构以后，上下层次之间元 素的隶属关系就被确定了。假定上一层次的元素 Ck 作为准则，对下一层次的元素 A1, …, An 有支配 关系，我们的目的是在准则 Ck 之下按它们相对重 要性赋予 A1, …, An 相应的权重。
层次分析法
层次分析模型介绍
第一讲 层次分析法
层次分析模型介绍
§ 1.1 引言与引例
层次分析法（Analytic Hierarchy Process， 简称 AHP）是美国运筹学家 T. L. Saaty 教授于 上世纪 70 年代初期提出的一种简便、灵活而又 实用的多准则决策方法。
层次分析模型介绍
人们在进行社会的、经济的以及科学管理 领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由 相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而 往往缺少定量数据的系统。
在这样的系统中，人们感兴趣的问题之一 是：就 n 个不同事物所共有的某一性质而言， 应该怎样对任一事物的所给性质表现出来的程 度（排序权重）赋值，使得这些数值能客观地 反映不同事物之间在该性质上的差异？
其中 x1 = 写作水平，x2 = 外语程度， x3 = 公关能力，x4 = 国内外政治经济时事， x5 =计算机操作知识，x6 = 容貌与风度， x7 = 体形高矮与肥瘦，x8 = 音色。
统计学中的多层次建模与分析方法
统计学中的多层次建模与分析方法多层次建模与分析是统计学中一个重要的研究领域，它主要用于处理多层次数据，也称为分层数据或层次化数据。
在许多实际问题中，我们会遇到数据存在多层次结构的情况，例如学生在班级中，班级在学校中，学校在地区中的成绩评估，或者员工在部门中，部门在公司中的工作绩效评估等。
在这些情况下，单纯使用传统的单层次统计方法可能无法充分考虑到多层次数据的特点和关系，因此需要使用多层次建模与分析方法来进行研究和分析。
多层次建模与分析方法的基本原理是将数据划分为不同层次，在每个层次上建立适当的模型，并且通过层次之间的联系来推断和解释结果。
下面将介绍一些常用的多层次建模与分析方法。
1. 多层线性模型（Multilevel Linear Models，简称MLM）：MLM是多层次分析中最常用的方法之一。
它基于随机效应模型，将观测单元（个体）分类为不同的层次，并通过考虑层次之间的方差和协方差关系来建模。
MLM可以用于解释和预测层次性数据，例如测量学生的成绩差异时，可以考虑班级和学校的影响。
2. 多层Logistic回归模型（Multilevel Logistic Regression Models）：该方法在研究二分类或多分类问题时非常有用。
它将随机效应模型应用于逻辑回归模型，用于描述不同层次上的概率差异。
例如，研究不同学校学生的大学录取率时，可以使用多层Logistic回归模型考虑学校和个体因素的影响。
3. 多层生存分析模型（Multilevel Survival Analysis Models）：多层生存分析模型是在研究生存数据（例如生命表数据）时常用的方法。
该方法可以考虑不同层次上的时间变化和随机效应，并用于推断不同层次上的生存率和风险。
例如，在研究医院的患者生存时间时，可以考虑医院间的差异和个体特征的影响。
4. 多层次协变量分析（Multilevel Covariate Analysis）：该方法用于分析多变量之间的关系，并考虑不同层次上的协变量。
多目标决策模型：层次分析法(AHP)、代数模型、离散模型
程中常是定性的。 例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择； 中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择； 经济不好的人：会把费用低作为第一选择。 而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。 （S3）将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。 （S4）最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。 以上步骤和方法即是 AHP 的决策分析方法。 三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量 在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因 而 Santy 等人提出：一致矩阵法 ．．．．． 即：1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较 2. 对此时採用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。 因素比较方法 —— 成对比较矩阵法： 目的是，要比较某一层 n 个因素 C1 , C 2 , , C n 对上一层因素 O 的影响（例如：旅游决策解 中，比较景色等 5 个准则在选择旅游地这个目标中的重要性） 。 採用的方法是：每次取两个因素 C i 和 C j 比较其对目标因素 O 的影响，并用 aij 表示，全部 比较的结果用成对比较矩阵表示，即：
分析：
W1 W2 若重量向量 W 未知时， 则可由决策者对物体 M 1 , M 2 , , M n 之间两两相比关系， W n 主观作出比值的判断，或用Delphi（调查法）来确定这些比值，使 A 矩阵（不一定有一致性）
为已知的，并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断矩阵 A ，并且此 A （不一致）在不一致 的容许范围内，再依据： A 的特征根或和特征向量 W 连续地依赖于矩阵的元素 aij ，即当 aij 离 一致性的要求不太远时， A 的特征根 i 和特征值（向量）W 与一致矩阵 A 的特征根 和特征向 量 W 也相差不大的道理：由特征向量 W 求权向量 W 的方法即为特征向量法，并由此引出一致 性检查的方法。 问题：Remark 以上讨论的用求特征根来求权向量 W 的方法和思路，在理论上应解决以下问题： 1． 一致阵的性质 1 是说：一致阵的最大特征根为 n （即必要条件） ，但用特征根来求特征向量 时， 应回答充分条件： 即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互 反矩阵 A 的最大特征根 max n 时， A 是否为一致阵？ 2． 用主观判断矩阵 A 的特征根 和特征向量 W 连续逼近一致阵 A 的特征根 和特征向量 W 时，即： 由 lim k
大学生消费问题数学模型(层次分析报告)
word大学生消费问题的层次分析模型大学生的消费结构是指大学生所消费的各种消费资料之间的比例关系．全面细致地了解大学生的消费状况具有重要的现实意义．关注大学生的消费行为，引导大学生科学消费，可以使大学生在校时合理使用有限的经济收入，进展科学消费．因此帮助大学生树立起适度、合理的消费观念，对于促进经济的开展和社会进步有着重要的意义．1.1 目前大学生的消费来源当今大学生的经济来源主要包括: 家庭供应、家教兼职、特困补助和奖学金．大学生由于其自身社会角色的限制，没有独立的经济来源, 主要靠家庭供应．大学生消费收入差距悬殊，主要受家庭收入的影响．1.2 目前大学生的消费状况目前大学生的消费主要由生活消费、学习消费、娱乐消费三局部构成．生活消费,如吃饭、购置生活必需品;学习消费,如学习用品等; 娱乐消费,如购物、旅游等．随着生活水平的提高和网络信息化的开展,大学生消费呈现出多样化．在市场经济的今天，大学生的消费形式、内容、消费心理以与消费观念都发生了显著的变化．大学生传统必需型消费呈明显下降趋势，如饮食消费、衣着消费所占比例下降，其他形式的消费比例逐渐增加．学习消费主要集中在购置学习参考书、英语和计算机等级考试等和学习工具上．娱乐消费主要表现为休闲、旅游等方面，并呈上涨趋势．通讯消费主要表现在手机话费、上网等方面．大学生的人际交往消费、恋爱消费也成为日常支出的一个重要方面．1.3 研究目的了解当代大学生消费的根本情况，发现大学生日常消费中存在的一些问题，为大学生的消费提供正确合理的建议指导,帮助大学生确立正确的消费观．2 数据说明与符号约定2.1 数据说明以某某学院学生为调查的对象，通过问卷调查所得数据，调查问卷的原始数据见附录．问卷是通过对60名某某学院学生随机发放，并收回有效问卷52份而得．由调查的统计结果可知：在校大学生平均的月总支出为，学习支出为元，食物支出占元，衣着支出为元，通讯支出为元，娱乐支出为元．家庭月人均收入不同的在校大学生在月总支出和其他各项具体支出方面存在差异，在校大学生的月总支出主要用于食物支出、其他方面的支出相对较少，这反响了当代大学生的消费仍然是以物质消费为根底，这是由在校大学生的非独立经济地位决定的．2.2 符号约定y y 为学生的平均月消费(元)1x 1x 为学生每月由家庭提供的收入(元)2x 2x 为学生每月做家教等兼职所获取的收入(元) 3x 3x 为学生每月的特困补助的收入(元)0β0β为自发性消费321,,βββ边际消费倾向ε 表示其它随机因素的影响． A 因素对目标的判断矩阵λA 的最大特征值a A 的最大特征值所对应的特征向量*a a 的权重向量，即用a 的每个元素除以各元素之和所得的矩阵1B 费用对决策准如此的判断矩阵 2B 健康对决策准如此的判断矩阵 3B 心理对决策准如此的判断矩阵4B 开展对决策准如此的判断矩阵i λi B 的最大特征值 ()4,3,2,1 i =i b i B 的最大特征值所对应的特征向量 ()4,3,2,1 i =*i b i b 的权重向量，即用i b 的每个元素除以各元素之和所得的矩阵 ()4,3,2,1 i =A CI A 的一致性指标i CI i B 的一致性指标 ()4,3,2,1 i =Z CI 因素的一致性指标 A RI A 的平均随机一致性指标i RI i B 的平均随机一致性指标 ()4,3,2,1 i =A CR A 的一致性判断指标，规定小于0.1时，说明满足一致性准如此 Z CR 因素的一致性判断指标，规定小于0.1时，说明满足一致性准如此ω 准如此的权重向量，我们用以判断各种准如此的支出比例3 消费问题的数学模型我们利用调查所得的数据进展了统计分析和数学建模．具体模型步骤如下： 3.1 消费函数的计量模型多元线性回归模型 εββββ++++=3322110x x x y 应用MATLAB 得到回归方程为:12336.05590.80030.7129x 0.7393y x x =++-解得9225.02=R ,5127.1900=F .其中2R 为复相关系数，0F 为F 检验的临界值，0()P F F >为观察值F 大于临界值0F 的概率，且在显著性水平01.0=α下0)(0=>F F P ,越接近0表示回归方程在在显著性水平0.01α=下回归越显著,这明确回归结果非常合理. 3.2 层次分析模型将决策的目标、考虑的因素和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图．根据考察的实际情况，层次结构图1为：图1 层次结构图其中最高层为消费，即应怎样消费．最低层分为学习、饮食、衣着、通讯、娱乐五个方面，即我们的消费应在学习、饮食、衣着、通讯、娱乐五个方面按照怎样的比例消费．中间层分为费用、健康、心理、开展四个因素．费用是指价格的上下对决策的影响；健康是指对身体的有利或有害程度对决策的影响；心理是指个人消费的不同动机，包括正常动机和不良动机对决策的影响；开展是指个体为了满足今后成长、进步等要求而不断增长自身修养和素质的一种预期投资对决策的影响．构造判断矩阵：每一个具有向下隶属关系的元素作为判断矩阵的第一个元素〔位于左上角〕，隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行和第一列．表1 重要性标度含义表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=171571171311715513511A 计算A 的特征根0E A λ-= A 有最大特征根0735.4=λ,对应的特征向量为 首先求解齐次线性方程 ()0E A X λ-=解得特征向量为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7118.00791.06761.01731.0a , 归一化,得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=*4340.00482.04122.01055.0a 对所得的数据进展一致性检验,步骤如下: 〔1〕.计算一致性指标44.073540.02454141A CI λ--===--〔2〕查表确定相应的平均随机一致性指标RI表2 平均随机一致性指标RI 表〔3〕计算一致性比例RI ,并进展判断.0.0245/0.890.0270.1.A C ICR R I===< 当RI <0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以承受的，RI >0.1时，认为判断矩阵不符合一致性要求，需要对该判断矩阵进展重新修正． 故：A 有比拟合理的一致性．第二步,备选对象对决策准如此的判断矩阵是 费用对决策准如此的判断矩阵可作以下假设:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=134151313115191714515131595123732111B 1B 有最大特征根和对应特征向量2828.51=λ, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1337.00603.02708.08225.04781.01b 归一化,得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*0822.00371.01665.05057.02939.01b健康对决策准如此的判断矩阵可作以下假设:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=152515511319131213171259715311215112B2B 有最大特征根和对应特征向量2182.52=λ, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2948.00626.01737.09282.01324.02b 归一化,得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*1852.00393.01091.05831.00832.02b心理对决策准如此的判断矩阵可作以下假设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221312113113123122311211311321313B 3B 有最大特征根和对应特征向量0032.53=λ, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4764.02101.06432.02156.05184.03b 归一化,得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*2308.01018.03117.01045.02512.03b开展对决策准如此的判断矩阵可作以下假设:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12121512112141711212151242131575314B 4B 有最大特征根和对应特征向量0246.54=λ, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1833.00993.01833.03548.08927.04b 归一化,得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*1070.00580.01070.02071.05210.04b所以，令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==****1070.02308.01852.00822.00580.01018.00393.00371.01070.03117.01091.01665.02071.01045.05831.05057.05210.02512.00832.02939.0),,,(4321b b b b B于是对象对目标的排序：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==*0757.01243.00861.06027.01034.04340.00482.04122.01055.01070.02308.01852.00822.00580.01018.00393.00371.01070.03117.01091.01665.02071.01045.05831.05057.05210.02512.00832.02939.0a B w 模型分析：排列的一致性检验：0707.0452828.5155)(11=-=--=λx CI 12.1)(1=x RI 05455.0452182.5155)(22=-=--=λx CI 12.1)(2=x RI 0008.0450032.5155)(33=-=--=λx CI 12.1)(3=x RI 00615.0450246.5155)(44=-=--=λx CI 12.1)(4=x RI 令：)00615.00008.005455.00707.0(),,,()(4321==CI CI CI CI x CI03265.04340.00482.04122.01005.0)00615.00008.005455.00707.0()()(=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=•=*a x CI x CI Z ()119888.14340.00482.04122.01055.012.1,12.1,12.1,12.1)()(=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=•=*a x RI x RI Z 1.002915.0119888.103265.0)()()(<===x RI x CI x CR Z Z所以，有合理的一致性．所以，()Tw 0757.01243.00861.06027.01034.0=即：消费按照学习：饮食：衣着：通讯：娱乐应为()0757.01243.00861.06027.01034.03.3 自身消费模型结合自身的情况，我的月总支出，学习支出，饮食支出：衣着支出：通讯支出：娱乐4 模型的优缺点本文给出了大学生消费问题的模型，即层次分析模型．此模型由于是关系到个人的决策问题所以多少带有个人的主观意识，如文章中的成比照拟矩阵很大成分上就是作者本人的意见，但是它通过了一致性检验以与符合当今社会的常规，所以此模型还是可行的．6 参考文献[1] X来福. 数学模型与数学建模.[3] 袁震东等.数学建模简明教程[M] ．某某：华东师X大学，2001[4] 姜启源等．数学模型(第三版) [M]．：高等教育，2003[5] 杨启帆等．数学建模[M] ．：某某大学， 1999[6] 梁国业等．数学建模[M]．：冶金工业，2004[7] 王兵团．数学建模根底[M]．：清华大学，2004．[8] 甘应爱．高校毕业生就业手册[M]．：某某大学大学，2005[9]武小莉.加强大学生正确消费观的培养.某某高等学校第15卷第12期 20037 附录7.1 调查问卷大学生消费调查问卷１．您的家庭人均月收入为〔〕A．400以下 B．400—800 C．800-1200 D．1200-1600 E．1600以上2．您的月消费额大概为多少〔〕A.300以下B.300-500C.500-700D.700-1000E. 1000以上3．您每月由家庭提供的收入是〔〕A.200以下B.200-400C.400-600D.600-800E. 800以上4．您每月做家教等兼职所获取的收入是〔〕A.100以下B.100-200C.200-300D.300-400E. 400以上5．您每月平均的特困生补助的收入是〔〕A.50以下B.50-100C.100-150D.150-200E. 200以上6．您每学期学习方面的花费〔包括文具、书籍、复印、培训班〕〔〕7．您每月饮食方面支出〔包括零食饮料〕大概为多少〔〕8. 您花在服饰方面平均每个月的消费是〔〕A.50以下B.50-100C.100-200D.200-3009. 您每月用于娱乐方面〔看电影,购置游戏光盘,CD等〕的支出〔〕以上10. 您拥有手机吗？如果有，每个月话费支出为多少？如果没有，请回答下一题．A．50以下 B．50-100 C．100-150 D．150-200 E．200以上11. 您每月用于通讯方面的支出为多少〔仅限于使用卡的情况〕〔〕12. 您花费的资金主要来自〔〕13.您觉得您现在每月消费情况如何〔〕注：本问卷共发放60份，收回有效问卷52份．发放以我们周围的同学为主，根本上做到了随机发放．7.2 数据的统计表3 有关数据统计表〔单位：元〕人均收入月总支出家庭提供家教补助学习食物衣着通讯娱乐300 250 250 80 100 20 200 20 5 5 300 250 200 100 70 50 200 30 10 10 300 300 300 100 70 60 250 30 20 20 300 300 200 100 70 40 200 20 20 20 350 300 250 100 70 50 200 20 20 10 400 300 250 100 100 100 250 50 30 50 400 300 300 0 0 50 200 20 20 10 400 350 300 100 70 70 200 30 25 25 400 400 400 100 100 50 250 50 30 20 400 400 400 0 70 50 250 50 30 20450 450 400 50 70 60 250 50 50 40 500 350 400 180 50 50 200 50 30 20 500 500 500 0 0 50 300 50 50 50 550 500 300 100 100 80 300 50 40 30 600 370 400 150 70 55 230 40 20 30 600 400 600 0 70 55 250 50 25 30 650 450 450 0 0 50 250 50 50 50 700 450 500 300 100 70 260 55 35 30 700 450 450 100 70 70 300 30 20 30 700 500 500 0 0 50 300 50 50 50 700 500 500 0 0 50 300 50 50 50 750 500 500 0 0 80 300 50 40 30 750 500 500 0 0 80 300 60 40 20 800 450 500 120 120 80 250 70 20 30 800 450 500 100 0 50 250 50 50 50 800 500 600 200 100 50 300 60 40 50 800 700 600 150 50 100 500 80 80 50 900 500 500 200 80 75 270 60 35 60 900 500 500 0 0 40 300 80 40 40 1000 500 600 0 0 60 300 50 60 30 1000 550 600 100 0 85 300 50 45 70 1000 600 700 0 80 50 350 60 40 100 1000 650 700 150 0 60 350 70 20 150 1100 650 600 150 50 60 350 70 20 150 1100 700 800 120 0 90 370 115 25 85 1100 750 800 0 0 80 380 150 40 100 1200 700 700 150 0 55 350 140 50 105 1200 700 800 200 100 70 380 120 30 100 1300 800 900 80 0 45 400 180 55 120 1400 600 800 0 50 40 350 80 55 75 1500 600 600 0 0 80 300 20 30 20 1500 600 600 0 0 60 400 60 40 40 1600 600 600 0 0 80 400 50 50 20 1600 750 800 100 70 70 400 120 40 120 1700 550 600 0 0 70 350 50 30 50 1800 700 700 0 0 80 400 100 60 60 2000 500 700 0 0 50 250 60 60 30 2000 600 400 0 0 100 350 50 50 50 2100 600 60 0 0 80 350 50 70 50 2100 700 700 0 0 100 400 100 50 50 2200 500 500 0 0 50 300 50 50 502500 700 700 0 0 100 300 100 100 1006.3 回归分析编程clearx=[25080 100; 250100100; 400180 50;400 150 70; 600070; 500300 100;500 120120; 600200 100; 600150 50;500200 80; 600100 0; 7000 80;700150 0; 600150 50; 600200 100;8001200; 80000; 700150 0;800300100; 800100100; 600100100;700100 0; 900050; 900800;800050; 900200 0; 10001000;10000 80; 12000100; 11001500;12002000; 900150 70; 110010070;12001800; 9001000; 1200070;1500 00; 8001800; 110000;10002000; 40010050; 12002000;11001500; 13002000; 900 1800;150000; 160000; 15003000;15001000; 15001800; 15002000;18001000;];x1=[x,ones(52,1)];y=[250 300 350 370 400 450 450500 700 500 550 600 650 650700 700 750 700 700 750 500650 700 800 600 850 900 700900 950 1000 750 900 1200 8001100 1300 700 900 1100 600 1100 950 1500 1000 1200 1100 1500 1200 1400 1500 1600];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x1,0.01)bstats。
层次分析法简单介绍
1
• 每次选取两个因素比较其对目 标A的影响权重；
判断矩阵元素的表示：
b11 b12
B
b21
b22
bn1 bn2
b1n
b2n
2
bnn
• 在 用 的影b影ij来响响表目程示标度yA之i与的比y因j值的素。比yi值、目yj中标，A
• n个被比较的因素构成一个两 两比较（成对比较）的判断 矩阵B
• 在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯·塞 蒂（T.L.Saaty）正式提出。它是一种定性和定量 相结合的、系统化、层次化的分析方法。
• 应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、 行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人 才、医疗和环境等领域。
层次分析法的基本思想
寻求层次分析法的生活背景：
综合的思维方式进行决策 。
2.实用型 • 层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统
量化技术技术手段无法处理的实际问题。
3.简洁性 • 层次分析法的基本原理和步骤简洁明了，计算也非常简便，
并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。
层次分析法的局限性
1.方案局限性 • 只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新
致性检验。（即最下层对最 上层总排序的权向量）
层次结构的模型的建立
将复杂问题分解为被人们称之为元素的组成部分。
这些元素又按其属性分成若干组，形成不同层次。 同一层次的元素作为准则对下一层次的某些元素 起支配作用，同时它又受上一层次元素的支配。
层次分析法的模型
层次分析法的模型
第一类
最高层，又称顶层、目标层
mn
层次排序
层次单排序
• 当判断矩阵满足一致性时，或者判断矩阵不一致 程度可接受时也可以允许特征向量作为权重向量；
层次分析模型
计算判断矩阵的最大特征 值和特征向量，得出各因 素的权重值，并进行一致 性检验。
计算组合权向量，得出各 因素的组合权重值，并进 行一致性检验。
02 建立层次结构
目标层
01
目标层是层次分析模型的最顶层，代表要解决的问题或要实现 的目标。
02
在目标层中，需要明确问题的最终目标，并将其作为层次分析
模型的输出。
特点
简单明了、系统性、灵活性、所需定量数据信息较少、广泛的应用领域。
层次分析模型的应用领域
资源分配
在资源有限的条件下，合理分配资源以达到 最优的效果。
综合评价
对某个事物进行全面的评价。
方案选择
从多个备选方案中选出最优方案。
决策分析
对决策问题进行分析，得出最优的决策方案。
层次分析模型的基本步骤
01
层次分析法软件
使用专门开发的层次分析法软件，如 yaahp、Analytic Hierarchy
Process等，可以方便地构造判断矩 阵
判断矩阵的一致性检验
一致性检验的步骤
先计算判断矩阵的最大特征值λmax，然后根据公式CI=(λmax-n)/(n-1)计算一致性 指标CI，其中n为判断矩阵的阶数。接着查找相应的平均随机一致性指标RI（常见的 RI值有0、0.58、0.90、1.12等），最后计算一致性比例CR=CI/RI。
一致性检验的标准
当CR<0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的；当CR≥0.1时，需要对判断矩 阵进行调整。
04 层次单排序与层次总排序
层次单排序
确定比较判断矩阵
根据专家意见或数据，确定各因素之间的相对重 要性，构建比较判断矩阵。
计算权重向量
层次分析法模型
层次分析法模型层次分析法模型（AHP）是指采用多角度分析综合决策问题的决策模型。
层次分析法模型也常被称为“综合衡量决策法AHP”，它可以清楚地显示决策问题中各个因素和各种决策目标之间的变化关系，从而协助决策者进行决策分析，尤其是在复杂多样的环境下，可以提供较为准确的分析和决策结果。
一、层次分析法模型的原理及概念层次分析法模型是一种有着多样度的决策方法，它可以帮助决策者从多角度的结果进行综合性的分析，从而有助于提升决策的准确性和鲁棒性。
层次分析法模型的核心思想是将决策问题分解为一系列级联的小问题，在组织问题越来越复杂的情况下，层次分析法模型可以更有效地进行管理。
层次分析法模型主要包括三个层次：目标层、指标层和子指标层。
1.目标层：目标层即分析的主题，是实际分析的核心问题，是总体分析的指导原则。
2.指标层：指标层由各种相关指标组成，用以检测目标层的实现状况。
3.子指标层：子指标层是指标层的进一步分解，包括客观指标与主观指标，用以更加准确地衡量目标层在实现过程中的困难程度。
二、层次分析法模型的特征1.简单易操作：层次分析法模型具有很高的计算简便性，操作简洁，只要决策者能够合理地组织数据，就可以运用层次分析法模型得出准确的结果。
2.易于计算：采用层次分析法模型进行综合性分析时，需要计算一系列不同层面之间的相对权重，这一点使得计算成本较低。
3.考虑多项条件：采用层次分析法模型，进行决策分析的同时可以考虑多个条件，从而利用这些条件完成更加准确的决策。
4.表达性强：层次分析法模型擅长表达决策者的思路，通过具体的分析过程可以更清楚地了解决策者的想法，从而使决策者更容易接受最终的决策结果。
三、层次分析法模型的应用1.组织治理：组织治理是组织管理的重要部分，其中重要的指标也是关键因素，层次分析法分析法模型可以帮助组织管理者准确掌握各个指标的变化，从而进行有效的组织治理。
2.市场营销：市场营销是一项复杂的技术活动，需要分析多个指标，如客户偏好、价格影响因素等，考虑这些因素之间的关系，层次分析法模型可以有效帮助企业发掘潜在市场需求，从而更有效地实现市场营销计划。
层次分析法建模举例
其中：maxN为单注封顶金额；minN为单注保底 金额；Qij为第 i 种方案得第 j 等奖的单项奖比例； M为当期销售总额；n为低项奖总额； Q为总奖金 比例。
三、层次分析
3.1层次分析模型分为四层：
目标层：即决策目标，在本问题中取彩票的销售规则 及其相应的奖金设置方案的合理性作为决策目标。 中间层：作为目标层的衡量准则，我们取彩票的高项 奖金，低项固定奖金，和中奖面三方面来衡量目标层。 指标层：其中包括高项奖金的3个评价标准（即一， 二，三等奖）和低项固定奖金的4个评价指标（即四， 五，六，七等奖），而位于中间层的中奖面衡量准则 可以单独作为目标层的一个评价指标（即中奖面）。 方案层: 需进行评估的各种分配方案
一、 问题的提出与概率计算
已给的29种方案分为两种类型 1、“传统型”采用“10选6+1”方案： 投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可 重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注 。根 据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定 中奖等级；
表1： “传统型” 中奖办法
中 奖 等 级 10 选 6+1（6+1/10） 基本号码 特别号码 选7中
Roots: 多项式的零点可用命令roots求的。
例： >> r=roots(p) 得到 r= 0.2500 + 1.5612i 0.2500 - 1.5612i -1.0000 所有零点由一个列向量给出。
Poly: 由零点可得原始多项式的各系数，但可能相差一 个常数倍。 例： >> poly(r)
如“33选7”的方案：投注者从01~33个号码 中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号 码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等 级，不考虑号码顺序。
层次分析AHP模型
层次分析AHP模型1. 引言层次分析AHP（Analytic Hierarchy Process）模型是一种多准则决策方法，通过对问题进行层次化划分，对准则之间进行比较，最终得出各准则的权重，进而作出最优决策。
该模型在管理学、经济学、工程学等领域有广泛的应用。
2. 模型原理AHP模型的核心是层次分析方法。
这种方法将问题分解为多个层次，从全局的角度逐步细化问题，最终得出对应准则的权重。
AHP模型的基本步骤如下：2.1 问题层次划分在AHP模型中，首先需要将问题进行层次化划分。
划分过程需要考虑到问题的结构和层次关系。
2.2 构建层次结构在问题层次划分的基础上，需要构建一个层次结构，用于表示准则之间的相互关系。
在层次结构中，上层准则需要对下层准则进行比较和评价。
2.3 准则之间的比较根据层次结构，需要对各准则之间进行两两比较。
比较的结果可以使用1到9之间的标度表示准则之间的重要性程度，其中1表示相等重要，9表示完全重要。
2.4 计算权重根据准则之间的比较结果，使用AHP模型的数学方法计算各准则的权重。
具体方法主要包括构造判断矩阵、计算特征向量和一致性检验等步骤。
2.5 综合评判最后，根据各准则的权重，对各个备选方案进行综合评判，得出最优解。
3. 优缺点分析3.1 优点•AHP模型能够将复杂的问题分解为可管理的层次结构，使问题的处理更加清晰和系统化。
•AHP模型能够充分考虑到各个准则的相对重要性，使决策结果更加客观和科学。
•AHP模型能够充分利用专家知识和经验，提高决策的精度和可靠性。
3.2 缺点•AHP模型对准则之间的两两比较有一定的主观性，可能受到决策者个人偏好的影响。
•AHP模型在计算权重时，需要进行一致性检验，如果一致性比例超过一定的阈值，则需要重新进行比较和计算，会增加决策的时间和成本。
•AHP模型对问题的层次结构和准则之间的关系要求较高，如果划分不合理，可能会导致决策结果不准确。
4. 应用案例4.1 项目选择假设某公司需要选择一个新的投资项目，该项目有多个评价准则，如市场规模、竞争优势、技术可行性等。
层次分析法模型
二、模型的假设1、假设我们所统计和分析的数据，都是客观真实的；2、在考虑影响毕业生就业的因素时，假设我们所选取的样本为简单随机抽样，具有典型性和普遍性，基本上能够集中反映毕业生就业实际情况；3、在数据计算过程中，假设误差在合理范围之内，对数据结果的影响可以忽略.三、符号说明四、模型的分析与建立1、问题背景的理解随着我国改革开放的不断深入，经济转轨加速，社会转型加剧，受高校毕业生总量的增加，劳动用工管理与社会保障制度，劳动力市场的不尽完善，以及高校的毕业生部分择业期望过高等因素的影响，如今的毕业生就业形势较为严峻.为了更好地解决广大学生就业中的问题，就需要客观地、全面地分析和评价毕业生就业的若干主要因素，并将它们从主到次依秩排序.针对不同专业的毕业生评价其就业情况，并给出某一专业的毕业生具体的就业策略.2、方法模型的建立 （1）层次分析法层次分析法介绍：层次分析法是一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法，它用来帮助我们处理决策问题.特别是考虑的因素较多的决策问题，而且各个因素的重要性、影响力、或者优先程度难以量化的时候，层次分析法为我们提供了一种科学的决策方法.通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重.这些权重在人的思维过程中通常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法.我们现在主要对各个因素分配合理的权重，而权重的计算一般用美国运筹学家教授提出的AHP 法.（2）具体计算权重的AHP 法AHP 法是将各要素配对比较，根据各要素的相对重要程度进行判断，再根据计算成对比较矩阵的特征值获得权重向量k W .Step1. 构造成对比较矩阵 假设比较某一层k 个因素12,,,k C C C 对上一层因素ο的影响，每次两个因素i C 和j C ，用ij C 表示i C 和j C 对ο的影响之比，全部比较结果构成成对比较矩阵C ，也叫正互反矩阵.*()k k ij C C =， 0ij C >，1ij jiC C=， 1ii C =.若正互反矩阵C 元素成立等式：* ij jk ik C C C = ，则称C 一致性矩阵.标度ij C含义1i C 与j C 的影响相同 3 i C 比j C 的影响稍强 5i C 比j C 的影响强 7 i C 比j C 的影响明显地强 9i C 比j C 的影响绝对地强2,4,6,8i C 与j C 的影响之比在上述两个相邻等级之间11,,29i C 与j C 影响之比为上面ij a 的互反数Step2. 计算该矩阵的权重通过解正互反矩阵的特征值，可求得相应的特征向量，经归一化后即为权重向量12 = [ , ,..., ]T kkkkkQ q q q ，其中的ikq 就是i C 对ο的相对权重.由特征方程A-I=0λ，利用Mathematica 软件包可以求出最大的特征值max λ和相应的特征向量.Step3. 一致性检验1） 为了度量判断的可靠程度，可计算此时的一致性度量指标CI ：max1kCI k λ-=-其中maxλ表示矩阵C 的最大特征值，式中k 正互反矩阵的阶数，CI 越小，说明权重的可靠性越高.2）平均随机一致性指标RI ，下表给出了1－14阶正互反矩阵计算1000次得3） 当0.1CR RI=<时，（CR 称为一致性比率，RI 是通过大量数据测出来的随机一致性指标，可查表找到）可认为判断是满意的，此时的正互反矩阵称之为一致性矩阵.进入Step4. 否则说明矛盾，应重新修正该正互反矩阵.转入Step2. Step4. 得到最终权值向量将该一致性矩阵任一列或任一行向量归一化就得到所需的权重向量. 计算出来的准则层对目标层的权重即不同因素的最终权重，这样一来，我们就可以按权重大小将进行排序了.（3）组合权向量的计算成对比较矩阵显然非常好体现了我们研究对象——各个因素之间权重的比较状态，能够有效地全面而深刻地表现出有关的数据信息，显然也是矩阵数学模型的重要应用价值. 因素往往是有层次的，我们经常在进行决策分析时，要进行多方面、多角度、多层次的分析与研究，把我们的决策选择建立在深刻而广泛的分析研究基础之上的.一个总的指标下面可以有第一层次的各个方面的指标、因素、成份、特征性质、组成成分等等，而每个这种因素又有新的成份在里面.这就是决策分析的数学模型的真正的意义之所在.定理1：对于三决策问题，假设第一层只有一个因素，即这是总的目标，决策总是最后要集中在一个总目标基础之上的东西，然后才能进行最后的比较.又假设第二层和第三层因素各有n 、m 个，并且记第二层对第一层的权向量（即构成成份的数量大小、成份的比例、影响程度的大小的数量化指标的量化结果、所拥有的这种属性的程度大小等等多方面的事情的量化的结果）为：(2)(2)(2)(2)12(,,,)Tn w w w w =， 而第3层对第2层的全向量分别是：(3)(3)(3)(3)12(,,,)Tk k k km w w w w =，这表示第3层的权重大小，具体表示的是第2层中第k 个因素所拥有的面对下一层次的m 个同类因素进行分析对比所产生的数量指标.那么显然，第三层的因素相对于第一层的因素而言，其权重应当是：先构造矩阵，用 (3)k w 为列向量构造一个方阵 (3)(3)(3)(3)12(,,)nWw w w=，这个矩阵的第一行是第3层次的m 个因素中的第1个因素，通过第2层次的n 个因素传递给第1层次因素的权重，故第3层次的m 个因素中的第i 个因素对第1层次的权重为 (2)(3)1nkkik w w=∑，从而可以统一表示为：(1)(3)(2)wWw=，它的每一行表示的就是三层（一般是方案层）中每一个因素相对总目标的量化指标.定理2：一般公式如果共有s 层，则第k 层对第一层（设只有一个因素）的组合权向量为()()(1),3,4,k k k k s wWw-==，其中矩阵 ()k W的第i 行表示第k 层中的第i 个因素，相对于第1k -层中每个因素的权向量；而列向量 (1)k w-则表示的是第1k -层中每个因素关于第一层总目标的权重向量.于是，最下层对最上层的的组合权向量为：()()(1)(3)(2)s s s wWWW w-=，实际上这是一个从左向右的递推形式的向量运算.逐个得出每一层的各个因素关于第一层总目标因素的权重向量.（4）灰色关联度综合评价法灰色系统的关联分析主要是对系统动态发展过程的量化分析，它是根据因素之间发展态势的相似或相异程度，来衡量因素间接近的程度，实质上就是各评价对象与理想对象的接近程度，评价对象与理想对象越接近，其关联度就越大.关联序则反映了各评价对象对理想对象的接近次序，即评价对象与理想对象接近程度的先后次序，其中关联度最大的评价对象为最优.因此，可利用关联序对所要评价的对象进行排序比较.利用灰色关联度进行综合评价的步骤如下：1)用表格方式列出所有被评价对象的指标. 2)由于指标序列间的数据不存在运算关系，因此必须对数据进行无量纲化处理.3)构造理想对象，即把无量纲化处理后评价对象中每一项指标的最佳值作为理想对象的指标值.4)计算指标关联系数.其计算公式为：minmax imax()()ik k ρρξ+=+∆∆∆∆其中min()()minminiikk k x x =-∆，max()()maxmaxiikk k x x =-∆，()ik ∆=0()()ik k x x -，1,2,i n =，1,2,k m =.式中n 为评价对象的个数；m 为评价对象指标的个数；()ik ξ为第i 个对象第k 个指标对理想对象同一指标的关联系数；A 表示在各评价对象第k 个指标值与理想对象第k 个指标值的最小绝对差的基础上，再按1,2,,i n =找出所有最小绝对差中的最小值；max ∆表示在评价对象第k 个指标值与理想对象第k 个指标值的最大绝对差的基础上，再按1,2,,i n =找出所有最大绝对差中的最大值；min ∆为评价对象第k 个指标值与理想对象第k 个指标值的绝对差.ρ为分辨系数，ρ越小分辨力越大，一般ρ的取值区间[0,1]，更一般地取ρ=.5)确立层次分析模型.6)确定判断矩阵，计算各层次加权系数及加权关联度，加权关联度的计算公式为：()mk iikk γξω=∑,式中7为第i 个评价对象对理想对象的加权关联度，kω为第k 个指标的权重.7)依加权关联度的大小，对各评价对象进行排序，建立评价对象的关联序，从而可以得出关联度较大的对象，关联度越大其综合评价结果也越好.（5）线性回归分析法假如对象（因变量）y 与p 个因素（自变量）12,,,p x x x 的关系是线性的，为研究他们之间定量关系式，做n 次抽样，每一次抽样可能发生的对象之值为12,,ny y y它们是在因素(1,2,,)i i p x =数值已经发生的条件下随机发生的.把第j 次观测的因素数值记为：12,,,jjpj x xx （1,2,j n =）那么可以假设有如下的结构表达式：1111011212201213011p pp pn nppy x x y x x y x xβββεβββεβββε⎧=++++⎪⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎪⎩其中，01,,,pβββ是1p +个待估计参数，12,,,n εεε是n 个相互独立且服从同一正态分布2(0,)N σ的随机变量.这就是多元线性回归的数学模型.若令12n y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，111212122212111p p n n np x xx x x x x xxx ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，012p βββββ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n εεεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则上面多元线性回归的数学模型可以写成矩阵形式：y x βε=+在实际问题中，我们得到的是实测容量为n 的样本，利用这组样本对上述回归模型中的参数进行估计，得到的估计方法称为多元线性回归方程，记为011p p y b b x b x =+++式中，012,,,,p b b b b 分别为01,,,pβββ的估计值.（6）主成分分析法 1）主成分的定义 设有p 个随机变量12,,,p x x x ，它们可能线性相关，通过某种线性变换，找到p 个线性无关的随机变量12,,,pz z z，称为初始向量的主成分.设12(,,,)Tp αααα=为p 维空间pR 中的单位向量，并记所有单位向量的集合为{}0|1T R ααα==，且记X ＝12(,,,)Tp X X X .2）用相关矩阵确定的主成分令*iE X -=，**(,),ij i j E r X X =1,2,,j p =.*X=***12(,,)Tp X X X ,则1212121211()1pp ij p p R r r r rr r r⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为*X 的协方程.类似地，我们可对R 进行相应的分析.3）主成分分析的一般步骤 第一步、选择主成分设X 的样本数据经过数据预处理后计算出的样本相关矩阵为121*21212111*()11()()pT p p p R ij n r r r rr XX r r⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭. 由特征方程0R I λ-=，求出p 个非负实根，并按值从大到小进行排列：120p λλλ≥≥≥≥.将iλ带入下列方程组，求出单位特征向量iα()0,1,2,,i i R I i m λα-==确定m 的方法是使前m 个主成分的累计贡献率达到85％左右.第二步、利用主成分进行分析在实际分析时，通常把特征向量的各个分量的取值大小和符号（正负）进行对照比较，往往能对主成分的直观意义作出合理的解释.利用主成分可以进行以下分析：a) 对原指标进行分类； b) 对原指标进行选择； c) 对样品进行分类； d) 对样品进行排序； e) 预测分析.。
层次分析模型
141层次分析模型T. L. Saaty 等人在20世纪70年代末提出了一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法，称为层次分析法（analytic hicrachy process, 简记成AHP ）。
层次分析法是将半定性、半定量的问题转化为定量问题的行之有效的方法，是分析多目标、多准则的复杂大系统的强有力的工具。
它通过逐层比较多种关联因素来为分析、决策、预测或控制事物的发展提供定量的依据。
层次分析法被广泛应用于经济计划和管理、能源分配、军事指挥、交通运输、农业、科学技术、医疗、环境等许多领域中。
层次分析法的基本步骤：1）建立层次结构模型。
在深入分析面临的问题后，将有关因素按照不同属性分成若干层次。
同一层次的因素从属于上一层的因素或对上一层因素有影响，同时又支配下一层因素或对下一层因素有影响。
最上层为目标层，一般只有一个因素；最下层为方案层，可以有多个因素；中间层为准则层，准则层又可以根据实际情况分成若干个子层。
2）构造成对比较矩阵。
对同一层（第一层除外）中的各个因素进行成对比较，利用1-9比较尺度，确定各层中的因素对于上一层中每一因素的影响值，构成若干个成对比较矩阵。
3）单层排序及一致性检验。
求各层次中成对比较矩阵的最大特征值和对应的特征向量，并进行一致性检验。
若检验通过，则可对特征向量归一化求出各层次中的因素对于上一层每一因素的权重向量；否则重新构造成对比较矩阵。
4）层次总排序及一致性检验。
将各层次中因素对于上一层次中各因素的权重向量及上一层次因素对于总目标的权重向量进行组合，确定该层次因素对于总目标的权重向量，并对总排序进行一致性检验，直至方案层。
下面通过实例说明层次分析法的具体实施过程。
例8.1 利润的合理使用。
某工厂有一笔企业留成利润，要由领导决定如何利用，可供选择的方案有三个：（1）以奖金名义发给职工；（2）扩建集体福利设施；（3）引进新技术、新设备等。
在制定方案时，主要考虑的因素有：调动企业员工的积极性；提高企业的技术水平；改善企业员工的生活条件。
层次分析法模型
例3 科研课题的选择 某研究所现有三个 科研课题，限于人力 及物力，只能研究一 个课题。有三个须考 虑的因素：(1)科研成 果贡献大小(包括实用 价值和科学意义)；(2) 人材的培养；(3)课题 的可行性(包括课题的 难易程度、研究周期 及资金)。在这些因素 的影响下，如何选择 课题?
层次分析法的思维过程的归纳
将决策问题分为3个或多个层次： 最高层：目标层。表示解决问题的目的，即层次分析 要达到的总目标。通常只有一个总目标。 中间层：准则层、指标层、…。表示采取某种措施、 政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节； 一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。 最低层：方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、 政策、方案等。通常有几个方案可选。 每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。 层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相 对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、 措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择 方案的原则。
三、层次分析法的步骤和方法
运用层次分析法构造系统模型时，大体 可以分为以下四个步骤： 1. 建立层次结构模型 2. 构造判断(成对比较)矩阵 3. 层次单排序及其一致性检验 4. 层次总排序及其一致性检验
1. 建立层次结构模型
• 将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策 对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层 和最低层，绘出层次结构图。 最高层：决策的目的、要解决的问题。 最低层：决策时的备选方案。 中间层：考虑的因素、决策的准则。 对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因 素层。 下面举例说明。
因素i与j比较的判断aij，则因素j与i比较的判断aji=1/aij
目标层
O(选择旅游地)
准则层
层次分析法评价模型
层次分析法评价模型评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。
主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。
层次分析模型层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。
其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。
运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤：步骤1 建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。
步骤2构造成对比较阵对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵；步骤3计算权向量并作一致性检验由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。
步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验)组合权向量可作为决策的定量依据通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。
例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。
步骤1 建立系统的递阶层次结构将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
图1 选择旅游地的层次结构步骤2构造比较矩阵元素之间两两对比，对比采用美国运筹学家A.L.Saaty 教授提出的1~9比率标度法(表1)对不同指标进行两两比较，构造判断矩阵。
层次分析模型(高级运筹学)
渡船D3
第九章 层次分析
二、构造判断矩阵： 上、下层之间关系被确定之后，需确定 与上层某元素Z（目标A或某个准则Z） 相联系的下层元素（x1，x2，…，xn)各 在上层元素Z之中所占的比重。 方法：每次取2个元素，如xi，xj，以aij 表示 xi 和 xj 对Z的影响之比。这里得到 的A=(aij)n×n称为两两比较的判断矩阵。
第九章 层次分析
意义（理论价值，对某科技领域的推 动作用）； 在课题可行性方面考虑：难易程度 （难易程度与自身的科技力量的一致 性），研究周期（预计需要花费的时 间），财政支持（所需经费，设备及 经费来源，有关单位支持情况等）。
第九章 层次分析
目标层 准则层
合理选择科研课题A
成果贡献B1 应 用 价 值
第九章 层次分析
决策目标
准则1
子准则1
准则2
子准则2
…
准则m1
…
方案1
…
方案2
… 子准则m2 … … …
方案mr
第九章 层次分析
注：层次之间的支配关系不一定是完全 的，即可以有元素（非底层元素）并不 支配下一层次的所有元素而只支配其中 部分元素。这种自上而下的支配关系所 形成的层次结构，我们称之为递阶层次 结构。 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂 程度及分析的详尽程度有关，一般可不 受限制。
2°A的每一行均为任意指定的另一行的正 数倍，从而A的秩为1。（即只有一个非零 特征值，其余n-1个为0特征值）； 考虑第ⅰ行元素ai1，ai2，…，ain 对于第k 行元素ak1，ak2，…，akn j=1，2，…，n， aij=aik·kj a 即第ⅰ行各元素分别为第k行各元素的aik倍。
3°A的最大特征根λmax= n，其余特征根皆 为零； 证明：因为秩（A）=1，于是A只有一个非 零特征根 max 0 ，其余的特征根均为零 由于 tr ( A) a
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w2
w1
wn
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wn
w
n
w n
一致阵 • A的秩为1，A的唯一非零特征根为n 性质 • A的任一列向量是对应于n 的特征向量
• A的归一化特征向量可作为权向量
对于不一致(但在允许范围内)的成对
比较阵A，建议用对应于最大特征根
的特征向量作为权向量w ，即
Aw w
7
成对比较阵和权向量 Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值 比较尺度aij 1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9
• 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 案对每一准则的权重。
• 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 权重。
层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完 成以上步骤，给出决策问题的定量结果。
4
层次分析法的基本步骤
成对比较阵 和权向量
元素之间两两对比，对比采用相对尺度
设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性
层次分析建模
1
y
8.1 层次分析模型
背 • 日常工作、生活中的决策问题 景 • 涉及经济、社会等方面的因素
• 作比较判断时人的主观选择起相当 大的作用，各因素的重要性难以量化
• Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process)
• AHP——一种定性与定量相结合的、 系统化、层次化的分析方法
8
一致性检验 对A确定不一致的允许范围 已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n
可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵
定义一致性指标: CI n CI 越大，不一致越严重
n 1
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机模 拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。
• 便于定性到定量的转化：
尺度 a ij
1 2 34
Ci
:
C
的重要性
j
相同
稍强
5 6 78 9 强 明显强 绝对强
aij = 1,1/2, ,…1/9 ~ Ci :Cj 的重要性与上面相反
• 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个
• 用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优。
Ci :Cj aij
A(aij)nn,aij
0,aji
1 aij
选 择
1 1/ 2 4 3 3
2
1
7
5
5
A~成对比较阵
旅 A 1/ 4 1/ 7
游 地
1/ 3
1/ 5
1/ 3 1/ 5
1 2
1/ 2 1
1/ 3
1
A是正互反阵
3 1 1
要由A确定C1,… , Cn对O的权向量
5
成对比较阵和权向量
w (w 1,w 2, w n)T~权向 w量 n w n
w 1
w2
w1
wn
w2
w
n
w
n
w
6
n
成对比较阵和权向量
w1
w1
成对比较完全一致的情况
w
1
w2
w2
w2
满足 a ija jk a i,ki,j,k 1 ,2 , ,nA
w1
w2
的正互反阵A称一致阵，如
w
n
wn
w 1
1/ 5 1/ 2 1
1 1/ 3 1/8
B2
3
1
1/ 3
8 3 1
…Bn
最大特征根 1
2
… n
权向量
w1(3)
w2(3)
… wn(3) 11
组合权向量 第3层对第2层的计算结果
k1
0.595
w (3) k
0.277
0.129
k 3.005
CI k 0.003
2 0.082 0.236 0.682
通过一致 性检验
10
组合权向量
记第2层（准则）对第1层（目标）
的权向量为 w (2 ) ( w 1 (2 ), ,w n (2 )) T
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量
方案层对C1(景色) 的成对比较阵
方案层对C2(费用) 的成对比较阵
…Cn
1 2 5 B1 1/ 2 1 2
Saaty的结果如下
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
定义一致性比率 CR = CI/RI
当CR<0.1时，通过一致性检验
9
“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验
最大特征根=5.073
3.002
0.001
3 0.429 0.429 0.142
3
0
4 0.633 0.193 0.175
5 0.166 0.166 0.668
3.009 3
0.005 0
w(2) 0.263 0.475 0.055 0.090 0.110
RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验 方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ …=0.300
2
一. 层次分析法的基本步骤
例. 选择旅游地 如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
目标层
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
3
“选择旅游地”思维过程的归 纳• 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C， 方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系 用相连的直线表示。
1 1/2 4
成对比较的不一致情况 A 2 1 7
a1/2(C:C) 一致比较
12
12
不一致
a4(C:C)
13
13
a238(C2:C3)
允许不一致，但要确定不一致的允许范围
考察完全一致的情况
W ( 1 ) w 1 ,w 2 , w n
令a w/w
w1
w
1
w2
A
w
1
w1
w2
w2
w2
ij
i
j
方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T
12
组合 权向量
第2层对第1层的权向量
w (2 ) (w 1 (2 ), ,w n (2 ))T
第1层O 第2层C1,…Cn
准则层对目标的成对比较阵
1 1/ 2
2
1
A 1/ 4 1/ 7
1/ 3
1/ 5
1/ 3 1/ 5
4 3 3
7
5
5
1 1/ 2 1/ 3
2
1
1
3 1 1
权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T
一致性指标 CI5.07350.018
51
随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1