初中平面几何辅助线专题复习

初中平面几何辅助线专题复习

目录

第01讲辅助线的初步认识

第02讲截长补短法

第03讲中点模型——倍长中线

第04讲三垂直模型

第05讲角平分线模型（一）

第06讲角平分线模型（二）

第07讲手拉手模型——全等

第08讲最短路径问题

第09讲平面直角坐标系中的几何问题

第01讲辅助线的初步认识

【知识提要】

初中辅助线的添加时几何部分学习的重要内容，同时也是学生学习的难点之所在。当

问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立

已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。

辅助线的添加通常有两种情况：

1.按定义添辅助线：

如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线

段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2.按基本图形添辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往

往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫

做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。

本节课我们就以启东作业中的问题为例，来介绍常见的辅助线的画法.

【典型例题】

例1：小春在做数学作业时，遇到一个这样的问题：如图，AB=CD，BC=AD，请说明

∠A =∠C 的道理.

BC=AD，所以只需连接BD，构造全等三角形即可.

D

例2. 如图，O 是△ABC 内一点，连接OB 和OC. 你能说明OB +OC < AB + AC 的理由吗？

【思路点拨】要证明线段之间的不等关系，要将线段放在三角形中，利用三边关系来证明。△ABC 和△OBC 中无法解决，所以只需要将OB （OC ）延长交AC （AB ）于点D ，在△ABD （△ACD ）和△OCD （△OBD ）利用三边关系解决即可.

归纳：构造线段时辅助线的写法： 1. 连接**。例如：连接AB

2. 延长**。①例如：延长AB 交CD 于E 点；②延长AB 到E ，使BE = AB . 例题3：已知：如图AB ∥DE . 求证：∠B +∠C +∠D = 360°

【思路点拨】要证明这三个角的和是360°，可以 构造周角，2个180度或四边形的内角和来证明。 通过作平行线就可实现角的位置的转移，将角移动到 适当的位置。

归纳：构造平行线时辅助线的写法： 1. 过*作* ∥ *。例如：过点A 作AB ∥CD.

练习：叙述并证明三角形内角和定理。

例题4：已知：如图，△ABC 的∠B 的外角的平分线BD 和∠C 的外角平分线CE 相交于点P

求证：点P 也在∠BAC 的平分线上。

【思路点拨】已知CP 和BP 为外角平分心线，要证明P

角平分线上，只需要过P 向AM 、AN 、BC

归纳：构造垂线，中线，角平分心线时辅助线的写法： 1. 垂线：过*作*⊥*于点*。例如：过点A 作AB ⊥CD 于点B .

C

E A

N

B

2. 中线：过*作*边上的中线*。例如：过A 作BC 边上的中线AD.

3. 角平分线：过*作*的平分线*。例如：过点A 作∠BAC 的平分线AD . 练习：已知：△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B = C

【归纳总结】

通过本节课的学习，你知道辅助线是做什么的吗？ 常见的辅助线如何画呢？

第02讲 截长补短法

【知识提要】

截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系。我们前

面已经学过了线段的和与差，下面我们来用一个具体的例子来介绍截长补短法.

给定三条长短不一的线段a ，b ，c ，如何来得到这三者之间的数量关系呢？

1. 不等关系：

显然，我们可以通过测量每条线段的长度，然后猜测他们之间的不等关系。但是如果要

给出严格证明，我们就要通过这三条线段构造三角形，利用三边关系来证明。

2. 等量关系

显然，我们可以通过测量每条线段的长度，然后进行比较来猜测线段之间的等量关系。但是如果要给出严格的证明，我们可以构造线段的和或者差来证明.

①截长法：在长线段上截取一条与某一短线段相同的线段，再证剩下的线段与另一线段相等

.

B

②补短法: 在短线段上补一条与另一短线段相同的线段，再证新的线段与长线段相等.

【典型例题】

例题1：已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD 平分∠BAC 求证：AC =AB +BD

【思路点拨1】要证明AC = AB +BD ，可以使用截长法， 在AC 上截取AE = AB ，然后只需要证明BD = CE 即可. 证明：在AC 上截取AE = AB ，连接DE

问题：为什么不在AC 上截取CE = AB ，接着去证明AE = BD ?

【思路点拨2】要证明AC = AB +BD ，可以使用补短法， 延长AB 至E ，使得BE = BD ，然后只需要证明AE = AC 即可. 证明：在AC 上截取AE = AB ，连接DE

例题2：已知：正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAF = 45º 求证：EF = DE + BF

B

C

B

C

F

变式：已知：正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，∠EAF = 45º，请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？

练习1：已知：如图，AD // BC ，∠1=∠2，∠3=∠4, 点E 在DC 上 . 试说明AD + BC = AB 成立的理由.

练习2：已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD, CE ⊥AB 于E ，AB +AD = 2AE ，则∠B 与∠ADC 互补. 为什么？

练习3：已知：如图，在△ABC 中，∠A = 60º ，BD 、CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD 、CE 相交于点O. 试判断BE , CD , BC 的数量关系，并加以证明.

【归纳总结】

通过本节课的学习，你知道什么是截长补短法吗？截长补短法通常用于解决怎样

的问题？

A

E

A

B