圆锥曲线方法归纳

圆锥曲线方法归纳

1、点差法（中点弦问题）

设()

11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13422=+y x 的弦AB 中点则有 1342121=+y x ，1342222=+y x ；两式相减得()()03422

2

12221

=-+-y y x x

⇒()()

()()

3421212121y y y y x x x x +--=+-⇒AB k =b

a 43- (ⅰ)涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦斜率问题时，常用“点差法”“设而不求”整体来求，借助于一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．但在求得直线方程后，一定要代入原方程进行检验． (ⅱ)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤：

设点——设出弦的两端点坐标

↓

代入——代入圆锥曲线方程

↓

作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开

↓

整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解

1. 已知椭圆x ²＋2y ²＝4，求椭圆上以(1, 1)为中点的弦所在的直线方程？

2. 如果椭圆x ²36＋y ²9＝1的弦被点A (4, 2)平分，求这条弦所在的直线方程

3. 已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x ²a ²＋y ²b ²＝1 (a ＞b ＞0)相交于A , B 两点，且线段AB 的中

点在直线l ：x －2y ＝0上，则此椭圆的离心率为 ．

4. 过点M (1, 1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x ²a ²＋y ²b ²＝1 (a ＞b ＞0)相交于A , B 两点，

若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ．

5. 已知抛物线y ²＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A , B 两点，若

线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ．

6. 已知双曲线E 的中心为原点，F (3, 0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A , B

两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为

设而不求

1、考虑斜率是否存在

2、常与韦达定理结合使用

3、以抛物线为例

直线l ：b kx y += 抛物线

，)0( p

① 联立方程法： ⎩⎨⎧=+=px

y b kx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如

4、相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+= 或 2122122124)(1111y y y y k

y y k AB -++=-+

=

1、如图，已知抛物线C：y2=4x焦点为F，直线l经过点F

且与抛物线C相交于A、B两点．

（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y=2上，求直线l的方程；（Ⅱ）若|AB|=20，求直线l的方程．

2、给定直线l：216

=-，抛物线C：2(0)

y x

=>。(1)当抛物线C的焦点

y ax a

在直线l上时，确定抛物线C的方程。(2)若△ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线C上，且点A的纵坐标8

y=，△ABC的重心恰在抛物线C的焦点上，

A

求直线BC的方程。