关于积分限函数的小结----习题课选例
关于积分上函数的小结
关于积分上限函数积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。
1． 关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续.定理2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ 推论2 )()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3 )()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2． 积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。
考研——积分上限的函数(变上限积分变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：一、在求导时，是关于x 求导，用讲义上的求导公式直接计算。
二、在求积分时，那么把x 看做常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变更。
（即在积分内的x 作为常数，能够提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1若是)(x f 在],[b a 上持续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，那么⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上持续。
定理2若是)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个中断点，那么)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3若是)(x f 在],[b a 上持续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后取得的函数，性质比原先的函数改良了一步：可积改良为持续；持续改良为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而咱们明白，可导函数)(x f 通过求导后，其导函数)(x f '乃至不必然是持续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：持续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
咱们明白，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把二者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
> 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情形求导。
考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1 )(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
>推论2 )()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。
考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
下限的。 >
f (x) f [ ( x)] f [ ( x)]
<变上限积分改变上下限，变号。 > ( x) <上限是复合函数的情况求导。 > (x) f [ ( x)] (x) <上下限都是变的时候， 用上限的减去
题型中常见积分限函数的变形和复合情况：
x
（1）比如 F (x) (x t ) f (t )dt 0
步：可积改进为连续；连续改进为可导 。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函
数 f ( x) 经过求导后，其导函数 f ( x) 甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。它说明： 连续函数知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的
0
x 是偶（奇）函数；
T
如果 f x 是周期为 T 的函数，且 f x dx 0 ,则 x 是相同周期的周期函数 . 0
证 设 f x 奇, 则
x
tu x
x
f奇 x
x
f t dt
f ud u
f u du f u du x ,
0
0
0
0
即 x 为偶函数 .
5
设 f x 偶, 则
x
tux
x
f偶
x
x
f t dt
(a) 如果 f (x) 是偶函数 , 则 F ( x) 也是偶函数 ;
(b) 如果 f (x) 是单调减少函数 , 则 F ( x) 也是单调减少函数 .
6
)
t
y
sin udu.
dx
2 t (1 cost)
0
例 5 已知 y et dt 0
xy
costdt
考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
> 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。
关于积分上限函数的小结
关于积分上限函数积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。
1． 关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续.定理2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3)()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2． 积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。
积分上限函数及应用题
积分上限函数及应用题引言在数学中，积分是一种重要的运算工具，用于求解曲线下面的面积或曲线的长度、质量等问题。
在实际应用中，我们往往需要对积分结果进行限制，以满足特定的需求。
这就引出了积分上限函数的概念和应用。
积分上限函数的定义积分上限函数是一种特殊的函数，其定义为对于一个固定的上限值，计算积分结果。
以常见的积分上限函数为例，设函数f(x)在区间[a, b]上连续，则积分上限函数F(x)定义为：F(x) = ∫[a,x] f(t) dt其中，∫[a,x]表示对区间[a,x]上的函数进行积分操作。
积分上限函数F(x)表示计算积分结果时的上限值为x。
积分上限函数的性质积分上限函数具有以下性质：1.F(x)在[a, b]上连续。
这是因为积分操作具有连续性。
2.F(x)在[a, b]上可导。
根据微积分的基本原理，积分上限函数F(x)在[a,b]上可导，并有F’(x) = f(x)。
3.F(x)是原函数f(x)的一个不定积分。
即F’(x) = f(x)，其中F(x)表示积分上限函数，f(x)表示原函数。
积分上限函数的应用积分上限函数在实际问题中具有广泛的应用。
下面以几个典型的应用题为例，说明积分上限函数的应用。
应用题一：曲线下面的面积计算假设有一条曲线，其方程为y = f(x)，我们想要计算曲线下面的面积，即曲线与x轴所夹的区域的面积。
利用积分上限函数，我们可以使用以下公式计算：S = ∫[a,b] f(x) dx其中，∫[a,b]表示对区间[a,b]上的函数f(x)求积分，S表示曲线下面的面积。
通过计算积分上限函数F(b)和F(a)的差值，我们可以得到所需的面积。
应用题二：质心的计算在物理学中，质心是描述物体重心位置的概念。
对于一维质点系，其质心的位置可以通过积分上限函数来计算。
假设质点系中每个质点的质量为m(x)，其位置为x，质心的位置为c。
利用积分上限函数，我们可以使用以下公式计算质心的位置：c = ∫[a,b] x · m(x) dx / ∫[a,b] m(x) dx其中，∫[a,b]表示对区间[a,b]上的函数进行积分。
变限积分知识点全面总结
b
b
b
说明: 本题的通常证法是从不等式 [ f ( x) tg ( x)]dx 0 出发, 由关于 t 的二次函数非负的
a
b
判别条件即可证得结论. 但也可构造一个积分上限函数, 利用该函数的单调性来证明. 提 示如下: 令 F ( x) [ f (t ) g (t )dt ] 2 f 2 (t )dt g 2 (t )dt. 则 F (a ) 0.
x
例 3 已知极限 lim
x sin t 1 dt 1 ，试确定其中的非零常数 a, b, c. x 0 e bx a 0 tc
（答： a 1, b 1, c 1. ）
2
（2） 求导问题
x t (1 cos u )du , 0 dy sin t 例 4 已知 求 . (参数方程，你懂的！答: ) t dx 2 t (1 cos t ) y sin udu. 0
x
f t dt
t u
x 0
f u d u f u du
0
x
f奇
f u du x ,
0 x
x
x
x 0
f t dt
t u
x 0
f u d u f u du f u du x ,
a a a x x x
求出 F ( x) 并证明 F ( x) 0. 从而 F ( x) 单调减少, 于是得 F (b) F (a ) 0. 由此可得结论. 这种证法有一定的通用性. 例如下例. 例 16 设 f ( x) 在[0,1]上连续且单调减少. 证明: 对任一 0 1, 有
函数的积分知识点及例题解析
函数的积分知识点及例题解析积分是微积分的一个重要概念，它与函数的求导有密切的关系。
本文将介绍函数积分的基本知识点并通过例题解析来帮助理解。
知识点1：不定积分和定积分不定积分不定积分是对函数进行积分时不限定积分范围的积分形式。
它的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)是要积分的函数，dx表示对x的积分变量。
定积分定积分是将不定积分限定在一个区间上，求得该区间内的积分结果。
它的符号表示为∫[a,b]f(x)dx，其中[a,b]是积分的区间，f(x)是要积分的函数。
知识点2：积分的基本方法基本积分法则基本积分法则是求各种类型函数不定积分的基本方法之一。
包括常数函数、幂函数、指数函数、三角函数等常见函数的对应积分公式。
分部积分法分部积分法利用导数与积分的基本关系来求积分。
通过对被积函数进行分解然后对其中一部分求导，可以将积分转化成求导的形式。
替换变量法替换变量法是一种通过引入新的积分变量，将原积分问题转化为更易解的形式的方法。
通过选择适当的替换变量，可以简化积分计算。
解析示例例题1计算不定积分∫(3x^2 + 2x + 1)dx。
解析：根据基本积分法则，我们可以得到不定积分的结果为x^3 + x^2 + x + C，其中C为常数。
例题2计算定积分∫[0,π/2]sin(x)dx。
解析：由于sin(x)是三角函数，根据基本积分法则，对sin(x)进行积分得到-cos(x)。
将积分区间代入，得到积分结果为cos(0) - cos(π/2) = 1 - 0 = 1。
例题3计算定积分∫[1,3]e^(2x)dx。
解析：利用替换变量法，令u = 2x，可以将原积分转化为∫[2,6]e^udu。
对e^u进行积分得到e^u，将积分区间代入，得到积分结果为e^6 - e^2。
通过以上例题解析，我们可以更好地理解函数积分的知识点和求解方法。
以上是关于函数的积分知识点及例题解析的文档。
考研积分上限的函数知识点全面总结
考研积分上限的函数知识点全面总结1.变上限积分的定义变上限积分是确定了一个变量作为积分上限的积分形式，记作\(\int_{a}^{x} f(t) \, dt\)，其中\(f(t)\)是被积函数，\(a\)是积分下限，\(x\)是积分上限。
2.变上限积分的性质变上限积分具有以下性质：- 可加性：\(\int_a^x f(t) \, dt + \int_x^b f(t) \, dt =\int_a^b f(t) \, dt\)- 导数性质：\(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t) \, dt = f(x)\)- 积分性质：\(\int_a^x f'(t) \, dt = f(x) - f(a)\)- 形式不变性：\(\int_a^x f(t) \, dt = \int_a^b f(t) \, dt\)，其中\(a \leq x \leq b\)3.变上限积分的计算方法变上限积分的计算方法与定积分类似，需要先找到原函数\(F(x)\)。
具体方法如下：-先求导得到\(f(x)\)；-对\(f(x)\)进行积分，得到\(F(x)+C\)，其中\(C\)为常数；-最后将\(F(x)\)的上限替换为\(x\)即可。
4.变上限积分的应用变上限积分在数学和物理学中有广泛的应用，例如：-平均值定理：根据变上限积分的导数性质，可以推导出平均值定理，用于求函数在一些闭区间上的平均值；-曲线长度：通过变上限积分可以计算曲线的长度；-物理学应用：变上限积分可以用于描述物体在不同时间段内的速度、加速度等物理量。
总结起来，变上限积分是定积分的一种形式，它的自变量是积分上限。
变上限积分具有可加性、导数性质、积分性质和形式不变性等性质。
计算变上限积分时，需要找到原函数并替换上限。
变上限积分在数学和物理学中有广泛的应用，例如平均值定理、曲线长度和物理学应用。
考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
> 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。
考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
> 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。
高数：《变限积分函数》参考课件节选及典型题举例
高数：《变限积分函数》参考课件节选及典型题举例
● 积分上限函数为被积函数的一个原函数，因此，积分上限函数是连续可导函数
● 在已知条件或者结论中包含有积分上限函数的问题，一般直接的思路就是先对积分上限函数求导
● 积分上限函数也称为变上限函数，因此，有变下限函数，以及上下积分限都为函数的积分限函数，对于它们都可以转换为变上限函数来处理，即
于是结合积分上限函数的复合函数可以得到以上变限函数的导数表达式
● 对于积分变限函数求导的基本原则是在求导之前将被积表达式要变换成与求导变量无关，而仅仅与积分变量相关的表达式；积分上下限为求导变量的函数的结构，这样就可以直接使用变限积分求导公式直接套用！即将被积函数的积分变量替换为变限表达式，然后乘以变限函数的导数即得导数结果，即依据课件及上面的公式将最终所求的变限积分式子转换如下，并有如下求导结果
即如果被积表达式中包含有求导变量，则要提出来，如果提不出来，则通过积分的换元法的方式转换，使得其不包含有求导变量参考课件，内容结合老师课堂讲授理解：
小贴士。
专题辅导9 关于积分上限函数
当 x ≠ 0 时， ϕ ′( x) =
xf ( x) − ∫ f (u )du
0
x
x2
；
当 x = 0 时，由导数定义， = ϕ ′(0) lim
x →0
ϕ ( x) − ϕ (0)
= x
∫ f (u )du lim =
0 x →0
x
x
2
f ( x) A ， = lim x →0 2 x 2
xf ( x) − x f (u )du ∫0 ,x ≠ 0 x2 故 ϕ ′( x) = ， A ,x =0 2
（三）变上限积分的极限
例 9.5 [分析] 求极限 I = lim
x →0
x 2 − ∫ cos(t 2 )dt
0
x2
sin10 x
0 0
显然，此极限为 ( ) 型.先利用等价无穷小代换，将 sin10 x 替代为 x10 ，然后利用
洛必达法则求极限.
x 2 − ∫ cos(t 2 )dt 2 x − 2 x cos x 4 1 0 解 I lim = = lim = x →0 x →0 x10 10 x9 10
（七）含变上限积分的不等式的证明（见专题 10） （八）综合问题
例 9.10 设 f ( x) 连续， ϕ ( x) =
∫
1
0
f ( xt )dt ，且 lim
x →0
f ( x) ，求 ϕ ′( x) ，并 = A （A 为常数） x
讨论 ϕ ′( x) 在 x = 0 处的连续性. [分析]
ϕ ( x) 是用含参变量 x 的定积分表达的函数，其自变量 x 出现在被积函数中，需经过
专题辅导 9
关于积分上限函数
考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1 )(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
>推论2 )()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。
考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
> 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。
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(a) 如果 f ( x) 是偶函数, 则 F ( x) 也是偶函数; (b) 如果 f ( x) 是单调减少函数, 则 F ( x) 也是单调减少函数.
2 2 a a a x x x
求出 F ( x) 并证明 F ( x) 0. 从而 F ( x) 单调减少, 于是得 F (b) F (a) 0. 由此可得结论. 这种证法有一定的通用性. 例如下例.
例 16 设 f ( x) 在[0,1]上连续且单调减少. 证明: 对任一 0 1, 有 f ( x)dx f ( x)dx.
例 9 设 x 0 ， n 为正整数. 证明 f ( x) (t t 2 ) sin 2n tdt
0
x
的最大值不超过
1 . (2n 2)(2n 3)
(提示:先求出函数的最大值点, 然后估计函数最大值的上界.)
(4) 积分问题
sin t dt . 1 0 t (提示: 当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时, 1 总是用分部积分法求解, 且取 u ( x) 为积分上限函数. 答: (cos 1 1). ) 2
x
sin t tc
0
试确定其中的非 dt 1 ，
(2) 求导问题
x t (1 cosu )du, 0 dy sin t . 例 4 已知 求 ( 答 : ) t dx 2 t ( 1 cos t ) y sin udu. 0
例 5 已知
y
0
e t dt costdt 0. 求
0 0
1
(提示: 即证
0
f ( x)dx
1
0
f ( x)dx 1
.
于是作 F ( x)
x
0
f (t )dt x
,
只需证 F ( x) 单调减少即可得结论.)
利用积分上限函数构造辅助函数, 还常用于证明与微分中值定理有关 的某些结论. 比如下题. 例 17 设 f ( x), g ( x) 在 [a, b] 上连续. 求证: 存在 (a, b) , 使
在 (0,) 内单调增加.
(3) 最大最小值问题 例 8 在区间 [1, e] 上求一点 , 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小
y
1
y = ln x
1
e
x
(提示: 先将面积表达为两个变限定积分之和: A( x) ln tdt (1 ln t )dt ,
1 x
x
e
然后求出 A( x) ,再求出其驻点. 答: e .)
求 ( x) f (t )dt 在 (,) 内的表达式.
0
x
(说明: 这类题在概论课中求连续型随机变量的分布函数时会遇到. 求表达式时, 注意对 任一取定的 x , 积分变量 t 在 [0, x] 内变动.
x 0, 0 1 x2 0 x 1, 2 . 答: ( x) 1 1 ( x 2) 2 1 x 2, 2 1 x2
d b 推论 1 [ f (t )dt ] f ( x) dx x d ( x) 推论 2 [ f (t )dt ] f [ ( x)] ( x) dx c 推论 3 d ( x) [ f (t )dt ] f [ ( x)] ( x) f [ ( x)] ( x) dx ( x )
0 0 0
x
x
x
（2）比如 F ( x) tf (t x)dt
0
x
( f 的自变量中含 x, 可通过变量代换将 x 置换到 f 的外面 来) 在求 F ( x) 时， 先对右端的定积分做变量代换 u t x（把 x 看作常数） ， 此时， u x ； t x 时， dt du ， t 0 时， u 0， 这样， F ( x) 就化成了以 u 作为积分变量的积分下限函数：
f ( ) g ( x)dx g ( ) f ( x)dx .
a
b
(提示: 令 F ( x) f (t )dt g (t )dt . 对 F ( x) 在 [a, b] 上用 Rolle 定理即可证得结论)
a x
x
b
4. 关于积分限函数的奇偶性与周期性 定理 3 设 f x 连续， x f t dt .如果 f x 是奇（偶）函数，则 x 是偶（奇）函数；
(5) 含有未知函数的变上限定积分的方程（称为积分方程）的求解问题 例 13 设函数 ( x) 连续，且满足
( x) e x t (t )dt x (t )dt.
0 0
x
x
求 ( x ).
1 (cos x sin x e x ) ) 2 （说明：这类问题总是通过两端求导，将所给的积分方程化为微分方程，
2 2 a a a
b
b
b
说明: 本题的通常证法是从不等式 [ f ( x) tg ( x)]dx 0 出发, 由关于 t 的二次函数非负. 但也可构造一个积分上限函数, 利用该函数的单调性来证明. 提示如下: 令 F ( x) [ f (t ) g (t )dt] f (t )dt g 2 (t )dt. 则 F (a) 0.
二
积分上限函数的几个变式
x
（1） 比如 F ( x) ( x t ) f (t )dt
0
(被积函数中含 x , 但 x 可提到积分号外面来.) 在求 F ( x) 时，先将右端化为
x
0
xf (t )dt tf (t )dt x f (t )dt tf (t )dt 的形式，再对 x 求导。
关于积分限函数的小结
----习题课选例
积分上限函数（或变上限定积分）
F ( x) f (t )dt 的自变量是上限变量 x ，
a
x
在求导时，是关于 x 求导，但在求积分时， 则把 x 看作常数，积分变量 t 在积分区间 弄清上限变量和积分变量的 [a, x] 上变动。 区别是对积分限函数进行正确运算的前 提。
F ( x) ( x u ) f (u )du x f (u )du uf (u )du ，然后再
x x x
0
0
0
对 x 求导。
( 3 ) 比如 F ( x) f ( xt )dt
0
1
(这是含参数 x 的定积分, 可通过变量代换将 x 变换到积分限的位置上去)
三
有积分限函数参与的题型举例
（1） 极限问题： 例 1 lim
x 0
x 0
x2
0
sin tdt
3 2
t (t sin t ) dt
x
（答：12）
例2
x
lim
0
sin t dt x
（提示：本题用洛必达法则求不出结果，
可用夹逼准则求。 答：
2
）
1 例 3 已知极限 lim x x 0 e bx a 零常数 a, b, c. （答： a 1, b 1, c 1. ）
(答: ( x)
然后求解. . 注意初值条件隐含在积分方程内. 答: ( x) cos x sin x ）
例 14 设 f ( x) 为正值连续函数, f (0) 1, 且对任一 x 0 , 曲线 y f ( x) 在区间 [0, x] 上的一段弧长等于此弧段下曲边梯形的面积, 求此曲线方程. (说明: 根据题设列出的方程将含有 f ( x) 的积分上限函数.
x x x 0 0 0
f偶
若 f x dx 0 ，则
T 0
x T
x T 0
f t dt f t dt
x 0
x T x
f t dt x f t dt x ,
T 0
即 ( x) 为周期为 T 的周期函数. 例 18 设 f ( x) 在 (,) 内连续, F ( x) (2t x) f (t )dt . 证明:
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。 它说明：连续函数必存在原函数，并通过 定积分的形式给出了它的一个原函数。我 们知道，求原函数是求导运算的逆运算， 本质上是微分学的问题；而求定积分是求 一个特定和式的极限，是积分学的问题。 定理（2）把两者联系了起来，从而使微分 学和积分学统一成为一个整体，有重要意 义。
x 0
如果 f x 是周期为 T 的函数，且 f x dx 0 ,则 x 是相同周期的周期函数.
T
证 设 f x 奇, 则
0
即 x 为偶函数. 设 f x 偶, 则 即 x 为奇函数.
x
x 0
f t dt
t u
在求 F ( x) 时，先对右端的定积分做变量代换 u xt （把 x 看作常数） ，此时，
du dt ， t 0 时， u 0 ； t 1 时， u x ，于是， F ( x) 就化成了以 u 作为 x 1 x 积分变量的积分上限函数： F ( x) f (u )du ，然后再对 x 求导。 x 0
x 0
f u d u f u du f u du x ,
x x 0 0
f奇
x
x 0
f t dt
t u
f u d u f u du f u du x ,
一
定理 1
关于积分限函数的理论
如果 f ( x) 在 [a, b] 上可积，则
x
F ( x) f (t )dt 在 [a, b] 上连续.