关于积分限函数的小结----习题课选例
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在求 F ( x) 时，先对右端的定积分做变量代换 u xt （把 x 看作常数） ，此时，
du dt ， t 0 时， u 0 ； t 1 时， u x ，于是， F ( x) 就化成了以 u 作为 x 1 x 积分变量的积分上限函数： F ( x) f (u )du ，然后再对 x 求导。 x 0
d b 推论 1 [ f (t )dt ] f ( x) dx x d ( x) 推论 2 [ f (t )dt ] f [ ( x)] ( x) dx c 推论 3 d ( x) [ f (t )dt ] f [ ( x)] ( x) f [ ( x)] ( x) dx ( x )
x x x 0 0 0
f偶
若 f x dx 0 ，则
T 0
x T
x T 0
f t dt f t dt
x 0
x T x
f t dt x f t dt x ,
T 0
即 ( x) 为周期为 T 的周期函数. 例 18 设 f ( x) 在 (,) 内连续, F ( x) (2t x) f (t )dt . 证明:
例 9 设 x 0 ， n 为正整数. 证明 f ( x) (t t 2 ) sin 2n tdt
0
x
的最大值不超过
1 . (2n 2)(2n 3)
(提示:先求出函数的最大值点, 然后估计函数最大值的上界.)
(4) 积分问题
sin t dt . 1 0 t (提示: 当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时, 1 总是用分部积分法求解, 且取 u ( x) 为积分上限函数. 答: (cos 1 1). ) 2
(答: ( x)
然后求解. . 注意初值条件隐含在积分方程内. 答: ( x) cos x sin x ）
例 14 设 f ( x) 为正值连续函数, f (0) 1, 且对任一 x 0 , 曲线 y f ( x) 在区间 [0, x] 上的一段弧长等于此弧段下曲边梯形的面积, 求此曲线方程. (说明: 根据题设列出的方程将含有 f ( x) 的积分上限函数.
2 2 a a a x x x
求出 F ( x) 并证明 F ( x) 0. 从而 F ( x) 单调减少, 于是得 F (b) F (a) 0. 由此可得结论. 这种证法有一定的通用性. 例如下例.
例 16 设 f ( x) 在[0,1]上连续且单调减少. 证明: 对任一 0 1, 有 f ( x)dx f ( x)dx.
f ( ) g ( x)dx g ( ) f ( x)dx .
a
b
(提示: 令 F ( x) f (t )dt g (t )dt . 对 F ( x) 在 [a, b] 上用 Rolle 定理即可证得结论)
a x
x
b
4. 关于积分限函数的奇偶性与周期性 定理 3 设 f x 连续， x f t dt .如果 f x 是奇（偶）函数，则 x 是偶（奇）函数；
0 0 0
x
x
x
（2）比如Biblioteka BaiduF ( x) tf (t x)dt
0
x
( f 的自变量中含 x, 可通过变量代换将 x 置换到 f 的外面 来) 在求 F ( x) 时， 先对右端的定积分做变量代换 u t x（把 x 看作常数） ， 此时， u x ； t x 时， dt du ， t 0 时， u 0， 这样， F ( x) 就化成了以 u 作为积分变量的积分下限函数：
0 0
1
(提示: 即证
0
f ( x)dx
1
0
f ( x)dx 1
.
于是作 F ( x)
x
0
f (t )dt x
,
只需证 F ( x) 单调减少即可得结论.)
利用积分上限函数构造辅助函数, 还常用于证明与微分中值定理有关 的某些结论. 比如下题. 例 17 设 f ( x), g ( x) 在 [a, b] 上连续. 求证: 存在 (a, b) , 使
0
xy
dy y cos(xy) . (答: y ) dx e x cos(xy)
例6 求
d x sin( x t ) 2 dt dx 0
(答: sin x 2 )
tf (t )dt ( x) f (t )dt
0 x 0 x
例 7 设 f ( x) 在 (,) 内连续且 f ( x) 0, 求证
在 (0,) 内单调增加.
(3) 最大最小值问题 例 8 在区间 [1, e] 上求一点 , 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小
y
1
y = ln x
1
e
x
(提示: 先将面积表达为两个变限定积分之和: A( x) ln tdt (1 ln t )dt ,
1 x
x
e
然后求出 A( x) ,再求出其驻点. 答: e .)
2 2 a a a
b
b
b
说明: 本题的通常证法是从不等式 [ f ( x) tg ( x)]dx 0 出发, 由关于 t 的二次函数非负
a
b
的判别条件即可证得结论. 但也可构造一个积分上限函数, 利用该函数的单调性来证明. 提示如下: 令 F ( x) [ f (t ) g (t )dt] f (t )dt g 2 (t )dt. 则 F (a) 0.
x 0
如果 f x 是周期为 T 的函数，且 f x dx 0 ,则 x 是相同周期的周期函数.
T
证 设 f x 奇, 则
0
即 x 为偶函数. 设 f x 偶, 则 即 x 为奇函数.
x
x 0
f t dt
t u
二
积分上限函数的几个变式
x
（1） 比如 F ( x) ( x t ) f (t )dt
0
(被积函数中含 x , 但 x 可提到积分号外面来.) 在求 F ( x) 时，先将右端化为
x
0
xf (t )dt tf (t )dt x f (t )dt tf (t )dt 的形式，再对 x 求导。
(5) 含有未知函数的变上限定积分的方程（称为积分方程）的求解问题 例 13 设函数 ( x) 连续，且满足
( x) e x t (t )dt x (t )dt.
0 0
x
x
求 ( x ).
1 (cos x sin x e x ) ) 2 （说明：这类问题总是通过两端求导，将所给的积分方程化为微分方程，
a x
d x F ( x) [ f (t )dt ] f ( x). dx a
注： （Ⅰ）从以上两个定理可看出，对
f ( x) 作变上限积分后得到的函数，性
质比原来的函数改进了一步： 可积改进 为连续； 连续改进为可导。 这是积分上 限函数的良好性质。 而我们知道， 可导 函数 f ( x) 经过求导后， 其导函数 f ( x) 甚至不一定是连续的。
0 x
(a) 如果 f ( x) 是偶函数, 则 F ( x) 也是偶函数; (b) 如果 f ( x) 是单调减少函数, 则 F ( x) 也是单调减少函数.
F ( x) ( x u ) f (u )du x f (u )du uf (u )du ，然后再
x x x
0
0
0
对 x 求导。
( 3 ) 比如 F ( x) f ( xt )dt
0
1
(这是含参数 x 的定积分, 可通过变量代换将 x 变换到积分限的位置上去)
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。 它说明：连续函数必存在原函数，并通过 定积分的形式给出了它的一个原函数。我 们知道，求原函数是求导运算的逆运算， 本质上是微分学的问题；而求定积分是求 一个特定和式的极限，是积分学的问题。 定理（2）把两者联系了起来，从而使微分 学和积分学统一成为一个整体，有重要意 义。
三
有积分限函数参与的题型举例
（1） 极限问题： 例 1 lim
x 0
x 0
x2
0
sin tdt
3 2
t (t sin t ) dt
x
（答：12）
例2
x
lim
0
sin t dt x
（提示：本题用洛必达法则求不出结果，
可用夹逼准则求。 答：
2
）
1 例 3 已知极限 lim x x 0 e bx a 零常数 a, b, c. （答： a 1, b 1, c 1. ）
x
sin t tc
0
试确定其中的非 dt 1 ，
(2) 求导问题
x t (1 cosu )du, 0 dy sin t . 例 4 已知 求 ( 答 : ) t dx 2 t ( 1 cos t ) y sin udu. 0
例 5 已知
y
0
e t dt costdt 0. 求
x 0
f u d u f u du f u du x ,
x x 0 0
f奇
x
x 0
f t dt
t u
f u d u f u du f u du x ,
关于积分限函数的小结
----习题课选例
积分上限函数（或变上限定积分）
F ( x) f (t )dt 的自变量是上限变量 x ，
a
x
在求导时，是关于 x 求导，但在求积分时， 则把 x 看作常数，积分变量 t 在积分区间 弄清上限变量和积分变量的 [a, x] 上变动。 区别是对积分限函数进行正确运算的前 提。
例 10 计算 xf ( x)dx ，其中 f ( x)
1
x2
例 11 设 f ( x) 在 (,) 内连续, 证明
x
0
f (u)(x u)du [ f (t )dt]du.
0 0
x
u
(提示: 对右端的积分施行分部积分法.)
x 0 x 1, 例 12 设 f ( x) 2 x 1 x 2, 0 x 0 , x 2.
e x e x ( x 0)) 答: f ( x) 2
(6) 利用积分上限函数构造辅助函数以证明积分不等式等. 例 15 设 f ( x), g ( x) 均在 [a, b] 上连续, 证明以下的 Cauchy-Swartz 不等式:
( f ( x) g ( x)dx) f ( x)dx g 2 ( x)dx.
一
定理 1
关于积分限函数的理论
如果 f ( x) 在 [a, b] 上可积，则
x
F ( x) f (t )dt 在 [a, b] 上连续.
a
定 理 2 如 果 f ( x ) 在 [ a, b] 上 连 续 ， 则
F ( x) f (t )dt 在 [ a, b] 上 可 导 ， 且
求 ( x) f (t )dt 在 (,) 内的表达式.
0
x
(说明: 这类题在概论课中求连续型随机变量的分布函数时会遇到. 求表达式时, 注意对 任一取定的 x , 积分变量 t 在 [0, x] 内变动.
x 0, 0 1 x2 0 x 1, 2 . 答: ( x) 1 1 ( x 2) 2 1 x 2, 2 1 x2
du dt ， t 0 时， u 0 ； t 1 时， u x ，于是， F ( x) 就化成了以 u 作为 x 1 x 积分变量的积分上限函数： F ( x) f (u )du ，然后再对 x 求导。 x 0
d b 推论 1 [ f (t )dt ] f ( x) dx x d ( x) 推论 2 [ f (t )dt ] f [ ( x)] ( x) dx c 推论 3 d ( x) [ f (t )dt ] f [ ( x)] ( x) f [ ( x)] ( x) dx ( x )
x x x 0 0 0
f偶
若 f x dx 0 ，则
T 0
x T
x T 0
f t dt f t dt
x 0
x T x
f t dt x f t dt x ,
T 0
即 ( x) 为周期为 T 的周期函数. 例 18 设 f ( x) 在 (,) 内连续, F ( x) (2t x) f (t )dt . 证明:
例 9 设 x 0 ， n 为正整数. 证明 f ( x) (t t 2 ) sin 2n tdt
0
x
的最大值不超过
1 . (2n 2)(2n 3)
(提示:先求出函数的最大值点, 然后估计函数最大值的上界.)
(4) 积分问题
sin t dt . 1 0 t (提示: 当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时, 1 总是用分部积分法求解, 且取 u ( x) 为积分上限函数. 答: (cos 1 1). ) 2
(答: ( x)
然后求解. . 注意初值条件隐含在积分方程内. 答: ( x) cos x sin x ）
例 14 设 f ( x) 为正值连续函数, f (0) 1, 且对任一 x 0 , 曲线 y f ( x) 在区间 [0, x] 上的一段弧长等于此弧段下曲边梯形的面积, 求此曲线方程. (说明: 根据题设列出的方程将含有 f ( x) 的积分上限函数.
2 2 a a a x x x
求出 F ( x) 并证明 F ( x) 0. 从而 F ( x) 单调减少, 于是得 F (b) F (a) 0. 由此可得结论. 这种证法有一定的通用性. 例如下例.
例 16 设 f ( x) 在[0,1]上连续且单调减少. 证明: 对任一 0 1, 有 f ( x)dx f ( x)dx.
f ( ) g ( x)dx g ( ) f ( x)dx .
a
b
(提示: 令 F ( x) f (t )dt g (t )dt . 对 F ( x) 在 [a, b] 上用 Rolle 定理即可证得结论)
a x
x
b
4. 关于积分限函数的奇偶性与周期性 定理 3 设 f x 连续， x f t dt .如果 f x 是奇（偶）函数，则 x 是偶（奇）函数；
0 0 0
x
x
x
（2）比如Biblioteka BaiduF ( x) tf (t x)dt
0
x
( f 的自变量中含 x, 可通过变量代换将 x 置换到 f 的外面 来) 在求 F ( x) 时， 先对右端的定积分做变量代换 u t x（把 x 看作常数） ， 此时， u x ； t x 时， dt du ， t 0 时， u 0， 这样， F ( x) 就化成了以 u 作为积分变量的积分下限函数：
0 0
1
(提示: 即证
0
f ( x)dx
1
0
f ( x)dx 1
.
于是作 F ( x)
x
0
f (t )dt x
,
只需证 F ( x) 单调减少即可得结论.)
利用积分上限函数构造辅助函数, 还常用于证明与微分中值定理有关 的某些结论. 比如下题. 例 17 设 f ( x), g ( x) 在 [a, b] 上连续. 求证: 存在 (a, b) , 使
0
xy
dy y cos(xy) . (答: y ) dx e x cos(xy)
例6 求
d x sin( x t ) 2 dt dx 0
(答: sin x 2 )
tf (t )dt ( x) f (t )dt
0 x 0 x
例 7 设 f ( x) 在 (,) 内连续且 f ( x) 0, 求证
在 (0,) 内单调增加.
(3) 最大最小值问题 例 8 在区间 [1, e] 上求一点 , 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小
y
1
y = ln x
1
e
x
(提示: 先将面积表达为两个变限定积分之和: A( x) ln tdt (1 ln t )dt ,
1 x
x
e
然后求出 A( x) ,再求出其驻点. 答: e .)
2 2 a a a
b
b
b
说明: 本题的通常证法是从不等式 [ f ( x) tg ( x)]dx 0 出发, 由关于 t 的二次函数非负
a
b
的判别条件即可证得结论. 但也可构造一个积分上限函数, 利用该函数的单调性来证明. 提示如下: 令 F ( x) [ f (t ) g (t )dt] f (t )dt g 2 (t )dt. 则 F (a) 0.
x 0
如果 f x 是周期为 T 的函数，且 f x dx 0 ,则 x 是相同周期的周期函数.
T
证 设 f x 奇, 则
0
即 x 为偶函数. 设 f x 偶, 则 即 x 为奇函数.
x
x 0
f t dt
t u
二
积分上限函数的几个变式
x
（1） 比如 F ( x) ( x t ) f (t )dt
0
(被积函数中含 x , 但 x 可提到积分号外面来.) 在求 F ( x) 时，先将右端化为
x
0
xf (t )dt tf (t )dt x f (t )dt tf (t )dt 的形式，再对 x 求导。
(5) 含有未知函数的变上限定积分的方程（称为积分方程）的求解问题 例 13 设函数 ( x) 连续，且满足
( x) e x t (t )dt x (t )dt.
0 0
x
x
求 ( x ).
1 (cos x sin x e x ) ) 2 （说明：这类问题总是通过两端求导，将所给的积分方程化为微分方程，
a x
d x F ( x) [ f (t )dt ] f ( x). dx a
注： （Ⅰ）从以上两个定理可看出，对
f ( x) 作变上限积分后得到的函数，性
质比原来的函数改进了一步： 可积改进 为连续； 连续改进为可导。 这是积分上 限函数的良好性质。 而我们知道， 可导 函数 f ( x) 经过求导后， 其导函数 f ( x) 甚至不一定是连续的。
0 x
(a) 如果 f ( x) 是偶函数, 则 F ( x) 也是偶函数; (b) 如果 f ( x) 是单调减少函数, 则 F ( x) 也是单调减少函数.
F ( x) ( x u ) f (u )du x f (u )du uf (u )du ，然后再
x x x
0
0
0
对 x 求导。
( 3 ) 比如 F ( x) f ( xt )dt
0
1
(这是含参数 x 的定积分, 可通过变量代换将 x 变换到积分限的位置上去)
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。 它说明：连续函数必存在原函数，并通过 定积分的形式给出了它的一个原函数。我 们知道，求原函数是求导运算的逆运算， 本质上是微分学的问题；而求定积分是求 一个特定和式的极限，是积分学的问题。 定理（2）把两者联系了起来，从而使微分 学和积分学统一成为一个整体，有重要意 义。
三
有积分限函数参与的题型举例
（1） 极限问题： 例 1 lim
x 0
x 0
x2
0
sin tdt
3 2
t (t sin t ) dt
x
（答：12）
例2
x
lim
0
sin t dt x
（提示：本题用洛必达法则求不出结果，
可用夹逼准则求。 答：
2
）
1 例 3 已知极限 lim x x 0 e bx a 零常数 a, b, c. （答： a 1, b 1, c 1. ）
x
sin t tc
0
试确定其中的非 dt 1 ，
(2) 求导问题
x t (1 cosu )du, 0 dy sin t . 例 4 已知 求 ( 答 : ) t dx 2 t ( 1 cos t ) y sin udu. 0
例 5 已知
y
0
e t dt costdt 0. 求
x 0
f u d u f u du f u du x ,
x x 0 0
f奇
x
x 0
f t dt
t u
f u d u f u du f u du x ,
关于积分限函数的小结
----习题课选例
积分上限函数（或变上限定积分）
F ( x) f (t )dt 的自变量是上限变量 x ，
a
x
在求导时，是关于 x 求导，但在求积分时， 则把 x 看作常数，积分变量 t 在积分区间 弄清上限变量和积分变量的 [a, x] 上变动。 区别是对积分限函数进行正确运算的前 提。
例 10 计算 xf ( x)dx ，其中 f ( x)
1
x2
例 11 设 f ( x) 在 (,) 内连续, 证明
x
0
f (u)(x u)du [ f (t )dt]du.
0 0
x
u
(提示: 对右端的积分施行分部积分法.)
x 0 x 1, 例 12 设 f ( x) 2 x 1 x 2, 0 x 0 , x 2.
e x e x ( x 0)) 答: f ( x) 2
(6) 利用积分上限函数构造辅助函数以证明积分不等式等. 例 15 设 f ( x), g ( x) 均在 [a, b] 上连续, 证明以下的 Cauchy-Swartz 不等式:
( f ( x) g ( x)dx) f ( x)dx g 2 ( x)dx.
一
定理 1
关于积分限函数的理论
如果 f ( x) 在 [a, b] 上可积，则
x
F ( x) f (t )dt 在 [a, b] 上连续.
a
定 理 2 如 果 f ( x ) 在 [ a, b] 上 连 续 ， 则
F ( x) f (t )dt 在 [ a, b] 上 可 导 ， 且
求 ( x) f (t )dt 在 (,) 内的表达式.
0
x
(说明: 这类题在概论课中求连续型随机变量的分布函数时会遇到. 求表达式时, 注意对 任一取定的 x , 积分变量 t 在 [0, x] 内变动.
x 0, 0 1 x2 0 x 1, 2 . 答: ( x) 1 1 ( x 2) 2 1 x 2, 2 1 x2