球类组合体的求解方法

球类组合体的求解方法

与球有关的组合体问题具有一定的灵活性和隐蔽性,加之其组合体的立体几何图形有一定的复杂性,故能很好考查学生的空间思维能力.许多学生在处理与球有关的组合体问题时,由于受到球本身的限制,不善于从组合体问题中挖掘关键点,而显得不够简捷. 1．由球面定义定球心

球心是球的灵魂,抓住了球心就抓住了球的位置.球面上任意一点到球心的距离都相等,这是确定球心位置的基本策略

例1 (20XX 年安徽高考题) 表面积为

在同一个球面上,则此球的体积为( )

A 、

B 、13π

C 、23π

D 、

分析 如图所示: 正八面体的各个顶点P ，A ，B ，C ，D ，Q 都 在

同一个球面上,球 心O 到P ，A ，B ，C ，D ， Q 六点的距离相

等, 因为正八面体的各个面都是正三角形,结合球的内接正八面体的对称性可知:正八面体的顶点A ，B ，C,D 在球O 的同一个大圆上 ,

且四边形ABCD 为正 方形.所以

=

2R AB ,即AB . 又因为正

八面体的表面积为且正八面体的各个面都是正三角形, 所

以

28=14AB AB ⨯

=，1=,即

2R =

所以此球的体积为

334433V R ππ== 因此答案应选A.

评注：解此题的关键是确定球心O 恰好是正方形ABCD 的中心,再结

合正八面体的各个面都是正三角形以及正八面体的表面积为可求出球O 的体积.

2 .利用割补思想定球心

在直接将球心定位较困难时,利用分割或补形的思想方法去探寻球心的位置,是解决与球有关的组合体问题一种常用策略.

例2 (20XX 年全国高考题)一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点

在同一球面上,则此球的表面积为 ( )

(A)3π (B)4π (C) (D)6π

分析 法1(分割): 如图3所示,连结球心 O 与正四面体11C A BD 的四个顶点,则四面体 被分割成四个相同的 小正三棱锥,由

1114C A BD

O A BD

V V --=得各小棱锥的高为原正四面体高 的1

4 ,进而可求得

外接球的半径

R =

,球的 表面积为3π.故答案应选(A). 法2 (补形):如图3所示,构造棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -,

则11C A BD ,正方体1111ABCD A B C D -的外接球

也为正四面体11C A BD 的外接球,此时球的直径2R ==球

的表面积为3π,故答案应选(A).

3.利用正四面体、正方体的外接球球心与内切球球心重合

利用正四面体、正方体的外接球球心与内切球球心重合这一性质,寻求内切球半径与外接球半径的方程,算出半径的值,即可解决问题.

例3 (20XX 年山东高考题)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )

(A) 1(B)1:3 (C) 1 分析:如图,由图形的对称性知,正方体的中心O 既是内切球的球心又

是外接球的球心.

设正方体的棱长为a, 内切球半径为 r , 外接球半径为 R ,

则 1=22CC a r =

，

12AC R ==

.

所以=3312()V r V R =故答案应选(C).

4.构造球心骨架图

在许多与球有关的组合体问题中,要画 出实际空间图形比较困难,但我们可以通过球心、球面上的点以及切点等的连线构造多面体(俗称“骨架图”),把与球有关的组合体问题转化为多面体问题来加以解决.

例 4 (20XX 年陕西高考题)水平桌面α上放有4个半径为2R 的球,且相邻的球都相切 ( 球心的连线构成正方形). 在这4个球的上面放1个半径为R 的小球,它和下面的4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是 .

分析 如右图所示

: 水平桌面α上放有4

个 半径为2R 的球的球心1234,,,O O O O 与半径为 R 的小球的球心5O 五点构成正四棱锥51234O O O O O -. 依题设可

知: 122334144O O O O O O O O R ====,152535453O O O O O O O O R ====. 点5O 在平面1234O O O O 的射影O 恰好为正方形1234O O O O 的中心,连结

52,OO OO . 在25Rt OO O ∆中

, 2OO =,253O O R =

∴

5OO R

==. 因此,小球的球心5O 到水平桌面α的距离

为523OO R R +=.

5.利用球的轴截面(大圆)解题

画出球的大圆及其所在的截面图形是解决与球有关的相切或相接组合体问题的基本策略.因此,我们可以把与球有关的相切或相接组合体问题转化为与圆有关的平面几何问题,使空间问题平面化. 例5 (20XX 年漳州质量检测题)甲球内切于某正方体的各个面,乙球内切于该正方体的各条棱,丙球外接于该正方体,则甲、乙、丙球表面面积之比是( )

(A)1:2:3

(B)

(C)

(D)

分析 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长 为a,甲、乙、丙球的半径分

别为123,,r r r . 如右图: 正方体的 内切球甲与正方体的 六个面有六个公共点, 点的位置分别在六个 正方形的中心,经过四 个切点的轴截面(大圆) 是正方体的截面EFGH 的内切圆. ∵12r a =,∴

12a

r =

, ∴22

114S r a ππ==.

如右图, 乙球 与正方体各棱的切点 在每条棱的中点,经过 四个切点的球的轴截 面(大圆)是正方形EFGH 的外接

圆∵22r EG ===, ∴

2r =

，∴

222242S r a ππ==.

如右图, 正方体的 各个顶点在球面上,球 的一个

大圆是正方体 的对角面 (矩形 11A ACC )的外接圆. ∵

312r AC ==

=, ∴

3r =

,∴

223343S r a ππ== . 由上可知: 123::1:2:3S S S =,故答案应选(A)

评注 解决几何体的相切或相接组合题问题,常常利用截面来暴露这两个几何体之间的相互关系,从而使空间问题转化为平面问题来解决