1-3 平面曲线运动
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平面曲线运动.
1.3 平面曲线运动
1.3 平面曲线运动 1.3.1 圆周运动 1 圆周运动的角量描述
• 角位置：位矢 r与Ox轴的夹角。
规定：位矢从 Ox 轴开始沿逆时 针旋转时,θ>0;反之, θ<0。
y
• 角位移 ： △t时间内质点转过的角度 。
表达式：θ
o r
1
2
Bt t
At
速率和角速度之间的瞬时关系为
vω r
1.3 平面曲线运动
• 角加速度：质点的角速度对时间的变化率。 表达式： α • 物理意义：
ω dω d θ lim 2 t 0 t dt dt
2
：描述质点转动的快慢。 ：描述质点角速度变化快慢。
：弧度，记作 rad 1 1 ： 或 rad s s 2 2 ： 或 s rad s
质点做的运动是匀加速圆周运动。
dω α b dt 因 常量 且 a t 的方向与 v 相同，体运动
1 定义：
从地面上某点抛出一个物 体，它在空中所做的平面 v0 y 曲线运动。 2 抛体运动的第一种分解
y
v0
a g g j
• 单 位：
1.3 平面曲线运动
2 匀速圆周运动 ( 0 ，且 常数 ) v2 2 e n ω re n • 加速度：a an r • 运动方程： θ
t
0
ωdt θ0 ωt
）
3 匀变速圆周运动（ 常量
dω ret αret 切向加速度： at dt 2 v 2 法向加速度： a n en ω ren r • 质点的加速度：a at an αret ω2 ren
1.3 平面曲线运动 1.3.1 圆周运动 1 圆周运动的角量描述
• 角位置：位矢 r与Ox轴的夹角。
规定：位矢从 Ox 轴开始沿逆时 针旋转时,θ>0;反之, θ<0。
y
• 角位移 ： △t时间内质点转过的角度 。
表达式：θ
o r
1
2
Bt t
At
速率和角速度之间的瞬时关系为
vω r
1.3 平面曲线运动
• 角加速度：质点的角速度对时间的变化率。 表达式： α • 物理意义：
ω dω d θ lim 2 t 0 t dt dt
2
：描述质点转动的快慢。 ：描述质点角速度变化快慢。
：弧度，记作 rad 1 1 ： 或 rad s s 2 2 ： 或 s rad s
质点做的运动是匀加速圆周运动。
dω α b dt 因 常量 且 a t 的方向与 v 相同，体运动
1 定义：
从地面上某点抛出一个物 体，它在空中所做的平面 v0 y 曲线运动。 2 抛体运动的第一种分解
y
v0
a g g j
• 单 位：
1.3 平面曲线运动
2 匀速圆周运动 ( 0 ，且 常数 ) v2 2 e n ω re n • 加速度：a an r • 运动方程： θ
t
0
ωdt θ0 ωt
）
3 匀变速圆周运动（ 常量
dω ret αret 切向加速度： at dt 2 v 2 法向加速度： a n en ω ren r • 质点的加速度：a at an αret ω2 ren
第2讲 曲线运动的描述
a n g a
2 2
gv0 v ( gt )
2 0 2
O
x
代入数据，得
a
an
9 .8 2 5 302 (9.8 5) 2
9.8 30 302 (9.8 5) 2
an
8.36m s 2
a
g
y
5.12m s 2
例题2 质点在oxy平面内运动,其运动方程为
切向和法向加速度分别为:
dv d d 2 2 2 2 at ( vx vy ) ( 4 (4t ) ) 3.58m s dt dt dt
an a 2 at2 1.79m s 2
1.3 圆周运动及其描述
运动的线量描述：位置 位移 速度 加速度 （直角坐标系，自然坐标系） 运动的角量描述：角位置 角位移 角速度 角加速度 (用极坐标系描述圆周运动）
2 2 v vx v y vz2
tangential acceleration normal acceleration
切向加速度 a dv d s 2
dt
2
2
dt
法向加速度 an v
1 y R
y
O
3 2 2
, y y ( x)
R
2 a a a2 an
Δt 时间内转过的角度.
角位移的方向 右手定则判定 四指沿着质点运动方向弯曲，拇指指向为其正向.
有限大小的角位移Δθ不是矢量[不符合交换律]，无 限小的角位移 d才是矢量. 先绕 x 轴转 π/ 2，再绕 y 轴转 π/ 2.
先绕 y 轴转 π/ 2，再绕 x 轴转 π/ 2.
最后的效果是不一样的.
2 2
gv0 v ( gt )
2 0 2
O
x
代入数据，得
a
an
9 .8 2 5 302 (9.8 5) 2
9.8 30 302 (9.8 5) 2
an
8.36m s 2
a
g
y
5.12m s 2
例题2 质点在oxy平面内运动,其运动方程为
切向和法向加速度分别为:
dv d d 2 2 2 2 at ( vx vy ) ( 4 (4t ) ) 3.58m s dt dt dt
an a 2 at2 1.79m s 2
1.3 圆周运动及其描述
运动的线量描述：位置 位移 速度 加速度 （直角坐标系，自然坐标系） 运动的角量描述：角位置 角位移 角速度 角加速度 (用极坐标系描述圆周运动）
2 2 v vx v y vz2
tangential acceleration normal acceleration
切向加速度 a dv d s 2
dt
2
2
dt
法向加速度 an v
1 y R
y
O
3 2 2
, y y ( x)
R
2 a a a2 an
Δt 时间内转过的角度.
角位移的方向 右手定则判定 四指沿着质点运动方向弯曲，拇指指向为其正向.
有限大小的角位移Δθ不是矢量[不符合交换律]，无 限小的角位移 d才是矢量. 先绕 x 轴转 π/ 2，再绕 y 轴转 π/ 2.
先绕 y 轴转 π/ 2，再绕 x 轴转 π/ 2.
最后的效果是不一样的.
平面曲线运动
o
aτ an
144t '4 24t ' t ' 0.55 s
rω2 r
2 4t '3 2.67 rad
1.3 平面曲线运动
第一章 质点力学基础
例3：已知一质点沿半径为R的圆周运动，其运动 2 的路程与时间的关系是 （c、b为 s ct 1 / 2bt 大于零的常数），则在t时刻，质点运动的法向、 切向及总加速度的大小各是多少？ 解：
第一章 质点力学基础
v2
b、加速度
v1
o
v vn vt
vt 由速度大小的变化引起的增量 v v v v n t t a lim lim v n t 0 t t 0 t v n vt 2 lim lim a n at t 0 t t 0 t
v n 由速度方向的变化引起的增量
vR vv1第一章 质点力学基础 1.3 平面曲线运动 a n法向加速度由速度方向的变化引起
at 切向加速度由速度大小的变化引起
2
v dv a an at n0 t 0 R dt
v dv an an a a t t R dt 2
解
ds v 20 0.4t dt dv aτ 0.4 dt
2 τ 2 n
v (1) 19.6 m/s
v 2 (20 0.4t ) 2 an R R
2 2
(20 0.4t ) a a a 0.4 R (20 0.4 1) a (1) 0.4 200
加速圆周运动 圆周运动 减速圆周运动 匀速圆周运动 竖直下抛 曲线运动特例 抛体运动 平抛 斜抛 直线运动
aτ an
144t '4 24t ' t ' 0.55 s
rω2 r
2 4t '3 2.67 rad
1.3 平面曲线运动
第一章 质点力学基础
例3：已知一质点沿半径为R的圆周运动，其运动 2 的路程与时间的关系是 （c、b为 s ct 1 / 2bt 大于零的常数），则在t时刻，质点运动的法向、 切向及总加速度的大小各是多少？ 解：
第一章 质点力学基础
v2
b、加速度
v1
o
v vn vt
vt 由速度大小的变化引起的增量 v v v v n t t a lim lim v n t 0 t t 0 t v n vt 2 lim lim a n at t 0 t t 0 t
v n 由速度方向的变化引起的增量
vR vv1第一章 质点力学基础 1.3 平面曲线运动 a n法向加速度由速度方向的变化引起
at 切向加速度由速度大小的变化引起
2
v dv a an at n0 t 0 R dt
v dv an an a a t t R dt 2
解
ds v 20 0.4t dt dv aτ 0.4 dt
2 τ 2 n
v (1) 19.6 m/s
v 2 (20 0.4t ) 2 an R R
2 2
(20 0.4t ) a a a 0.4 R (20 0.4 1) a (1) 0.4 200
加速圆周运动 圆周运动 减速圆周运动 匀速圆周运动 竖直下抛 曲线运动特例 抛体运动 平抛 斜抛 直线运动
大学物理1-3曲线运动
r v
上页
下页
例1 求抛体轨道顶点处的曲率半径 y 解：在自然坐标系中 r v2 dv v an = at = v0 ρ dt v0y r 当质点在抛物线顶点时， 当质点在抛物线顶点时， g θ 加速度g沿法向 沿法向， 加速度 沿法向， O v0x x r r
at an g
an = g
v2
ρ Q v = v0 cosθ
2 v0 cos2 θ
an =
=g
∴
ρ
=g
2 v0 cos2 θ ρ= g
上页
下页
2 2 0
2
得到抛物的射程： 令 y = 0 ，得到抛物的射程：
2 v0 sin 2θ S= g
抛体到最高点时
vy = v0 sinθ − g t = 0
1 2 y = v0t sinθ − g t 2
得最大射高为： 得最大射高为：
2 v0 sin 2 θ h= 2g
上页
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二、圆周运动
变速圆周运动
r r t ∫0 ( v0 cos θ )i d t + ∫0 ( v0 sin θ − gt ) j d t r 1 2 r = (v0 cos θ ⋅ t ) i + (v0 sin θ ⋅ t − gt ) j 2
2
0
gx cos θ
2
2
下页
由轨迹方程
1 gx y = x tanθ − 2 v cos θ
以抛射点为坐标 原点建立坐标系， 水平方向为x轴 水平方向为 轴 ， 竖 直方向为y轴 直方向为 轴 。 设抛 出 时 刻 t=0 的 速 率 为 v0，抛射角为θ ，则 初速度分量分别为：
上页
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大学物理曲线运动ppt课件
t+t B 0+
移为，则A、B间的有向
线段与弧将满足下面的关系
R
A t0
+
lim AB lim AB R O
x
t 0
t 0
两边同除以t，得到速度与角速度之间的关系：
v R
ppt课件.
21
线量与角量之间的关系
将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速 度之间的关系：
a R t
将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式， 得到法向加速度与角速度之间的关系：
ppt课件.
12
t
ppt课件.
13
ppt课件.
14
ppt课件.
15
例2: 以速度为0平抛一球，不计空气阻力，求t时刻 小球的切向加速度量值 a，法向加速度量值an和轨道 的曲率半径 。
解：由图可知
a
g sin
gy
a g
gt
02 g2t 2
g2t
2 0
g 2t 2
an θ
x= 0
θ
பைடு நூலகம்
a
aτ
dv dt
d2s dt 2
b
an
v2 R
(v 0
bt)2 R
a
aτ2 an2
(v0 bt)4 (bR)2 R
（2）令a = b ，即
τ
s
no
a (v 0 bt )4 (bR )2 b R
R
ppt课件.
27
线量与角量之间的关系
得
t v0 / b
（3）当a = b 时，t = v0/b ，由此可求得质点历经
(7.27 105 )2 6.73106 cos
1-3_曲线运动的描述_运动学中的两类问题
时刻的速度和加速度； 2. 已知质点的加速度以及初始条件, 可求
质点速度及其运动方程 .
r (t )
求导
积分
v(t )
求导
积分
a (t )
第1章 质点运动学
1–3 曲线运动的描述 运动学中的两类问题
17
例1.4 已知一质点的运动方程为r＝3ti－ 4t2 j，式中r 以m计，t以s计，求质点运动的轨道、速度、加速度. 解 将运动方程写成分量式 x = 3t ，y = -4t2 消去参变量t，得轨道方程： 4x2 ＋9y＝0，这是 顶点在原点的抛物线.见图1.15. 由速度定义得
2 d v v （ 3） dt R
第1章 质点运动学
（ 2）
v2 R
dv 2 v 2 2 （ 4） ( ) ( ) dt R
1–3 曲线运动的描述 运动学中的两类问题
10
2)角加速度 匀变角加速圆周运动公式 角加速度 切向加速度
at dv r dt
d dt
若 β = 常量，t = 0 时， ＝ 0， ＝ 0 ,可求
速率
(t )
y
B
v lim s r lim t0 t t0 t
r
o
A
x
v ds dt
角加速度
v(t ) r (t )
d dt
第1章 质点运动学
1–3 曲线运动的描述 运动学中的两类问题
8
讨论
对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种 是正确的： （A）切向加速度必不为零； （B）法向加速度必不为零（拐点处除外）；
第1章 质点运动学
1–3 曲线运动的描述 运动学中的两类问题
高三物理曲线运动知识点归纳总结
高三物理曲线运动知识点归纳总结曲线运动作为物理学中的一个重要概念，是指物体在运动过程中路径为曲线的运动形式。
在高三物理学习中，曲线运动是一个必须掌握的知识点。
下面将对高三物理曲线运动的相关知识点进行归纳总结。
一、曲线运动的分类曲线运动可以分为平面曲线运动和空间曲线运动两种类型。
1. 平面曲线运动：物体在同一平面内沿着曲线路径运动。
例如，弹体自由落体运动中的弹体以抛物线的形式运动。
2. 空间曲线运动：物体在三维空间中沿着曲线路径运动。
例如，行星围绕太阳旋转的轨道就是一个空间曲线运动。
二、曲线运动的基本概念了解曲线运动的基本概念对于理解具体问题具有重要意义。
1. 速度：曲线运动的速度分为瞬时速度和平均速度。
瞬时速度指物体在某一时刻的速度，平均速度指物体在一定时间内的速度。
2. 加速度：曲线运动的加速度也分为瞬时加速度和平均加速度。
瞬时加速度是物体在某一时刻的加速度，平均加速度是物体在一定时间内加速度的平均值。
3. 曲率和半径：曲线运动中曲线的弯曲程度可以通过曲率来描述，曲率越大表示曲线的弯曲程度越大。
半径是曲线运动中用于描述曲线形状的重要参数。
三、曲线运动的数学表达为了更好地描述曲线运动，我们可以利用数学方程来表达。
1. 一般曲线方程：对于平面曲线运动，可以利用一般曲线方程来描述物体的位置变化。
曲线方程一般由位置矢量的分量形式给出。
2. 极坐标方程：对于某些特殊的曲线运动，如圆周运动，我们可以使用极坐标方程进行描述。
极坐标方程由半径和角度的关系给出。
3. 参数方程：参数方程是曲线运动中常用的表达形式，通过参数来表示物体在不同时刻的位置坐标。
参数方程能够更好地描述曲线运动的细节。
四、曲线运动的相关性质与实际应用曲线运动具有很多重要的性质，同时也有广泛的实际应用。
1. 周期性与频率：曲线运动可能具有周期性或者频率。
周期性是指物体运动经过一定时间后回到原来的位置，频率是指单位时间内周期的个数。
2. 碰撞与轨道：曲线运动中经常会出现物体碰撞和运动轨道的问题。
平面曲线运动
1.3 平面曲线运动
1.3.1 速度
s s(t t) s(t) v lim r lim(rs)
t0 t t0 s t
(lim r)(lim s) (lim r) ds
t0 s t0 t
t0 s dt
lim r 1 s0 s
lim r τ s0 s
τ
v
s
•
P
O1
s
r
Q
L
r(t) r(t t)
2
1.96(m/s2 )
200
例 已知质点的运动方程为
x Acos t, y Asin t, z Bt
求 在自然坐标系中任意时刻的速度
解 设自然坐标的正方向与质点运动方向相同
ds
vx2
v
2 y
v z2dt
A 2 cos2 t A 2 sin 2 t B2dt
v
vτ
dsτ
求 汽车在 t = 1s 时的速度和加速度。
解 根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式，有
v ds 20 0.4t dt
aτ
dv dt
0.4
v(1) 19.6(m/s)
an
v2 R
(20 0.4t)2 R
a
aτ2 an2
0.42
(20
0.4t ) 2
2
R
a(1)
0.42
(20
0.4 1)2
dt t0 t t0 t
t0 s t
an
ds dt
dτ dt
v
1
vn
v2
n
a
an n
aτ
τ
v2
n
dv dt
1.3.1 速度
s s(t t) s(t) v lim r lim(rs)
t0 t t0 s t
(lim r)(lim s) (lim r) ds
t0 s t0 t
t0 s dt
lim r 1 s0 s
lim r τ s0 s
τ
v
s
•
P
O1
s
r
Q
L
r(t) r(t t)
2
1.96(m/s2 )
200
例 已知质点的运动方程为
x Acos t, y Asin t, z Bt
求 在自然坐标系中任意时刻的速度
解 设自然坐标的正方向与质点运动方向相同
ds
vx2
v
2 y
v z2dt
A 2 cos2 t A 2 sin 2 t B2dt
v
vτ
dsτ
求 汽车在 t = 1s 时的速度和加速度。
解 根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式，有
v ds 20 0.4t dt
aτ
dv dt
0.4
v(1) 19.6(m/s)
an
v2 R
(20 0.4t)2 R
a
aτ2 an2
0.42
(20
0.4t ) 2
2
R
a(1)
0.42
(20
0.4 1)2
dt t0 t t0 t
t0 s t
an
ds dt
dτ dt
v
1
vn
v2
n
a
an n
aτ
τ
v2
n
dv dt
大学物理课件--平面曲线运动--[福州大学...李培官]
![大学物理课件--平面曲线运动--[福州大学...李培官]](https://img.taocdn.com/s3/m/173daf12a76e58fafab003d4.png)
v0 g
2 v0 g 2t 2
10
【例2】已知质点在水平面内运动，运动方程为：
2 r 5ti (15t 5t ) j
2 解： r 5ti (15t 5t ) j
dr v 5i (15 10t ) j dt
求t=1s时的法向加速度、切向加速度和轨道曲率半径。 t=1s
et e t1 et 2
法向单位矢量
18
dv a et ven dt
切向加速度（速度大小变化引起） 2s d v d at r 2 dt dt
法向加速度（速度方向变化引起）
v2 et 2 v1 e t1 o
r
圆周运动加速度
dv dv d e et v t a dt dt dt
at dv r d r dt dt
切向加速度
v2 et 2 v1 e t1 o
r
切向单位矢量的 en dt dt t0 t
ds v et v e t r e t dt
质点作变速率圆周运动时
dv dv d e et v t a dt dt dt
at dv r d r dt dt
切向加速度
v2 et 2 v1 e t1 o
t 1s时 at 2.4(m s 2 ), an 14.4(m s 2 )
2 2
a at an 14.6(m s 2 ) an 1 3 3 3 at a 时 6t 3 , 得 : t , 2 4 ( 3 ) 3.15rad 2 at 6 6
什么是曲线运动
什么是曲线运动曲线运动是指物体在运动过程中所经过的轨迹呈曲线形状的运动。
与直线运动不同，曲线运动要考虑各种因素对运动轨迹的影响。
曲线运动是物理学中一个重要的概念，广泛应用于自然科学、工程技术等领域。
本文将介绍曲线运动的基本概念、种类、影响因素、应用及未来发展。
一、曲线运动的基本概念曲线运动是指物体在运动过程中所经过的轨迹呈曲线形状的运动。
曲线运动的轨迹可分为平面曲线和空间曲线两种。
平面曲线运动是指物体在平面内沿着曲线路径运动；而空间曲线运动则是指物体在三维空间中沿着曲线路径运动。
曲线运动还可分为匀速曲线运动和变速曲线运动两种。
匀速曲线运动是指物体在曲线路径上匀速运动，即物体在单位时间内运动的路程相等；而变速曲线运动则是指物体在曲线路径上速度不断变化的运动。
曲线运动的速度由切线方向的瞬时速度和法线方向的瞬时速度组成。
切线方向的瞬时速度是指物体在曲线路径上切线方向上的瞬时速度；而法线方向的瞬时速度则是指物体在曲线路径上法线方向上的瞬时速度。
二、曲线运动的种类曲线运动可分为两大类：一是平面曲线运动，包括圆周运动、椭圆运动、抛物线运动、双曲线运动等；二是空间曲线运动，包括螺旋线运动、球面运动、圆锥曲线运动等。
其中，圆周运动是指物体在一个定圆上绕圆心运动的运动。
例如，地球绕着太阳做圆周运动。
椭圆运动是指物体在一个椭圆曲线上运动。
例如，地球的公转轨道大致呈椭圆形。
抛物线运动是指物体沿着抛物线路径上的运动。
例如，投掷物体的轨迹大致呈抛物线形状。
双曲线运动是指物体沿着双曲线路径上的运动。
例如，两个质点间的引力运动的轨迹大致呈双曲线形状。
螺旋线运动是指物体同时在轴向和径向上做运动，呈螺旋状。
例如，飞机在升降时的轨迹呈螺旋线形状。
球面运动是指物体在一个球面上绕球心做运动。
例如，地球自转时的轨迹呈球面运动。
圆锥曲线运动是指物体在一个圆锥曲线上做运动。
例如，火箭升空时的轨迹大致呈圆锥曲线形状。
三、曲线运动的影响因素曲线运动的轨迹不仅与物体本身的质量、体积、形状等因素有关，还与运动速度、运动场景、外部力等因素密切相关。
大学物理课后答案第1章质点运动学习题解答
~
，解得
（2） ， ，
1-13质点M作平面曲线运动，自O点出发经图示轨迹运动到C点。图中，OA段为直线，AB、BC段分别为不同半径的两个1/4圆周。设 时，M在 点，已知运动方程为 (SI)，求 s时刻，质点M的切向加速度和法向加速度的大小。
解： 时 此时质点在大圆上
…
时
1-14一质点沿半径为 的圆周按 的规律运动，其中 和 都是常数。求：(1)质点在 时刻的加速度；(2) 为何值时，加速度在数值上等于 ；(3)当加速度大小为 时质点已沿圆周运行了几圈
解：
，
&
1-8一艘正在沿直线行驶的快艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即 ，式中 为正常数。试证明快艇在关闭发动机后又行驶 距离时的速度为 ，式中 是发动机关闭瞬时的速度。
解：
，
1-9一飞轮的转速在5s内由900rev/min均匀地减到800rev/min。求：(1)飞轮的角加速度；(2)在此5s内飞轮的总转数；(3)再经几秒飞轮将停止转动。
解： ，即
~
1-5一质点在 平面内运动，运动方程为 (SI)。(1)求质点运动的轨道方程并画出运动轨道；(2)计算1s末和2s末质点的瞬时速度和瞬时加速度；(3)在什么时刻质点的位置矢量与其速度矢量恰好垂直这时，它们的 、 分量各为多少(4)在什么时刻质点离原点最近算出这一距离。
解： ， ，
(1) ，
消t，得轨道方程： ，
其曲线为开口向下的抛物线，如右图。
（2） ，
，
(3) ，
*
解得： ，
时， ， ， ，
时， ， ， ，
以上物理量均为国际单位。
（4）
令 ，解得
1-6一物体沿 轴运动，其加速度和位置的关系满足 (SI)。物体在 处的速度为10 m/s，求物体的速度和位置的关系。
，解得
（2） ， ，
1-13质点M作平面曲线运动，自O点出发经图示轨迹运动到C点。图中，OA段为直线，AB、BC段分别为不同半径的两个1/4圆周。设 时，M在 点，已知运动方程为 (SI)，求 s时刻，质点M的切向加速度和法向加速度的大小。
解： 时 此时质点在大圆上
…
时
1-14一质点沿半径为 的圆周按 的规律运动，其中 和 都是常数。求：(1)质点在 时刻的加速度；(2) 为何值时，加速度在数值上等于 ；(3)当加速度大小为 时质点已沿圆周运行了几圈
解：
，
&
1-8一艘正在沿直线行驶的快艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即 ，式中 为正常数。试证明快艇在关闭发动机后又行驶 距离时的速度为 ，式中 是发动机关闭瞬时的速度。
解：
，
1-9一飞轮的转速在5s内由900rev/min均匀地减到800rev/min。求：(1)飞轮的角加速度；(2)在此5s内飞轮的总转数；(3)再经几秒飞轮将停止转动。
解： ，即
~
1-5一质点在 平面内运动，运动方程为 (SI)。(1)求质点运动的轨道方程并画出运动轨道；(2)计算1s末和2s末质点的瞬时速度和瞬时加速度；(3)在什么时刻质点的位置矢量与其速度矢量恰好垂直这时，它们的 、 分量各为多少(4)在什么时刻质点离原点最近算出这一距离。
解： ， ，
(1) ，
消t，得轨道方程： ，
其曲线为开口向下的抛物线，如右图。
（2） ，
，
(3) ，
*
解得： ，
时， ， ， ，
时， ， ， ，
以上物理量均为国际单位。
（4）
令 ，解得
1-6一物体沿 轴运动，其加速度和位置的关系满足 (SI)。物体在 处的速度为10 m/s，求物体的速度和位置的关系。
1.3 平面曲线运动
t 0 为质点轨道的切向单位矢
量，指向质点运动方向。
n0
n0
s
n0为质点轨道的法向单位矢 量，指向轨道凹侧。
*注意：坐标轴 随质点移动，且相互垂直。 因此，自然坐标系是一个流动坐标系。
t0 , n0
t0
O 原点
t0
v v2 v1 a lim lim t 0 t t 0 t v v l l v v r t r t 2 v dl v v a lim t 0 t r dt r 方向： v 的极限方向, 指向圆心.
§1-3 平面曲线运动
平面曲线运动: 质点的运动轨迹在同一个平面内 的运动。它可以分解成两个直线运动的叠加。 一. 匀变速直线运动
质点作匀变速直线运动, 其加速度
a axi ay j 初始条件 dv a dt
a
为恒矢量, 有
积分可得
分量式
v v0 a t vx v0 x axt , v y v0 y a y t
a r v
Z
v v sin 90
at r
方向沿切线方向
r Y
X O
an
R
a v
a mt
an v
方向沿法线方向
角量与线量的关系
标量式
v R
质点作匀变速率圆周运动， 速度的大小方向都在变化；法向 加速度的大小方向都在变化；切 向加速度大小不变，方向变化。
o
R
思考题
2. 判断下列说法的正、误：
a. 加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。 例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方向 改变。 b. 平均速率等于平均速度的大小。 依据 平均速率 平均速度的大小
质点运动学1
? (x2 ?
?
x
1
)i ? (
?
y2
?
y?1 )j
?
(z2 ??z1 )k
? r ? ? xi ? ? yj ? ? zk
位移矢量的大小
? Δr ? Δx 2 ? Δy2 ? Δz2
位移矢量的方向 cosα ? Δx?, cosβ ? Δy?, cosγ ? Δz?
Δr
Δr
Δr
说明
?? 1）? r 和 r 是两个不同的概念。
大学物理 （2-1）
第1章 质点运动学
质点运动学研究质点的 位置、位移、 速度 、加速度 等随 时间 变化的规律。
本章重点： 1.2 描述质点运动的基本物理量； 1.3 平面曲线运动。
1.1 运动学的一些基本概念
1.1.1 参考系(reference frame )和坐标系(coordinate)
?
d2 y d t2 ,
az
?
d vz dt
?
d2 z d t2
加速度的大小
?
a? a ?
a
2 x
?
a
2 y
?
a
2 z
加速度的方向
cos? ? ax , cos ? ? a y , cos ? ? az
a
a
a
?
?
?
例题1-1 已知质点的运动方程是 r ? ( R cos ? t )i ? ( R sin ? t ) j
dx ? d y ? dz ?
dx
dy
dz
v ? ? i ? j? k dt dt dt dt
vx ? d t ,vy ? d t ,vz ? d t
平面曲线运动
Δt0 Δt Δt0 Δt
dt
a
dv dt
R d
dt
R
an
v2 R
v
R 2
【例1-4】在Oxy坐标平面内，有一质点沿着圆心为O、半 径为R的圆周运动，其运动方程为θ＝5＋3t3。求：（1）角速 度ω、角加速度β、速率v、切向加速度大小aτ、法向加速度大 小an等对时间t的函数关系式；（2）当圆周半径为R′时，再次 求出上述几个物理量对时间t的函数关系式。
ω＝9t2 β＝18t v＝R′ω＝9R′t2 aτ＝R′β＝18R′t an＝R′ω2＝81R′t4
【例1-5】有一质点，沿半径R＝0.2m的圆周运动，其角量 运动方程为θ＝3＋2t3。求：（1）当t＝2s时，质点切向和法向 加速度的大小；（2）当θ角多大时，质点加速度与半径成45°？
【解】（1）因质点的运动方程为θ＝3＋2t3，根据式 （1–36）和式（1–38）可得：
3．角速度
角位移Δθ与对应时间Δt的比值称为质点在Δt时间内对O点
的平均角速度 ， 即
Δ
Δt
当Δt→0时，平均角速度的极限值称为质点在t时刻对O点 的瞬时角速度ω，简称角速度，即
lim Δ d
Δt0 Δt dt 在国际单位制中，角速度的单位为弧度每秒（rad/s）。
4．角加速度
设质点在t时刻的角速度为ω，t＋Δt时刻的角速度为ω′。则
d d（3 2t 3） 6t 2
dt dt
d 6t 2 12t
dt
当t＝2s时，根据线量和角量的关系可得切向和法向加速度 的大小为：
aτ＝Rβ＝12Rt＝12×0.2×2＝4.8（m/s2） an＝Rω2＝36Rt4＝36×0.2×24＝115.2（m/s2）
《平面曲线运动》课件
详细描述
在匀速圆周运动中，物体受到一个始终指向圆心的向心终指向圆心，所以物体的速度方向时刻变化，但速度大小保持不变。
变速圆周运动
总结词
与匀速圆周运动不同，变速圆周运动的 速度大小和方向都发生变化。在变速圆 周运动中，向心力和离心力共同作用， 使物体沿着圆弧做变速运动。
VS
详细描述
在变速圆周运动中，由于速度大小和方向 的变化，物体所受的向心力和离心力也在 不断变化。这些力的动态平衡使得物体能 够沿着圆弧做变速运动。变速圆周运动常 见于天体运动和车辆行驶等实际场景。
一般平面曲线运动
总结词
一般平面曲线运动是更为复杂的平面曲线运动形式，其轨迹可以是任意形状的平面曲线 。
详细描述
一般平面曲线运动的特点是速度方向不断变化，速度大小也可能发生变化。这种运动形 式通常出现在具有复杂外力的系统中，如流体动力学中的涡旋运动或弹性力学中的振动 等。在一般平面曲线运动中，物体的加速度和速度方向始终垂直于轨迹线所在的平面。
04
平面曲线运动的实例分析
地球的自转与公转
总结词
地球自转与公转是典型的平面曲线运动，它 们在空间中描绘出椭圆和圆的轨迹。
加速度
总结词
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，在平面曲线运动中，加速度的大小和 方向也在不断变化。
详细描述
加速度同样是矢量，由大小和方向两个要素组成。在平面曲线运动中，加速度的 大小表示物体速度变化的快慢，方向表示物体速度变化的方向。加速度的变化会 导致物体运动轨迹的变化。
角速度
总结词
角速度是描述物体绕固定点旋转快慢的物理量，在平面曲线 运动中，角速度的大小和方向也在不断变化。
详细描述
向心加速度是矢量，由大小和方向两个要素组成。在平面曲线运动中，向心加速度的大小表示物体向心方向加速 的快慢，方向始终指向圆心。向心加速度的变化会导致物体运动轨迹的变化。
在匀速圆周运动中，物体受到一个始终指向圆心的向心终指向圆心，所以物体的速度方向时刻变化，但速度大小保持不变。
变速圆周运动
总结词
与匀速圆周运动不同，变速圆周运动的 速度大小和方向都发生变化。在变速圆 周运动中，向心力和离心力共同作用， 使物体沿着圆弧做变速运动。
VS
详细描述
在变速圆周运动中，由于速度大小和方向 的变化，物体所受的向心力和离心力也在 不断变化。这些力的动态平衡使得物体能 够沿着圆弧做变速运动。变速圆周运动常 见于天体运动和车辆行驶等实际场景。
一般平面曲线运动
总结词
一般平面曲线运动是更为复杂的平面曲线运动形式，其轨迹可以是任意形状的平面曲线 。
详细描述
一般平面曲线运动的特点是速度方向不断变化，速度大小也可能发生变化。这种运动形 式通常出现在具有复杂外力的系统中，如流体动力学中的涡旋运动或弹性力学中的振动 等。在一般平面曲线运动中，物体的加速度和速度方向始终垂直于轨迹线所在的平面。
04
平面曲线运动的实例分析
地球的自转与公转
总结词
地球自转与公转是典型的平面曲线运动，它 们在空间中描绘出椭圆和圆的轨迹。
加速度
总结词
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，在平面曲线运动中，加速度的大小和 方向也在不断变化。
详细描述
加速度同样是矢量，由大小和方向两个要素组成。在平面曲线运动中，加速度的 大小表示物体速度变化的快慢，方向表示物体速度变化的方向。加速度的变化会 导致物体运动轨迹的变化。
角速度
总结词
角速度是描述物体绕固定点旋转快慢的物理量，在平面曲线 运动中，角速度的大小和方向也在不断变化。
详细描述
向心加速度是矢量，由大小和方向两个要素组成。在平面曲线运动中，向心加速度的大小表示物体向心方向加速 的快慢，方向始终指向圆心。向心加速度的变化会导致物体运动轨迹的变化。
第1章 质点力学(1-3)
1-1 运动的描述
一. 参照系和坐标系 参照系 为了描述一个物体的运动，必须选择另一个 物体作为参考，被选作参考的物体称为参照系。 Z 日心系
地面系
o 地心系 X
Y
因此，参照系的选择是任意的，不一定是静止的物体。 坐标系 为了定量地确定物体的运动，须在参照系上选
用 一个坐标系。
二、位置矢量
运动方程
ห้องสมุดไป่ตู้
Δ r r r
1
Δs
B Г
2
r Δ x 2 Δ y 2 Δ z 2
位移方向由A指向B. 路程 s :质点在t时间内运动的弧长.是标量.
r a ) r 为标量，r 与 都为矢量
b ) r r2 r1 r r2 r1 r r2 r1 r r
R地球 6.4 102 km, R太阳地球 1.5 108 km
;
但研究地球自转时就不能把地球视为质点了)
第一章
质点力学
本章基本内容
●位矢、位移、速度、加速度
●运动的叠加原理
●牛顿运动定律及动力学问题 ●功、动能、势能、动能定理及机械能守恒定律
●冲量、动量、动量定理及其守恒定律
减速转动
方向相反
由于在定轴转动中轴 的方位不变,故、只 有沿轴的正负两个方 向,可以用标量代替.
例4：一质点运动轨迹为抛物线
(SI) (SI)
求：x= 4m时（t>0)，粒子的速度、加速度。
解：
(SI) 4 t 2 t 2s (t 0) (SI)
vv 2 44i 24 jm / / s t t 2 i 24 j m s
1-(3)平面曲线运动
v v0 at
x x0 v0t
v2 v02 2a( x
1 at
2x0 )
…(1) 2…(2)
…(3)
利用积分法求质点作匀角加速圆周运动时，运动学量
之间的关系 t 0, 0; 0
0 t …(1)
0
0t
1t2
2
…(2)
2 02 2 ( 0 ) …(3)
解（3） an 2R (12t2 )2 R 144Rt4
at R (24t)R 24Rt
当at an时, 24Rt 144Rt4
解上式，得 t3 1 ， t 0.55s 6
15例–3 一8质点多沿普半勒径9效m的应圆周作匀变速运第动十，五3章秒内机械波
§ 1.3 平面曲线运动
教学基本要求
1）掌握切向加速度、法向加速度的推导与公 式，会计算质点在平面内运动时的速度和加速 度； 2）掌握匀变速圆周运动的有关角速度、角加 速度、切向加速度和法向加速度的计算。
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
自学：一、加速度为恒矢量时质点的运动方程 已知一质点a作 平 面ax运i动,a其y 加j 速度a 为恒矢量, 有
t
2 1
1
2
T+t
O
含义：反映一段时间内角速度变化快慢。 t
15 –
b)
瞬8时角多加普速度勒（效应 ）
第十五章 机械波
定义： 单位： 方向：
lim d
t0 t dt
rad / s2
的极限方向
d
1
2
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