余弦定理讲义解析

余弦定理(一)

1．余弦定理

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .

2．余弦定理的推论

cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

.

3．在△ABC 中：

(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°；

(2)若c 2＝a 2＋b 2

－ab ，则C ＝60°； (3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°.

一、选择题

1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3 C. 5 D ．5 答案 A

2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12 答案 B

解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角， 由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

＝

72＋(43)2－(13)2

2×7×43

＝

32.∴C ＝π

6

. 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 答案 C

解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 2

2a

＝a ＝2.

4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.23 答案 B

解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，

∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝3

4

.

5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b

2c

(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形

状为( )

A ．正三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰三角形 答案 B

解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b

2c

，

∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a

22bc

⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．

故△ABC 为直角三角形．

6．在△ABC 中，已知面积S ＝1

4

(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )

A ．135°

B ．45°

C ．60°

D ．120° 答案 B

解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝1

2ab sin C ，

∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C . 由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ，

∴C ＝45° .

二、填空题

7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________. 答案 120°

8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30° 解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×cos 60° ＝12 ∴c ＝2 3.

由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12.

∵a

9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________．

答案 120° 解析 易知：

a 2＋a

b ＋b 2>a ，

a 2＋a

b ＋b 2>b ，设最大角为θ，

则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－1

2

，

∴θ＝120°.

10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π

3

，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.

答案 －2 3

解析 S △ABC ＝1

2ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，

∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝12

13，

∴tan C ＝－12＝－2 3.

三、解答题

11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．

解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝2

3

，设中线长为x ，由余弦定理知：

x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92

－2×4×9×23

＝49 ⇒x ＝7.

所以，所求中线长为7.

12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∠C ＝120°.

(1)求AB 的长；

(2)求△ABC 的面积．

解 (1)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＋

b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，

∴AB ＝10.

(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝3

2

.

能力提升 13．(2010·潍坊一模)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．

答案 3

解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC

＝2

2，

∴sin C ＝2

2

.

∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3.

14．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状． 解 由余弦定理知

cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2

2ac ，

cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab ，

代入已知条件得

a ·

b 2＋

c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·c 2－a 2－b 22ab

＝0，

通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.

∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．