余弦定理讲义解析
正弦定理、余弦定理讲义
此为三角函数最为基础的知识，在以后的多学科学习中都能用到，需要学生熟练掌握，并灵活运用。
解三角形【考点及要求】 1. 掌握正弦定理、余弦定理； 2. 并能初步应用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题． 【基础知识】在C B A c b a ABC ∠∠∠∆、、分别是、、中，所对的边，ABC R ∆为的外接圆半径,则有，1.正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin =∠=∠=∠； 2.余弦定理：bca cb A 2cos 222-+=A bc c b a cos 2222-+=⇔ ac b c aB 2cos 222-+=B ac c a b cos 2222-+=⇔ abc b a C 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔ 3.常用公式：（1）π=++C B A ；（2）B ac A bc C ab S sin 21cos 21sin 21===知识点一：解直角三角形【典型例题讲练】例1 在ΔABC 中，已知a=3，b=2，B=45°，求A,C 及边c ．【变式训练】 1.在△ABC 中，已知a=3,b=2,B=45°,求A 、C 和c.知识点二：正、余弦定理的运用【典例精析】 例1、（2010辽宁文数）在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ∆的形状.例2、（2010重庆文数）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32c -32a =42bc . (Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C Aππ+++-的值.例3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且CB cos cos =-ca b +2.（1）求角B 的大小； （2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积.例4、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin22BA+-cos2C=27.(1)求角C的大小；(2)求△ABC的面积.【变式训练】1.（2010天津文数）在∆ABC中，coscosAC B AB C=。
6.4.3第1课时余弦定理讲义
6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理(教师独具内容)课程标准：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理． 教学重点：用向量的方法推导余弦定理，用余弦定理求解三角形的边、角． 教学难点：余弦定理在解三角形中的应用．核心素养：1.通过余弦定理的推导过程培养逻辑推理素养.2.通过余弦定理的应用培养数学运算素养.1．对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化． 2．判定三角形的形状(1)有关三角形边角关系解三角形问题，就是从“统一”入手，体现转化思想．判断三角形的形状有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式． ②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式． (2)判定三角形形状时经常用到下列结论：①在△ABC 中，若a 2<b 2＋c 2，则0°<A <90°；反之，若0°<A <90°，则a 2<b2＋c 2.例如：在不等边△ABC 中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，可得角A 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. ②在△ABC 中，若a 2＝b 2＋c 2，则A ＝90°；反之，若A ＝90°，则a 2＝b 2＋c 2. ③在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则90°<A <180°；反之，若90°<A <180°，则a 2>b 2＋c 2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．( )(2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．( )(3)已知△ABC中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．( )2．做一做(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝7，c ＝3，则B＝____.(2)已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是____三角形．(3)在△ABC中，若a2＋b2－c2＝ab，则角C的大小为____.(4)在△ABC中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则AC等于____.题型一已知两边及一角解三角形例1 在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．[跟踪训练1] (1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是( )A．8 B．217C．6 2 D．219(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，C和边a.题型二已知三边(三边关系)解三角形例2 (1)在△ABC中，若a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为( )A.π3B．π6C．π4D．π12(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．题型三判断三角形的形状例3 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，试确定△ABC的形状．[跟踪训练3] 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．1．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )A.14B．34C．24D．232．在△ABC中，已知a＝2，则b cos C＋c cos B等于( )A．1 B． 2C．2 D．43．在△ABC中，若a＝3＋1，b＝3－1，c＝10，则△ABC的最大角的度数为____.4．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b＝2，c＝1＋3，且a2＝b2＋c2－2bc sin A，则边a＝____.5．在△ABC中，b＝a sin C，c＝a cos B，试判断△ABC的形状．一、选择题1．在△ABC中，已知a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于( )A．2 5 B． 5C．25或 5 D．以上都不对2．在△ABC中，sin2A2＝c－b2c(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为( )A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2，则角C为( )A.π4B．3π4C．π3D．2π34．(多选)钝角三角形的三边分别为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的值可能为( )A．1 B．3 2C．2 D．35．已知△ABC的三边长分别是x2＋x＋1，x2－1和2x＋1(x>1)，则△ABC的最大角为( )A．150° B．120°C．60° D．75°二、填空题6．若|AB→|＝2，|AC→|＝3，AB→·AC→＝－3，则△ABC的周长为____.7．在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB＝3，BC＝2，AC＝7，则sin∠ABD ＝____.8.如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝33，BD＝5，sin∠ABC＝235，则CD的长度等于____.三、解答题9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－34 ac.(1)求cos B的值；(2)若b＝13，且a＋c＝2b，求ac的值．1．在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－1 2 .(1)求b，c的值；(2)求sin(B＋C)的值．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－3)bc，sin A sin B＝cos2C2，BC边上的中线AM的长为7.(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的周长．6.4.3 余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理(教师独具内容)课程标准：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理．教学重点：用向量的方法推导余弦定理，用余弦定理求解三角形的边、角．教学难点：余弦定理在解三角形中的应用．核心素养：1.通过余弦定理的推导过程培养逻辑推理素养.2.通过余弦定理的应用培养数学运算素养.1．对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化． 2．判定三角形的形状(1)有关三角形边角关系解三角形问题，就是从“统一”入手，体现转化思想．判断三角形的形状有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式． ②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式． (2)判定三角形形状时经常用到下列结论：①在△ABC 中，若a 2<b 2＋c 2，则0°<A <90°；反之，若0°<A <90°，则a 2<b 2＋c 2.例如：在不等边△ABC 中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，可得角A 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. ②在△ABC 中，若a 2＝b 2＋c 2，则A ＝90°；反之，若A ＝90°，则a 2＝b 2＋c 2. ③在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则90°<A <180°；反之，若90°<A <180°，则a 2>b 2＋c 2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．( ) (2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．( ) (3)已知△ABC 中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝____.(2)已知△ABC 的三边分别为2,3,4，则此三角形是____三角形． (3)在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＝ab ，则角C 的大小为____. (4)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，B ＝60°，则AC 等于____. 答案 (1)5π6 (2)钝角 (3)π3(4)13题型一已知两边及一角解三角形例1 在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．[解]由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos45°＝8，∴b＝22，又cos A＝b2＋c2－a22bc＝8＋6＋22－2322×22×6＋2＝12，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.已知两边及一角解三角形的两种情况(1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解其他角．(2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长．[跟踪训练1] (1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是( )A．8 B．217C．6 2 D．219(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，C和边a.答案(1)D (2)见解析解析(1)根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝16＋36－2×4×6×cos120°＝76，∴c＝219.(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.当a＝6时，由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝9＋27－362×3×33＝0.∴A＝90°，∴C＝60°.题型二已知三边(三边关系)解三角形例2 (1)在△ABC中，若a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为( )A.π3B．π6C．π4D．π12(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．[解析](1)因为c<b<a，所以最小角为角C.所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝49＋48－13 2×7×43＝32，所以C＝π6，故选B.(2)已知a－b＝4，则a>b，且a＝b＋4，又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，则b>c，从而a>b>c，所以a为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a －8.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.又b＝a－4>0，所以a＝14.即此三角形的最大边长为14.[答案](1)B (2)见解析[条件探究] 若本例(1)中条件不变，如何求最大角的余弦值呢？解因为c<b<a，所以最大角为角A，所以由余弦定理可得cos A＝b2＋c2－a22bc＝432＋132－72 2×43×13＝48＋13－49839＝3926.故△ABC 的最大角的余弦值为3926.已知三边求解三角形的方法(1)已知三角形的三边求角时，可先利用余弦定理求解出各角的大小． (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解．在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角．[跟踪训练2] (1)在△ABC 中，(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为____.(2)在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长． 答案 (1)120° (2)见解析解析 (1)由(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，得a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，∴边a 最大．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝120°.(2)解法一：由余弦定理的推论，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2×AC 2×AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，则x ＝7.∴所求中线长为7.解法二：在△ABC 中，设AC 边上的中线长为x ，如图，以AB ，BC 为邻边作▱ABCD .由余弦定理可得，在△ABC 中，有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos∠ABC ，① 在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ×AD ×cos∠BAD ，② ①＋②可得(2x )2＋AC 2＝2(AB 2＋BC 2)， 即(2x )2＋82＝2×(92＋72)，∴x ＝7， ∴所求中线长为7.题型三判断三角形的形状例3 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，试确定△ABC的形状．[解]由2cos A sin B＝sin C，得2cos A sin B＝sin A cos B＋cos A sin B，∴sin(A－B)＝0，又A与B均为△ABC的内角，∴A＝B.由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，∴由余弦定理，得cos C＝12，C＝60°，∴△ABC为等边三角形．利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理(有时还要结合三角恒等变换等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．[跟踪训练3] 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，∵B＝60°，b＝a＋c2，∴⎝⎛⎭⎪⎫a＋c22＝a2＋c2－2ac cos60°.∴(a－c)2＝0，a＝c，又B＝60°，∴△ABC为等边三角形．1．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )A.14B．34C．24D．23答案 B解析∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝2a，∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a2 2a·2a ＝3 4.2．在△ABC中，已知a＝2，则b cos C＋c cos B等于( ) A．1 B． 2C．2 D．4答案 C解析b cos C＋c cos B＝b·a2＋b2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝2a22a＝a＝2.3．在△ABC中，若a＝3＋1，b＝3－1，c＝10，则△ABC的最大角的度数为____.答案120°解析由c>a>b，知角C为最大角，则cos C＝a2＋b2－c22ab＝－12，∴C＝120°，即此三角形的最大角为120°.4．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b＝2，c＝1＋3，且a2＝b2＋c2－2bc sin A，则边a＝____.答案 2解析由已知及余弦定理，得sin A＝b2＋c2－a22bc＝cos A，∴A＝45°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos45°＝4，a＝2.5．在△ABC中，b＝a sin C，c＝a cos B，试判断△ABC的形状．解由余弦定理知cos B＝a2＋c2－b22ac，代入c＝a cos B，得c＝a·a2＋c2－b22ac，∴c2＋b2＝a2，∴△ABC是以A为直角的直角三角形．又b＝a sin C，∴b＝a·ca，∴b＝c，∴△ABC也是等腰三角形．综上所述，△ABC是等腰直角三角形．一、选择题1．在△ABC中，已知a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于( ) A．2 5 B． 5C．25或 5 D．以上都不对答案 C解析∵a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴5＝15＋c2－215×c×32.化简，得c2－35c＋10＝0，即(c－25)(c－5)＝0，∴c＝25或c＝ 5.2．在△ABC中，sin2A2＝c－b2c(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为( )A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形答案 B解析∵sin2A2＝1－cos A2＝c－b2c，∴cos A＝bc＝b2＋c2－a22bc⇒a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC为直角三角形．3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2，则角C为( )A.π4B．3π4C．π3D．2π3答案 B解析∵a2＋b2＋2ab＝c2，∴a2＋b2－c2＝－2ab，cos C＝a2＋b2－c22ab＝－2ab 2ab ＝－22，∵C∈(0，π)，∴C＝3π4.4．(多选)钝角三角形的三边分别为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的值可能为( )A．1 B．3 2C．2 D．3答案BC解析设钝角三角形的最大角为α，则依题意90°<α≤120°，于是由余弦定理得cosα＝a2＋a＋12－a＋222a a＋1＝a－32a，所以－12≤a－32a<0，解得32≤a<3.故选BC.5．已知△ABC的三边长分别是x2＋x＋1，x2－1和2x＋1(x>1)，则△ABC的最大角为( )A．150° B．120°C．60° D．75°答案 B解析令x＝2，得x2＋x＋1＝7，x2－1＝3,2x＋1＝5，∴最大边x2＋x＋1应对最大角，设最大角为α，∴cosα＝x2－12＋2x＋12－x2＋x＋12 2x2－12x＋1＝－12，∴最大角为120°.二、填空题6．若|AB→|＝2，|AC→|＝3，AB→·AC→＝－3，则△ABC的周长为____. 答案5＋19解析 由AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A 及条件，可得cos A ＝－12，∴A ＝120°，再由余弦定理求得BC 2＝19，∴周长为5＋19.7．在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝3，BC ＝2，AC ＝7，则sin ∠ABD ＝____.答案12解析 因为BD 为∠ABC 的平分线，所以∠ABD ＝12∠ABC .由余弦定理，得cos∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22×AB ×BC ＝32＋22－722×3×2＝12.又cos ∠ABC ＝1－2sin 2∠ABD ＝12，所以sin ∠ABD ＝12.8.如图，在△ABC 中，点D 在AC 上，AB ⊥BD ，BC ＝33，BD ＝5，sin ∠ABC ＝235，则CD 的长度等于____.答案 4解析 由题意，知sin ∠ABC ＝235＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠CBD ＝cos ∠CBD ，由余弦定理可得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos∠CBD ＝27＋25－2×33×5×235＝16.∴CD ＝4.三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b . 解 在△ABC 中，因为A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， 所以B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19.所以b＝19.10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－34 ac.(1)求cos B的值；(2)若b＝13，且a＋c＝2b，求ac的值．解(1)由(a－c)2＝b2－34 ac，可得a2＋c2－b2＝54 ac.所以a2＋c2－b22ac＝58，即cos B＝58.(2)因为b＝13，cos B＝5 8，由余弦定理，得b2＝13＝a2＋c2－54ac＝(a＋c)2－134ac，又a＋c＝2b＝213，所以13＝52－134ac，解得ac＝12.1．在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－1 2 .(1)求b，c的值；(2)求sin(B＋C)的值．解(1)由已知及余弦定理，得cos B＝c2＋a2－b22ca＝9＋c＋b c－b6c＝9－2c＋b6c＝－12，即9－2b＋c＝0，又b－c＝2，所以b＝7，c＝5.(2)由(1)及余弦定理，cos C＝a2＋b2－c22ab＝32＋72－522×3×7＝1114，又sin2C＋cos2C＝1,0＜C＜π，所以sin C＝5314，同理sin B＝32，所以sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝32×1114＋5314×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3314. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的周长．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ， 得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0<A <π，所以A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C2，得12sin B ＝1＋cos C2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角．所以B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ， 化简得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1，解得C ＝2π3，所以B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，在△ACM 中，由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ·a 2·cos C＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，所以a ＝2.在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋22－2×2×2×cos 2π3＝12， 所以c ＝2 3.所以△ABC 的周长为4＋2 3.。
第二讲 余弦定理经典讲义
第二讲余弦定理一、自主梳理1．余弦定理(1)语言叙述：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦求积的两倍．(2)公式表达：(3)推论：证明：2．余弦定理及其推论的应用：可以解决两类解三角形问题：一是已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解；二是已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解．3.正弦定理及其推论的应用：可以解决两类解三角形问题：一是：二是：4、利用余弦定理判定三角形的形状∆AB的角A、B、C的对边，则：设a、b、c是C①若222C= ；+=，则90a b c②若222C< ；+>，则90a b c③若222C> ．+<，则90a b c5、余弦定理与面积公式6、何时用余弦定理二、 预习检测1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c 的值是( ) A ．8 B ．217 C ．6 2 D ．219 2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝120°，则sin A 的值为( )A.5719 B.217C.338 D ．－57193．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________．4．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．三、 题型精讲题型一 已知两边与一角解三角形1.(2012·陕西卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________.2、在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A ，角C 和边a .3、(2012·重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________.4．(2012·湖南卷)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332 C.3＋62 D.3＋3945、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝120°，a ＝7，b ＋c ＝8，求b ，c .6．(2013·吉林省长春三校高三年级调研测试)△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，且AB →·AC →＝AC →2，则BC ＝________.题型二 已知三边解三角形1、在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，c ＝3＋3，解此三角形．2、在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．3、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，则角A 的大小为________．4、(2012·湖南卷)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394练习：1．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，c ＝2，则角B 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°2．在△ABC 中，c 2－a 2－b 2＝3ab ，则角C 为( ) A ．60° B ．45°或135° C ．150° D ．30°3．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π124．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°5．(2013·保定市第一学期高三期末调研考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝3，则a 2＋b 2＋c 2＝( ) A.32 B ．3 C ．6 D ．96．(2013·课标全国Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．57．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →等于( ) A ．19 B ．－14 C ．－18 D ．－19题型三 判断三角形形状1.在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试确定△ABC 的形状．2、(2012·上海卷)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定3、(2013·陕西五校高三第三次模拟)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．(2013·湛江市普通高考测试题(二))若三条线段的长分别为3、5、7，则用这三条线段( )A ．能组成直角三角形B ．能组成锐角三角形C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形5．(2013·乐山一中阶段考试)在△ABC 中，若a 2b 2＝a 2＋c 2－b2b 2＋c 2－a2，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则此三角形一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＝2b cos C ，试判断△ABC 的形状．8、在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．题型四取值范围1. 设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．2、在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，c＝t，且C是最大角，则t的取值范围是________．3、已知锐角三角形的边长分别为1,3，x，则x的取值范围是多少？4．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2<b2＋c2，则角A的取值范围是________．四、 课后练习1．在△ABC 中，符合余弦定理的是( ) A ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C B ．c 2＝a 2－b 2－2bc cos A C ．b 2＝a 2－c 2－2bc cos A D ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22ab2．在△ABC 中，若a ＝10，b ＝24，c ＝26，则最大角的余弦值是( ) A.1213 B.513C ．0 D.233．已知△ABC 的三边分别为2,3,4，则此三角形是( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定4．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则角A 为( ) A.π3 B.π6 C.2π3 D.π3或2π35．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.236．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________.7．已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是________．8．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则B 的大小是________．9．已知在△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，求角C .10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边长，若(a ＋b ＋c )(sin A ＋sin B －sin C )＝3a sin B ，求C 的大小．11．在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，试判断△ABC 的形状．。
余弦定理公式的含义及其证明
余弦定理公式的含义及其证明余弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要公式。
它描述了三角形的一个边的平方和另外两边平方的差，与这两边之间的夹角余弦函数的乘积的关系。
余弦定理的数学表达式为：c² = a² + b² - 2abcosC其中，a、b、c分别表示三角形的三边，C表示夹角C的大小。
证明余弦定理可以使用向量法和三角法两种方法。
1.向量法证明：假设三角形ABC中，向量AB的模为a，向量AC的模为b，向量BC的模为c。
向量AB与向量AC之间的夹角为夹角C，设其大小为θ。
根据向量的加法和平方模长定义，可以得到：a² = AB² = AA² + BB² - 2(AA)(BB)cosθb² = AC² = AA² + CC² - 2(AA)(CC)cosθc² = BC² = BB² + CC² - 2(BB)(CC)cosθ将以上三个等式相加，得到：a² + b² + c² = 2(AA² + BB² + CC²) - 2(AA)(BB)cosθ -2(AA)(CC)cosθ - 2(BB)(CC)cosθ化简可得：2(AA² + BB² + CC²) = a² + b² + c² + 2(AA)(BB)cosθ +2(AA)(CC)cosθ + 2(BB)(CC)cosθ设向量AA、BB、CC的模长分别为x、y、z，则上式变成：2(x² + y² + z²) = a² + b² + c² + 2xycosθ + 2xzcosθ +2yzcosθ由于AA=BB=CC=x+y+z（向量AA、BB、CC的模长相等），进一步化简得到：2(x² + y² + z²) = a² + b² + c² + 2(xy + xz + yz)cosθ所以，余弦定理成立。
14、微专题：余弦定理及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册
【学生版】微专题：余弦定理及其应用余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+-；余弦定理的变形：222cos 2b c a A bc +-=；222cos 2c a b B ca +-=；222cos 2a b c C ab+-=； 【典例】题型1、已知两边及夹角解三角形．例1、在△ABC 中，已知a ＝22，b ＝23，C ＝15°，解此三角形。
【提示】； 【解析】方法1、方法2、【说明】通过本题说明：已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理（已知两边和一边的对角）求解；若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题（在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的），故用余弦定理求解较好； 题型2、已知两边及一边对角解三角形．例2、在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求A 、C 和a 。
【提示】； 【解析】方法1、；方法2、；【说明】通过本题说明：已知两边及其中一边的对角解三角形：可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边（注意边的取舍），再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角（注意角的取舍），再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边； 题型3、已知三边解三角形例3、在△ABC 中，已知a ＝26，b ＝6＋23，c ＝43，求A ，B ，C .题型4、判断三角形形状例4、（1）在△ABC中，若(a－c cos B)sin B＝(b－c cos A)sin A，判断△ABC的形状；（2）在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，判断△ABC的形状；（3）在△ABC中，若g sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，判断△ABC的形状；【归纳】1、记牢【1】个定理文字语言三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a2＝b2＋c2－2bc cos A b2＝c2＋a2－2ca cos B c2＝a2＋b2－2ab cos C2、掌握【2】种结论（1）在△ABC中，cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab；（2）设c是△ABC中最大的边（或C是△ABC中最大的角），则a2＋b2<c2⇔△ABC是钝角三角形，且角C为钝角；a2＋b2＝c2⇔△ABC是直角三角形，且角C为直角；a2＋b2>c2⇔△ABC是锐角三角形，且角C为锐角；3、关注【3】个应用（1）已知三角形的两边与一角，解三角形．（2）已知三边解三角形．（3）利用余弦定理判断三角形的形状．4、注意二个易错点（1）正弦定理和余弦定理的选择：已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单；（2）利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件；【即时练习】1、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D ．32、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，cos(A ＋B )＝13，则c 等于( )A ．4B ．15C ．3D ．173、已知在△ABC 中，a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.4、在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为5、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝6、若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为7、△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若B ＝60°，c ＝2，b ＝23，则a ＝________.8、已知,,a b c 是ABC ∆三边长，若满足()()a b c a b c ab +-++=，则C ∠=9、已知在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 各角的度数．10、已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求△ABC 的最大角和sinC ；【教师版】微专题：余弦定理及其应用余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+-；余弦定理的变形：222cos 2b c a A bc +-=；222cos 2c a b B ca +-=；222cos 2a b c C ab+-=； 【典例】题型1、已知两边及夹角解三角形．例1、在△ABC 中，已知a ＝22，b ＝23，C ＝15°，解此三角形。
第31讲 正弦定理、余弦定理(解析版)
第31讲 正弦定理、余弦定理【基础知识回顾】 1、正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．2a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3、三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)；(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1、 在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，C ＝120°，则AC 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】：A【解析】设在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则a ＝3，c ＝13，C ＝120°，由余弦定理得13＝9＋b 2＋3b ，解得b ＝1或b ＝－4(舍去)，即AC ＝1. 2、 已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( )A ．2 5 B.5 C ．25或 5 D ．均不正确【答案】：C【解析】∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin 30°＝32.∵b >a ，∴B ＝60°或120°.若B ＝60°，则C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，则C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.3、 在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( ) A.32B.3 C ．2 3 D ．2【答案】：B【解析】因为S ＝12AB ·AC sin A ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝3.所以BC ＝ 3.4、已知ABC 中，a =6b =,6A π=，角B 等于（ ）A ．3πB ．4πC ．3π或23πD ．6π或56π【答案】C【解析】由正弦定理得sin sin a b A B =，即61sin 2B =，得sin 2B =， b a >,即B A >,且0A B π<+<，∴3B π=或23π，均满足题意. 故选：C.5、在ABC 中，若60A =︒，1b =，ABC的面积S =sin aA=（ ） A．3B．3C．3D．【答案】A【解析】由三角形的面积公式可得：1sin 424S bc A c ===⇒=由余弦定理可得：21116214132a a =+-⨯⨯⨯=⇒=所以sin a A ==故选：A6、在ABC 中，角,A B C ､所对的边分别为,,a b c，若)cos cos c A a C -=，则cos A =（ ）ABCD【答案】A【解析】依题由正弦定理得：sin )cos sin cos B C A A C -⋅=⋅，cos sin()sin B A A C B ⋅=+=，0π,0,cos B sinB A <∴=. 故选：A.7、在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，120C =︒，若(1cos )(1cos )b A a B -=-，则A =（ ） A ．90︒ B ．60︒C ．45︒D ．30【答案】D【解析】结合余弦定理得222222(1)(1)22b c a a c b b a bc ac+-+--=- 即22222222bc b c a ac a c b --+=--+ 即22()a b c a b -=-，即()()0a b c a b +--= 因为三角形中，两边之和大于第三边，所以0a b -=即a b =，ABC 是等腰三角形，结合120C =︒，得到30A =︒． 故选：D ．考向一 运用正余弦定理解三角形例1、（2021·全国高三专题练习（理））在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知，，成等差数列.（1）求角B 的大小； （2）若，求的值. 【解析】（1），，成等差数列，，由正弦定理，，中，，，，又，，，. （2），，，. 变式1、（1）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c若()cos()cos sin a B C A C a -=-，则A =_______. 【答案】3π【解析】由()cos()cos sin a B C A C a -=-得cos()cos sin cos a B C a A C A -+=，则cos()cos()sin cos a B C a B C C A --+=， 则()cos cos sin sin cos cos sin sin23sin cos a B C B C B C B C b C A +--=⎡⎤⎣⎦即2sin sin sin cos a B C C A =，由正弦定理可得：2sin sin sin sin cos A B C B C A =， 又角A ，B ，C 为三角形内角，所以()0A B C π∈,,,，ABC cos a C cos b B cos c A 4cos 5A =sin C cos ,a C ∴cos b B cos c A 2cos cos cos b B a C c A ∴=+2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+ABC A B C π++=sin()sin()sin A C B B π∴+=-=2sin cos sin B B B ∴=(0,)B π∈sin 0B ∴>1cos 2B ∴=3B π∴=(0,)A π∈sin 0A ∴>3sin 5A ∴==sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A ∴=+=+314525=⨯+=则sin A A =，即tan A =3A π=.故答案为：3π. （2）在ABC 中，6A π=，AB =4AC =，则BC 边上的高的长度为________.【解析】在ABC 中，6A π=，AB =4AC =，所以11422ABC S =⨯=△由余弦定理可得：BC == 所以BC7=故答案为：7.变式2、（2021·天津高三期末）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--．（1）求cos A 的值； （2）求()sin 2B A +的值．【解析】（1）由sin 4sin a A b B =以及正弦定理可得224a b =，得2a b =，由222)ac a b c =--得222b c a +-==，所以22223b c a bc +-=-，所以cos 3A =-. （2）由cos A =得sin A ==， 由sin 4sin a A b B =得sin sin sin 42a A A B b ===， 又A 为钝角，所以B为锐角，所以cos 6B ===，所以sin 22sin cos 2B B B ===22cos 22cos 1216B B ⎛⎫=-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭23=，所以()sin 2B A +sin 2cos cos2sin B A B A =+23⎛=+= ⎝⎭. 方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．考向二 利用正、余弦定理判定三角形形状例2、（2020·河北张家口市·高三月考）（多选题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ．下面四个结论正确的是（ ）A ．2a =，30A =︒，则ABC 的外接圆半径是4B ．若cos sin a bA B=，则45A =︒ C ．若222a b c +<，则ABC 一定是钝角三角形 D ．若A B <，则cos cos A B < 【答案】BC【解析】由正弦定理知42sin aR A==，所以外接圆半径是2，故A 错误； 由正弦定理及cos sin a b A B =可得，sin sin 1cos sin A BA B==，即tan 1A =，由0A π<<，知45A =︒，故B 正确；因为222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角，ABC 一定是钝角三角形，故C 正确；若,64A B ππ==，显然cos cos A B >，故D 错误.故选：BC变式、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形【答案】 (1)B (2)C【解析】(1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ，得sin(B ＋C )＝sin A sin A .又sin(B ＋C )＝sin A ，得sin A ＝1， 即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A＝π2，因此△ABC 是直角三角形． (2)因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac ，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．方法总结： 判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想． 考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积考向三 运用正余弦定理解决三角形的面积例3、（1）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________．【答案】4【解析】已知等式2sin sin B A sinC =+，利用正弦定理化简得：2b a c =+，3cos ,5B =∴可得4sin 5B ==，114sin 6225ABC S ac B ac ∆∴==⨯=，可解得15ac =，∴余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=23421515b ⎛⎫-⨯⨯+ ⎪⎝⎭，∴可解得4b =，故答案为4.（2）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3b =，222sin sin 3sin A B C -=，1cos 3A =-，则ABC ∆的面积是______．【解析】3b =，222sin sin 3sin A B C -=，∴由正弦定理可得2222339a c b c =+=+，又1cos 3A =-， ∴由余弦定理可得22222cos 92a b c bc A c c =+-=++，223992c c c ∴+=++，解得1c =，又sin A ，11sin 3122ABC S bc A ∆∴==⨯⨯． （3）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC 、BD 是其两条对角线，4BD =，且∴ACD 为正三角形，则∴ABC 面积的最大值为___________，四边形ABCD 的面积为________________.（注：圆内接凸四边形对角互补）【解析】如图所示，设∴ACD 的边长为a ，则根据托勒密定理可得：4a a AB a BC =⋅+⋅，得4AB BC +=，根据基本不等式得()244AB BC AB BC +⋅≤=，当且仅当2AC BC ==时等号成立.又∴ACD 为等边三角形，则3ADC π∠=，根据圆内接凸四边形对角互补得23ABC π∠=.所以∴ABC 的面积121sin 4232S AC BC π=⋅⋅≤⨯=; 又因为3ABD ACD π∠=∠=，3CBD CAD π∠=∠=，所以11sin sin 22ABCD ABD BCD S S S AB AD ABD BC BD CBD ∆=+=⋅⋅⋅∠+⋅⋅∠ ()1sin 23BD AB BC π=⋅⋅+=变式1、（2021·湖南岳阳市·高三一模）ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin sin 2sin cos A C B C +=．（1）求B 的大小；（2）若3a =，且AC ABC 的面积．【解析】（1）因为2sin sin 2sin cos A C B C +=，所以()2sin sin 2sin cos B C C B C ++=，可得：2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C C B C ++=， 所以2cos sin sin 0B C C +=， 因为sin 0C ≠，所以2cos 10B +=，可得1cos 2B =-， 因为()0,B π∈， 所以23B π=； （2）由23B π=，可得222239b a c ac c c =++=++，① 在ABC 中，取AC 的中点D ，连接BD ， 因为3a =，2BD =， 所以在CBD 中，222219944cos 2b BC CD BD C BC CD ab +-+-==⋅， 在ABC 中，222229cos 22BC AC AB b c C BC AC ab+-+-==⋅， 所以2221992944b b c ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，② 把①代入②，化简可得23100c c --=，解得5c =，或2c =-（舍去）， 所以5c =，所以ABC的面积112sin 35sin 223S ac B π==⨯⨯⨯=变式2、（2021·辽宁实验中学高三模拟）如图，已知四边形ABCD 中，90,30,2,.BAC ABC AC AD CD ∠∠===⊥（1）求BD 长度的最大值；（2）若ABC 面积是ACD △面积的6倍，求tan ACD ∠.【解析】（1）D 点轨迹为以AC 为直径的半圆，圆心为AC 中点E ，所以BD 最大值为BE 加半径1，AB =BE ==1max BD =（2）设ACD θ∠=，AC a =，则AB =，sin AD a θ=，cos CD a θ=，由题意6ABC ACD S S =△△，则116cos sin 22a a a θθ=⋅⋅，所以22tan sin 21tan θθθ=+.则2tan 10θθ-+=，解得tan θ=方法总结：1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．考向三 结构不良题型例3、（2021·山东济宁市高三二模）在①()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-；②2sin tan a C c A =；③22coscos 212B CA +=+； 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：已知ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b =______．（1）求A 的值；（2）若sin B C =，求ABC 的面积．【解析】（1）若选①：因为()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-， 所以由正弦定理得()22b c a bc -=-，整理得222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0A π<<，所以3A π=．若选②：因为2sin tan a C c A =，所以sin 2sin sin sin cos AA C C A=⋅， 即1cos 2A =， 因为0A π<<，所以3A π=．若选③：因为22coscos 212B CA +=+，所以()2cos 12cos 11BC A ++=-+， 即22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-， 因为0A π<<，所以3A π=．（2）因为sin B C =，由正弦定理得b =，因为b =1c =，所以11sin 122ABC S bc A ===△． 变式1、）在ABC 中，设()()cos ,sin ,cos ,sin m B B n C C =-=，已知12m n ⋅=． （1）求角A ；（2）设BC 的中点为D ，若__________，求cos .C 从以下两组条件中任选其一，补充在上面的问题中并作答．①1sin sin 2BAD CAD ∠∠=；②,14B C AD BC <=． 注：如果选择两组条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）()1cos cos sin sin cos 2m n B C B C B C ⋅=-=+= 即()1cos 2A π-=，所以1cos 2A =-，由于()0,A π∈，则23A π=（2）选①，设角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 在BAD 中，由正弦定理，sin sin BD ABBAD ADB ∠∠=在CAD 中，由正弦定理，sin sin CD ACCAD ADC∠∠=而ADB ADC π∠+∠=，则sin sin ADB ADC ∠∠=， 又有1,sin sin 2BD CD BAD CAD ∠∠==，则2AB AC =，即2c b =由余弦定理，a ===222222cos 27a b c C ab +-=== 选②，设角,,A B C 所对的边分别为,,a b c()22222211||2cos 444b c bc AD AB AC c b bc A +-=+=++=由于14AD BC =，则22283BC AD =，即()22273a b c bc =+- 由余弦定理，222222cos a b c bc A b c bc =+-=++ 因此()222273b c bc b c bc +-=++，整理得222520b bc c -+=， ()()220b c b c --=，则2b c =或12b c =， 由于B C <，则12b c =，因此22227,4a b c bc c a =++==22222271cos 2c c ca b c C ab +-+-===变式2、在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为,,a b c ，现有下列四个条件：3B π=，AC =___________，①a =②2b =；③2cos cos cos c A a B b A =+；④()2223a c b +-=-.（1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；（2）请从上述四个条件中选三个，使得ABC 有解，并求ABC 的面积. (注：如果选择多个组合作为条件分别解答，按第一个解答计分) 【解析】（1）若③④同时成立，由2cos cos cos c A a B b A =+,根据正弦定理，可得()2sin cos sin cos cos sin sin sin C A A B A B A B C =+=+=， 因为(0,)C π∈，可得sin 0C >， 所以1cos 2A =，又因为(0,)A π∈，可得3A π=，又由()2223a c b+-=-，可得2221cos 22a cb B ac +-==<-，因为(0,)B π∈，可得23B π>， 此时A B π+>与三角形内角和为π矛盾，故③④不能同时成立. （2）选①②③：由正弦定理sin sin a b A B=2sin B =，解得sin 1B =， 因为(0,)B π∈，可得2B π=，所以1c ==，所以112ABCS==1、【2020年高考全国III 卷理数】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A 【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =， 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅，2224322433AB =+-⨯⨯⨯，可得29AB = ，即3AB =， 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯，故1cos 9B =.故选：A ．2、【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB = A． BCD．【答案】A【解析】因为223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则 A.3、【2018年高考全国Ⅲ理数】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =，故选C. 4、（2021·江苏常州市·高三期末）在中，已知，的平分线交于，且，的面积为_________.【解析】因为平分，所以， 设，则，， 因为，设， 所以， 所以，，因为，所以，即， ABC 1AC =A ∠BC D 1AD =BD =ABC AD BAC ∠12BAD CAD BAC ∠=∠=∠BAD θ∠=CAD θ∠=2BAC θ∠=BAD CAD ABC S S S +=△△△AB x =111sin sin sin 2222x x θθθ+=sin sin 2sin cos x x θθθθ+=sin 0θ≠12cos x x θ+=1cos 2x xθ+=在中，，所以， 可得，解得：， 所以， 所以， ， 所以，5、（2021·江苏徐州市·高三期末）在中，角的对边分别为，且. （1）求角；（2）若，为边的中点，在下列条件中任选一个，求的长度.条件①：的面积，且；条件②：（注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答记分） 【解析】（1）由可得，又，所以， 由可得，所以即， 又，所以； （2）选择条件①： 由的面积可得，即又，所以②，联立①②得或，又，所以，，在中，由余弦定理可得，ABD △212cos 2x xθ+-=21122x x x x-+=220x x --=2x =3cos cos4BAD θ∠==sin4BAD ∠==3sin 2sincos 24BACθθ∠===1sin 2ABCSAC AB BAC =⋅∠=ABC ,,A B C ,,a b c ()cos sin b c A A =-C c =D BC AD ABC 2S =B A >cos B =()cos sin b c A A =-sin sin cos sin sin B C A C A =-()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+sin cos sin sin A C C A =-()0,A π∈sin 0A ≠cos sin C C =-tan 1=-C ()0,πC ∈3π4C =ABC 2S =1sin 22ab C =1222ab ab ⨯=⇒=2222cos c a b ab C =+-2220a b ++=2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩B A >2a =b =ACD △2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅8121132⎛⎫=+-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭所以选择条件②：由可得，所以，在中，由，所以，，所以在中，由余弦定理可得，所以6、（2021·江苏南京市高三三模）已知四边形ABCD中，AC与BD交于点E，224AB BC CD===.（1）若23ADCπ∠=，3AC=，求cos CAD∠；（2）若AE CE=，BE=ABC的面积.【解析】（1）在ACD△中，由正弦定理得sin sinCD ACCAD ADC=∠∠,所以22sinsin3sin33CD ADCCADACπ⨯∠∠===，因为03CADπ<∠<，所以cos CAD∠==.（2）若AE CE x==，AEBα∠=，在ABE△中，由余弦定理得2222cosAB BE AE BE AEα=+-⋅，即2168cosx xα=+-⋅，在CBE△中，由余弦定理得()2222cosBC BE EC BE ECπα=+-⋅-，即248cosx xα=++⋅，两式相加得x，再代入求得3cos4α=-，因为()0,απ∈，所以sin4α==，AD=cos B=sin B==()sin sin sin cos cos sinA B C B C B C=+=+=ABCsin sin sina b cA B C====2a=b=ACD△2222cosAD AC CD AC CD C=+-⋅⋅8121132⎛⎫=+-⨯⨯-=⎪⎪⎝⎭AD=所以1122sin2224ABC ABES S AE BEα==⨯⨯⨯⨯=⨯=7、（2021·山东高三三模）在ABC中，角,,A B C所对的边分别为),,,cos cos.a b c c A a C=-（1）若12Aπ=，点D在边AB上，1AD BC==，求BCD△的外接圆的面积；（2）若2c=，求ABC面积的最大值.【解析】（1）由)cos cosc A a C=-cos cos cosC c A a C=+，()cos sin cos sin cos sin sinB C C A A C A C B=+=+=，因为sin0B≠，所以cos2C=，因为0Cπ<<，所以4Cπ，又12Aπ=，所以23Bπ=，sin sin sin sin cos cos sin12343434Aπππππππ⎛⎫==-=-=⎪⎝⎭，在ABC中，由正弦定理得sin sinAB BCC A=，所以sinsin41sin sin12BC CABAππ===，因为1AD=，所以BD=在BCD△中，23Bπ=，由余弦定理得：2222cos4CD BC BD BC BD B=+-⋅=+设BCD△外接圆的半径为R，由2sinCDRB=可得：2sinCDRB=，所以BCD△外接圆的面积(22224424sin34sin3CDS RBππππ+⋅+====.（2）由（1）可知4Cπ，又2c=，由余弦定理可得：2222cosc a b ab C=+-，即224a b+=，因为222a b ab+≥，所以(22422a b ab ab+=≥-=，从而4ab≤=+a b=时取等号），所以ABC 面积(11sin 4sin 1224S ab C π=≤⨯+=，从而ABC 面积S 1.。
4.1正弦定理、余弦定理—讲义
第四章 解三角形4.1正弦定理、余弦定理一．【课标要求】（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
二．【命题走向】对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。
今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。
题型一般为填空题，也可能是中、难度的解答题。
三.【知识回顾】（1）12ABC S ∆=⋅⋅底高（2）ABC S ∆= = = ；3.三角形中常用结论（1）三个内角和为180，即A B C π++=（2）sin()A B += ，cos()A B += ， tan()A B += ，（3）sin2A B += ，cos 2A B+= ； （4）tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅（5）在三角形中，大角对大边，大边对大角，大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即：sin sin A B a b A B >⇔>⇔> （6）在锐角三角形中，sin cos 2A B A B π>⇔+>4.在ABC ∆中，已知,a b 和A 时，解的情况如下：【方法与规律】1. 解斜三角形问题往往用到正弦定理与余弦定理以及三角形面积公式，解题时角度的选取是关键，并注意角的取值范围，2. 解决三角形中的问题，要学会“统一”，或统一成角的关系，或统一成边的关系，视情况灵活掌握.四．【典例解析】考点一、利用正余弦定理求多边形的边或角例1.如下图所示，在四边形ABCD 中，已知,10,14,60AD CD AD AB BDA ⊥==∠=，135BCD ∠= ，求BD BC 及的长.考点二、有关三角形解的个数及形状的判定问题例2.在ABC ∆中已知22sin()()sin()A B a b A B -=-+,则ABC ∆的形状是 . 例3.钝角三角形三边长分别为,1,2a a a ++，其中最大角不超过120，则a 的取值范围是 .例4.在ABC ∆中,若22tan tan A a B b =,则判断该三角形的形状是 . 例5.在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C =,则ABC ∆的形状是 .考点三、三角形中的三角函数问题例6.(08年高考全国卷)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ,且3cos cos 5a Bb A C -=.(1)求sin cos cos sin A BA B的值； （2）求tan()A B -的最大值.例7. ABC ∆的三个内角为,,A B C ，当A 为何值时，cos cos 2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值.考点四、正、余弦定理及三角形面积公式的综合应用例8.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知2,3c C π==（1） 若ABC ∆,a b 的值.（2） 若sin sin()2sin 2C B C A +-=,求ABC ∆的面积.例9.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，且cos cos 2B bC a c=-+. （1） 求角B 的大小；（2） 若4b a c =+=，求ABC ∆的面积.例10．（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c 且满足cos 32A AB AC =⋅=.（1）求ABC ∆的面积； （2）若6b c +=，求a 的值．题型五、三角形中的三角恒等变换问题例11．（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ,已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =，求b .例12．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且，求A 的大小及sin b B c的值.例13．在ABC ∆中，已知,,A B C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tan CA C A ++的值。
正弦定理和余弦定理讲义
1.1 正弦定理和余弦定理一、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角．．．．．．．的正弦的比相等，即：A a sin ＝B b sin ＝Ccsin 注意：（1）正弦定理中，各边与其对角的正弦严格对应；（2）正弦定理中的比值是一个定值，具有一定几何意义，即为三角形外接圆的直径：A a sin ＝B b sin ＝Ccsin ＝2R [ R 指的是三角形外接圆半径 ]；（3）正弦定理主要实现三角形中的边角互化．．．．．．．．．．．．．．．．．；（4）S ＝C ab sin 21＝A bc sin 21＝B ac sin 21；（5）常用的公式： ①A ＋B ＋C ＝π，sin(A ．．．．．＋．B)．．＝．sinC ．．．．，． cos(A ．．．．．＋．B)．．＝－．．cosC ．．．．，．tan(A ．．．．．＋．B)．．＝－．．tanC ．．．．，．sin 2B A +＝cos 2C ，cos 2B A +＝sin 2C；②a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；③A ＞B ⇔a ＞b 【大角对大边】；④a ＋b ＞c ，a －b ＜c ；⑤a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ；⑥a sinB ＝bsinA ，bsinC ＝csinB ，a sinC ＝csinA 。
例1：下列有关正弦定理的叙述：（1）正弦定理只适用于锐角三角形；（2）正弦定理不适用于直角三角形；（3）在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；（4）在△ABC 中，sinA ：sinB ：sinC ＝ a ：b ：c 。
其中正确的个数有（ ） A ：1个 B ：2个 C ：3个 D ：4个 【解析】：B变式练习1：在△ABC 中，角A ：角B ：角C ＝2 ：1 ：1，则a ：b ：c 等于（ ）A ：4 ：1 ：1B ：2 ：1 ：1C ：2 ：1 ：1D ：3 ：1 ：1 【解析】：C变式练习2：在△ABC 中，角A ：角B ：角C ＝4 ：1 ：1，则a ：b ：c 等于（ ）A ：4 ：1 ：1B ：2 ：1 ：1C ：2 ：1 ：1D ：3 ：1 ：1 【解析】：D例2：在△ABC 中，a ＝2，b ＝1，∠A ＝450，∠B ＝___________。
正弦余弦定理 ---讲义
正弦余弦定理 讲义一、基本知识点 正弦定理：R C cB bA a2sin sin sin ===正弦定理的基本作用：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；（一解）2．两边和其中一边对角，求其它的两角和一边（一解或者两解）（详见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA)( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a b a b a b a baa 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA A C B A C B1A BAC B2C H H H⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bc a c b A 2cos 222-+=余弦定理的基本作用：1．已知三边，求三角；（一解）2．已知两边和夹角，求一边和两角（一解）公式一：a b c 111S ah bh ch 222===公式二：111S absinC acsinB bcsin A 222===公式三：S p(p a)(p b)(p c)=--- 其中1p (a b c)2=++称为三角形的半周长。
推导：将公式二中的角的关系变为边的关系，根据22sin C cos C 1+=，2sin C 1cos C =-，及余弦定理ab c b a C 2cos 222-+=的变形2222abcosC a b c =+-，则 2111S absinC ab 1cos C ab (1cosC)(1cosC)222==-=-+ 22114a b (1cosC)(1cosC)(2ab 2abcosC)(2ab 2abcosC)44=-+=-+ 222222222211(2ab a b c )(2ab a b c )[c (a b)][(a b)c ]44=--+++-=--+- 11111(c a b)(c a b)(a b c)(a b c)(c a b)(c a b)(a b c)(a b c)42222=+--++++-=+--++++-设1p (a b c)2=++，则S p(p a)(p b)(p c)=---。
正弦定理和余弦定理详细讲解
正弦定理和余弦定理详细讲解正弦定理.余弦定理农其应用【高考风向】1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查.【学习要领】1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合.基础知识梳理sin A sin B 启=2R ，其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形：(1)a : b : c = sin_A : sin_B : sin_C ； (2)a = 2Rsin_A , b = 2Rsin_B , c = 2Rsin_C ；［难点正本疑点清源］1. 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大,即在△ ABC 中，A>B? a>b? sin A>sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA tanB t a nC ;在锐角三角形中，cosA<sinb,cosa<sinc< p="">-2. 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：（1）化边为角；（2）化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边、角转换.例1.已知在 ABC 中，c 10, A 45o , C 30o ，解三角形 1. 正弦定理:3.4. (3)sin A = 2：，sin B = ?；, sin C =等形式，解决不同的三角形问题.余弦定理：a 2= b 2 + c 2 — 2bccos_A , b 2= a 2 + c 2 —2accos_B , c 2=旦2 + b 2 — 2abcos_C ?余亠宀、 b 2 + c 2— a 2 a 2+ c 2— b 2弦疋理可以变形： cos A = ---------- , cos B = ----- u --- , cos C = a 2 + b 2- c 2 2ab 2bc G ABC = gabsin C = ^bcsin A = *acsin B =繁=*(a + b + c) r(r 是三角形内切圆的半径 )，并可由此计算R 、r.在厶ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下: A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a = bsin A bsin A<a<< p="">b a>b 解的个数一解两解一解一解思路点拨：先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边 b .解析:sin Acsin Ccsin A 10 sin 45° sinCsin 30o10 2 ,B 180° (A C) 105°,总结升华：1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题;2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三:【变式1】在 ABC 中，已知A 32.00，B 81.8°，a 42.9cm ，解三角形。
第02讲 余弦定理
余弦定理【知识梳理】1．余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即若a 、b 、c 分别是△ABC 的顶点A 、B 、C 所对的边长，则a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的关系，它的另一种表达形式是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，cos B ＝ a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．∠A 为钝角⇔ a 2>b 2＋c 2，∠A 为直角⇔a 2＝b 2＋c 2，∠A 为锐角⇔a 2<b 2＋c 22．余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，便可求出第四个量来．3.利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：(1)已知三边，求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角余弦定理【典例剖析】（一）已知两边及夹角，解三角形例1 △ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A ，角C 和边a .（二）已知三边，解三角形例2 在△ABC 中，已知(b ＋c )：(c ＋a )：(a ＋b )＝4：5：6，求△ABC 的最大内角的正弦值.（三）判断三角形形状例3 在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断三角形的形状．【课堂回顾】1．余弦定理的正确理解三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .余弦定理的推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 利用推论可以由三角形的三边求出三角形的三个内角．请注意：(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具．(2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．(3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．(4)运用余弦定理时，因为已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是惟一的．2．余弦定理的应用利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角．。
知识讲解余弦定理基础
余弦定理编稿：李霞 审稿：张林娟【学习目标】1.掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法；2.熟记余弦定理及其变形形式，会用余弦定理解决两类基本解三角形问题；3.通过三角函数，余弦定理，向量的数量积等知识间的联系，理解事件之间的联系与辨证统一的关系. 【要点梳理】要点一：学过的三角形知识 1.ABC ∆中（1）一般约定：ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ； （2）0180A B C ++=；（3）大边对大角，大角对大边，即B C b c >⇔>； 等边对等角，等角对等边，即B C b c =⇔=；（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即a c b +>，a c b -<. 2.Rt ABC ∆中，090C ∠=， （1）090B A +=， （2）222a b c += （3）sin a A c =，sin bB c =，sin 1C =； cos b A c =，cos aB c=，cos 0C =要点诠释：初中讨论的三角形的边角关系是解三角形的基本依据 要点二：余弦定理及其证明三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
即：余弦定理的推导已知：ABC ∆中，BC a =，AC b =及角C ，求角C 的对应边c . 证明： 方法一：向量法（1）锐角ABC ∆中（如图），Cab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=∵AC CB AB +=，∴()()AB AB AC CB AC CB ⋅=++222AC CB AC CB =+⋅+22||2||||cos()||AC CB AC C CB π=+⋅-+222cos b ba C a =-+即：2222cos c a b ab C =+- (*)同理可得：2222cos b a c ac B =+-,2222cos a b c bc A =+- 要点诠释：（1）推导（*）中，AC 与CB 的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此AC 与CB 的夹角应为C π-，而不是C .（2）钝角三角形情况与锐角三角形相同。
余弦定理内容以及解析
余弦定理定义及公式余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。
是勾股定理在一般三角形情形下的推广。
a²=b²+c²-2bccosA余弦定理证明如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：将等式同乘以c得到：运用同样的方式可以得到：将两式相加：向量证明正弦定理和余弦定理正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值在△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF•EFcos∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，在斜三棱柱ABC-A1B1C1的中ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角为θ，则得到的类似的关系式是_____．答案:．解析:由平面和空间中几何量的对应关系，和已知条件可写出类比结论解：平面中的点、线、面分别对应空间中的线、面、体，平面中的长度对应空间中的面积，平面中线线的夹角，对应空间中的面面的夹角故答案为：证明如下：如图斜三棱柱ABC-A1B1C1设侧棱长为a做面EFG垂直于侧棱AA1、BB1、CC1，则∠EFG=θ又∵在△EFG中，根据余弦定理得：EG2=EF2+FG2-2EF•FG•COSθ等式两边同时乘以a2，可得答案故答案为：类比余弦定理，在△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF•EF∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-A1B1C1BC的3个侧面面积之间的关系式(其中θ为侧面为ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角)_____．答案:S△A1C1C2=S△BB1A12+S四边形BCC1B12-2S△BB1A1•S四边形BCC1B1•cosθ解析:类比三角形的余弦定理，利用类比的方法写出斜三棱柱ABC-A1B1C1BC的3个侧面面积之间的关系式即可．解：根据题意得：S△A1C1C2=S△BB1A12+S四边形BCC1B12-2S△BB1A1•S四边形BCC1B1•cosθ．故答案为：S△A1C1C2=S△BB1A12+S四边形BCC1B12-2S△BB1A1•S四边形BCC1B1•cosθ。
《余弦定理》 讲义
《余弦定理》讲义一、什么是余弦定理在三角形中，余弦定理是一个非常重要的定理，它描述了三角形中边与角之间的关系。
具体来说，如果在一个三角形中，三条边的长度分别为 a、b、c，对应的角分别为 A、B、C，那么余弦定理可以表示为：＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab ＼cos C\）＼（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac ＼cos B\）＼（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc ＼cos A\）这三个公式可以帮助我们在已知三角形的两边及其夹角，或者已知三边的情况下，求出三角形的其他元素。
二、余弦定理的推导为了更好地理解余弦定理，我们来推导一下。
以三角形 ABC 为例，假设角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c。
我们以边 c 所在的直线为 x 轴，点 A 为原点建立直角坐标系。
则点 B 的坐标为\（（b ＼cos A, b ＼sin A)＼），点 C 的坐标为\（（c, 0)＼）根据两点间的距离公式，＼（＼vert BC ＼vert^2 ＝（b ＼cos A c)＾2 ＋（b ＼sin A 0)＾2\）展开并化简可得：＼＼begin{align}＼vert BC ＼vert^2&＝b^2\cos^2 A 2bc\cos A ＋ c^2 ＋ b^2\sin^2 A\＼＆＝b^2(＼cos^2 A ＋＼sin^2 A) 2bc\cos A ＋ c^2\＼＆＝b^2 2bc\cos A ＋ c^2＼end{align}＼因为\（＼vert BC ＼vert ＝ a\），所以\（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A\）同理可以推导出其他两个式子。
三、余弦定理的应用1、已知两边及其夹角求第三边例如，在三角形 ABC 中，已知 a ＝ 3，b ＝ 4，角 C ＝ 60°，求边 c 的长度。
根据余弦定理\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab ＼cos C\）＼＼begin{align}c^2&＝3^2 ＋ 4^2 2×3×4×＼cos 60°＼＼＆＝9 ＋ 16 2×3×4×＼frac{1}｛2}＼＼＆＝25 12\＼＆＝13＼end{align}＼所以\（c ＝＼sqrt{13}＼）2、已知三边求角如果已知三角形的三边长度分别为 a ＝ 5，b ＝ 6，c ＝ 7，求角 A 的大小。
《高中数学余弦定理》课件
2. 余弦定理的证明
证明方法一：向量方法
通过向量的运算，我们可以推导出余弦定理的公式，并理解其几何意义。
证明方法二：平面几何方法
通过平面几何的推导，我们可以清晰地展示余弦定理的正确性和适用范围。
3. 应用举例
1
求三角形的边长或角度
余弦定理可以帮助我们计算未知边长或
求三角形的面积
2
《高中数学余弦定理》 PPT课件
欢迎大家来到今天的课堂！在本节课中，我们将学习和探讨高中数学中的一 个重要定理：余弦定理。
1. 余弦定理的概念及含义
• 余弦定理，它是一个用于求解三角形边长和角度的重要定理。 • 通过余弦定理的公式，我们可以推导出三角形内角的余弦值与边长之
间的关系。 • 余弦定理的含义是帮助我们理解三角形内角度和边长之间的关系，以
角度，解决各种实际问题。
通过余弦定理和其他几何方法，我们可
以计算出三角形的面积。
3
求点与线段之间的距离
余弦定理也可以应用于求解点与线段之 间的距离，解决空间几何问题。
4. 注意点
1 根据余弦定理注意事项
在应用余弦定理时，需要注意边长和角度的对应关系，以及角度值的范围。
2 计算过程中需要注意的细节
使用余弦定理进行计算时，需要注意计算精度、单位转换等细节，避免出现错误。
5. 总结回顾
余弦定理的重要性
余弦定理是解决三角形相关问 题的基础，具有重要的理论和 实际意义。
余弦定理的优缺点
余弦定理可以解决各种复杂问 题，但在某些情况下，也有其 局限性和适用范围。
余弦定理的实际应用 场景
除了数学领域，余弦定理Байду номын сангаас广 泛应用于物理、工程、计算机 图形学等领域。
余弦定理前提条件_解释说明以及概述
余弦定理前提条件解释说明以及概述1. 引言概述：在数学和几何学中，余弦定理是一种重要的三角形定理，它用于计算一个三角形的边长或角度。
通过该定理可以计算出无法直接测量的未知边长或角度，并在各个领域中具有广泛的应用。
本文将对余弦定理的前提条件进行解释说明，并介绍其推导过程、基本公式以及几何意义和实际应用场景。
正文结构：本文将按照以下结构展开对余弦定理的阐述：首先，在第2部分中，我们将引入余弦定理的概念并阐明角度和边长之间的关系。
然后，在第3部分中，我们将详细解释和说明余弦定理的推导过程和基本公式，并给出一些示例应用。
接着，在第4部分中，我们将概述余弦定理在不同领域中的应用情况，包括数学几何、物理力学问题以及工程建模等方面。
最后，在第5部分中，我们将总结余弦定理的重要性与作用，并提出未来发展和挑战展望。
文章末尾还会包含致谢部分。
目的：本文旨在帮助读者全面理解余弦定理的前提条件、推导过程和基本公式，并展示其在不同领域中的应用。
通过阐述余弦定理的重要性和作用，以及未来发展和挑战的展望，希望能够引发读者对于该定理的深入思考，促进数学和几何学相关领域的研究与应用的进一步发展。
2. 余弦定理前提条件:2.1 引入余弦定理概念:在介绍余弦定理的前提条件之前，先来引入一下余弦定理的概念。
余弦定理是三角学中的一则重要定理，用于计算三角形中各个边与夹角之间的关系。
通过余弦定理，我们可以确定一个三角形的边长或夹角的大小。
2.2 角度和边长关系:在应用余弦定理之前，我们需要了解一些关于三角形中的边长和夹角的基本知识。
首先，我们知道三角形由三条边组成，分别记为a、b、c。
而夹角则可以记作A、B、C对应于相邻两条边a、b、c。
这里需要注意，在计算时通常使用的是弧度制而非度数制来表示角度。
一个圆周上共有360度或2π（约等于6.28）个弧度。
当我们已知一个三角形中两条边的长度，以及它们之间夹角的大小时，就可以利用余弦定理得到第三条边长或者另外两个夹角之一的大小。
高中数学知识点精讲精析 余弦定理 (2)
2.1.2 余弦定理1．余弦定理：设a ，b ，c 为三角形的三边，它们所对的角分别为A ，B ，C ，则： A bc c b a cos 2222-+=；B ac c a b cos 2222-+=；C ab b a c cos 2222-+=。
变式：bc a c b A 2cos 222-+=， ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+=。
余弦定理反映了a b c A B C ，，，，，元素间的动态结构，揭示了任意三角形的边、角关系，且已知三边求角时，应用余弦定理的此表达形式简单易行。
通过对余弦定理的证明进一步掌握和理解余弦定理，下面介绍三种证明余弦定理的方法：(1)平面几何方法证明：①三角形为锐角三角形时：构造直角三角形，寻找三角比。
如下图所示，作AD ⊥BC ，垂足为D 。
设CD ＝x ，得BD ＝a －x在Rt ⊿ADC 中，h 2＝b 2－x 2；在Rt ⊿ADB 中，h 2＝c 2－(a －x )2∴b 2－x 2＝c 2－(a －x )2，即a 2＋b 2－c 2＝2ax ＝2abcos C则c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ，同理：a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ；b 2＝a 2＋c 2－2accos B①三角形为钝角三角形时：构造直角三角形，寻找三角比。
如下图所示，作AD ⊥BC ，垂足为D 。
设CD ＝x ，得BD ＝x －a在Rt ⊿ADC 中，h 2＝b 2－x 2；在Rt ⊿ADB 中，h 2＝c 2－(x －a )2∴b 2－x 2＝c 2－(x －a )2，即a 2＋b 2－c 2＝2ax ＝2abcos C(2)三角函数与两点间距离方法证明：如上图所示将顶点C 置于原点，CA 落在x 轴的正半轴上，△ABC 的AC=b ，CB=a ，AB=c ∵∠ACB=∠C,CB 为∠ACB 的终边，B 为CB 上一点，设B 的坐标为(x,y)，则sin C=BC y =a y ，cos C=BC x =ax 所以B 点坐标x=acos C,y=asin C.又A 、C 点坐标分别为A(b ,0)、C(0,0)则｜AB ｜2=(acos C-b )2+(asin C-0)2A B C a b c D h A B C a b c D h=a 2cos 2C-2abcos C+b 2-a 2sin 2C=a 2+b 2-2abcos C,即C ab b a c cos 2222-+=同理可证A bc c b a cos 2222-+=；B ac c a b cos 2222-+=。
[全]高二数学必修5解三角形之余弦定理必考点详解总结
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高二数学必修5解三角形之余弦定理必考点详解总结第一章解三角形1.1.2余弦定理1．对余弦定理的四点说明(1)勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．(2)与正弦定理一样，余弦定理揭示了三角形的边角之间的关系，是解三角形的重要工具之一．(3)余弦定理的三个等式中，每一个都包含四个不同的量，它们是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，就可以求出第四个量．(4)运用余弦定理时，若已知三边(求角)或已知两边及夹角(求第三边)，则由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．2．对余弦定理推论的理解余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．例题讲练探究点1 已知两边及一角解三角形方法归纳：(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法①先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况；②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．(2)已知两边及其夹角解三角形的方法方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．[注意] 解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，则用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便．练习：1.在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________．探究点2 已知三边(三边关系)解三角形方法归纳已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．[注意] 若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．练习：1.(2018·辽源高二检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝( ) A．90°B．60°C．120°D．150°探究点3 判断三角形的形状方法归纳判断三角形形状的思路(1)转化为三角形的边来判断①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2或c2＝a2＋b2；②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2；③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2；④按等腰或等边三角形的定义判断．(2)转化为角的三角函数(值)来判断①若cos A＝0，则A＝90°，△ABC为直角三角形；②若cos A<0，则△ABC为钝角三角形；③若cos A>0且cos B>0且cos C>0，则△ABC为锐角三角形；④若sin2A＋sin2B＝sin2C，则C＝90°，△ABC为直角三角形；⑤若sin A＝sin B或sin(A－B)＝0，则A＝B，△ABC为等腰三角形；⑥若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形．在具体判断的过程中，注意灵活地应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角化边还是边化角应依具体情况决定．章节总结。
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余弦定理(一)1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．在△ABC 中：(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°；(2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝60°； (3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°.一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3 C. 5 D ．5 答案 A2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12 答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角， 由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6. 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2.4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.23 答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形 答案 B解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b2c，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120° 答案 B解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C . 由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° .二、填空题7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________. 答案 120°8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30° 解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×cos 60° ＝12 ∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12.∵a <c ，∴A <60°，A ＝30°.9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________．答案 120° 解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，∴θ＝120°.10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.答案 －2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3.三、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49 ⇒x ＝7.所以，所求中线长为7.12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∠C ＝120°.(1)求AB 的长；(2)求△ABC 的面积．解 (1)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝32.能力提升 13．(2010·潍坊一模)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．答案 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC＝22，∴sin C ＝22.∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3.14．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状． 解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．余弦定理(二)1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c . 2．余弦定理及其推论 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，∴A ＝B . 3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角， 则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 答案 D解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2，即(a －c )2＝0.∴a ＝c .∴2b ＝a ＋c ＝2a .∴b ＝a ，即a ＝b ＝c .5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°， c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A解析 在△ABC 中，由余弦定理得， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120° ＝a 2＋b 2＋ab .∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab .∴a 2－b 2＝ab >0，∴a 2>b 2，∴a >b .6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定 答案 A解析 设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2， 则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0，∴c ＋x 所对的最大角变为锐角． 二、填空题 7．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________. 答案 19解析 由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2. 由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，∴c ＝19.8．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________． 答案 2<a <8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2， 化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1，∴a >2，∴2<a <8.9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________． 答案 12解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A＝12AB ·AC ·sin 60°＝23， ∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ， ∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13，∴a ＝13. ∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3.三、解答题13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析 方法一 (应用正弦定理) ∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.。