高等数学重修下B试题

上海应用技术学院2010—2011学年第 2 学期

《高等数学工（2）》期（末）（B ）试卷

课程代码: B122012 学分: 5.5 考试时间: 100 分钟 课程序号: 1028835 1028833 1029591

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我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将

愿接受相应的处理。

试卷共 5页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。

一．填空题（每空格2分，共计30分）

（1）设)ln(),(2

2

y x y x f +=，则：=),(kx x f 。

（2）设函数),(y x f z =在),(00y x 处可导，且a y x f x =),(00，b y x f y =),(00

则：=∆-∆+→∆y

y x f y y x f y )

,(),(lim

00000

，

=∆∆--∆+→∆x

y x x f y x x f x )

,(),(lim

00000

。

（3）设3

2y x e

z =，则：=dz 。

（4）函数2

2

2

z y x u ++=在点)1,1,1(沿→

→

→

→

++=k j i l 32的方向导数

=∂∂)

1,1,1(l

u ，=)1,1,1(gradu 。

（5）二次积分

⎰

⎰

-x dy y x f dx 10

10

),(在直角坐标系下的另一种积分次序是

，在极坐标系下的二次积分式是 。 （6）将三重积分

⎰⎰⎰Ω

dv z y x f ),,(化成直角坐标系下的三次积分，其中Ω是平面

1=++z y x 与坐标平面所围成的位于第一挂限的立体区域。

=⎰⎰⎰Ω

dv z y x f ),,( 。

（7）L 是平面上任意一条闭曲线，则：⎰

=+L

ydy x dx xy 22 。

（8）曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-012

222z b y a x 绕y 轴旋转一周所得的旋转曲面方程 。

（9）级数∑∞

=⎪⎭

⎫

⎝⎛132n n

的和是 。

（10）正项级数

∑∞=1

n n u ，∑∞

=1

n n v 如果满足l v u n

n

n =∞→lim

，（+∞<

且

∑∞

=1n n

v

收敛，则：级数

∑∞

=1

n n

u

必定 。

（11）与{

}3,2,1=→

a 和{}2,1,1-=→

b 都垂直的单位向量是 。 （12）平面1=++z y x 与平面1232=+-z y x 的夹角 。 二．计算题（每小题6分，共计60分） （1） 设),(y x z z =由方程

z y z x ln =所确定的隐函数，求

x z ∂∂，y

z

∂∂。

（2） 设),(2

2

xy y x f z += 其中f 可微，求

x z ∂∂，y

z

∂∂。

（3）设23v u z =，其中y x u 32-=，y x v 23+=，求 x z ∂∂，y

z ∂∂ 。

（4） 求曲线⎩⎨⎧=+=x

z x y 1

2在)1,2,1(0M 处的切线方程和法平面方程。

（5） 计算

⎰⎰

-D

dxdy x y 2，其中D 是由0=x ，1=x ，0=y ，1=y 所围成的

区域。

（6） 求曲面22y x z +=被平面1=z 割下部分的面积。

（7） 计算

⎰

++-L

dy y x dx x xy )()2(22，其中L 是抛物线2x y =与2y x =所围

成区域的正向边界。

（8） 把函数3

2)(2--=x x x

x f 在20=x 处展开成泰勒级数。

（9） 求点()3,2,1关于平面1=++z y x 的对称点。

（10） 求通过点()0,1,2与平面1=++z y x 及平面02=++z y x 都平行的直线方

程。

三．应用题（每小题5分，共计10分） （1）求曲面22y x z +=与曲面222y x z +-=所围成立体的体积。

（2）

⎰⎰∑

++zdxdy ydzdx xdydz 523，其中∑是曲面2

221x

y z ++=与0=z 及

2=z 所围成立体的边界曲面的外侧。