高等数学重修下B试题

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高数重修试题

⾼数重修试题⼀（1）设k j i b k j i a 42,253++=-+=，问λ和µ有什么的关系，能使得b aµλ+与z 轴垂直？（2）已知k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ?的⾯积。

（3）已知23,3,2,1,,3A a bB a b a b a b π=+=-===求,BA B prj A ?（4）设向经,522k j i M O ++=从点)1,2,1(P 出发，向M O 作垂线PQ ,求向量Q P和长度。

（5）分别画出223yx z +-=,2211y x z ---=⽅程所表⽰的曲⾯。

（6）求上半球2220yx a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a axy x 的公共部分在xoy 坐标⾯上的投影。

（7）求两平⾯012=+-+z y x 和012=-++-z y x ⾓平分⾯的⽅程。

42012=--+=--+z y x z y x 的直（8）求过点)1,2,1(-，并且平⾏直线线⽅程。

（9）求直线211232-+=-=+z y x 与平⾯08332=-++z y x 的交点和夹⾓。

（10）求点)0,2,1(-在平⾯012=+-+z y x 上的投影。

（11）求点)1,3,2(在直线322217+=+=+z y x 上的投影。

4201=-+-=+-+z y x z y x 的距离。

（12）求点)2,1,3(-P 到直线（13）求直线22x y z=??=?绕z 轴旋转⼀周的曲⾯⽅程并画出它的⼤致图形。

（14）求过直线026x y x y z +=??-+=?且切于球⾯2229x y z ++=的平⾯⽅程。

（15）设122112:,:112211x y z x y z L L -++-====--（1）判断12,L L 是否相交，若相交求出交点P 和相交平⾯π；（2）在平⾯π上求⼀过P 点直线L ，且L 与1L 和2L 的夹⾓相同。

⼆：（1）求1)sin(1lim)0,0(),(--→xy xy y x 。

武汉大学高等数学B22012年重修班练习题汇总

P94习题9-4一、求下列函数的一阶全倒数或一阶偏导数，其中f 有一阶连续的偏导数：（5）22(,)xy z f x y e =-，求z x ∂∂，z y∂∂ （7）(,)x yu f y z =，求u x ∂∂，u y ∂∂，u z∂∂三、引入新变量u ，v ，设u =，arctan y v x=，变换方程式()()0z z x y x y x y∂∂+--=∂∂. P100习题9-5二、设f 具有连续的二阶偏导数，求下列函数的高阶偏导数：（3）2(,)z yf x y x y =+，求2z x y ∂∂∂，22z y ∂∂ P109 习题9-6四、求解下列各题：（2）设sin 0xz y z -=,求22z y ∂∂，2z x y∂∂∂ 五、设(,)z z x y =由方程(,)0z z F x y y x++=确定，其中F 有一阶连续偏导数。

证明：z z xy z xy x y∂∂+=-∂∂. P118 习题9-7四、求u x y z =++沿球面2221x y z ++=上的点0000(,,)M x y z 处外法线方向的方向倒数.五、求函数22223u x y z =++在点(1,1,1)M 处，沿曲线23,,x t y t z t ===在点1t =处的切线的指向参数t 增大的方向的方向倒数.P125 习题9-8八、证明：曲面3(0)xyz a a =>上任一点的切平面与三角坐标面所围成的四面体的体积为常数.P139 习题9-10B 类三、在第一卦限内作曲面2222221x y z a b c++=的切平面，使得切平面与三角坐标面围成的四面体的体积最小，求出切点的坐标.P155习题10-2二、交换下列二次积分的次序：（3）222614(,)x x dx f x y dy ---⎰⎰三、计算下列二重积分：（1）D ⎰⎰，D 为曲线22,y x x y ==所围成的区域P167 习题10-3一、化下列积分为极坐标系下的二次积分：（5）24020(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰二、利用极坐标计算下列各题：（2）22,{(,)|20,}D xydxdy D x y xy y y x =+-≤≤⎰⎰ 2P184 习题10-5一、选择适当的坐标系计算下列三重积分：（6）Ω，其中Ω为曲面22,z x y z =+= （9）Ω，其中Ω为曲面z =z =区域P188 总习题十四、计算下列各题：（1）2421222x x x dx dy dx dy y y ππ+⎰⎰P200 习题11-2二、计算下列对坐标的曲线积分：（1）22()()L x y dx x y dy x y+--+⎰ ，其中L 为圆周222x y a +=（取逆时针方向）三、计算下列线性积分：（2）||||L dx dy x y ++⎰ ，其中L 是以(2,0),(0,2),(2,0),(0,2)A B C D --为顶点的正方形闭路取逆时针方向P210 习题11-3一、利用格林公式计算下列曲线积分：（3）224L xdy ydx x y -+⎰ ，其中L 是以点（1,0）为圆心，R 为半径的圆周（R>1），取逆时针方向（6）(sin )(cos )x x AB e y my dx e y m dy -+-⎰，其中m 为常数，AB 为由A(a,0)经过圆22x y ax +=上半部的路线到B(0,0)（其中a 为正数）P217 习题11-4四、计算下列曲面积分：（1）4(2)3S x y z dS ++⎰⎰，其中S 为平面1234x y z ++=在第一卦限的部分P228 习题11-5一、计算下列对坐标的曲面积分：（2）Szdxdy xdydz ydzdx ++⎰⎰，其中S 是柱面被平面z=0及z=3所截得的在第一卦限内的部分的前侧P231例6.2 计算积分333SI x dydz y dzdx z dxdy =++⎰⎰，S为上半球面z =P233 习题11-6一、利用高斯公式计算曲面积分：（9）2S S为下半球面z =a 为大于零的常数P283 习题13-2一、用比较审敛法判别下列级数的收敛性：（7）22(0)1nn n a a a ∞=>+∑ 二、用比值审敛法或根植审敛法判别下列级数的收敛性：（1）123!n nn n ∞=+∑（3）21sin 2n n nπ∞=∑三、用适当的方法判别下列级数的收敛性：（2）1n ∞=P292 习题13-3一、判别下列级数是否收敛，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛：（1）11n n +∞= （4）1(1)2n n n n ∞=-∑ 三、设级数11()nn n u u ∞-=-∑收敛，又1n n v ∞=∑是收敛的正项级数，证明：1n n n u v ∞=∑绝对收敛P313 习题13-5二、求下列幂级数的收敛域：（4）1(1)(1)ln nn n x n ∞=--∑（5）()11(2)12n n n n x ∞=⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦∑ （6）211!n n n n x n ∞-=∑ 四、求下列幂级数在各自收敛域上的和函数：（3）11(1)n n x n n +∞=+∑ （4）0(21)n n n x∞=+∑。

高等数学重修复习题(完整版)

x
xx
x2 x 1
3.
lim
x 1
(x 1)2
4． lim 1 ( 1 1 ) x0 x sin x tan x
5．
lim
n
3n
arcsin
4 5n
1
6． lim(x e x ) x x0
7. lim x0
1 2 tan2 x 1 x2 x(e x 1)
8. lim 1 3x 1 x
3. d ( e x2 sin 2x) =
dx ．
4．设函数 f (x) (x 1)(x 2)(x 2014) ，则 f (2014) =
．
5. y esin2 x ，则 dy ______________．
二、选择题
1．设
f
(x0
)
1
，则
lim
h0
f (x0
3h) 1 h
f (x0 1
二、选择题
1．若数列
xn
满足
lim
n
xn
a ，则数列 xn 在 a 的任一
邻域之外（其中
0 ）数列中
的点（）
（A）必不存在；
（B）至多只有有限多个；
（C）必定有无穷多个；
（D）可以有有限多个，也可以有无穷多个。
2．下列结论错误的是（）．
（A）函数 f (x) sin 1 是有界函数；（B）当 x 0 时，函数 f (x) sin 1 的极限存在；
五、求下列参数方程所确定的函数的一阶导数 dy 和二阶导数 d 2 y ：
dx
dx 2
1）
x y
cos sin
3 3
t t
；
六、设 f (x) 为可导函数，求 dy ： dx

12高数B2考卷参考答案

五.计算二重积分：的值，其中由直线：
围成。（8分）
解：
，
故：
八、设连续，且：，求：。（8分）
解：对：两边求导得：
再求导：，初始条件：，
特征方程和特征根：，ห้องสมุดไป่ตู้
所以，通解：
设特解形式为：，可解得：，
由：，得最后特解为：
七、求微分方程：的通解。（8分）
解：原方程变形为：，令：，则：，
，
由于生产条件的限制，设备总产量为：，求两种设备的产量及价格
，使总利润最大。（10分）
解：即求：
做函数：
由：，得：，
。
代入原方程并整理得：，
两边积分得：，即：
原方程的解为：。
六、求幂级数：的收敛区域与和函数。
解：由于级数在上收敛，
所以当：时，有：
九、某设备厂生产两种设备，设备A、B的需求函数分别为：，
其中为单价（单位：万元/台），为产量（或销售量，单位：台），已知
生产台A设备和生产台B设备的总成本为：

教材高等数学b试题及答案

教材高等数学b试题及答案为了帮助学生更好地掌握高等数学B课程的知识，提升他们在考试中的表现，我们整理了一套高等数学B试题及答案。

以下是具体的试题内容及答案解析。

一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x - 2，求f(2)的值。

A) 0B) -2C) 4D) 7答案解析：将x = 2代入函数f(x)中，得到f(2) = 2(2)^2 - 3(2) - 2 = 4 - 6 - 2 = -4。

因此，答案选项为B。

2. 若a, b是实数，且a^2 + b^2 = 25，则a + b的最大值为多少？A) 7B) 10C) 5D) 0答案解析：根据柯西-施瓦茨不等式，有(a^2 + b^2)(1^2 + 1^2) ≥ (a + b)^2，即25 × 2 ≥ (a + b)^2，解得(a + b)^2 ≤ 50。

因此，a + b的最大值满足 -√50 ≤ a + b ≤ √50。

最大值约为7.071，所以答案选项为A。

二、计算题1. 计算极限lim(x→3) ((x - 3) / (x^2 - 8x + 15))。

答案解析：首先将分子分母都进行因式分解，得到((x - 3) / (x - 3)(x - 5)) = 1 / (x - 5)。

当x趋近于3时，1 / (x - 5)趋近于1 / (3 - 5) = -1 / 2。

因此，所求极限为-1 / 2。

2. 求曲线y = x^3 - 3x^2 - 4x的拐点。

答案解析：首先求出y = x^3 - 3x^2 - 4x的导数，即y' = 3x^2 - 6x - 4。

然后解方程3x^2 - 6x - 4 = 0，得到x = -1和x = 2两个解。

对应的y值分别为y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 4(-1) = -2和y = (2)^3 - 3(2)^2 - 4(2) = -12。

因此，拐点为(-1, -2)和(2, -12)。

《高等数学(Ⅱ)》B类练习题答案

《高等数学(Ⅱ)》B 类练习题答案一、单项选择题1—5：CCCCC 6—10：BBCCA 11—15：AAABD二、填空题1、xy e yz x z z -=∂∂ ，xy e xz y z z -=∂∂ ；2、yzxy z y z z x z x z 2+=∂∂+=∂∂，； 3、）（）（，）（）（xyz xysin 1xyz xzsin 1y z xyz xysin 1xyz yzsin 1x z -+=∂∂-+=∂∂ ； 4、dz x ylnx dy x zlnx dx yz.x du yz yz 1yz ⋅⋅+⋅⋅+=- ； 5、dy -dx dz -= ； 6、dy 12dx 41-2dz +-=），（ 7、()⎰⎰313ydx y x f dy ，； 8、⎰⎰y-2y10dx y x f dy），（；9、⎰⎰2x x1dy y x f dx ），（； 10、）（）（2yx 121e 1y +=+- ； 11、1x y 22+= ； 12、1y x 5y 325=-；三、判断题1--5：对对对错错 6—10：对对错对对 11—15：对错对对对四、计算题1、求下列函数的偏导数（1）、22232232()2 (2) (3)()2(2)(6)xy xy xy xy xy xy ze y x y e x xe yx y x ze x x y e y ye x xy y ∂=⋅⋅++⋅∂=++∂=⋅⋅++⋅∂=++分分（2）、(3)(6)x y x y x y x y x y x y z e e x e z e e y e ++++++∂=∂=∂=∂=分分（3）、222222222222222222212ln(12[ln()](3)2ln(2ln( (6)z x xx y x y y x y x x y y x y z x x y x y y y y x y x x x y x y y ∂=⋅+⋅∂+=++∂=-⋅+⋅∂+=-++)+)+分)+)分（4）22222212ln ()2ln(3)12ln(6)x y y z x x y x x y x yx x xy z y x y x y '=⋅+⋅-+=-'=⋅+⋅+（）分+（）分（5）22221[sin()]2 (3)1[sin()]22 (6)x y z x y z x y y'=-+='=-+⋅=分分（6）22221cos()22(3)1cos()2(6)xyz x y xz x y'=+⋅='=+=分分（7）2222221ln1(ln) (3)12ln1(2ln) (6) x y x yxx yx y x yyx yz e xy exe xyxz e xy eye xyy++++++'=⋅+⋅=+'=⋅⋅+⋅=+分分（8）22222222222222222ln()2[ln()] (3)2ln()2[ln()] (6) xy xyxxyxy xyyxyxz e y x y ex yxe y x yx yyz e x x y ex yye x x yx y'=⋅⋅++⋅+=+++'=⋅⋅++⋅+=+++分分（9）sin 2cos 22 22cos 2)(3)sin 2cos 22 22cos 2) (6x y z xy xy yxy y xy z xy xy xxy x xy '=+⋅=+'=+⋅⋅=+分)分（10）2222222222222222sin()cos()2 [sin()2cos()] (3)sin()cos()2 [sin()2cos()](xy xy x xy xy xy y xy z e y x y e x y x e y x y x x y z e x x y e x y y e x x y y x y '=⋅⋅++⋅+⋅=+++'=⋅⋅++⋅+⋅=+++分6)分2、求下列函数的全微分（1）222222222222222 (2(3)2 (2(5)(2x y x y x y x y x y xy xy z e x e y x ez ey e x ye dz e +++++++∂=⋅∂=∂=⋅∂=∴=分分22(2(6)x y dx e dy ++分（2）2222222222242233()2 (2)(3)2()2 2()(5)xy xy xy xy x xy xy ze y x y e x xe x y y x z e xy x y e y ye x y xy y dz e ∂=⋅⋅++⋅∂=++∂=⋅⋅++⋅∂=++∴=分分2222433(2)2()(6)y xy x y y x dx e x y xy y dy +++++分（3）2221ln (1ln )(3)11 ln ()1 (ln 1)(5)1(1ln )(ln 1)z y x y x x y x xy xx y z x y y x y x yxx y y x xdz dx dy x y x y ∂=-⋅⋅∂=-∂=⋅⋅-∂=-∴=-+-+分+分(6)分（4）22211ln ()1 (ln 1)(3)1 ln (1ln )(5)1(ln 1)(1ln)z y x x y x y xyyx z x y xy y x y yx yy x y x ydz dx dy yx y x ∂=⋅⋅-∂=-∂=-⋅⋅∂=-∴=-+-+分+分(6)分（5）sin (3)sin 2(5)2)x y z z ydz dx ydy '=-='=-==+分分(6)分（6）2(3)(5)) (6) xyz xzdz xdx dy'=='===+分分分（7）1ln1) (3)1ln()1) (5)1)xyxzy xxy xxzy yxy yx xdz dxy x'=+⋅=+'=+⋅-=-=++分分1)(6)dyy y-分（8）221ln1(ln(3)()ln(5)1(x xy yxxyx xy yyxyx xy yz e eyeyxz e eyxeydz e dx ey'=⋅⋅='=⋅-⋅==+分分2ln(6xdyy-分（9）22221sin + cos ()(3)1(sin cos )1()sin + cos1(cos sin )(5)x xyy x x yx xyy y x yy y yz e e y x x x y y ye y x x xx y y z e e y x x x y x ye x x y xd '=⋅⋅⋅⋅-=-'=⋅-⋅⋅⋅=⋅-分分2211(sin cos )(cos sin )(6)x xyy y y y y x yz e dx e dy y x x x x x y x=-+⋅-分（10）3、计算下列二重积分（1）解：D 的图形(略)，{}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰--=--=xx D dy y x dx dxdy y x I 2)2(21)2(2110……2分⎰++-=1432)412147(x x x x 12011=……2分（2）解： D 的图形为: (略){}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰==xx Dxydy dx xydxdy I 21……2分⎰-=153)(21dx x x ……1分241=……1分（3）解：D 的图形为: (略){}1,11),(≤≤≤≤-=y x x y x D ……2分⎰⎰-=Dd y x y I σ)(22⎰⎰-=-12211)(xdy y x y dx ……2分⎰---=1122)1(41dx x 154-=……2分（4）解：D 的图形为: (略)⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=y x y y y x D 1,21),(……2分 ⎰⎰Dd y x σ22⎰⎰=21122yydx y x dy ……2分 ⎰-=215)313(dy y y ……1分6427=……1分（5）解：⎰⎰⎰⎰-++==210222x y x D y x dy edxdxdy eI ……2分⎰-=22)(dx e e x ……2分2=……2分（6）解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,10),(πy x y x D ……2分 ⎰⎰⎰⎰=2212sin sin πσydy x dx yd xD……2分⎰=12dx x 31=……2分（7）解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤≤≤=x y x y x D 20,20),(ππ……2分⎰⎰⎰⎰-+=+xDdy y x dx d y x 22)sin()sin(ππσ……2分⎰=2cos πxdx ……1分1=……1分（8）解：⎰⎰⎰⎰=11dx ye dy d ye xyDxyσ……2分 ⎰-=1)1(dy e y ……2分2-=e ……2分（9）解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤≤≤=x y x y x D 20,20),(ππ……2分⎰⎰⎰⎰-+=+xDdy y x x dx d y x x 22)sin()sin(ππσ……1分⎰⎰=+-=-2220cos )cos(πππxdx x dx y x x x……1分12-=π……2分（10）解：{}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰+=+xx Ddy y x xy dx y x xy 2)()(10……2分⎰⎰+--=+=146710322)652131()3121(2dx x x x dx xy y x x x ……1分 563=……1分4、求下列微分方程的通解（1）解：方程变形为23)(3)(1xy x y dxdy +=令x y u =，则ux y =，dxdux u dx dy +=，代入方程中得2331u u dx du x u +=+……2分分离变量得x dxdu u u =-32213……1分两边积分得13ln ln )12ln(21C x u +=--……2分微分方程的解为：Cx x y =-332……1分（2）解：方程变形为1)(2-=xy x y dx dy令x y u =，则ux y =，dxdux u dx dy +=，代入方程中得12-=+u u dx du x u ……2分分离变量得xdxdu u =-)11(……1分两边积分得1ln ln C x u u +=-……2分微分方程的解为：C xyy +=ln ……1分（3）解：方程变形为)ln 1(xy x y dx dy += 令x y u =，则ux y =，dx dux u dx dy +=，代入方程中得)ln 1(u u dxdu x u +=+……2分分离变量得xdxu u du =ln ……1分两边积分得1ln )ln(ln C x u +=……2分微分方程的解为：Cx e xy=……1分（4）解：方程变形为3)(1xx ydx dy +=令x y u =，则ux y =，dx dux u dx dy +=，代入方程中得31u u dx du x u +=+……2分分离变量得xdxu du u =+-43)1(……1分两边积分得143ln ln 31C x u u+=-……2分微分方程的解为：333yx Ce y =……1分（5）解：原方程变为：1sin 1222+-=++x x y x x dx dy ()122+=x x x p ，()1sin 2+-=x xx q()()⎰⎰+=+=1ln 1222x dx x xdx x p()()()x dx x dx e x x dx e x q x dxx p cos sin 1sin 1ln 22=-=+-=⎰⎰⎰⎰+所以 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dxx p dx x p =()()()c x x c x ex ++=++-cos 11cos 21ln 2 （c 为任意常数）（6）解：原方程变为：x x y x y 122+=-' ()x x p 2-= , ()xx x q 12+=()⎰⎰-=-=2ln 2x dx xdx x p ()()⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰-23ln 2211112x x dx x dx e x x dx ex q x dxx p所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dx x p dx x p =2121232ln 2-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-cx x c x x ex （c 为任意常数）（7）解：()xx p 1-= , ()x x q ln =()⎰⎰-=-=x dx x dx x p ln 1()()()()2ln ln ln 2ln x dx x x dx e x dx e x q x dx x p ===⎰⎰⎰⎰- 所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dx x p dx x p =()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+c x x c x e x2ln 2ln 22ln （c 为任意常数）（8）解：原方程变为：x e x y xy 32=-' ()xx p 2-= , ()x e x x q 3=()⎰⎰-=-=2ln 2x dx x dx x p()()⎰⎰⎰-===⎰-x x x x x dxx p e xe dx xe dx e e x dx e x q 2ln 3所以 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dxx p dx x p =()()c e xe x c e xe e x x x x x +-=+-2ln 2（c 为任意常数）（9）解：两边积分，得⎰+-=='12ln 2ln 2c x x x xdx y两边再积分，得()dx c x x x y ⎰+-=12ln 2212223ln c x c x x x ++-= （1c ，2c 为任意常数）（10）解：两边积分，得()11cos sin sin 1cos c x x x x c x x xd dx x x y +++=++=+='⎰⎰两边再积分，得()21212sin 2cos cos sin c x c x x x x dx c x x x x y ++++-=+++=⎰（1c ，2c 为任意常数）五、应用题1、求下列函数的极值（1）解：解：⎩⎨⎧=-+==++=012012y x f y x f yx解得驻点(-1,1). ……………4分又,2,1,2======yy xy xx f C f B f A ……………7分0032>>=-A B AC 且，故0)1,1(=-f 是极小值. ……………10分（2）解：⎪⎩⎪⎨⎧=-==+-=01230622''y f x f y x 解得驻点(3,2)，(3, -2). ……………4分又 y f f f yy xy xx 6,0,2''''''==-= ……………6分关于驻点(3,2)有，,12,0,2==-=C B A,0242<-=-B AC 故函数在点(3,2)没有极值。

【大学资料】贵州财经大学2017-2018第二学期高等数学(2)下重修参考答案

贵州财经大学
2017-2018 学年第二学期重修高等数学（2）下参考答案及其评分标准
一、选择题(每小题 2 分，共 20 分) 1 D 2 C 3 C 4 B 5 C 6 D 7 C 8 D 9 C 10 B
二、填空题 (每小题 2 分，共 20 分) 1. (1 x) e 6. 1 ；
................….6 分 ................….7 分 ................….3 分
dz 4( xdx ydy )
3. 解：令 F e xyz 则 Fx yz ， Fy xz ， Fz e x y x y (z 1)
故当 x 17, y 25 时，总成本最小.
五、证明题（本题 4 分）证明：令 F F ( x , y , z ) ，则
Fy F x z F y ， x z ， y Fx x Fz z Fy
故
.....................…3 分
Fy F F x y z ( )( z )( x ) 1 y z x Fx Fy Fz
......................….4 分
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1
因此，原级数的收敛域为 [ 2 , 4) .
..................….7 分
6. 解： P ( x ) 3 , Q ( x ) 8
P ( x ) dx P ( x ) dx ye [ Q (x ) e dx C ] 3 dx 3 dx e [ 8e dx C ]
2 (4 e 3 x ) . 3
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2 3
................................….7 分

2016-2017 第二学期《高等数学B(下) 》练习题(解答题)

2016-2017 第二学期《高等数学B （下）》练习题提交作业要求：1、在规定的时间内，按下列格式要求准确上传作业！（不要上传别的科目作业, 也不要上传其他学期的作业，本次作业题与其他学期作业题有很大变化）2、必须提交word 文档！（1）不按要求提交，会极大影响作业分数（上学期很多同学直接在网页上答题，结果只能显示文本，无法显示公式，这样得分会受很大影响）（2）若是图片，请将图片大小缩小后插入到一个word 文件中。

（3）图片缩小方式：鼠标指向图片，右键，打开方式，画图，ctrl w ，调整大小和扭曲，依据（百分比），将水平和垂直的原始数值100都改为40，另存为jpg 格式。

这样处理后，一个大约3M 的照片会缩小至几百K ，也不影响在word 中的清晰度。

网上上传也快！3、直接上传单个的word 文件！（不要若干张图片压缩成一个文件）一、判断题1. 设函数(,)f x y 在00(,)x y 点的偏导数连续，则(,)f x y 在00(,)x y 点可微. （ × ）2. 设函数(,)f x y 在00(,)x y 点可微，则(,)f x y 在00(,)x y 点的偏导数连续. （ × ）3. 二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰表示以曲面(,)z f x y =为顶，以区域D 为底的曲顶柱体的体积.（ × ）4. (,)0f x y ≥若，二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰表示以曲面(,)z f x y =为顶，以区域D 为底的曲顶柱体的体积. （ √ ）5. 若积分区域D 关于y 轴对称，则32sin()d 0.Dx y σ=⎰⎰ （ × ）6. 微分方程4()1y y y ''''-=-是四阶微分方程. （ × ）7. 微分方程cos sin sin cos x ydx y xdy =是变量可分离微分方程.（ × ）8. 微分方程cos sin sin cos x ydx y xdy =是一阶线性微分方程.（ × ）二、填空题2. 交换积分次序：110(,)ydy f x y dx -⎰⎰等于____ __；3.22222(0)sin()DD x y Rx R x y d σ+≤>+⎰⎰若：，写出二次积分：=__ ___；4. 22d cos d y yx x =微分方程的通解是 __ ___；5. 22x x e y xye x '+=属于_____________（选择“一阶线性微分方程”或“可分离变量方程”）.三、解答题1. 若(4,45)z f xy x y =+，其中f 具有连续偏导数，求.z z x y∂∂∂∂，2. ln (,)zxy yz zx z z x y y++==方程确定二元隐函数，求d .z3. 已知2222(,)arctan ,.x f ff x y y x y∂∂=∂∂求，4. 设210D x y x y ===是由直线、及所围成的有界闭区域,计算22()Dx y d σ+⎰⎰.5. 计算2222cos(),49,0,0.Dx y d D x y x y σ++≤≥≥⎰⎰其中:6. 求微分方程 ()()x yxx yyee dx e e dy ++-=-通解. 解. 这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得，7. 判断方程2220x y xy xe -'+-=的类型并求其通解.。

高等数学B(下)试卷

高等数学B(下)重修卷一、填空题1、已知函数的(,)z f x y =的全微分22dz xdx ydy =−，且(1,1)2f =，则(,)f x y = .2、函数(,,)z f x y z xy =在点(1,1,2)处的最大方向导数为 .3、设函数(,)f x y 连续，且2(,)(,)D f x y xy f x y d σ=++∫∫，其中22:1D x y +≤，则(,)Df x y d σ∫∫= .4、设函数(,)z f x y =在点(0,1)的某邻域内有连续偏导，且)(321)1,(ρo y x y x f +++=+，其中)(ρo是比ρ=高阶的无穷小，则曲面(,)z f x y =在点(0,1)处的切平面方程为 . 5、设曲线:1c x y +=，则曲线积分(1)c x y xy ds −++∫ = . 6、设幂级数0(1)n nn a x ∞=−∑在1x =−处收敛，则该级数在2x =处 .A.绝对收敛；B.条件收敛；C.发散；D.可能收敛可能发散。

二、计算下列各题1、设()f x 为连续函数，且()xy x y z f x y t dt ++=+−∫，求z z x y∂∂+∂∂. 2、设函数(,)z f x xy =，且f 具有二阶连续偏导数，求2z x y∂∂∂. 3、求函数22(,)(2)f x y x y ylny =++的极值.4、设常数0p >，讨论级数211)p n n ∞=+的敛散性. 三、求二重积分∫∫−Dd x σ)13(，其中y y x D 2:22≤+，且.x y ≥.四、求柱面21z x =−被平面1,1x y y +==以及0z =所截在第一卦限部分的面积.五、求曲线积分∫++C xdy ydx y x )3(22，其中C 为从点(2,0)A沿曲线y =到点)0,0(O 的弧.六、设∑为球面2221x y z ++=的外侧，求曲面积分222I x dydz y dzdx x zdxdy ∑=++∫∫. 七、将函数()(0)f x x x π=≤≤展开成余弦级数.八、任选下列两题中的一题进行解答. 1、求微分方程'1y x y=−的通解. 2、求垂直于平面2340x y z −+−=且交线在xoy 面上的平面.。

华南理工大学网络教育专科-高等数学B(下)第二学期

华南理工大学网络教育专科高等数学B〔下〕第二学期(单项选择题) 函数定义域为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：D问题解析：2.(单项选择题) 函数定义域为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：3.(单项选择题)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：A问题解析：4.(单项选择题)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：C问题解析：5.(单项选择题)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：A问题解析：6.(单项选择题)〔A〕〔B〕0 〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：C问题解析：7.(单项选择题)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：A问题解析：8.(单项选择题)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：C问题解析：9.(单项选择题) , 则〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：10.(单项选择题) 假设，则〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：A问题解析：11.(单项选择题) 假设，则〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：12.(单项选择题) 假设，则〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：C问题解析：13.(单项选择题) 假设，则〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：14.(单项选择题) 假设，则〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：A问题解析：15.(单项选择题) 假设则dz=〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：16.(单项选择题) 假设，则dz=〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：17.(单项选择题) 假设，则dz=〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：C问题解析：18.(单项选择题) 假设，则dz=〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：D问题解析：19.(单项选择题) 假设，则〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：C问题解析：20.(单项选择题) 假设，则〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：D问题解析：21.(单项选择题) 假设，则〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：A问题解析：22.(单项选择题) 假设，则〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：A问题解析：23.(单项选择题) 假设，则〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：A问题解析：24.(单项选择题)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：25.(单项选择题)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：C问题解析：26.(单项选择题)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：A问题解析：27.(单项选择题) 设函数在点的偏导数存在，则在点〔〕〔A〕连续〔B〕可微〔C〕偏导数连续〔D〕以上结论都不对答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：D问题解析：28.(单项选择题) 设, 则既是的驻点，也是的极小值点.答题： A. B. C.问题解析：29.(单项选择题) 〔〕〔A〕〔B〕 2 〔C〕 4 〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：30.(单项选择题) 假设〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：C问题解析：31.(单项选择题) 等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：C问题解析：32.(单项选择题)〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：33.(单项选择题) 〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：A问题解析：34.(单项选择题)〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：D问题解析：35.(单项选择题)〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：36.(单项选择题) 〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：C问题解析：37.(单项选择题) 设〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：38.(单项选择题) 设〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕A. B. C.39.(单项选择题) 设〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：40.(单项选择题) 设〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：41.(单项选择题) 应等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：C问题解析：42.(单项选择题) 应等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：A问题解析：43.(单项选择题) 等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：A问题解析：44.(单项选择题) 等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：45.(单项选择题) 交换二次积分等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：46.(单项选择题) 交换二次积分等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：C问题解析：47.(单项选择题) 交换二次积分等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：A问题解析：48.(单项选择题) 交换二次积分等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：A问题解析：49.(单项选择题) 〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：A问题解析：50.(单项选择题) 〔〕〔A〕1 〔B〕2 〔C〕3 〔D〕4答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：51.(单项选择题) 以下方程为二阶方程的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：52.(单项选择题) 〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：D问题解析：53.(单项选择题) 以下属变量可别离的微分方程的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：C问题解析：54.(单项选择题) 以下方程为一阶线性方程的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：55.(单项选择题) 方程〔〕〔A〕变量可别离方程〔B〕齐次方程〔C〕一阶线性方程〔D〕不属于以上三类方程答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：C问题解析：56.(单项选择题) 以下微分方程中属于一阶齐次方程的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：57.(单项选择题) 微分方程的通解为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：58.(单项选择题) ( )〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：59.(单项选择题) 〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：60.(单项选择题) 〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：A问题解析：61.(单项选择题) 微分方程的通解为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：62.(单项选择题) 〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕问题解析：63.(单项选择题) 的通解为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：D问题解析：64.(单项选择题) 的特解为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：B问题解析：65.(多项选择题) 则以下求偏导数的四个步骤中计算正确的有〔〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：ABCD问题解析：66.(多项选择题) 已知，则以下求全微分的四个步骤中计算正确的有〔〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：ABC问题解析：67.(多项选择题) 所确定，其中具有连续的偏导数.试证明：则下面证明过程正确的步骤有〔〕〔A〕第一步：设，则〔B〕第二步：〔C〕第三步：〔D〕第四步：答题： A. B. C. D. 〔已提交〕问题解析：68.(多项选择题) ，则以下计算正确的步骤有〔〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：ABCD问题解析：69.(多项选择题) ，则以下计算正确的步骤有〔〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：ACD问题解析：70.(多项选择题)〔〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：ACD问题解析：71.(多项选择题) 计算正确的步骤有〔〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：ABCD问题解析：72.(多项选择题) 已知步骤正确的有〔〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：AB问题解析：73.(多项选择题) 〔〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：ABCD问题解析：74.(多项选择题) 〔〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：ABC问题解析：75.(多项选择题) 〔〕答题： A. B. C.问题解析：76.(多项选择题) 已知〔〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：ABCD问题解析：77.(多项选择题) 〔〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：ABCD问题解析：78.(多项选择题) 〔〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：AB问题解析：79.(多项选择题) 求微分方程的通解的正确步骤有〔〕答题： A. B. C. D. 〔已提交〕参考答案：ABCD问题解析：80.(多项选择题) 求微分方程通解的正确步骤有〔〕答题： A. B. C.问题解析：81.(判断题) 假设的偏导数存在, 则可微. 答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：×问题解析：82.(判断题) 假设的偏导数存在, 则连续. 答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：×问题解析：83.(判断题) 假设的偏导数连续，则可微. 答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：√问题解析：84.(判断题) 假设可微，则存在.答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：√问题解析：85.(判断题) 假设可微，则连续.答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：√问题解析：86.(判断题) 假设连续，则可微.答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：×问题解析：87.(判断题) 假设连续，则偏导数存在.答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：×问题解析：88.(判断题) 假设是的极值点，则是的驻点.答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：×问题解析：89.(判断题) 假设是的极值点，且函数在点的偏导数存在，则是的驻点.答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：√问题解析：90.(判断题) 当时，二重积分表示以曲面为顶,以区域为底的曲顶柱体的体积.答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：√问题解析：91.(判断题) 在有界闭区域D上的两曲面围成的体积可表示为.答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：×问题解析：92.(判断题) 假设积分区域关于轴对称，关于是奇函数，则答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：√问题解析：93.(判断题) 假设积分区域关于轴对称，则答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：√问题解析：94.(判断题) 假设积分区域关于轴对称，则答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：√问题解析：95.(判断题) 假设积分区域关于轴对称，则答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：×问题解析：96.(判断题) 假设函数关于是奇函数，则答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：×问题解析：97.(判断题)答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：√问题解析：98.(判断题)答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：√问题解析：99.(判断题)答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：√问题解析：100.(判断题) 微分方程阶数为3. 答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：×问题解析：101.(判断题) 微分方程阶数为2 答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：√问题解析：102.(判断题) 函数答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：√问题解析：103.(判断题) 函数答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：×问题解析：104.(判断题)答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：√问题解析：105.(判断题)答题：对. 错. 〔已提交〕问题解析：106.(判断题) 微分方程是变量可别离微分方程.答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：√问题解析：107.(判断题) 微分方程是一阶线性微分方程. 答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：×问题解析：108.(判断题) 微分答题：对. 错. 〔已提交〕参考答案：√问题解析：End。

19级高等数学B1下期末补考试卷及答案

高等数学B1下（2019级工程、港工、地信等专业）一、填空与单项选择题（共30分，每小题3分）1．函数()()22,ln 1f x y x y =++- 的定义域为22{(,)|19}x y x y <+<.2. 设2322sin()2(,)()x y f x y x x y e -=+，则(1,0)x f = -2 .3．设sin xyz x e =+ ，则 dz =(cos )xy xy x ye dxxe dy++．4. 交换二次积分的积分次序：10d (,)d xx f x y y =⎰⎰210(,)y y dy fx y dx⎰⎰.5．设D 是由曲线y y x ==和y 轴所围成的区域，则二重积分Dd σ=⎰⎰8π.6．若∑∞=1)(ln n n a 收敛，则a 的取值范围是1a e e<<.7. 设),(y x f z =在点),(b a P 处偏导数存在，则0(2,)(,)limh f a h b f a b h→--= [ C ]．A ．2()f a '-B ．2(,)f a b '-C ．2(,)x f a b -D ．2(,)y f ab -．8．221d x y x y ≤+≤⎰⎰的值[ B ].Ａ．为正 B ．为负 C ．等于0 D ．不能确定 9. 下列级数中条件收敛的是 [ C ].A ．∑∞=+-1)11()1(n nnnB ．∑∞=--1132()1(n n n C ．321)1(11+-∑∞=-n n n D ．∑∞=12cos n nn10. 设级数∑∞=1n nu收敛，则必有[ D ]．A ．1(1)n n u∞=+∑收敛 B ．11n n n u u ∞+=∑收敛 C ．∑∞=1n n u 收敛 D ．112n n n u u ∞+=+∑收敛二、应用题（8分）设生产某种产品的数量与所用两种原料,A B的数量,x y之间有关系式2(,)0.005P x y x y=，欲用150元购买原料，已知,A B原料的单价分别为1元和2元，问购进两种原料各多少，可使生产的数量最多？解：由题意知2150x y+=，则可构造拉格朗日函数为：2(,,)0.005(2150)F x y x y x yλλ=++-……3分求偏导数并令其为零，得：20.0100.0052021500xyxx yλλ+=⎧⎪+=⎨⎪+-=⎩14y x=∴100,25x y==，……8分故购进A原料100，B原料25时，可使生产的数量最多.三、计算下列各题（共18分，每小题6分）1. 设2xyxz ey=+，求zx∂∂和2zx y∂∂∂.解：2xyz xyex y∂=+∂，……3分222(1)xyz xxy ex y y∂=-++∂∂. ……6分2.设(,)z f x y=是由方程0=++xy zeyzxe所确定的隐函数，求zx∂∂和zy∂∂.解：令(,,)y xF x y z xe yz ze=++，则y xFe zex∂=+∂，yFxe zy∂=+∂，xFy ez∂=+∂，……3分∴y xxxzFz e zex F y e∂+=-=-∂+，yyxzFz xe zy F y e∂+=-=-∂+. ……6分3. 设(,)y x z f x y =，且f 具有一阶连续偏导数，求yz y x z x ∂∂+∂∂. 解：∵1221z y f f x x y ⎛⎫∂''=-⋅+⋅ ⎪∂⎝⎭， 1221z x f f y x y ⎛⎫∂''=⋅+-⋅ ⎪∂⎝⎭，……4分∴ 0z zxy x y∂∂+=∂∂.……6分四、计算积分（共18分，每小题6分）1.22,Dx d D yσ⎰⎰由曲线2,,1x y x xy ===所围成. 解：222212111/1y xxxy x dy I x dx x dx yy ==⎛⎫⎪==⋅- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ……3分()2234211119424x x x x dx x x ==⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰. ……6分2.sin xydx dy yππ⎰⎰. 解：由题可知积分区域为：:0,D x x y ππ≤≤≤≤，交换积分次序将区域改写为： :0,0D y x y π≤≤≤≤，故00sin sin y xyy dx dy dy dx y yπππ=⎰⎰⎰⎰……4分sin 2ydy π==⎰.……6分3．221xy dx dy +⎰.解：由题知:01,0D x y≤≤≤≤，令cos,sinx r y rθθ==，则dxdy rdrdθ=，:01,0.2D rπθ≤≤≤≤……2分()221120011224rr rrI d e rdr e eπππθ====⋅=-⎰⎰ . ……6分五、判定级数敛散性或级数求和（共21分，第1小题5分，第2、3小题每题8分）1. 判定级数1315nn∞=+∑的敛散性.解：315lim135nnn→∞+=，∴由级数135nn∞=∑收敛知级数1315nn∞=+∑收敛．……5分2. 判定级数1(1)nn∞=-∑是绝对收敛、条件收敛或发散.解：∵12n→∞=，∴由级数1n∞=1n∞=∑发散； (4)分但数列单调递减，且0n=，由莱布尼兹判别法知级数1(1)nn∞=-∑收敛，故级数1(1)nn∞=-∑条件收敛．……8分3. 求幂级数11n n n x∞-=⋅∑的收敛域及和函数．解：对任意的0x ≠，1(1)limnn n n x x nx-→∞+⋅=，由比值判别法知，当1x < 即 11x -<<时，原级数收敛．又当1x =±时，级数发散， ∴ 收敛域为(1,1)x ∈-．……4分1201()1(1)n n n n x s x nxx x x ∞∞-==''⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑，(1,1)x ∈-．……8分六、证明题（5分）设n n n b c a ≤≤),,2,1( =n 且∑∞=1n n a 及∑∞=1n n b 均收敛，证明级数∑∞=1n n c 收敛.证明：由n n n a c b ≤≤，得 0(1,2,)n n n n c a b a n ≤-≤-=，……2分由于∑∞=1n na与∑∞=1n nb都收敛,故)(1nn na b ∑∞=-是收敛的,从而由比较判别法知，正项级数)(1n n na c∑∞=-也收敛.再由∑∞=1n na与)(1n n na c-∑∞=的收敛性可知: 级数∑∞=1n n c )]([1n n n na c a∑∞=-+=也收敛.……5分。

高等数学(下)B卷参考答案

由zx zyຫໍສະໝຸດ 3 3x2 33y20 0
，得驻点 (1, 1), (1,
1), 1, 1,1,
1
2分 2分
D zxx zxy 6x 0
z yx z yy
0 6y
D1,1 36 0 , D1,1 36 0 D1,1 36 0 D1,1 36 0
zxx (1,1) 6 0 , zxx (1,1) 6 0
令
2x2 1 得
x 1
2
2分 2分
2分
收敛半径为
R 1 2
六、解答下列各题(本大题分 2 小题, 每小题 8 分, 共 16 分)
1. 方程分离变量得 ydy xdx
两边积分得
1 y2 1 x2 1 C 2 22
代入初始条件y 3 得 C 9 x0
故所求特解为
y2 x2 9
2分
2分 2分 2分 2分
成人教育&网络教育 20XX 年 9 月试题答案
课程名称：高等数学（下） A 卷□ B 卷 √ 考试时间 100 分钟评分教师一、单项选择题（每小题 4 分，共 12 分）
职称
1． C. (或 D、或 C 与 D 都给分) 2． B.
3. D
二、填空题（每小题 4 分，共 8 分）
1． 9 2 105
2、 y y x 对应齐次方程的特征根为 r1 1 , r2 1
2分
齐次方程的通解为
y C1e x C2ex
1分
设原方程的一个特解为
y Ax ，
1分
代入原方程得 A 1， y x
2分
故所求方程的通解为 y C1e x C2ex x
2分
esin xy[( x x 2 y cos xy) sin(x y)]dy

天津城建大学高等数学b2试题及答案

天津城建大学高等数学b2试题及答案1、2.比3大- 1的数是[单选题] *A.2(正确答案)B.4C. - 3D. - 22、-270°用弧度制表示为（）[单选题] *-3π/2(正确答案)-2π/3π/32π/33、下列各式与x3? ?2相等的是( ) [单选题] *A. (x3) ? ?2B. (x ? ?2)3C. x2·(x3) ?(正确答案)D. x3·x ?＋x24、下列说法中，正确的是[单选题] *A.一个有理数不是正数就是负数(正确答案)B.正分数和负分数统称分数C.正整数和负整数统称整数D.零既可以是正整数也可以是负整数5、下列计算正确的是( ) [单选题] *A. 9a3·2a2=18a?(正确答案)B. 2x?·3x?=5x?C. 3 x3·4x3=12x3D. 3y3·5y3=15y?6、11．11点40分，时钟的时针与分针的夹角为（）[单选题] * A．140°B．130°C．120°D．110°(正确答案)7、1、方程x2?-X=0 是（? ? ）? ? ? ? ? ? 。

[单选题] *A、一元一次方程B、一元二次方程(正确答案)C、二元一次方程D、二元二次方程8、已知二次函数f（x）=2x2-x+2，那么f（2）的值为（）。

[单选题] *1228(正确答案)39、21、在中,为上一点,,且,则（）. [单选题] *A. 24B. 36C. 72(正确答案)D. 9610、10．下列各数：5，﹣，03003，，0，﹣，12，1010010001…（每两个1之间的0依次增加1个），其中分数的个数是（）[单选题] *A．3B．4(正确答案)C．5D．611、2．(2020·新高考Ⅱ，1,5分)设集合A={2,3,5,7}，B={1,2,3,5,8}，则A∩B=( ) [单选题] * A．{1,8}B．{2,5}C．{2,3,5}(正确答案)D．{1,2,3,5,7,8}12、下列说法正确的是[单选题] *A.两个数的和必定大于每一个加数B.两个数的和必定不大于每一个加数C.两个有理数和的绝对值等于这两个有理数绝对值的和D.如果两个数的和是负数，那么这两个数中至少有一个是负数(正确答案)13、4．在﹣，，0，﹣1，4，π，2，﹣3，﹣6这些数中，有理数有m个，自然数有n 个，分数有k个，则m﹣n﹣k的值为（）[单选题] *A．3(正确答案)B．2C．1D．414、37．若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为（）[单选题] *A．±8(正确答案)B．﹣3或5C．﹣3D．515、29．已知2a＝5，2b＝10，2c＝50，那么a、b、c之间满足的等量关系是（）[单选题] *A．ab＝cB．a+b＝c(正确答案)C．a：b：c＝1：2：10D．a2b2＝c216、27.下列各函数中，奇函数的是（）[单选题] *A. y=x^(-4)B. y=x^(-3)(正确答案)C .y=x^4D. y=x^(2/3)17、下列计算正确的是( ) [单选题] *A. (－a)·(－a)2·(－a)3＝－a?B. (－a)·(－a)3·(－a)?＝－a?C. (－a)·(－a)2·(－a)?＝a?D. (－a)·(－a)?·a＝－a?(正确答案)18、8．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图所示图形，则∠BFD的度数是( ) [单选题] *A．15°(正确答案)B．25°C．30°D．10°19、9. 一个事件发生的概率不可能是(? ? ?) [单选题] *A．0B．1/2C．1D．3/2(正确答案)20、45．下列运算正确的是（）[单选题] *A．（5﹣m）（5+m）＝m2﹣25B．（1﹣3m）（1+3m）＝1﹣3m2C．（﹣4﹣3n）（﹣4+3n）＝﹣9n2+16(正确答案)D．（2ab﹣n）（2ab+n）＝4ab2﹣n221、用角度制表示为（）[单选题] *30°(正确答案)60°120°-30°22、4．﹣3的相反数是（）[单选题] *A.BC -3D 3(正确答案)23、点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（5，8），则它们的中点坐标是（D）[单选题] *A、（3，4）B、（3，5）C、（8，12）D、（4，6）(正确答案)24、5．已知集合A={x|x=3k＋1，k∈Z}，则下列表示不正确的是( ) [单选题] *A．－2∈AB．2 022?AC．3k2＋1?A(正确答案)D．－35∈A25、29、将点A(3,-4)平移到点B(-3,4)的平移方法有（）[单选题] *A.仅1种B.2种C.3种D.无数多种(正确答案)26、若m·23＝2?，则m等于[单选题] *A. 2B. 4C. 6D. 8(正确答案)27、4．(2020·天津，1,5分)设全集U={－3，－2，－1,0,1,2,3}，集合A={－1,0,1,2}，B={－3,0,2,3}，则A∩(?UB)=( ) [单选题] *B．{0,2}C．{－1,1}(正确答案)D．{－3，－2，－1,1,3}28、已知10?＝5，则100?的值为( ) [单选题] *A. 25(正确答案)B. 50C. 250D. 50029、25．下列式子中，正确的是（）[单选题] *A．﹣|﹣8|＞7B．﹣6＜|﹣6|(正确答案)C．﹣|﹣7|＝7D．|﹣5|＜30、14．在防治新型冠状病毒的例行体温检查中，检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作“0”。

04届,华南理工大学,高等数学第二学期重修(考)试卷(共3页)

04届,华南理工大学,高等数学第二学期重修（考）试卷华南理工大学高等数学第二学期重修试卷院系：专业班级：学号：姓名：题号一二三四五六总分得分题号七八九十十一得分一、选择题：在括号内填上所选项字母 1、过点和直线的平面方程是 (A)；(B)；(C)；(D) 2、已知曲面上在点处的切平面平行于平面，则点的坐标是(A)；(B) ；(C) ；(D) 3、设为连续函数，则改换二次积分的积分次序等于(A) ；(B) ；(C) ；(D) 4、设曲线为圆周且取正向，则曲线积分 (A)；(B) ；(C) ；(D) 5、通解为的微分方程是(A)；(B) ；(C)；(D) 二、填空题：将答案填写在横线上 1、已知空间向量的方向余弦为，且，又向量，则。

2、函数在点处沿点指向点方向的方向导数为。

3、设是圆域，则当时，有4、改变二次积分的积分次序，则。

5、微分方程的特解的形式是。

三、设，其中和具有二阶连续导数，求。

四、计算三重积分，其中是由曲面与所围成的闭区域。

五、求曲线积分，其中为从点沿曲线到点的一段。

六、计算对面积的曲面积分，其中是球面被柱面截下的部分。

七、求经过点且与三个坐标面所围成的四面体体积为最小的平面，并求其最小的体积。

八、设，其中是由确定的隐函数，求。

求幂级数的收敛域。

九、计算二重积分，其中。

将函数展开成的幂级数。

十、求微分方程满足初始条件的特解。

十一、设具有二阶连续导数，且曲线积分与积分路径无关，求函数。

十二、。

高等数学(下)重修考试题

高等数学(下)重修练习题1．设a 是从点A (2, 1, 2)到点B (1, 2, 1)的向量, 则与a 同方向的单位向量为a ︒=_______. 2．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则|a +b |=________. 3．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则|a -b |=________. 4．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则a ⨯b =________.5．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则与a 和b 都垂直的向量c =_______ 6．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则cos(a ,^ b )=________.7．设向量a ={2, 1, 2}, 则与a 的方向相同而模为2的向量b =________.8．1. 以向量a =(1, 1, 2)与b =(2, -1, 1)为邻边的平行四边形的面积为________.9．以曲线⎩⎨⎧==+x z zy x 222为准线, 母线平行于z 轴的柱面方程是________.10．2. 以曲线220x y zx y z ⎧+=⎨+-=⎩为准线, 母线平行于z 轴的柱面方程是________.11．2. 曲线⎩⎨⎧==-+00222y z z x 绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为________.12．2. 曲线2220y z z x ⎧+-=⎨=⎩绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为________.13．2. 旋转抛物面x 2+y 2=z 与平面x +z =1的交线在xoy 面上的投影方程为________. 14．2.锥面z =x =z 2的交线在xoy 面上的投影方程为_________.15．2. 过点M (1, 2, -1)且与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是________.16．2. 过点M (1, 2, -1)且与直线421131y x z +-+==-垂直的平面方程是________. 17．2. 过点M (1, 2, 1)且与平面2x +3y -z +2=0垂直的直线方程是_________. 18．2. 过点M (1, -1, 2)且与平面x -2y +1=0垂直的直线方程是________.19．函数f (x , y )在点P 0处的偏导数存在是函数f (x , y )在P 0处连续的( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 20．函数f (x , y )在点P 0处连续是函数f (x , y )在P 0处的偏导数存在的( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 21．函数f (x , y )在点P 0处连续是函数f (x , y )在P 0处可微分的( ).(A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 22．若f (x , y )在点P 0的某个邻域内( ), 则f (x , y )在P 0处可微.(A)连续; (B)有界; (C)存在两个偏导数; (D)存在连续的一阶偏导数.23．3. 设z =f (x 2+y 2, x 2-y 2, 2xy ), 且f (u , v , w )可微分, 则xz∂∂=________.24．3. 设w =f (u , v ), u =xy , v =x 2+y 2, 且f (u , v )可微分, 则w x∂=∂________.25．3. 设z =ln(1+x 2+y 2), 则d z |(1, 1)= ________.26．设f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 则梯度grad f (1, -1, 2)= ________. 27．设f (x , y , z )= x 3y 2z , 则梯度grad f (1, 1, 1)= ________.28．函数f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2在点(1, -1, 2)处沿方向________的方向导数最大.29．函数f (x , y , z )= x 3y 2z 在点(1, 1, 1)处沿方向_____{3,2,1}_______的方向导数最大. 30．函数f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2在点(1, -1, 2)处方向导数的最大值为________. 31．函数f (x , y , z )= x 3y 2z 在点(1, 1, 1)处方向导数的最大值为________. 32．交换二次积分的积分次序, 则100d (,)d yy f x y x ⎰⎰=________. 33．交换二次积分的积分次序, 则11d (,)d xx f x y y ⎰⎰=________.34．交换二次积分的积分次序,则10d (,)d y y x y x ⎰=________.35．交换二次积分的积分次序, 则210d (,)d xxx f x y y ⎰⎰=________.36．设D 为上半圆域x 2+y 2≤4(y ≥0), 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.37．设D 是由两个坐标轴与直线x +y =1所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=______.38．设D 是由直线x =1、y =x 及x 轴所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.39．设D 是由椭圆221916y x+=所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.40．设L为上半圆y则曲线积分Ls ⎰=________.41．设L 为圆x 2+y 2=1,则曲线积分Ls ⎰=________.42．设L为上半圆y 则曲线积分22ln(1)d Lx y s ++⎰=________. 43．设L 为圆x 2+y 2=1, 则曲线积分22ln(1)d Lx y s ++⎰=________.44．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则22d d Lxy x x y +⎰=________.45．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则 (e cos )d e sin d x x Ly x x y y --⎰=________.46．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则 22d (2)d Lxy x x x y ++⎰=________.47．设L是由上半圆y x 轴所围成的区域的正向边界, 则22d (2)d Lxy x x x y ++⎰=________.48．若p 满足________,则级数n ∞=. 49．若p 满足________,则级数n ∞=收敛.50．若q 满足________, 则级数0()2n n q a ∞=∑收敛.51．若p 满足________, 则级数01()2n n n p ∞=+∑收敛. 52．若p 满足________, 则级数2011()pn n n ∞=+∑收敛. 53．设1n n u ∞=∑是任意项级数, 则lim 0n n u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的( )条件.(A)充分; (B)必要; (C)充分必要; (D)无关.54．设1n n u ∞=∑是任意项级数, 则级数1n n u ∞=∑收敛是级数1n n ku ∞=∑(k ≠0)收敛的( )条件.(A)充分; (B)必要; (C)充分必要; (D)无关. 55．下列级数中收敛是( A ).(A)11(1)1nn n ∞=-+∑; (B)11n n ∞=∑; (C)111()2n n n ∞=+∑;(D)n ∞=.56．下列级数中绝对收敛的是( C ).(A)1(1)nn ∞=-∑; (B)11(1)n n n ∞=-∑; (C)11(1)2n n n ∞=-∑; (D)11(1)(1)n n n n ∞=-+∑.57．下列级数中绝对收敛的是( D ).(A)1(1)nn ∞=-∑; (B)11(1)n n n ∞=-∑; (C)11(1)(1)nn n n ∞=-+∑; (D)211(1)n n n ∞=-∑.58．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R , 则当x =R 时, 幂级数0n n n a x ∞=∑ ( ).(A)条件收敛; (B)发散; (C)绝对收敛; (D)可能收敛, 也可能发散. 59．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R , 则当x =-R 时, 幂级数0n n n a x ∞=∑ ( ).(A)条件收敛; (B)发散; (C)绝对收敛; (D)可能收敛, 也可能发散. 60．如果幂级数0n n n a x ∞=∑在x =2处收敛, 则收敛半径为R 满足( ).(A)R =2; (B)R >2; (C)R ≥2; (D)R <2.61．如果幂级数0n n n a x ∞=∑在x =-2处收敛, 则收敛半径为R 满足( C ).(A)R =2; (B)R >2; (C)R ≥2; (D)R <2.62．将函数21()1f x x =+展开为x 的幂级数, 则f (x )=_______.63．将函数21()1f x x =-展开为x 的幂级数, 则f (x )=________.64．将函数1()4f x x =-在区间________可展开为x 的幂级数.65．将函数1()12f x x=+在区间________可展开为x 的幂级数.66．求通过直线113y x z==和点(2, -1, 1)的平面方程.67．求过三点A (1, 0, -1)、B (0, -2, 2)及C (1, -1, 0)的平面的方程.68．求通过点(1, 2, -1)且与直线23503240x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩垂直的平面方程.69．求通过点(1, 2, -1)且与直线23503240x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩平行的直线方程.70．求通过点(1, 2, -1)且与平面2x -3y +z -5=0和3x +y -2z -4=0都平行的直线方程.71．设z =x sin(x +y )+e xy, 求z y ∂∂, 2z ∂, 2z y x∂∂∂.72．设z =ln(1+xy )+e 2x +y, 求z x ∂∂, 22z x ∂∂, 2z x y ∂∂∂.73．设z =(2x +3y )2+x y, 求z x ∂∂, 22z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.74．设z =x y, 求z x ∂∂, 2z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.75．设z =x y, 求z ∂, 2z ∂, 2z ∂.76．设z =x sin(2x +3y ), 求z x ∂∂, 22z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.77．设z =f (x , y )由方程x e x -y e y =z e z 确定的函数, 求z x ∂∂,z y ∂∂.78．设z =f (x , y )由方程x +y -z =x e x -y -z 确定的函数, 求z x∂∂, zy ∂∂.79．已知z =u 2ln v , 而x u y =, v =3x -2y , 求z x ∂∂, zy∂∂.80．设z =u ⋅sin v , 而u =e x +y , v =x 2y , 求z x ∂∂, zy ∂∂.81．设z =e u sin v , 而u =x -y , v =x 2y , 求z x ∂∂, zy∂∂.82．求曲面z =ln(1+x +y )上点(1, 0, ln2)处的切平面方程. 83．求曲面z =1+2x 2+y 2上点(1, 1, 4)处的切平面方程. 84．求曲面e z -z +xy =3上点(2, 1, 0)处的切平面方程.85．求空间曲线2231y x z x =⎧⎨=+⎩在点M 0(0, 0, 1)处的切线方程.86．求空间曲线x =a cos t , y =a sin t , z =bt 在对应于t =0处的切线方程.87．计算二重积分22()d Dx y x σ+-⎰⎰, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域.88．计算二重积分2d Dxy σ⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =0, x =1所围成的区域.89．计算二重积分sin d Dx y σ⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =0, x =π所围成的区域.90．计算二重积分(e )d y Dxy σ+⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =1, x =-1所围成的区域.91．计算二重积分3(Dx σ+⎰⎰, 其中D 是由曲线y =x 2, 直线y =1, x =0所围成的区域.92．计算二重积分22e d xy Dσ+⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.93．计算二重积分1d 1Dx yσ++⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.94．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面z z =0所围成的闭区域.95．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面z =1-x 2-y 2及平面z =0所围成的闭区域.96．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由柱面x 2+y 2=1及平面z =0, z =1所围成的闭区域.97．计算曲线积分2(1)d lx s +⎰, 其中l 为圆周x 2+y 2=1.98．计算曲线积分s ⎰，其中l 为抛物线y =x 2(-1≤x ≤1).99．计算曲线积分22()d (2)d CI x y x x y =+++⎰, 其中C 是以O (0, 0), A (1, 0), B (0, 1)为顶点的三角形的正向边界.100．计算曲线积分222()d ()d LI x y x x y y =+++⎰, 其中L 是从O (0, 0)到A (1, 1)的抛物线y =x 2,及从A (1, 1)到O (0, 0)的直线.101．计算曲线积分43224(4)d (65)d LI x xy x x y y y =++-⎰, 其中L 是从(-2, 0)到(2, 0)的半圆x 2+y 2=4(y ≥0).102．计算曲线积分22d d LI xy x x y y =+⎰, 其中L 是曲线y =ln x 上从A (1, 0)到B (e , 1)的一段.∑104．计算曲面积分22()d x y S ∑+⎰⎰, 其中∑为平面x +y +z =1含于柱面x 2+y 2=1内的部分.105．计算曲面积分2d d z x y ∑⎰⎰, 其中∑为上半球面z x 2+y 2=1内的部分的上侧.106．计算曲面积分22d d d d d d y z x y x y z x y z x ∑++⎰⎰, 其中∑是由圆柱面x 2+y 2=R 2和平面x =0,y =0, z =0及z =h (h >0)所围的在第一卦限中的一块立体的表面外侧.107．计算曲面积分22(2)d d d d d d x z y x x y z x xz x y ∑-+-⎰⎰，其中∑是正方体0≤x ≤a , 0≤y ≤a ,0≤z ≤a 的表面的外侧.108．判别级数021!n n n ∞=+∑的敛散性. 109．判别级数213n n n ∞=∑的敛散性.110．判别级数1e()n n π∞=∑的敛散性.111．判别级数∑∞=1!100n nn 的敛散性112．判别级数111(1)2n n n n ∞--=-∑是否收敛？若收敛, 是绝对收敛还是条件收敛？113．求幂级数1(1)nn n ∞-=-∑的收敛半径和收敛区间. 114．求幂级数234 234x x x x -+-+⋅⋅⋅的收敛半径和收敛区间. 115．求幂级数1nn n x n∞=∑的收敛半径和收敛区间.116．将1()2f x x =+展成x 的幂级数, 并写出展开式成立的区间.117．将f (x )=x 3e -x 展成x 的幂级数, 并写出展开式成立的区间.118．将1()2f x x=+展开为(x -1)的幂级数, 并写出展开式成立的区间.119．将1()4f x x=-展开为(x -2)的幂级数, 并写出展开式成立的区间.120．求函数f (x , y )=2x +2y -x 2-y 2的极值. 121．求函数f (x , y )=3x +2y -x 3-y 2的极值.122．求函数f (x , y )=x 2+5y 2-6x +10y +6的极值. 123．求函数f (x , y )=y 3-x 2+6x -12y +5的极值。

高等数学重修课考试试卷(B)答案及评分标准

北方交通大学1999-2000学年第二学期高等数学重修课考试试卷（B ）答案及评分标准一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1． ()()()=++-∞→5028020152312limxx x x _________．2．曲线⎩⎨⎧==t e y te x tt cos 2sin 在点()10，处的法线方程为 ______________________． 3．设函数()x f 在区间()∞+∞-，上连续，且()20=f ，且设()()⎰=2sin x xdt t f x F ，则()='0F _________． 4．已知()x xe x f =2，则()=⎰-11dx x f ________________．5．抛物线()a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为 ___________________．答案： ⒈ 508020532⋅； ⒉ 012=-+y x ； ⒊ 2-；⒋ ee 34--；⒌()613a +．二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。

以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效． 1．指出下列函数中，当0+→x 时，_____________为无穷大量．（A ）．12--x ；（B ）．xx s e c 1s i n +；（C ）．xe -；（D ）．x e 1-．2．设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=113223x xx x x f ，则()x f 在点1=x 处的______________ ．（A ）．左右导数都存在；（B ）．左导数存在，但右导数不存在；（C ）．左导数不存在，但右导数存在；（D ）．左、右导数都不存在． 3．已知函数()()()()()4321----=x x x x x f ，则方程()0='x f 有______________ ．（A ）．分别位于区间()21，，()31，，()41，内的三个根；（B ）．分别位于区间()21，，()32，，()43，内的三个根；（C ）．四个实根，分别位于区间()10，，()21，，()32，，()43，内；（D ）．四个实根，它们分别为11=x ，22=x ，33=x ，44=x ． 4．设函数()x f 有原函数x x ln ，则()=⎰dx x xf ___________ ．（A ）．C x x +⎪⎭⎫⎝⎛+ln 41212；（B ）．C x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+ln 21412；（C ）．C x x +⎪⎭⎫⎝⎛-ln 41212；（D ）．C x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-ln 21412． 5．设区间[]b a连续函数()x f 满足关系式：()0=⎰badx x f ，则________ ．（A ）．在区间[]b a的某个小区间上有()0=x f ；（B ）．对区间[]b a 上的所有点x ，有()0=x f ；（C ）．在区间[]b a 内至少有一点x ，使得()0=x f ；（D ）．在区间[]b a 内不一定有()0=x f ．答案：⒈ （D ）； ⒉ （A ）； ⒊ （B ）； ⒋ （B ）； ⒌ （C ）．三．（本题满分6分）讨论函数()x x x x f nnn 2211lim+-=∞→的连续性，若有间断点，判断其类型．解： ()⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=→∞110111lim22x x x x x x x x x f nnn ……3 由于 ()()1l i m l i m 11=-=---→-→x x f x x ()1l i m l i m 11-==++-→-→x x f x x 因此1-=x 是()x f 的第一类跳跃型间断点． (4)由于 ()1l i m l i m 11==--→→x x f x x ()()1lim lim 11-=-=++→→x x f x x 因此1=x 是()x f 的第一类跳跃型间断点． ......5 ()x f 除1±=x 外处处连续． (6)四．（本题满分6分）设()x x x a a a y arccos 12-+= （其中0>a ，1≠a 为常数），试求dy ．解：()x x xx x x x aa a a a a a a a a dx dy 22221ln 1arccos 1ln ln -⋅----= ()xxx a aa a a r c c o s1ln 22--= ……4 所以，()dx a a aa dx y dy x xx arccos 1ln 22--='= (6)五．（本题满分6分）设()x x x f 22tan sin 2cos +=+'，试求()x f ．解：()()()C x d x f x f +++'=+⎰2c o s 2c o s 2c o s (2)()()C x d x x ++=⎰c o s t a n s i n 22()C x d x x +⎪⎭⎫⎝⎛-+-=⎰c o s 1c o s 1c o s 122()C x d x x+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰c o s c o s c o s 122 C x x +--=3c o s 31c o s 1 ……4 所以，()()C x x x f +----=32213 (6)六．（本题满分7分）计算定积分⎰---222324dx x x ．解：令t x sec 2=，则dt t t dx tan sec 2=，当2-=x 时，π=t ；当22-=x 时，43π=t ．并且由于t tan 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，43上取负值，因此t t t t x x 23232c o s s i n 41s e c 84s e c 44-=-=- (3)⎰⎰⋅-=---43222232t a n s e c 2c o s s i n 414ππdt t t t t dx x x ⎰=ππ432s i n 21dt t162-=π (7)七．（本题满分7分）设函数()x y y =由方程()y y f e xe=所确定，其中函数f 具有二阶导数，且1≠'f ，试求22dxy d ．解：两端取对数，得()y y f x =+ln 上式两端对x 求导，得 ()y y y f x'=''+1所以，()()y f x dx dy '-=11 ……3 因此，()()()()()()()()()32222221111y f x y f y f y f x y y f x y f dx y d '-''-'-='-'''-'-= (7)八．（本题满分7分）研究函数()1--=x e x x f 的极值．解：()⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤-=---1100111x xe x xex xe x f xx x ， ()x f 在()∞+∞-，上处处连续．所以，()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-<<+<+-='---1110101111x e x x e x x e x x f xx x在点0=x 及1=x 处，()x f 不可导．再令()0='x f ，得()x f 的驻点1-=x ． (4)因此，()x f 有极大值()21-=-e f ，()11=f ；极小值()00=f ． (7)九．（本题满分7分）求由圆()16522=-+y x 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积．解：因为，2165x y -±= ()44≤≤-x ，而所求环体的体积是由半圆2165x y -+=与半圆2165x y --=绕x 轴旋转生成的旋转体的体积之差，即 ()()⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+=442222165165dx xx V π (4)⎰--=4421620dx x π2160π= (7)十．（本题满分8分）证明：当0>x 时，()()221ln 1-≥-x x x．解：令()()()221ln 1---=x x x x ϕ，则()01=ϕ， (2)()xx x x x 12ln 2-+-='ϕ令()0='x ϕ，得1=x ，即1=x 是函数()x ϕ在区间()∞+，0上的唯一驻点． (4)()211ln 2x x x -+=''ϕ，所以()11>''ϕ，故1=x 是函数()()()221ln 1---=x x x x ϕ的极小值点，由于它是唯一的极值点，从而也是函数()()()221ln 1---=x x x x ϕ的最小值点． (6)即当0>x 时，()()()()011ln 122=≥---=ϕϕx x x x因此，当0>x 时，()()221ln 1-≥-x x x ． (8)十一．（本题满分8分）设()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎰⎰000sin 12002x x xdtdu u t x f x t ϕ ，其中()u ϕ为连续函数，试讨论()x f 在0=x 点处的连续性与可导性．解：()()()xdt du u t x f xt x x 20000sin 1lim lim 2⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=→→ϕ， ()()200021l i m xdt du u t x t x ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=→ϕ ()()xduu x x x 21lim2⎰-=→ϕ()()()221lim22xx x du u xx ⋅-+=⎰→ϕϕ()00f ==因此函数()x f 在0=x 点处连续． (4)()()()()xx dt du u t x f x f xt x x 0sin 1lim 0lim 200002-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-⎰⎰→→ϕ ()()300021l i m xdt du u t x t x ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=→ϕ()()()xx x x du u x x 621lim22⋅-+=⎰→ϕϕ()()()x xx x x duu x xx 621lim6lim2002⋅-+=→→⎰ϕϕ ()()03162l i m 20ϕϕ-⋅=→x x x()031ϕ-=所以，函数()x f 在在0=x 点处可导，且()()0310ϕ-='f (8)十二．（本题满分8分）已知平面曲线L 的方程为()x y x 8222=+ ，考虑把曲线L 围在内部且各边平行于坐标轴的矩形，试求这些矩形中的最小值．解：由()x y x 8222=+，知0≥x ，所以228x x y -=，因此082≥-x x ，由此得2≤x ．故定义域为[]20，．又曲线关于x 轴对称，令0=y ，得01=x ，2=x ；令0=x ，得0=y ．因此曲线与x 轴的交点为()00，与()02，；与y 轴的交点只有()00，．对曲线方程的两端求导，得()()822222='++y y x y x 即 x yx y y -+='228．得驻点321=x ，对应的323±=y ．又 ()()12222222-+'+⋅-=''+'yxy y x y y y ，因此在点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332321，处，0<''y ；在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332321，处，0>''y ．即函数()x y y =的最大值为323，最小值为323-．过点()00，，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332321，，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-332321，，()02，作平行于坐标轴的直线所围成的矩形即为所求，该矩形的面积为3234．。

201X-2014高数B1重修试题B卷

学生数 122印数 130 考核方式闭卷考核时间 120 分钟系别班级学号姓名答案写在试卷上，否则无效！一.填空题：（每空2分，共12分） 1. 数列n u 收敛的必要条件是。

2. 2=x 是函数的间断点。

3.xx x 1sinlim 20→=。

4. 设22,2cos sin =⎩⎨⎧==x dxdy ty tx =。

5. 设dy x y ,sec 2==。

6. 函数7186223---=x x x y 的单调递减区间为。

二．求下列函数的极限（每小题5分，共15分）。

30sin tan lim x xx x -→243lim2---→x xx x（1）（2）（3）三. 求下列函数的导数（每小题5分，共10分）。

（1）21sin x y +=，求'y (2已知)y xe y -=1,求dxdy四．计算下列不定积分（每小题5分，共20分）。

（1）（2）()x x x 121lim -→dxx⎰-3213dxx ⎰+291（3）（4）⎰xdx x ln 2五．计算下列定积分（每小题5分，共15分）。

（1）xdx x 320cos sin ⎰π（2）dx x x⎰-+3132（3）dx x x ⎰1arctan六．求函数x x y -+=1的极值（8分）。

dx xx ⎰-1七．求曲线13234++-=x x x y 的拐点和凹凸区间（10分）。

八．求由曲线,2x y = 以及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积（10分）。

29270 7256 牖} 26144 6620 映 39286 9976 饶23296 5B00 嬀25698 6462 摢23465 5BA9 宩24274 5ED2 廒35798 8BD6 诖D28292 6E84 溄K2=x。

高数B(下)试题

高数B （下）试题一、填空题1、设函数2(1)arctan yy z x e x x=+-，则(1,0)x z '=________. 2、若积分区域D 为222x y x +≤，则二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的二次积分为。

3、设L 是从A （1，0）到B （-1，2）的线段，则曲线积分()L x y ds +=⎰________. 4、若级数0n nn a x ∞=∑在5x =-处条件收敛，则该级数的收敛半径为________.5、微分方程为250y y y '''-+=的通解为________.二、选择题1、22z x y =+在点(1,2)处沿着从点(1,2)到点(2,2+的方向的方向导数为（）)A 2+ )B 1+； )C 2+ )D 4.2、二次积分202(,)y y dy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为（） )A 122201(,)(,)x x x dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰⎰⎰； )B 220(,)xdx f x y dy ⎰⎰；)C 220(,)x x dx f x y dy ⎰⎰； )D 120212(,)(,)x xx dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰⎰⎰. 3、已知()(34)x ay dx x y dy +++为某一函数的全微分，则a =（）)A 0； )B 1； )C 3； )D 44、若级数0n n a∞=∑收敛且(1,2,)n n a b n ≥= ，则级数0n n b ∞=∑（）)A 发散； )B 绝对收敛； )C 条件收敛； )D 敛散性不定5、方程///2323y y y x x -+=+的一个特解应具有形式（） )A 2(3)a x x +； )B 2ax bx c ++； )C )(2c bx ax x ++； )D )(22c bx ax x ++.三、计算题1、求偏导数：1）,yz u u x x∂=∂求； 2）(,,)0,F x x y x y z F +++=可微，求z x ∂∂。