质点系角动量)
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第52节质点系的角动量定理及角动量守恒定律
mgl sin kˆ
BABrB(AW ˆj)ˆjl
(sin ( B
iˆ ˆj) ˆj
cosˆj) 0
(mgˆj)
mgl
sin
kˆ
拉力 T 的力矩：
A
rA
T
(l sin iˆ) T (sin iˆ cosˆj)
z 轴通过滑轮的轴线垂直纸面向外。
x
设滑轮的半径为 r 由于是理想滑轮，故两边绳的拉力相等；在法码脱离弹簧前，两 边法码和法码盘所受的重力也相等；故外力对 z 轴的力矩为零，体系 对 z 轴的角动量守恒。
v
m m
mm
初态：法码和法码盘静止，所以 Lz = 0;
v1
v2
末态：
设被弹起的砝码的速度为 v ， v 垂直向上， v vˆj ，对 z 轴的角动量：
L
r1
(mv)
mrvkˆ
两侧砝码盘的速度分别为
v1
和
v2
，
v1
方向垂直向下，
v2
方向垂直向上。由于绳不
伸长，故|
v1
|=|
v2
|=v
左侧的砝码盘向下运动：
v1
vˆj
，对
z
轴的角动量：
L1
r1
(mv1
)
mrv
kˆ
右侧的砝码和砝码盘一起运动，
（1）抓住绳子前： L mvr 70 6.55 2275kgm2/s
抓住后，每个运动员将围绕 O 点作圆周运动，速率不变。由于速度方向还是与位置矢
4-3角动量
1
对每个质点，根据角动量定理列方程 ：
பைடு நூலகம்
dln dl1 dl2 M1 , M2 , , M n dt dt dt
n个方程相加
d M 1 M 2 M n (l1 l2 ln ) dt
或
n dL M i dt i 1
2
考虑质点间的相互作用
M i M 外 M内
因为 M 内 0
直接表示为
所以 M 外
dL dt
dL M dt
质点系的角动量定理表述： 质点系对某参考点的角动量随时间的变化率，等 于该质点系所受外力对同一参考点的力矩的矢量和。
3
二、质点系角动量守恒定律
当 M 0 时
L 恒矢量
如果外力对参考点O的力矩的矢量和始终等于零 那么质点系对同一参考点的角动量不随时间变化。 当
M
z
0时
Lz
恒量
上式称为质点系对轴的角动量守恒定律。
4
*§4-3 质点系角动量守恒定律
一、质点系的角动量定理 设质点系有n个质点组成 质量 位矢
m1 , m2 ,, mn
速度
力矩
v1 , v2 ,, vn
M 1 , M 2 , , M n
r1 , r2 ,, rn
质点系的角动量为所有质点的角动量的矢量之和
n n L li ri mi vi i 1 i 1
对每个质点，根据角动量定理列方程 ：
பைடு நூலகம்
dln dl1 dl2 M1 , M2 , , M n dt dt dt
n个方程相加
d M 1 M 2 M n (l1 l2 ln ) dt
或
n dL M i dt i 1
2
考虑质点间的相互作用
M i M 外 M内
因为 M 内 0
直接表示为
所以 M 外
dL dt
dL M dt
质点系的角动量定理表述： 质点系对某参考点的角动量随时间的变化率，等 于该质点系所受外力对同一参考点的力矩的矢量和。
3
二、质点系角动量守恒定律
当 M 0 时
L 恒矢量
如果外力对参考点O的力矩的矢量和始终等于零 那么质点系对同一参考点的角动量不随时间变化。 当
M
z
0时
Lz
恒量
上式称为质点系对轴的角动量守恒定律。
4
*§4-3 质点系角动量守恒定律
一、质点系的角动量定理 设质点系有n个质点组成 质量 位矢
m1 , m2 ,, mn
速度
力矩
v1 , v2 ,, vn
M 1 , M 2 , , M n
r1 , r2 ,, rn
质点系的角动量为所有质点的角动量的矢量之和
n n L li ri mi vi i 1 i 1
质点角动量定理 角动量守恒
v2
o
v1
4)角动量守恒定律是物理学的基本定律之一。不 仅适用于宏观体系，也适用于微观系统。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
例1 一小球在光滑平面上作圆运动，小球被穿 过中心的线拉住 。开始时绳半径为r1 ，小球速 率为 v1 ；后来，往下拉绳子，使半径变为 r2 ， 小球速率变为 v2 ，求v2 =？
ri fi 0
i
有
dL M外 dt
质点系的角动量定理：质点系对某定点的角 动量的时间变化率等于质点系对该点的合外 力矩。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
结论：
1）内力对定点的力矩之和为零。 2）只有外力矩才能改变系统的总角动量。 3.质点系的对轴的角动量
L Lx i Ly j Lz k
当质点系对某点的合外力矩为零时，则质点 系对该点的角动量保持不变，称为角动量守恒定 律。
角动量守 恒例题
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
盘状星系——角动量守恒的结果
质点系对o点的角动量
r2
o
r1
L Li ri Pi
i i
质点系对o点的角动量等于系统中各质点对 同一点角动量的矢量和。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
2.质点系的角动量定理
用 f i 表示第i个质点所受内力之和
用 Fi 表示第i个质点所受外力之和
三、质点的角动量定理 dP 由牛顿第二定律 F dt
dP 两边用位矢叉乘 r F r dt dp d dr r (r p) p dt d dt t
由速度定义
dr v v p 0 dt
质点系角动量守恒定律
dL τ ，再考虑诸质点所受惯性力的力矩，即得 dt
dL τ i外 ri (mi ac ) dt 式中惯性力矩又可写作 mi ri dL ( mi ri) ac ( ) mac τ i外 m dt
此即质点系对质心的角动量定理，与惯性系中角动量定理具有完 全相同的形式。是表明质心系特殊和重要性的又一个例子。
第五章 角动量•关于对称性
前言 质点的角动量 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 质点系对质心的角动量定理和守恒定律 对称性 • 对称性与守恒律 经典动力学的适用范围
§5.1 前
一、本章的基本内容及研究思路
言
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动 时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动 的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例 如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近 日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角 动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能
当τ iz 0时,
Lz 常量.
§5.4 质点系对质心的角动量定理和 守 恒 定 律
前面给出的角动量定理和角动量守恒定律都相对于惯性系 而言，现在研究质心参考系中质点系角动量的变化规律。如图 （a），C xyz 即质心参考系。C 为质心，x ' , y ' 和 z 坐标轴
与惯性参考系 O xyz 的 x, y 和 z 轴总保持平行，而质心具有 加速度 ac 。 z
四、质点对轴的角动量定理和守恒定律（自阅）
§5.3 质点系的角动量定理及角动量守恒定 律
一、质点系角动量定理
设质点系由 N 个质点组成，对选定的某固定参考点，第 i 个 质 点的角动量定理的表达式为τ dLi
第6节 角点系的角动量定理
dI r2dm 2 r3dr
则整个圆盘对中心轴的转动惯量为
I dI R 2 r3dr 1 mR2
0
2
以上计算表明，质量相同，转轴位置相同的刚体，由于质量分布不同，转 动惯量不同.
10
以上各例说明： (1)刚体的转动惯量
与刚体的总质量有关， 与刚体的质量分布有关， 与轴的位置有关。
(2)质量元的选取： 线分布 面分布 体分布
解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图2.36(a)所 示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距离为R，则该质 元对转轴的转动惯量为
dI R2dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
I dI R2dm R2 dm mR2
m
I miri2
命名为对轴的转动惯量，
（式中 ri 为 mi 到轴的距离）
此时质点系对轴的角动量定理为
Miz
d dt
(miri2 )
dILeabharlann dt54、转动惯量的计算 对于单个质点 质点系
若物体质量连续分布，
I mr2 n
I m r2 ii
i1
2
I r2dm r dV m m
转动惯量的单位：千克·米2（kg·m2）
n
ri
Fi外
n
i 1
i
n1 ri
j 1
f ji
d dt
n i 1
(ri mivi )
由于内力成对出现，每对内力对O的力矩之和为零，因此内 力矩之总和为零，于是有
n
i 1
ri
Fi外
d dt
n
(
i 1
ri mivi )
则整个圆盘对中心轴的转动惯量为
I dI R 2 r3dr 1 mR2
0
2
以上计算表明，质量相同，转轴位置相同的刚体，由于质量分布不同，转 动惯量不同.
10
以上各例说明： (1)刚体的转动惯量
与刚体的总质量有关， 与刚体的质量分布有关， 与轴的位置有关。
(2)质量元的选取： 线分布 面分布 体分布
解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图2.36(a)所 示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距离为R，则该质 元对转轴的转动惯量为
dI R2dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
I dI R2dm R2 dm mR2
m
I miri2
命名为对轴的转动惯量，
（式中 ri 为 mi 到轴的距离）
此时质点系对轴的角动量定理为
Miz
d dt
(miri2 )
dILeabharlann dt54、转动惯量的计算 对于单个质点 质点系
若物体质量连续分布，
I mr2 n
I m r2 ii
i1
2
I r2dm r dV m m
转动惯量的单位：千克·米2（kg·m2）
n
ri
Fi外
n
i 1
i
n1 ri
j 1
f ji
d dt
n i 1
(ri mivi )
由于内力成对出现，每对内力对O的力矩之和为零，因此内 力矩之总和为零，于是有
n
i 1
ri
Fi外
d dt
n
(
i 1
ri mivi )
第5讲 质点的角动量角动量守恒定律
第5章 质点(系)的角动量 角动量守恒定律
5.1 质点的角动量定理 5.2 质点系的角动量定理 5.3 角动量守恒定律
Law of Conservation of Angular Momentum
在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心运转 的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地 球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。 在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必适用， 这时若采用角动量概念讨论问题就比较方便。
r F v mv r F 令 r F M ─力矩 dL 于是有 M 可见: 引起转动状态改变的原 dt 因是由于力矩的作用
dL M —角动量定理的微分形式 dt 质点所受的合力矩等于其角动量对时间的变化率。
例题4 用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速 率圆周运动，其半径为 r0 ，角速度为ω0 。 现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径 逐渐减小。求当半径缩为 r 时的角速度。 解： 以小孔 o 为原点 绳对小球的拉力为有心力，
r o
v
r0 m
其力矩为零。 则小球对o 点的角动量守恒。
初态
mv0r0 mr0 20
n ——各个质点所受的各内力矩 M int ri fij 的矢量和。 i 1 j i
考察一对内力矩的矢量和。内力是成对出现的
ri f ij rj f ji ri rj f ij
角动量也是一个重要概念。□
5.1 质点的角动量定理
一 质点的角动量 对于作匀速直线运动的质点，可以用动量也可用 角动量的概念进行描述。 设质点沿 AB 作匀速直线运动， 在相等的时间间隔Δt 内，走过的 距离 ΔS = vΔt 都相等。 选择O 为原点，从O 到质点处引 位矢 r 。 r 在单位时间内扫过的 面积，称为掠面速度。
5.1 质点的角动量定理 5.2 质点系的角动量定理 5.3 角动量守恒定律
Law of Conservation of Angular Momentum
在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心运转 的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地 球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。 在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必适用， 这时若采用角动量概念讨论问题就比较方便。
r F v mv r F 令 r F M ─力矩 dL 于是有 M 可见: 引起转动状态改变的原 dt 因是由于力矩的作用
dL M —角动量定理的微分形式 dt 质点所受的合力矩等于其角动量对时间的变化率。
例题4 用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速 率圆周运动，其半径为 r0 ，角速度为ω0 。 现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径 逐渐减小。求当半径缩为 r 时的角速度。 解： 以小孔 o 为原点 绳对小球的拉力为有心力，
r o
v
r0 m
其力矩为零。 则小球对o 点的角动量守恒。
初态
mv0r0 mr0 20
n ——各个质点所受的各内力矩 M int ri fij 的矢量和。 i 1 j i
考察一对内力矩的矢量和。内力是成对出现的
ri f ij rj f ji ri rj f ij
角动量也是一个重要概念。□
5.1 质点的角动量定理
一 质点的角动量 对于作匀速直线运动的质点，可以用动量也可用 角动量的概念进行描述。 设质点沿 AB 作匀速直线运动， 在相等的时间间隔Δt 内，走过的 距离 ΔS = vΔt 都相等。 选择O 为原点，从O 到质点处引 位矢 r 。 r 在单位时间内扫过的 面积，称为掠面速度。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
v2
地球
o
太阳
M Fd 0
v1
§2.5 质点角动量定理 角动量守恒（一角动量 二力矩）
2.5.3 质点的角动量定理 想法：动量随时间的变化率
力矩M
r
F
角动量 L
r
p
dp
d
(mv)
F
— — dL ？
推导：
dL
d
(r
p)
dt dt dr p r dp
dt
dt dt
dt
dt
其中
v mv 0
从而
M
dL
dt
——定理
r
F
M
质点角动量定理：质点对固定点的角动量随时间的变化率
等于质点所受合力对该点的力矩。
§2.52.当.45 质M质点点的角0 角动时量动定量理守恒d角L定动dt律量守0恒（L一 角恒动矢量量—二力—矩角三动定量M理守）恒ddLt定律 即：当质点所受合力矩为零时，质点的角动量守恒
r1
1
O
例：（P53：例2-12）已求知：：v光滑平面m、k、v0 、l0（原长）、l.
解：物块受有心力作用——对O点角动量守恒
LA LB rA mv0 rB mv
Ol
v
B
大小 rAmv0 sin 90 rBmv sin l0 , k
l0mv0 lmv sin 两个未知量？
Байду номын сангаас
v0 mA
大小 方向 大小 方向
LA rAm1v1 sin(
—— 里 LB Rm2v2 —— 外
) Rm1v1
G1
(2)选向里为正方向 M 合外 (m2 m1)Rg
G2
03-5质点的角动量
•力矩的单位
Nm
三 质点对定点的角动量定理
根据牛顿 第二定律
dp F dt
M
O d
r
P
p d r F r 与角动量有什么关系？ d t 对于O点的力矩 F r d p d L d d p r ( rp ) d t d t d t d t 0 v m v
总结：
质点角动量定 理的微分形式
Lrp dL M dt
t 2
M r F
力矩是使质点角动量发生变化的原因 质点角动量定 理的积分形式
M d t L L 2 1 t
1
作用在质点上的合力的冲量距等于质点角动量的增量 质点的角动量守恒定律 如果
M 0
L rp 恒 矢 量
1 2
太阳对地球只存在引力作用，为什么地球不会掉到太 阳上去呢? 太阳对地球的引力是有心力， 所以地球对太阳的角动量守恒
要使物体掉到太阳上去，其角
动量相对于太阳来说都要是零
只要在太阳系形成时，地球相
对于太阳具有一定的角动量， 就不会掉到太阳系上去
拉普拉斯
人造地球卫星在运行一段时间后会掉回地球上的原因 在于大气的摩擦阻力，大气摩擦力总是与卫星运动方 向相反，对地心的力矩不为零，在此力矩作用下卫星 的角动量逐渐减小，最后掉回地球
与牛顿第二定律相比，只是用力矩代替了作用在 质点上的力，用角动量代替了动量
角动量定理只适用于惯性系
质点角动量定理的积分形式
对M 两边做积分 d t d L
d t L L L 2 1 M
t 2 t 1
角动量的增量 冲量矩 作用在质点上所有力的合力在某段时间内的 冲量距等于质点在该段时间内角动量的增量
5-2 质点系的角动量定理及角动量守恒定律
若质点系的所有质点均分别在与 z 轴垂直的平 面内运动，且一共同的角速度绕 z 轴作圆周运动， 则质点系对 z 轴的角动量为
Lz ri mi vi mi ri
i i
2
当质点系对轴的角动量守恒时：
ri 变小，则
M z 0 ，Lz 常量
增大；
ri 变大，则
减小.
质点系对轴的角动量定理
质点系对轴的角动量定理
dLz Mz dt
如果在一个过程中，质点系所受的外力 对 z 轴的力矩始终保持为零，则质点系对该 轴的角动量守恒.
M z 0 ，Lz 常量
质点系对轴的角动量守恒定律
当内力矩远大于外力矩时，质点系对轴的角动量 也是守恒的. （例：P170例1）
在直角坐标系中，上式沿三个坐标轴的投影式为
dLy dLx dLz M x M ix , My , Mz . dt dt dt
• 如果只考虑上式中某一个分量，例如 z 分量，则 表现为对轴的特征：即质点系对于 z 轴的角动量对时 间的变化率等于质点系所受一切外力对 z 轴力矩的代 数和，叫做质点系对 z 轴的角动量定理。
ri fij rj f ji (ri rj ) fij 0
ri fij 0
i i j
成对出现的内力对参考点的力矩矢量和为零. 由于系统内力总是成对出现，则系统内力矩的矢量和为零. • 可见，系统的内力矩只能使系统内各质点的角动量改变， 但不能改变质点系总的角动量。
如果在一个过程中，始终无外力矩作用或所受 的外力矩为零，则质点系的总角动量守恒 .
M外 0 ，L 常矢量
质点系对某一固定点的角动量守恒定律
质点的角动量
i
ri p i ,
对于标号为i的质点，它不仅受到来自系统外的作用力，而且 还受到系统内其它质点的作用力（内力）
fi
j
f ij ,
利用质点的角动量定理 可得
d dt
d Li dt
ri Fi f i ,
i
i
Li
i
ri ( Fi f i )
r1 , 以角速度 1旋转，然后慢慢向下拉 离为 r2时，拉力对质点所做的
v
绳，求质点离圆心距
功。
选小孔为参考点，任意 时刻质点受力矩 M r f 0 , 质点的角动量守恒，因 而有：
o r f
f
mr 1 1 mr 2 2
2 2
根据动能定理，外力做功为
v
O
rห้องสมุดไป่ตู้m
若一个质量为m的粒子在半径为r的圆周上以速 v 运动，则它的动量为 P m v ,相对于圆心的 度 位置矢量 r 与粒子运动速度 v 互相垂直 ，角 动量大小为： L m rv m r 2
是质点运动的角速度
角动量的方向由右手螺旋法则判断，垂直于物体转动 所在的平面
2
1
4、推广到质点系情形
利用牛顿第三定律，我们还可以将质点角动量定律推广到质 点系的情况，得到质点系总角动量的时间变化率与合外力 矩的简单关系，即质点系的角动量定理。 我们定义质点系对给定参考点O的总角动量为系统内所有质 点对选定参考点O的角动量的矢量和，即 ：
L
i
Li
多个外力作用于同一个质点的合力矩等于各 力的力矩的矢量和，即如果
5--角动量 角动量守恒定律x
t=0
刚体定轴转动
ω ω
v
v
4. 线量与角量关系
dS = r ⋅ dθ
பைடு நூலகம்r a
切向分量 法向分量
dv dω at = = r = rα dt dt v2 an = = rω2 r
匀变速定轴转动
v v v v =ω×r
z
ω
v
20
r
O
dS
dθ P
匀变速直线运动
dS v= dt dv a= dt
v = v0 + at 1 2 S = v0t + at 2 2 v2 − v0 = 2aS
一对内力的力矩互相抵消 一对内力的力矩互相抵消 力矩
v v v v dL 量 M外 = 0时 = 0 L = ∑Li = 常 dt v M外 = 0 讨论; 不要求系统孤立, 讨论 1) 不要求系统孤立 只要求 v 2) 矢量式有 个分量式 即 M 的某个分量 矢量式有3个分量式 个分量式,即 的某个分量=0, 则相应角 外
v m ri i
∑
∑
角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构
12
猫尾巴的功能
已知：轻绳， 忽略滑轮的质量和轴的摩擦) 已知：轻绳，v10 = v20 =0，(忽略滑轮的质量和轴的摩擦) 问：m1= m2时，(A) m1先到；(B) m2先到；(C) 同时到 先到； 先到；
m1≠ m2时，(A) m1先到；(B) m2先到；(C) 同时到 若m1< m2 先到； 先到；
由角动量定理
r N
以向纸 内为正
O R
M外
dL r (爬) (不爬 mg 不爬) r 不爬 若 m1 > m2 : < 0, ∴ L < 0 m2g 爬 1 dt 轻的升得快； 有 m1v1 − m2 v2 < 0, ∴ v1 < v2 轻的升得快；
质点系的角动量定理
fi
j i
fij
ri
fi
i
ji
r
i
dLi
dt
fij
ddti
L
i
fi
mi fij
ri ri rj
fji
mj
fj
i
ji
ri
合fi内j 力12矩i,j为(i j零) ri
fij
rj
O f ji
即证。
1 2i, j(i j)
r i
rj
f 0
ij
rj
4
内力矩可影响质点系中某质点的角动量，但 合内力矩等于零，对总角动量无影响。
当质点系相对于惯性系中某定点所受的合外 力矩为零时，该质点系相对于该定点的角动量 将不随时间改变—质点系的角动量守恒定律
孤立或在有心力作用下的系统角动量守恒。
宇宙中的天体可以认为是孤立体系。它Βιβλιοθήκη 具 有旋转盘状结构，成因是角动量守恒。
5
盘状星系
6
L
球形原始气云具有初始角动量L，在垂直于L方向， 引力使气云收缩 角动量守恒 粒子的旋转速度 惯性离心力，离心力与引力达到平衡，维持一 定的半径。 但在与L平行的方向无此限制，所 以形成了旋转盘状结构。
7
例题
讨论行星运动
F与
r在一直线上
M rF 0
rF
L 常矢量
S
v
1面、LL方向不r 变m v 轨道面是平 v远
r远
2、 L = 常量= r m v sin r v sin = 常量
量矢径单位时间行扫过的面积是常量
v近
o
r近
S= 常
在近日点与远日点 sin =1
5.2质点系的角动量定理及角动量守恒定律
守恒律
M 0
M外 0
有心力： 力的作用线始终通过某定点的力.
有心力对力心的力矩恒为零.
受有心力作用的质点作平面运动.
2013-9-17
第5章 角动量守恒定
8
作业：
5.11， 5.15
j j j
对质点系中的第 j 个质点,有
其中
M j M j外 M j 内
dL j Mj dt
M j内 M j外
对质点系，有
dL j dt
M j内 M j 外
dL j dt
O
d
rj
ri
i
i
Fij
j
j
2.内力的力矩 因质点i与质点 j 间的相互
§5.2质点系的角动量定理 及角动量守恒定律
§5.2.1质点系对参考点的角动量定理及守恒律 §5.2.2质点系对轴的角动量定理及守恒律
§5.2质点系的角动量定理 及角动量守恒定律
§5.2.1质点系对参考点的角动量定理及守恒律
1.质点系对参考点的角动量
对参考点
L L j rj p j rj m j v j
M z mA gr mB gr 0
图5-12质量相同小孩的爬绳比赛
再由于初始时刻系统静止,于是系统角动量为零,
rmVA rmVB 0
VA VB
可见,不论A、B对绳的速率vA、vB如何,二人对O的 速率相同,故将同时到达O点
2013-9-17 第5章 角动量守恒定 6
小结
L Lj
即质点系对给定点(参考点)的角动量的时间变化率
等于作用在体系上பைடு நூலகம்有外力对该点力矩矢量和. 4. 质点系对参考点角动量守恒定律
大学物理第5章角动量守恒定律
1 ml2 3
l
m
m 1.73
z2
o
l 2
G
JZ2
1 ml2 3
RGC G 不是质心
转动惯量的计算
例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面
通过中心轴的转动惯量 如下图:
解:
质量面密度
m R 2
J z r 2dm R r 2ds 0
Z ds
R r 2 2rdr 0
R r 2 m 2rdr
a 法向分量
an
v2 r
r 2
O
匀变速直线运动
匀变速定轴转动
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t
0t
1t2
2
2 02 2
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.刚体对转轴的力矩和角动量
z
角动量守恒
质点系的角动量定理
M J
4g
t
3 4
R
1 2
gt
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
orRA r源自（2） 对 O 点的角动量m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
p)
dr
p
r
dp
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
质点系的角动量定理及角动量守恒定律
对质点系
Mi内z
Mi外z
d dt
(ri
mi vi
sin
i
)
而
Mi内 0
Mi内z 0
Mi外z
d dt
(ri mivi
sin
i
)
d dt
Lz
——称质点系对z 轴的角动量定理.
3.质点系对轴的角动量守恒定律
若
Mi外z 0
Lz rimivi sin i 常量
若质点系各质点绕 z 作圆周运动
Liz ri mivi sin i
质点系对轴的角动量
Lz rimivi sin i
2.质点系对轴的角动量定理 质点在垂直于z 轴的平面内运动，第i个 质点
Miz
dLi dt
d dt
(ri
mivi
sin
i
)
M iz M i外z M i内z
M i内z
M
sin
i)
m 2gh v
2m m
本题也可以利用对点的角动量守恒求解，读者可自行完成.
§5.2质点系的角动量定理 及角动量守恒定律
§5.2.1质点系对参考点的角动量定理及守恒律
1.质点系对参考点的角动量
对参考点
L Li ri pi ri mivi
i
i
i
对质点系中的第 i 个质点,有
Mi
dLi dt
其中
Mi Mi外 Mi内
M i内
M i外
dLi dt
对质点系，有
M i内
M i外
dLi dt
2.内力的力矩
ri
Fij i
因质点i与质点 j 间的相互 作用力
i
5.2质点系的角动量定理Angularmomentumtheoremofa
外力对于O 点的角冲量
角冲量-角动量定理：
作用在质点系上的外力在一段时间间 隔内的角冲量等于质点系角动量在这 段时间间隔内的改变量
2008年12月2日 8:00-9:50
5.2 质点系的角动量定理
21
力学(Mechanics) 第五章 角动量
Angular momentum
5.3 质点系的角动量定理
v1
m1 m r1 r 2
O
2
质点相对于惯性参考系的速度: vi 合外力: Fi
mn rn
v2
vn
合内力:
fi fi1 fi 2
fi (i 1) fi (i 1)
f in f ij
j 1 j i
n
2008年12月2日 8:00-9:50
2008年12月2日 8:00-9:50 5.2 质点系的角动量定理 15
5.2.3 角动量定理 导出作用在质点系上的力矩与质点系的角动量间的关系：
•对于质点系中的第i个质点
M O i ( M O i )ext ( M O i )int dLO i dt
O:固定参考点
•对n个质点求和:
• 如果作用在质点系上的所有外力满足以下条件：
具有相同的方向；
Fi mi
例: 惯性力: -mi a ˆ 重力 : m gk i
则外力的合力矩等于作用在质点系的质心上的合外力的 力矩.
( M O i )ext ri Fi rC Fi
2008年12月2日 8:00-9:50 5.2 质点系的角动量定理 12
由于F 与 r1 r2 平行，因此
M OF 0
F
m1 r1 r2 m2
质点系对质心的角动量定理和守恒定理
m1r1 m2r2
r1 r2
m1 rc
rc
m2 m2 (r1 r2 )
m1 m2 m1(r2 r1 )
m1 m2
m 2 r12 m1 m 2 m1r12 m1 m2
m1 r1 O
r1 rc
r2 rc
rc r2
m2
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第五章 角动量 关于对称性
当 M外 0时，L' 恒矢量
如跳水运动员等在空中翻筋斗.
同样 Mi外z 0， Lz 常量
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第五章 角动量 关于对称性
[别例为题r]1质、量v1为和m1r和2、mv2的2 两，个试质求点：，其位矢和速度分
（1）每个质点相对于它们质心的动量.
（2）两质点相对于它们的质心的角动量.
以质心C为参考点，建质心坐标系，各坐标
轴与基本参考系平行. 由于质心具有加速度，所以
要计入相应的惯性力力矩.
M外 M惯
dL' dt
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第五章 角动量 关于对称性
L质点系相对质心的角动量,
M 外 诸外力对质心的力矩, M惯 惯性力对质心的力矩.
而惯性力的力矩
M惯
[解]（1）在质心系中两质点的速度分别为
v1
m2 m1 m2
u
其中
u
v12
v1
v2
v1
v2 v2
m1 m1 m2
u
p'1
m1v '1
m1m2 m1 m2
u
u
p2
m2v2
m1m2 m1 m2
u
u
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第五章 角动量 关于对称性
质点系对一参考点的角动量
i
j y Fy
k z Fz
M ox yFz zFy
M oy zFx xFz
M oz xFy yFx
3、相对性：依赖于参考点O 的选择。 4、作用于质点的合外力矩等于合外力的力矩。
r F2 r Fn Moi r F1 r (F1 F2 Fn ) r F合 M o
2
p
m
大小： L mvr 1sin 方向：由右手螺旋定则确定。
r1sin1
r1
r2
o
质点对O’点的角动量为：
Lo r p r mv
说明 1）若物体作匀速直线运动，对同一参考点O，则 Lo C。
3）若O 取在直线上，则： Lo 0。
第五章 角动量· 关于对称性
动量定理 建立了作用力与动量变化之间的关系，揭示了质点系 机械运动规律的一个侧面（平动效应），而不是全貌。 例如，圆轮绕质心转动时，无论它怎样转动，圆轮的 动量都是零，动量定理不能说明这种运动规律。 角动量（动量矩）定理: 则是从另一个侧面，揭示出质点系相对于某一定点或
质心的运动规律（转动效应）。
Lo mvl ml 2
dLo dLo Lo mgl cos 2 dt d ml
LodLo m2 gl3cosd
Lo
0
Lo dLo
2
0
m2 gl3cosd
3
o
Lo 2m gl sin
②当小球到达B点时，＝ / 2。
A
l
B
Lo
2m gl sin ml 2 gl
质点系的角动量
质点系的角动量
质点系的角动量是指由多个质点构成的系统的角动量。
质点系的角动量可以表示为系统中每个质点的角动量之和。
对于平面运动的质点系，其角动量可以写成矢量形式，即L=r×p，其中r为离某一点的位置矢量，p为质点的动量矢量。
对于三维运动的质点系，其角动量可以写成张量形式，即L=Iω，其中I为质点系的惯性张量，ω为质点系的角速度矢量。
在质点系中，当质点间不存在相互作用力时，每个质点的角动量守恒，即系统的总角动量守恒。
此外，当质点系具有轴对称性时，质点系的惯性张量会具有特殊的形式，从而简化计算。
- 1 -。
第六章角动量守恒
M = m gl sin α
在式①两边都除以 在式① 定理及式② 定理及式②，得
（２）
极限， ∆ t ，并取 ∆ t → 0 极限，利用角动量
dL dθ = m vl cos α = m gl s in α dt dt
dθ g s in α = dt v cos α
（３）和（４） 2
（３）
dθ 而 v = l s in α dt
笫六章 角动量守恒 目 录
（一）角动量和力矩 （二）质点系角动量定理 （三）质心系的角动量定理
课外阅读） （四）对称性与守恒定律（课外阅读）
1
第六章 角动量守恒
（一）角动量与力矩
一、质点的角动量
r 角动量:从给定参考点指向质点的位矢 r 与 角动量:从给定参考点指向质点的位矢 参考点 r
质点动量 m v 的矢积 O
讨论: 讨论
各量均对同一参考点; ⑴ 各量均对同一参考点; 同一参考点
O r r r 在数值上等于 和 v 为邻边的平行四边形面 ⑵ 因 r × v 在数值上等于r 在单位时间内所掠过的面积（掠面速度） 积，也就是 r 在单位时间内所掠过的面积（掠面速度）的 两倍，故角动量与掠面速度成正比，为掠面速度的2 两倍，故角动量与掠面速度成正比，为掠面速度的2m 倍; 质点角动量定理系由牛顿定律导出， ⑶ 质点角动量定理系由牛顿定律导出，故它仅适用于惯性 系. 6
质心角动量 体系相对 质心角动量
上式表示体系的角动量等于质心角动量与体系 相对于质心角动量之和. 相对于质心角动量之和.
第六章 角动量守恒
二、质心系的角动量守恒
当外力相对质心的总力矩为零时， 当外力相对质心的总力矩为零时，体系相对质心的角动量 为恒量
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角动量守 空间旋转 恒定律 对称性
大到星系，小到基本粒子都有旋转运动； 微观粒子的角动量具有量子化特征； 角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。
6
质点系角动量
系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和
L Li ri pi ri mivi
i
vrii
i
rc vc
rvii
14
质点的角动量守恒定律
M
dL
dt
当
M
0，L
恒矢量
当质点所受对参考点Ｏ的合力矩为 零时，质点对该参考点Ｏ的角动量为一
恒矢量．——质点的角动量守恒定律
15
◆角动量守恒和开普勒第二定律
行星矢径的掠面速度=常量
行星L受 引r力 m运v动，r对m引v力中心的v角动量：r
mr 2 d c
dt
dθ 日
得LdL m2 gR3 cosθ dθ
由题设条件积分上式
L LdL m2 gR3
cos d
0
0
得 L mR 3 2 (2g sin )1 2
L mR2
( 2g sin )1 2
R
19
例2 一质量为 m 的登月飞船，在离月 球表面高度 h 处绕月球作圆周运动．飞船采 用如下登月方式：当飞船位于点 A 时，它向 外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球相 切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直．飞船所 喷气体相对飞船的速度为 u 1.00 104 m s1 试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料
z
L
v
rm
o
y
v
r
4
设m作直线运动
以o为参考点：L 0
以o为参考点：L 0 若r、p大小相同，则：p ，L
o r m p
p
or
* 质点对某参考点的角动量反映质点绕该参 考点旋转运动的强弱。
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
5
角动量
转动 惯量
角动量 变化率
力矩
角动量 定理
刚体定轴转动定律
质点(系)的角动量定理与角 动量守恒定律
1
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
质点运动
p mv
0, p 0
0, p 0
pi
pj
2
问题：将一绕通过质心的固定轴转动的圆 盘视为一个质点系，系统总动量为多少？
p总 MvC 0
C
M
由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零， 系统有机械运动，总动量却为零？
M
r
F
大小： Fd Fr sin
方向： 垂直于r和F组成的平面
服从右手螺旋法则
12
质点的角动量定理
M
dL
dt
L
p
o
m r
作用于质点的合外力对参考点 O 的力 矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的 变化率.
13
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
对同一参考点O，质点所受的冲量矩 等于质点角动量的增量．——质点的角动 量定理
描述系统的内禀性质： L自旋
于是
L rc Mv c
ri
mivi
L轨道
L自旋
i
L自旋
L轨道
L
L轨道
L自旋
9
角动量
转动 惯量
角动量 变化率
力矩
角动量 定理
刚体定轴转动定律
角动量守 空间旋转 恒定律 对称性
大到星系，小到基本粒子都有旋转运动； 微观粒子的角动量具有量子化特征； 角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。
i 有'：对质心 无'：对参考点
p1 r1rc
crp2r2i
o ri
ppi i
mi
L
rc
ri
mivi
i
rc
mivi
ri mi vc vi
i
i
rc
mivi
ri
mivc
ri mivi
i
i
i
7
由 M mi
i
vc
mivi
i
M
rc
miri i 0 M
第一项： rc mivi rc Mvc
dS
掠面： d S 1 r(r d )
2
开普勒第二定律： 万有引力定律得出
d S 1 r 2 d L 常量
d t 2 d t 2m
的依据之一（表明 它是有心力！）。
16
例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平 面内. 一质量为 m 的小 球穿在圆环上, 并可在 圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的 水平面上)，然后从 A
的质量m是多少?
20
解 设飞船在点
A 的速度 v0 , 月球质
量 mM ,由万有引力和 牛顿定律
G
mM m (R h)2
m
v02 Rh
vB B
R
O
vA v0
v u
A
h
g
G
mM R2
v0
(
R2 g )1 Rh
2
1 612
m s1
22
质量 m'在 A 点和 B 点只受有心力作用 ,
角动量守恒
mv0 (R h) mvBR
点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦力略 去不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角 动量和角速度．
17
解
小球受力 P、FN 作用,
FN 的力矩为
零，重力矩垂直纸面向里
M mgRcos
由质点的角动量定理
mgRcos dL
dt
dL mgRcos dt
18
考虑到 d dt, L mRv mR 2
vB (R h)v0 R 1 709 m s1
飞船在 A点喷出气体后，在到达月球的 过程中，机械能守恒
1 2
mvA2
G
mMm Rh
1 2
mvB2
G
mM m R
24
1 2
mv
2 A
G
mMm Rh
1 2
mvB2
G
mM m R
即
vA2vB22GmM h2GmM R
vA 1 615 m s1
10
角动量的时间变化率 力矩
质点角动量推导
L
r
p
dp F，dL ？
dL
d
dt
dt
(r p) r dp dr
p
dt dt
dt dt
dr v，v p 0
dL
r
dp
r
F
dt
dt
dt
11
dL
r
F
dt
大小：
r
F
rF
sin
Fd
方向：服从右手螺旋法则
力矩
F
rm
o
d
对参考点的力矩
定义：
说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。
*引入与动量
p
对应的角量
L
——角动量（动量矩）
动量对参考点（或轴）求矩
3
质点的角动量
质量为m 的质点以
速度 时对
Ov的在位空矢间为运动r，，质某
x
点L对参r考p点Or的角m动v量
L
大小L rmvsin
L 的方向符合右手法则
角动量单位：kg·m2·s-1
i
即将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上， 该质点对参考点的角动量
描述质点系整体绕参考点的旋转运动： L轨道
第二项：
ri
mi
vc
mi
ri
vc
Mrc
vc
0
i
i
质心对自己的位矢8
第三项： ri mivi 各质点相对于质心角动量的矢量和
i
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点的选择无关，