模糊集合和模糊关系
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隶 1.0 属 函 数 0.5
年龄 45 90
⑦ 凸性 一个模糊集合是凸的， 当仅当任何 x1, x2 X 和任何 [ 0，， 1] 满足：
4.可靠性
计算机： 计算具有高精度的特点。但对事物整体把握的 可靠性不如人脑。 人脑： 低精度条件下完成非常复杂的任务，达到相当 高的可靠性。
电脑思维和人脑思维
两种思维模式
– 精确的理性的分析模式—— 与读、写、算相联 系；
– 模糊的直觉的全盘模式—— 与模式识别和艺术 能力有关。允许以不精确、不确定、非定量的 自然语言，对复杂多变的事物或现象进行思维。
模糊逻辑是通过模仿人的思维方式来表示和分析
不确定、不精确信息的方法和工具。
模糊逻辑本身并不模糊，它并不是“模糊的” 逻
辑，而是用来对“模糊” 现象或事件进行处理，
以达到消除模糊的逻辑。
经典（二值）逻辑的数学基础：
— —通过常规集合来工作的。 – 常规集合： 集合中的对象关系被严格划分为0或1，不存在介 于两者之间的对象。 （1---完全属于这个集合；0---完全不属于这个集合）
解决精确性的集合问题可以用经典集合论。
世界上大多数事物具有模糊性。为了描述具有模 糊性的事物，引入模糊集合的概念。
wk.baidu.com典集合： 具有某种特性的所有元素的总和。
模糊集合： 在不同程度上具有某种特性的所有元素的 总和。
2. 经典集合
集合是数学中最基本的概念之一。 讨论某一概念的外延时总离不开一定的范围。 这个讨论的范围，称为“论域”，论域中的每 个对象称为“元素”。
模糊计算及其应用
1. 绪论 2. 模糊集合与模糊关系 3. 模糊推理系统
绪论
模糊逻辑的发展 模糊逻辑与计算机 模糊逻辑与人工智能
模糊逻辑的发展
一、模糊逻辑的起源
模糊逻辑 --- Fuzzy Logic
模糊概念、模糊现象到处存在。
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
年龄大小
个子高低
经典二值（布尔）逻辑
模糊逻辑的数学基础：
— —通过模糊集合来工作的。
– 模糊集合： 允许在一个集合部分隶属。即 对象在模糊集合 中的隶属度可为从0 - 1之间的任何值。 即可以从“不隶属”到“隶属”逐步过渡。
二、模糊逻辑技术的发展和现状
– 1960年柏克莱加州大学电子工程系扎德（L.A.Zadeh） 教授，提出“模糊”的概念。 – 1965年发表关于模糊集合理论的论文。 – 1966年马里诺斯（P.N.Marinos）发表关于模糊逻辑的
“隶属函数”
– “模糊数学”的诞生
量
– 确定性－经典数学 – 不确定性
随机性－统计数学 模糊性－Fuzzy
数学
模糊数学的创立及发展
随机性与模糊性之区分
– 随机性
事件本身具有明确含意 事件是否出现的不确定性 [0,1]上概率分布函数描述
– 模糊性
事物的概念本身是模糊的 概念的外延的模糊－不确定性：模糊性 [0,1]上的隶属函数描述
3、模糊集合常用术语及其表述
① 模糊集合和隶属函数 精确集合（非此即彼）： A={X|X>6} 精确集合的隶属函数（特征函数）：
1 A 0 如果 X A 如果 X A
模糊集合：
如果X是对象x的集合，则X的模糊集合 A：
A {( x, A ( x)) | x X }
各有长处和局限性，两者相结合，可 构成模糊神经网络等，能各取所长， 共生互补。
模糊数学的创立及发展
“模糊”－Fuzzy－不分明－“乏晰” 复杂性与精确性的矛盾－“不兼容原理” 计算机
– 计算速度 – 存储能力
判断、推理
– 有时不如人脑？
模糊数学的创立及发展
Zadeh 扎德教授
– 1965年，《模糊集合论》
A ( x) [0 1]
1
6
13
论域的二种形式：
1）离散形式：
举例：X={上海 北京 天津 西安}为城市的集合。
模糊集合 C = ―对城市的爱好”可以表示为：
C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)} 又：X = {0 1 2 3 4 5 6}为一个家庭可拥有自行车数目的 集合 模糊集合 C = ―合适的可拥有的自行车数目”
2. 模糊逻辑与神经网络
神经网络是被相互连接起来的处理器节点组成的 矩阵。每一个节点是一个神经元，简单近似模拟 了人的大脑神经细胞的结构。 每一个神经元接受一个以上的、且与相应加权因 子相乘的输入，并相加后产生输出。
神经元被分层安排
第一层接受基本输入，传递其输出到第二层； 第二层又有自己的加权因子和代数和，传递至 第三层 ……
如 工作方法 智能性 语言 可靠性等方面。
1. 工作方法
传统的冯 · 诺依曼计算机：
连续串行的微观工作方式； 人脑： 串并行的工作方式。
2. 智能性
计算机的人工智能：
建立在对精确符号系统的数据处理上。 人脑的自然智能：
接受的信号具有某种不确定性。
用统计方法处理（具有模糊性）。
3. 语言
计算机： 使用的是精确、形式化的数学语言或程序语 言； 人脑： 可以使用具有模糊性或歧义性的自然语言。
直至最后一层，产生输出。
x1
o1
x2
o2
… xn
…
…
…
…
…
… om
输入层
隐藏层
输出层
神经网络与传统方法进行信息处理有两个完
全不同的性质：
– 神经网络是自适应和可被训练的，有自修改的 能力； – 神经网络的结构本身就意味着大规模平行机制。
模糊逻辑技术与神经网络技术相结合，可
以形成一个互补的系统：
自然科学基金重大项目： “模糊信息处理与机器智能” “模糊逻辑控制计算机系统”等。
目前 –模糊逻辑控制技术在工业控制、家电领域有很 好发展 –开展模糊信息处理方面的基础研究和理论研究
–开发专用模糊控制电路和模糊推理芯片等。
模糊逻辑与计算机
电脑和人脑
电脑扩大并延伸了人脑的功能，但两者存在重 大差别：
上述三个例子分别可写为 C = 0.8 /上海+0.9 /北京 +0.7 /天津 +0.6 /西安
C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}
C = 0.1/0+0.3/1+0.7/2+1.0/4+0.3/5+0.1/6 1 B /x / 不是除法运算 x 50 4 R 1 ( ) 10
A ( x)称为模糊集A的隶属函数。
隶属函数的性质： a) 定义为有序对； b) 隶属函数在0和1之间； c) 其值的确定具有主观性和个人的偏好。
X称为论域或域。 构造模糊集就是要：确定合适的论域和指定适当的 隶属函数。
精确集合
X 6
1
X 6
A 0
A 1
X 6
模糊集合
13
A ( x) 1
② 支集
支集( A) {x | A (x) 0}
交叉点
核 截集
交叉点
支集
③核 ④
核( A) {x A ( x) 1 }
截集
截集（A {x | A ( x) } ）
{x | A ( x) 0.5}
A ( x) 1
⑤ 交叉点
⑥ 模糊单点
C= {(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7),(3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)} （序偶表示法）
2) 连续形式: 令X = R+ 为人类年龄的集合, 模糊集合 B = ―年龄在50岁左右”，则B可表示为: B { x, B ( x ) | x X }
–在经典二值（布尔）逻辑体系中，所有的分类 都被假定为有明确的边界；（突变） –任一被讨论的对象，要么属于这一类，要么不 属于这一类； –一个命题不是真即是假，不存在亦真亦假或非 真非伪的情况。（确定）
模糊逻辑
– 对二值逻辑的扩充。关键的概念是：渐变的隶 属关系。
– 一个集合可以有部分属于它的元素；（渐变） – 一个命题可能亦此亦彼，存在着部分真部分伪。 （不完全确定）
传统的数字电子计算机以二值逻辑为基础，
建立在加法和移位基础上的各种计算能力 是它的特长。对确定性问题具有逻辑推理 能力，有很高的速度、精度和效率。
但是，没有创造性思维的能力。 因此，不可能以二值逻辑来模拟人的复杂
的思维进程。
1. 模糊逻辑与专家系统
专家系统是一种信息系统。专家系统中的知识 库中的知识由专家提供。其中罗列了大量的规 则和事实。 专家系统可分为：传统专家系统和模糊专家系 统。
人脑的思维具有上述两种模式； 计算机不具备后一种模式能力；
要使计算机进一步模拟人类思维的特点， 可以引入模糊逻辑！！
模糊逻辑与人工智能
人工智能（AI---Artificial Intelligence）——新兴 的边缘学科。 人工智能主要研究： 如何使计算机完成原来由人才能做的具有智 能性质的工作，即感知观察能力、记忆能力、逻 辑思维能力和语言表达能力等一系列人的脑力活 动中所表现出来的能力。 人工智能是许多相关技术的总称，包括专家系统、 机器学习、神经网络、模式识别、模糊逻辑技术 等等。
十字路口交通控制；
污、废水处理等。
八十年代日本情况：
–列车的运行和停车模糊逻辑控制，节能11—
14%；
–汽车速度模糊逻辑控制（加速平滑、上下坡稳
定）；
–港口集装箱起重机的小车行走和卷扬机的运行 控制； –家电模糊逻辑控制（电饭煲、洗衣机、微波炉、 空调、电冰箱等）。
中国：在模糊理论和应用方面的研究起步较慢， 但发展较快： –1976年 –1979年 –1980年 –1981年 起步 模糊控制器的研究 模糊控制器的算法研究 模糊语言和模糊文法的研究
传统专家系统
– 如果前提是真，则规则被激活;
– 规则要么被激活，要么不被激活;
– 对一组输入仅有一个规则被激活，且这个规则 将完全控制该专家系统的输出。
模糊专家系统
–如果前提是非零值，即某种程度的真，则规则 即被激活;
–规则可以不同程度地被激活; –通常对于给出的一组输入，可有不止一个规则 被激活。其专家系统的输出可能是几条规则结 果的合成。
1982年 磨床研磨表面光洁度模糊控制、开关式液 压位置伺服系统模糊控制研究 1984年提出语义推理的自学习方法 1986 年 单 片 微 机 比 例 因 子 模 糊 逻 辑 控 制器 1987年我国第一台模糊逻辑推理机
1990年起：
工业控制模糊逻辑控制器：玻璃窑炉、水泥回 转窑、PVC树脂聚合过程、功率因数补偿等。
式中：
图示:
1 B ( x) x 50 4 1 ( ) 10
模糊集合的公式表示(Zadeh表示法)
x X A ( xi ) / xi X为离散对象集合 i A (x ) / x X为连续空间（通常为实 轴） A i X
注意:
和
并非求和和积分符号。
研究报告。
– 以后，扎德（L.A.Zadeh）又提出关于模糊语言变量的 概念。 – 1974年扎德（L.A.Zadeh）进行有关模糊逻辑推理的研 究。
七十年代欧洲进行模糊逻辑在工业控制方面的应
用研究：
实现了第一个试验性的蒸汽机控制；
热交换器模糊逻辑控制试验；
转炉炼钢模糊逻辑控制试验；
温度模糊逻辑控制；
所谓集合，是指具有某种特定属性的对象
的全体。 定义：给定论域U（U、V、X、Y …… ）， U中具有某种特定属性的元素（u、v、x、 y …… ）的全体，称为U上的一个集合(A、 B、C、……)。
表示集合的几种方法
（1）列举法：
列写出集合中的全体元素。
适用于元素有限的集合。
（2）定义法： 以集合中元素的共性来描述集合的一种方法。 适用于有许多元素而不能一一列举的集合。
– 神经网络的关键特性和基本限制是：神经网络 有自学习功能和平行工作的特性。但所知的信 息是隐含的，安排每一个输入的权重是关键。 – 模糊逻辑系统所具有的“知识”由该领域的专 家所提供。其模糊逻辑控制规则是由人的直觉 和经验制定。有逻辑推理能力，但不具有学习 功能。
因此，模糊逻辑技术与神经网络技术
模糊集合和模糊关系
模糊集合及其表述 模糊集合的运算和隶属函数的参数化 二维模糊隶属度函数及其运算规则 模糊关系与复合运算
一、模糊集合及其表述
1. 集合的概念
为了对事物进行识别，必须对事物按不同的要求 进行分类。许多事物可以依据一定的标准进行分 类。用于这种分类的数学工具就是集合论。
年龄 45 90
⑦ 凸性 一个模糊集合是凸的， 当仅当任何 x1, x2 X 和任何 [ 0，， 1] 满足：
4.可靠性
计算机： 计算具有高精度的特点。但对事物整体把握的 可靠性不如人脑。 人脑： 低精度条件下完成非常复杂的任务，达到相当 高的可靠性。
电脑思维和人脑思维
两种思维模式
– 精确的理性的分析模式—— 与读、写、算相联 系；
– 模糊的直觉的全盘模式—— 与模式识别和艺术 能力有关。允许以不精确、不确定、非定量的 自然语言，对复杂多变的事物或现象进行思维。
模糊逻辑是通过模仿人的思维方式来表示和分析
不确定、不精确信息的方法和工具。
模糊逻辑本身并不模糊，它并不是“模糊的” 逻
辑，而是用来对“模糊” 现象或事件进行处理，
以达到消除模糊的逻辑。
经典（二值）逻辑的数学基础：
— —通过常规集合来工作的。 – 常规集合： 集合中的对象关系被严格划分为0或1，不存在介 于两者之间的对象。 （1---完全属于这个集合；0---完全不属于这个集合）
解决精确性的集合问题可以用经典集合论。
世界上大多数事物具有模糊性。为了描述具有模 糊性的事物，引入模糊集合的概念。
wk.baidu.com典集合： 具有某种特性的所有元素的总和。
模糊集合： 在不同程度上具有某种特性的所有元素的 总和。
2. 经典集合
集合是数学中最基本的概念之一。 讨论某一概念的外延时总离不开一定的范围。 这个讨论的范围，称为“论域”，论域中的每 个对象称为“元素”。
模糊计算及其应用
1. 绪论 2. 模糊集合与模糊关系 3. 模糊推理系统
绪论
模糊逻辑的发展 模糊逻辑与计算机 模糊逻辑与人工智能
模糊逻辑的发展
一、模糊逻辑的起源
模糊逻辑 --- Fuzzy Logic
模糊概念、模糊现象到处存在。
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
年龄大小
个子高低
经典二值（布尔）逻辑
模糊逻辑的数学基础：
— —通过模糊集合来工作的。
– 模糊集合： 允许在一个集合部分隶属。即 对象在模糊集合 中的隶属度可为从0 - 1之间的任何值。 即可以从“不隶属”到“隶属”逐步过渡。
二、模糊逻辑技术的发展和现状
– 1960年柏克莱加州大学电子工程系扎德（L.A.Zadeh） 教授，提出“模糊”的概念。 – 1965年发表关于模糊集合理论的论文。 – 1966年马里诺斯（P.N.Marinos）发表关于模糊逻辑的
“隶属函数”
– “模糊数学”的诞生
量
– 确定性－经典数学 – 不确定性
随机性－统计数学 模糊性－Fuzzy
数学
模糊数学的创立及发展
随机性与模糊性之区分
– 随机性
事件本身具有明确含意 事件是否出现的不确定性 [0,1]上概率分布函数描述
– 模糊性
事物的概念本身是模糊的 概念的外延的模糊－不确定性：模糊性 [0,1]上的隶属函数描述
3、模糊集合常用术语及其表述
① 模糊集合和隶属函数 精确集合（非此即彼）： A={X|X>6} 精确集合的隶属函数（特征函数）：
1 A 0 如果 X A 如果 X A
模糊集合：
如果X是对象x的集合，则X的模糊集合 A：
A {( x, A ( x)) | x X }
各有长处和局限性，两者相结合，可 构成模糊神经网络等，能各取所长， 共生互补。
模糊数学的创立及发展
“模糊”－Fuzzy－不分明－“乏晰” 复杂性与精确性的矛盾－“不兼容原理” 计算机
– 计算速度 – 存储能力
判断、推理
– 有时不如人脑？
模糊数学的创立及发展
Zadeh 扎德教授
– 1965年，《模糊集合论》
A ( x) [0 1]
1
6
13
论域的二种形式：
1）离散形式：
举例：X={上海 北京 天津 西安}为城市的集合。
模糊集合 C = ―对城市的爱好”可以表示为：
C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)} 又：X = {0 1 2 3 4 5 6}为一个家庭可拥有自行车数目的 集合 模糊集合 C = ―合适的可拥有的自行车数目”
2. 模糊逻辑与神经网络
神经网络是被相互连接起来的处理器节点组成的 矩阵。每一个节点是一个神经元，简单近似模拟 了人的大脑神经细胞的结构。 每一个神经元接受一个以上的、且与相应加权因 子相乘的输入，并相加后产生输出。
神经元被分层安排
第一层接受基本输入，传递其输出到第二层； 第二层又有自己的加权因子和代数和，传递至 第三层 ……
如 工作方法 智能性 语言 可靠性等方面。
1. 工作方法
传统的冯 · 诺依曼计算机：
连续串行的微观工作方式； 人脑： 串并行的工作方式。
2. 智能性
计算机的人工智能：
建立在对精确符号系统的数据处理上。 人脑的自然智能：
接受的信号具有某种不确定性。
用统计方法处理（具有模糊性）。
3. 语言
计算机： 使用的是精确、形式化的数学语言或程序语 言； 人脑： 可以使用具有模糊性或歧义性的自然语言。
直至最后一层，产生输出。
x1
o1
x2
o2
… xn
…
…
…
…
…
… om
输入层
隐藏层
输出层
神经网络与传统方法进行信息处理有两个完
全不同的性质：
– 神经网络是自适应和可被训练的，有自修改的 能力； – 神经网络的结构本身就意味着大规模平行机制。
模糊逻辑技术与神经网络技术相结合，可
以形成一个互补的系统：
自然科学基金重大项目： “模糊信息处理与机器智能” “模糊逻辑控制计算机系统”等。
目前 –模糊逻辑控制技术在工业控制、家电领域有很 好发展 –开展模糊信息处理方面的基础研究和理论研究
–开发专用模糊控制电路和模糊推理芯片等。
模糊逻辑与计算机
电脑和人脑
电脑扩大并延伸了人脑的功能，但两者存在重 大差别：
上述三个例子分别可写为 C = 0.8 /上海+0.9 /北京 +0.7 /天津 +0.6 /西安
C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}
C = 0.1/0+0.3/1+0.7/2+1.0/4+0.3/5+0.1/6 1 B /x / 不是除法运算 x 50 4 R 1 ( ) 10
A ( x)称为模糊集A的隶属函数。
隶属函数的性质： a) 定义为有序对； b) 隶属函数在0和1之间； c) 其值的确定具有主观性和个人的偏好。
X称为论域或域。 构造模糊集就是要：确定合适的论域和指定适当的 隶属函数。
精确集合
X 6
1
X 6
A 0
A 1
X 6
模糊集合
13
A ( x) 1
② 支集
支集( A) {x | A (x) 0}
交叉点
核 截集
交叉点
支集
③核 ④
核( A) {x A ( x) 1 }
截集
截集（A {x | A ( x) } ）
{x | A ( x) 0.5}
A ( x) 1
⑤ 交叉点
⑥ 模糊单点
C= {(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7),(3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)} （序偶表示法）
2) 连续形式: 令X = R+ 为人类年龄的集合, 模糊集合 B = ―年龄在50岁左右”，则B可表示为: B { x, B ( x ) | x X }
–在经典二值（布尔）逻辑体系中，所有的分类 都被假定为有明确的边界；（突变） –任一被讨论的对象，要么属于这一类，要么不 属于这一类； –一个命题不是真即是假，不存在亦真亦假或非 真非伪的情况。（确定）
模糊逻辑
– 对二值逻辑的扩充。关键的概念是：渐变的隶 属关系。
– 一个集合可以有部分属于它的元素；（渐变） – 一个命题可能亦此亦彼，存在着部分真部分伪。 （不完全确定）
传统的数字电子计算机以二值逻辑为基础，
建立在加法和移位基础上的各种计算能力 是它的特长。对确定性问题具有逻辑推理 能力，有很高的速度、精度和效率。
但是，没有创造性思维的能力。 因此，不可能以二值逻辑来模拟人的复杂
的思维进程。
1. 模糊逻辑与专家系统
专家系统是一种信息系统。专家系统中的知识 库中的知识由专家提供。其中罗列了大量的规 则和事实。 专家系统可分为：传统专家系统和模糊专家系 统。
人脑的思维具有上述两种模式； 计算机不具备后一种模式能力；
要使计算机进一步模拟人类思维的特点， 可以引入模糊逻辑！！
模糊逻辑与人工智能
人工智能（AI---Artificial Intelligence）——新兴 的边缘学科。 人工智能主要研究： 如何使计算机完成原来由人才能做的具有智 能性质的工作，即感知观察能力、记忆能力、逻 辑思维能力和语言表达能力等一系列人的脑力活 动中所表现出来的能力。 人工智能是许多相关技术的总称，包括专家系统、 机器学习、神经网络、模式识别、模糊逻辑技术 等等。
十字路口交通控制；
污、废水处理等。
八十年代日本情况：
–列车的运行和停车模糊逻辑控制，节能11—
14%；
–汽车速度模糊逻辑控制（加速平滑、上下坡稳
定）；
–港口集装箱起重机的小车行走和卷扬机的运行 控制； –家电模糊逻辑控制（电饭煲、洗衣机、微波炉、 空调、电冰箱等）。
中国：在模糊理论和应用方面的研究起步较慢， 但发展较快： –1976年 –1979年 –1980年 –1981年 起步 模糊控制器的研究 模糊控制器的算法研究 模糊语言和模糊文法的研究
传统专家系统
– 如果前提是真，则规则被激活;
– 规则要么被激活，要么不被激活;
– 对一组输入仅有一个规则被激活，且这个规则 将完全控制该专家系统的输出。
模糊专家系统
–如果前提是非零值，即某种程度的真，则规则 即被激活;
–规则可以不同程度地被激活; –通常对于给出的一组输入，可有不止一个规则 被激活。其专家系统的输出可能是几条规则结 果的合成。
1982年 磨床研磨表面光洁度模糊控制、开关式液 压位置伺服系统模糊控制研究 1984年提出语义推理的自学习方法 1986 年 单 片 微 机 比 例 因 子 模 糊 逻 辑 控 制器 1987年我国第一台模糊逻辑推理机
1990年起：
工业控制模糊逻辑控制器：玻璃窑炉、水泥回 转窑、PVC树脂聚合过程、功率因数补偿等。
式中：
图示:
1 B ( x) x 50 4 1 ( ) 10
模糊集合的公式表示(Zadeh表示法)
x X A ( xi ) / xi X为离散对象集合 i A (x ) / x X为连续空间（通常为实 轴） A i X
注意:
和
并非求和和积分符号。
研究报告。
– 以后，扎德（L.A.Zadeh）又提出关于模糊语言变量的 概念。 – 1974年扎德（L.A.Zadeh）进行有关模糊逻辑推理的研 究。
七十年代欧洲进行模糊逻辑在工业控制方面的应
用研究：
实现了第一个试验性的蒸汽机控制；
热交换器模糊逻辑控制试验；
转炉炼钢模糊逻辑控制试验；
温度模糊逻辑控制；
所谓集合，是指具有某种特定属性的对象
的全体。 定义：给定论域U（U、V、X、Y …… ）， U中具有某种特定属性的元素（u、v、x、 y …… ）的全体，称为U上的一个集合(A、 B、C、……)。
表示集合的几种方法
（1）列举法：
列写出集合中的全体元素。
适用于元素有限的集合。
（2）定义法： 以集合中元素的共性来描述集合的一种方法。 适用于有许多元素而不能一一列举的集合。
– 神经网络的关键特性和基本限制是：神经网络 有自学习功能和平行工作的特性。但所知的信 息是隐含的，安排每一个输入的权重是关键。 – 模糊逻辑系统所具有的“知识”由该领域的专 家所提供。其模糊逻辑控制规则是由人的直觉 和经验制定。有逻辑推理能力，但不具有学习 功能。
因此，模糊逻辑技术与神经网络技术
模糊集合和模糊关系
模糊集合及其表述 模糊集合的运算和隶属函数的参数化 二维模糊隶属度函数及其运算规则 模糊关系与复合运算
一、模糊集合及其表述
1. 集合的概念
为了对事物进行识别，必须对事物按不同的要求 进行分类。许多事物可以依据一定的标准进行分 类。用于这种分类的数学工具就是集合论。