八年级《一次函数动点问题》
初二数学 一次函数动点问题含解析
一次函数动点问题1、如图，正方形ABCD 的边长为6cm，动点P 从A 点出发，在正方形的边上由A→B→C→D 运动，设运动的时间为t（s），△ APD的面积为S（cm2），S与t 的函数图象如图所示，请回答下列问题：（1）点P 在AB 上运动时间为s，在CD 上运动的速度为cm/s，△APD 的面积S 的最大值为cm2；（2）求出点P 在CD 上运动时S 与t 的函数解析式；（3）当t 为s 时，△APD 的面积为10cm2．2、如图1，等边△ ABC 中，BC=6cm，现有两个动点P、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ，设动点运动时间为x 秒．（图2、图3 备用）（1）填空：B Q= ，P B= （用含x 的代数式表示）；（2）当x 为何值时，PQ∥AC？（3）当x 为何值时，△ PBQ 为直角三角形？3、如图，矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点P 从A 出发沿A→B→C→D 的路线移动，设点P 移动的路线为x，△ PAD 的面积为y．（1）写出y 与x 之间的函数关系式，并在坐标系中画出这个函数的图象．（2）求当x=4 和x=18 时的函数值．（3）当x 取何值时，y=20，并说明此时点P 在矩形的哪条边上．4、如图1，在矩形ABCD 中，点P 从B 点出发沿着四边按B→C→D→A 方向运动，开始以每秒m 个单位匀速运动，a秒后变为每秒2 个单位匀速运动，b秒后又恢复为每秒m 个单位匀速运动．在运动过程中，△ ABP 的面积S 与运动时间t 的函数关系如图2 所示．（1）求矩形ABCD 的长和宽；（2）求m、a、b 的值5、如图1 所示，在直角梯形ABCD 中，AB∥DC，∠B=90°．动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B→C→D→A 运动．设点P 运动的路程为x，△ ABP 的面积为y．把y 看作x 的函数，函数的图象如图2 所示，试求当0≤x≤9 时y 与x 的函数关系式．6、如图1，在矩形ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点P 从A 点出发，沿A→ B→C→D 路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D→C→B→A 运动，到A 点停止．若点P、点Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm，点Q 的速度为每秒2cm，a 秒时点P、点Q 同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm）．如图2 是点P出发x秒后△ APD 的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图3 是点Q 出发x 秒后△ AQD 的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．根据图象：（1）求a、b、c 的值；（2）设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需要走的路程为y2（cm），请分别写出改变速度后y1、y2 与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P 与Q 相遇时x 的值．动点答案1、解：（1）点P在AB上运动的速度为6÷6=1cm/s，在CD上运动的速度为6÷3=2cm/s，当点P 运动到点B 时，△APD 的面积S 最大，最大值是×6×6=18cm2；（2）PD=6﹣2（t﹣12）=30﹣2t，S= AD•PD= ×6×（30﹣2t）=90﹣6t；（3）当0≤t≤6 时，S=3t，12≤t≤15 时，90﹣6t=10，t=，所以当t 为（s）、（s）时，△APD的面积为10c△ APD 的面积为10cm2，即S=10 时，3t=10，t= ，当m2．2、解：（1）根据题意，B Q=x，P B=6﹣2x；（2）若PQ∥AC，有，即，解之得：x=2；（3）当∠BPQ=90°时，根据三角函数关系，可知BQ=2BP，∴x=2（6﹣2x），解之得：x= ，当∠BQP=90°时，2BQ=BP，即6﹣2x=x，解之得：x= ．3、解：（1）当点P在线段AB上时，此时AP=x，AD=8，根据三角形的面积公式可得：y= •AD•AP= ×8×x=4x，当点P 在线段BC 上运动时，面积不变；当点P 在线段CD 上，运动时，DP=6+8+6﹣x=20﹣x，AD=8根据三角形的面积公式可得：y= •AD•DP=×8×（20﹣x）=80﹣4x，∴y 与x 之间的函数关系式为y=（2）当x=4 时，y=4x=4×4=16，当x=18 时，y=80﹣4×18=8；（3）当y=4x=20，解得x=5，此时点P 在线段AB 上，当y=80﹣4x=20，解得x=15，此时点P 在线段CD 上．4、解：（1）从图象可知，当6≤t≤8 时，△ A B P面积不变即6≤t≤8 时，点P 从点C 运动到点D，且这时速度为每秒2 个单位∴CD=2（8﹣6）=4∴AB=CD=4（2 分）当t=6 时（点P运动到点C），S△ABP=16∴AB•BC=16∴×4×BC=16∴BC=8（4 分）∴长方形的长为8，宽为4．（2）当t=a 时，S△ABP=8=×16即点P 此时在BC 的中点处∴PC= BC= ×8=4∴2（6﹣a）=4∴a=4（6 分）∵BP=PC=4∴m=BP÷a=4÷4=1，当t=b 时，S△ABP=AB•AP=4∴ ×4×AP=4，AP=2∴b=13﹣2=11（9 分）；5、解：由题意知：BC=4，DC=9﹣4=5，AD=5…（3 分）…（5 分）当0≤x≤4 时，…（8 分）当4＜x≤9 时，…（9 分）6、解：（1）观察图象得，S△APQ=PA•AD=×（1×a）×6=24，解得a=8（秒）b= =2（厘米/秒）（22﹣8）c=（12×2+6）﹣2×8解得c=1（厘米/秒）（2）依题意得：y1=1×8+2（x﹣8），即：y1=2x﹣8（x＞8），y2=（30﹣2×8）﹣1×（x﹣8）=22﹣x（x＞8）又据题意，当y1=y2 时，P 与Q 相遇，即2x﹣8=22﹣x，解得x=10（秒）∴出发10 秒时，P 与Q 相遇．。
(完整版)一次函数动点问题
一次函数动点问题1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去 A 营，再到河边饮马，之后再去 B 营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．（1）理由：如图③，在直线L 上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C，′ ∵直线l 是点B，B′的对称轴，点C，C′在l 上∴ CB= ，C′B=∴ AC+CB=AC+CB′=．在△ AC′B中′，∵ AB′<AC′+C′B，′∴AC+CB<AC′+C′B即′AC+CB 最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B 在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．（2）模型应用如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB 的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与 D 关于直线AC对称，连结ED 交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段的长度，EF+FB的最小值是如图⑥，一次函数y=﹣2x+4 的图象与x，y 轴分别交于A，B两点，点O 为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P 点坐标．2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a，2）在该函数的图象上，试求 a 的值．③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△ POC的面积是S，试求S关于m 的函数关系式．3．已知函数y=kx+b 的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1 的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b 的图象上（1）求此一次函数的表达式和m 的值？（2）若在x 轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P 的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．4．已知：一次函数图象如图：（1）求一次函数的解析式；（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x 轴的交点，若S△OAP=2，求点P 的坐标．5．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠ 0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1 与直线l2互相平行．解答下面的问题：（1）已知正比例函数y=﹣x 的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1 平行的直线l2 的函数表达式；（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为．（4）在x轴上找一点M，使△ BMP为等腰三角形，求M 的坐标．（直接写出答案）6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠ 0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1?k2=﹣1，我们就称直线l1 与直线l2 相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l 与直线y=﹣x﹣1 互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．（1）求直线l 的函数表达式；（2）若点 C 是线段AB 上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点Q是AO上的一动点，求△ BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．一次函数动点问题参考答案与试题解析一．解答题（共 6 小题）1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去 A 营，再到河边饮马，之后再去 B 营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．（1）理由：如图③，在直线L 上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C，′ ∵直线l 是点B，B′的对称轴，点C，C′在l 上∴CB= CB' ，C′B= C'B'∴ AC+CB=AC+CB′=AB' ．在△ AC′B中′，∵ AB′<AC′+C′B，′∴AC+CB<AC′+C′B即′AC+CB 最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B 在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．（2）模型应用如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB 的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与 D 关于直线AC 对称，连结ED交AC于F，则EF+FB 的最小值就是线段DE 的长度，EF+FB的最小值是．如图⑤，已知⊙ O的直径CD为4，∠ AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD 上找一点P，使BP+AP 的值最小，则BP+AP 的最小值是 2 ；如图⑥，一次函数y=﹣2x+4 的图象与x，y 轴分别交于A，B两点，点O 为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P 点坐标．【解答】解：（1）理由：如图③，在直线L 上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C，′ ∵直线l 是点B，B′的对称轴，点C，C′在l 上∴ CB=CB，' C′B=C'B'∴AC+CB=AC+CB′=A．B'在△ AC′B中′，∵ AB′<AC′+C′B，′∴AC+CB<AC′+C′B即′AC+CB 最小故答案为：CB'，C'B'，AB'；（2）模型应用①解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D 关于直线AC对称，连结ED交AC于F则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是．在正方形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=9°0 ∵点E是AB 中点，∴AE=1，根据勾股定理得，DE= ，即：EF+FB的最小值，故答案为：DE，；②如图⑤，由圆的对称性可知，A与A'关于直径CD对称，连结A'B交CD于F，则AE+EB 的最小值就是线A'BE的长度，∴∠ AOD=∠A'OD=60°∵点 B 是的中点，∴∠ AOB=∠BOD= ∠AOD=3°0，∴∠ A'OB=90°∵⊙ O的直径为4，∴OA=OA'=OB=2，在Rt△A'OB中，A'B=2 ，∴ BP+AP的最小值是 2 ．故答案为 2 ，③如图⑥，由平面坐标系中的对称性可知，C与C'关于直径y轴对称，连结C'D交y轴于P，则PC+PD的最小值就是线C'D 的长度，∵一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y 轴分别交于A，B两点，∴A（2，0），B （0，4），∴C（1，0），D（1，2），∵C与C'关于直径y 轴对称，∴C'（﹣1，0），∴ C'D= =2 ，∴ PC+PD的最小值为 2 ，∵C'（﹣1，0），D（1，2），∴直线C'D 的解析式为y=x+1，∴P（0，1）．2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a，2）在该函数的图象上，试求 a 的值．③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△ POC的面积是S，试求S关于m 的函数关系式．解答】解：①设一次函数解析式为y=kx+b，依题意，得解得，次函数解析式为y=2x﹣1；②将点（a，2）代入y=2x﹣1 中，得2a﹣1=2，③由 y=2x ﹣1，令 y=0得 x= ， ∴C （ 又∵点 P（m ，n ）在直线 y=2x ﹣1 上， ∴ n=2m ﹣1，3．已知函数 y=kx+b 的图象经过点A 43 y=x+1 的图象平行，点 B （ 2， m ）在一次函数 y=kx+b 的图象上1）求此一次函数的表达式和 m 的值？2）若在 x 轴上有一动点 P （x ，0），到定点 A （4，3）、B （2，m ）的距离分别 为 PA 和 PB ，当点 P 的横坐标为多少时， PA+PB 的值最小．解答】 解：（1）∵函数 y=kx+b 的图象经过点 A （4，3）且与一次函数 y=x+1 的图象平行，，解得：∴一次函数的表达式为 y=x ﹣1． 当 x=2 时， m=x ﹣1=2﹣ 1=1， ∴m 的值为1．（2）作点 B 关于x 轴的对称点 B ′，连接 AB ′交x 轴于点 P ，此时PA+PB 取最小值， 如图所示． ∵点 B 的坐标为（ 2，1）， ∴点 B ′的坐标为（ 2，﹣ 1）． 设直线 AB ′的表达式为 y=ax+c ， 将（ 2，﹣1）、（4，3）代入 y=ax+c ，，解得：∴直线 AB ′的表达式为 y=2x ﹣5． 当 y=0 时， 2x ﹣ 5=0，，0），∴S= × ×|n|= | （2m ﹣1）|=|m﹣4．已知：一次函数图象如图： 1）求一次函数的解析式；2）若点 P 为该一次函数图象上一动点，且点 A 为该函数图象与 x 轴的交点，若 S △OAP =2，求点 P 的坐标．解答】 解：（1）设一次函数解析式为 y=kx+b ，所以一次函数解析式为 y=﹣x+1；（2）当 y=0时，﹣ x+1=0，解得 x=1，则 A （ 1， 0）， 设 P （t ，﹣ t+1）， 因为 S △OAP =2，所以 ×1×|﹣t+1|=2，解得 t=﹣3或t=5， 所以 P 点坐标为（﹣ 3，4）或（ 5，﹣ 4）．5．阅读下面的材料：在平面几何中， 我们学过两条直线平行的定义． 下面就两个一次函数的图象所确 定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数 y=k 1x+b 1（k 1≠ 0）的图象为把（﹣ 2，3）、（2， 分别代入得，解得PA+PB 的值最小．P 的横坐标为 ﹣1)直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1 与直线l2互相平行．解答下面的问题：（1）已知正比例函数y=﹣x 的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1 平行的直线l2 的函数表达式；（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为Q（0，）．（4）在x轴上找一点M，使△ BMP为等腰三角形，求M 的坐标．（直接写出答案）【解答】解：（1）根据正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，设直线l2的函数表达式为y=﹣x+b，把P（1，3）代入得：3=﹣1+b，即b=4，则过点P（1，3）且与已知直线l1 平行的直线l2的函数表达式为y=﹣x+4；（2）过O作ON⊥AB，如图1所示，ON为l1和l2两平行线之间的距离，对于直线y=﹣x+4，令x=0，得到y=4；令y=0，得到x=4，∴ A（0，4），B（4，0），即OA=OB=4，∵△ ABC为等腰直角三角形，∴AB= =4 ，且ON 为斜边上的中线，∴ ON= AB=2 ，则l1 和l2 两平行线之间的距离为 2 ；（3）找出B关于y轴的对称点B′（﹣4，0），连接PB′，与y轴交于点Q，连接PQ，此时QP+QB 最小，设直线B′P的解析式为y=mx+n，把B′和P 坐标代入得：，解得：m= ，n= ，∴直线B′P的解析式为y= x+ ，令x=0，得到y= ，即Q（0，）；故答案为：Q（0，）；（4）如图 2 所示，分三种情况考虑：当PM1=PB时，由对称性得到M1（﹣2，0）；当PM2=BM2时，M2 为线段PB垂直平分线与x轴的交点，∵直线PB的解析式为y=﹣x+4，且线段PB中点坐标为（ 2.5， 1.5），∴线段PB垂直平分线解析式为y﹣1.5=x﹣2.5，即y=x﹣1，令y=0，得到x=1，即M 2（1，0）；当PB=M3B= =3 时，OM3=OB+BM3=4+3 ，此时M 3（4﹣3 ，0），M 3（4+3 ，0）．综上，M的坐标为（﹣2，0）或（1，0）或（4﹣ 3 ，0）或（4+3 ，0）．6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠ 0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1?k2=﹣1，我们就称直线l1 与直线l2 相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l 与直线y=﹣x﹣1 互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．（1）求直线l 的函数表达式；（2）若点 C 是线段AB 上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点Q是AO上的一动点，求△ BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．【解答】解：（1）设直线l 的解析式为y=kx+b，∵直线l 与直线y=﹣x﹣1 互相垂直，∴﹣k=﹣1，解得k=2，∵直线l 的图象过点P（﹣1，4），∴﹣k+b=4，即﹣2+b=4，解得b=6，∴直线l 的解析式为y=2x+6；（2）如图1，过O作OC⊥AB 于点C，在y=2x+6 中，令x=0 可得y=6，令y=0 可求得x=﹣3，∴A（0，6），B（﹣3，0），∴OA=6，OB=3∴ AB= =3 ，∵ AB?OC= OA?OB，∴ 3 OC=3×6，∴ OC= ，即线段OC长度的最小值为；（3）如图2，作点P关于y轴的对称点P″，连接BP″交y轴于点Q，过P″作P″G⊥x 轴于点G，则PQ=P″Q，∴PQ+BQ=BQ+QP″，∵点B、Q、P″三点在一条线上，∴ BQ+PQ最小，∵P（﹣1，4），∴P″（1，4），∴ P″G=，4 OG=1，∴BG=BO+OG=4=″P G，∴∠ OBQ=4°5，BP″=4 ，∴ OQ=BO=3，∴ Q点坐标为（0，3），又BP= =2 ，此时△ BPQ的周长=BP+BP″=4 +2 ；（4）由（3）可知∠ OBQ=∠OQB=4°5，∴∠PQA=∠P″QA=45°，∴PQ⊥BQ，如图3，延长PQ到点P′，使PQ=P′Q，则P′即为点P 关于BQ的对称点，过P′作由（3）可知PQ=Q′P = ，∴QH=H′P =1，∴OH=OQ﹣QH=3﹣1=2，∴ S四边形ABO′P=S△AOB+S△AOP′= ×6×3+ × 6× 1=12，四边形△ △即四边形ABOP′的面积为12．。
初二一次函数动点经典题型(全部题型)
一次函数动点问题例题如图，直线1l 的解析表达式为33y x，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求点D 的坐标；（2）求直线2l 的解析表达式；（3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．练习题如图,以等边△OAB 的边OB 所在直线为x 轴,点O 为坐标原点,使点A 在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB 边长为6个单位，点P 从O 点出发沿折线OAB 向B 点以3单位/秒的速度向B 点运动,点Q从O 点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA 向A 点运动，两点同时出发，运动时间为t （单位：秒），当两点相遇时运动停止.①点A 坐标为_____________，P 、Q 两点相遇时交点的坐标为________________;②当t =2时，S △OPQ ____________;当t =3时，OPQ S △____________;③设△OPQ 的面积为S ，试求S 关于t 的函数关系式; ④当△OPQ 的面积最大时，试求在y 轴上能否找一点M ，使得以M 、P 、Q 为顶点的三角形是Rt △，若能找到请求出M 点的坐标，若不能找到请简单说明理由。
x yOAB xyOAB xyOAB例题如图，在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OA=3cm ，OB=4cm ，以点O 为坐标原点建立坐标系，设P 、Q 分别为AB 、OB 边上的动点它们同时分别从点A 、O 向B 点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P 、Q 移动时间为t （0≤t ≤4）（1）过点P 做PM ⊥OA 于M ，求证：AM ：AO=PM ：BO=AP ：AB ，并求出P 点的坐标（用t 表示）（2）求△OPQ 面积S （cm 2），与运动时间t （秒）之间的函数关系式，当t 为何值时，S 有最大值？最大是多少？（3）当t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？（4）证明无论t 为何值时，△OPQ 都不可能为正三角形。
一次函数动点问题含答案
例题1：如图，直线1l 的解析表达式为 ，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求点D 的坐标；（2）求直线2l 的解析表达式；（3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．例题2：如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 的面积为个平方单位？当堂巩固：如图，直线 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点A 的坐标为（-6，0）。
（1）求k 的值；（2）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为278，并说明理由。
524例题3、如图1，等边△ABC中，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ，设动点运动时间为x秒．（图2、图3备用）（1）填空：BQ= ，PB= （用含x的代数式表示）；（2）当x为何值时，PQ∥AC？（3）当x为何值时，△PBQ为直角三角形？一次函数压轴题1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC 。
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．（2）若P（x，y）是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．3．如图①，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点．（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有10个（请直接写出结果）；（2）设点C（4，0），点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标（6，2）；（3）如图②，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN的周长最短，在图②中作出图形，并求出点N的坐标．4．已知如图，直线y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）求S△OPA的值；（3）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF 与△OPA重叠部分的面积为S．求：S与a之间的函数关系式．5．如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．（1）直线经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；（3）若直线l1经过点F（）且与直线y=3x平行．将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，交x轴于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．1.考点：一次函数综合题。
初二一次函数动点经典题型(全部题型)
初二一次函数动点经典题型(全部题型)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一次函数动点问题例题如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ． （1）求点D 的坐标； （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得 ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．练习题 如图,以等边△OAB 的边OB 所在直线为x 轴,点O 为坐标原点,使点A 在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB 边长为6个单位，点P 从O 点出发沿折线OAB 向B 点以3单位/秒的速度向B 点运动,点Q 从O 点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA 向A 点运动，两点同时出发，运动时间为t （单位：秒），当两点相遇时运动停止.① 点A 坐标为_____________，P 、Q 两点相遇时交点的坐标为________________; ② 当t =2时，S =△OPQ ____________;当t =3时，OPQ S =△____________;③ 设△OPQ 的面积为S ，试求S 关于t 的函数关系式;④ 当△OPQ 的面积最大时，试求在y 轴上能否找一点M ，使得以M 、P 、Q 为顶点的三角形是Rt △，若能找到请求出M 点的坐标，若不能找到请简单说明理由。
xyOAB xyOAB x yOAB例题如图，在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OA=3cm ，OB=4cm ，以点O 为坐标原点建立坐标系，设P 、Q 分别为AB 、OB 边上的动点它们同时分别从点A 、O 向B 点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P 、Q 移动时间为t （0≤t ≤4）（1）过点P 做PM ⊥OA 于M ，求证：AM ：AO=PM ：BO=AP ：AB ，并求出P 点的坐标（用t 表示）（2）求△OPQ 面积S （cm 2），与运动时间t （秒）之间的函数关系式，当t 为何值时，S 有最大值最大是多少（3）当t 为何值时，△OPQ 为直角三角形（4）证明无论t 为何值时，△OPQ 都不可能为正三角形。
第五讲一次函数动点问题(教案)
4.关注学生的个体差异，因材施教，提高教学效果。
（2）学会运用数形结合的方法分析一次函数动点问题，并能解决实际问题；
（3）培养学生的空间想象力和逻辑思维能力。
举例解释：
（1）在教学过程中，重点讲解一次函数图像上任意一点的坐标表示方法，以及动点在直线上的移动规律；
（2）通过实例分析，强调动点问题中数形结合的重要性，让学生掌握解题关键；
（3）设计相关练习题，让学生在实际操作中体会空间想象力和逻辑思维能力的培养。
2.教学难点
（1）一次函数动点问题的分类与解题方法；
（2）在解决实际问题时，如何将问题转化为一次函数动点问题；
（3）运用数形结合的方法，突破动点问题的空间想象力限制。
举例解释：
（1）对于动点问题的分类，教师需要详细讲解不同类型动点问题的解题方法，如动点在直线上的移动、动点与直线的距离等，并举例说明；
2.一次函数动点问题的分类与解题思路；
3.举例说明一次函数动点问题的应用，如动点在直线上的移动、动点与直线的距离等；
4.练习题：针对本讲内容，设计具有代表性的练习题，巩固所学知识。
二、核心素养目标
本讲一次函数动点问题的教学，旨在培养学生的以下学科核心素养：
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高数学应用意识；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数动点问题的基本概念。一次函数动点问题是指在一次函数图像上，点的坐标随时间或其他变量的变化而发生改变的情况。它是研究函数图像动态变化的重要部分，有助于我们理解函数与实际问题的联系。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了动点在一次函数图像上的移动规律，以及如何利用这一规律解决实际问题。
人教版八年级下册数学一次函数与动点最值问题
一次函数与动点最值问题知识导航1.关于x 的一次函数y ＝k (x －m )＋n 或y ＝kx －km ＋n 一定过定点(m ，n ).2.直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.3.利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值.4.利用平方数，绝对值，算术平方根的非负性求最值.【板块一】过定点的直线题型一 定点动直线【例1】(1)一次函数y ＝kx 一定经过点_________；若一次函数的图象经过原点，那么该一次函数的解析式可设为_________.(2)一次函数y ＝kx ＋2一定经过点_________；若一次函数的图象经过点(0，－4)，那么该一次函数的解析式可设为_________；(3)一次函数y ＝kx －2k ＋1一定经过点_________；若一次函数的图象经过点(－2，4)，该一次函数的解析式可设为_________. 题型二 动点定直线【例2】利用坐标判断点在定直线上. (1)点P (m ，m ＋2)一定在直线_________上； (2)点P (m ＋1，2m －3)一定在直线_________上.针对练习11.过定点的动直线的应用: 已知一次函数y ＝2kx －k ＋2. (1)其图象过定点_________；(2)直线y ＝2kx －k ＋2和直线y ＝4x 的交点是_________； (3)若0＜k ＜2，不等式2kx －k ＋2≤4x 的解集是_________； (4)当x ＝1时，y ＜0，则k 的取值范围是_________；(5)若A (32，3)，B (4，－3)，该一次函数的图象与线段AB 有交点，则k 的取值范围是_________.2.动点在定直线上的应用:直线AB：y＝2x＋4交x轴于点A，交y轴于点B，C(1，0)，点P为直线AB上一点，将线段PC绕点C 顺时针旋转90°，得CQ.(1)若点P横坐标为－1时，求点Q坐标；(2)若点P横坐标为m，试用含m的式子表示点Q的坐标；(3)当点P在直线AB上运动时，则点Q总在直线l上运动，求直线l的解析式.【板块二】直线型动点最值问题题型三点到直线的距离最短方法技巧利用垂线段最短，可求定点到直线型动点的最小值问题.【例1】点P是x轴上一点，A(0，4)，将线段P A绕点A逆时针旋转90°得到线段AQ，求OQ的最小值.【例2】如图，A(4，0)，△OAB为等边三角形，点C为x轴上一动点，以BC为边在直线BC的右侧作等边△BCD，连接OD.(1)点D在某一确定的函数图象上运动，其解析式为_________；(2)OD的最小值为_________.题型四两线段或多线段的和差最值问题方法技巧利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求两线段或多线段的和差最大值或最小值；在平面直角坐标系中，常作一个定点的对称点，然后连接这一对称点与另一定点，求最值.这一方法也叫化折为直.【例3】如图，A(－4，2)，B(－1，1)，在x轴上找一点P，使△P AB的周长最小，求这个最小值及点P的坐标.【例4】如图，A(－4，2)，B(－1，1)，在x轴上找一点P，使|P A－PB|的值最大，并求此时点P的坐标.针对练习21.一次函数y＝k(x－1)＋3k－4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点O到该直线的距离的最大值是_________；2.如图，B(0，3)，点A为x轴上一动点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得线段AC，连接OC.(1)设A(a，0)，用含a的式子表示点C坐标_________；(2)点C在某一确定的函数图象上运动，其解析式为_________；(3)OC长度的最小值为_________.3.如图，A(0，23)，点B为x轴上一动点，将线段AB绕点A逆时针旋转60°，得线段AC，线段OC的最小值是_________.第2题第3题第4题第5题4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点M为AB的中点，点D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ME，点D在运动的过程中，ME的最小值为()A.2B.2 2C.4D.4 25.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，点D为线段AC上一动点，将线段BD绕点D逆时针旋转90°，点B的对应点为E，连接AE，则AE的最小值为_________.6.如图，直线y＝x＋4与坐标轴交于点A，B，点C(－3，m)在直线AB上，在y轴上找一点P，使P A＋PC的值最小，求这个最小值及点P的坐标.【板块三】动点的运动路径(轨迹)问题方法技巧动点的运动路径问题解题方法:1.选取三个或多个特殊点探索三个或多个特殊位置，一般选取起点，终点，和另外的特殊点探索；2.根据这些特殊点的位置猜想运动路径，然后验证.现阶段多用全等转换求值.【例1】如图，直线AB：y＝2x＋4交x轴于点A，交y轴于点B，C(1，0)，点P为直线AB上一点，将线段PC绕点C顺时针旋转90°得CQ.(1)当点P从点A运动到点B时，点Q的运动路径长为_________；(2)线段OQ的最小值为_________.【例2】如图，A(4，0)，B(0，4)，点P在线段AB上运动，PQ⊥PO且PQ＝PO.(1)试说明点Q在某一确定的直线上；(2)点M是OQ的中点，当点P从点A运动到点B时，求点M运动的路径长.针对练习31.在平面直角坐标系中，A(0，4)，点B沿着某条路径运动，以点B为旋转中心，将点A逆时针旋转60°到点C(m，2).若－5≤m≤5，则点B运动的路径长为_________.2.在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)，C(0，b)，且a，b满足(a＋1)2＋b＋3＝0.(1)直接写出：a＝_________，b＝_________；(2)如图1，点B为x轴正半轴上的一点，BE⊥AC于点E，交y轴于点D，连接OE.若OE平分∠AEB，求直线BE的解析式；(3)如图2，在(2)的条件下，点M为直线BE上的一动点，连接OM，将线段OM绕点M逆时针旋转90°，点O的对应点为N，当点M运动时，判断点N的运动路线是什么图形，并说明理由.图1图23.如图1，直线y＝－3x＋33分别与y轴、x轴交于点A，B，点C的坐标为(－3，0)，点D为直线AB 上的一动点，连接CD交y轴于点E.(1)点B的坐标为_________，不等式－3x＋33＞0的解集为_________；(2)若S△COE＝S△ADE，求点D的坐标；(3)如图2，以CD为边作菱形CDFG，且∠CDF＝60°，当点D运动时，点G在一条定直线上运动，请求出这条定直线的解析式.图1图2一次函数大综合——数形结合1.已知点A(a，3)，点B(b，6)，点C(5，c)，AC⊥x轴，CB⊥y轴，点B在第二象限且到两坐标轴的距离相等.(1)写出A，B，C三点的坐标；(2)求△ABC的面积；(3)若点P为线段OB上的动点，当△BCP面积大于12小于16时，求点P的横坐标的取值范围.2. 在平面直角坐标系中，A(a，b)，B(c，d)，且a－c＋4＋|b－d－6|＝0.(1)直接写出a与c，b与d的关系式；(2)如果b＝c＝0，点P(m，32m＋6)，且m＞0，S△P AB＝4S△AOB，求点P的坐标；(3)如果b＝3，连接AB交x轴于点Q.①直接写出点Q的坐标(用含a的式子表示)；②若S△AOB≤24，求a的取值范围.3. (2019黄陂区期末)如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥x轴于点B.AC⊥y轴于点C，点A(4a，3a)，且四边形ABOC的面积为48.(1)如图1，直接写出点A的坐标为_________；(2)如图2，点D从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿y轴正半轴运动，同时，点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BA运动，DE交线段AC于点F，设运动的时间为t秒，当S△AEF＜S△CDF 时，求t的取值范围；(3)如图3，将线段BC平移，使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上，点C的对应点为N，连接BN交y轴轴于点P，当OM＝3OP时，求点M的坐标.4. 在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)，B(a，6)，C(a－2，2).(1)若a＝2，则△ABC的面积为_________；(2)将线段BC向右平移m个单位，若△ABC的面积小于4，求m的取值范围；(3)若点D(a＋8，8)，连结AD，将线段BC向右平移n个单位，若线段BC与线段AD有公共点，请直接写出n的取值范围_________.5.在平面直角坐标系中，点A(a，b)，B(c，d)，且a－c＋3＋|b－d－4|＝0.(1)如果a＝－1，b＝－3，求A，B两点的坐标；(2)如果a＝－1，b＝－3，求直线AB与x轴的交点M以及与y轴的交点N的坐标；(3)如果点A在x轴上方平行于x轴，且在到x轴距离等于2的直线上运动，若△ABO的面积不超过21，求a的取值范围.6.如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A，交y轴于点B，下表列举的是直线l上的点P(x，y)的取值情况:(1)直线l上的点P(x，y)的横、纵坐标之间的数量关系是_________(直接写出结果)；(2)若点P(－2，2)，点Q(q，0)，若以P，Q，O，B为顶点的四边形的面积大于5，求q的取值范围；(3)已知坐标平面内第一象限的点M(m，n)，N(m＋4，n＋4)，若△PMN的面积是12，求m，n的数量关系.。
一次函数之动点问题(word文档良心出品)
一次函数之动点问题（讲义）一、知识点睛动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程． 1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息； ②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围； ③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案． 2. 解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s =vt 直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．二、精讲精练1. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 的运动时间为 t 秒．（1）求OA ，OB 的长．（2）过点P 与直线AB 垂直的直线与y 轴交于点E ，在点P 的运动过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．y xOBA2. 如图，直线=3+43y x 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，直线BC 与x 轴交于点C ，∠ABC =60°．（1）求直线BC 的解析式．（2）若动点P 从点A 出发沿AC 方向向点C 运动（点P 不与点A ，C 重合），同时动点Q 从点C 出发沿折线CB —BA 向点A 运动（点Q 不与点A ，C 重合），动点P 的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ 的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． （3）当t =4时，y 轴上是否存在一点M ，使得以A ，Q ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．C ABOxy CABOxy3. 如图，在直角梯形COAB 中，OC ∥AB ，以O 为原点建立平面直角坐标系，A ，B ，C三点的坐标分别为A (8，0)，B (8，11)，C (0，5)，点D 为线段BC 的中点．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA —AB —BD 的路线运动，至点D 停止，设运动时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式．（2）若动点P 在线段OA 上运动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的14？（3）在动点P 的运动过程中，设△OPD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．P DCxA OByyBO A xCD4. 如图，直线334y x =-+与x 轴交于点A ，与直线33y x =交于点P ． （1）求点P 的坐标． （2）求△OP A 的面积．（3）动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OA 方向向终点A 运动，过点E 作EF ⊥x 轴交线段OP 或线段P A 于点F ，FB ⊥y 轴于点B ．设运动时间为t 秒，矩形OEFB 与△OP A 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．PFE xA OB y5. 如图，直线l 的解析式为y =-x +4，它与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，平行于直线l的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点，设运动时间为t 秒（0< t <4）． （1）求A ，B 两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示△MON 的面积S 1；（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记△MPN 和△OAB 重 叠部分的面积为S 2，试探究S 2与t 之间的函数关系式．xy OABm l PM N【参考答案】1．（1）OA =4，OB =3； （2）t =1或t =7 2．（1）343y x =-+（2）223(04)2343(48)2t t S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤（3）123(0438)(0438)(043)M M M -+-，或，或，443(0)3M 或，3．（1）354y x =+（2）32t =（3）4(08)248(819)248(1924)t t S t t t t <⎧⎪=-+<⎨⎪-+<<⎩≤≤4．（1）(33)P ， （2）23（3）223(03)653163243(34)2tt S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤5．（1）(40)(04)A B ，,，（2）2112S t =（3）2221(02)2388(24)2t t S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤。
一次函数之动点问题(含解析)
一次函数之动点问题一、 框架套路和标准动作动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程． 1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①把函数信息（坐标或表达式）转化为背景图形的信息； ②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围； ③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案． 2. 解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s=vt 直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征的需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合背景图形信息．二、 例题解析（1）读题标注，整合信息（即研究背景图形）由直线AB 的表达式y +()(400A B -，，， 即4OA OB ==，8AB =，∠BAC =60°．又由∠ABC =60°， 可得△ABC 是等边三角形，且AB =BC =AC =8，OA =OC =4． 如图：（2）分析特征，有序思考，设计方案（分析运动过程）： 分析运动过程，核心是运动过程的四要素：①起点、终点、速度；②时间范围；③状态转折点；④目标．具体操作：①起点、终点、速度；动点P 从点A 沿AC 向点C 运动，可以确定点P 的起点（点A ）、终点（点C ），速度为1/s ；动点Q 从点C 沿CB —BA 向点A 运动，可以确定点Q 的起点（点C ）、终点（点A ），速度为2/s ，图示如下：AQ :BC (2/s)(1/s)A P :②时间范围根据路程、时间和速度的公式s =vt ，已知动点的速度，结合基本图形中线段长的研究，可以确定动点的运动时间．例如：动点P 的速度是1/s ，AC =8，故动点P 由A 到C 共经过8s ；动点Q 的速度是2/s ，CB =BA =8，故每段各走4s ，共8s ，综上0≤t ≤8．图示如下：AQ :B C4s(2/s)(1/s)（0≤t ≤8）A P :③状态转折点状态转折点即点的运动发生变化的点，常常为动点的运动方向发生改变、或者是动点的速度发生改变．例如：动点P 从点A 到点C ，速度和方向均未变化，故点P 没有状态转折点；动点Q 从点C 沿CB —BA 向点A 运动，在点B 处运动方向发生了变化，故点B 为状态转折点，由状态转折点可对运动过程进行分段．图示如下：4 < t ≤ 80 ≤ t ≤ 4①②Q :C(2/s)(1/s)（0≤t ≤8）A P :④确定目标确定目标是正确高效解题的保证，是有序操作的重要一环．本题求S 与t 之间的函数关系式，即用t 来表示△APQ 的面积S ．图示如下：△APQ S (t )4 < t ≤ 80 ≤ t ≤ 4①②Q :C(2/s)(1/s)（0≤t ≤8）A P : （3）根据方案作出图形、有序操作（分段作图，求解）作图需要充分借助动点的运动路线图，利用运动路线图可以确定每段时间范围内点的位置． 例如：①当04t ≤≤时，点P 在AO 上，点Q 在CB 上，连接AQ ，PQ ；要求△APQ 的面积，先从表达开始，可以表达动点的已走路程，得到AP =t ，CQ =2t 。
初二数学 一次函数动点问题含解析
一次函数动点问题1、如图，正方形ABCD 的边长为6cm，动点P 从A 点出发，在正方形的边上由A→B→C→D 运动，设运动的时间为t（s），△ APD的面积为S（cm2），S与t 的函数图象如图所示，请回答下列问题：（1）点P 在AB 上运动时间为s，在CD 上运动的速度为cm/s，△APD 的面积S 的最大值为cm2；（2）求出点P 在CD 上运动时S 与t 的函数解析式；（3）当t 为s 时，△APD 的面积为10cm2．2、如图1，等边△ ABC 中，BC=6cm，现有两个动点P、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ，设动点运动时间为x 秒．（图2、图3 备用）（1）填空：B Q= ，P B= （用含x 的代数式表示）；（2）当x 为何值时，PQ∥AC？（3）当x 为何值时，△ PBQ 为直角三角形？3、如图，矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点P 从A 出发沿A→B→C→D 的路线移动，设点P 移动的路线为x，△ PAD 的面积为y．（1）写出y 与x 之间的函数关系式，并在坐标系中画出这个函数的图象．（2）求当x=4 和x=18 时的函数值．（3）当x 取何值时，y=20，并说明此时点P 在矩形的哪条边上．4、如图1，在矩形ABCD 中，点P 从B 点出发沿着四边按B→C→D→A 方向运动，开始以每秒m 个单位匀速运动，a秒后变为每秒2 个单位匀速运动，b秒后又恢复为每秒m 个单位匀速运动．在运动过程中，△ ABP 的面积S 与运动时间t 的函数关系如图2 所示．（1）求矩形ABCD 的长和宽；（2）求m、a、b 的值5、如图1 所示，在直角梯形ABCD 中，AB∥DC，∠B=90°．动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B→C→D→A 运动．设点P 运动的路程为x，△ ABP 的面积为y．把y 看作x 的函数，函数的图象如图2 所示，试求当0≤x≤9 时y 与x 的函数关系式．6、如图1，在矩形ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点P 从A 点出发，沿A→ B→C→D 路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D→C→B→A 运动，到A 点停止．若点P、点Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm，点Q 的速度为每秒2cm，a 秒时点P、点Q 同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm）．如图2 是点P出发x秒后△ APD 的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图3 是点Q 出发x 秒后△ AQD 的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．根据图象：（1）求a、b、c 的值；（2）设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需要走的路程为y2（cm），请分别写出改变速度后y1、y2 与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P 与Q 相遇时x 的值．动点答案1、解：（1）点P在AB上运动的速度为6÷6=1cm/s，在CD上运动的速度为6÷3=2cm/s，当点P 运动到点B 时，△APD 的面积S 最大，最大值是×6×6=18cm2；（2）PD=6﹣2（t﹣12）=30﹣2t，S= AD•PD= ×6×（30﹣2t）=90﹣6t；（3）当0≤t≤6 时，S=3t，12≤t≤15 时，90﹣6t=10，t=，所以当t 为（s）、（s）时，△APD的面积为10c△ APD 的面积为10cm2，即S=10 时，3t=10，t= ，当m2．2、解：（1）根据题意，B Q=x，P B=6﹣2x；（2）若PQ∥AC，有，即，解之得：x=2；（3）当∠BPQ=90°时，根据三角函数关系，可知BQ=2BP，∴x=2（6﹣2x），解之得：x= ，当∠BQP=90°时，2BQ=BP，即6﹣2x=x，解之得：x= ．3、解：（1）当点P在线段AB上时，此时AP=x，AD=8，根据三角形的面积公式可得：y= •AD•AP= ×8×x=4x，当点P 在线段BC 上运动时，面积不变；当点P 在线段CD 上，运动时，DP=6+8+6﹣x=20﹣x，AD=8根据三角形的面积公式可得：y= •AD•DP=×8×（20﹣x）=80﹣4x，∴y 与x 之间的函数关系式为y=（2）当x=4 时，y=4x=4×4=16，当x=18 时，y=80﹣4×18=8；（3）当y=4x=20，解得x=5，此时点P 在线段AB 上，当y=80﹣4x=20，解得x=15，此时点P 在线段CD 上．4、解：（1）从图象可知，当6≤t≤8 时，△ A B P面积不变即6≤t≤8 时，点P 从点C 运动到点D，且这时速度为每秒2 个单位∴CD=2（8﹣6）=4∴AB=CD=4（2 分）当t=6 时（点P运动到点C），S△ABP=16∴AB•BC=16∴×4×BC=16∴BC=8（4 分）∴长方形的长为8，宽为4．（2）当t=a 时，S△ABP=8=×16即点P 此时在BC 的中点处∴PC= BC= ×8=4∴2（6﹣a）=4∴a=4（6 分）∵BP=PC=4∴m=BP÷a=4÷4=1，当t=b 时，S△ABP=AB•AP=4∴ ×4×AP=4，AP=2∴b=13﹣2=11（9 分）；5、解：由题意知：BC=4，DC=9﹣4=5，AD=5…（3 分）…（5 分）当0≤x≤4 时，…（8 分）当4＜x≤9 时，…（9 分）6、解：（1）观察图象得，S△APQ=PA•AD=×（1×a）×6=24，解得a=8（秒）b= =2（厘米/秒）（22﹣8）c=（12×2+6）﹣2×8解得c=1（厘米/秒）（2）依题意得：y1=1×8+2（x﹣8），即：y1=2x﹣8（x＞8），y2=（30﹣2×8）﹣1×（x﹣8）=22﹣x（x＞8）又据题意，当y1=y2 时，P 与Q 相遇，即2x﹣8=22﹣x，解得x=10（秒）∴出发10 秒时，P 与Q 相遇．。
初二函数专题17一次函数之动点问题
大类三、一次函数之动点问题班级：__________ 姓名：__________【知识点睛】动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程．1.一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息；②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围；③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案．2.解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s=vt直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．【精讲精练】1.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线334y x=-+与x轴、y轴分别交于A，B两点．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．（1）求OA，OB的长．（2）过点P与直线AB垂直的直线与y轴交于点E，在点P的运动过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．3.如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A(8，0)，B(8，11)，C(0，5)，点D为线段BC 的中点．动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA—AB—BD 的路线运动，至点D停止，设运动时间为t秒．（1）求直线BC的解析式．（2）若动点P在线段OA上运动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的14？（3）在动点P的运动过程中，设△OPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．4.如图，直线y=+与x轴交于点A，与直线y x=交于点P．（1）求点P的坐标．（2）求△OP A的面积．（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿OA方向向终点A运动，过点E作EF⊥x轴交线段OP或线段P A于点F，FB⊥y轴于点B．设运动时间为t秒，矩形OEFB与△OP A重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．5.如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴、y轴分别交于A，B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别交于M，N两点，设运动时间为t秒（0< t <4）．（1）求A，B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重叠部分的面积为S2，试探究S2与t之间的函数关系式．【分类三参考答案】1．（1）OA =4，OB =3； （2）t =1或t =7 2．（1）y =+（2）22(04)2(48)2t t S t <⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤（3）123(08)(08)(0M M M -或或，4(0M 或3．（1）354y x =+（2）32t =（3）4(08)248(819)248(1924)t t S t t t t <⎧⎪=-+<⎨⎪-+<<⎩≤≤4．（1）(3P （2） （3）22(03)6(34)2tt S t t <⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤5．（1）(40)(04)A B ，,， （2）2112S t =.（3）2221(02)2388(24)2t t S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤。
(完整版)八年级《一次函数动点问题》
一次函数动点问题的典例分析1、已知如图，直线与x 轴相交于点A ，与直线相交于点P 。
（1）求点P 的坐标； （2）求的值；（3）动点E 从原点O 出发，沿着O-P-A 的路线向点A 匀速运动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，EB ⊥y 轴于B 。
设运动t 秒时，F 的坐标为（a ，0），矩形EBOF 与重叠部分的面积为S 。
求S 与a 之间的函数关系式。
OyxB FE A POyxB FEA P2、如图，在平面直角坐标系内，直线1+=x y 与343+-=x y 交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点。
（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标。
3、如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60︒,E为CD边的中点，点P从点A开始沿AC方向2cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点以每秒3P到达点C时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为x秒。
当点P在线段AO上运动时，（1）请用含x的代数式表示OP的长度；（2）若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）。
4、如图，矩形ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与原点重合，对角线BD 所在直线的函数关系式为x y 43=，AD=8，矩形ABCD 沿DB 方向以每秒1个单位长度运动，同时点P 从点A 出发做匀速运动，沿矩形ABCD 的边经过点B 到达点C ，用了14（1）求矩形ABCD 的周长；（2）如图所示，图形运动到第5秒时，求点D 的坐标；（3）设矩形运动的时间为t ，当60≤≤t 时，点P 所经过的路线是一条线段，请求出线段所在直线的函数关系式。
5、如图1，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 从A 点出发，沿A —B —C —D 的路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D —C —B —A 运动，到A 点停止。
八年级一次函数动点问题
一次函数动点问题【例题精讲一】1、如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x 轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；2．如图，直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t 秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？3．如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．4、如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．（1）求证：△AOG△△ADG；（2）求△PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当△1=△2时，求直线PE的解析式．【例题精讲2】1、如图，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M．已知点A（﹣3，4）．（1）求AO的长；（2）求直线AC的解析式和点M的坐标；（3）点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB的面积为S．△求S与t的函数关系式；△求S的最大值．2、如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值；（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论；（3）△设点P的坐标为（1，b），试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围．△求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标．3．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC交于点C．（1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12，直线OC解析式为y=x，△求点C的坐标；△求△OAC的面积．（2）如图2，作△AOC的平分线ON，若AB△ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．4、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及△PAB的度数；（2）若四边形PQOB的面积是，且CQ：AO=1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．1．阅读下面材料，并解决问题：（I ）如图4，等边△ABC 内有一点P 若点P 到顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5．则△APB = ，由于P A ，PB 不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP 绕顶点A 旋转到△ACP ′处，此时△ACP ′△ ．这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出△APB 的度数．（II ）（拓展运用）已知△ABC 三边长a ，b ，c 满足2|62|24144620a c c b -+-++-=．（1）试判断△ABC 的形状 ．（2）如图1，以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，直接出点B ，C 的坐标 ；（3）如图2，过点C 作△MCN =45°交AB 于点M ，N ．请证明AM 2+BN 2=MN 2；（4）在（3）的条件下，若点N 的坐标是（8，0），则点M 的坐标为 ；此时MN = ．并求直线CM 的解析式．（5）如图3，当点M ，N 分布在点B 异侧时．则（3）中的结论还成立吗？方形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）．（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+2与x轴、y轴交于A、B两点，动点P从A出发沿射线AO运动，动点Q同时从点B出发沿OB的延长线运动，点P、Q的运动速度均为每秒一个单位长．连接PQ交直线AB于D．（1）求A，B两点的坐标；（2）设点P的运动时间为t秒，试求△PBQ的面积S与t的关系式．（3）过P作PE△AB与E，DE的长度是固定值还是不确定的？直接写出你的判断结果不必说明理由．【例题精讲3】1、如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使△ABC=30°．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【课堂练习】1．如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，12OBOA，点C（x，y）是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点．（1）求直线y=kx+3的解析式；（2）当点C运动到什么位置时△AOC的面积是6；（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知直线y=﹣43x+4与x轴和y轴分别交与B、A两点，另一直线经过点B和点D（11，6）．（1）求AB、BD的长度，并证明△ABD是直角三角形；（2）在x轴上找点C，使△ACD是以AD为底边的等腰三角形，求出C点坐标；（3）一动点P速度为1个单位/秒，沿A﹣﹣B﹣﹣D运动到D点停止，另有一动点Q从D点出发，以相同的速度沿D﹣﹣B﹣﹣A运动到A点停止，两点同时出发，PQ的长度为y（单位长），运动时间为t（秒），求y关于t的函数关系式．3．如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB 是等边三角形，点A 的坐标是（0，4），点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连接AP ，并把△AOP 绕着点A 按逆时针方向旋转，使边AO 与AB 重合，得到△ABD ．（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；1、如图，矩形ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与原点重合，对角线BD 所在直线的函数关系式为x y 43=，AD=8，矩形ABCD 沿DB 方向以每秒1个单位长度运动，同时点P 从点A 出发做匀速运动，沿矩形ABCD 的边经过点B 到达点C ，用了14秒。
八年级数学---一次函数动点问题练习题
八年级数学 一次函数动点问题练习题1、如果一次函数y=-x+1的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 点、B 点，点M 在x 轴上，并且使以点A 、B 、M 为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的点M 有（ ）。
A ．3个B ．4个C ．5个D ．7个2、直线与y=x-1与两坐标轴分别交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，若△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有（ ）.A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个3、直线643+-=x y 与坐标轴分别交于A 、B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O ⇒B ⇒A 运动． （1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t （秒），△OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与334y x =-+交于点A ，分别交x 轴于点B和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点．（1）求点A B C ，，的坐标． （2）当CBD △为等腰三角形时，求点D 的坐标．A y xDCOBxy OBA5、如图：直线3+=kx y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，43=OA OB ，点C(x ,y)是直线 y ＝kx ＋3上与A 、B 不重合的动点。
（1）求直线3+=kx y 的解析式；（2）当点C 运动到什么位置时△AOC 的面积是6；（3）过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于D 点，是否存在点C 使 △BCD 与△AOB 全等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由。
6、如图，点A 、B 、C 的坐标分别是（0，4），（2，4），（6，0）.点M 是折线ABC 上一个动点，MN ⊥x 轴于N ，设ON 的长为x ，MN 左侧部分多边形的面积为S. ⑴写出S 与x 的函数关系式；⑵当x =3时，求S 的值.7、如图，已知在平面直角坐标系中，直线l ：y =-21x +2分别交两坐标轴于A 、B 两点，M 是线段AB 上一个动点，设M 的横坐标为x ,△OMB 的面积为S ；⑴写出S 与x 的函数关系式；⑵若△OMB 的面积为3，求点M 的坐标； ⑶当△OMB 是以OB 为底的等腰三角形时,求它的面积；⑷画出函数s 图象.8、一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发.设慢车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为y(km),图中的折线表示y 与x 之间的函数关系.根据图像进行以下探究,信息读取:(1)甲、乙两地之间的距离为 km ；(2)请解释图中点B 的实际意义；（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同.在第一列快车与慢车相遇30分钟后,第二列快车与慢车相遇.小时?。
初二一次函数动点经典题型全部题型
一次函数动点问题例题如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求点D 的坐标； （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．练习题如图,以等边△OAB 的边OB 所在直线为x 轴,点O 为坐标原点,使点A 在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB 边长为6个单位，点P 从O 点出发沿折线OAB 向B 点以3单位/秒的速度向B 点运动,点Q 从O 点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA 向A 点运动，两点同时出发，运动时间为t （单位：秒），当两点相遇时运动停止.① 点A 坐标为_____________，P 、Q 两点相遇时交点的坐标为________________; ② 当t =2时，S =△OPQ ____________;当t =3时，OPQ S =△____________;③ 设△OPQ 的面积为S ，试求S 关于t 的函数关系式;④ 当△OPQ 的面积最大时，试求在y 轴上能否找一点M ，使得以M 、P 、Q 为顶点的三角形是Rt △，若能找到请求出M 点的坐标，若不能找到请简单说明理由。
x yOAB xyOAB xyOAB例题如图，在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OA=3cm ，OB=4cm ，以点O 为坐标原点建立坐标系，设P 、Q 分别为AB 、OB 边上的动点它们同时分别从点A 、O 向B 点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P 、Q 移动时间为t （0≤t ≤4）（1）过点P 做PM ⊥OA 于M ，求证：AM ：AO=PM ：BO=AP ：AB ，并求出P 点的坐标（用t 表示）（2）求△OPQ 面积S （cm 2），与运动时间t （秒）之间的函数关系式，当t 为何值时，S 有最大值？最大是多少？（3）当t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？（4）证明无论t 为何值时，△OPQ 都不可能为正三角形。
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一次函数动点问题的典例分析
1、已知如图，直线与x 轴相交于点A ，与直线
相交于点P 。
（1）求点P 的坐标； （2）求的值；
（3）动点E 从原点O 出发，沿着O-P-A 的路线向点A 匀速运动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，EB ⊥y 轴于B 。
设运动t 秒时，F 的坐标为（a ，0），矩形EBOF 与重叠部分的面积为S 。
求S 与a 之间的函数关系式。
O
y
x
B F
E A P
O
y
x
B F
E
A P
2、如图，在平面直角坐标系内，直线1+=x y 与34
3
+-=x y 交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点。
（1）求点A 、B 、C 的坐标；
（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标。
3、如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60︒,E为CD边的中点，点P从点A开始沿AC方向
2cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点以每秒3
P到达点C时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为x秒。
当点P在线段AO上运动时，（1）请用含x的代数式表示OP的长度；
（2）若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）。
4、如图，矩形ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与原点重合，对角线BD 所在直线的函数关系式为x y 4
3
=
，AD=8，矩形ABCD 沿DB 方向以每秒1个单位长度运动，同时点P 从点A 出发做匀速运动，沿矩形ABCD 的边经过点B 到达点C ，用了14
（1）求矩形ABCD 的周长；
（2）如图所示，图形运动到第5秒时，求点D 的坐标；
（3）设矩形运动的时间为t ，当60≤≤t 时，点P 所经过的路线是一条线段，请求出线段所在直线的函数关系式。
5、如图1，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 从A 点出发，沿A —B —C —D 的路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D —C —B —A 运动，到A 点停止。
若点P 、点Q 同时出发，点P 的速度为每秒1厘米，点Q 的速度为每秒2厘米，a 秒时点P 、点Q 同时改变速度。
如图2是描述点P 出发x 秒后△APD 的面积1S （平方厘米）与x 秒的函数关系的图像。
图3描述的是点Q 出发x 秒后△AQD 的面积2S （平方厘米）与x 秒的函数关系的图像。
根据图像： （1）求a 的值和点P 改变后的速度；
（2）设点P 离开点A 的路程为1y （厘米），点Q 到点A 还需要走的路程为2y （厘米），请分别写出改变速度后1y 、2y 与出发后的运动时间x （秒）的函数关系式，并求出P 与Q 相遇时x 的值。
C
P。