奥数讲义-数论--综合-第2讲stu
202X年小学奥数知识点梳理数论
千里之行，始于足下。
202X年小学奥数知识点梳理数论202X年小学奥数知识点梳理数论数论是数学中的一个重要分支，研究整数的性质与关系。
在小学奥数竞赛中，数论常常是一个重要的考点。
下面是202X年小学奥数的数论知识点梳理。
1. 基本概念- 整数：正整数、负整数和零的总称。
- 偶数与奇数：能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数。
- 素数与合数：除了1和自身外，没有其他因数的整数称为素数，否则称为合数。
- 因数与倍数：如果a能够整除b，那么称a是b的因数，b是a的倍数。
2. 最大公约数与最小公倍数- 最大公约数（GCD）：两个数公有的最大因数称为最大公约数。
- 最小公倍数（LCM）：两个数公有的最小倍数称为最小公倍数。
3. 质因数分解- 质因数：一个整数如果除了1和它本身外没有其他因数，那么它是一个质数，否则它是合数。
将一个合数分解成质因数的乘积的形式，称为质因数分解。
- 质因数分解算法：从最小的质数2开始，依次判断是否为这个数的因数，如果是，则除以这个数，继续判断剩下的数是否能被这个质数整除，直到无法整除为止。
第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
4. 奇数数列与偶数数列- 一个数列中，从第一个数开始，每个数都比前一个数大2，这个数列称为奇数数列- 一个数列中，从第一个数开始，每个数都比前一个数大2，这个数列称为偶数数列5. 数组与数列- 数组是有序数的集合。
- 数列是数按一定顺序排列起来的表现形式。
6. 公式与规律- 两个偶数的和是偶数，两个奇数的和是偶数，一个偶数和一个奇数的和是奇数。
- 奇数个奇数的积是奇数，偶数个奇数的积是偶数。
- 一组数的和与这组数里所有的数的奇偶性有关。
- 奇数个奇数的和与这组奇数的个数的奇偶性有关，偶数个奇数的和与所有奇数的奇偶性有关。
- 相邻两个数之间的差是固定的。
7. 排列组合- 排列：从n个不同元素中取r个元素（r≤n）按一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取r个元素的一个排列。
三年级下册数学试题-奥数专题讲练：第2讲 数列求和精英篇(解析版)全国通用
第二讲数列求和知识导航德国有一位世界著名的数学家叫高斯（公元1777年-1855年）。
他上小学的时候,老师出了一个题目,1+2+…+99+100＝？小高斯看了看,又想了想,很快说出结果是5050。
同学们,你们知道他是怎么算出来的吗？原来小高斯在认真审题的基础上,发现题目的特点。
像高斯的老师所出的题目那样,按一定次序排列的一列数叫做数列。
数列中的数称为项,第一个数叫第一项,又叫首项;第二个数叫第二项;……,最后一个数叫末项。
如果一个数列从第二项开始,每一项与它前一项的差都相等,就称这个数列为等差数列。
后项与前项的差叫做这个数列的公差。
如：1,2,3,4,…是等差数列,公差为1;2,4,6,8,…是等差数列,公差为2;5,10,15,20,…是等差数列,公差为5。
进一步,小高斯发现了这样的关系：1+100＝101,2＋99＝101,3＋98＝101,…,50＋51＝101。
一共有多少个101呢？100个数,每两个数是一对,共有50个101。
所以：1＋2＋3＋…＋98+99+100＝101×50即, 和= (100＋1)×(100÷2)＝101×50＝5050这道题目,我们还可以这样理解：即,和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050由高斯的巧算可得出等差数列的求和公式：总和＝(首项+末项)×项数÷2这样,由于高斯发现了巧算的方法,所以他最先得出了正确的答案。
因此,同学们要想算得正确、迅速,方法合理、灵活,不仅要掌握数与运算的定律、性质,而且要善于观察,认真审题,注意发现题目的特点。
例题精讲【例1】找找下面的数列有多少项？（1）2、4、6、8、……、86、98、100（2）3、4、5、6、……、76、77、78（3）4、7、10、13、……、40、43、46（4）2、6、10、14、18、……、82、86分析：（1）我们都知道：1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项,现在不妨这样去看：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100）,让它们两两一结合,奇数在每一组的第1位,偶数在第2位,而且每组里偶数比奇数大,小朋友们一看就知道,共有100÷2=50组,每组把偶数找出来,那么原数列就有50项了。
六年级奥数讲义-数论综合(含答案)
学科培优数学“数论综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．【题目】己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。
请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？【题目】有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少?【题目】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．【题目】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个?【题目】从1,2,3,……n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为_______。
【题目】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。
已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7。
如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。
【题目】4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【题目】有一电话号码是 ABC-DEF-GHIJ ，其中每个字母代表一个不同的数字。
第二讲 数论(一)
中环小机灵初赛冲刺讲义第二讲数论（一）第一部分：知识点概述1.本讲涉及整除、质数与合数两部分内容。
整除是五年级数论部分考查重点；质数与合数考查不多，但短除法、分解质因数是解决几乎所有数论问题的基本功，因而也应加以重视。
2.熟练掌握并应用2n、5n、3、9、33、99、7、11、13等数的整除特性，会利用位值原理加以证明。
事实上很多较难的数论问题的解答均离不开位值原理的应用。
3.一部分整除特性只适用于判定，另一部分既适用于判定也适用于构造，在解题时应注意选择的顺序。
如求解被45整除的问题，一般先考虑被5整除，因为只有末尾0或5两种情况，若先考虑被9整除，则一般而言很难进行下去。
4.2是唯一的偶质数，这一点往往是解答很多问题的突破口，同时，忽视这一点有时可能造成漏解。
5.计算乘积末尾零的个数的问题分为两类。
一类是离散型，解决这类问题时先分别统计因子2和5的个数，较少的那个个数即为末尾零的个数。
一类是连续型，不断地（以商）除以5，将得到的一系列商相加，即为末尾零的个数（注意：必须从1开始）。
6.分解质因数时不考虑“1”，但若将一个数写成若干个数的乘积时，根据需要可以乘任意个“1”。
7.完成前19个例题的教学是必要的，最后两道例题供选用。
第二部分：例题精讲1. 下面有9个自然数：14,35,84,152,650,434,4375,9064,24125。
在这些自然数中，请问：（1）有哪些能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？（2）有哪些能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？1.14，84，152，650，434，9064；84，152，9064；152，9064；35，650，4375，24125；650，4375，24125；4375，241252. 有如下9个三位数：452,387,228,975,525,882,715,775,837。
这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？387，228，975，525，882，837；387，882，837；228，8823. 一个三位数64a的十位数字未知。
【精品资料】小学奥数知识点-数论
数论知识点整除定义及特征判断1、数的整除性：整数a除以整数b（b≠0），所得的商是整数而没有余数，则称a能被b整除，或b整除a，记作：b｜a．2、整除的性质：性质1. 如果c｜a，c｜b，则c｜（a±b）性质2. 如果bc｜a，则b｜a，c｜a性质3. 如果c｜b，b｜a，则c｜a3、整除问题的解决方法：整除特征法；补9、补0试除法。
4、涉及极值的整除问题：贪心法、弃倍法、逐步调整法。
5、数的整除特征：a.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；b.一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；c.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；d.一个数从个位到高位，每三位进行分段，将形成的奇位之和与偶位之和以大减小，如果差可以被7、11、13整除，则此数也可被7、11、13整除；如果一个整数的末三位与末三位之前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；e.如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除，那么这个数能被7整除；如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除，那么这个数能被11整除；如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除，那么这个数能被13整除；f.一个数从个位到高位，每两位分成一段，将每段上的数相加。
如果相加的和能被99所整除，那么这个数就能被99所整除。
奇数、偶数与奇偶性的应用一、奇数和偶数的概念：1)整数可以分成奇数和偶数两大类。
2)能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
3)因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数(这里k是整数)，因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子2k＋1来表示奇数(这里k是整数)。
第二讲 数论(一)
中环小机灵初赛冲刺讲义第二讲数论（一）第一部分：知识点概述1.本讲涉及整除、质数与合数两部分内容。
整除是五年级数论部分考查重点；质数与合数考查不多，但短除法、分解质因数是解决几乎所有数论问题的基本功，因而也应加以重视。
2.熟练掌握并应用2n、5n、3、9、33、99、7、11、13等数的整除特性，会利用位值原理加以证明。
事实上很多较难的数论问题的解答均离不开位值原理的应用。
3.一部分整除特性只适用于判定，另一部分既适用于判定也适用于构造，在解题时应注意选择的顺序。
如求解被45整除的问题，一般先考虑被5整除，因为只有末尾0或5两种情况，若先考虑被9整除，则一般而言很难进行下去。
4.2是唯一的偶质数，这一点往往是解答很多问题的突破口，同时，忽视这一点有时可能造成漏解。
5.计算乘积末尾零的个数的问题分为两类。
一类是离散型，解决这类问题时先分别统计因子2和5的个数，较少的那个个数即为末尾零的个数。
一类是连续型，不断地（以商）除以5，将得到的一系列商相加，即为末尾零的个数（注意：必须从1开始）。
6.分解质因数时不考虑“1”，但若将一个数写成若干个数的乘积时，根据需要可以乘任意个“1”。
7.完成前19个例题的教学是必要的，最后两道例题供选用。
第二部分：例题精讲1. 下面有9个自然数：14,35,84,152,650,434,4375,9064,24125。
在这些自然数中，请问：（1）有哪些能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？（2）有哪些能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？1.14，84，152，650，434，9064；84，152，9064；152，9064；35，650，4375，24125；650，4375，24125；4375，241252. 有如下9个三位数：452,387,228,975,525,882,715,775,837。
这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？387，228，975，525，882，837；387，882，837；228，8823. 一个三位数64a的十位数字未知。
五年级奥数第2讲-整除问题进阶
课堂检测
（1）在7315、58674、325702、96723、360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？
（2）四位数 33 能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
（3）四位数27 8能被7整除，那么这个四位数是多少？
（4）已知多位数81 258258...258，能同时被7和13整除，方格内的数字是多少?
五年级奥数第2讲-整除问题进阶
第二讲
整除问题进阶
• 数论专题第2讲
知识精讲
上一讲我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用 数字和判断等。 1.尾数判断法 （1）能被2、5整除的数的特性：个位数字能被2、5整除. （2）能被4、25整除的数的特性：末两位能被4、25整除。 （3）能被8、125整除的数的特性：末三位能被8、125整除。 2.数字求和法 能被3、9整除得数的特性：各位数字之和能被3、9整除。 3.奇偶位求差法 能被11整除的数的特性：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。
2012个258
（5）已知多位数11...1 33...3，能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
2011个1020/11/5
18
挑战极限
例题六：
有一个五位数，它的末三位为999。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小 是多少？ 分析：我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘 积，因此不可能根据整除特征来考虑，我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数 能被23整除，就是说，它能写成23与另一个数的乘积，接下来大家想到该怎么办了 吗？
现在我们再来学习一些新的判断方法。
知识精讲
一、截断作和
能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的 可以是一位数）之和，能被99整除。
小学奥数课件数论基础
添加标题
在数论中的应用：构造证明思想在数论中有着广泛的应用，例如在证明素数定理、费马大定 理等重要结论时，数学家们常常通过构造特定的数学对象或实例来证明这些结论。
添加标题
构造证明思想的优点：构造证明思想具有直观、易于理解等优点，通过构造具体的数学对象 或实例，可以使证明过程更加清晰易懂，有助于学生更好地理解和掌握数学知识。
最小公倍数问题：求 两个或多个整数的最 小公倍数，通常使用 两数的乘积除以它们 的最大公约数的方法。
最大公约数与最小公倍 数的关系：两数的乘积 等于它们的最大公约数 与最小公倍数的乘积。
应用场景：在解决一 些数学问题时，如分 数化简、余数问题等 ，需要使用最大公约 数和最小公倍数的知 识。
数的进位制概念：数的进位制是数的一种表示方法，按照不同的进位方式将数表示成一组有序的数字。
倍数定义：一个数除以另一个数的商，叫 做这个数的倍数。
约数与倍数的关系：一个数的约数一定是 它的倍数，但一个数的倍数不一定是它的 约数。
约数与倍数的应用：约数和倍数在日常 生活和数学中有着广泛的应用，如密码 学、计算机科学、数学分析等领域。
最大公约数问题：求两 个或多个整数的最大公 约数，通常使用辗转相 除法或欧几里得算法。
意义：通过学习 数论基础思想， 可以帮助学生更 好地理解数学的 本质，培养他们 的逻辑思维能力
和数学素养。
归纳法：从具体实例中总结出一般规律 演绎法：从一般原理推导出特殊情况 数论中的归纳与演绎：相互补充，共同构建数学体系 在小学奥数课件中的应用：帮助学生理解数学的本质义：通过构造具体的数学对象或实例来证明某个数学命题或结论的正确性。
数的进位制分类：常见的数的进位制有二进制、八进制、十进制和十六进制。
小学奥数 数论问题 第二讲 数的整除特性
第二讲数的整除特性讲义（一）整除的定义：所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整数”就是说“商a/b是一个整数”；或者换句话说：存在这第三个自然数c，使得a=b×c，这时候我们就说“b整除a”或者“a能被b整除”，其中b叫a的约数，a是b的倍数，记做“b︱a”（二）整除的性质：（传递性）若c︱b，b︱a，则c︱a（可加性）若c︱a，c︱b，则c︱（a+b）（可乘性）若c︱a，d︱b，则cd︱ab（三）常见的整除特征：尾数系：一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；数字和系：一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；分段做差系：如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.课后习题基础篇：【闯关1】493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数，至少增加（）才是7的倍数。
【闯关2】如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？提高篇：【闯关3】如果四位数x=6□□8能被236整除，那x除以236所得的商为________。
【闯关4】从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？巅峰篇：【闯关5】试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．)第二讲数的整除特性课后习题：基础篇：【闯关1】493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数，至少增加（）才是7的倍数。
解析：一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；4+9+3=16，所以至少增加2就是3的倍数。
奥数六年级千份讲义383第12讲——数论综合(二)
1. 掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；2. 重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想例题精讲模块一：质数合数I 有二张卡片，它们上面各写着数字 1， 2， 3，从中抽出一张、二张、二张，按任:意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数 ；都写出来.■ ■ 1 ■ _1 ■ =.用1, 2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并 :且只能用一次，那么这 9个数字最多能组成多少个质数？第12讲 数论综合（二）例题1 例题2;三个质数的乘积恰好等于它们和的 11倍，求这三个质数. 例题3— ■ — — ■ r^v_i -^^_1 — — — n — -i r"B_i — ■ r — — — — —«-!— — ■- — -1 r^^_i — — — — — r i:有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数 :字相同的三位数.求这两个整数分别是多少？ （2003年全国小学数学奥林匹克试题 ）有两个自然数相除，商是 17,余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为 2113，则被除数是多少？；已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是 10，那么这样的自然数共有多少 :个？.（2005年全国小学数学奥林匹克试题）有一个整数，用它去除 70，110，160所得到 :的3个余数之和是50，那么这个整数是 .【巩固】（2002年全国小学数学奥林匹克试题 ）用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25,那么n= _________ . .一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除:220后所得的余数，则这个自然数是多少？~' ■-1_I-"-■—I ―>—1_I ~~■~~1—I _I~~>—I _!—■~~|_|~~■~~I_1—1~~I I ―>—I _I ―I I ―I_I —!■—1 ―I ~~―I_I —u —I _I —■~~~~■~~~~■~~I_1—1~~I_I~~■—1_I ~~>—1_I ―■~~1—1―■~~I_1—1~~I _I —u —I _I ――I _B —■—I _I 1_1—11—1_I 1—1~~■―I _■—1―I _1—11—1_I ~~■例题7 ■有一个整数，除39, 51, 147所得的余数都是3，求这个数.板块二余数问题例题5例题6例题8甲、乙、丙三数分别为603，939，393 .某数A除甲数所得余数是A除乙数所得10 余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少？11（2003年南京市少年数学智力冬令营试题）22003与20032的和除以7的余数是【巩固】2200820082除以7的余数是多少?Z例题12 .（2009年走美初赛六年级）有一串数：1, 1 , 2, 3, 5, 8,……，从第三个数起, !每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？■■—.1—I I k —-—II I I -------- - ——LI I I ■ ■fl I--I L -1™I—- —■——I M-—.1 I ■•—■—I I II. —■ ---------- —■—■ I I ■ I I—LI—LJ-'--------------------- ■ I I II——”_・ I ■——【巩固】著名的裴波那契数列是这样的: 3所得的余数为多少？1、1、2、 3、5、8、13、21这串数列当中第2008个数除以i （1997年全国小学数学奥林匹克试题）将12345678910111213.…依次写到第1997；个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是_________ .例题13 !【巩固】能否找到这么一个数，它加上 24,和减去30所得的两个数都是完全平方数?z 厂…一 _________________________________________________________________- 例题18 '有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个 :数中最小数的最小值为 ________________________ .例题 :有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是 1031，第一个数各个位的数 14 :字之和是10，第二个数的各个位数字之和是 8,求两个三位数的和.例题 15 '设20092009的各位数字之和为 A ， A 的各位数字之和为 B ， B 的各位数字之和为 1 \ C ，C 的各位数字之和为 D ，那么D ? 板块三完全平方数 :从1到2008的所有自然数中，乘以 72后是完全平方数的数共有多少个? 例题16 : 例题17 : 一个数减去100是一个平方数，减去 63也是一个平方数，问这个数是多少?板块四位值原理49] _________°F「例题19（美国小学数学奥林匹克）把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一~一例」题I9个新的两位数.如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45,试求这样的两位数中最大的是多少？【巩固】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数数大8802 .求原来的四位数. （这个数也叫原数的反序数），新数比原（第五届希望杯培训试题）有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如例题20果这6个三位数的和是1554,那么这3个数字分别是多少？【巩固】（迎春杯决赛）有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6 个三位数中最小的三位数.【巩固】板块五a, b, c分别是0 9中不同的数码，用a, b, c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？进制冋题在几进制中有4 13 100?【巩固】算式1534 25 43214是几进制数的乘法?例题22 在6进制中有三位数abc,化为9进制为cba ,求这个三位数在十进制中为多少？练习:有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数:三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数.!将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数:I:12345678910111213L 20072008，试求这个多位数除以9的余数.练习练习i在7进制中有三位数abc,化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?。
数学奥林匹克专题讲座 第02讲 数论的方法技巧(下)
《数学奥林匹克专题讲座》第2讲数论的方法技巧（下）四、反证法 反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的。
反证法的过程可简述为以下三个步骤： 1．反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立； 2．归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾； 3．结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。
运用反证法的关键在于导致矛盾。
在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。
解：如果存在这样的三位数，那么就有 100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。
上式可化简为80a=b+c，而这显然是不可能的，因为a≥1，b≤9，c≤9。
这表明所找的数是不存在的。
说明：在证明不存在性的问题时，常用反证法：先假设存在，即至少有一个元素，它符合命题中所述的一切要求，然后从这个存在的元素出发，进行推理，直到产生矛盾。
例2 将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加。
试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。
解：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数。
在如下式所示的加法算式中，末一列数字的和d+a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b+c≤9。
将已知数的前两位数字a，b与末两位数字c，d去掉，所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质。
照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身相加是偶数，矛盾。
故和的数字中必有偶数。
说明：显然结论对（4k+1）位数也成立。
但对其他位数的数不一定成立。
如12+21，506+605等。
例3 有一个魔术钱币机，当塞入1枚1分硬币时，退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时，退出4枚1角硬币；当塞入1枚1角硬币时，退出3枚1分硬币。
上海奥数精讲 第2讲 计数问题(一) (教师)
内容概1、计算一类对象所含个体的数目叫做计数问题。
2、解决计数问题的一般方法是：先分类，然后逐类分步；综合运用加法原理和乘法原理来求解。
分步时，要注意各步之间的衔接。
4、注意做到不重复、不遗漏。
教具准备1、课件:1）PPT；2）“引入”部分、和“例4”falsh 动画。
教学难点熟练的运用好加法、乘法两大原理，综合分析，正确作出分类和分步.教学重点掌握解决计数问题的一般方法和步骤。
教学目标1、综合运用乘法原理和加法原理解决计数问题；2、培养学生灵活性和严谨性，提高分析能力，掌握解决计数问题的一般方法和步骤。
3、提高学生数学学习的兴趣。
引入教学目标：激发学生对计数问题产生浓厚的学习兴趣。
1、 师生共同审题；理解题意。
幻方，亦称纵横图。
将自然数1,2,3,……n*n 排列成一个n*n 方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之各都等于n/2*(n*n+1)，这样的方阵称为幻方。
n 是它的阶数，n/2*(n*n+1)为幻方的幻和。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。
有时，因数存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
环节一：引入环节二：教学目标：熟悉加乘原理的区别，并能灵活运用。
例1例2环节三：教学目标：熟悉数论中的加乘原理应用，加强学生分析问题和运用加乘原理解决问题的能力。
例31、学生自己读题，分析题目。
2、分组讨论，找出分类方法。
例41、师生共同读题，了解题目内容。
环节四：教学目标：了解加乘原理应用，锻炼知识掌握的灵活性。
例5例6环节五：例71、师生共同读题，理解题意。
例81、师生共同读题，了解题意。
教学目标：使学生进一步加深对计数问题中加乘原理的理解。
、全课你学到了什么？环节六：趣味性体现之处板书设计巩固目标：熟练加乘原理应用【练习1】如下图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有走，从丁地到丙地也有3条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？方法总结体现之处课1、较为成功之处：1）2）3）2）这是因为，在游戏中，你的身心得到充分放松，学习将变得非常有效率。
奥数知识点数论问题详解
奥数知识点数论问题详解奥数知识点数论问题详解奥数的知识点可以大体分为“数、行、形、算”四个问题。
这是数论，行程，图形、计算四个问题的简称，数论比较难的是抽象的问题，也是区分尖子生和普通生的关键，今天主要讲一下数论问题。
数论学习中容易出现的'几个错误：第一、读题障碍。
数论的题目叙述往往只有几句话，甚至只有一行，可就这短短的几句话，却表达了很多意思，学生如果读不出题中的意思，题目通常会解错。
第二、知识僵化。
由于数论问题非常抽象，大多数学生往往采用死记硬背的方法来“消化”所学的内容，导致各个知识点都似曾相识，但遇到实际题目却一筹莫展。
例如，说起奇偶性都知道怎么回事，马上就开始背：“奇数+奇数=偶数……”可是在做题的时候就想不到用。
第三、纸上谈兵。
对于数论定理的灵活运用很欠缺。
提起定理都能一字不差的背下来，但是对各个概念和性质缺乏整体上的认识和把握，更不用说理解各知识点之间的内部联系了。
数论问题的主要知识体系整除问题：（1）数的整除的特征和性质（常考内容）。
（2）位值原理的应用（用字母和数字混合表示多位数）。
质数合数：（1）质数、合数的概念和判断。
（2）分解质因数（重点）。
约数倍数：（1）最大公约最小公倍数。
（2）约数个数决定法则（常考内容）。
奇偶问题:（1）奇偶与四则运算；（2）奇偶性质在实际解题过程中的应用。
余数问题：（1）带余除式的理解和运用。
（2）同余的性质和运用。
（3）中国剩余定理。
完全平方数：（1）完全平方数的判断和性质。
（2）完全平方数的运用整数及分数的分解与分拆（重点、难点）。
关于小升初奥数数论综合常考内容讲义
关于小升初奥数数论综合常考内容讲义第1篇：关于小升初奥数数论综合常考内容讲义【内容概述】涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题.1.如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?【分析与解】我们知道如果有5个连续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。
所以n小于5.第一种情况:当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为o或5)，显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0;如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9;它们的积的个位数字都是4;所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能.第二种情况：当n为3时，有1×2×3的个位数字为6，2×3×4的个位数字为4，3×4×5的个位数字为0，……，不满足.第三种情况：当n为2时，有1×2，2×3，3×4，4×5的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足.至于n取1显然不满足了.所以满足条件的n是4.2.如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d.那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，未完，继续阅读 >第2篇：关于六年级奥数数论综合讲座【分析与解】555555=5×111×1001数论综合进位制的概念、四则运算法则及整数在不同进位制之间的转化，利用恰当的进位制解数论问题．取整符号[]与取小数部分符号{}的定义与基本*质，包含这两种符号的算式与方程的求解．两次与分式不定方程，不便直接转化为不定方程的数论问题．各种数论*题．典型问题【分析与解】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4×5=20，但是现在为4，说明进走20－4=16，所以进位制为16的约数：16、8、4、2．2．求方程19[x]－96{x}=0的解的个数．【分析与解】有{x}为一个数的小数部分，显然小于1，则96{x}小于96，而19[x]=96{x}，所以19[x]小于96，即[x]小于，又[x]为整数，所以[x]可以取0，1，2，3，4，5，对应有6组解．4．将表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的*．【分析与解】记标有1为第1号，序号顺时针的依次增大．当超过一圈时，编号仍然依次增加，如1号也是2001号，4001号，……4.对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70与30．那么在1，2，…，16这16个整数中，有“好数”多少对?6．*、乙两人进行下面的游戏：两人先约定一个自然数n，然后由*开始，轮流把未完，继续阅读 >第3篇：关于小升初1—6年级奥数天天练的内容长沙奥数天天练每日1-6年级各精选一道题，每天坚持做天天练，轻松应对长沙。
小学奥数系统讲义完整版
小学奥数系统复习讲义(完整版)小学奥数大约80个知识点，可分成5大类，数论和行程是重点也是难点第一部分计算能力万丈高楼平地起，计算能力任何时候都是学好数学的根基，必须高度重视! 基本公式1 .运算顺序第一级：括号：()T T{ }第二级：X+：同一级别可以交换运算次序第三级：+ —: 同一级别可以交换运算次序2. 去括号①a+(b+ c)=a + b + c a+ (b —c)=a + b— c②a—(b+ c)=a — b — c a— (b —c)=a—b+ c③a>(b疋)=a花比a>(b -c)=a以弋④a—b >0)=a —a—b 弋)=a —xc3 .分配律/结合律乘法：a (b + c) = a b+ a>ca>b+ a>c = a (b + c)除法：(a+ b) —= a —+ b—ca—:+ b—c = (a + b)—4 .两个必须掌握的性质两个数的和一定，则两数越相近，积越大5 .几个计算公式__ 2 2 2完全平方和(差)公式：( a±b) = a ±ab+b2 2平方差公式： a -b = (a+b)(a-b)求和公式一：1+2+3+ ....... +n =两个数的积一定，则两数越分散，和越大求和公式二:1 +1 22 +3 2+……n =3 3 3 3求和公式三：1 +2 +3 +……n = __________________________6. 速算巧算基本方法凑整法、改变运算次序法、连续数求和、基准法、分组法、拆分法7. 等差数列，等比数列，【拆分与裂项】，【换元法】，【错位相消法】，【构造法】等较难的计算方法。
拆分裂项公式：等差数列公式：简单等比公式：例题分析1. 393+404+397+398+405+401+400+399+391+4022. 比较下面A,B 两数的大小：A=2009X 2009，B=2008X 20103. 99讣9创x 99 —99 4 199—99结果末尾有多少个零？訐胆，.p “站-1 ?4. 100 + 99+ 98 —97 —96 —95+ ……+ 10+ 9 + 8—7 —6—5+ 4 + 3+ 2 —1巩固练习5. 376 + 385 + 391 + 380 + 377 + 389 + 383 + 374 + 366 + 3786. 1 —50+2 —50+3 —50+50 - 50 2010二二呦10第二部分基础知识基础知识点列表7. 9999999 >2009 7777 >333 出1118. 99*.**.+ 9 乂gg.*・*.*9 + -99*—..* 9 =99Ti9. 比较下面A,B两数的大小:归一问题A =987654321 >23456789;B =987654322 >2345678810. 1996 + 1994 —1992 —1990 + 1988 + 1986 —1984 —1982 + 1980 + 1978—1976 —1974 + 1972 + 1970…… + 4 + 2【含义】在解题时，先求岀一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求岀所要求的数量。
小学五年级上学期数学培优奥数讲义(全国通用)-第2讲 平均数问题(含答案)
第2讲平均数问题3知识装备平均数问题是把几个不相等的数移多补少，使它们完全相等，但这几个数的总和不变，求出相等的数是它们的平均数。
解答平均数问题的关键是找准总数量及对应的总份数。
解答平均数问题一定要牢记以下数量关系：平均数＝总数量÷总份数；总数量＝平均数×总份数；总份数＝总数量÷平均数。
初级挑战1希望小学三年（2）班有30名学生，期末数学考试，有3名同学因故缺考，这时班级平均分为89分，缺考的同学补考各得99分，这个班期末考试数学平均分数是多少？思路引领：要求这个班期末考试平均分，必须先求这个班考试的总分。
答案： 89×（30－3）＝2403（分），2403＋99×3＝2700（分），2700÷30＝90（分）。
能力探索1下表是张亮的各科考试分数，其中数学分数空着。
已知数学的分数比四科的平均分多10答案：（83＋74＋71＋64）÷4＝73（分）73＋10＝83（分）（83＋74＋71＋64＋83）÷5＝75（分）初级挑战2同学们进行爬山运动，从山脚下到山顶路长54千米，上山速度每小时9千米，爬到山顶后，沿原路下山，下山速度每小时18千米，求同学们上山、下山的平均速度。
思维点拨上山、下山的平均速度＝上、下山的总路程÷（）。
答案：上山时间为54÷9＝6（小时），下山时间为54÷18＝3（小时），上、下山的平均速度：54×2÷（6＋3）＝108÷9＝12（千米/时）。
能力探索2在一次登山比赛中，李明上山时每分钟走50米，18分钟到达山顶，然后按原路下山，每分钟走75米。
李明上、下山平均每分钟走多少米？答案：下山的时间：50×18÷75＝12（分），上、下山的平均速度：50×18×2÷（18＋12）＝60（米/分）。
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第2讲数论的方法技巧（下）
四、反证法
反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的。
反证法的过程可简述为以下三个步骤：
1.反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立；
2.归谬：山“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾一一与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；
3.结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。
运用反证法的关键在于导致矛盾。
在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。
例1是否存衽三位数abc,使得&bc = ab +bc +ac?
例2将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加。
试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。
六、配对法
配对的形式是多样的，有数字的凑整配对，也有集合间元素与元素的配对(可用于il•数)。
传说高斯8岁时求和(1+2+・・・+100)首创了配对。
像高斯那样，善于使用配对技巧，常常能使一些表面上看来很麻烦，其至很棘手的问题迎刃而解。
例7求1, 2, 3,…，9999998, 9999999这9999999个数中所有数码的和。
例8某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号。
若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”。
例如号码0734,因0+7二3+4,所以这个号码的购物券是幸运券。
试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。
七.估计法
估讣法是用不等式放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范圉，以获取有关量的本质特征，达到解题的LI的。
在数论问题中，一个有限范围内的整数至多有有限个，过渡到整数, 就能够对可能的情况逐一检验，以确定问题的解。
例10己知一个整数等于4个不同的形如亠（m是整数）的真分数之和， m + 1 求这个数，并求出满足题意的5组不同的真分数。
例11已知在乘积1 X2X3X-Xn的尾部恰好有106个连续的零，求自然数n 的最大值。
练习2
1.将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数45045?
2. 如下图，给定两张3X3方格纸，并且在每一方格内填上+ ”或 “-”
号。
现在对方格纸中任何一行或一列进行全部变号的操作。
问：可
否经过若干次操作，使图（1）变成图（2） ? 3. 你能在3X3的方格表中每个格子里都填一个自然数，使得每行、 每列及两条对角线上的三数之和都等于1999吗？若能，请填出一例；若 不能，请说明理山。
4. 判断磐和需能否表示为;+丄的形式，其中1, m 为自然数。
若能袤 332 1999 1 m
示，求出表达式；若不能表示，请给出证明。
5. 公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前3个数 字之和等于后3个数字之和，则称这张车票是幸运的。
试说明，所有幸运 车票号码的和能被13整除。
6. N 是山5个不同的非零数字组成的五位数，且N 等于这5个数字 中取3个不同数字构成的所有三位数的和，求出所有的这种五位数No
7. 证明：没有最大的质数。
最大整数）。
199X1
+ 199X2 +・•• + )99X9, 97 97 97 8.己知S 二
求S 〔図表示不超过2的 C 1 ) (2)。