一元二次方程应用题经典题 型汇总含答案

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一元二次方程应用题(含答案)

一元二次方程应用题(含答案)

1:某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元?解:设每件件降价为x,则可多售出5x件,每件服装盈利44-x元,依题意x≤10∴(44-x)(20+5x)=1600展开后化简得:x²-44x+144=0即(x-36)(x-4)=0∴x=4或x=36(舍)答:每件降价4元(要找准关系式)2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加的行·列数相同,增加了多少行多少列?解:设增加x(8+x)(12+x)=96+69x=3答:增加了3行3列3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。

在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元.依题意得:y=(x-30)[60+2(70-x)]-500=-2x^2+260x-6500(30<=x<=70)(2)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为60+2(70-65)=70kg,那么获总利为1950*7000/70=195000元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为(70-30)*7000-117*500=221500元,而221500>195000时且221500-195000=26500元.∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.4..运动员起跑20m后速度才能达到最大速度10m/s,若运动员的速度是均匀增加的,则他起跑开始到10m处时需要多少s?解:(0+10)除2为平均增加为5(0+5a)除2乘a5.一辆警车停在路边,当警车发现一辆一8M/S的速度匀速行驶的货车有违章行为,决定追赶,经过2.5s,警车行驶100m追上货车.试问(1)从开始加速到追上货车,警车的速度平均每秒增加多少m?(2)从开始加速到行驶64m处是用多长时间?解:2.5*8=20 100-20=80 80/8=10100/【(0+10a)/2】=10解方程为264/【(0+2a)/2】=a解方程为86.一容器装满20L纯酒精,第一次倒出若干升后,用水加满,第二次又倒出同样升数的混合液,再用水加满,容器里只有5L的纯酒精,第一次倒出的酒精多少升?(过程)解:设第一次倒出x升,则第二次为x(20-x)/20.(此处为剩下的酒精占总体积20升的多少即比率然后乘上倒出的升数即为倒出的纯酒精数则20-x-x(20-x)/20=5解得x=106.1一个长方体的长与宽的比为5:2,高为5厘米,表面积为40平方厘米。

(完整版)一元二次方程应用题20及答案

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一元二次方程应用题20及答案1、有两个连续整数,它们的平方和为25,求这两个数。

解:设这两个数分别是a和a+1. 根据题意列方程:a²+(a+1)²=25整理得:a²+a-12=0 解得:a1=3 a2=-4当a=3时,两个数分别是3和4 当a=-4时,两个数分别是-3和-42、有一个两位数,它的十位上的数字比个位上的数字小2,十位上的数字与个位上的数字之积的3倍刚好等于这个两位数。

求这个两位数。

解:设个位数为x,则十位数为x-2 x(x-2)3=10(x-2)+x3 a²2-17x+20=0 (3x-5)(x-4)=0 x=5/3(舍去)或x=4则这两位数为243、有一个两位数,它的个位上的数字与十位上的数字之和是6,如果把它的个位数字与十位数字调换位置,所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008,求调换位置后得到的两位数。

解:设这个两位数个位数为x,则(10x+6-x)(10(6-x)+x) = 1008,化简得到x ²-6x+8=0,所以x=2或4面积问题4、用一块长80cm,宽60cm的薄钢片,在四个角上截去四个相同的边长为Xcm的小正方形,然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方形盒子,求X的值。

解:设小正方形的边长为X厘米(80-2X)(60-2X)=1500 x² -70X+825=0(X-15)(X-55)=0 X=15或X=55(不符合,舍去)X=155、如图,在长为32m,宽为20m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路,把耕地分成大小不等的六块作实验田,要使试验田面积为570m2,道路的宽应为多少?解:设宽度为xm,640-(20*2*x+32*x)+2x^=570x²-36x+35=0 (X-1)(X-35)=0x=1 或35(不合题意,舍去)x=1增长率问题6、某新华书店计划第一季度共发行图书122万册,其中一月份发行图书32万册,二、三月份平均每月增长率相同,求二、三月份各应发行图书多少万册?解:设增长率为x,则 32+32(1+x)+32(1+x)(1+x)=122(4x-1)(4x+13)=0 x=0.25或-3.25(不合题意,舍去)二月发行图书32(1+x)=40册三月发行图书32(1+x)(1+x)=50册7、某校2009年捐款1万元给希望工程,以后每年都捐款,计划到2011年共捐款4.75万元,问该校捐款的平均年增长率是多少?解:设平均年增长率为X。

一元二次方程应用题经典题型汇总含答案解析

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z一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%)(1+x)2=193.6,即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去).答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n.二、商品定价例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少?解根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0,解这个方程,得a1=25,a2=31.因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去.所以350-10a=350-10×25=100(件).答需要进货100件,每件商品应定价25元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点.三、储蓄问题例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)解设第一次存款时的年利率为x.则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得90x2+145x-3=0.解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去.答第一次存款的年利率约是2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税.四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗?解设渠道的深度为x m,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意,得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x=1.8,整理,得x2+0.8x-1.8=0.解这个方程,得x1=-1.8(舍去),x2=1.所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5.答渠道的上口宽2.5m,渠深1m.说明求解本题开始时好象无从下笔,但只要能仔细地阅读和口味,就能从中找到等量关系,列出方程求解.五、古诗问题例5 读诗词解题:(通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄).大江东去浪淘尽,千古风流数人物;而立之年督东吴,早逝英年两位数;十位恰小个位三,个位平方与寿符;哪位学子算得快,多少年华属周瑜?解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x-3.则根据题意,得x2=10(x-3)+x,即x2-11x+30=0,解这个方程,得x=5或x=6.当x=5时,周瑜的年龄25岁,非而立之年,不合题意,舍去;当x=6时,周瑜年龄为36岁,完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.六、象棋比赛例6 象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分.如果平局,两个选手各记1分,领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数,分别是1979,1980,1984,1985.经核实,有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解设共有n个选手参加比赛,每个选手都要与(n-1)个选手比赛一局,共计n(n-1)局,但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次,因此实际比赛总局数应为n(n -1)局.由于每局共计2分,所以全部选手得分总共为n(n-1)分.显然(n-1)与n为相邻的自然数,容易验证,相邻两自然数乘积的末位数字只能是0,2,6,故总分不可能是1979,1984,1985,因此总分只能是1980,于是由n(n-1)=1980,得n2-n-1980=0,解得n1=45,n2=-44(舍去).答参加比赛的选手共有45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题,都可以仿照些方法求解.七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如图1对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?解设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25=25000<27000,所以员工人数一定超过25人.则根据题意,得[1000-20(x-25)]x=27000.整理,得x2-75x+1350=0,解这个方程,得x1=45,x2=30.当x=45时,1000-20(x-25)=600<700,故舍去x1;当x2=30时,1000-20(x-25)=900>700,符合题意.答:该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.说明求解本题要时刻注意对话框中的数量关系,求得的解还要注意分类讨论,从中找出符合题意的结论.八、等积变形例8 将一块长18米,宽15米的矩形荒地修建成一个花园(阴影部分)所占的面积为原来荒地面积的三分之二.(精确到0.1m)(1)设计方案1(如图2)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.(2)设计方案2(如图3)花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能,请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径;若不能符合条件,请说明理由.解都能.(1)设小路宽为x,则18x+16x-x2=×18×15,即x2-34x+180=0,解这个方程,得x=,即x≈6.6.(2)设扇形半径为r,则3.14r2=×18×15,即r2≈57.32,所以r≈7.6.说明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积,面积公式;其原则是形变积不变;或形变积也变,但重量不变,等等.九、动态几何问题例9 如图4所示,在△ABC中,∠C=90?/SPAN>,AC=6cm,BC=8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动,点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.(1)如果P、Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为8平方厘米?(2)点P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在,求出运动的时间;若不存在,说明理由.解因为∠C=90?/SPAN>,所以AB===10(cm).(1)设x s后,可使△PCQ的面积为8cm2,所以AP=x cm,PC=(6-x)cm,CQ=2x cm.则根据题意,得·(6-x)·2x=8.整理,得x2-6x+8=0,解这个方程,得x1=2,x2=4.所以P、Q同时出发,2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.(2)设点P出发x秒后,△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.则根据题意,得(6-x)·2x=××6×8.整理,得x2-6x+12=0.由于此方程没有实数根,所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.说明本题虽然是一道动态型应用题,但它又要运用到行程的知识,求解时必须依据路程=速度×时间.十、梯子问题例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的底端距墙角6m.(1)若梯子的顶端下滑1m,求梯子的底端水平滑动多少米?(2)若梯子的底端水平向外滑动1m,梯子的顶端滑动多少米?(3)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离,那么滑动的距离是多少米?解依题意,梯子的顶端距墙角=8(m).(1)若梯子顶端下滑1m,则顶端距地面7m.设梯子底端滑动x m.则根据勾股定理,列方程72+(6+x)2=102,整理,得x2+12x-15=0,解这个方程,得x1≈1.14,x2≈-13.14(舍去),所以梯子顶端下滑1m,底端水平滑动约1.14m.(2)当梯子底端水平向外滑动1m时,设梯子顶端向下滑动x m.则根据勾股定理,列方程(8-x)2+(6+1)2=100.整理,得x2-16x+13=0.解这个方程,得x1≈0.86,x2≈15.14(舍去).所以若梯子底端水平向外滑动1m,则顶端下滑约0.86m.(3)设梯子顶端向下滑动x m时,底端向外也滑动x m.则根据勾股定理,列方程 (8-x)2+(6+x)2=102,整理,得2x2-4x=0,解这个方程,得x1=0(舍去),x2=2.所以梯子顶端向下滑动2m时,底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动,梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11 如图5所示,我海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向,一艘军舰从A 出发,经B到C匀速巡航.一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送往军舰.(1)小岛D和小岛F相距多少海里?(2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(精确到0.1海里)解(1)F位于D的正南方向,则DF⊥BC.因为AB⊥BC,D为AC的中点,所以DF=AB =100海里,所以,小岛D与小岛F相距100海里.(2)设相遇时补给船航行了x海里,那么DE=x海里,AB+BE=2x海里,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里.在Rt△DEF中,根据勾股定理可得方程x2=1002+(300-2x)2,整理,得3x2-1200x+100000=0.解这个方程,得x1=200-≈118.4,x2=200+(不合题意,舍去).所以,相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明求解本题时,一定要认真地分析题意,及时发现题目中的等量关系,并能从图形中寻找直角三角形,以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.十二、图表信息例12 如图6所示,正方形ABCD的边长为12,划分成12×12个小正方形格,将边长为n (n为整数,且2≤n≤11)的黑白两色正方形纸片按图中的方式,黑白相间地摆放,第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格,第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n-1)×(n-1)个小正方形.如此摆放下去,直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题:(1)由于正方形纸片边长n的取值不同,•完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同,请填写下表:纸片的边长n 2 3 4 5 6使用的纸片张数(2)设正方形ABCD被纸片盖住的面积(重合部分只计一次)为S1,未被盖住的面积为S2.①当n=2时,求S1∶S2的值;②是否存在使得S1=S2的n值?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.解(1)依题意可依次填表为:11、10、9、8、7.(2)S1=n2+(12-n)[n2-(n-1)2]=-n2+25n-12.①当n=2时,S1=-22+25×2-12=34,S2=12×12-34=110.所以S1∶S2=34∶110=17∶55.②若S1=S2,则有-n2+25n-12=×122,即n2-25n+84=0,解这个方程,得n1=4,n2=21(舍去).所以当n=4时,S1=S2.所以这样的n值是存在的.说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表,及时挖掘其中的隐含条件,对于求解第(3)小题,可以先假定问题的存在,进而构造一元二次方程,看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13 将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.解(1)设剪成两段后其中一段为x cm,则另一段为(20-x)cm.则根据题意,得+=17,解得x1=16,x2=4,当x=16时,20-x=4,当x=4时,20-x=16,答这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.(2)不能.理由是:不妨设剪成两段后其中一段为y cm,则另一段为(20-y)cm.则由题意得+=12,整理,得y2-20y+104=0,移项并配方,得(y-10)2=-4<0,所以此方程无解,即不能剪成两段使得面积和为12cm2.说明本题的第(2)小问也可以运用求根公式中的b2-4ac来判定.若b2-4ac≥0,方程有两个实数根,若b2-4ac<0,方程没有实数根,本题中的b2-4ac=-16<0即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图7,在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.点E•在下底边BC上,点F在腰AB上.(1)若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,试用含x的代数式表示△BEF的面积;(2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在,求出此时BE 的长;若不存在,请说明理由;(3)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分?若存在,求此时BE的长;若不存在,请说明理由.解(1)由已知条件得,梯形周长为12,高4,面积为28.过点F作FG⊥BC于G,过点A作AK⊥BC于K.则可得,FG=×4,所以S△BEF=BE·FG=-x2+x(7≤x≤10).(2)存在.由(1)得-x2+x=14,解这个方程,得x1=7,x2=5(不合题意,舍去),所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分,此时BE=7.(3)不存在.假设存在,显然有S△BEF∶S多边形AFECD=1∶2,即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)=1∶2.则有-x2+x=,整理,得3x2-24x+70=0,此时的求根公式中的b2-4ac=576-840<0,所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.说明求解本题时应注意:一是要能正确确定x的取值范围;二是在求得x2=5时,并不属于7≤x≤10,应及时地舍去;三是处理第(3)个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律例15 在如图8中,每个正方形有边长为1 的小正方形组成:图8(1)观察图形,请填写下列表格:正方形边长 1 3 5 7 …n(奇数)黑色小正方形个数…正方形边长 2 4 6 8 …n(偶数)黑色小正方形个数…(2)在边长为n(n≥1)的正方形中,设黑色小正方形的个数为P1,白色小正方形的个数为P2,问是否存在偶数..n,使P2=5P1?若存在,请写出n的值;若不存在,请说明理由.解(1)观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、…、n时,黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n-1(奇数);正方形的边长为2、4、6、8、…、n时,黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n(偶数).(2)由(1)可知n为偶数时P1=2n,所以P2=n2-2n.根据题意,得n2-2n=5×2n,即n2-12n=0,解得n1=12,n2=0(不合题意,舍去).所以存在偶数n=12,使得P2=5P1.说明本题的第(2)小问是属于存在性问题,求解时,可以先假设结论存在,进而从中找到数量关系,使问题获解.综上所言,列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展,列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型,然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是:找出未知量与已知量之间的联系,从而专业资料整理分享将实际问题转化为方程模型,要善于将普通语言转化为代数式,在审题时,要特别注意关键词语,如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等,此外,还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系,如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.完美WORD格式编辑。

一元二次方程应用题精选(含答案)

一元二次方程应用题精选(含答案)

一元二次方程,应用题,精选,含,答案,游行,2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加的行·列数相同,增加了多少行多少列?
3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。

在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价
解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30。

(完整版)一元二次方程应用题精选(附答案)

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一元二次方程应用题精选1、有两个连续整数,它们的平方和为25,求这两个数。

2、一个两位数,十位数字与个位数字之和是6,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新两位数与原来的两位数的积是1008,求这个两位数.3、某市场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件赢利40元.为了扩大销售,增加赢利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施。

经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件。

求:(1)若商场平均每天要赢利1200元,每件衬衫应降价多少元?(2)要使商场平均每天赢利最多,请你帮助设计方案。

4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施,调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台,商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?6. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨,三月份上升到7200吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少?7. 某产品原来每件600元,由于连续两次降价,现价为384元,如果两个降价的百分数相同,求每次降价百分之几?8、有一块长方形的铝皮,长24cm、宽18cm,在四角都截去相同的小正方形,折起来做成一个没盖的盒子,使底面积是原来面积的一半,求盒子的高.9、如图,在一块长为32m,宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路,余下部,求小路宽的宽度.分作为耕地要使耕地的面积是540m210、如图,利用一面墙(墙的长度不超过45m),用80m长的篱笆围一个矩形场地.⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2,为什么?11、有一人患了流感,经过两轮传染后共有169人患了流感.(1)求每一轮传染中平均一个人传染了几个人?(2)如果按照这样的传染速度,经过三轮传染后共有多少人患上流感?12、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。

(完整版)一元二次方程应用题经典题型汇总含答案

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z 一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例 1 恒利商厦九月份的销售额为200 万元,十月份的销售额下降了20% ,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6 万元,求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是X.,则根据题意,得200(1 —20%)(1+ x)2= 193.6 ,即(1+x)2= 1.21,解这个方程,得x i = 0.1 , X2=— 2.1 (舍去).答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2= n求解,其中m v n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1 —x)2= n即可求解,其中m >n.二、商品定价例2 益群精品店以每件21 元的价格购进一批商品, 该商品可以自行定价, 若每件商品售价a元,则可卖出(350 —10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400 元,需要进货多少件?每件商品应定价多少?解根据题意,得(a—21)(350 —10a) = 400,整理,得a2—56a+775 = 0 ,解这个方程,得a1 = 25 , a2 = 31.因为21 p+20%) = 25.2,所以a2=31不合题意,舍去.所以350 —10 a= 350 —10 X25 = 100 (件).答需要进货100 件,每件商品应定价25元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率•(假设不计利息税)解设第一次存款时的年利率为X.则根据题意,得[1000(1+ x)- 500](1+0.9 x) = 530.整理,得90X2+145 x —3 = 0.解这个方程,得X i~0.0204 = 2.04% , X21.63.由于存款利率不能为负数,所以将X2~—1.63 舍去.答第一次存款的年利率约是 2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗?解设渠道的深度为x m,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意,得2(x+0.1+ x+1.4+0.1) x= 1.8,整理,得x2+0.8 x—1.8 = 0.解这个方程,得X1 = — 1.8 (舍去),X2= 1.所以x+1.4+0.1 = 1 + 1.4+0.1 = 2.5.答渠道的上口宽2.5m,渠深1m.说明求解本题开始时好象无从下笔,但只要能仔细地阅读和口味,就能从中找到等量关系,列出方程求解例5 读诗词解题:(通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄)大江东去浪淘尽,千古风流数人物;而立之年督东吴,早逝英年两位数;十位恰小个位三,个位平方与寿符;哪位学子算得快,多少年华属周瑜?解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为X,则十位数字为x - 3.则根据题意,得x2= 10(x —3)+ x,即X2-11X+30 = 0,解这个方程,得x= 5或x= 6.当x = 5时,周瑜的年龄25岁,非而立之年,不合题意,舍去;当x = 6时,周瑜年龄为36岁,完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.六、象棋比赛例6 象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分.如果平局,两个选手各记1分,领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数,分别是1979 , 1980 , 1984 , 1985.经核实,有一位同学统计无误•试计算这次比赛共有多少个选手参加•解设共有n个选手参加比赛,每个选手都要与(n —1)个选手比赛一局,共计n(n —1)1局,但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次,因此实际比赛总局数应为2 n(n —1)局由于每局共计2分,所以全部选手得分总共为n(n —1)分•显然(n—1)与n为相邻的自然数,容易验证,相邻两自然数乘积的末位数字只能是0, 2 , 6,故总分不可能是1979 , 1984 , 1985,因此总分只能是1980,于是由n(n —1) = 1980,得n2—n —1980 = 0 ,解得n1 = 45 , n2=—44 (舍去).答参加比赛的选手共有45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题, 法求解• 七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如图1对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元•请问该单位 这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?解设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游 •因为1000 >25 = 25000 V 27000,所以员工人数一定超过 25人.则根据题意,得[1000 — 20(x — 25)] x = 27000.整理,得 x 2 — 75X +1350 = 0,解这个方程,得 x i = 45 , X 2= 30.当 x = 45 时,1000 — 20( x — 25) = 600 V 700,故舍去 x i ;当 X 2= 30 时,1000 — 20(x — 25) = 900 >700,符合题意.答:该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系,求得的解还要注意分类讨论,从中找出符合题意的结论都可以仿照些如果人数不超过25人 如果人数超过25人,每増加1 人人均放游费用降低20元 旦人均册费用不得低于700人均旅游费用海1000元.八、等积变形例8 将一块长18米,宽15米的矩形荒地修建成一个花园(阴影部分)所占的面积为 原来荒地面积的三分之二•(精确到0.1m )(1 )设计方案1 (如图2)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路(2)设计方案2 (如图3)花园中每个角的扇形都相同 .以上两种方案是否都能符合条件?若能,请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径;若不能符合条件,请说明理由 解 都能.(1)设小路宽为 X ,则 18x +16x — x 2=^ X18 X15,即 x 2— 34X +180 = 0 ,解这个方程,得x = 2 ,即x ~ 6.6.(2)设扇形半径为 r ,则 3.14 r 2 =X18 X15 ,即卩 r 2疋 57.32,所以 r ~7.6.明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积,面积公式;其原则是形变积不变; 积也变,但重量不变,等等九、动态几何问题例9 如图 4所示,在△ ABC 中,/ C = 90?/SPAN> , AC = 6cm , BC = 8cm ,点 P 从 点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动,点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动(1)如果P 、Q 同时出发,几秒钟后,可使△ PCQ 的面积为8平方厘米?X ,或形变(2)点P 、Q 在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△ PCQ 的面积等于△ ABC 的面积的一半•若存在,求出运动的时间;若不存在,说明理由(1 )设 x s 后,可使△ PCQ 的面积为 8cm 2,所以 AP = x cm , PC = (6 — x )cm , CQ =2x cm.则根据题意,得(6 — x ) 2x = 8.整理,得X 2— 6x +8 = 0,解这个方程,得 x i = 2, X 2=4. 所以P 、Q 同时出发,2s 或4s 后可使△ PCQ 的面积为8cm 2.(2)设点P 出发x 秒后,△ PCQ 的面积等于△ ABC 面积的一半•1 1 1则根据题意,得 2(6 — x ) 2x =2 x2 x6 X8.整理,得 x 2— 6x +12 = 0.由于此方程没有实数根,所以不存在使厶 PCQ 的面积等于ABC 面积一半的时刻•说明 本题虽然是一道动态型应用题,但它又要运用到行程的知识,求解时必须依据路程=速度x 时间.十、梯子问题例10 一个长为10m 的梯子斜靠在墙上,梯子的底端距墙角6m.(1) 若梯子的顶端下滑1m ,求梯子的底端水平滑动多少米? (2) 若梯子的底端水平向外滑动 1m ,梯子的顶端滑动多少米?(3 )如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离,那么滑动的距离是多少米?解 依题意,梯子的顶端距墙角 =8 (m ).(1 )若梯子顶端下滑1m ,则顶端距地面7m.设梯子底端滑动x m.因为/ C = 90?/SPAN>,所以AB ="汙\取匸=用卜『=10(cm )(2)点P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ的面积等于△ ABC的则根据勾股定理,列方程72+(6+ x)2= 102,整理,得x2+12 x—15 = 0 ,解这个方程,得X i~ 1.14 , X213.14 (舍去),所以梯子顶端下滑1m,底端水平滑动约1.14m.(2)当梯子底端水平向外滑动1m时,设梯子顶端向下滑动x m.则根据勾股定理,列方程(8 —X)2+(6+1)2= 100.整理,得X2—16X+13 = 0.解这个方程,得X1~ 0.86 , X2 ~ 15.14 (舍去).所以若梯子底端水平向外滑动1m,则顶端下滑约0.86m.(3)设梯子顶端向下滑动x m时,底端向外也滑动x m.则根据勾股定理,列方程(8 —X)2+(6+X)2= 102,整理,得2x2—4x = 0,解这个方程,得X1 = 0 (舍去),X2= 2.所以梯子顶端向下滑动2m时,底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动,梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11如图5所示,我海军基地位于A处,在其正南方向200 海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC 的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向,一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航•一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送往军舰.(1)小岛D和小岛F相距多少海里?(2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(精确到0.1海里)解(1) F位于D的正南方向,贝U DF丄BC•因为AB丄BC, D为AC的中点,所以DF =2 AB = 100海里,所以,小岛D与小岛F相距100海里.(2 )设相遇时补给船航行了x海里,那么DE = x海里,AB+BE= 2x海里,EF= AB+BC -(AB+ BE)—CF= (300 - 2x)海里.在Rt△ DEF中,根据勾股定理可得方程x2= 100 2+(300 - 2x)2,整理,得3x2-1200 x+100000 = 0.lOtK/6 10(K/6解这个方程,得X1 = 200 —孑 ~ 118.4 , X2 = 200+3 (不合题意,舍去)•所以,相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明求解本题时,一定要认真地分析题意,及时发现题目中的等量关系,并能从图形中寻找直角三角形,以便正确运用勾股定理布列一元二次方程十二、图表信息例12 如图6所示,正方形ABCD的边长为12,划分成12 X12个小正方形格,将边长为n (n 为整数,且2w n< 11 )的黑白两色正方形纸片按图中的方式,黑白相间地摆放,第一张n Xi的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n刈个小正方形格,第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n - 1) X n —1)个小正方形.如此摆放下去,直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题:(1)由于正方形纸片边长n的取值不同,冼成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同,请填写下表:纸片的边长n23456使用的纸片张数(2 )设正方形ABCD被纸片盖住的面积(重合部分只计一次)为S i,未被盖住的面积为S2.①当n = 2时,求S i : S2的值;解(1 )依题意可依次填表为: 11、10、9、8、7.②是否存在使得S i = S2的n值?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由(2) S1 = n2+(12 - n)[n2—(n - 1)2] = - n2+25 n - 12.①当n = 2 时,S1 = - 22+25 X2 - 12 = 34 , S2= 12 X12 - 34 = 110.所以S1 : S2 = 34 : 110 = 17 : 55.1②若S1 = S2,则有—n2+25 n —12 =? X122,即n2—25 n +84 = 0 ,解这个方程,得n1 = 4 , n2= 21 (舍去).所以当n = 4时,S1= S2.所以这样的n值是存在的.说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表,及时挖掘其中的隐含条件,对于求解第(3)小题,可以先假定问题的存在,进而构造一元二次方程,看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于 12cm 2吗?若能,求出两段铁丝的长度; 若不能, 请说明理由解(1)设剪成两段后其中一段为 x cm ,则另一段为(20 — x ) cm.当 x = 16 时,20 — x = 4,当 x = 4时,20 — x = 16 , 答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm 和16cm.(2)不能.理由是:不妨设剪成两段后其中一段为 y cm ,则另一段为(20 — y ) cm.则由题意得I 4丿+1 4丿=12,整理,得 y 2— 20 y +104 = 0,移项并配方,得(y — 10) 2 =—4v 0,所以此方程无解,即不能剪成两段使得面积和为12cm 2.说明 本题的第(2 )小问也可以运用求根公式中的 b 2 — 4ac 来判定 若b 2 — 4ac >0,方程有两个实数根,若 b 2— 4ac v 0,方程没有实数根,本题中的b 2 — 4ac =— 16 v 0即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图7,在等腰梯形 ABCD 中,AB = DC = 5 , AD = 4 , BC = 10.点E?^下底边BC 上,点F 在腰AB 上.(1 )若EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长,设BE 长为X ,试用含x 的代数式表示 △ BEF 的面积; (2) 是否存在线段 EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分?若存在,求出此时BE 的长;若不存在,请说明理由;(3) 是否存在线段 EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1 : 2的两部分?若存在,求此时BE 的长;若不存在,请说明理由则根据题意,得 =17,解得 X i = 16X 2 = 4 ,Be K解(1 )由已知条件得,梯形周长为12,高4,面积为28.过点F作FG丄BC于G,过点A作AK丄BC于K.12 - K则可得,FG= 总,込24所以S A BEF=BEFG=—§ x2+ x (7 < x < 10).2 24(2)存在.由 (1 )得—5 x2+ 5 x = 14,解这个方程,得x i = 7, X2 = 5 (不合题意,舍去),所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分,此时BE= 7.(3)不存在•假设存在,显然有S A BEF : S多边形AFECD = 1 : 2,2 16 28即(BE+BF):(AF+AD + DC) = 1 : 2.则有一5 x2+ 5 x =3 ,整理,得3x2—24x+70 = 0,此时的求根公式中的b2—4ac = 576 —840 V 0,所以不存在这样的实数X.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1 : 2的两部分.说明求解本题时应注意:一是要能正确确定x的取值范围;二是在求得X2 = 5时,并不属于7 < X W 10,应及时地舍去;三是处理第(3)个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律例15 在如图8中,每个正方形有边长为1的小正方形组成:(1 )观察图形,请填写下列表格:正方形边长 13黑色小正方形个数 正方形边长 24黑色小正方形个数(2 )在边长为n (n > 1)的正方形中,设黑色小正方形的个数为个数为P 2,问是否存在偶数.n ,使P 2= 5P i ?若存在,请写出 n 的值;若不存在,请说明 理由.解(1)观察分析图案可知正方形的边长为 1、3、5、7、…、n 时,黑色正方形的个 数为1、5、9、13、2n — 1 (奇数);正方形的边长为2、4、6、8、…、n 时,黑色正方形 的个数为4、& 12、16、2n (偶数)•(2 )由(1 )可知n 为偶数时P 1 = 2 n ,所以P 2= n 2— 2n .根据题意,得n 2 — 2 n = 5 x 2n ,即n 2 —12 n = 0,解得n 1= 12 , n 2 = 0 (不合题意,舍去).所以存在偶数n = 12,使得P 2 =5P 1.n (奇数)n (偶数)P i ,白色小正方形的说明本题的第(2)小问是属于存在性问题,求解时,可以先假设结论存在,进而从中找到数量关系,使问题获解综上所言,列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展,列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型,然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是:找出未知量与已知量之间的联系,从而将实际问题转化为方程模型,要善于将普通语言转化为代数式,在审题时,要特别注意关键词语,如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等,此外,还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系,如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.。

一元二次方程应用题精选(含答案)

一元二次方程应用题精选(含答案)

1:某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元?解:设没件降价为x,则可多售出5x件,每件服装盈利44-x元,依题意x≤10∴(44-x)(20+5x)=1600展开后化简得:x²-44x+144=0即(x-36)(x-4)=0∴x=4或x=36(舍)即每件降价4元要找准关系式2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加的行·列数相同,增加了多少行多少列?解:设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3增加了3行3列3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。

在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元.依题意得:y=(x-30)[60+2(70-x)]-500=-2x^2+260x-6500(30<=x<=70)(2)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为60+2(70-65)=70kg,那么获总利为1950*7000/70=195000元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为(70-30)*7000-117*500=221500元,而221500>195000时且221500-195000=26500元.∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.4..运动员起跑20m后速度才能达到最大速度10m/s,若运动员的速度是均匀增加的,则他起跑开始到10m处时需要多少s?解:(0+10)除2为平均增加为5(0+5a)除2乘a5.一辆警车停在路边,当警车发现一辆一8M/S的速度匀速行驶的货车有违章行为,决定追赶,经过2.5s,警车行驶100m追上货车.试问(1)从开始加速到追上货车,警车的速度平均每秒增加多少m?(2)从开始加速到行驶64m处是用多长时间?解:2.5*8=20 100-20=80 80/8=10100/【(0+10a)/2】=10解方程为264/【(0+2a)/2】=a解方程为86.一容器装满20L纯酒精,第一次倒出若干升后,用水加满,第二次又倒出同样升数的混合液,再用水加满,容器里只有5L的纯酒精,第一次倒出的酒精多少升?(过程)解:设第一次倒出x升,则第二次为x(20-x)/20.(此处为剩下的酒精占总体积20升的多少即比率然后乘上倒出的升数即为倒出的纯酒精数则20-x-x(20-x)/20=5解得x=106.1一个长方体的长与宽的比为5:2,高为5厘米,表面积为40平方厘米。

一元二次方程应用题精选(含答案)

一元二次方程应用题精选(含答案)

1:某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元解:设没件降价为x,则可多售出5x件,每件服装盈利44-x元,依题意x≤10∴(44-x)(20+5x)=1600展开后化简得:x²-44x+144=0即(x-36)(x-4)=0∴x=4或x=36(舍)即每件降价4元…要找准关系式2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加的行·列数相同,增加了多少行多少列解:设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3增加了3行3列3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。

在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元.依题意得:y=(x-30)[60+2(70-x)]-500=-2x^2+260x-6500(30<=x<=70)(2)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为60+2(70-65)=70kg,那么获总利为1950*7000/70=195000元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为(70-30)*7000-117*500=221500元,而221500>195000时且22=26500元.∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.4..运动员起跑20m后速度才能达到最大速度10m/s,若运动员的速度是均匀增加的,则他起跑开始到10m处时需要多少s解:,(0+10)除2为平均增加为5(0+5a)除2乘a5.一辆警车停在路边,当警车发现一辆一8M/S的速度匀速行驶的货车有违章行为,决定追赶,经过,警车行驶100m追上货车.试问(1)从开始加速到追上货车,警车的速度平均每秒增加多少m(2)从开始加速到行驶64m处是用多长时间解:*8=20 100-20=80 80/8=10100/【(0+10a)/2】=10解方程为2。

一元二次方程应用题专题(含答案)

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1:某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元?解:设没件降价为x,则可多售出5x件,每件服装盈利44-x元,依题意x≤10∴(44-x)(20+5x)=1600展开后化简得:x²-44x+144=0即(x-36)(x-4)=0∴x=4或x=36(舍)即每件降价4元要找准关系式2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加的行·列数相同,增加了多少行多少列?解:设增加x(8+x)(12+x)=96+69x=3增加了3行3列3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。

在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元.依题意得:y=(x-30)[60+2(70-x)]-500=-2x^2+260x-6500(30<=x<=70)(2)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为60+2(70-65)=70kg,那么获总利为1950*7000/70=195000元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为(70-30)*7000-117*500=221500元,而221500>195000时且221500-195000=26500元.∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.4..运动员起跑20m后速度才能达到最大速度10m/s,若运动员的速度是均匀增加的,则他起跑开始到10m处时需要多少s?5.一辆警车停在路边,当警车发现一辆一8M/S的速度匀速行驶的货车有违章行为,决定追赶,经过2.5s,警车行驶100m追上货车.试问(1)从开始加速到追上货车,警车的速度平均每秒增加多少m?(2)从开始加速到行驶64m处是用多长时间?4解:(0+10)除2为平均增加为5(0+5a)除2乘a5解:2.5*8=20 100-20=80 80/8=10100/【(0+10a)/2】=10解方程为264/【(0+2a)/2】=a解方程为86.一容器装满20L纯酒精,第一次倒出若干升后,用水加满,第二次又倒出同样升数的混合液,再用水加满,容器里只有5L的纯酒精,第一次倒出的酒精多少升?(过程)解:设第一次倒出x升,则第二次为x(20-x)/20.(此处为剩下的酒精占总体积20升的多少即比率然后乘上倒出的升数即为倒出的纯酒精数则20-x-x(20-x)/20=5解得x=106.1一个长方体的长与宽的比为5:2,高为5厘米,表面积为40平方厘米。

一元二次方程应用题(含答案)整理版

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一元二次方程应用题(含答案)整理版第一篇:一元二次方程应用题(含答案)整理版一元二次方程应用题1、某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元?解:设没件降价为x,则可多售出5x件,每件服装盈利44-x元,依题意x≤10∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得:x²-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍)即每件降价4元2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加的行、列数相同,增加了多少行多少列?解:设增加x(8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。

在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价关系式解:(1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元.依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500(30<=x<=70)(2)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为60+2(70-65)=70kg,那么获总利为1950*7000/70=195000元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为(70-30)*7000-117*500=221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元.∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.4.现有长方形纸片一张,长19cm,宽15cm,需要剪去边长多少的小正方形才能做成底面积为77平方cm的无盖长方形的纸盒?解:设边长x 则(19-2x)(15-2x)=77 4x^2-68x+208=0 x^2-17x+52=0 (x-13)(x-4)=0,当x=13时19-2x<0不合题意,舍去故x=4 5.某商品进价为每件40元,如果售价为每件50元,每个月可卖出210件,如果售价超过50元,但不超过80元,每件商品的售价每上涨10元,每个月少卖1件,如果售价超过80元后,若再涨价,每件商品的售价每涨1元,每个月少卖3件。

(完整版)一元二次方程应用题(含答案)整理版

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一元二次方程应用题1、某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元の情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元?解:设没件降价为x,则可多售出5x件,每件服装盈利44-x元,依题意x≤10∴(44-x)(20+5x)=1600展开后化简得:x²-44x+144=0即(x-36)(x-4)=0∴x=4或x=36(舍)即每件降价4元2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加の行、列数相同,增加了多少行多少列?解:设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3增加了3行3列3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。

在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价关系式解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元.依题意得:y=(x-30)[60+2(70-x)]-500=-2x^2+260x-6500(30<=x<=70)(2)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为60+2(70-65)=70kg,那么获总利为1950*7000/70=195000元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为(70-30)*7000-117*500=221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元.∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.4.现有长方形纸片一张,长19cm,宽15cm,需要剪去边长多少の小正方形才能做成底面积为77平方cmの无盖长方形の纸盒?解:设边长x则(19-2x)(15-2x)=774x^2-68x+208=0x^2-17x+52=0(x-13)(x-4)=0,当x=13时19-2x<0不合题意,舍去故x=45.某商品进价为每件40元,如果售价为每件50元,每个月可卖出210件,如果售价超过50元,但不超过80元,每件商品の售价每上涨10元,每个月少卖1件,如果售价超过80元后,若再涨价,每件商品の售价每涨1元,每个月少卖3件。

一元二次方程应用题含答案整理版

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一元二次方程应用题含答案整理版一、汽车长途行驶问题问题描述:某辆汽车以每小时60公里的速度行驶,已经过两个小时,此时与起点相距180公里。

问汽车行驶多少小时能与起点相距510公里?解决方法:设汽车行驶的小时数为x。

根据题意可得方程:60x + 180 = 510。

将方程变为一元二次方程的标准形式:60x = 510 - 180。

化简得:60x = 330。

通过移项可得:x = 330 ÷ 60 = 5.5。

答案:汽车需要行驶5.5小时才能与起点相距510公里。

二、商品折扣问题问题描述:一件商品原价300元,商场进行打折促销,最终价格为192元。

问打了多少折扣?解决方法:设打折的折扣率为x。

根据题意可得方程:300 × (1 - x) = 192。

将方程变为一元二次方程的标准形式:300 - 300x = 192。

通过移项可得:300x = 300 - 192 = 108。

化简得:x = 108 ÷ 300 = 0.36。

答案:商品打了36%的折扣。

三、跳水运动员问题问题描述:某跳水运动员从3米高的平台跳下,每次跳水后下一次的距离比上一次距离减少2米。

已知他一共跳了5次,最后一次跳了9米。

问他第一次跳了多高?解决方法:设他第一次跳的高度为x米。

根据题意可得方程:x + (x - 2) + (x - 4) + (x - 6) + (x - 8) = 9。

将方程变为一元二次方程的标准形式:5x - 20 = 9。

通过移项可得:5x = 9 + 20 = 29。

化简得:x = 29 ÷ 5 = 5.8。

答案:该跳水运动员第一次跳了5.8米。

四、炒股问题问题描述:小明通过购买股票进行炒股,他买入了股票A,每股价格为30元。

经过一段时间后,股票A涨了10%,小明决定抛售,以每股33元的价格卖出。

问小明一共赚了多少钱?解决方法:设小明买入的股票A的数量为x股。

根据题意可得方程:30x × 1.1 = 33x。

一元二次方程应用题精选(含答案)

一元二次方程应用题精选(含答案)

元,在每件降价幅度不超44件,每件盈利20:某种服装,平均每天可以销售11600如果每天要盈利件,5则每天可多售出元,1若每件降价元的情况下,10过 ? 元,每件应降价多少元件,每件服装盈利5x,则可多售出x解:设没件降价为元,44-x x≤10依题意 -x)(20+5x)=1600 ∴(44 -44x+144=0 展开后化简得:x² (x-36)(x-4)=0 即 ) 舍x=36(或∴x=4 元4即每件降价要找准关系式使得队伍增加的行·列数相同,人,69后又增加了列,12行8游行队伍有2. 增加了多少行多少列?x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 解:设增加列3行3增加了进货价格为每千克,某化工材料经售公司购进了一种化工原料 3.物价.元30单市场调查发现:.元30也不得低于,元70部门规定其销售单价不得高于每千克。

2kg日均多售,单价每千克降低一元;60kg元时日均销售70价每千克在销售过如果日均.按一天计算),元(天数不足一天时500每天还要支出其他费用,程中求销售单价,元1950获利(70-x)则每千克降低了,元x若销售单价为: (1)解2(70-x)日均多售出,元 . 元(x-30)每千克获利,千克[60+2(70-x)]日均销售量为,千克: 依题意得y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) 60+2元,日均销售量为65当日均获利最多时:单价为(2),那70kg)=70-65(元,日均70当销售单价最高时:单价为,元195000=1950*7000/70么获总利为那么获总利为,天117约等于7000/60,将这批化工原料全部售完需60kg销售(221500 =*7000-117*500)70-30 . 元221500-195000=26500时且221500>195000而,元 . 元26500且多获利,∴销售单价最高时获总利最多若运动员的速度是均匀10m/s,后速度才能达到最大速度20m运动员起跑4.. s? 处时需要多少10m则他起跑开始到,增加的解:除0+10)(5 为平均增加为2 a 乘2)除0+5a(的速度匀速行驶的货车有违8M/S 当警车发现一辆一,一辆警车停在路边 5.,章行为试问.追上货车100m警车行驶2.5s,经过,决定追赶m? 警车的速度平均每秒增加多少,从开始加速到追上货车(1)从开始加速到行驶(2)? 处是用多长时间64m 解:2.5*8=20 100-20=80 80/8=10 2 解方程为=10】/2)0+10a【(100/【(64/8 解方程为=a】0+2a)/2第二次又倒出用水加满,第一次倒出若干升后,纯酒精,20L 一容器装满6.的纯酒精,第一次倒出的酒精5L同样升数的混合液,再用水加满,容器里只有多少升?(过程)此处为剩下的酒精占/20.()20-x(x升,则第二次为x解:设第一次倒出升的多少即比率然后乘上倒出的升数即为倒出的纯酒精数20总体积20-x-x(20-x)/20=5 则x=10 解得平方厘米。

一元二次方程应用题(含答案)

一元二次方程应用题(含答案)
解:衬衫降价 x 元
2100=(50-x)(30+2x)=1 500+70x-x^2
21. 在一块面积为 888 平方 厘米的矩形材料的四角, 各剪掉 一个大小相同的正方形 (剪掉的 正方形作废料处理, 不再使用), 做成一个无盖的长方体盒子, 要 求盒子的长为 25cm ,宽为高的 2 倍,盒子的宽和高应为多少?
30%*X+75%Y=50%*18
6X+15Y=180
X+Y=18
X=18-Y
6*18-6Y+15Y=180
Y=8 X=10
9. 印度古算术书中有这样 一首诗:“一群猴子分两队,高 高兴兴在游戏,八分之一再平 方,蹦蹦跳跳树林里;其余使二 叽喳喳,伶俐活泼又调皮,告我 总数共多少, 两队猴子在一起。”
8. 用含 30% 和 75% 的两种防 腐药水,配置含药 50% 的防腐 药水 18kg ,两种药水各需取多 少?
பைடு நூலகம்
7 、解:设用 X 张制罐身 用 Y
张制罐底 则 X+Y=36
X=36-Y
25X=40Y/2
X=4Y/5
4Y/5=36-Y Y=20 X=16
8 、解:设 30% 的取 X 75%
的取 Y 则
解:设第一次倒出 x 升,则 第二次为 x ( 20-x )/20.( 此处 为剩下的酒精占总体积 20 升的 多少即比率然后乘上倒出的升 数即为倒出的纯酒精数
则 20-x-x(20-x)/20=5
解得 x=10
6.1 一个长方体的长与宽的 比为 5 :2 ,高为 5 厘米,表面 积为 40 平方厘米。画出这个长 方体的展开图,及其过程(设未 知数)
12. 某企业 2007 年利润为 50 万元,如果以后每年的利润 都比上年的利润增长 x% 。那么 2009 年的年利润将达到多少万 元?

一元二次方程应用题(含答案)整理版

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一元二次方程应用题之樊仲川亿创作1、某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超出10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元?解:设没件降价为x,则可多售出5x件,每件服装盈利44-x 元,依题意x≤10∴(44-x)(20+5x)=1600展开后化简得:x²-44x+144=0即(x-36)(x-4)=0∴x=4或x=36(舍)即每件降价4元2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加的行、列数相同,增加了多少行多少列?解:设增加x (8+x)(12+x)=96+69x=3增加了3行3列3.某化工资料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部分规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。

在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数缺乏一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价关系式解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为60+2(70-65)=70kg,那么获总利为1950*7000/70=195000元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为(70-30)*7000-117*500=221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.4.现有长方形纸片一张,长19cm,宽15cm,需要剪去边长多少的小正方形才干做成底面积为77平方cm的无盖长方形的纸盒?解:设边长x则(19-2x)(15-2x)=774x^2-68x+208=0x^2-17x+52=0(x-13)(x-4)=0,当x=13时19-2x<0分歧题意,舍去故x=45.某商品进价为每件40元,如果售价为每件50元,每个月可卖出210件,如果售价超出50元,但不超出80元,每件商品的售价每上涨10元,每个月少卖1件,如果售价超出80元后,若再涨价,每件商品的售价每涨1元,每个月少卖3件。

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z一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率.解 设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%) (1+x)2=193.6,即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去).答 这两个月的平均增长率是10%.说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n.二、商品定价例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少?解 根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0,解这个方程,得a1=25,a2=31.因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去.所以350-10a=350-10×25=100(件).答 需要进货100件,每件商品应定价25元.说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点.三、储蓄问题例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)解 设第一次存款时的年利率为x.则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得90x2+145x-3=0.解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去.答 第一次存款的年利率约是2.04%.说明 这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税.四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗?解 设渠道的深度为xm,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意,得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x=1.8,整理,得x2+0.8x-1.8=0.解这个方程,得x1=-1.8(舍去),x2=1.所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5.答 渠道的上口宽2.5m,渠深1m.说明 求解本题开始时好象无从下笔,但只要能仔细地阅读和口味,就能从中找到等量关系,列出方程求解.五、古诗问题例5 读诗词解题:(通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄).大江东去浪淘尽,千古风流数人物;而立之年督东吴,早逝英年两位数;十位恰小个位三,个位平方与寿符;哪位学子算得快,多少年华属周瑜?解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x-3.则根据题意,得x2=10(x-3)+x,即x2-11x+30=0,解这个方程,得x=5或x=6.当x=5时,周瑜的年龄25岁,非而立之年,不合题意,舍去;当x=6时,周瑜年龄为36岁,完全符合题意.答 周瑜去世的年龄为36岁.六、象棋比赛例6 象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分.如果平局,两个选手各记1分,领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数,分别是1979,1980,1984,1985.经核实,有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解 设共有n个选手参加比赛,每个选手都要与(n-1)个选手比赛一局,共计n(n-1)局,但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次,因此实际比赛总局数应为n(n-1)局.由于每局共计2分,所以全部选手得分总共为n(n-1)分.显然(n-1)与n为相邻的自然数,容易验证,相邻两自然数乘积的末位数字只能是0,2,6,故总分不可能是1979,1984,1985,因此总分只能是1980,于是由n(n-1)=1980,得n2-n-1980=0,解得n1=45,n2=-44(舍去).答 参加比赛的选手共有45人.说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题,都可以仿照些方法求解.七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?解 设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25=25000<27000,所以员工人数一定超过25人.则根据题意,得[1000-20(x-25)]x=27000.整理,得x2-75x+1350=0,解这个方程,得x1=45,x2=30.当x=45时,1000-20(x-25)=600<700,故舍去x1;当x2=30时,1000-20(x-25)=900>700,符合题意.答:该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系,求得的解还要注意分类讨论,从中找出符合题意的结论.八、等积变形例8 将一块长18米,宽15米的矩形荒地修建成一个花园(阴影部分)所占的面积为原来荒地面积的三分之二.(精确到0.1m)(1)设计方案1(如图2)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.(2)设计方案2(如图3)花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能,请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径;若不能符合条件,请说明理由.解 都能.(1)设小路宽为x,则18x+16x-x2=×18×15,即x2-34x+180=0,解这个方程,得x=,即x≈6.6.(2)设扇形半径为r,则3.14r2=×18×15,即r2≈57.32,所以r≈7.6.说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积,面积公式;其原则是形变积不变;或形变积也变,但重量不变,等等.九、动态几何问题例9 如图4所示,在△ABC中,∠C=90?/SPAN>,AC=6cm,BC=8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动,点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.(1)如果P、Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为8平方厘米?(2)点P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在,求出运动的时间;若不存在,说明理由.解 因为∠C=90?/SPAN>,所以AB===10(cm).(1)设xs后,可使△PCQ的面积为8cm2,所以 AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm.则根据题意,得·(6-x)·2x=8.整理,得x2-6x+8=0,解这个方程,得x1=2,x2=4.所以P、Q同时出发,2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.(2)设点P出发x秒后,△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.则根据题意,得(6-x)·2x=××6×8.整理,得x2-6x+12=0.由于此方程没有实数根,所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.说明 本题虽然是一道动态型应用题,但它又要运用到行程的知识,求解时必须依据路程=速度×时间.十、梯子问题例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的底端距墙角6m.(1)若梯子的顶端下滑1m,求梯子的底端水平滑动多少米?(2)若梯子的底端水平向外滑动1m,梯子的顶端滑动多少米?(3)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离,那么滑动的距离是多少米?解 依题意,梯子的顶端距墙角=8(m).(1)若梯子顶端下滑1m,则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.则根据勾股定理,列方程72+(6+x)2=102,整理,得x2+12x-15=0,解这个方程,得x1≈1.14,x2≈-13.14(舍去),所以梯子顶端下滑1m,底端水平滑动约1.14m.(2)当梯子底端水平向外滑动1m时,设梯子顶端向下滑动xm.则根据勾股定理,列方程(8-x)2+(6+1)2=100.整理,得x2-16x+13=0.解这个方程,得x1≈0.86,x2≈15.14(舍去).所以若梯子底端水平向外滑动1m,则顶端下滑约0.86m.(3)设梯子顶端向下滑动xm时,底端向外也滑动xm.则根据勾股定理,列方程 (8-x)2+(6+x)2=102,整理,得2x2-4x =0,解这个方程,得x1=0(舍去),x2=2.所以梯子顶端向下滑动2m时,底端向外也滑动2m.说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动,梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11 如图5所示,我海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向,一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航.一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送往军舰.(1)小岛D和小岛F相距多少海里?(2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(精确到0.1海里)解(1)F位于D的正南方向,则DF⊥BC.因为AB⊥BC,D为AC的中点,所以DF=AB=100海里,所以,小岛D与小岛F相距100海里.(2)设相遇时补给船航行了x海里,那么DE=x海里,AB+BE=2x海里,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里.在Rt△DEF中,根据勾股定理可得方程x2=1002+(300-2x)2,整理,得3x2-1200x+100000=0.解这个方程,得x1=200-≈118.4,x2=200+(不合题意,舍去).所以,相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明 求解本题时,一定要认真地分析题意,及时发现题目中的等量关系,并能从图形中寻找直角三角形,以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.十二、图表信息例12 如图6所示,正方形ABCD的边长为12,划分成12×12个小正方形格,将边长为n(n为整数,且2≤n≤11)的黑白两色正方形纸片按图中的方式,黑白相间地摆放,第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格,第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n -1)×(n-1)个小正方形.如此摆放下去,直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题:(1)由于正方形纸片边长n的取值不同,完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同,请填写下表:纸片的边长n23456使用的纸片张数(2)设正方形ABCD被纸片盖住的面积(重合部分只计一次)为S1,未被盖住的面积为S2.①当n=2时,求S1∶S2的值;②是否存在使得S1=S2的n值?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.解(1)依题意可依次填表为:11、10、9、8、7.(2)S1=n2+(12-n)[n2-(n-1)2]=-n2+25n-12.①当n=2时,S1=-22+25×2-12=34,S2=12×12-34=110.所以S1∶S2=34∶110=17∶55.②若S1=S2,则有-n2+25n-12=×122,即n2-25n+84=0,解这个方程,得n1=4,n2=21(舍去).所以当n=4时,S1=S2.所以这样的n值是存在的.说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表,及时挖掘其中的隐含条件,对于求解第(3)小题,可以先假定问题的存在,进而构造一元二次方程,看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13 将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.解(1)设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段为(20-x)cm.则根据题意,得+=17,解得x1=16,x2=4,当x=16时,20-x=4,当x=4时,20-x=16,答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.(2)不能.理由是:不妨设剪成两段后其中一段为ycm,则另一段为(20-y)cm.则由题意得+=12,整理,得y2-20y+104=0,移项并配方,得(y-10)2=-4<0,所以此方程无解,即不能剪成两段使得面积和为12cm2.说明 本题的第(2)小问也可以运用求根公式中的b2-4ac来判定.若b2-4ac≥0,方程有两个实数根,若b2-4ac<0,方程没有实数根,本题中的b2-4ac=-16<0即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图7,在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.点E 在下底边BC上,点F在腰AB上.(1)若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,试用含x的代数式表示△BEF的面积;(2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在,求出此时BE的长;若不存在,请说明理由;(3)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分?若存在,求此时BE的长;若不存在,请说明理由.解(1)由已知条件得,梯形周长为12,高4,面积为28.过点F作FG⊥BC于G,过点A作AK⊥BC于K.则可得,FG=×4,所以S△BEF=BE·FG=-x2+x(7≤x≤10).(2)存在.由(1)得-x2+x=14,解这个方程,得x1=7,x2=5(不合题意,舍去),所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分,此时BE=7.(3)不存在.假设存在,显然有S△BEF∶S多边形AFECD =1∶2,即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)=1∶2.则有-x2+x=,整理,得3x2-24x+70=0,此时的求根公式中的b2-4ac=576-840<0,所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.说明 求解本题时应注意:一是要能正确确定x的取值范围;二是在求得x2=5时,并不属于7≤x≤10,应及时地舍去;三是处理第(3)个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律例15 在如图8中,每个正方形有边长为1 的小正方形组成:图8(1)观察图形,请填写下列表格:正方形边长1357…n(奇数)黑色小正方形个数…正方形边长2468…n(偶数)黑色小正方形个数…(2)在边长为n(n≥1)的正方形中,设黑色小正方形的个数为P1,白色小正方形的个数为P2,问是否存在偶数n,使P2=5P1?若存在,请写出n的值;若不存在,请说明理由.解(1)观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、…、n 时,黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n-1(奇数);正方形的边长为2、4、6、8、…、n 时,黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n(偶数).(2)由(1)可知n为偶数时P1=2n,所以P2=n2-2n.根据题意,得n2-2n=5×2n,即n2-12n=0,解得n1=12,n2=0(不合题意,舍去).所以存在偶数n=12,使得P2=5P1.说明 本题的第(2)小问是属于存在性问题,求解时,可以先假设结论存在,进而从中找到数量关系,使问题获解.综上所言,列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展,列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型,然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是:找出未知量与已知量之间的联系,从而将实际问题转化为方程模型,要善于将普通语言转化为代数式,在审题时,要特别注意关键词语,如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等,此外,还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系,如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.。

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