中考数学复习之正方形习题(含答案)

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初三数学中考复习正方形专题练习题含答案

2019 初三中考数学复习正方形专题练习题1. 已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A．BC＝CD B．AB＝CD C．AD＝BC D．AC＝BD2. 下列说法不正确的是( )A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的矩形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的菱形是正方形3. 在四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDC．AD∥BC，∠A＝∠CD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE ＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF5. 如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE的长为( )A．2 B．3 C．2 2 D．236. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.对角线互相平分B.内角和为360°C.对角线相等D.对角线平分内角7. 能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )A.一组对边平行，另一组对边相等B.一组对边平行，一组对角互补C.一组对角相等，一组邻角互补D.一组对角相等，另一组对角互补8. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A.对角线相等B.对角线垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线互相平分9. 正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A的坐标为(0，4)，点B坐标为(－3，0)，则点C的坐标为( )A．(1，3) B．(1，－3) C．(1，－4) D．(2，－4)10. 如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( ) A．4个 B．6个 C．8个 D．10个11. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是____________．12. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是____．13. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝_________________.14. 如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，且分别与AO，BO交于M，N，求证：(1)BM＝CN；(2)BM⊥CN.15. 如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连结DE.(1)求证：△ABE≌△DAF；(2)若AF ＝1，四边形ABED 的面积为6，求EF 的长．参考答案：1---10 ABBDC CCDBC11. 45°12. 4 13. 2－114. 解：(1)∵MN∥AB，∴∠OMN＝∠OAB，∠ONM ＝∠OBA，∵OA＝OB ，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OMN ＝∠ONM，∴OM＝ON ，∴AM＝OA －OM ＝OB －ON ＝BN ，在△ABM 和△BCN 中，⎩⎨⎧AB ＝BC∠MAB＝∠NBC AM ＝BN，∴△ABM≌△BCN(SAS)，∴BM＝CN(2)由△ABM≌△BCN 得，∠ABM＝∠BCN，又∵∠ABM＋∠CBM＝90°，∴∠BCN＋∠CBM＝90°，∴CN⊥BM15. 解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝AD ，∵DF⊥AG，BE⊥A G ，∴∠BAE＋∠DAF＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，在△ABE 和△DAF 中，⎩⎨⎧∠BAE＝∠ADF，∠AEB＝∠DFA，AB ＝AD ，∴△ABE≌△DAF(AAS)(2)设EF ＝x ，则AE ＝DF ＝x ＋1，由题意2×12×(x＋1)×1＋12×x×(x＋1)＝6，解得x ＝2或－5(舍弃)，∴EF＝2。

初三正方形典型题

正方形的典型题目
题目：在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF = (1/4)CD。

求证：∠EAF = 45°。

证明：
第一步，由题目信息，可知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA，且∠B=∠C=∠D=90°。

第二步，连接AC，取AC的中点为O，连接EO和FO。

第三步，根据正方形的性质，可知AC⊥BD，且AC、BD互相平分。

所以，EO为三角形ABC 的中位线，FO为三角形ADC的中位线。

第四步，由三角形中位线的性质，有EO=1/2AB，FO=1/2AD。

而AB=AD，所以EO=FO。

第五步，因为EO=FO，且O为AC的中点，所以∠EOF=90°。

又因为∠BAC=45°，所以∠EAF=∠EOF-∠BAC=45°。

综上，∠EAF = 45°。

这道题考察了正方形的性质、三角形中位线的性质以及角度的计算等知识点。

在解题过程中，我们巧妙地利用了正方形和三角形的性质来找到解题的突破口。

【2021中考数学分类训练】正方形及四边形综合问题含答案

2020-2021中考数学分类训练：正方形及四边形综合问题一、选择题1. 下列说法错误的是()A.平行四边形的对边相等B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形2. 下列说法，正确的个数有 ()①正方形既是菱形又是矩形;②有两个角是直角的四边形是矩形;③菱形的对角线相等;④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.A.1个B.2个C.3个D.4个3. 小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折()A.1次B.2次C.3次D.4次4. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是()A. 3B. 4C. 5D. 65. （2020·温州）如图，在R t△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为A．14 B．15 C．83D．56. 如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为()A . 2B . 3C . 2D . 17. 如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF ∥AD ，与AC 、DC 分别交于点G 、F ，H 为CG 的中点，连接DE 、EH 、DH 、FH.下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH ＋∠ADH ＝180°；③△EHF ≌△DHC ；④若AE AB ＝23，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有( ) A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个8. 已知在平面直角坐标系中放置了5个如图X3－1－10所示的正方形(用阴影表示)，点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3在x 轴上．若正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，则点A 3到x 轴的距离是( )A.3＋318B.3＋118C.3＋36D.3＋16二、填空题9. 将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到正方形FECG 的位置(如图)，使得点D 落在对角线CF 上，EF 与AD 相交于点H ，则HD= .(结果保留根号)10. 如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且E，A，B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是.11. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是.12. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，若△EFC的周长为12，则EC的长为.13. ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD为正方形．14. 如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则S正方形MNPQ S正方形AEFG的值等于________．15. 如图，正方形ABCD的边长为22，对角线AC，BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为________．16. 如图，正方形ABCD的面积为3 cm2，E为BC边上一点，∠BAE＝30°，F 为AE的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N.若MN＝AE，则AM的长等于________cm.三、解答题17. 【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题:如图①，点P是正方形ABCD内一点，P A=1，PB=2，PC=3，你能求出∠APB的度数吗?小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路:思路一:将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，求出∠APB的度数;思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP'，求出∠APB的度数.请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程.【类比探究】如图②，若点P是正方形ABCD外一点，P A=3，PB=1，PC=，求∠APB的度数.18. 已知正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F.(1)如图①，连接AF，若AB＝4，BE＝1，求证：△BCF≌△ABE；(2)如图②，连接BD，交AE于点N，连接AC，分别交BD、BF于点O、M，连接GO，求证：GO平分∠AGF；(3)如图③，在第(2)问的条件下，连接CG，若CG⊥GO，AG＝nCG，求n的值.19. 如图①，在四边形ABCD中，点P是AB上一点，点E在射线DP上，且∠BED＝∠BAD，连接AE.(1)若AB＝AD，在DP上截取点F，使得DF＝BE，连接AF，求证：△ABE≌△ADF；(2)如图②，若四边形ABCD是正方形，点P在AB的延长线上，BE＝1，AE＝32，求DE的长；(3)如图③，若四边形ABCD是矩形，AD＝2AB，点P在AB的延长线上，AE＝5 BE，若AE=nDE，求n的值.图①图②图③20. 如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点(与D，C不重合)，连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH.显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线.仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于180°的角的平分线)，并说明理由.答案一、选择题 1. 【答案】B2. 【答案】B3. 【答案】B4. 【答案】B【解析】设CH ＝x ，∵BE ∶EC ＝2∶1，BC ＝9，∴EC ＝3，由折叠可知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理得：(9－x )2＝32＋x 2，解得：x ＝4.5. 【答案】A 【解析】本题主要考查了相似三角形和正方形的性质，由题意知△CDP ∽△CBQ ，所以CDDPCB BQ =，即2CD CD PECB CB PE-=-，解得：BC ＝2CD ，所以CQ ＝2CP ，则CP ＝5，CQ ＝10，由于PQ ∥AB ，所以∠CBA ＝∠BCQ ＝∠DCP ，则tan ∠BCQ ＝tan ∠DCP ＝tan ∠CBA ＝12，不妨设DP ＝x ，则DC ＝2x ，在R t △DCP 中，22(2)25x x +=，解得x.∴DC ＝，BC ＝，所以AB ＝10，△ABC的斜边上的高＝4AC BC AB ⋅==,所以CR ＝14，所以因此本题选A ．6. 【答案】B【解析】∵AB ＝2，∴BF ＝2，又∵BM ＝12BC ＝1，由勾股定理得FM ＝FB 2－BM 2＝ 3.8. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫72，0D 解析：过小正方形的一个顶点D 3作FQ ⊥x 轴于点Q ，过点A 3作A 3F ⊥FQ 于点F .∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3， ∴∠B 3C 3E 4＝60°，∠D 1C 1E 1＝30°，∠E 2B 2C 2＝30°， ∴D 1E 1＝12D 1C 1＝12，∴D 1E 1＝B 2E 2＝12， ∴cos30°＝B 2E 2B 2C 2＝12B 2C 2，解得：B 2C 2＝33.∴B 3E 4＝36，cos30°＝B 3E 4B 3C 3.解得：B 3C 3＝13. 则D 3C 3＝13. 根据题意得出：∠D 3C 3Q ＝30°，∠C 3D 3Q ＝60°，∠A 3D 3F ＝30°，∴D 3Q ＝12×13＝16，FD 3＝D 3A 3·cos30°＝13×32＝36. 则点A 3到x 轴的距离FQ ＝D 3Q ＋FD 3＝16＋36＝3＋16. 二、填空题9. 【答案】-1 [解析]∵四边形ABCD 为正方形，∴CD=1，∠CDA=90°，∵边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到正方形FECG 的位置，使得点D 落在对角线CF 上， ∴CF=，∠CFE=45°，∴△DFH 为等腰直角三角形，∴DH=DF=CF -CD=-1.故答案为-1.10. 【答案】8[解析]∵四边形ACDF 是正方形，∴AC=AF ，∠CAF=90°，∴∠CAE +∠BAF=90°，又∠CAE +∠ECA=90°，∴∠ECA=∠BAF ，则在△ACE 和△F AB 中， ∵∴△ACE ≌△F AB (AAS)，∴AB=CE=4， ∴阴影部分的面积=AB ·CE=×4×4=8.11. 【答案】8[解析]如图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，OD=OB=OA=OC ， ∵AE=CF=2，∴OA -AE=OC -CF ，即OE=OF ，∴四边形BEDF 为平行四边形，且BD ⊥EF ， ∴四边形BEDF 为菱形，∴DE=DF=BE=BF ， ∵AC=BD=8，OE=OF==2，∴由勾股定理得:DE===2，∴四边形BEDF 的周长=4DE=4×2=8，故答案为:8.12. 【答案】5[解析]∵四边形ABCD 是正方形，AC 为对角线，∴∠F AE=45°，又∵EF ⊥AC ， ∴∠AFE=90°，∴∠AEF=45°， ∴EF=AF=3，∵△EFC 的周长为12， ∴FC=12-3-EC=9-EC ，在Rt △EFC 中，EC 2=EF 2+FC 2， ∴EC 2=9+(9-EC )2，解得EC=5.13. 【答案】∠BAD ＝90°(答案不唯一)【解析】∵▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，∴▱ABCD 是菱形，当∠BAD ＝90°时，菱形ABCD 为正方形．故可添加条件：∠BAD ＝90°.14. 【答案】89【解析】设BD ＝3a ，∠CDB ＝∠CBD ＝45°，且四边形PQMN 为正方形，∴DQ ＝PQ ＝QM ＝NM ＝MB ，∴正方形MNPQ 的边长为a ，正方形AEFG的对角线AF ＝12BD ＝32a ，∵正方形对角线互相垂直，∴S 正方形AEFG ＝12×32a×32a ＝98a 2，∴S 正方形MNPQ S 正方形AEFG ＝a 298a2＝89.15. 【答案】55【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∠AOF ＝∠BOE＝90°，∵AM ⊥BE ，∠AFO ＝∠BFM ，∴∠FAO ＝∠EBO ，在△AFO 和△BEO中，⎩⎨⎧∠AOF ＝∠BOE AO ＝BO ∠FAO ＝∠EBO，∴△AFO ≌△BEO(ASA )，∴FO ＝EO ，∵正方形ABCD的边长为22，E 是OC 的中点，∴FO ＝EO ＝1＝BF ，BO ＝2，∴在Rt △BOE 中，BE ＝12＋22＝5，由∠FBM ＝∠EBO ，∠FMB ＝∠EOB ，可得△BFM ∽△BEO ，∴FM EO ＝BF BE ，即FM 1＝15，∴FM ＝55.16. 【答案】233或33 【解析】如解图，过N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，AB ＝ 3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM 中，⎩⎨⎧AB ＝NG AE ＝NM，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL )，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG ＝60°，∴∠AFM ＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AF cos 30°＝132＝233 cm ，由对称性得到AM′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33 cm ，综上，AM 的长等于233或33 cm .解图三、解答题17. 【答案】[解析]将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°得到△P'BA ，连接PP'，得到等腰直角三角形BP'P ，从而得到PP'=2，∠BPP'=45°，又AP'=CP=3，AP=1，∴AP 2+P'P 2=1+8=9=P'A 2，∴根据勾股定理的逆定理得∠APP'=90°，从而求出∠APB=45°+90°=135°.将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△P'BA ，连接PP'，方法和上述类似，求出∠APB=45°.解:【问题解决】如图①，将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△P'BA ，连接PP'.①∵P'B=PB=2，∠P'BP=90°，∴PP'=2，∠BPP'=45°.又AP'=CP=3，AP=1，∴AP 2+P'P 2=1+8=9=P'A 2，∴∠APP'=90°，∴∠APB=45°+90°=135°.【类比探究】如图②，将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△P'BA ，连接PP'.②∵P'B=PB=1，∠P'BP=90°，∴PP'=，∠BPP'=45°.又AP'=CP=，AP=3， ∴AP 2+P'P 2=9+2=11=P'A 2，∴∠APP'=90°，∴∠APB=90°-45°=45°.18. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ＝AD ＝AB ＝4，∠ABE ＝∠C ＝∠D ＝90°，∴∠ABG ＋∠CBF ＝90°，∵BF ⊥AE ，∴∠ABG ＋∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠CBF ，在△BCF 和△ABE 中，⎩⎨⎧∠C ＝∠ABEBC ＝AB∠CBF ＝∠BAE， ∴△BCF ≌△ABE (ASA)；(2)证明：∵AC ⊥BD ，BF ⊥AE ，∴∠AOB ＝∠AGB ＝∠AGF ＝90°，∴A 、B 、G 、O 四点共圆，∴∠AGO ＝∠ABO ＝45°，∴∠FGO ＝90°－45°＝45°＝∠AGO ，∴GO 平分∠AGF ；(3)解：如解图，连接EF ，解图∵CG ⊥GO ，∴∠OGC ＝90°，∵∠EGF ＝∠BCD ＝90°，∴∠EGF ＋∠BCD ＝180°，∴C 、E 、G 、F 四点共圆，∴∠EFC ＝∠EGC ＝180°－90°－45°＝45°，∴△CEF 是等腰直角三角形，∴CE ＝CF ，同(1)得△BCF ≌△ABE ，∴CF ＝BE ，∴CE ＝BE ＝12 BC ， ∴OA ＝12 AC ＝ 22BC ＝ 2CE ，由(2)得A 、B 、G 、O 四点共圆，∴∠BOG ＝∠BAE ，∵∠GEC ＝90°＋∠BAE ，∠GOA ＝90°＋∠BOG ，∴∠GOA ＝∠GEC ，又∵∠EGC ＝∠AGO ＝45°，∴△AOG ∽△CEG ，∴AG CG ＝OA CE ＝2，∴AG ＝ 2 CG ，∴n = 2 .19. 【答案】(1)证明：∵∠BED ＝∠BAD ，∠BPE ＝∠DP A ，∴∠ABE ＝∠ADF ，又∵AB ＝AD ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF ；(2)解：如解图①，延长ED 到点F ，使得DF ＝BE ，连接AF ，解图①∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝∠BED ＝∠BEP ，∵∠P ＝∠P ，∴∠PBE ＝∠ADP ，∴∠ABE ＝∠ADF ，∵BE ＝DF ，AB ＝AD ，∴△ABE ≌△ADF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠F AD ，∴∠F AD ＋∠EAD ＝∠BAE ＋∠EAD ＝90°，∴EF ＝2AE ＝32×2＝6，∴DE ＝EF －DF ＝EF －BE ＝6－1＝5；(3)解：如解图②，过点A 作AF ⊥AE 交ED 的延长线于点F ，解图②∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠BED ＝∠BEP ＝90°， ∵AF ⊥AE ，∠P ＝∠P ，∴∠PBE ＝∠ADP ，∠EAB ＝90°－∠EAD ＝∠F AD ，∴∠ABE ＝180°－∠PBE ＝180°－∠ADP ＝∠ADF ，∴△ABE ∽△ADF ， ∴，21===AF AE DF BE AD AB ∴AF ＝2AE ，DF ＝2BE ，在Rt △AEF 中，由勾股定理得EF 22AE AF +=5AE ，∵AE ＝5BE ，∴EF ＝5AE ＝5·5BE ＝5BE ，∴AE DE ＝53，∴n =53.[解析]过点H 作HN ⊥BM 于N ，利用正方形的性质及轴对称的性质，证明△ABG ≌△AFG ，可推出AG 是∠BAF 的平分线，GA 是∠BGF 的平分线;证明△ABG ≌△GNH ，推出HN=CN ，得到∠DCH=∠NCH ，推出CH 是∠DCM 的平分线;再证∠HGN=∠EGH ，可知GH 是∠EGM 的平分线.解:过点H作HN⊥BM于N，则∠HNC=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB=BC，∠D=∠DAB=∠B=∠DCB=∠DCM=90°.①∵将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，∴△ADE≌△AFE，∴∠D=∠AFE=∠AFG=90°，AD=AF，∠DAE=∠F AE，∴AF=AB.又∵AG=AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，∴∠BAG=∠F AG，∠AGB=∠AGF，∴AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线.②由①知，∠DAE=∠F AE，∠BAG=∠F AG，又∵∠BAD=90°，∴∠GAF+∠EAF=×90°=45°，即∠GAH=45°.∵GH⊥AG，∴∠GHA=90°-∠GAH=45°，∴△AGH为等腰直角三角形，∴AG=GH.∵∠AGB+∠BAG=90°，∠AGB+∠HGN=90°，∴∠BAG=∠NGH.又∵∠B=∠HNG=90°，AG=GH，∴△ABG≌△GNH(AAS)，∴BG=NH，AB=GN，∴BC=GN.∴BC-CG=GN-CG，∴BG=CN，∴CN=HN.∵∠HNC=90°，∴∠NCH=∠NHC=×90°=45°，∴∠DCH=∠DCM-∠NCH=45°，∴∠DCH=∠NCH，∴CH是∠DCM的平分线.③∵∠AGB+∠HGN=90°，∠AGF+∠EGH=90°，由①知，∠AGB=∠AGF，∴∠HGN=∠EGH，∴GH是∠EGM的平分线.综上所述，AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线，CH是∠DCM的平分线，GH是∠EGM的平分线.。

2019年中考数学专题复习27——正方形(含答案解析)

2019年中考数学专题复习27——正方形（含答案解析）一、选择题1. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是原点，若点的坐标为，则点的坐标为2. 若正方形的周长为A. B. C. D.3.C. D.4. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，于点，那么A. B. C. D.5. 如图，在正方形外侧，作等边三角形，，相交于点，则A. B. C. D.6. 如图，正方形的边长为，点在对角线上，且，，垂足为，则A. B. C. D.7. 如图，在边长为的正方形中，为上一点，连接．过点作，交于点，若，则A. B. C. D.8. 如图，正方形的边长为，在的延长线上，四边形也为正方形，则A. B. C. D.9. 如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使A. B. C. D.10. 如图，将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点，，，分别是正方形的中心，则这A. B. C. D.二、填空题11. 如图，已知，相邻两条平行线间的距离都相等，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，与交于点，则与正方形的面积之比为．12. 如图，在正方形中，为对角线，点在边上，于点，连接，，的周长为，则的长为．13. 如图，边长为的正方形的对角线相交于点，过点的直线分别交，于，，则阴影部分的面积是．14. 如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，则点的旋转路径长为（结果保留）．15. 如图，是正方形的一条对称轴，点是直线上的一个动点，当最小时，16. 处，沿角画线，将正方形纸片分成部分，则中间一块阴影部分的面积为．17. 如图，正方形的边长为，点是对角线、的交点，点是的中点，连接．过点作，垂足是，连接，则的长为．18. 正方形，，，，按如图所示的方式放置．点，，，，和点，，，，分别在直线和轴上，已知点，，则点的坐标是．19. 如图，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，点，，都在对角线上，且四边形和均为正方形，则的值等于．20. 如图，正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，与相交于点，延长交于点．若正方形边长为，则．三、解答题21. 如图5，正方形的边长为，是对角线，平分，．（1）求证：．（2）求的长．22. 如图，正方形中，点在对角线上，连接、．（1）求证：；（2）延长交于点，若，求的度数．23. 如图，在正方形中，等边三角形的顶点，分别在和上．（1）求证：；（2）若等边三角形的边长为，求正方形的周长．24. 如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点．（1）求证：；（2）判断与的位置关系，并说明理由；25. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求证：四边形是正方形．26. 已知：如图，平行四边形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点．（1）求证：；（2）连接，，当时，四边形是正方形?请说明理由．27. 中，，，点为直线上一动点（点不与，重合），以为边在右侧作正方形，连接．（1）观察猜想如图1，当点在线段上时，①与的位置关系为：．②，，之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点在线段的延长线上时，结论①，②是否仍然成立?若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点在线段的延长线上时，延长交于点，连接．若已知，，请求出的长．28. 如图，已知是的角平分线，交与点，交与点．（1）求证：四边形是菱形；（2）当满足什么条件时，四边形是正方形?并说明理由．29. 如图，在中，，是边上一点，，，垂足分别是，，．（1）求证：；（2）若，求证：四边形是正方形．30. 在正方形中，对角线，交于点，点在线段上（不含点），，交于点，过点作，垂足为，交于点．（1）当点与点重合时（如图）．求证：；（2）结合图，通过观察、测量、猜想：，并证明你的猜想；（3）把正方形改为菱形，其他条件不变（如图），若，，直接写出的值．答案第一部分1. C 【解析】如图，过点作于点．是正方形，易证，，，所以．2. C3. A ，边长为，面积为．4. A 【解析】提示：连接，，延长交于点．易证，，，．，．5. C【解析】，的角度可求，为的外角．6. C 【解析】连接交于．四边形为正方形，，，．又，，．．7. C 【解析】．8. D 【解析】设正方形的边长为，则9. A 【解析】点关于的对称点为，连接于交于一点，即为满足条件的点，此时则．由正方形的面积为，可求出．10. B，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和．第二部分11.12.【解析】设，根据正方形的性质及题意知，由的周长为，得，根据勾股定理得，解得．13.14.15.【解析】连接，交于点，此时最小，．16.【解析】延长小正方形的一边，与大正方形的一边交于点，连接，为直角边长为的等腰直角三角形，，阴影正方形的边长，阴影正方形的面积为：．17.【解析】在上截取，连接．四边形是正方形，，，．中，，．．在与中，．，．．在中，，，．．根据射影定理得：，则．解得：．．，．．在等腰直角中，，．18.【解析】点，且四边形，，为正方形，，，．．的坐标是．【解析】连接，四边形和四边形是正方形，．由旋转的性质得：，，．在和中，．，，，，．在中，，，．第三部分21. （1）证明：，；平分故又在中，故则（2）正方形的边长为对角线由（1）得，22. （1）正方形中，为对角线上一点，，．，（）．（2）由全等可知，．在中，，在正方形中，，有．23. （1）四边形是正方形，，．是等边三角形，，，．，．（2）在中，．设正方形的边长为，则，解得．正方形的周长．24. （1）四边形，四边形都是正方形，，，．．在和中．．（2）．，．，，，．25. （1）四边形是平行四边形，．是等边三角形，，即，四边形是菱形．（2）是等边三角形，．，．，，．四边形是菱形，，四边形是正方形．26. （1）四边形是平行四边形，．，．又，．（2）当时，四边形是正方形．，．又，四边形是平行四边形．，，．四边形是平行四边形，，．．平行四边形是菱形．，，．菱形是正方形．27. （1）①垂直．正方形中，，，.在与中..，即．②．，.，．（2）①成立②不成立．正方形中，，，.在与中，.， .，，..，即 .，．（3）过作于，过作于，于 .，，...由（2）证得，，四边形是正方形，， .，，，四边形是矩形.， .，..在与中，.， .， .，.是等腰直角三角形...．28. （1），，，．四边形是平行四边形．．又是的角平分线，．．四边形是菱形．（2）由（1）知，四边形是菱形．当四边形是正方形时，，即，的时，四边形是正方形．29. （1），，，，，，，，，，垂足分别是，，，在和中，．（2），，，，是边上的高，，，，，，，，四边形是矩形，，矩形是正方形．30. （1）四边形是正方形，与重合，，．，，，．．．（2如图，过作交于，交于．，．，．．，，．（）．．，，．，．又，（）．，即．，即．（3）．【解析】如图，过作交于，交于．，，．由（2）同理可得：，．，．．、为菱形对角线，，，．．．．．。

中考数学复习----《正方形的性质》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《正方形的性质》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2.正方形的性质：①具有平行四边形的一切性质。

②具有矩形与菱形的一切性质。

所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。

对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。

正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。

对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组对边中点的直线也是对称轴。

练习题1．（2022•黄石）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，2）【分析】连接OB，由正方形的性质和勾股定理得OB＝2，再由旋转的性质得B1在y轴正半轴上，且OB1＝OB＝2，即可得出结论．【解答】解：如图，连接OB，∵正方形OABC的边长为，∴OC＝BC＝，∠BCO＝90°，∠BOC＝45°，∴OB＝＝＝2，∵将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°后点B旋转到B1的位置，∴B 1在y 轴正半轴上，且OB 1＝OB ＝2，∴点B 1的坐标为（0，2），故选：D ．2．（2022•广州）如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 在边CD 上，且CE ＝1，∠ABE 的平分线交AD 于点F ，点M ，N 分别是BE ，BF 的中点，则MN 的长为（）A ．26B ．23C ．2﹣3D ．226− 【分析】连接EF ，由正方形ABCD 的面积为3，CE ＝1，可得DE ＝﹣1，tan ∠EBC ＝＝＝，即得∠EBC ＝30°，又AF 平分∠ABE ，可得∠ABF ＝∠ABE ＝30°，故AF ＝＝1，DF ＝AD ﹣AF ＝﹣1，可知EF ＝DE ＝×（﹣1）＝﹣，而M ，N 分别是BE ，BF 的中点，即得MN ＝EF ＝．【解答】解：连接EF ，如图：∵正方形ABCD 的面积为3，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝，∵CE ＝1，∴DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，∵AF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠ABE＝30°，在Rt△ABF中，AF＝＝1，∴DF＝AD﹣AF＝﹣1，∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，∵M，N分别是BE，BF的中点，∴MN是△BEF的中位线，∴MN＝EF＝．故选：D．3．（2022•贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（）A．4B．8C．12D．16【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，然后即可得到小正方形的周长．【解答】解：由题意可得，小正方形的边长为3﹣1＝2，∴小正方形的周长为2×4＝8，故选：B．4．（2022•青岛）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE 的长度为（）A ．26B ．6C ．22D ．23【分析】首先利用正方形的性质可以求出AC ，然后利用等边三角形的性质可求出OE ．【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，∴AC ＝2，∵O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形，∴∠AOE ＝90°，∴AC ＝AE ＝2，AO ＝，∴OE ＝×＝．故选：B ．5．（2022•泰州）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为与点D 不重合的动点，以DE 为一边作正方形DEFG ．设DE ＝d 1，点F 、G 与点C 的距离分别为d 2、d 3，则d 1+d 2+d 3的最小值为（）A ．2B ．2C ．22D ．4【分析】连接AE ，那么，AE ＝CG ，所以这三个d 的和就是AE +EF +FC ，所以大于等于AC ，故当AEFC 四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．【解答】解：如图，连接AE ，∵四边形DEFG 是正方形，∴∠EDG ＝90°，EF ＝DE ＝DG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDG ，∴△ADE ≌△CDG （SAS ），∴AE ＝CG ，∴d 1+d 2+d 3＝EF +CF +AE ，∴点A ，E ，F ，C 在同一条线上时，EF +CF +AE 最小，即d 1+d 2+d 3最小，连接AC ，∴d 1+d 2+d 3最小值为AC ，在Rt △ABC 中，AC ＝AB ＝2，∴d 1+d 2+d 3最小＝AC ＝2，故选：C ．6．（2022•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC 的外侧作正方形ABED ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，则DF 的长为（）A ．23+2B ．5﹣33C ．3﹣3D ．3+1【分析】方法一：如图，延长DA 、BC 交于点G ，利用正方形性质和等边三角形性质可得：∠BAG ＝90°，AB ＝2，∠ABC ＝60°，运用解直角三角形可得AG ＝2，DG ＝2+2，再求得∠G ＝30°，根据直角三角形性质得出答案．方法二：过点E 作EG ⊥DF 于点G ，作EH ⊥BC 于点H ，利用解直角三角形可得EH ＝1，BH ＝，再证明△BEH ≌△DEG ，可得DG ＝BH ＝，即可求得答案．【解答】解：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，∵四边形ABED是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝2，∴DG＝AD+AG＝2+2，∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，∴DF＝DG＝×（2+2）＝1+，故选D．方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠DGE＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABED是正方形，∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2×＝1，BH＝BE•cos∠EBH＝2cos30°＝，∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，∴四边形EGFH是矩形，∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，∵∠DEG+∠BEG＝90°，∴∠BEH＝∠DEG，在△BEH和△DEG中，，∴△BEH≌△DEG（AAS），∴DG＝BH＝，∴DF＝DG+FG＝+1，故选：D．7．（2022•随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有（）①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的．A．只有①B．①②C．①③D．②③【分析】①利用正方形的性质和中位线的性质可以解决问题；②利用①的结论可以证明OM≠MP解决问题；③如图，过M作MG⊥BC于G，设AB＝BC＝x，利用正方形的性质与中位线的性质分别求出BE和MG即可判定是否正确．【解答】解：①如图，∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF为△CBD的中位线，∴EF∥BD，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∵四边形ABCD为正方形，∴A、O、P、C在同一条直线上，∴△ABC、△ACD、△ABD、△BCD、△OAB、△OAD、△OBC、△OCD、△EFC都是等腰直角三角形，∵M，N分别为BO，DO的中点，∴MP∥BC，NF∥OC，∴△DNF、△OMP也是等腰直角三角形．故①正确；②根据①得OM＝BM＝PM，∴BM≠PM∴四边形MPEB不可能是菱形．故②错误；③∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF∥BD，EF＝BD，∵四边形ABCD是正方形，且设AB＝BC＝x，∴BD＝x，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∴BO＝OD，∴点P在AC上，∴PE＝EF，∴PE＝BM，∴四边形BMPE是平行四边形，∴BO＝BD，∵M为BO的中点，∴BM＝BD＝x，∵E为BC的中点，∴BE＝BC＝x，过M作MG⊥BC于G，∴MG＝BM＝x，∴四边形BMPE的面积＝BE•MG＝x2，∴四边形BMPE的面积占正方形ABCD面积的．∵E、F是BC，CD的中点，∴S△CEF＝S△CBD＝S四边形ABCD，∴四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的（1﹣﹣﹣）＝．故③正确．故选：C．8．（2022•宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．正方形纸片的面积B．四边形EFGH的面积C．△BEF的面积D．△AEH的面积【分析】根据题意设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，可得AP＝x+y，先用面积差表示图中阴影部分的面积，并化简，再用字母分别表示出图形四个选项的面积，可得出正确的选项．【解答】解：设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等，∴2AP+2（x﹣y）＝4x，∴AP＝x+y，∵图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣2△ADH﹣2S△AEB＝（2x+y）（2x﹣y）﹣2×•（x﹣y）（2x+y）﹣2×•（2x﹣y）•x＝4x2﹣y2﹣（2x2+xy﹣2xy﹣y2）﹣（2x2﹣xy）＝4x2﹣y2﹣2x2+xy+y2﹣2x2+xy＝2xy，A、正方形纸片的面积＝x2，故A不符合题意；B、四边形EFGH的面积＝y2，故B不符合题意；C、△BEF的面积＝•EF•BQ＝xy，故C符合题意；D、△AEH的面积＝•EH•AM＝y（x﹣y）＝xy﹣y2，故D不符合题意；故选：C．9．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（）A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到∠ADF的度数，从而可以求得∠CDF的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，在△DAF和△ABE中，，△DAF≌△ABE（SAS），∠ADF＝∠BAE，∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，∴∠ADF＝22.5°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，故选：C．10．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∵∠AFE＝25°，∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，∴∠F AO＝20°．在△AOF和△BOE中，，∴△AOF ≌△BOE （SAS ）．∴∠F AO ＝∠EBO ＝20°，∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等腰直角三角形，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∴∠CBE ＝∠EBO +∠OBC ＝65°．故选：C ．11．（2022•益阳）如图，将边长为3的正方形ABCD 沿其对角线AC 平移，使A 的对应点A ′满足AA ′＝31AC ，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是．【分析】由正方形边长为3，可求AC ＝3，则AA ′＝AC ＝，由平移可得重叠部分是正方形，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积．【解答】解：∵正方形ABCD 的边长为3，∴AC ＝3，∴AA ′＝AC ＝， ∴A ′C ＝2，由题意可得重叠部分是正方形，且边长为2，∴S 重叠部分＝4．故答案为：4．12．（2022•海南）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，AE ＝AF ，∠EAF ＝30°，则∠AEB ＝ °；若△AEF 的面积等于1，则AB 的值是．【分析】利用“HL”先说明△ABE与△ADF全等，得结论∠BAE＝∠DAF，再利用角的和差关系及三角形的内角和定理求出∠AEB；先利用三角形的面积求出AE，再利用直角三角形的边角间关系求出AB．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．∴∠BAE＝∠DAF．∴∠BAE＝（∠BAD﹣∠EAF）＝（90°﹣30°）＝30°．∴∠AEB＝60°．故答案为：60．过点F作FG⊥AE，垂足为G．∵sin∠EAF＝，∴FG＝sin∠EAF×AF．∵S△AEF＝×AE×FG＝×AE×AF×sin∠EAF＝1，∴×AE2×sin30°＝1．即×AE2×＝1．∴AE＝2．在Rt△ABE中，∵cos∠BAE＝，∴AB＝cos30°×AE＝×2＝．故答案为：．13．（2022•广西）如图，在正方形ABCD中，AB＝42，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是．【分析】作辅助线，构建全等三角形，先根据翻折的性质得△EGH'≌△EGH，所以△EGH′的周长＝△EGH的周长，接下来计算△EGH的三边即可；证明△BME≌△FNE（ASA）和△BEO≌△EFP（AAS），得OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，利用三角函数和勾股定理分别计算EG，GH和EH的长，相加可得结论．【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥CD于N，过点F作FP⊥AC于P，连接GH，∵将△EFH沿EF翻折得到△EFH′，∴△EGH'≌△EGH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，∴BD＝BC＝8，△CPF是等腰直角三角形，∵F是CD的中点，∴CF＝CD＝2，∴CP＝PF＝2，OB＝BD＝4，∵∠ACD＝∠ACB，EM⊥BC，EN⊥CD，∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴∠MEN＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∴∠BEM＝∠FEN，∵∠BME＝∠FNE，∴△BME≌△FNE（ASA），∴EB＝EF，∵∠BEO+∠PEF＝∠PEF+∠EFP＝90°，∴∠BEO＝∠EFP，∵∠BOE＝∠EPF＝90°，∴△BEO≌△EFP（AAS），∴OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，∵tan∠OEG＝＝，即＝，∴OG＝1，∴EG＝＝，∵OB∥FP，∴∠OBH＝∠PFH，∴tan∠OBH＝tan∠PFH，∴＝，∴＝＝2，∴OH＝2PH，∵OP＝OC﹣PC＝4﹣2＝2，∴OH＝×2＝，在Rt△OGH中，由勾股定理得：GH＝＝，∴△EGH′的周长＝△EGH的周长＝EH+EG+GH＝2+++＝5+．故答案为：5+．14．（2022•无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE 且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝．【分析】设CG＝x，则BG＝8﹣x，根据勾股定理可得AB2+BG2＝CE2+CG2，可求得x 的值，进而求出BG的长．【解答】解：连接AG，EG，∵E是CD的中点，∴DE＝CE＝4，设CG＝x，则BG＝8﹣x，在Rt△ABG和Rt△GCE中，根据勾股定理，得AB2+BG2＝CE2+CG2，即82+（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝7，∴BG＝BC﹣CG＝8﹣7＝1．故答案是：1．15．（2022•江西）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为．【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，则长方形的对角线长＝＝．故答案为：．。

中考数学专题复习(有答案)正方形

第3节正方形A 组1．若一个正方形的面积是12，则它的边长是( A )A ．2 3B ．3C ．3 2D ．42．下列判定错误的是( B )A ．平行四边形的对边相等B ．对角线相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D ．正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形3．E 为正方形ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形，则∠AEB 的度数是( D )A ．55°B ．60°C ．65°D ．75°第3题图第4题图4．如图，顶点重合的两个大小完全相同的边长为3的正方形ABCD 和正方形AB ′C ′D ′，∠DAD ′＝45°，边BC 与D ′C ′交于点O ，则四边形ABOD ′的周长是( B )A ．6B ．6 2C ．3 2D ．3＋325．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G .若BC ＝4，DE ＝AF ＝1，则GF 的长为( A )A.135B ．125C ．195D ．165第5题图第6题图B 组6．(2020包头)如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上一点，AE 的延长线交CD 于点F ，连接CE .若∠BAE ＝56°，则∠CEF ＝ 22° ．7．(2020河南)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，边BC 在x 轴上，顶点A ，B 的坐标分别为(－2，6)和(7，0)．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为( B )A.⎝⎛⎭⎫32，2B ．(2，2)C ．⎝⎛⎭⎫114，2D ．(4，2)第7题图第8题图8．(2020攀枝花)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE ，AF 交于点G ，AF 的中点为H ，连接BG ，DH .给出下列结论：①AF ⊥DE ；②DG ＝85；③HD ∥BG ；④△ABG ∽△DHF .其中正确的结论有 ①④ ．(请填上所有正确结论的序号)C 组9．(2020张家界)如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 位置，使得点B 落在对角线CF 上，求阴影部分的面积．解：∵正方形ABCD 的边长为1，点B 落在对角线CF 上，∴EF ＝CE ＝1.∴CF ＝ 2.∴BF ＝2－1.∵∠BFE ＝45°，∴阴影部分的面积＝12×1×1－12×(2－1)2＝2－1.。

2021年九年级数学中考一轮复习正方形的判定与性质中考真题演练2(附答案)

2021年九年级数学中考一轮复习正方形的判定与性质中考真题演练2（附答案）1．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），请你直接写出BM、DN和MN的数量关系：__________．（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请写出直接写出结论．2．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF ∥DE，且交AG于点F．（1）求证：AF﹣BF＝EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．3．已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．求证：CE＝DF．4．如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．5．如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．6．如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．7．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF＝CE．（1）求证：DE＝DF；（2）当∠A＝90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，并证明你的结论．8．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=22，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．9．如图（1），已知四边形ABCD的四条边相等，四个内角都等于90°，点E是CD边上一点，F是BC边上一点，且∠EAF=45°．（1）求证：BF+DE=EF；（2）若AB=6，设BF=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）过点A作AH⊥FE于点H，如图（2），当FH=2，EH=1时，求△AFE的面积．10．取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：如图1，先把正方形ABCD对折，折痕为MN．第二步：点G在线段 MD上，将△GCD沿GC翻折，点D恰好落在MN上，记为点P，连接BP．（1）判断△PBC的形状，并说明理由；（2）作点C关于直线AP的对称点C′，连接PC′、DC′．①在图2中补全图形，并求出∠APC′的度数；②猜想∠PC′D的度数，并加以证明；（温馨提示：当你遇到困难时，不妨连接AC′、CC′，研究图形中特殊的三角形）11．问题提出(1)如图1，将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，线段PB和线段PE相等吗？请证明；问题探究(2)如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．12．综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，AD=2AB ，E 是AB 延长线上一点，且BE=AB ，连接DE ，交BC 于点M ，以DE 为一边在DE 的左下方作正方形DEFG ，连接AM ．试判断线段AM 与DE 的位置关系．探究展示：勤奋小组发现，AM 垂直平分DE ，并展示了如下的证明方法：证明：∵BE=AB ，∴AE=2AB ．∵AD=2AB ，∴AD=AE ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ． ∴EM EB DM AB=．（依据1） ∵BE=AB ，∴1EM DM =．∴EM=DM ．即AM 是△ADE 的DE 边上的中线，又∵AD=AE ，∴AM ⊥DE ．（依据2）∴AM 垂直平分DE ．反思交流：（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？②试判断图1中的点A 是否在线段GF 的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE ，以CE 为一边在CE 的左下方作正方形CEFG ，发现点G 在线段BC 的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现：（3）如图3，连接CE ，以CE 为一边在CE 的右上方作正方形CEFG ，可以发现点C ，点B 都在线段AE 的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD 和正方形CEFG 的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．参考答案1.解：（1）BM+DN=MN．理由如下：如图4，把△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，则由题意可得：点C、B、F三点共线，∴由旋转的性质可得：BF=DN，AF=AN，∠BAF=∠DAN，∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠BAF+∠BAM=45°=∠MAF=∠MAN，又∵AM=AM，∴△AMF≌△AMN，∴MF=MN，又∵MF=BM+BF，BF=DN，∴MN=BM+DN；（2）成立，理由如下：如图5，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可得E、B、M三点共线．∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，AE=AN，BE=DN，又∵∠NAM=45°，∴∠EAM=∠NAM，∴在△AEM与△ANM中，，∴ME=MN，∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；（3）DN-BM=MN．理由如下：如图6，在DC上截取DE=BM，连接AE，∵∠ADE=∠ABM=90°，AD=AB，∴△ADE≌△ABM，∴AE=AM，∠DAE=∠BAM，∵∠BAM+∠BAN=∠MAN=45°，∴∠DAE+∠BAN=45°，∴∠EAN=90°-∠DAE-∠BAN=45°=∠MAN，又∵AN=AN，∴△EAN≌△MAN，∴EN=MN，又∵DN-DE=EN，∴DN-BM=MN.2．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，∵DE⊥AG，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，又∵BF∥DE，∴∠BFA＝90°＝∠AED，∴AE＝BF，∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；（2）不可能，理由是：如图，若要四边形BFDE是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，∵DE＝AF，∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，而点G不与B和C重合，∴∠BAF≠45°，矛盾，∴四边形BFDE不可能是平行四边形．3．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，∴∠DOF+∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），∴CE＝DF．4．解：（1）设正方形CEFG的边长为a，∵正方形ABCD的边长为1，∴DE＝1﹣a，∵S1＝S2，∴a2＝1×（1﹣a），解得，（舍去），，即线段CE的长是；（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC＝1，∴CH＝0.5，∴DH＝＝，∵CH＝0.5，CG＝，∴HG＝，∴HD＝HG．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．理由：∵四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形．或：∵四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形．6．（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴2∠COD+2∠COF＝180°，∴∠COD+∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三合一”的性质），∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°∴四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．7．（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°，在Rt△BDF和Rt△CDE中，∵，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），∴DE＝DF；（2）答：四边形AFDE是正方形．证明：∵∠A＝90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF＝DE，∴四边形AFDE是正方形．22.解：①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∠ECN=45°，∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且NE=NC，∴四边形EMCN为正方形．∵四边形DEFG是矩形，∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，∴∠DEN=∠MEF，又∠DNE=∠FME=90°．在△DEN和△FEM中，∵∠DNE=∠FME，EN=EM，∠DEN=∠FEM，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED=EF，∴矩形DEFG为正方形，②CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°．∵四边形ABCD是正方形，∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDG．在△ADE和△CDG中，∵AD=CD，∠ADE=∠CDG，DE=DG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE=CG，∴AC=AE+CE=2AB=2×22=4，∴CE+CG=4 是定值．解:（1）如图1中，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠BAF+∠BAH=∠BAF+∠DAE=45°，∴∠FAH=∠FAE=45°，∵AF=AF，AH=AE，∴△AFH≌△AFE（SAS），∴EF=FH，∵FH=BH+BF=DE+BF，∴EF=BF+DE；（2）∵AB=BC=CD=6，BF=x，DE=y，∴EF=x+y，FC=6=﹣x，EC=6﹣y，在Rt△ECF中，∵EF2=CF2+EC2，∴（x+y）2=（6﹣x）2+（6﹣y）2，∴y=3662+6xx（0≤x≤6）；（3）如图2中，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM．由（1）可知△AFM≌△AFH，∵AB⊥FM，AH⊥EF，∴AB=AH，设AB=BC=CD=AD=x，∵∠ABF=∠AHF=90°，∵AF=AF．AB=AH，∴Rt△AFB≌Rt△AFH（HL），∴BF=FH=2，同理可证：DE=EH=1，∴CF=x﹣2，EC=x﹣1，在Rt△ECF中，∵EF2=CF2+EC2，∴32=（x﹣2）2+（x﹣1）2，∴x=317 +或317-（舍弃），∴S△AEF=12•EF•AH=12317+9317+8.解：（1）△PBC是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠ABC=90°，由折叠的性质得：BN=NC=12BC=12PC，MN⊥BC，∴PB=PC，∠PNC=90°，在Rt△PNC中，sin∠NPC=12NCPC=，∴∠NPC=30°，∴∠PCB=60°，∴△PBC是等边三角形；（2）①补全图形如图2所示：由①得：∠PCB=∠PBC=∠BPC=60°，PB=PC=BC，∵∠ABC=90°，∴∠ABP=90°﹣60°=30°，∵AB=BC，∴AB=PB，∴∠BAP=∠BPA=12(180°-∠PBC)=75°，∴∠APC=∠BPA+∠BPC=75°+60°=135°，∵C关于直线AP的对称点为C′，∴∠APC'=∠APC=135°；②连接AC'，CC'，如图3所示：由对称的性质得：AC=AC'，∠CAP=∠C'AP=30°，∴∠CAC'=60°，∴△CAC'是等边三角形，∴AC'=CC'，∠AC'C=60°，在△AC'D 和△CC'D 中，{AC CC AD CDC D C D=='='''， ∴△AC'D ≌△CC'D （SSS ），∴∠AC'D=∠CC'D=12∠AC'C=30°， ∵∠AC'P=∠ACP=15°，∴∠PC'D=15°．9.解：(1)如图1，过点P 作PM ⊥BC ，PN ⊥CD ，垂足分别为M ，N ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BCD ＝90°，AC 平分∠BCD ，∵PM ⊥BC ，PN ⊥CD ，∴四边形PMCN 为正方形，PM ＝PN ，∵∠BPE ＝90°，∠BCD ＝90°，∴∠PBC ＋∠CEP ＝180°，而∠CEP ＋∠PEN ＝180°，∴∠PBM ＝∠PEN ，在△PBM 和△PEN 中， { PBM PEN PMB PNE PM PN∠=∠∠=∠= ∴△PBM ≌△PEN(AAS)，∴PB ＝PE(2)如图2，PB ＝PE 还成立．理由如下：过点P 作PM ⊥BC ，PN ⊥CD ，垂足分别为M ，N ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BCD ＝90°，AC 平分∠BCD ，∵PM ⊥BC ，PN ⊥CD ，∴四边形PMCN 为正方形，PM ＝PN ，∴∠MPN ＝90°，∵∠BPE ＝90°，∠BCD ＝90°，∴∠BPM ＋∠MPE ＝90°，而∠MPE ＋∠EPN ＝90°，∴∠BPM ＝∠EPN ，在△PBM 和△PEN 中， { PMB PNE PM PN BPM EPN∠=∠=∠=∠∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE (3)如图3，PB＝PE还成立．理由如下：过点P作PM⊥BC交BC 的延长线于点M，PN⊥CD的延长线于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，AC 平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边形PMCN为正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BPM＋∠BPN＝90°，而∠BPN＋∠EPN＝90°，∴∠BPM＝∠EPN，在△PBM和△PEN中，{PMB PNEPM PNBPM EPN∠=∠=∠=∠∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE12．解：由问题情景知，AM⊥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴DE∥FG，∴点A在线段GF的垂直平分线上．（2）证明：过点G作GH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°，∴∠BCE+∠BEC=90°．∵四边形CEFG为正方形，∴CG=CE，∠GCE=90°，∴∠BCE+∠BCG=90°．∴∠2BEC=∠BCG．∴△GHC≌△CBE．∴HC=BE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC．∵AD=2AB，BE=AB，∴BC=2BE=2HC，∴HC=BH．∴GH垂直平分BC．∴点G在BC的垂直平分线上．（3）答：点F在BC边的垂直平分线上（或点F在AD边的垂直平分线上）．过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N．∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°．∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE=∠ABC=90°，∴四边形BENM为矩形．∴BM=EN，∠BEN=90°．∴∠1+∠2=90°．∵四边形CEFG为正方形，∴EF=EC，∠CEF=90°．∴∠2+∠3=90°．∴∠1=∠3．∵∠CBE=∠ENF=90°，∴△ENF≌△EBC．∴NE=BE．∴BM=BE．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC．∵AD=2AB，AB=BE．∴BC=2BM．∴BM=MC．∴FM垂直平分BC．∴点F在BC边的垂直平分线上。

2024成都中考数学复习专题矩形、菱形、正方形的性质与判定(含答案)

2024成都中考数学复习专题矩形、菱形、正方形的性质与判定基础题1. (2023上海)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝C D.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是()A. AB∥CDB. AD＝BCC. ∠A＝∠BD. ∠A＝∠D2. (2023自贡)如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是()A. (3，－3)B. (－3，3)C. (3，3)D. (－3，－3)第2题图3. (2022玉林)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD 的两条对角线AC，BD一定是()A. 互相平分B. 互相垂直C. 互相平分且相等D. 互相垂直且相等4. (2023深圳)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a 个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为()第4题图A. 1B. 2C. 3D. 45. (2023十堰)如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是()A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形B. 对角线BD的长度减小C. 四边形ABCD的面积不变D. 四边形ABCD的周长不变第5题图6. 如图，菱形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，EF＝2，BD＝8，则该菱形的面积为()第6题图A. 12B. 16C. 20D. 327. (2023杭州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则ABBC＝()A. 12 B.3－12 C.32 D.33第7题图8. (2023大庆)将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝()第8题图A. 45°＋12α B. 45°＋32αC. 90°－12αD. 90°－32α 9. (2023河北)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝4，点M 是斜边BC 的中点，以AM 为边作正方形AMEF .若S 正方形AMEF ＝16，则S △ABC ＝( ) A. 4 3 B. 8 3 C. 12 D. 16第9题图10. [新考法—条件开放](2023齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AC ⊥BD 于点O .请添加一个条件：________，使四边形ABCD 成为菱形．第10题图 11. (2023怀化)如图，点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一点，PE ⊥AD 于点E ，PE ＝3.则点P 到直线AB 的距离为________．第11题图12. (2023绍兴)如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝40°，连接AC ，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交直线AD 于点E ，连接CE ，则∠AEC 的度数是________．第12题图13. (2023河南)矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN ＝AB ＝1.当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为________．14. [新考法—条件开放](2023十堰)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，分别以点B ，C 为圆心，12AC ，12BD 长为半径画弧，两弧交于点P ，连接BP ，CP . (1)试判断四边形BPCO 的形状，并说明理由；(2)请说明当▱ABCD 的对角线满足什么条件时，四边形BPCO 是正方形？第14题图15. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，且BE ＝DF ，连接AE ，CF ，EH ⊥CF 于点H ，FG ⊥AE 于点G .(1)判断四边形EGFH 的形状，并说明理由；(2)若AE ＝5，tan ∠DAE ＝2，EG ＝2GF ，求AG 的长．第15题图拔高题16. (2022青羊区模拟)我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内角的度数分别为α，β，将菱形的“接近度”定义为|α－β|，于是|α－β|越小，菱形越接近正方形．第16题图①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为________；②当菱形的“接近度”等于________时，菱形是正方形．课时2基础题1. (2023湘潭)如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为()A. 20°B. 60°C. 70°D. 80°第1题图2. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC 中点，则EF的长为()第2题图A. 3B. 4C. 5D. 63. 如图所示，将一张矩形纸片沿虚线对折两次，当剪刀与纸片的夹角∠ABC＝45°时，已知AB＝4 cm，则剪下来图形的周长为()第3题图A. 4 cmB. 4 2 cmC. 16 cmD. 16 2 cm4. (2022青岛改编)如图，O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形．若AB ＝2，则OE 的长度为________．第4题图5. [新考法—数学文化](2023内江)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 为BC 边上的一个动点，EF ⊥AC ，EG ⊥BD ，垂足分别为点F ，G ，则EF ＋EG ＝________.第5题图6. (2023天津)如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，EA ＝ED ＝52.第6题图(1)△ADE 的面积为________；(2)若F 为BE 的中点，连接AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为________．7. (2023内江)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交CE 的延长线于点F .(1)求证：F A ＝BD ；(2)连接BF ，若AB ＝AC ，求证：四边形ADBF 是矩形．第7题图8. (2023兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE.(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；(2)当CD＝4时，求EG的长．第8题图拔高题9. (2023绍兴改编)如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°，动点E 在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF.点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2.当E，F，O三点重合时，当点E，F分别为OB，OD的中点时，当E，F分别运动到B，D两点时，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是()第9题图A. 菱形→平行四边形→矩形B. 菱形→矩形→菱形C. 平行四边形→矩形→平行四边形D. 平行四边形→菱形→正方形10. (2023武侯区二诊节选)如图①，在矩形ABCD中，AD＝nAB(其中n>1)，点P是AD边上一动点(点P不与点A重合)，点E是AB边的中点，连接PE，将矩形ABCD沿直线PE进行翻折，其顶点A翻折后的对应点为O，连接PO并延长，交BC边于点F(点F不与点C重合)，过点F作∠PFC的平分线FG，交矩形ABCD的边于点G.(1)求证：PE∥FG；(2)如图②，在点P运动过程中，若E，O，G三点在同一条直线上时，点G与点D刚好重合，求n的值．图①图②第10题图参考答案与解析1. C2. C 【解析】∵正方形的边长为3，∴DC ＝BC ＝3，DC 与BC 分别垂直于y 轴和x 轴．∵点C 在第一象限，∴点C 的坐标为(3，3).3. D 【解析】如解图，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则EH ∥DB ∥GF ，HG ∥AC ∥EF ，EF ＝12 AC ，FG ＝12BD ，∴四边形EFGH 为平行四边形．要使其为正方形，即EF ⊥FG ，FE ＝FG ，则AC ⊥BD ，AC ＝BD ，即对角线一定互相垂直且相等．第3题解图4. B 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，CE ∥FD ，CD ＝AB ＝4.∵将线段AB 水平向右平移得到线段EF ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴四边形ECDF 为平行四边形，当CD ＝CE ＝4时，▱ECDF 为菱形，此时a ＝BE ＝BC －CE ＝6－4＝2.5. C 【解析】将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD ，然后向左扭动框架，∵两组对边的长度分别相等，∴四边形ABCD 是平行四边形，故A 正确，∵向左扭动框架，∴BD 的长度减小，故B 正确；∵平行四边形ABCD 的底不变，高变小了，∴平行四边形ABCD 的面积变小，故C 错误；∵平行四边形ABCD 的四条边长度不变，∴四边形ABCD 的周长不变，故D 正确．6. B 【解析】如解图，连接AC ，∵点E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴AC ＝2EF ＝4.∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴S 菱形ABCD ＝12 AC ·BD ＝12×4×8＝16.第6题解图7. D 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∠ABC ＝90°，∴∠OBC ＝∠OCB .∵∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12 ∠AOB ＝30°，∴AB BC ＝tan ∠ACB ＝tan 30°＝33. 8. D 【解析】∵四边形ABCD 和四边形BGHF 是完全相同的菱形，∴∠DBE ＝∠BAD ＝α，AB ＝AD ，∠ABD ＝∠CBD ＝∠CBE ＋∠DBE ＝β＋α.∴∠ADB ＝∠ABD ＝β＋α.∵∠BAD ＋∠ADB ＋∠ABD ＝180°，∴α＋β＋α＋β＋α＝180°，∴β＝90°－32α. 9. B 【解析】∵S 正方形AMEF ＝16，∴AM ＝4.∵M 是斜边BC 的中点，∴AM 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴BC ＝2AM ＝8.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC ＝BC 2－AB 2 ＝43 ，∴S △ABC ＝12 AB ·AC ＝12×4×43 ＝83 . 10. AD ∥BC (答案不唯一) 【解析】当AD ∥BC ，AD ＝BC 时，四边形ABCD 为平行四边形，又∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形．11. 3 【解析】如解图，过点P 作PF ⊥AB 于点F ，∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴∠DAC ＝∠BAC .∵PE ⊥AD ，PF ⊥AB ，∴∠AEP ＝∠AFP .∵AP ＝AP ，∴△AEP ≌△AFP (AAS)，∴PE ＝PF .∵PE ＝3，∴点P 到直线AB 的距离为PF ＝3.第11题解图12. 10°或80° 【解析】如解图，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交直线AD 于点E 和E ′.在菱形ABCD 中，∠DAC ＝∠BAC ，∵∠DAB ＝40°，∴∠DAC ＝20°.∵AC ＝AE ，∴∠AEC ＝(180°－20°)÷2＝80°.∵AE ′＝AC ，∴∠AE ′C ＝∠ACE ′＝10°.综上所述，∠AEC 的度数是10°或80°.第12题解图 13. 2或2 ＋1 【解析】分两种情况，①当∠DNM ＝90°时，如解图①，则MN ∥AB ，∴AN BM＝AD BD.∵M 是BD 的中点，∴BD ＝2BM ，∴AD ＝2AN ＝2；②当∠DMN ＝90°时，如解图②，连接BN ，∵M 是BD 的中点，∠DMN ＝90°，∴BN ＝DN ＝AB 2＋AN 2 ＝12＋12 ＝2 ，∴AD ＝2 ＋1.综上所述，AD 的长为2或2 ＋1.图①图②第13题解图14. 解：(1)四边形BPCO 为平行四边形．理由如下：由作法得，BP ＝12 AC ，CP ＝12BD ， ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OC ＝12 AC ，OB ＝12BD, ∴OC ＝BP ，OB ＝CP ,∴四边形BPCO 为平行四边形．(2)当▱ABCD 的对角线垂直且相等时，四边形BPCO 为正方形．理由：∵AC ⊥BD ，∴四边形BPCO 为矩形，∵AC ＝BD ，∴OB ＝OC ，∴四边形BPCO 为正方形．15. 解：(1)四边形EGFH 是矩形．理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC .∵BE ＝DF ，∴AD －DF ＝BC －BE ，∴AF ＝CE ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AE ∥CF ，∴∠AEH ＋∠FHE ＝180°.∵EH ⊥CF ，FG ⊥AE ，∴∠FGE ＝∠FHE ＝∠GEH ＝90°，∴四边形EGFH 是矩形；(2)∵FG ⊥AE ，∴∠AGF ＝90°.在Rt △AGF 中，tan ∠DAE ＝GF AG＝2， ∴GF ＝2AG .∵EG ＝2GF ，∴EG ＝4AG .∵AE ＝AG ＋EG ＝5，∴AG ＝1，即AG 的长为1.16. 20°；0° 【解析】①∵菱形相邻两个内角的度数和为180°，∴α＋β＝180°，即80°＋β＝180，解得β＝100°，∴该菱形的“接近度”为|α－β|＝|80°－100°|＝20°；②∵当α＝β＝90°时，菱形是正方形，∴|α－β|＝0°时，菱形是正方形．课时21. C 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，∴∠DCA ＝∠1＝20°，∴∠2＝90°－∠DCA ＝70°.2. C 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ＝DC ，BE ＝DE ，∵∠DBC ＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴CD ＝BD ＝10.∵点F 为BC 中点，∴EF ＝12CD ＝5. 3. D 【解析】由折叠可知，剪下的图形两条对角线互相垂直且平分，此时图形为菱形，∵∠ABC ＝45°，∴剪下的图形有一个角为90°，∴有一个角为90°的菱形是正方形，∵AB ＝4 cm ，根据勾股定理得BC ＝42 cm ，故剪下来图形的周长为4×42 ＝16 2 cm. 4. 6 【解析】∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，∴AC ＝22 .∵O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形，∴∠AOE ＝90°，∴AC ＝AE ＝22 ，AO ＝2 ，∴OE＝6 .5. 6013【解析】如解图，连接OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°， AB ＝CD ＝5，AD ＝BC ＝12.在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2＋AD 2 ＝13.∴AC ＝BD ＝13.∵AC 与BD 交于点O ，∴AO ＝CO ＝BO ＝DO ＝132 .∵S △BCO ＝14 S 四边形ABCD ＝14×12×5＝15，∴S △BCO ＝S △BEO ＋S △CEO ＝12 BO ·EG ＋12 CO ·EF ＝12 ×132 (EG ＋EF )＝15，∴EF ＋EG ＝15×413 ＝6013.第5题解图6. (1)3 【解析】(1)如解图，过点E 作EM ⊥AD 于点M ，∵△ADE 是等腰三角形，EA ＝ED ＝52 ，AD ＝3，∴AM ＝12 AD ＝32，∴EM ＝AE 2－AM 2 ＝（52）2－（32）2 ＝2，∴S △ADE ＝12 AD ·EM ＝12 ×3×2＝3. (2)13 【解析】如解图，延长EM 交AG 于点N ，∵∠BAD ＝∠AME ＝90°，∴AB ∥NE ，∴∠ABF ＝∠FEN ，∠BAF ＝∠ENF .又∵点F 为BE 中点，∴BF ＝EF ，∴△AFB ≌△NFE ，∴EN ＝BA ＝3.由(1)知，EM ＝2，∴NM ＝1.∵∠NMD ＝∠ADC ＝90°，且M 为AD 中点，∴NM ∥GD ，∴NM 为△AGD 的中位线，∴GD ＝2NM ＝2，∴AG ＝AD 2＋GD 2 ＝13 .第6题解图7. 证明：(1)∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE .又∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE .在△AFE 和△DCE 中，∵ ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AFE≌△DCE，∴AF＝DC.又∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD；(2)∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．又∵D是BC的中点，∴∠ADB＝90°，由(1)知F A＝BD，又∵F A∥BD，∴四边形ADBF是平行四边形．又∵∠ADB＝90°，∴四边形ADBF是矩形．8. 解：(1)四边形OCDE为菱形，理由如下：∵CE是线段OD的垂直平分线，∴OF＝DF，OC＝DC.∵CD∥OE，∴∠EOF＝∠CDF.∵∠EFO＝∠CFD，∴△OFE≌△DFC，∴OE＝CD，∴四边形OCDE是平行四边形．又∵OC＝CD，∴四边形OCDE是菱形；(2)∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝OC＝OA，由(1)可知，OC＝DC，∴OC＝DO＝CD，∴△OCD 是等边三角形，∴∠DCO ＝∠CDO ＝60°，∴∠FDG ＝90°－60°＝30°.∵四边形OCDE 是菱形，∴∠DEC ＝∠DCE ＝30°，∠CGD ＝90°－∠DCE ＝60°，∴∠EDG ＝30°，∴DG ＝EG .∵CD ＝4，∴tan ∠DCG ＝DG CD ＝DG 4， ∴DG ＝4·tan 30°＝4×33 ＝433， ∴EG ＝433. 9. B 【解析】∵四边形ABCD 为矩形，∠ABD ＝60°，∴∠CDF ＝60°，∠EDA ＝∠CBD ＝30°.∵OE ＝OF ，O 为对角线BD 的中点，∴DF ＝EB .由对称的性质得DF ＝DF 2，BF ＝BF 1，BE ＝BE 2，DE ＝DE 1，∠F 2DC ＝∠CDF ＝60°，∠EDA ＝∠E 1DA ＝30°，∠F 1BC ＝∠FBC ＝30°，∴E 1F 2＝E 2F 1，∠E 1DB ＝60°，∠F 1BD ＝60°，∴DE 1∥BF 1，∴E 1F 2∥E 2F 1，∴四边形E 1E 2F 1F 2是平行四边形，如解图①，当E ，F ，O 三点重合时，DO ＝BO ，∴DE 1＝DF 2＝AE 1＝AE 2，即E 1E 2＝E 1F 2，∴四边形E 1E 2F 1F 2是菱形，如解图②，当E ，F 分别为OB ，OD 的中点时，设DB ＝4，则DF 2＝DF ＝1，DE 1＝DE ＝3，在Rt △ABD 中，AB ＝2，AD ＝23 ，连接AE ，易得AE ＝32 AB ＝3 ，根据对称性可得AE 1＝AE ＝3 ，∵AD 2＝12，DE 21 ＝9，AE 21 ＝3，即AD 2＝AE 21 ＋DE 21 ，∴△DE 1A 是直角三角形，且∠E 1＝90°，∴四边形E 1E 2F 1F 2是矩形；如解图③，当F ，E 分别与D ，B 重合时，△BE 1D ，△BDF 1都是等边三角形，则四边形E 1E 2F 1F 2是菱形，∴在这三个位置时，四边形E 1E 2F 1F 2形状的变化依次是菱形→矩形→菱形．图①图②图③第9题解图10. (1)证明：由翻折知，∠APE＝∠OPE，∵FG平分∠PFC，∴∠PFG＝∠CFG.∵AD∥BC，∴∠APF＝∠CFP，∴∠EPF＝∠PFG，∴PE∥FG；(2)解：由翻折知，EA＝EO，∠EOP＝90°.∵E，O，D三点在同一条直线上，∴∠DOF＝∠EOF＝∠C＝90°.又∵DF＝DF，∠OFG＝∠CFG，∴△DOF≌△DCF(AAS)，∴DO＝DC＝AB.∵E是AB的中点，∴设EA＝EB＝EO＝a，∴OD＝CD＝AB＝2a，∴DE＝OE＋OD＝3a.在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD2＋AE2＝DE2，∴AD＝（3a）2－a2＝22a.∵AD＝nAB，∴22a＝2na，∴n＝2.。

2019届中考数学复习《矩形、菱形、正方形》专项训练题含答案

2019届初三数学中考复习矩形、菱形、正方形专项复习练习1．已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB2. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝( )A．5 B．4 C．3.5 D．33. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为( )A．2 B．3 C. 3 D．2 34. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是( )A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC5. 下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形；②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形；③对角线相等的四边形一定是矩形；④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分．其中正确的有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝2，BD＝2，则菱形ABCD的面积为( )A．2 2 B. 2 C．6 2 D．8 27. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，C E∥BD，DE∥AC，AD＝23，DE＝2，则四边形OCED 的面积( )A．2 3 B．4 C．4 3 D．88. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC ＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为( )A．1 B．2 C. 2 D. 39. 如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点O，若AO＝5 cm，则AB的长为( )A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm10. 如图，在△ABC中，点D是边BC上的点，(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形11. 如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF 交边BC于G，连接AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③EG＝DE＋BG；④AG∥CF；⑤S△FGC ＝3.6.其中正确结论的个数是( )A．2个B．3个C．4个D．5个12. 在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为_______________________．13. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是___________．14. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为_______．15. 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF.若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是____．16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.(1)证明：AF＝CE；(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．参考答案：1---11 CBDCC AAACD D12. 45°或105°13. ①③④14. 3015.2 216. 解：(1)在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝12 AC，∵EF＝2DE，∴EF∥AC，EF＝AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF＝CE(2)当∠B＝30°时，四边形ACEF为菱形．理由：在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝60°，AC＝12AB＝AE，∴△AEC为等边三角形，∴AC＝CE，又∵四边形ACEF为平行四边形．∴四边形ACEF为菱形2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，已知////AB CD EF，那么下列结论正确的是（）A．AD BCDF CE=B．BC DFCE AD=C．CD BCEF BE=D．CD ADEF AF=2．已知二次函数y=（x+m）2–n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=mnx的图象可能是（）A. B. C. D.3．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A.①③④B.②④C.①②③D.①②③④4．下列所述图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是A．正三角形B．平行四边形C．正五边形D．圆5．在的环湖越野赛中，甲乙两选手的行程(单位：)随时间(单位：)变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，下列说法中，错误的是：( )A.出发后1小时，两人行程均为；B.出发后1.5小时，甲的行程比乙多；C.两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；D.甲比乙先到达终点.6．下列运算正确的是（）A. B. C. D.7．在数列3、12、30、60……中，请你观察数列的排列规律，则第5个数是( )A．75 B．90 C．105 D．1208．估计的值应在（）A．8和9之间B．9和10之间C．10和11之间D．11和12之间9．下列形状的地砖中，不能把地面作既无缝隙又不重叠覆盖的地砖是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．长方形10．下列说法正确的个数是（）①一组数据的众数只有一个②样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好③一组数据的中位数一定是这组数据中的某一数据④数据：1，1，3，1，1，2的众数为4 ⑤一组数据的方差一定是正数．A．0个B．1个C．2个D．4个11．八年级6班的一个互助学习小组组长收集并整理了组员们讨论如下问题时所需的条件：如图所示，在四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，____，求证：四边形AECF是平行四边形. 你能在横线上填上最少且简捷的条件使结论成立吗？条件分别是：①BE＝DF；②∠B＝∠D；③BAE＝∠DCF；④四边形ABCD是平行四边形．其中A、B、C、D四位同学所填条件符合题目要求的是（）A．①②③④B．①②③C．①④D．④12．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A ．43π-B ．83π-C ．83π-D ．843π- 二、填空题13．在实数范围内分解因式：24x -=______________________.14．将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1=40°，则∠2=________．15．将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是__________．16．如果在五张完全相同的纸片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于_____． 17．如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数上，第二象限的点B 在反比例函数上，且OA ⊥OB ，，则k 的值为________________ .18．从0，1，2，3这四个数字中任取3个数，取得的3个数中不含2的概率是________ 三、解答题19．某贮水塔在工作期间，每小时的进水量和出水量都是固定不变的．从凌晨4点到早8点只进水不出水，8点到12点既进水又出水，14点到次日凌晨只出水不进水．下图是某日水塔中贮水量y （立方米）与x （时）的函数图象．（1）求每小时的进水量；（2）当8≤x≤12时，求y与x之间的函数关系式；（3）从该日凌晨4点到次日凌晨，当水塔中的贮水量不小于28立方米时，直接写出x的取值范围．20．某小区应政府号召,开展节约用水活动,效果显著.为了了解该小区节水情况,随机对小区的100户居民节水情况进行抽样调查,其中3月份较2月份的节水情况如图所示.（1）补全统计图;（2）计算这100户居民3月份较2月份的平均节水量;（3）已知该小区共有5000户居民,根据上面的计算结果,估计该小区居民3月份较2月份共节水多少吨?21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，tan∠DBC=43，且BC=6，AD=4．求cosA的值．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若直角△ABC的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，斜边BC的长为3，求m的值．23．定义：若一个三角形一条边上的高长为这条边长的一半，则称该三角形为这条边上的“半高”三角形，这条高称为这条边上的“半高”，如图，△ABC是BC边上的“半高”三角形．点P在边AB上，PQ∥BC交AC于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，连接MQ．（1）请证明△APQ为PQ边上的“半高”三角形．（2）请探究BM，PM，CN之间的等量关系，并说明理由；（3）若△ABC的面积等于16，求MQ的最小值24．“全民阅读”活动，是中央宣传部、中央文明办和新闻出版总署贯彻落实关于建设学习型社会要求的一项重要举措．读书必须要讲究方法，只有按照一定的方法去阅读，才能取得事半功倍的效果．常用的阅读方法有：A．圈点批注法；B．摘记法；C．反思法：D．撰写读后感法；E．其他方法．某县某中学张老师为了解本校学生使用不同阅读方法读书的情况，随机抽取部分本校中学生进行了调查，通过数据的收集、整理绘制成以下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题：中学生阅读方法情况统计表（1）请你补全图表中的a，b，c数据：a＝，b＝，c＝；（2）若该校共有中学生960名，估计该校使用“反思法”读书的学生有人；（3）小明从以上抽样调查所得结果估计全县6000名中学生中有1200人采用“撰写读后感法”读书，你同意小明的观点吗？请说明你的理由．（4）该校决定从本次抽取的“其他方法”4名学生（记为甲，乙，丙，丁）中，随机选择2名成为学校阅读宣讲志愿者，请你用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲和乙的概率．25．（某中学九年级学生共600人，其中男生320人，女生280人．该校对九年级所有学生进行了一次体育模拟测试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：（1）a＝； b＝；（2）若将该表绘制成扇形统计图，那么Ⅲ类所对应的圆心角是°；（3）若随机抽取的学生中有64名男生和56名女生，请解释“随机抽取64名男生和56名女生”的合理性；（4）估计该校九年级学生体育测试成绩是40分的人数．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．()()22x x +- 14．85° 15．47° 16．3517． 18．14三、解答题19．（1）每小时的进水量为5立方米；（2）当8≤x≤12时，y ＝3x+1；（3）3792x 剟. 【解析】【分析】（1）由4点到8点只进水时，水量从5立方米上升到25立方米即能求每小时进水量；（2）由图象可得，8≤x≤12时，对应的函数图象是线段，两端点坐标为（8，25）和（12，37），用待定系数法即可求函数关系式；（3）由（2）的函数关系式即能求在8到12点时，哪个时间开始贮水量不小于28立方米，且能求出每小时的出水量；14点后贮水量为37立方米开始每小时减2立方米，即能求等于28立方米的时刻【详解】解：（1）∵凌晨4点到早8点只进水，水量从5立方米上升到25立方米 ∴（25﹣5）÷（8﹣4）＝5（立方米/时） ∴每小时的进水量为5立方米．（2）设函数y ＝kx+b 经过点（8，25），（12，37）8251237k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：31k b =⎧⎨=⎩∴当8≤x≤12时，y ＝3x+1 （3）∵8点到12点既进水又出水时，每小时水量上升3立方米 ∴每小时出水量为：5﹣3＝2（立方米）当8≤x≤12时，3x+1≥28，解得：x≥9 当x ＞14时，37﹣2（x ﹣14）≥28，解得：x≤372∴当水塔中的贮水量不小于28立方米时，x 的取值范围是9≤x≤372【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是理解图象中横纵坐标代表的意义并结合题意分析图象的每个分段函数．20．（1）见解析；（2）这100户居民3月份较2月份的平均节水量为1.48 t ；（3）估计该小区5000户居民3月份较2月份共节水7400 t.【解析】【分析】（1）从图中可获得节水量在0.4-0.8t 的有5户，0.8-1.2t 的有20户，1.6-2.0t 的有30户，2.0-2.4t 的有10户，样本共100户，可求得节水1.2-1.6t 的有35户，补全图形即可；（2）运用加权平均数公式把组中值当作每组数据，户数看成权，可求得平均节水量；（3）利用样本估计总体可得结果.【详解】解：(1)100-5-20-30-10=35(户).∴节水1.2~1.6吨的有35户.补全统计图如下.(2)由统计图得每小组中的组中值分别为0.40.82+=0.6,0.8 1.22+=1.0,1.2 1.62+=1.4,1.6 2.02+=1.8,2.0 2.42+=2.2, 所以这100户居民3月份较2月份的平均节水量 =0.65 1.020 1.435 1.830 2.210100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1.48(t). 答:这100户居民3月份较2月份的平均节水量为1.48 t;(3)由题意可得1.48×5000=7400(t).答:估计该小区5000户居民3月份较2月份共节水7400 t.【点睛】本题考查从统计图表中获取信息的能力，加权平均数的应用和统计中用样本估计总体的思想．21 【解析】【分析】先在Rt △BDC 中，利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，由AC=AD+DC 求出AC 的长，然后在Rt △ABC 中，根据勾股定理求出AB 的长，从而求出 cosA 的值．【详解】解：在Rt △BDC 中， tan ∠DBC=43，且BC=6 ， ∴ tan ∠DBC=DC BC =6DC =43， ∴CD=8，∴AC=AD+DC=12，在Rt △ABC 中，，∴ cosA =ACAB =5. 【点睛】本题主要考查解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．22．(1)见解析；（2【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论；（2）根据勾股定理和一元二次方程根的判别式解方程即可得到结论．【详解】（1）∵△＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝（m ﹣2）2≥0，∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根；（2）∵AB 、AC 的长是该方程的两个实数根，∴AB+AC ＝m+2，AB•AC＝2m ，∵△ABC 是直角三角形，∴AB 2+AC 2＝BC 2，∴（AB+AC ）2﹣2AB•AC＝BC 2，即（m+2）2﹣2×2m＝32，解得：m ，∴m又∵AB•AC＝2m ，m 为正数，∴m【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．23．(1)见解析；（2）2PM ＝BM+CN ，理由见解析；（3）5. 【解析】【分析】（1）根据平行相似，证明△APQ ∽△ABC ，利用相似三角形对应边的比等于对应高的比：PQ AK BC AR =，由“半高”三角形的定义可结论；（2）证明四边形PMNQ 是矩形，得PQ ＝MN ，PM ＝KR ，代入AR ＝12BC ，可得结论；（3）先根据△ABC 的面积等于16，计算BC 和AR 的长，设MN ＝x ，则BM+CN ＝8﹣x ，PM ＝QN ＝12（8﹣x ），根据勾股定理表示MQ ，配方可得最小值．【详解】（1）证明：如图，过A 作AR ⊥BC 于R ，交PQ 于K ，∵△ABC 是BC 边上的“半高”三角形，∴AR ＝12BC ， ∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ， ∴PQ AK BC AR=， ∴AK AR 1PQ BC 2==， ∴AK ＝12PQ ， ∴△APQ 为PQ 边上的“半高”三角形．（2）解：2PM ＝BM+CN ，理由是：∵PM ⊥BC ，QN ⊥BC ，∴∠PMN ＝∠MNQ ＝∠MPQ ＝90°，∴四边形PMNQ 是矩形，∴PQ ＝MN ，PM ＝KR ，∵AK ＝12PQ ，AR ＝12BC ， ∴AK+RK ＝12（BM+MN+CN ）， 12PQ+PM ＝12BM+12MN+12CN ， ∴2PM ＝BM+CN ；（3）解：∵△ABC 的面积等于16， ∴12BC AR ⋅＝16， ∵AR ＝12BC ， 1122BC BC ⋅⋅＝16， BC ＝8，AR ＝4，设MN ＝x ，则BM+CN ＝8﹣x ，PM ＝QN ＝12（8﹣x ），∵MQ ==∴当x ＝85时，MQ 有最小值是5．【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是新定义：“半高”三角形，涉及到相似三角形的性质和判定、三角形面积、勾股定理及新定义的理解和运用等知识，解决问题的关键是作辅助线解决问题．24．（1）32，8，10%；（2）96；（3）1200人；（4）16. 【解析】【分析】(1)先根据“摘记法”的频数及其频率求得总人数，再根据频数、频率与总数间的关系可得a 、b 、c 的值；(2)总人数乘以样本中“反思法”学生所占比例可得；(3)利用总人数乘以撰写读后感法的百分比即可解答（4）用树状图表示出四人中随机抽取两人有12种可能，即可解答【详解】解：（1）本次调查的学生有：20÷25%＝80，a ＝80×40%＝32，b ＝80×（100﹣40﹣25﹣20﹣5）%＝80×10%＝8，c ＝（100﹣40﹣25﹣20﹣5）%＝10%，故答案为：32，8，10%；（2）若该校共有中学生960名，估计该校使用“反思法”读书的学生有：960×10%＝96人，故答案为：96；（3）同意小明的观点；理由如下：全县6000名中学生中采用“撰写读后感法”读书的有：6000×20%＝1200人；（4）树状图如图所示，∵从四人中随机抽取两人有12种可能，恰好是甲和乙的有2种可能， ∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是21=126．【点睛】此题考查树状图法，扇形统计图，解题关键在于看懂图中数据25．（1）a ＝54；b ＝0.45；（2）72°；（3）“随机抽取64名男生和56名女生”比较合理；（4）该校九年级学生体育测试成绩是40分的人数约为180人．【解析】【分析】（1）先利用一类的频数除以频率计算出总频数c，再用总频数减去其余三类，即可得到a，再用a的频数除以总频数即可得到b（2）圆周角为360°，第三类占总数的0.2，所以第三类的圆心角=360°×0.2（3）根据九年级学生共600人，其中男生320人，女生280人进行反推即可解答（4）利用总人数乘频率即可解答【详解】（1）总频数=36÷0.3=120，a的频数=总频数-36-24-6=54，b频率=54÷120=0.45，a＝54；b＝0.45；（2）0．2×360°=72°；（3）∵6432056280== 120600120600，，∴“随机抽取64名男生和56名女生”比较合理；（4）0.3×600＝180(人)答：该校九年级学生体育测试成绩是40分的人数约为180人．【点睛】此题考查了频数分布表，圆周角，用样本估计总体，熟练掌握运算法则是解题关键2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A.此抛物线的解析式是y=﹣15x2+3.5B.篮圈中心的坐标是（4，3.05）C.此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D.篮球出手时离地面的高度是2m2．下列等式一定成立的是（）A．2a﹣a＝1 B．a2•a3＝a5C．（2ab2）3＝2a3b6D．x2﹣2x+4＝（x﹣2）23．某店在开学初用880元购进若干个学生专用科学计算器，按每个50元出售，很快就销售一空，据了解学生还急需3倍数量这种计算器，由于量大，每个进价比上次优惠1元，该店又用2580元购进所需计算器，该店第一次购进计算器的单价为（）A.20元B.42元C.44元D.46元4．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）A．0＜t＜5 B．﹣4≤t＜5 C．﹣4≤t＜0 D．t≥﹣45．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4，则△CEF的周长为（）A.8B.9.5C.10D.11.56．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值是（）A. B. C. D.7．如图，AB∥CD，直线MN与AB、CD分别交于点E、F，FG平分∠EFD，EG⊥FG于点G，若∠CFN＝110°，则∠BEG＝( )A．20°B．25°C．35°D．40°8．如图1，等边△ABD与等边△CBD的边长均为2，将△ABD沿AC方向向右平移k个单位到△A′B′D′的位置，得到图2，则下列说法：①阴影部分的周长为4；②当k＝当k；正确的是( )A．①B．①②C．①③D．①②③9．若x是不等于1的实数，我们把11x-称为x的差倒数，如2的差倒数是11x-＝﹣1，﹣1的差倒数为11(1) --＝12，现已知x1＝13，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2019的值为（）A．﹣13B．﹣2 C．3 D．410．如图，已知直线y＝34x﹣6与x轴、y轴分别交于B、C两点，A是以D（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结AC、AB，则△ABC面积的最小值是（）A．26 B．24 C．22 D．2011．华为手机Mate X在5G网络下能达的理论下载速度为603 000 000B/s，3秒钟内就能下载好1GB的电影，将603 000 000用科学计数法表示为（）A．603×610B．6.03×810C．60.3×710D．0.603×91012．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，折叠△ABC使得点C落在AB边上的E处，连接DE、CE，下列结论：①△DEB是等腰直角三角形；②AB＝AC+CD；③BE BDAC AB；④S△CDE＝S△BDE．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13．定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线被称为：“直角抛物线”．如图，直线l：y＝15x+b经过点M(0，14)，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…B n(n，y n) (n为正整数)，依次是直线l上的点，第一个抛物线与x轴正半轴的交点A1(x1，0)和A2(x2，0)，第二个抛物线与x轴交点A2(x2，0)和A3(x3，0)，以此类推，若x1＝d(0＜d＜1)，当d为_____时，这组抛物线中存在直角抛物线．14．如图，点为等边内一点，若，，，则的度数是__________．15．如图，正三角形ABC的边长为2，点A，B的圆上，点C在圆内，将正三角形ABC绕点A 逆时针旋转，当边AC第一次与圆相切时，旋转角为_____．16．抛物线 221y x =-的顶点坐标是________．17．命题“若a ＝b ，则a 3＝b 3．”是真命题．它的逆命题“若a 3＝b 3，则a ＝b”是_____（填真或假）命题．18．如图，直线y 1＝mx 经过P(2，1)和Q(－4，－2)两点，且与直线y 2＝kx ＋b 交于点P ，则不等式kx ＋b ＞mx ＞－2的解集为_________________．三、解答题19．关于x 的一次函数y ＝ax+b 与反比例函数y ＝k x（x ＞0）的图象交于点A （m ，4）和点B （4，1）．（1）求m 的值和反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式．20．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，A （0，4），B （8，0），C （8，4）．（1）试说明四边形AOBC 是矩形．（2）在x 轴上取一点D ，将△DCB 绕点C 顺时针旋转90°得到△D'CB'（点D'与点D 对应）．①若OD ＝3，求点D'的坐标．②连接AD'、OD'，则AD'+OD'是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值及此时点D'的坐标；若不存在，请说明理由．21．抛物线L ：y ＝a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（常数a≠0）与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），与y 轴交于点C ，且x 1•x 2＜0，AB ＝4，当直线l ：y ＝﹣3x+t+2（常数t ＞0）同时经过点A ，C 时，t ＝1．（1）点C 的坐标是；（2）求点A ，B 的坐标及L 的顶点坐标；（3）在如图2 所示的平面直角坐标系中，画出L 的大致图象；（4）将L 向右平移t 个单位长度，平移后y 随x 的增大而增大部分的图象记为G ，若直线l 与G 有公共点，直接写出t 的取值范围．22．从沈阳到大连的火车原来的平均速度是180千米/时，经过两次提速后平均速度为217.8干米/时，这两次提速的百分率相同．（1）求该火车每次提速的百分率；（2）填空：若沈阳到大连的铁路长396千米，则第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用了小时．23．立定跳远是嘉兴市体育中考的抽考项目之一，某校九年级（1），（2）班准备集体购买某品牌的立定跳远训练鞋．现了解到某网店正好有这种品牌训练鞋的促销活动，其购买的单价y（元/双）与一次性购买的数量x（双）之间满足的函数关系如图所示．（1）当10≤x＜60时，求y关于x的函数表达式；（2）九（1），（2）班共购买此品牌鞋子100双，由于某种原因需分两次购买，且一次购买数量多于25双且少于60双；①若两次购买鞋子共花费9200元，求第一次的购买数量；②如何规划两次购买的方案，使所花费用最少，最少多少元？24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）请用直尺和圆规作∠ABC的平分线，交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；（2）在（1）作出的图形中，若∠A＝30°，BC，则点D到AB的距离等于．25．设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定满足不等式a≤x≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m≤x≤n 时，有m≤y≤n，我们就称此函数闭区间[m ，n]上的“闭函数”．如函数y ＝﹣x+4．当x ＝1时，y ＝3；当x ＝3时，y ＝1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y ＝﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”（1）反比例函数2019y x是闭区间[1，2019]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由．（2）若二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣k 是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k 的值；（3）若一次函数y ＝kx+b （k≠0）是闭区间[m ，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m ，n 的代数式表示）．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．1120、1320、32014．150°15．75°16．（0，-1）17．真18．－4＜x ＜2三、解答题19．（1）m ＝1，y ＝4x ；（2）y ＝﹣x+5；【解析】【分析】（1）把B 点坐标代入反比例函数解析式，即可求出m 的值，从而求出反比例函数的解析式和m 的值；（2）求得A 点坐标，进而把A 、B 点的坐标代入一次函数y ＝kx+b 的解析式，就可求出a 、b 的值，从而求得一次函数的解析式．【详解】（1）∵点B （4，1）在反比例函数y ＝k x （x ＞0）的图象上， ∴1＝4k ， ∴k ＝4． ∴反比例函数的解析式为y ＝4x∵点A（m，4）在反比例函数y＝4x的图象上，∴4＝4m，∴m＝1．（2）点A（1，4）和点B（4，1）在一次函数y＝ax+b的图象上，∴4 41 a ba b+=⎧⎨+=⎩解得15 ab=-⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式是解题的关键．20．（1）见解析；（2）①D'的坐标为（4，9），②AD'+OD'，点D'的坐标是（4，2）．【解析】【分析】（1）根据矩形的判定证明即可；（2）①当点D在原点右侧时，根据旋转的性质和矩形的性质解答即可；②当点D在原点左侧时，根据旋转的性质和矩形的性质解答即可．【详解】（1）∵A（0，4），B（8，0），C（8，4）．∴OA＝4，BC＝4，OB＝8，AC＝8，∴OA＝BC，AC＝OB，∴四边形AOBC是平行四边形，∵∠AOB＝90°，∴▱AOBC是矩形；（2）∵▱AOBC是矩形，∴∠ACB＝90°，∠OBC＝90°，∵△D'CB'将△DCB绕点C顺时针旋转90°得到（点D'与点D对应），∴∠D'B'C＝∠DBC＝90°，B'C＝BC＝4，D'B'＝DB，∠BCB'＝90°，即点B'在AC边上，∴D'B'⊥AC，①如图1，当点D在原点右侧时：D'B'＝DB＝8﹣3＝5，∴点D'的坐标为（4，9）；②如图2，当点D在原点左侧时：D'B'＝DB＝8+3＝11，∴点D'的坐标为（4，15），综上所述：点D'的坐标为（4，9）或（4，15）．AD'+OD'，点D'的坐标是（4，2）．【点睛】此题考查四边形的综合题，关键是根据旋转的性质和矩形的性质解答．21．(1) 点C的坐标是（0，3）; （2）A（1，0），B（﹣3，0），L的顶点坐标为（﹣1，4）；(3)见解析；（4）t≥1 2【解析】【分析】(1)把t＝1代入y＝﹣3x+t+2，令x＝0，求得相应的y值，即可得到点C的坐标；(2)根据待定系数法，可得函数解析式；(3)根据描点法，可得函数图象；(3)根据平移规律，可得G的解析式，根据函数与不等式的关系，可得答案．【详解】(1)直线的解析式为y＝﹣3x+3，当x＝0时，y＝3，即C点坐标为(0，3)，故答案为：(0，3)；(2)当y＝0时，﹣3x+3＝0，解得x1＝1，即A(1，0)，由点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1•x2＜0，AB＝4，得1﹣x2＝4，解得x2＝﹣3，即B(﹣3，0)；L：y＝a(x﹣1)(x+3)，将C(0，3)坐标代入L，得a＝﹣1，∴L的解析式为y＝﹣(x﹣1)(x+3)，即y＝﹣(x+1)2+4，∴L的顶点坐标为(﹣1，4)；(3)函数图象如图所示：；(4)L向右平移t个单位的解析式为y＝﹣(x+1﹣t)2+4，a＝﹣1＜0，当x≤t﹣1时，y随x的增大而增大．若直线l与G有公共点时，则有当x＝﹣1+t时，G在直线l的上方，即﹣(t﹣1+1﹣t)2+4≥﹣3(t﹣1)+t+2，解得t≥12．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是利用自变量与函数值的对应关系；解(2)的关键是待定系数法；解(3)的关键是描点法，解(4)的关键是利用函数值的大小得出不等式，还利用了函数图象平移的规律．22．（1）该火车每次提速的百分率为10%．（2）0.2．【解析】【分析】(1)设该火车每次提速的百分率为x，根据提速前的速度及经两次提速后的速度，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)利用第一次提速后的速度＝提速前的速度×(1+提速的百分率)可求出第一次提速后的速度，再利用少用的时间＝两地间铁路长÷提速前的速度﹣两地间铁路长÷第一次提速后的速度，即可求出结论．【详解】(1)设该火车每次提速的百分率为x，依题意，得：180(1+x)2＝217.8，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1(舍去)，答：该火车每次提速的百分率为10%；(2)第一次提速后的速度为180×(1+10%)＝198(千米/时)，第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用的时间为396396180198-＝0.2(小时)，故答案为：0.2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．（1）y＝150﹣x；（2）①第一批购买数量为30双或40双．②第一次买26双，第二次买74双最省钱，最少9144元．【解析】【分析】（1）若购买x双（10＜x＜60），每件的单价＝140﹣（购买数量﹣10），依此可得y关于x的函数关系式；（2）①设第一批购买x双，则第二批购买（100﹣x）双，根据购买两批鞋子一共花了9200元列出方程求解即可．分两种情况考虑：当25＜x≤40时，则60≤100﹣x＜75；当40＜x＜60时，则40＜100﹣x＜60．②把两次的花费与第一次购买的双数用函数表示出来．【详解】解：（1）购买x双（10＜x＜60）时，y＝140﹣（x﹣10）＝150﹣x．故y关于x的函数关系式是y＝150﹣x；（2）①设第一批购买x双，则第二批购买（100﹣x）双．当25＜x≤40时，则60≤100﹣x＜75，则x（150﹣x）+80（100﹣x）＝9200，解得x1＝30，x2＝40；当40＜x＜60时，则40＜100﹣x＜60，则x（150﹣x）+（100﹣x）[150﹣（100﹣x）]＝9200，解得x＝30或x＝70，但40＜x＜60，所以无解；答：第一批购买数量为30双或40双．②设第一次购买x双，则第二次购买（100﹣x）双，设两次花费w元．当25＜x≤40时w＝x（150﹣x）+80（100﹣x）＝﹣（x﹣35）2+9225，∴x＝26时，w有最小值，最小值为9144元；当40＜x＜60时，w＝x（150﹣x）+（100﹣x）[150﹣（100﹣x）]＝﹣2（x﹣50）2+10000，∴x＝41或59时，w有最小值，最小值为9838元，综上所述：第一次买26双，第二次买74双最省钱，最少9144元．【点睛】考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列一次函数关系式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24．（1）作图见解析；（2）1.【解析】【分析】（1）根据角平分线的尺规作图可得；（2）作DE⊥AB于E，设DE＝DC＝x，由∠A＝30°，BC AD＝2DE＝2x，AB＝2BC＝由BC2+AC2＝AB2得到关于x的方程，解之可得．【详解】（1）如图所示，BD即为所求；。

【名师点睛】2017年中考数学一轮复习专题正方形及答案

2017年中考数学一轮复习专题正方形综合复习一选择题：1.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为（）A.45°B.55°C.60°D.75°2.如图,四边形ABCD,AEFG都是正方形,点E，G分别在AB,AD上,连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H.若AB=4,AE=1,则BH的长为( )A.1B.2C.3D.33.如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（）A. B.2 C.2 D.14.如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2 B．3 C． D．5.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）6.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=，且∠ECF=45°，则CF的长为（）A. B. C. D.7.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）A. B.2 C.2 D.8.如图,正方形的边长为4，动点在正方形的边上沿运动，运动到点停止，设，的面积，则关于的函数图象大致为9.如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）10.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1＋S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．1911.如图,正方形ABCD边长为2,点P是线段CD边上的动点（与点C，D不重合）,,过点A作AE∥BP，交BQ于点E，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.12.如图，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n，那么△AEG的面积的值（）A．与m、n的大小都有关 B．与m、n的大小都无关C．只与m的大小有 D．只与n的大小有关13.如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF值为（）A． B．4 C． D．214.如图,正方形ABCD中,点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC，则下列结论：（1）∠E=22.50.(2) ∠AFC=112.50.(3) ∠ACE=1350. （4）AC=CE. (5) AD∶CE=1∶.其中正确的有（）A.5个B.4个C.3个D.2个15.如图，E为正方形ABCD的边BC上一动点，以AE为一边作正方形AEFD，对角线AF交边CD于H，连EH．①BE+DH=EH；②EF平分∠HEC；③若E为BC的中点，则H为CD的中点；④．其中正确的是（）16.如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N从A点出发沿折线AD→DC→CB以每秒３cm的速度运动，到达B时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm），运动时间为x(秒)，则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（）17.将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得正方形，交CD于点E，AB=,则四边形的内切圆半径为( )A．B．C． D．18.如图所示，正方形顶点，，顶点位于第一象限，直线将正方形分成两部分，记位于直线左侧阴影部分的面积为S ，则S关于t函数图象大致是（）19.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF中点，那么CH长是（）A．2.5 B．C．D．220.如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，. 下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④.其中正确结论的序号是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④D．②③④二填空题:21.如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为．22.如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N两点关于对角线AC对称，若DM=1，则tan∠ADN= ．23.如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．24.在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），点D在反比例函数y=（k＜0）图象上，将正方形沿x轴正方向平移m个单位长度后，点C恰好落在该函数图象上，则m的值是．25.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为．26.如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF=45°，对角线BD交AE于点M，交AF于点N．若AB=4，BM=2，则MN的长为．27.如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n ≥2，且n为整数），则A′N= （用含有n的式子表示）．28.如图，已知正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点逆时针旋转，使点D 落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径均为6cm，则点D运动的路径长为cm．29.如图，已知正方形ABCD边长为1，∠EAF=45°，AE=AF，则有下列结论：①∠1=∠2=22.5°；②点C到EF的距离是；③△ECF的周长为2；④BE+DF＞EF．其中正确的结论是．（写出所有正确结论的序号）30.如图，四边形是正方形，是等边三角形，EC=，则正方形ABCD的面积为.三简答题：31.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.(1)求证：AE=CG；(2)观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想.32.如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．33.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．34.正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BD上一点，延长AE到点N，使AE=EN，连接CN、CE．（1）求证：AE=CE．（2）求证：△CAN为直角三角形．（3）若AN=4，正方形的边长为6，求BE的长．35.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？36.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．（1）求证：BE=DF（2）连接AC交EF于点D，延长OC至点M，使OM=OA，连结EM、FM，试证明四边形AEMF是菱形．37.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．38.感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF．（不要求证明）拓展：如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为．39.如图所示，四边形ADEF为正方形，△ABC为等腰直角三角形，D在BC边上，连接CF．（1）求证：BC⊥CF；（2）若△ABC的面积为16，BD：DC=1：3，求正方形ADEF的面积；（3）当（2）的条件下，连接AE交DC于G，求的值．40.问题情境：如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在AD边的中点F处，折痕EG分别交AB、CD于点E、G，FN与DC交于点M，连接BF交EG于点P.独立思考：（1）AE=_______cm，△FDM的周长为_____cm;（2）猜想EG与BF之间的位置关系与数量关系，并证明你的结论.拓展延伸：如图2，若点F不是AD的中点，且不与点A、D重合：①△FDM的周长是否发生变化，并证明你的结论.②判断（2）中的结论是否仍然成立，若不成立请直接写出新的结论（不需证明）.参考答案1、C2、C3、B4、A5、A6、A．7、B8、A9、A 10、B 11、B 12、D 13、A；14、A. 15、A 16、B 17、B 18、C 19、B 20、A 21、5 22、 23、8 ． 24、1 25、7． 26、 27、 28、π29、①②③ 30、831、（1）略；（2）AE⊥CG；32、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠CBF，在△AEB和△CFB中，∴△AEB≌△CFB（SAS），∴AE=CF．（2）解：∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，又∵BE=BF，∴∠BEF=∠EFB=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，又∵∠ABE=55°，∴∠EBG=90°﹣55°=35°，∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°．33、【解答】（1）证明：过点O作OM⊥AB，∵BD是∠ABC的一条角平分线，∴OE=OM，∵四边形OECF是正方形，∴OE=OF，∴OF=OM，∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；（2）解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∴AB===13，设CE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，∴，解得：，∴CE=2，∴OE=2．34、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45°，AB=CB，在△ABE和∠CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE=CE；（2）证明：∵AE=CE，AE=EN，∴∠EAC=∠ECA，CE=EN，∴∠ECN=∠N，∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N=180°，∴∠ACE+∠ECN=90°，即∠ACN=90°，∴△CAN为直角三角形；（3）解：∵正方形的边长为6，∴AC=BD=6，∵∠ACN=90°，AN=4，∴CN==2，∵OA=OC，AE=EN，∴OE=CN=，∵OB=BD=3，∴BE=OB+OE=4．35、【解答】解：（1）OE=OF．证明如下：∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1=∠2．∵MN∥BC，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴OE=OC．同理可证OC=OF．∴OE=OF．四边形BCFE不可能是菱形，若四边形BCFE为菱形，则BF⊥EC，而由（1）可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线．当点O运动到AC中点时，且△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）时，四边形AECF是正方形．理由如下：∵O为AC中点，∴OA=OC，∵由（1）知OE=OF，∴四边形AECF为平行四边形；∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，∴▱AECF为矩形，又∵AC⊥EF．∴▱AECF是正方形．∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．36、略；37、【解答】解：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，∴OA旋转了45°．∴OA在旋转过程中所扫过的面积为．（2）∵MN∥AC，∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．又∵BA=BC，∴AM=CN．又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．∴∠AOM=∠CON=（∠AOC﹣∠MON）=（90°﹣45°）=22.5°．∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°﹣22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．证明：延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM，∴∠AOE=∠CON．又∵OA=OC，∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN．∴△OAE≌△OCN．∴OE=ON，AE=CN．又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．∴MN=AM+CN，∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．38、【解答】拓展：证明：∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC，∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，∴∠BAC=∠ABE+∠3，∴∠4=∠ABE，∴，∴△ABE≌△CAF（AAS）．应用：解：∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD=2BD，∴△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2，∴△ABD与△ADC面积比为：1：2，∵△ABC的面积为9，∴△ABD与△ADC面积分别为：3，6；∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC，∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，∴∠BAC=∠ABE+∠3，∴∠4=∠ABE，∴，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴△ABE与△CAF面积相等，∴△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积，∴△ABE与△CDF的面积之和为6，故答案为：6．39、【解答】解：（1）∵四边形ADEF为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AD=AF=EF=DE，AB=AC，∠DAF=∠BAC=∠DEF=∠ADE=90°，∠B=∠ACB=45°，AD∥EF．∴∠DAF﹣∠DAC=∠BAC﹣∠DAC，∴∠DAB=∠FAC．在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴∠B=∠ACF，BD=CF，∴∠ACF=45°，∴∠ACF+∠ACB=90°，即∠BCF=90°．∴BC⊥CF；（2）设AB=BC=x，由题意，得=16，∴x=4．∴BC=8．∵BD：DC=1：3，∴BD=8×=2，CD=8﹣2=6．作DH⊥AB于点H，∴∠DHB=∠DHA=90°，∴∠BDH=45°，∴∠B=∠BDH，∴BH=DH．设BH=DH=a，由勾股定理，得a=，∴AH=4﹣=3．在Rt△ADH中，由勾股定理，得AD2=20．∴AD=2．∵S正方形ADEF=AD2，∴正方形ADEF的面积为20；（3）设EF交BC于点M，设CM=x，则DM=6﹣x．∵BD=CF，∴CF=2．在Rt△CMF中，由勾股定理，得FM=．∵∠DEF=∠FCM=90°，∠DME=∠FMC，∴△FCM∽△DEF，∴，∴，∴，解得：x1=1，x2=﹣4（舍去）∴CM=1，FM=，∴ME=．DM=5∵AD∥EF．∴△AGD∽△EGM，∴，∴=2，∴DG=2GM，设GM=b，DG=2b，∴b+2b=5，∴b=，∴GC=，∴DG=6﹣=．∴=．答：的值为．40、（1）3， 16(2)EG⊥BF, EG=BF则∠EGH+∠GEB=90°由折叠知，点B、F关于直线GE所在直线对称∴∠FBE=∠EGH∵ABCD是正方形∴AB=BC ∠C=∠ABC=90°四边形GHBC是矩形，∴GH=BC=AB∴△AFB全等△HEG∴BF=EG(3)①△FDM的周长不发生变化由折叠知∠EFM=∠ABC=90°∴∠DFM+∠AFE=90°∵四边形ABCD为正方形，∠A=∠D=90°∴∠DFM+∠DMF=90°∴∠AFE=∠DMF∴△AEF∽△DFM∴设AF为x，FD=8-x∴∴FMD的周长=∴△FMD的周长不变②（2）中结论成立。

【精品】2020版中考数学分类汇编：考点26 正方形试题(含解析)

中考数学试题分类汇编：考点26 正方形一．选择题（共4小题）1．（2018•无锡）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（）A．等于B．等于C．等于D．随点E位置的变化而变化【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．【解答】解：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∴△AEH∽△ACD，∴==．设EH=3x，AH=4x，∴HG=GF=3x，∴tan∠AFE=tan∠FAG===．故选：A．2．（2018•宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG ⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（）A．1 B．C．D．【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，∴S阴=S正方形ABCD=，故选：B．3．（2018•湘西州）下列说法中，正确个数有（）①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线互相垂直的四边形为菱形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得答案．【解答】解：①对顶角相等，故①正确；②两直线平行，同旁内角互补，故②错误；③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确，故选：B．4．（2018•张家界）下列说法中，正确的是（）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B．对角线相等的平行四边形是正方形C．相等的角是对顶角D．角平分线上的点到角两边的距离相等【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判断即可．【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题意；B、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意；C、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意；故选：D．二．填空题（共7小题）5．（2018•武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是30°或150°．【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得．【解答】解：如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，∴∠AEB=∠CED=15°，则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°．如图2，∵△ADE是等边三角形，∴AD=DE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∴DE=DC，∴∠CED=∠ECD，∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∴∠CED=∠ECD=（180°﹣30°）=75°，∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°．故答案为：30°或150°．6．（2018•呼和浩特）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为①②③．【分析】先判定△MEH≌△DAH（SAS），即可得到△DHM是等腰直角三角形，进而得出DM=HM；依据当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，即可得到Rt△ADM中，DM=2AM，即可得到DM=2BE；依据点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，可得∠AHM＜∠BAC=45°，即可得出∠CHM＞135°．【解答】解：由题可得，AM=BE，∴AB=EM=AD，∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，∴EM=AH，∠AHE=90°，∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH，∴EH=AH，∴△MEH≌△DAH（SAS），∴∠MHE=∠DHA，MH=DH，∴∠MHD=∠AHE=90°，△DHM是等腰直角三角形，∴DM=HM，故②正确；当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，∴∠ADM=45°﹣15°=30°，∴Rt△ADM中，DM=2AM，即DM=2BE，故①正确；∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，∴∠AHM＜∠BAC=45°，∴∠CHM＞135°，故③正确；故答案为：①②③．7．（2018•青岛）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一步得∠AGE=∠BGF=90°，从而知GH=BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，在△ABE和△DAF中，∵，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE=∠DAF，∵∠ABE+∠BEA=90°，∴∠DAF+∠BEA=90°，∴∠AGE=∠BGF=90°，∵点H为BF的中点，∴GH=BF，∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3，∴BF==，∴GH=BF=，故答案为：．8．（2018•咸宁）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为（﹣1，5）．【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标．【解答】解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线EG，垂足为G，连接GE、FO交于点O′．∵四边形OEFG是正方形，∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，在△OGM与△EOH中，∴△OGM≌△EOH（ASA）∴GM=OH=2，OM=EH=3，∴G（﹣3，2）．∴O′（﹣，）．∵点F与点O关于点O′对称，∴点F的坐标为（﹣1，5）．故答案是：（﹣1，5）．9．（2018•江西）在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为2或2或﹣．【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=6，∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=∠DAB=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC===6，∴OA=OB=OC=OD=3，有三种情况：①点P在AD上时，∵AD=6，PD=2AP，∴AP=2；②点P在AC上时，设AP=x，则DP=2x，在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2，（2x）2=（3）2+（3﹣x）2，解得：x=﹣（负数舍去），即AP=﹣；③点P在AB上时，设AP=y，则DP=2y，在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2，y2+62=（2y）2，解得：y=2（负数舍去），即AP=2；故答案为：2或2或﹣．10．（2018•潍坊）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为（﹣1，）．【分析】连接AM，由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°，由DM=ADtan∠DAM可得答案．【解答】解：如图，连接AM，∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，∴∠B′AD=60°，在Rt△ADM和Rt△AB′M中，∵，∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL），∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°，∴DM=ADtan∠DAM=1×=，∴点M的坐标为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．11．（2018•台州）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为+3 ．【分析】根据面积之比得出△BGC的面积等于正方形面积的，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，∴阴影部分的面积为×9=6，∴空白部分的面积为9﹣6=3，由CE=DF，BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3=，设BG=a，CG=b，则ab=，又∵a2+b2=32，∴a2+2ab+b2=9+6=15，即（a+b）2=15，∴a+b=，即BG+CG=，∴△BCG的周长=+3，故答案为： +3．三．解答题（共6小题）12．（2018•盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；【解答】证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABE=∠ADF，在△ABE与△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）连接AC，四边形AECF是菱形．理由：∵正方形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF，∵OA=OC，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．13．（2018•吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．【分析】根据正方形的性质，利用SAS即可证明；【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF．14．（2018•白银）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG，∴∠CFH=∠CBG，∵BF=CF，∴△BGF≌△FHC，（2）当四边形EGFH是正方形时，可得：EF⊥GH且EF=GH，∵在△BEC中，点，H分别是BE，CE的中点，∴GH=，且GH∥BC，∴EF⊥BC，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB=EF=GH=a，∴矩形ABCD的面积=．15．（2018•潍坊）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF ⊥AM于点F，连接BE．（1）求证：AE=BF；（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．【分析】（1）通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到•x•x+•x•2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，则EF=x﹣2=4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BA=AD，∠BAD=90°，∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，∴∠ABF=∠EAD，在△ABF和△DEA中，∴△ABF≌△DEA（AAS），∴BF=AE；（2）解：设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，∵四边形ABED的面积为24，∴•x•x+•x•2=24，解得x1=6，x2=﹣8（舍去），∴EF=x﹣2=4，在Rt△BEF中，BE==2，∴sin∠EBF===．16．（2018•湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O．（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）求∠AOD的度数．【分析】（1）利用正方形的性质得出AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可得出结论；（2）利用（1）的结论得出∠ADF=∠BAE，进而求出∠ADF+∠DAO=90°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB，在△DAF和△ABE中，，∴△DAF≌△ABE（SAS），（2）由（1）知，△DAF≌△ABE，∴∠ADF=∠BAE，∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°．17．（2018•遵义）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．【分析】（1）证△OAM≌△OBN即可得；（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=2，由直角三角形性质知MN=OM．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM=ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为4，∴OH=HA=2，∵E为OM的中点，∴HM=4，则OM==2，∴MN=OM=2．。

正方形的性质与判定专题练习

正方形专题训练（含答案)一．选择题（共11小题）1．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，）,则点C的坐标为（）2．）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为(）A．a2B．a2C．a2D．a23．如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF 的度数是（）A．45°B．50°C．60°D．不确定4．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C ．对角线相等D．对角线互相垂直且相等5．正方形的一条对角线长为4,则这个正方形的面积是（)6．（2014•福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°7．顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．正方形8．下列说法中，正确的是（）A．相等的角一定是对顶角B．四个角都相等的四边形一定是正方形C．平行四边形的对角线互相平分D．矩形的对角线一定垂直9．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中,选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法，其中错误的是（）A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④10．如图，在正方形ABCD中，CE=MN，∠MCE=35°，那么∠ANM等于（）A．45°B．50°C．55°D．60°11．如图,菱形ABCD中,∠B=60°，AB=5，则以AC为边长的正方形ACEF的面积为（）A．9B．16 C．20 D．25二．填空题(共5小题）12．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB=_________度．13．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是_________度．14．如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形．AC为正方形ABCD的对角线，则∠EAC=_________度．A．8B．4C．8D．1615．已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________．16．如图所示，正方形ABCD 的周长为16cm，顺次连接正方形ABCD各边的中点,得到四边形EFGH,则四边形EFGH的周长等于_________cm,四边形EFGH的面积等于_________cm．三．解答题（共6小题）17．如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．求证：AE=BF．18．如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点,连接BP、DP，延长BC到E,使PB=PE．求证：∠PDC=∠PEC．19．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．20．在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：（1）BH=DE．（2）BH⊥DE．21．已知：如图，▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO 并延长,交BC的延长线于点E．(1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC，DE,当∠B=∠AEB=_________°时，四边形ACED是正方形？请说明理由．22．（2014•随州）已知：如图,在矩形ABCD中，M、N 分别是边AD、BC的中点,E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）填空：当AB：AD=_________时，四边形MENF 是正方形．一．选择题（共11小题）1．（2014•南充）如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，)，则点C 的坐标为( ）A ．（﹣，1） B ． (﹣1，） C ． (，1) D ．（﹣，﹣1）考点：全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．专题：几何图形问题．分析：过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点C 作CE ⊥x 轴于E ，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE,再利用“角角边”证明△AOD 和△OCE 全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD ，CE=OD ，然后根据点C 在第二象限写出坐标即可．解答：解：如图，过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点C 作CE ⊥x 轴于E ，∵四边形OABC 是正方形， ∴OA=OC ，∠AOC=90°, ∴∠COE+∠AOD=90°，又∵∠OAD+∠AOD=90°， ∴∠OAD=∠COE, 在△AOD 和△OCE 中，，∴△AOD ≌△OCE （AAS)， ∴OE=AD=，CE=OD=1，∵点C 在第二象限, ∴点C 的坐标为（﹣,1）．故选:A ．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．2．（2014•山西)如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC=2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于点M 、N ．若正方形ABCD 的边长为a,则重叠部分四边形EMCN 的面积为（）A ． a 2B ． a 2C ． a 2D ． a 2考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：几何图形问题．分析：作EP ⊥BC 于点P ，EQ ⊥CD 于点Q ，△EPM ≌△EQN,利用四边形EMCN 的面积等于正方形MCQE 的面积求解．解答：解：作EP ⊥BC 于点P,EQ ⊥CD 于点Q ，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，又∵∠EPM=∠EQN=90°，∴∠PEQ=90°,∴∠PEM+∠MEQ=90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°,∴∠PEM=∠NEQ,∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，∴EP=EN，四边形MCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，，∴△EPM≌△EQN(ASA）∴S△EQN=S△EPM,∴四边形EMCN的面积等于正方形MCQE的面积, ∵正方形ABCD的边长为a，∴AC=a，∵EC=2AE，∴EC=a，∴EP=PC=a，∴正方形MCQE的面积=a ×a=a2，∴四边形EMCN的面积=a2,故选：D．点评:本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线,证出△EPM≌△EQN．3．（2014•台州）如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF的度数是(）A．45°B．50°C．60°D．不确定考点:全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：几何图形问题．分析:过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，证明Rt△BHE≌Rt△EIF，可得∠IEF+∠HEB=90°，再根据BE=EF即可解题．解答:解：如图所示，过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，则∠BHE=∠EIF=90°,∵E是BF的垂直平分线EM上的点，∴EF=EB，∵E是∠BCD角平分线上一点，∴E到BC和CD的距离相等，即BH=EI，Rt△BHE和Rt△EIF中，，∴Rt△BHE≌Rt△EIF（HL），∴∠HBE=∠IEF ， ∵∠HBE+∠HEB=90°， ∴∠IEF+∠HEB=90°， ∴∠BEF=90°， ∵BE=EF ，∴∠EBF=∠EFB=45°．故选：A ．点评：本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质,考查了直角三角形全等的判定，全等三角形对应角相等的性质．4．（2014•郴州）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是( ) A ．对角线互相平分 B ．对角线互相垂直 C ．对角线相等 D ．对角线互相垂直且相等考点：正方形的性质;平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质．专题：证明题．分析: 本题主要依据平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线相互平分的性质来判断．解答：解：A 、对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质;B 、对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；C 、对角线相等是矩形和正方形具有的性质；D 、对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质．故选:A ．点评：本题主要考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理．5．（2014•来宾）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（）A ． 8B ． 4C ． 8D ． 16考点：正方形的性质．分析：根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．解答：解:∵正方形的一条对角线长为4, ∴这个正方形的面积=×4×4=8．故选:A ．点评：本题考查了正方形的性质，熟记利用对角线求面积的方法是解题的关键．6．（2014•福州）如图,在正方形ABCD 的外侧,作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为（）A ． 45°B ． 55°C ． 60°D ．75°考点: 正方形的性质；等腰三角形的性质;等边三角形的性质．分析: 根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°,再求∠BFC ．解答：解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=AD又∵△ADE 是等边三角形， ∴AE=AD=DE,∠DAE=60° ∴AD=AE∴∠ABE=∠AEB ，∠BAE=90°+60°=150° ∴∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15° 又∵∠BAC=45° ∴∠BFC=45°+15°=60°故选:C ．点评：本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质,本题的关键是求出∠ABE=15°．7．（2014•来宾）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（） A ．等腰梯形 B ．矩形 C ．菱形D ．正方形考点:正方形的判定；三角形中位线定理；菱形的性质．分析：根据三角形的中位线定理以及菱形的性质即可证得．解答：解：∵E ，F 是中点， ∴EH ∥BD ，同理，EF ∥AC,GH ∥AC ，FG ∥BD ， ∴EH ∥FG ,EF ∥GH ，则四边形EFGH 是平行四边形．又∵AC ⊥BD ， ∴EF ⊥EH ，∴平行四边形EFGH 是矩形．故选：B ．点评：本题主要考查了矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．8．（2014•湘西州）下列说法中，正确的是（） A ．相等的角一定是对顶角B ．四个角都相等的四边形一定是正方形C ．平行四边形的对角线互相平分D ．矩形的对角线一定垂直考点：正方形的判定;对顶角、邻补角;平行四边形的性质;矩形的性质．分析：根据对顶角的定义,正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质对各选项分析判断利用排除法求解．解答：解：A 、相等的角一定是对顶角错误，例如,角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角,故本选项错误；B 、四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形,故本选项错误；C 、平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正确；D 、矩形的对角线一定相等，但不一定垂直,故本选项错误．故选：C ．点评：本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质,对顶角的定义，熟记各性质与判定方法是解题的关键．9．（2014•株洲）已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB=BC ，②∠ABC=90°，③AC=BD,④AC ⊥BD 四个条件中,选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ) A ．选①② B ．选②③ C ．选①③ D ．选②④考点：正方形的判定；平行四边形的性质．分析:要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．解答: 解:A 、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意；B 、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形,所以不能得出平行四边形ABCD 是正方形，错误，故本选项符合题意；C 、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意； D 、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意．故选：B ．点评：本题考查了正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等;②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．10．（2014•红桥区三模）如图，在正方形ABCD 中,CE=MN ，∠MCE=35°，那么∠ANM 等于（）A ． 45°B ．50° C ．55° D ．60°考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．分析: 过B 作BF ∥MN 交AD 于F,则∠AFB=∠ANM ，根据正方形的性质得出∠A=∠EBC=90°,AB=BC,AD ∥BC,推出四边形BFNM 是平行四边形，得出BF=MN=CE ，证Rt △ABF ≌Rt △BCE,推出∠AFB=∠ECB 即可．解答：解：过B 作BF ∥MN 交AD 于F ，则∠AFB=∠ANM ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A=∠EBC=90°，AB=BC,AD ∥BC ， ∴FN ∥BM,BE ∥MN ，∴四边形BFNM 是平行四边形， ∴BF=MN ， ∵CE=MN ， ∴CE=BF,在Rt △ABF 和Rt △BCE 中∴Rt △ABF ≌Rt △BCE （HL ）, ∴∠AFB=∠ECB=35°， ∴∠ANM=∠AFB=55°，故选C ．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，主要考查学生的推理能力．11．(2014•四会市一模）如图，菱形ABCD 中,∠B=60°，AB=5,则以AC 为边长的正方形ACEF 的面积为( ）A ． 9B ． 16C ． 20D ． 25考点:菱形的性质；正方形的性质．分析：据已知可求得△ABC 是等边三角形，从而得到AC=AB,从而求出正方形ACEF 的边长,进而可求出其面积．解答：解：∵B=60°,AB=BC ， ∴△ABC 是等边三角形，∴AC=AB=5，∴正方形ACEF 的边长为5， ∴正方形ACEF 的面积为25，故选D ．点评：本题考查菱形与正方形的性质，属于基础题，对于此类题意含有60°角的题目一般要考虑等边三角形的应用．二．填空题(共5小题）12．（2009•江西模拟）如图,在正方形ABCD 的外侧,作等边三角形ADE ，则∠AEB= 15 度．考点:正方形的性质;等边三角形的性质．分析: 由等边三角形的性质可得∠DAE=60°，进而可得∠BAE=150°，又因为AB=AE ，结合等腰三角形的性质，易得∠AEB 的大小．解答: 解：△ADE 是等边三角形;故∠DAE=60°， ∠BAE=90°+60°=150°，又有AB=AE,故∠AEB=30°÷2=15°；故答案为15°．点评: 主要考查了正方形基本性质：①两组对边分别平行;四条边都相等；相邻边互相垂直；②四个角都是90°;③对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角．13．(2008•佛山）如图,已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP=BC,则∠ACP 度数是 22.5 度．考点：正方形的性质．专题:计算题．分析：根据正方形的性质可得到∠DBC=∠BCA=45°又知BP=BC,从而可求得∠BCP 的度数,从而就可求得∠ACP 的度数．解答：解：∵ABCD 是正方形， ∴∠DBC=∠BCA=45°，∵BP=BC ，∴∠BCP=∠BPC=（180°﹣45°）=67。

备考2022年中考数学一轮复习-图形的性质_四边形_正方形的性质-综合题专训及答案

备考2022年中考数学一轮复习-图形的性质_四边形_正方形的性质-综合题专训及答案正方形的性质综合题专训1、(2018哈尔滨.中考真卷) 已知:⊙O是正方形ABCD的外接圆,点E在弧AB上,连接BE、DE,点F在弧AD上,连接BF,DF,BF与DE、DA分别交于点G、点H,且DA 平分∠EDF.（1）如图1,求证:∠CBE=∠DHG;（2）如图2,在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合),连接BN交DE 于点L,过点H作HK∥BN交DE于点K,过点E作EP⊥BN垂足为点P，当BP=HF时,求证:BE=HK;（3）如图3,在(2)的条件下,当3HF=2DF时,延长EP交⊙0于点R,连接BR,若△BER的面积与△DHK的面积的差为,求线段BR的长.2、(2016常州.中考真卷)（1）阅读材料：教材中的问题，如图1，把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等，且5个小正方形的总面积为5，所以拼成的大正方形边长为，故沿虚线AB 剪开可拼成大正方形的一边，请在图1中用虚线补全剪拼示意图．（2）类比解决：如图2，已知边长为2的正三角形纸板ABC，沿中位线DE剪掉△ADE，请把纸板剩下的部分DBCE剪开，使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形．拼成的正三角形边长为；（3）在图2中用虚线画出一种剪拼示意图．（4）灵活运用：如图3，把一边长为60cm的正方形彩纸剪开，用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝，其中∠BCD=90°，延长DC、BC分别与AB、AD交于点E、F，点E、F分别为AB、AD的中点，在线段AC和EF处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨，在图3的正方形中画出一种剪拼示意图，并求出相应轻质钢丝的总长度．（说明：题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余）3、(2019吴兴.中考模拟) 定义：长宽比为：为正整数的矩形称为矩形下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．操作2：过点G作CD∥AB，使点D、点C分别落在边AF，BE上.则四边形ABCD 为矩形．（1）证明：四边形ABCD为矩形；（2）点M是边AB上一动点．如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，，连接求的值；连结AC，CM，当△AMC为等腰三角形时，将△CBM沿着CM翻折，点B的对称点为B’,连结AB’求的值.4、(2011金华.中考真卷) 在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过矩形顶点B、C．（1）当n=1时，如果a=﹣1，试求b的值；（2）当n=2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF 在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O．①试求当n=3时a的值；②直接写出a关于n的关系式．5、(2017谷城.中考模拟) 如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．①求证：BD⊥CF；②当AB=2，AD=3 时，求线段DH的长．6、(2017武汉.中考模拟) 四边形ABCD为矩形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E．（1）如图1，若AB=BC，BF∥DE，且交AG于点F，求证：AF﹣BF=EF；（2）如图2，在（1）条件下，AG= BG，求；（3）如图3，连EC，若CG=CD，DE=2，GE=1，则CE=（直接写出结果）7、(2019永州.中考真卷) 如图（1）如图1，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝8，将平行四边形ABCD分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图2﹣1所示剪开，恰好能拼成如图2﹣2所示的矩形，则m的值是多少？（3）四边形ABCD是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35），若把它按如图3﹣1所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图3﹣2所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36）．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．8、(2019封开.中考模拟) 已知，如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP ＝3PC，Q是CD的中点，求证：（1）AQ⊥QP；（2）△ADQ∽△AQP．9、(2017上思.中考模拟) 如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．①AE=EF是否总成立？请给出证明；②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，求此时点F的坐标．10、(2017河池.中考真卷) 解答题（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF 于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．11、(2013崇左.中考真卷) 如图所示，正方形ABCD中，E是CD上一点，F在CB的延长线上，且DE=BF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）问：将△ADE顺时针旋转多少度后与△ABF重合，旋转中心是什么？12、(2018沙湾.中考模拟) 如图，在正方形中，、分别是、边上的点，且.（1）求证: ；（2）若，，求的长.13、(2017兰州.中考模拟) 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC，PD．求证：（1）△APB≌△DPC；（2）∠BAP=2∠PAC．14、(2018陇南.中考真卷) 已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H 分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．15、(2019吉林.中考模拟) 若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形．（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是．（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．（初步应用）（2）如图，在绝妙四边形ABCD中，AC＝AD，且AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，求∠BCD的度数．（3）在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数．正方形的性质综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。

中考体系-71.正方形-3(最全,含答案)

正方形一、正方形的性质1. 正方形中的边角计算2. 正方形的面积3. 轴对称性4. 弦图的构造与应用5. 折叠问题6. 图形的剪拼7. 其它（全等、相似）二、正方形的判定一、正方形的性质7. 其它（全等、相似）1. 【中】（昆明市2013年初中学业水平考试数学试卷）如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点（不与A 、B 重合），对角线AC 、BD 相交于点O ，过点P 分别作AC 、BD 的垂线，分别交AC 、BD 于点E 、F ，交AD 、BC 于点M 、N ．下列结论： ①APE AME △≌△；②PM PN AC +=；③222PE PF PO +=④POF BNF △∽△； ⑤当PMN AMP △∽△时，点P 是AB 的中点．其中正确的结论有（） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个【答案】B四边形ABCD 是正方形，45BAC DAC ∴∠=∠=︒． APE AME 在△和△中，BAC DAC AE AEAEP AEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩APE AME ∴△≌△，故①正确；PE EM ∴==12PM ，NMPO FEDCBA同理，12FP FN NP ==， ABCD AC BD ⊥正方形中，又PE AC PF BD ⊥⊥，，90PEO EOF PFO APE AE PE ∴∠=∠=∠=︒=，且△中 PEOF ∴四边形是矩形． PF OE ∴=，PE PF OA ∴+=，12PE EM PM ==又， 12FP FN NP ==， 12OA AC =， PM PN AC ∴+=，故②正确； PEOF 四边形是矩形， PE OF ∴=，在直角OPF △中，222OF PF PO +=， 222PE PF PO ∴+=，故③正确.BNF POF △是等腰直角三角形，而△不一定是，故④错误；AMP △是等腰直角三角形，． PMN AMP 当△∽△时，PMN △是等腰直角三角形 PM PN ∴=，AMP BPN 又△和△都是等腰直角三角形，AP BP P AB ∴=，即时的中点．故⑤正确．2. 【中】(2013年齐齐哈尔市初中学业考试数学试卷)在锐角三角形ABC 中，AH 是BC 边上的高，分别以AB 、AC 为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG ，连接CE 、BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG CE =；②BG CE ⊥；③AM 是AEG △的中线；④EAM ABC ∠=∠，其中正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A在正方形ABDE 和ACFG 中，AB AE =，AC AG =，90BAE CAG ∠=∠=︒，∴BAE BAC CAG BAC ∠+∠=∠+∠，即CAE BAG ∠=∠，NMHGFEDCB AQP NM HGFEDCB A∵在ABG AEC △和△中， AB AE BAG CAE AG AC ⎧⎪⎨=∠=∠=⎪⎩，∴()SAS ABG AEC △≌△，∴BG CE =，故①正确；设BG CE 、相交于点N ，∵ABG AEC △≌△， ∴ACE AGB ∠=∠，∵9090180NCF NGF ACF AGF ∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴3603601809090CNG NCF NGF F ∠=︒-∠+∠+∠=︒-︒+︒=︒（）（）， ∴BG CE ⊥，故②正确；过点E 作EP HA ⊥的延长线于P ，过点G 作GQ AM ⊥于Q ， ∵AH BC ⊥，∴90ABH BAH ∠+∠=︒， ∵90BAE ∠=︒，∴1809090EAP BAH ∠+∠=︒-︒=︒，∴ABH EAP ∠=∠，即ABC EAM ∠=∠，故④正确 ∵在ABH EAP △和△中， 90ABH EAP AHB P AB AE ∠=∠∠=∠=︒=⎧⎪⎨⎪⎩，∴()AAS ABH EAP △≌△， ∴EP AH =，同理可得GQ AH =， ∴EP GQ =，∵在EPM GQM △和△中， 90P MQG EMP GMQ EP GQ ∠=∠=︒∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴EPM GQM AAS △≌△（），∴EM GM =，∴AM 是AEG △的中线，故③正确．综上所述，①②③④结论都正确．故选A ．3. 【中】（雅安市2013年初中毕业暨高中阶段教育学校招生考试数学试卷）如图，正方形ABCD 中，点E F 、分别在BC CD 、上，AEF △是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE DF =，②15DAF =∠°，③AC 垂直平分EF ，④BE DF EF +=，⑤2CEF ABE S S =△△.其中正确结论有（）个A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC CD AD ===，90B BCD D BAD ∠=∠=∠=∠=︒． ∵AEF △等边三角形，∴AE EF AF ==，60EAF ∠=︒． ∴30BAE DAF ∠+∠=︒．在Rt ABE Rt ADF △和△中， AE AFAB AD ==⎧⎨⎩， Rt ABE Rt ADF HL △≌△（），∴BE DF =，①正确．BAE DAF ∠=∠， ∴30DAF DAF ∠+∠=︒，即15DAF ∠=︒②正确， ∵BC CD =，∴BC BE CD DF -=-，即CE CF =， ∵AE AF =，∴AC 垂直平分EF ．③正确．设EC x =，由勾股定理，得EF =，2CG x =，AG x =，∴AC =∴AB∴BE x∴BE DF x +-≠，④错误， ∵22CEFx S =△， GFD ECBA22224ABE x S ==△，222ABE CEF x S S ∴==△△，⑤正确．综上所述，正确的有4个，故选C ．4. 【中】（北京师大附中期中）已知：如图，在正方形ABCD 中，5cm AB =，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，CE 与DF 交于M ，连接AM ，求线段AM 的长．【答案】如图所示，取CD 中点N ，连接AN ，交MD 于P9090905BE CF BC DC EBC FCD EBC FCD DM CE DMC ADN DCF DPN PN MC N DC P DM AN DM AM AD ==∠=∠=︒∴∴⊥∠=︒∴∠=︒∴∴∴∴==，，△≌△，同理△≌△∥是中点是中点是的垂直平分线5. 【中】（2013年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试）如图所示，在正方形ABCD 中，点G 是边BC 上任意一点，DE AG ⊥，垂足为E ，延长DE 交AB 于点F ．在线段AG 上取点H ，使得AG DE HG =+，连接BH ．求证：ABH CDE ∠=∠．【答案】证明：在正方形ABCD 中，AB AD =，90ABG DAF ∠=∠=︒，∵DE AG ⊥，∴290EAD ∠+∠=︒，MFEDCBAPNMFEDCBACGHBE FDAH GFEDCBA321又∵190EAD ∠+∠=︒， ∴12∠=∠，在ABG DAF △和△中， 1=290AB ADABG DAF ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴ABG DAF ASA △≌△（），∴AF BG AG DF AFD BGA ==∠=∠，，， ∵AG DE HG AG DE EF =+=+，， ∴EF HG =，在AEF BHG △和△中， AF BG AFD BGA EF HG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEF BHG SAS △≌△（），∴13∠=∠， ∴23∠=∠，∵290CDE ADC ∠+∠=∠=︒， 390ABH ABC ∠+∠=∠=︒， ∴ABH CDE ∠=∠．6. 【中】（2010七年级广雅实验数学检测）已知在正方形ABCD 中，P 是AC 上的任意一点，过点P 作PE AB ⊥，作PF BC ⊥，延长DP 交EF 于点M ，则DM 与EF 有怎样的位置关系，试说明理由．【答案】DM EF ⊥，理由如下：证明：延长EP 交CD 于Q ，PQ FP =，DQ AE EP ==，90DQP EPF ∠=∠=°， ∴DQP EPF △≌△，∴QDP PEF ∠=∠， ∵90QDP QPD PEF EPM ∠+∠=∠+∠=°， ∴90PME ∠=°， ∴DM EF ⊥．7. 【中】（2013年安徽省芜湖市中考试卷）如图1，ABC △是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D 、F 分别在AB 、AC 边上，此时BD CF =，BD CF ⊥成立．P MFE DC BA⑴ 当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转()090θθ︒<<︒时，如图2，BD CF =成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．⑵ 当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45︒时，如图3，延长BD 交CF 于点G ． ①求证：BD CF ⊥；②当4AB =，AD =时，求线段BG 的长．【答案】⑴成立⑵①略②BG =8. 【中】（2013年湘潭市初中毕业学业考试数学试题卷）在数学活动课中，小辉将边长为3的两个正方形放置在直线l 上，如图1，他连结AD CF ，，经测量发现AD CF =. ⑴他将正方形ODEF 绕O 点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD 与CF 还相等吗？说明你的理由；⑵他将正方形ODEF 绕O 点逆时针旋转，使点E 旋转至直线l 上，如图3，请你求出CF 的长.【答案】⑴AD CF =．理由如下：在正方形ABCO 和正方形ODEF 中，AO CO OD OF ==，，90AOC DOF ∠=∠=︒，45°D G 图3BE AFCθCFAEDB图2图1BD E AFC图3lOG FD ECBA∴AOC COD DOF COD ∠+∠=∠+∠，即AOD COF ∠=∠，在AOD COF △和△中， AO CO AOD COF OD OF ⎧⎪⎨=∠=∠=⎪⎩，∴AOD COF SAS △≌△（），∴AD CF =；⑵与⑴同理求出CF AD =，如图，连接DF 交OE 于G ，则12DF OE DG OG OE ⊥==，，∵ODEF 正方形∴2OE ，∴112122DG OG OE ===⨯=，∴314AG AO OG =+=+=，在Rt ADG △中，AD ==∴CF AD =9. 【中】(2013年齐齐哈尔市初中学业考试数学试卷)正方形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是射线AB 上一点，点F 是直线AD 上一点，BE DF =，连接EF 交线段BD于点G ，交AO 于点H ．若3AB =，AG =EH 的长为__________．解：由EF 与线段BD 相交，可知点E F 、位于直线BD 的两侧，因此有两种情形，如下：答图1O KNMHGFED CBA答图2O K NMHGFEDCBA①点E 在线段AB 上，点F 在线段AD 延长线上，依题意画出图形，如答图1所示：过点E 作EM AB ⊥，交BD 于点M ，则EM AF ∥，BEM △为等腰直角三角形，∵EM AF ∥，∴EMG FDG ∠=∠，GEM F ∠=∠；∵BEM △为等腰直角三角形，∴EM BE =，∵BE DF =，∴EM DF =．在EMG FDG △与△中， EMG FDG EM DFGEM F ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩， ∴()ASA EMG FDG △≌△， ∴EG FG =，即G 为EF 的中点，∴2EF AG ==（直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半）设BE DF x ==，则3AE x =-，3AF x =+，在Rt AEF △中，由勾股定理得：222AE AF EF +=，即()()(22233x x -++=，解得1x =，即1BE DF ==，∴2AE =，4AF =， ∴12tan F ∠=．设EF 与CD 交于点K ，则在Rt DFK △中，1•2DK DF tan F =∠=， ∴52CK CD DK =-=． ∵AB CD ∥，∴45225AH AE CH CK ===，∵49AC AH CH AH AC =+=∴== 过点H 作HN AE ∥，交AD 于点N ，则ANH △为等腰直角三角形，∴43AN AH ==．∵HN AE ∥，∴434EH AN EF AF ==，∴EH ②点E 在线段AB 的延长线上，点F 在线段AD 上，依题意画出图形，如答图2所示：同理可求得：EH 综上所述，线段EH10. 【中】如图，正方形ABCD 中，AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B ，直角顶点P 在射线AC 上移动，另一边交DC 于Q ．⑴如图1，当点Q 在DC 边上时，猜想并写出PB 与PQ 所满足的数量关系；并加以证明；⑵如图2，当点Q 落在DC 的延长线上时，猜想并写出PB 与PQ 满足的数量关系，请证明你的猜想．【答案】⑴PB PQ =，证明：过P 作PE BC ⊥，PF CD ⊥， ∵P ，C 为正方形对角线AC 上的点， ∴PC 平分DCB ∠，90DCB ∠=°， ∴PF PE =，∴四边形PECF 为正方形，∵90BPE QPE ∠+∠=°，90QPE QPF ∠+∠=°， ∴BPE QPF ∠=∠，∴Rt Rt PQF PBE △≌△， ∴PB PQ =； ⑵PB PQ =，证明：过P 作PE BC ⊥，PF CD ⊥，图1Q PDCBA图2QP DC BAB∵P ，C 为正方形对角线AC 上的点， ∴PC 平分DCB ∠，90DCB ∠=°， ∴PF PE =，∴四边形PECF 为正方形，∵90BPE QPE ∠+∠=°，90QPE QPF ∠+∠=°， ∴BPE QPF ∠=∠，∴Rt Rt PQF PBE △≌△， ∴PB PQ =．11. 【中】（2012贵州黔东南州中考）点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与A 、B 重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得线段PE ，连接BE ，则CBE ∠等于（）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30° 【解析】过点E 作EF AF ⊥，交AB 的延长线于点F ，则90F ∠=°，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD AB =，90A ABC ∠=∠=°， ∴90ADP APD ∠+∠=°，由旋转可得：PD PE =，90DPE ∠=°， ∴90APD EPF ∠+∠=°， ∴ADP EPF ∠=∠，在APD △和FEP △中， ∵90ADP FPE A F PD EP ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩°， FEQPDC BAPEDCBAFABCDEP∴()AAS APD FEP △≌△， ∴AP EF =，AD PF =，又∵AD AB =，∴PF AB =，即AP PB PB BF +=+， ∴AP BF =，∴BF EF =，又90F ∠=°， ∴BEF △为等腰直角三角形， ∴45EBF ∠=°，又90CBF ∠=°，则45CBE ∠=°．【答案】C12. 【中】（四边形练习题）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=°，且EF 交正方形外角DCG ∠的角分线CF 于点F ，求证：AE EF =．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM EC =，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究： ⑴小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE EF =”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； ⑵小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE EF =”仍然成立．你认为小华的观点正确的吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．【答案】：⑴正确．证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． ∴BM BE =．∴45BME ∠=°.∴135AME ∠=°． ∵CF 是外角平分线，∴45DCF ∠=°. ∴135ECF ∠=°． ∴AME ECF ∠=∠．∵90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠．∴()ASA AME ECF △≌△． ∴AE EF =． ⑵正确．证明：在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE ． ∴BN BE =．∴45N FCE ∠=∠=° 四边形ABCD 是正方形， ∴AD BE ∥．∴DAE BEA ∠=∠． ∴NAE CEF ∠=∠．∴()ANE ECF ASA △≌△． ∴AE EF =．图1GFE DC BAM FE DC BA 图2图3N GFEDCBA13. 【中】（2013年衡阳市初中毕业学业水平考试数学试卷）如图，P 为正方形ABCD 的边AD 上的一个动点，AE BP ⊥，CF BP ⊥，垂足分别为点E F ，，已知4AD =． ⑴试说明22AE CF +的值是一个常数；⑵过点P 作PM FC ∥交CD 于点M ，点P 在何位置时线段DM 最长，并求出此时DM 的值．【答案】解：⑴由已知90AEB BFC ∠=∠=︒，AB BC =，又∵ABE FBC BCF FBC ∠+∠=∠+∠， ∴ABE BCF ∠=∠，∵在ABE BCF △和△中，ABE BCF AEB BFC AB BC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴()AAS ABE BCF △≌△，∴AE BF =，∴2222216AE CF BF CF BC +=+==为常数； ⑵设AP x =，则4PD x =-，由已知DPM PAE ABP ∠=∠=∠， ∴PDM BAP △∽△， ∴DM AP PD AB =，即44DM xx =-， ∴()24144x x DM x x -==-，当2x =时，DM 有最大值为1．14. 【中】（黑龙江省龙东地区2013年初中毕业学业统一考试数学试题）正方形ABCD 的顶点A 在直线MN 上，点O 是对角线AC 、BD 的交点，过点O 作OE MN ⊥于点E ，过点B 作BF MN ⊥于点F ． ⑴ 如图1，当O 、B 两点均位于直线MN 上方时，易证：2AF BF OE +=（不需证明）． ⑵ 当正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF 、BF 、OE 之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【答案】图2结论：2AF BF OE -=图3结论：2BF AF OE -= 对于图2证明：过点B 作BG OE ⊥交OE 的延长线于G ，则四边形BGEF 是矩形， ∴BF GE =，EF GB =， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA OB ⊥，AC BD =． ∵BG OG ⊥，OE MN ⊥， ∴1290∠+∠=︒， 1390∠+∠=︒．∴23∠=∠，90OEA OGB ∠=∠=︒．又∵正方形ABCD ，∴1122OA OB AC BD ===． ∴AOE OBG △≌△． ∴AE OG =，OE GB =， ∴OE EF =．∴AF BF AE FE BF -=+- 2OE EG OE GE OE =++-= ∴2AF BF OE -=．若选如图3，其证明方法同上．图3图1图2MA EFNBO DCMA EF NB ODCCDOBNF E AM15. 【中】(2013年绥化市初中毕业学业考试数学试卷)已知，在ABC △中，90BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合）．以AD 为边做正方形ADEF ，连接CF ．⑴ 如图1，当点D 在线段BC 上时．求证：CF CD BC +=；⑵ 如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系；⑶ 如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为AE ，DF 相交于点O ，连接OC ．求OC 的长度．【答案】⑴证明：∵90BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，∴45ACB ABC ∠=∠=︒， ∴AB AC =．∵四边形ADEF 是正方形， ∴AD AF =，90DAF ∠=︒．∵90BAD DAC ∠=︒-∠，90CAF DAC ∠=︒-∠， ∴BAD CAF ∠=∠． ∴BAD CAF △≌△． ∴BD CF =．∵BD CD BC +=， ∴CF CD BC +=． ⑵CF CD BC -=． ⑶①CD CF BC -=．②∵90BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒， ∴45ACB ABC ∠=∠=︒．图1FED CBA图2FEDC BA图3OFE DC BA∴AB AC =．∵四边形ADEF 是正方形， ∴AD AF =，90DAF ∠=︒．∵90BAD BAF ∠=︒-∠，90CAF BAF ∠=︒-∠， ∴BAD CAF ∠=∠． ∴BAD CAF △≌△． ∴ACF ABD ∠=∠． ∵45ABC ∠=︒， ∴135ABD ∠=︒．∴135ACF ABD ∠=∠=︒． ∴90FCD ∠=︒．∴FCD △为直角三角形．∵正方形ADEF的边长为AE 、DF 相交于点O ，∴4DF ==，O 为DF 中点． ∴122OC DF ==．16. 【中】（2013年武汉市初中毕业生学业考试数学试卷）如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．1解：在正方形ABCD 中，AB AD CD ==，BAD CDA ∠=∠，ADG CDG ∠=∠，在ABE DCF △和△中， AB CD BAD CDA AE DF ⎧⎪⎨=∠=∠=⎪⎩，∴()SAS ABE DCF △≌△， ∴12∠=∠，在ADG CDG △和△中，O 321HGF EDCBAAD CD ADG CDG DG DG ⎧⎪⎨=∠=∠=⎪⎩，∴()SAS ADG CDG △≌△， ∴23∠=∠， ∴13∠=∠，∵390BAH BAD ∠+∠=∠=︒， ∴190BAH ∠+∠=︒，∴1809090AHB ∠=︒-︒=︒，取AB 的中点O ，连接OH OD 、，则112OH AO AB ===，在Rt AOD △中，OD == 根据三角形的三边关系，OH DH OD +＞，∴当O D H 、、三点共线时，DH 的长度最小，最小值=1OD OH -=1.17. 【中】（北京西城初二下期末）如图，正方形ABCD 中，BD 是对角线，E 、F 点分别在BC 、CD 边上，且△AEF 是等边三角形． ⑴ 求证：ABE ADF △≌△；⑵ 过点D 作DG BD ⊥交BC 延长线于点G ，在DB 上截取DH DA =，连结HG ．请你参考下面方框中的方法指导，证明：．【答案】⑴∵正方形ABCD ，∴AB AD =，90ABC ADC ∠=∠=°．方法指导在一些证明线段间数量关系的问题中，有时可以运用代数计算的方法进行证明．例如：要证明DE BE =．可设AB a =，AE b =（0b a >>），在Rt ABE △和Rt ADF △中， 22222BE AE AB b a =-=-． 22222DF AF AD b a =-=-． ∴22DF BE =． ∴DF BE =．这就是图形证明中代数方法的应用．运用代数方法证明几何问题时，线段通常用单个小写字母表示．又AEF △是等边三角形， ∴AE AF =．∴Rt Rt ABE ADF △≌△．⑵设正方形的边长为a ，()0CE x x a =<<．在正方形ABCD 中，BD 是对角线，DG BD ⊥， ∴1245∠=∠=°．∴DA DC DH CG a ====，DG==．在Rt DHG △中，222HG DH DG =+， ∴HG=．又由⑴可得BE DF =，则CE CF x ==，BE DF a x ==-．在Rt ECF △中，EF=． ∴AF EF ==．在Rt ADF △中， 222AD DF +． ∴222)()a a x =+-，整理，得22220x axa +-=．解得x =a =-（负舍）． ∴x a =-．∴EG EC CG =+()a a =-+==． ∴EG HG =．二、正方形的判定18. 【易】（2010年北京裕中期中）黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是________．【答案】正方形19. 【易】（2011年松江区初中毕业生学业模拟考试）下列命题中，错误的是（）A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形；B ．对角线相等的菱形是正方形；C ．对角线互相垂直的矩形是正方形；D ．一组邻边相等的矩形是正方形．【答案】A20. 【易】（期末模拟练习）下列说法不正确的是（）A ．有一个角是直角的菱形是正方形B ．两条对角线相等的菱形是正方形C ．对角线互相垂直的矩形是正方形D ．四条边都相等的四边形是正方形【答案】D2GH EFBCDA 121. 【易】（初二数学期末复习五）在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（） A ．AC BD =，AB CD ∥，AB CD = B ．AD BC ∥，A C ∠=∠ C ．AO BO CO DO ===，AC BD ⊥ D ．AO CO =，BO DO =，AB BC = 【答案】C22. 【易】（2010年北京西城期中）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相平分，要使它成为正方形，需要添加的条件是（）A ．AB CD = B ．AC BD = C ．AC BD ⊥ D ．AC BD =且AC BD ⊥ 【答案】D23. 【易】（丰台区2010-2011学年度第二学期期末练习）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 互相垂直平分，若使四边形ABCD 是正方形，则需要添加一个条件为________．（图形中不再添加辅助线，写出一个条件即可）【答案】90ABC ∠=︒（答案不唯一）24. 【易】（天津市河西区2011年初中毕业生学业考试模拟试卷（二）数学）要使一个菱形成为正方形，则需增加的条件是________．（填上一个正确的结论即可）．【答案】答案不唯一，如：对角线相等25. 【易】（莆田市中考）如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件：使得该菱形为正方形________．【答案】AB BC ⊥或AC BD =或AO BO =等26. 【易】（2011年广西崇左市中考题）矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的矩形，也是特殊的菱形．因此，我们可利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．回答下列问题： ⑴将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们的包含关系的下图中．ODCBAODCBA ODCBA⑵要证明一个四边形是正方形，可先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的________相等；或者先证明四边形是菱形，在证明这个菱形有一个角是________．⑶某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为a 的正方形面积是20.5S a =，对此结论，你认为是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举出一个反例说明．【答案】⑴⑵邻边，直角； ⑶正确．27. 【易】（单元测试）如图，在ABC △中，90C ∠=°，A ∠、B ∠的平分线交于点D ，DE BC ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ．求证：四边形CFDE 是正方形．【答案】连接BD∵DF BC ⊥，DE AC ⊥ ∴90DEB DFA ∠=∠=° 又∵90C ∠=°∴90DEB DFA C ∠=∠=∠=° ∴四边形DFCE 是矩形 ∵AD ，BD 是角平分线 ∴CD 是角平分线 ∴DE DF =四边形CEDF 为正方形28. 【易】（北京一六一中学2011-2012期中）以四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E ，F ，G ，H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ．⑴ 如图1，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形；如图2，当四边形ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH 的形状（不要求证明）；⑵ 如图3，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设()090ADC αα∠=<<°°， ① 试用含α的代数式表示HAE ∠； ② 求证：HE HG =；③ 四边形EFGH 是什么四边形?并说明理由．平行四边形菱形正方形矩形FEDC BA【答案】⑴四边形EFGH 是正方形⑵①在平行四边形ABCD 中，AB CD ∥∴180BAD α∠=-°∵HAD △和EAB △是等腰直角三角形∴45HAD EAB ∠=∠=°∴()3603604545180HAE HAD EAB BAD α∠=-∠-∠-∠=---°°°°°-90α=+°②证明：∵ABE △和GDC △是等腰直角三角形∴AE AB =，DG = ∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB CD =∴AE DG =∵HAD △和GDC △是等腰直角三角形∴45HDA CDG ∠=∠=°∴90HDG HDA ADC CDG HAE α∠=∠+∠+∠=+=∠°∵△HAD 是等腰直角三角形∴HA HD =∴HAE HDG △≌△∴HE HG =③四边形EFGH 是正方形由②同理可得GH GF =GF FE =∵HE HG =∴GF GH FE HE ===∴四边形EFGH 是菱形∵HAE HDG △≌△∴DHG AHE ∠=∠又∵90AHD AHG DHG ∠=∠+∠=°∴90EHG AHG AHE ∠=∠+∠=°∴四边形EFGH 是正方形29. 【易】（初二下期末综合练习（三））如图1，在正方形ABCD 中，点E F 、分别为边BC CD 、的中点，AF DE 、相交于点G ，则可得结论：①AF DE =；②AF DE ⊥．（不需要证明）⑴如图2，若点E F 、不是正方形ABCD 的边BC CD 、的中点，但满足CE DF =．则上面的结论①②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）⑵如图3，若点E F 、分别在正方形ABCD 的边CB 的延长线和DC 的延长线上，且CE DF =，此时上面的结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．⑶如图4，在⑵的基础上，连接AE 和EF ，若点M ，N ，P ，Q 分别为AE ，EF ，FD ，AD 的中点，请判断四边形MNPQ 是“矩形，菱形，正方形，等腰梯形”中的哪一种？并写出证明过程．【答案】⑴成立；⑵成立．由ADF DCE △≌△及“8”字形可得．⑶四边形MNPQ 是正方形．由DE AF ⊥，DE AF =及三角形中位线定理可证．30. 【易】（扬州市2013年初中毕业、升学统一考试数学试题）如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 在边AB 上，连接CD ，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90︒至CE 位置，连接AE ．⑴求证：AB AE ⊥；⑵若2BC AD AB =⋅，求证：四边形ADCE 为正方形．【答案】⑴思路：由BCD ACE △≌△得45CAE B ∠=∠=︒，故得出90BAE ∠=︒⑵思路：由条件可先证出ACD ABC △∽△，进而得出90ADC ∠=︒，易证四边形ADCE 是矩形，再由DC CE =，可得四边形ADCE 是正方形．31. 【易】（南京市2013年初中毕业生学业考试数学试题）图1G F E D C B A 图2A B CD E F G图3A BC DE F G图4P O NMA B C DEF G EDCB A如图，在四边形ABCD 中，AB BC =，对角线BD 平分ABC ∠，P 是BD 上一点，过点P 作PM AD ⊥，PN CD ⊥，垂足分别为M N 、． ⑴求证：ADB CDB ∠=∠；⑵若90ADC ∠=︒，求证：四边形MPND 是正方形．【答案】证明：⑴∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠．又∵BA BC =，BD BD =，∴ABD CBD △≌△．∴ADB CDB ∠=∠．⑵∵PM AD ⊥，PN CD ⊥，∴90PMD PND ∠=∠=︒．又∵90ADC ∠=︒，∴四边形MPND 是矩形．∵ADB CDB ∠=∠，PM AD ⊥，PN CD ⊥， ∴PM PN =．∴四边形MPND 是正方形．P NMD B A。

中考数学压轴题练习正方形问题(含解析)

正方形问题1 如图，在边长为6的正方形ABCD 的两侧作正方形BEFG 和正方形DMNK ，恰好使得N 、A 、F 三点在一直线上，连接MF 交线段AD 于点P ,连接NP ，设正方形BEFG 的边长为x ，正方形DMNK 的边长为y ．(1）求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）当△NPF 的面积为32时,求x 的值;（3）以P 为圆心，AP 为半径的圆能否与以G 为圆心，GF 为半径的圆相切？如果能，请求出x 的值，如果不能，请说明理由．解析:(1）∵正方形BEFG 、正方形DMNK 、正方形ABCD ∴∠E ＝∠F ＝90O,AE ∥MC ，MC ∥NK ∴AE ∥NK ，∴∠KNA ＝∠EAF∴△KNA ∽△EAF ，∴错误! ＝错误! ，即错误! ＝错误! ∴y ＝x ＋6（0＜x ≤6）（2）由(1)知NK ＝AE ，∴AN ＝AF∵正方形DMNK ，∴AP ∥NM ，∴错误! ＝错误! ＝1 ∴FP ＝PM ，∴S △MNP ＝S △NPF ＝32 ∴S 正方形DMNK ＝2S △MNP ＝64 ∴y ＝8，∴x ＝2（3）连接PG ,延长FG 交AD 于点H ,则GH ⊥AD易知：AP ＝错误! ，AH ＝x ，PH ＝错误! －x ，HG ＝6;PG ＝AP ＋GF ＝错误! ＋x ①当两圆外切时在Rt △GHP 中，PH 2＋HG 2＝PG 2，即( 错误! －x )2＋6 2＝( 错误! ＋x ）2NK GCE DFAB P M解得:x ＝－3－3 错误!(舍去）或x ＝－3＋3 错误! ②当两圆内切时在Rt △GHP 中,PH 2＋HG 2＝PG 2，即（错误! －x ）2＋6 2＝（错误! －x ）2方程无解所以，当x ＝3 错误!－3时，两圆相切2 已知：正方形ABCD 的边长为1，射线AE 与射线BC 交于点E ，射线AF 与射线CD 交于点F ，∠EAF ＝45°，连接EF ．(1）如图1,当点E 在线段BC 上时，试猜想线段EF 、BE 、DF 有怎样的数量关系？并证明你的猜想；(2）设BE ＝x ,DF ＝y ，当点E 在线段BC 上运动时（不包括点B 、C ）,求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）当点E 在射线BC 上运动时（不含端点B ），点F 在射线CD 上运动．试判断以E 为圆心，以BE 为半径的⊙E 和以F 为圆心,以FD 为半径的⊙F 之间的位置关系;(4）如图2,当点E 在BC 的延长线上时，设AE 与CD 交于点G ．问:△EGF 与△EFA 能否相似？若能相似，求出BE 的长，若不可能相似，请说明理由．解析：AB DCEF图1ABD CEFG图2AB DCEF图1F ′12（1）猜想：EF＝BE＋DF证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°,得△ABF′,易知点F′、B、E在同一直线上（如。

2021年中考数学复习题考点27：正方形

2021年中考数学复习题：考点27 正方形一．选择题（共4小题）1．（无锡）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH 的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（）A．等于B．等于C．等于D．随点E位置的变化而变化【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．【解答】解：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∴△AEH∽△ACD，∴==．设EH=3x，AH=4x，∴HG=GF=3x，∴tan∠AFE=tan∠FAG===．故选：A．2．（宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（）A．1 B．C．D．【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，S正方形ABCD=，∴S阴=故选：B．3．（湘西州）下列说法中，正确个数有（）①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线互相垂直的四边形为菱形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得答案．【解答】解：①对顶角相等，故①正确；②两直线平行，同旁内角互补，故②错误；③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确，故选：B．4．（张家界）下列说法中，正确的是（）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B．对角线相等的平行四边形是正方形C．相等的角是对顶角D．角平分线上的点到角两边的距离相等【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判断即可．【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题意；B、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意；C、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意；故选：D．二．填空题（共7小题）5．（武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是30°或150°．【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得．【解答】解：如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，∴∠AEB=∠CED=15°，则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°．如图2，∵△ADE是等边三角形，∴AD=DE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∴DE=DC，∴∠CED=∠ECD，∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∴∠CED=∠ECD=（180°﹣30°）=75°，∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°．故答案为：30°或150°．6．（呼和浩特）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H 为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为①②③．【分析】先判定△MEH≌△DAH（SAS），即可得到△DHM是等腰直角三角形，进而得出DM=HM；依据当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，即可得到Rt △ADM中，DM=2AM，即可得到DM=2BE；依据点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，可得∠AHM＜∠BAC=45°，即可得出∠CHM＞135°．【解答】解：由题可得，AM=BE，∴AB=EM=AD，∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，∴EM=AH，∠AHE=90°，∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH，∴EH=AH，∴△MEH≌△DAH（SAS），∴∠MHE=∠DHA，MH=DH，∴∠MHD=∠AHE=90°，△DHM是等腰直角三角形，∴DM=HM，故②正确；当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，∴∠ADM=45°﹣15°=30°，∴Rt△ADM中，DM=2AM，即DM=2BE，故①正确；∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，∴∠AHM＜∠BAC=45°，∴∠CHM＞135°，故③正确；故答案为：①②③．7．（青岛）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一步得∠AGE=∠BGF=90°，从而知GH=BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，在△ABE和△DAF中，∵，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE=∠DAF，∵∠ABE+∠BEA=90°，∴∠DAF+∠BEA=90°，∴∠AGE=∠BGF=90°，∵点H为BF的中点，∴GH=BF，∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3，∴BF==，∴GH=BF=，故答案为：．8．（咸宁）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E 的坐标为（2，3），则点F的坐标为（﹣1，5）．【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标．【解答】解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线EG，垂足为G，连接GE、FO交于点O′．∵四边形OEFG是正方形，∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，在△OGM与△EOH中，∴△OGM≌△EOH（ASA）∴GM=OH=2，OM=EH=3，∴G（﹣3，2）．∴O′（﹣，）．∵点F与点O关于点O′对称，∴点F的坐标为（﹣1，5）．故答案是：（﹣1，5）．9．（江西）在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为2或2或﹣．【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=6，∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=∠DAB=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC===6，∴OA=OB=OC=OD=3，有三种情况：①点P在AD上时，∵AD=6，PD=2AP，∴AP=2；②点P在AC上时，设AP=x，则DP=2x，在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2，（2x）2=（3）2+（3﹣x）2，解得：x=﹣（负数舍去），即AP=﹣；③点P在AB上时，设AP=y，则DP=2y，在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2，y2+62=（2y）2，解得：y=2（负数舍去），即AP=2；故答案为：2或2或﹣．10．（潍坊）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为（﹣1，）．【分析】连接AM，由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°，由DM=ADtan∠DAM可得答案．【解答】解：如图，连接AM，∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，∴∠B′AD=60°，在Rt△ADM和Rt△AB′M中，∵，∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL），∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°，∴DM=ADtan∠DAM=1×=，∴点M的坐标为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．11．（台州）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为+3．【分析】根据面积之比得出△BGC的面积等于正方形面积的，进而依据△BCG 的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，∴阴影部分的面积为×9=6，∴空白部分的面积为9﹣6=3，由CE=DF，BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3=，设BG=a，CG=b，则ab=，又∵a2+b2=32，∴a2+2ab+b2=9+6=15，即（a+b）2=15，∴a+b=，即BG+CG=，∴△BCG的周长=+3，故答案为： +3．三．解答题（共6小题）12．（盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；【解答】证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABE=∠ADF，在△ABE与△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）连接AC，四边形AECF是菱形．理由：∵正方形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF，∵OA=OC，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．13．（吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．【分析】根据正方形的性质，利用SAS即可证明；【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF．14．（白银）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG，∴∠CFH=∠CBG，∵BF=CF，∴△BGF≌△FHC，（2）当四边形EGFH是正方形时，可得：EF⊥GH且EF=GH，∵在△BEC中，点，H分别是BE，CE的中点，∴GH=，且GH∥BC，∴EF⊥BC，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB=EF=GH=a，∴矩形ABCD的面积=．15．（潍坊）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM 于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．（1）求证：AE=BF；（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．【分析】（1）通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到•x•x+•x•2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，则EF=x ﹣2=4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BA=AD，∠BAD=90°，∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，∴∠ABF=∠EAD，在△ABF和△DEA中，∴△ABF≌△DEA（AAS），∴BF=AE；（2）解：设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，∵四边形ABED的面积为24，∴•x•x+•x•2=24，解得x1=6，x2=﹣8（舍去），∴EF=x﹣2=4，在Rt△BEF中，BE==2，∴sin∠EBF===．16．（湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O．（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）求∠AOD的度数．【分析】（1）利用正方形的性质得出AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可得出结论；（2）利用（1）的结论得出∠ADF=∠BAE，进而求出∠ADF+∠DAO=90°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB，在△DAF和△ABE中，，∴△DAF≌△ABE（SAS），（2）由（1）知，△DAF≌△ABE，∴∠ADF=∠BAE，∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°．17．（遵义）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．【分析】（1）证△OAM≌△OBN即可得；（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=2，由直角三角形性质知MN=OM．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM=ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为4，∴OH=HA=2，∵E为OM的中点，∴HM=4，则OM==2，∴MN=OM=2．。

2021年中考复习九年级数学分类专题：正方形的判定与性质(一)(含答案)

2021年九年级数学中考复习分类专题：正方形的判定与性质（一）一．选择题1．下列说法不正确的是（）A．对角线互相垂直的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．有一个角是直角的平行四边形是正方形D．邻边相等的矩形是正方形2．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH 的面积是（）A．30 B．34 C．36 D．403．在△ABC中，AC＝AB，D，E，F分别是AC，BC，AB的中点，则下列结论中一定正确的是（）A．四边形DEBF是矩形B．四边形DCEF是正方形C．四边形ADEF是菱形D．△DEF是等边三角形4．如图，八边形ABCDEFGH中，AB＝CD＝EF＝GH＝1，BC＝DE＝FG＝HA＝，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠H＝135°，则这个八边形的面积等于（）A ．7B ．8C ．9D ．145．直角梯形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，DC ＜AB ，AB ＝AD ＝12，E 是边AD 上的一点，恰好使CE ＝10，并且∠CBE ＝45°，则AE 的长是（）A ．2或8B ．4或6C ．5D ．3或76．如图，小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 中任选两个作为补充条件，使▱ABCD 为正方形．现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A ．②③B ．①③C ．①②D ．③④7．已知，如图一张三角形纸片ABC ，边AB 长为10cm ，AB 边上的高为15cm ，在三角形内从左到右叠放边长为2的正方形小纸片，第一次小纸片的一条边都在AB 上，依次这样往上叠放上去，则最多能叠放的正方形的个数是（）A ．12B ．13C ．14D ．158．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，过点O作EF 垂直于BD 交AB ，CD 分别于点F ，E ，连接DF ，BE ．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE ＝OF ；小何：四边形DFBE 是正方形；小夏：S 四边形AFED ＝S 四边形FBCE ；小雨：∠ACE ＝∠CAF ．这四位同学写出的结论中不正确的是（）A．小青B．小何C．小夏D．小雨9．如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（）A．3 B．2 C．4 D．810．如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD 的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为2﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，∠ABE＝45°，BC＝CD，若AE＝5，CE＝2，则BC的长度为．12．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC ＝40cm，则图1中对角线AC的长为cm．13．在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝10，点E在AB上，BE＝6且∠DCE＝45°，则DE的长为．14．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝acm，则图1中对角线AC的长为cm．15．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC＝90°．点E、F分别在边AB、AD上，CE与BF相交于点G，BE＝AF．线段BG的垂直平分线交BE于点H，且∠EHG ＝54°．若∠EGH＝m o，则m＝．16．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD 的面积是18，则DP的长是．17．如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH＝FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG ＝3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为．三．解答题18．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．19．如图，▱ABCD中，∠A＝45°，过点D作ED⊥AD交AB的延长线于点E，且BE＝AB，连接BD，CE．（1）求证：四边形BDCE是正方形；（2）P为线段BC上一点，点M，N在直线AE上，且PM＝PB，∠DPN＝∠BPM．求证：AN ＝PB．20．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D 不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）连结BD，交EF于点Q，求证：DQ•BC＝CE•DF．21．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．（1）求证：四边形MANP是正方形；（2）求证：EM＝BN．22．如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．（1）直接写出图1中正方形ABCD的面积及边长；（2）在图2的4×4方格中，画一个面积为10的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并把图2中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数．23．如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，DE，EG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）①设∠BAC＝α，请用含α的代数式表示∠EDA，∠DAG；②求证：四边形ADEG是平行四边形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？请说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、正确．对角线互相垂直的矩形是正方形；B、正确．对角线相等的菱形是正方形；C、错误．应该是有一个角是直角的平行四边形是矩形；D、正确．邻边相等的矩形是正方形；故选：C．2．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG．在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠BEF+∠AEH＝90°，∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是正方形，∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝，∴四边形EFGH的面积是：×＝34，故选：B．3．解：结论：四边形ADEF是菱形．理由如下：∵CD＝AD，CE＝EB，∴DE∥AB，∵BE＝EC，BF＝FA，∴EF∥AC，∴四边形ADEF是菱形，∵AC＝AB，∴AD＝AF，∴四边形ADEF是菱形．故选：C．4．解：如图，延长AB、DC交于M点，延长CD、FE交于N点，延长EF、HG交于P点，延长GH、BA交于Q点，则MNPQ是矩形，∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝∠H＝135°，∴△BCM、△DEN、△FGP、△AHQ均为等腰直角三角形．这个八边形的面积等于＝矩形面积﹣4个小三角形的面积＝3×3﹣4×1×1÷2＝7．故选：A．5．解：如图，过点B作BF⊥CD交DC的延长线于F，∵∠A＝∠D＝90°，AB＝AD，∴四边形ABFD是正方形，把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，则AE＝FG，BE＝BG，∠ABE＝∠FBG，∵∠CBE＝45°，∴∠CBG＝∠CBF+∠FBG＝∠CBF+∠ABE＝90°﹣∠CBE＝90°﹣45°＝45°，∴∠CBE＝∠CBG，在△CBE和△CBG中，，∴△CBE≌△CBG（SAS），∴CE ＝CG ，∴AE +CF ＝FG +CF ＝CG ＝CE ，设AE ＝x ，则DE ＝12﹣x ，CF ＝10﹣x ，∴CD ＝12﹣（10﹣x ）＝x +2，在Rt △CDE 中，CD 2+DE 2＝CE 2，即（x +2）2+（12﹣x ）2＝102，整理得，x 2﹣10x +24＝0，解得x 1＝4，x 2＝6，所以AE 的长是4或6．故选：B ．6．解：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴当②∠ABC ＝90°时，平行四边形ABCD 是矩形，当AC ＝BD 时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD 是正方形，故此选项错误，符合题意；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，当①AB ＝BC 时，平行四边形ABCD 是菱形，当③AC ＝BD 时，菱形ABCD 是正方形，故此选项正确，不合题意；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，当①AB ＝BC 时，平行四边形ABCD 是菱形，当②∠ABC ＝90°时，菱形ABCD 是正方形，故此选项正确，不合题意；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴当③AC ＝BD 时，平行四边形ABCD 是矩形，当④AC ⊥BD 时，矩形ABCD 是正方形，故此选项正确，不合题意．故选：A ．7．解：作CF ⊥AB 于点F ，设最下边的一排小正方形的上边的边所在的直线与△ABC 的边交于D 、E ，∵DE ∥AB ，∴＝，即＝，解得：DE ＝，而整数部分是4，∴最下边一排是4个正方形．第二排正方形的上边的边所在的直线与△ABC 的边交于G 、H ．则＝，解得GH ＝，而整数部分是3，∴第二排是3个正方形；同理：第三排是：3个；第四排是2个，第五排是1个，第六排是1个，则正方形的个数是：4+3+3+2+1+1＝14．故选：C ．8．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，CD ∥AB ，∴∠ECO ＝∠FAO ，（故小雨的结论正确），在△EOC 和△FOA 中，，∴△EOC ≌△FOA ，∴OE ＝OF （故小青的结论正确），∴S △EOC ＝S △AOF ， ∴S 四边形AFED ＝S △ADC ＝S 平行四边形ABCD ，∴S 四边形AFED ＝S 四边形FBCE 故小夏的结论正确，∵△EOC≌△FOA，∴EC＝AF，∵CD＝AB，∴DE＝FB，DE∥FB，∴四边形DFBE是平行四边形，∵OD＝OB，EO⊥DB，∴ED＝EB，∴四边形DFBE是菱形，无法判断是正方形，故小何的结论错误，故选：B．9．解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠FCD+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠FCD，又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，∴△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，S四边形ABCD ＝S正方形DEBF＝16，∴DE＝4．故选：C．10．解：①∵四边形OACB是矩形，∴∠OBC＝90°，∵将△OBP沿OP折叠得到△OPD，∴OB＝OD，∠PDO＝∠OBP＝90°，∠BOP＝∠DOP，∴∠DOP＝∠BOP＝45°，∴∠BOD＝90°，∴∠BOD＝∠OBP＝∠ODP＝90°，∴四边形OBPD是矩形，∵OB＝OD，∴四边形OBPD为正方形；故①正确；②过D作DH⊥OA于H，∵点A（10，0），点B（0，6），∴OA＝10，OB＝6，∴OD＝OB＝6，∠BOP＝∠DOP＝30°，∴∠DOA＝30°，∴DH＝＝3，∴△OAD的面积为OA•DH＝×3×10＝15，故②正确；③连接OC，则OD+CD≥OC，即当OD+CD＝OC时，CD取最小值，∵AC＝OB＝6，OA＝10，∴OC＝＝＝2，∴CD＝OC﹣OD＝2﹣6，即CD的最小值为2﹣6；故③正确；④∵OD⊥AD，∴∠ADO＝90°，∵∠ODP＝∠OBP＝90°，∴∠ADP＝180°，∴P，D，A三点共线，∵OA∥CB，∴∠OPB＝∠POA，∵∠OPB＝∠OPD，∴AP＝OA＝10，∵AC＝6，∴CP＝＝8，∴BP＝BC﹣CP＝10﹣8＝2，故④正确；故选：D．二．填空题（共7小题）11．解：过点B作BF⊥AD于点F，延长DF使FG＝EC，连接BG，∵AD∥BC，∠D＝90°，∴∠C＝∠D＝90°，BF⊥AD∴四边形CDFB是矩形∵BC＝CD∴四边形CDFB是正方形∴CD＝BC＝DF＝BF，∠CBF＝90°＝∠C＝∠BFG，∵BC＝BF，∠BFG＝∠C＝90°，CE＝FG∴△BCE≌△BFG（SAS）∴BE＝BG，∠CBE＝∠FBG∵∠ABE＝45°，∴∠CBE+∠ABF＝45°，∴∠ABF+∠FBG＝45°＝∠ABG∴∠ABG＝∠ABE，且AB＝AB，BE＝BG∴△ABE≌△ABG（SAS）∴AE＝AG＝5，∴AF＝AG﹣FG＝5﹣2＝3在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，∴25＝（DF﹣3）2+（DF﹣2）2，∴DF＝6∴BC＝6故答案为：612．解：如图1，2中，连接AC．在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∵AC＝40°，∴AB＝BC＝20，在图1中，∵∠B＝60°，BA＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝20，故答案为：20，13．解：如图，∵AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，∴∠A＝90°，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，∵AB＝BC＝10，∴四边形ABCG是正方形，∴∠BCG＝90°，BC＝CG，∵∠DCE＝45°，∴∠DCG+∠BCE＝45°，延长AB到BH使BH＝DG，在△CDG与△CHB中，，∴△CDG≌△CHB（SAS），∴CH＝CD，∠BCH＝∠GCD，∴∠DCE＝∠HCE，∵CE＝CE，∴△CEH≌△CED（SAS），∴DE＝EH＝BE+DG，在过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，∵DE＝DG+BE，设DG＝x，则AD＝10﹣x，DE＝x+6，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，∴（10﹣x）2+42＝（x+6）2，解得x＝2.5．∴DE＝2.5+6＝8.5．故答案是：8.5．14．解：如图1，2中，连接AC．在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∵AC＝a，∴AB＝BC＝a，在图1中，∵∠B＝60°，BA＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝a，故答案为：a，15．解：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠CBE＝90°，∵BC＝AB，BE＝AF，∴△BCE≌△ABF（SAS），∴∠ABF＝∠BCE，∵∠ABF+∠CBF＝90°，∴∠CBF+∠BCE＝90°，∴∠BGC＝∠EGB＝90°，∵点H在线段BG的垂直平分线上，∴HB＝HG，∴∠HGB＝∠HBG，∵∠EHG＝∠HBG+∠HGB＝54°，∴∠HGB＝∠HBG＝27°，∴∠EGH＝90°﹣27°＝63°，∴m＝63，故答案为63．16．解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形DPBE是矩形，∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3．故答案为：3．17．解：法1：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，即∠CBG+∠ABF＝90°，又CG⊥BE，即∠BGC＝90°，∴∠BCG+∠CBG＝90°，∴∠ABF＝∠BCG，又AF⊥BG，∴∠AFB＝∠BGC＝90°，∴△ABF≌△BCG，∴AF＝BG，BF＝CG＝FH＝3，又∵FH＝BF，∴AH＝FG，设AH＝FG＝x，∵PH⊥AF，BF⊥AF，∴∠AHP＝∠AFB＝90°，又∠PAH为公共角，∴△APH∽△ABF，∴＝，即PH＝，∵PH∥BF，BP不平行FH，∴四边形BFHP为梯形，其面积为＝+；又∵∠BCG+∠ECG＝90°，∠ECG+∠BEC＝90°，∴∠BCG＝∠BEC，又∠BGC＝∠CGE＝90°，∴△BCG∽△CEG，∴＝，即GE＝，故Rt△CGE的面积为×3×，则△CGE与四边形BFHP的面积之和为++＝+＝9．法2：延长AF交BC于点K，∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABF＝90°，∴AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠CBE＝∠BAF，又∠ABC＝∠BCE＝90°，∴△ABF≌△BEC，∴BF＝CG＝3（全等三角形对应高相等），∴BF＝FH＝3，作射线QH，过B作BQ⊥HQ于点Q，∴∠BFH＝∠QHF＝∠Q＝90°，且BF＝FH，∴四边形QBFH为正方形，且面积为32＝9，∴BQ＝BF＝CE＝3，∵∠PBQ+∠PBE＝90°，且∠PBE＝∠BEC，且∠BEC+∠GCE＝90°，∴∠BPQ＝∠ECG，∴△BPQ≌△CEG，∴S△CGE +S四边形BPHF＝S△BPQ+S四边形BPHF＝S正方形BQHF＝9．故答案为：9三．解答题（共6小题）18．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．19．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵BE＝AB，∴BE∥CD，∴四边形BDCE是平行四边形，∵ED⊥AD，∠A＝45°，∴∠A＝∠DEA＝45°，∴AD＝DE，∴△ADE是等腰直角三角形，又∵AB＝BE，∴DB＝BE，DB⊥BE，∴平行四边形BDCE是正方形；（2）∵四边形BDCE是正方形，∴BD＝BE＝AB，∠DBP＝∠EBP＝45°，∵PM＝PB，∴∠PBM＝∠PMB＝45°，∴∠BPM＝90°，∴∠DPN＝∠BPM＝90°，∴∠DPB＝∠NPM，在△DBP和△NMP中，，∴△DBP≌△NMP（AAS），∴DB＝MN，∴AB＝NM，∴AN＝BM，∵BP＝PM，∠BPM＝90°，∴BM＝BP，∴AN＝BP．20．证明：（1）如图，作EM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，∵∠ABE+∠CEF＝45°，∴∠BEM+∠CEF＝45°，∵BE⊥EF，∴∠CEM＝45°＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形；（2）如图，∵∠BEF+∠BCF+∠EFC+∠EBC＝360°，∴∠EBC+∠EFC＝180°，且∠EFC+∠QFD＝180°，∴∠DFQ＝∠EBC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠BDC＝45°，∴△BCE∽△FDQ，∴，∴BC•DQ＝CE•DF．21．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，（1分）∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∴四边形MANP是矩形，（2分）∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN，（3分）∴四边形MANP是正方形；（4分）（2）∵四边形ABCD是正方形，∴PM＝PN，∠MPN＝90°，∵∠EPB＝90°，∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°，∴∠MPE＝∠NPB，（5分）在△EPM和△BPN中，∵，∴△EPM≌△BPN（ASA），（6分）∴EM＝BN．（7分）22．解：（1）CD＝＝，正方形ABCD的面积＝5；（2）如图所示：．23．（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），（2）①解：∵△BDE≌△BAC，∠ADB＝45°，∴∠EDA＝α﹣45°，∵∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣α＝225°﹣α，②证明：∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）解：结论：当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．理由：由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝AB．∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．。

中考数学复习《正方形》专项提升训练(附答案)

中考数学复习《正方形》专项提升训练(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.如图，平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可用如图表示，则图中阴影部分所表示的图形是( )A.矩形B.菱形C.矩形或菱形D.正方形2.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是( )A.22.5°B.25°C.23°D.20°3.如图，已知菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )A.16B.12C.24D.184.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE＝AC，则∠E＝( )A.90°B.45°C.30°D.22.5°5.将一正方形纸片按图中⑴、⑵的方式依次对折后，再沿⑶中的虚线裁剪，最后将⑷中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的( )6.如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC 和DEF 沿直线l 滑动，下列说法错误的是( )A.四边形ACDF 是平行四边形B.当点E 为BC 中点时，四边形ACDF 是矩形C.当点B 与点E 重合时，四边形ACDF 是菱形D.四边形ACDF 不可能是正方形 7.下列叙述，错误的是( )A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线相等的四边形是矩形8.已知一个无盖长方体的底面是边长为1的正方形，侧面是长为2的长方形，现展开铺平.如图，依次连结点A ，B ，C ，D 得到一个正方形，将周围的四个长方形沿虚线剪去一个直角三角形，则所剪得的直角三角形较短直角边与较长直角边的比是( )A.12B.13C.23D.459.如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点O 又是正方形A 1B 1C 1O 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.无论正方形A 1B 1C 1O 绕点O 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的( )A.12B.13C.14D.1510.如图,点O(0,0)，A(0,1)是正方形OAA 1B 的两个顶点，以OA 1对角线为边作正方形OA 1A 2B 1，再以正方形的对角线OA 2作正方形OA 1A 2B 1，…，依此规律，则点A 2027的坐标是( )A.(0，21013)B.(21013，21013)C.(21014，0)D.(21014，﹣21014) 二、填空题11.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ADE ，则∠BED 的度数是 .12.如图．将正方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、CB 均落在对角线BD 上，得折痕BE 、BF ，则∠EBF 的大小为．13.如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2．这个拼成的长方形的长为30，宽为20．则图2中Ⅱ部分的面积是．14.若正方形的面积是9，则它的对角线长是 .15.如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q.若PQ＝AE，则AP等于_______cm.16.如图，线段AC＝n＋1(其中n为正整数)，点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME.当AB＝1时，△AME的面积记为S1；当AB＝2时，△AME的面积记为S2；当AB＝3时，△AME的面积记为S3；则S3﹣S2＝.三、解答题17.如图，已知点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE．求证：(1)EF＝FP＝PQ＝QE；(2)四边形EFPQ是正方形．18.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别延长OA、OC到点E、F，使AE＝CF，依次连接B、F、D、E各点.(1)求证：△BAE≌△BCF；(2)若∠ABC＝50°，则当∠EBA＝________°时，四边形BFDE是正方形.19.如图，已知在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．(1)求证：AP＝BQ；(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．20.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD边上的点，BE，AF交于点O，且AE＝DF．(1)求证：△ABE≌△DAF；(2)若BO＝4，DE＝2，求正方形ABCD的面积．21.如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE 于点F，交CD于点G．(1)证明：△ADG≌△DCE；(2)连接BF，证明：AB＝FB．22.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于点Q.(1)如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；(2)如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想.23.在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线(如，连接两点，过某点作垂线，作延长线，作平行线等等)把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的.(1)(探究发现)如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF.通过探究，可发现BE，EF，DF之间的数量关系为________(直接写出结果).(2)(验证猜想)同学们讨论得出下列三种证明思路(如图1)：思路一：过点A作AG⊥AE，交CD的延长线于点G.思路二：过点A作AG⊥AE，并截取AG＝AE，连接DG.思路三：延长CD至点G，使DG＝BE，连接AG.请选择一种思路证明(探究发现)中的结论.(3)(应用)如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且BC＝3BE，∠EAF ＝45°，设BE＝t，试用含t的代数式表示DF的长.参考答案1.D.2.A3.A.4.D5.B.6.B.7.D.8.C.9.C.10.B11.答案为：45°.12.答案为：45°．13.答案为：100.14.答案为：3 2.15.答案为：1或2.16.答案为：52 .17.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD ∵AF＝BP＝CQ＝DE∴DF＝CE＝BQ＝AP在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(SAS)∴EF＝FP＝PQ＝QE；(2)∵EF＝FP＝PQ＝QE∴四边形EFPQ是菱形∵△APF≌△BQP∴∠AFP＝∠BPQ∵∠AFP＋∠APF＝90°∴∠APF＋∠BPQ＝90°∴∠FPQ＝90°∴四边形EFPQ是正方形．18.证明：(1)在菱形ABCD中，BA＝BC∴∠BAC＝∠BCA∴∠BAE＝∠BCF.在△BAE与△BCF中BA＝BC，∠BAE＝∠BCF，AE＝CF∴△BAE≌△BCF(SAS).(2)20.19.证明：(1)∵正方形ABCD∴AD＝BA，∠BAD＝90°，即∠BAQ＋∠DAP＝90°∵DP⊥AQ∴∠ADP＋∠DAP＝90°∴∠BAQ＝∠ADP∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P∴∠AQB＝∠DPA＝90°∴△AQB≌△DPA(AAS)∴AP＝BQ(2)①AQ﹣AP＝PQ②AQ﹣BQ＝PQ③DP﹣AP＝PQ④DP﹣BQ＝PQ20.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°又AE＝DF∴△ABE≌△DAF；(2)∵△ABE≌△DAF∴∠FAD＝∠ABE又∠FAD＋∠BAO＝90°∴∠ABO＋∠BAO＝90°∴△ABO∽△EAB∴AB：BE＝BO：AB，即AB：6＝4：AB∴AB2＝24所以正方形ABCD面积是24．21.解：(1)∵四边形ABCD是正方形∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC又∵AG⊥DE∴∠DAG＋∠ADF＝90°＝∠CDE＋∠ADF∴∠DAG＝∠CDE∴△ADG≌△DCE(ASA)；(2)如图所示，延长DE交AB的延长线于H∵E是BC的中点∴BE＝CE又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB∴△DCE≌△HBE(ASA)∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点又∵∠AFH＝90°∴Rt△AFH中BF＝12AH＝AB．22.解：(1)PB＝PQ.证明：连接PD ∵四边形ABCD是正方形∴∠ACB＝∠ACD，∠BCD＝90°，BC＝CD又∵PC＝PC∴△DCP≌△BCP(SAS)∴PD＝PB，∠PBC＝∠PDC∵∠PBC＋∠PQC＝180°，∠PQD＋∠PQC＝180°∴∠PBC＝∠PQD∴∠PDC＝∠PQD∴PQ＝PD∴PB＝PQ(2)PB＝PQ.证明：连接PD同(1)可证△DCP≌△BCP∴PD＝PB，∠PBC＝∠PDC∵∠PBC＝∠Q∴∠PDC＝∠Q∴PD＝PQ∴PB＝PQ.23.解：(1)EF＝BE＋DF.(2)思路三：延长CD至点G，使DG＝BE，连接AG. ∵正方形ABCD∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°∵BE＝DG∴△ABE≌△ADG(SAS)∴AE＝AG,∠BAE＝∠DAG∵∠EAF＝45°∴∠BAE＋∠DAF＝45°∴∠GAF＝∠GAD＋∠DAF＝45°∴∠GAF＝∠EAF∴AF＝AF∴△EAF≌△GAF(SAS)∴EF＝GF＝BE＋DF.(3)由题意可知，CE＝2t，设DF＝x，则CF＝3t-x，EF＝2t＋x ∴在RtCEF中，EF2＝CE2＋CF2∴(x＋t)2＝(3t-x)2＋(2t)2∴x＝32t.即DF＝32t.。

2024年中考数学二轮复习模块专练—正方形(含答案)

2024年中考数学二轮复习模块专练—正方形（含答案）一、正方形的性质1．正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；2.边的性质：对边平行，四条边相等；3.角的性质：四个角都是直角；4.对角线的性质：对角线垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；两条对角线把正方形分成4个全等的等腰直角三角形；5.对称性：是轴对称图形，有4条对称轴；是中心对称图形，对称中心也叫正方形的中心；二、正方形的判定1.在矩形的基础上判定（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线垂直的矩形是正方形；2.在菱形的基础上判定（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形；三、中点四边形1.连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形；2.连接矩形各边中点得到的四边形是菱形；3.连接菱形各边中点得到的四边形是矩形；《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：试卷第2页，共12页1.理解正方形的概念；2.理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系；3.掌握正方形的性质和判定；【例1】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）1．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，点P 是对角线BD 上的一点，PF AD ⊥于点F ，PE AB ⊥于点E ，连接PC ，当:1:2PE PF =时，则PC =（）AB ．2CD ．52【变1】（2023·福建·统考中考真题）2．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数3y x =和n y x=的图象的四个分支上，则实数n 的值为（）A ．3-B ．13-C ．13D ．3【例1】（2022·四川攀枝花·统考中考真题）3．如图，以ABC 的三边为边在BC 上方分别作等边ACD 、ABE 、BCF △．且点A 在BCF △内部．给出以下结论：①四边形ADFE 是平行四边形；②当150BAC ∠=︒时，四边形ADFE 是矩形；③当AB AC =时，四边形ADFE 是菱形；④当AB AC =，且150BAC ∠=︒时，四边形ADFE 是正方形．其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）．【变1】（2022·辽宁阜新·统考中考真题）4．已知，四边形ABCD 是正方形，DEF 绕点D 旋转（DE AB <），90EDF ∠=︒，DE DF =，连接AE ，CF ．试卷第4页，共12页(1)如图1，求证：ADE V ≌CDF ；(2)直线AE 与CF 相交于点G ．①如图2，BM AG ⊥于点M ，⊥BN CF 于点N ，求证：四边形BMGN 是正方形；②如图3，连接BG ，若4AB =，2DE =，直接写出在DEF 旋转的过程中，线段BG长度的最小值．【例1】（2022·广西玉林·统考中考真题）5．若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD 的两条对角线,AC BD 一定是()A ．互相平分B ．互相垂直C ．互相平分且相等D ．互相垂直且相等【变1】（2023·山东临沂·统考一模）6．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交点O ，点M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．有下列四个推断，①对于任意四边形ABCD ，四边形MNPQ 可能不是平行四边形；②若AC BD =，则四边形MNPQ 一定是菱形；③若AC BD ⊥，则四边形MNPQ 一定是矩形；④若四边形ABCD 是菱形，则四边形MNPQ 也是菱形．所有正确推断的序号是．一、选择题（2023·重庆·统考中考真题）7．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，连接AE ，AF ，EF ，45EAF ∠=︒．若BAE α∠=，则FEC ∠一定等于（）A ．2αB ．902α︒-C ．45α︒-D ．90α︒-（2022·江苏泰州·统考中考真题）8．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为与点D 不重合的动点，以DE 一边作正方形DEFG .设DE =d 1，点F 、G 与点C 的距离分别为d 2，d 3，则d 1＋d 2＋d 3的最小值为()试卷第6页，共12页AB ．2C．D ．4（2022·内蒙古包头·中考真题）9．如图，在矩形ABCD 中，AD AB >，点E ，F 分别在,AD BC 边上，EF AB ∥,AE AB =，AF 与BE 相交于点O ，连接OC ，若2BF CF =，则OC 与EF 之间的数量关系正确的是（）A．2OC =B2EF =C．2OC D ．OC EF =（2022·浙江绍兴·统考中考真题）10．如图，在平行四边形ABCD 中，22AD AB ==，60ABC ∠=︒，E ，F 是对角线BD 上的动点，且BE DF =，M ，N 分别是边AD ，边BC 上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF ；②存在无数个矩形MENF ；③存在无数个菱形MENF ；④存在无数个正方形MENF ．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（2023·湖南怀化·统考中考真题）11．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一点，PE AD ⊥于点E ，3PE =．则点P 到直线AB 的距离为．（2023·四川宜宾·统考中考真题）12．如图，M 是正方形ABCD 边CD 的中点，P 是正方形内一点，连接BP ，线段BP 以B 为中心逆时针旋转90︒得到线段BQ ，连接MQ ．若4AB =，1MP =，则MQ 的最小值为．（2022·辽宁·统考中考真题）13．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是OD 的中点，连接CE 并延长交AD 于点G ，将线段CE 绕点C 逆时针旋转90°得到CF ，连接EF ，点H 为EF 的中点．连接OH ，则GE OH 的值为．（2023·浙江衢州·统考中考真题）14．如图，点A 、B 在x 轴上，分别以OA ，AB 为边，在x 轴上方作正方形OACD ，ABEF ．反比例函数()0k y k x=>的图象分别交边CD ，BE 于点P ，Q ．作PM x ⊥轴于点M ，QN y ⊥试卷第8页，共12页轴于点N ．若2OA AB =，Q 为BE 的中点，且阴影部分面积等于6，则k 的值为．三、解答题（2022·湖南邵阳·统考中考真题）15．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在对角线BD 上，且BE DF =，OE OA =．求证：四边形AECF是正方形．（2023·湖北十堰·统考中考真题）16．如图，ABCD Y 的对角线,AC BD 交于点O ，分别以点,B C 为圆心，11,22AC BD 长为半径画弧，两弧交于点P ，连接,BP CP．(1)试判断四边形BPCO 的形状，并说明理由；(2)请说明当ABCD Y 的对角线满足什么条件时，四边形BPCO 是正方形？（2022·江苏镇江·统考中考真题）17．已知，点E 、F 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、AD 上．(1)如图1，当四边形EFGH 是正方形时，求证：AE AH AB +=；(2)如图2，已知AE AH =，CF CG =，当AE 、CF 的大小有_________关系时，四边形EFGH 是矩形；(3)如图3，AE DG =，EG 、FH 相交于点O ，:4:5OE OF =，已知正方形ABCD 的边长为16，FH 长为20，当OEH △的面积取最大值时，判断四边形EFGH 是怎样的四边形？证明你的结论．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）18．阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图，ABC 和BDE △都是等边三角形，点A 在DE 上．求证：以AE 、AD 、AC 为边的三角形是钝角三角形．(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接DC ，根据已知条件，可以证明DC AE =，120ADC ∠=︒，从而得出ADC △为钝角三角形，故以AE 、AD 、AC 为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．(2)【拓展迁移】如图，四边形ABCD 和四边形BGFE 都是正方形，点A 在EG 上．试卷第10页，共12页①试猜想：以AE 、AG 、AC 为边的三角形的形状，并说明理由．②若2210AE AG +=，试求出正方形ABCD 的面积．（2022·四川乐山·统考中考真题）19．华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．2．如图，在正方形ABCD 中，CE DF ⊥．求证：CE DF =．证明：设CE 与DF 交于点O ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90B DCF ∠=∠=︒，BC CD =．∴90BCE DCE ∠+∠=︒．∵CE DF ⊥，∴90COD ∠=︒．∴90CDF DCE ∠+∠=︒．∴CDF BCE ∠=∠．∴CBE DFC ≌△△．∴CE DF =．某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究(1)【问题探究】如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且EG FH ⊥．试猜想EG FH 的值，并证明你的猜想．(2)【知识迁移】如图，在矩形ABCD 中，AB m =，BC n =，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且EG FH ⊥．则EG FH=______．(3)【拓展应用】如图，在四边形ABCD 中，90DAB ∠=︒，60ABC ∠=︒，AB BC =，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，且CE BF ⊥．求CE BF 的值．（2023·辽宁丹东·统考一模）20．已知正方形ABCD 和等腰直角三角形AEF ，90EAF ∠=︒，连接BD ，BE ，BF ，DE ，点G ，H ，I 分别为线段BD ，BF ，DE 的中点，连接GH ，G I ，HI ．试卷第12页，共12页(1)如图1，当点B ，A ，F 在一条直线上时，请直接写出线段GH 与G I 的关系；(2)如图2，将AEF △绕点A 顺时针旋转()090αα︒<<︒，判断线段GH 与G I 的关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，若4AB =，3AE =，ADE V ，ABF △，GHI 的面积分别为1S ，2S ，S ．①请直接写出1S 与2S 大小关系；②直接写出124S S S +-的值．（2023·山东日照·统考中考真题）21．在平面直角坐标系xOy 内，抛物线()2520y ax ax a =-++>交y 轴于点C ，过点C作x 轴的平行线交该抛物线于点D．(1)求点C ，D 的坐标；(2)当13a =时，如图1，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点P 为直线AD 上方抛物线上一点，将直线PD 沿直线AD 翻折，交x 轴于点(4,0)M ，求点P 的坐标；(3)坐标平面内有两点()1,1,5,1E a F a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，以线段EF 为边向上作正方形EFGH ．①若1a =，求正方形EFGH 的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x 轴的距离之差为52时，求a 的值．参考答案：1．C【分析】先证四边形AEPF 是矩形，可得PE AF =，90PFD ∠=︒，由等腰直角三角形的性质可得PF DF =，可求AF ，DF 的长，由勾股定理可求AP 的长，由“SAS ”可证ABP CBP △≌△，可得AP PC ==【详解】解：如图：连接AP ，四边形ABCD 是正方形，3AB AD ∴==，45ADB ∠=︒，PF AD ⊥ ，PE AB ⊥，90BAD ∠=︒，∴四边形AEPF 是矩形，PE AF ∴=，90PFD ∠=︒，PFD ∴ 是等腰直角三角形，PF DF ∴=，:1:2PE PF = ，:1:2AF DF ∴=，1AF ∴=，2DF PF ==，AP ∴=答案第2页，共37页AB BC = ，45ABD CBD ∠=∠=︒，BP BP =，(SAS)ABP CBP ∴△≌△，AP PC ∴==故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．2．A【分析】如图所示，点B 在3y x=上，证明AOC OBD ≌，根据k 的几何意义即可求解．【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点,A B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,C D ，点B 在3y x =上，∵OB OA =，90AOB BDO ACO ∠=∠=∠=︒，∴90CAO AOC BOD ∠=︒-∠=∠．∴AOC OBD ≌．∴32AOC OBD S S == n =．∵A 点在第二象限，∴3n =-．故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的k 的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．3．①②③④【分析】对于结论①，由等边三角形的性质可得，(SAS)EFB ACB ≌△△，则EF AC AD ==；同理，由CDF CAB ≌△△，得DF AB AE ==，由AE DF =，AD EF =即可得出四边形ADFE 是平行四边形；对于结论②，当150BAC ∠=︒时，36090EAD BAE BAC CAD ∠=︒-∠-∠-∠=︒，结合结论①，可知结论②正确；对于结论③，当AB AC =时，AE AD =，结合结论①，可知结论③正确；对于结论④，综合②③的结论知：当AB AC =，且150BAC ∠=︒时，四边形AEFD 既是菱形，又是矩形，故结论④正确．【详解】解析：①ABE 、CBF V 是等边三角形，BE AB ∴=，BF CB =，60FB EBA C =∠=︒∠，60EBF ABC ABF ∴∠=∠=︒-∠，(SAS)EFB ACB ∴≌△△，EF AC AD \==，同理由CDF CAB ≌△△，得DF AB AE ==，由AE DF =，AD EF =即可得出四边形ADFE 是平行四边形，故结论①正确；②当150BAC ∠=︒时，360360601506090EAD BAE BAC CAD ∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒，由①知四边形AEFD 是平行四边形，∴平行四边形ADFE 是矩形，故结论②正确；③由①知AB AE =，AC AD =，四边形AEFD 是平行四边形，∴当AB AC =时，AE AD =，∴平行四边形AEFD 是菱形，故结论③正确；答案第4页，共37页④综合②③的结论知：当AB AC =，且150BAC ∠=︒时，四边形AEFD 既是菱形，又是矩形，∴四边形AEFD 是正方形，故结论④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方法，熟练掌握以上图形的判定方法是解题的关键．4．(1)见解析(2)①见解析②【分析】()1根据SAS 证明三角形全等即可；()2①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；②作DH AG ⊥交AG 于点H ，作BM AG ⊥于点M ，证明BMG △是等腰直角三角形，求出BM 的最小值，可得结论．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴=，90ADC ∠=︒．DE DF = ，90EDF ∠=︒．ADC EDF ∴∠=∠，ADE CDF \Ð=Ð，在ADE V 和CDF 中，DA DC ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADE ∴V ≌()SAS CDF △；（2）①证明：如图2中，设AG 与CD 相交于点P ．90ADP ∠=︒ ，90DAP DPA ∴∠+∠=︒．ADE ≌CDF ，DAE DCF ∴∠=∠．DPA GPC ∠∠= ，90DAE DPA GPC GCP ∠∠∠∠∴+=+=︒．90PGN ∠∴=︒，BM AG ⊥ ，BN GN ⊥，∴四边形BMGN 是矩形，90MBN ∴∠=︒．四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC MBN ∠∠==︒．ABM CBN ∴∠=∠．又90AMB BNC ∠∠==︒ ，AMB ∴ ≌CNB ．MB NB ∴=．∴矩形BMGN 是正方形；答案第6页，共37页②解：作DH AG ⊥交AG 于点H ，作BM AG ⊥于点M，∵90,90,DHA AMB ADH DAH BAM AD AB∠=∠=︒∠=︒-∠=∠=∴AMB ≌DHA ．BM AH ∴=．222AH AD DH =- ，4=AD ，DH ∴最大时，AH 最小，2DH DE ==最大值．BM AH ∴==最小值最小值．由()2①可知，BGM是等腰直角三角形，BG ∴==最小值【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．5．D【分析】由题意作出图形，然后根据正方形的判定定理可进行排除选项．【详解】解：如图所示，点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 边AD 、DC 、BC 、AB 的中点，∴11////,////,,22EF AC GH EH BD FG EF GH AC EH FG BD ====，∴四边形EFGH 是平行四边形，对于A 选项：对角线互相平分，四边形EFGH 仍是平行四边形，故不符合题意；对于B 选项：对角线互相垂直，则有EF EH ⊥，可推出四边形EFGH 是矩形，故不符合题意；对于C 选项：对角线互相平分且相等，则有EF EH =，可推出四边形EFGH 是菱形，故不符合题意；对于D 选项：对角线互相垂直且相等，则有EF EH ⊥，EF EH =，可推出四边形EFGH 是正方形，故符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定，熟练掌握三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定是解题的关键．6．②③【分析】根据四边形的性质及中位线的性质推导即可．【详解】解：点M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，MN AC ∴∥且12MN AC =，PQ AC ∥且12PQ AC =，MN PQ ∴∥且MN PQ =，MNPQ∴是平行四边形，故①错误；点M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA的中点，∴12MN AC=，12PN BD=，AC BD=，MN PN∴=，MNPQ是平行四边形，∴四边形MNPQ是菱形，故②正确；点M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA的中点，MN AC∴∥，MQ BD∥，AC BD⊥，MN MQ∴⊥，90QMN∴∠=︒，MNPQ是平行四边形，∴MNPQ是矩形，故③正确；若要四边形MNPQ是菱形，需满足AC BD=,当四边形ABCD是菱形，AC不一定等于BD，故④错误；综上，正确的有：②③，故答案为：②③．答案第8页，共37页【点睛】本题考查了中位线定理，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．7．A【分析】利用三角形逆时针旋转90︒后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解．【详解】将ADF 绕点A 逆时针旋转90︒至ABH，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90ABC D BAD C ∠=∠=∠=∠=︒，由旋转性质可知：DAF BAH ∠=∠，90D ABH ∠=∠=︒，AF AH =，∴180ABH ABC ∠+∠=︒，∴点H B C ，，三点共线，∵BAE α∠=，45EAF ∠=︒，90BAD HAF ∠=∠=︒，∴45DAF BAH α∠=∠=︒-，45EAF EAH ∠=∠=︒，∵90AHB BAH ∠+∠=︒，∴45AHB α∠=︒+，在AEF 和AEH 中AF AH FAE HAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，答案第10页，共37页∴45AHE AFE α∠=∠=︒+，∴45AHE AFD AFE α∠=∠=∠=︒+，∴902DFE AFD AFE α∠=∠+∠=︒+，∵90DFE FEC C FEC ∠=∠+∠=∠+︒，∴2FEC α∠=，故选：A ．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是能正确作出旋转，再证明三角形全等，熟练利用性质求出角度．8．C【分析】连接CF 、CG 、AE ，证()ADE CDG SAS ∆≅∆可得AE CG =，当A 、E 、F 、C 四点共线时，即得最小值；【详解】解：如图，连接CF 、CG 、AE，∵90ADC EDG ∠=∠=︒∴ADE CDG∠=∠在ADE ∆和CDG ∆中，∵AD CD ADE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩=∴AE CG++=++∴DE CF CG EF CF AE++=时，最小，当EF CF AE ACAC===∴d1＋d2＋d3的最小值为，故选：C．【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，正确构造全等三角形是解本题的关键．9．A==，【分析】过点O作OM⊥BC于点M，先证明四边形ABFE是正方形，得出MF CF OM再利用勾股定理得出OC=，即可得出答案．【详解】过点O作OM⊥BC于点M，90∴∠=︒，OMC四边形ABCD是矩形，∴∠=∠=︒，90ABC BADEF AB∥∴∠AEF=180°-∠BAD=90°，∴∠=∠=∠=︒，ABC BAD AEF90∴四边形ABFE是矩形，答案第12页，共37页又∵AB =AE ，∴四边形ABFE 是正方形，45,AFB OB OF ∴∠=︒=，EF =BF ，12MF BF OM ∴==，2BF CF = ，MF CF OM ∴==，EF =2CF ，由勾股定理得OC ===，2OC ∴=，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．10．C【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．【详解】如图，连接AC 、与BD 交于点O ，连接ME ，MF ，NF ，EN ，MN ，∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA =OC ，OB =OD∵BE =DF∴OE =OF∵点E 、F 时BD 上的点，∴只要M，N过点O，那么四边形MENF就是平行四边形∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；只要MN=EF，MN过点O，则四边形MENF是矩形，∵点E、F是BD上的动点，∴存在无数个矩形MENF，故②正确；只要MN⊥EF，MN过点O，则四边形MENF是菱形；∵点E、F是BD上的动点，∴存在无数个菱形MENF，故③正确；只要MN=EF，MN⊥EF，MN过点O，则四边形MENF是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；故选：C【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本题的关键时明确题意，作出合适的辅助线．11．3⊥于Q，证明四边形四边形AEPQ是正方形，即可求解．【分析】过点P作PQ AB⊥于Q，【详解】解：如图所示，过点P作PQ AB答案第14页，共37页∵点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一点，PE AD ⊥于点E∴四边形AEPQ 是矩形，45EAP ∠=︒∴AEP △是等腰直角三角形，∴AE EP=∴四边形AEPQ 是正方形，∴3PQ EP ==，即点P 到直线AB 的距离为3故答案为：3．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键．12．1【分析】连接BM ，将BM 以B 中心，逆时针旋转90︒，M 点的对应点为E ，由P 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的半圆，可得：Q 的运动轨迹是以E 为圆心，1为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当M 、Q 、E 三点共线时，MQ的值最小，可求ME ==，从而可求解．【详解】解，如图，连接BM ，将BM 以B 中心，逆时针旋转90︒，M 点的对应点为E， P 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的半圆，∴Q 的运动轨迹是以E 为圆心，1为半径的半圆，如图，当M 、Q 、E 三点共线时，MQ 的值最小，四边形ABCD 是正方形，4CD AB BC ∴===，90C ∠=︒，M 是CM 的中点，2CM ∴=，BM ∴==由旋转得：BM BE =，ME ∴==MQ ME EQ∴=-1=，∴MQ的值最小为1．故答案：1．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．13【分析】以O 为原点，平行于AB 的直线为x 轴，建立直角坐标系，过E 作EM ⊥CD 于M ，过F 作FN ⊥DC ，交DC 延长线于N ，设正方形ABCD 的边长为2，从而求出E 的坐标，然后根据待定系数法求出直线CE 的解析式，即可求出G 的坐标，从而可求出GE ，根据旋转的性质可求出F 的坐标，进而求出H 的坐标，则可求OH ，最后代入计算即可得出答案．【详解】解：以O 为原点，平行于AB 的直线为x 轴，建立直角坐标系，过E 作EM ⊥CD答案第16页，共37页于M ，过F 作FN ⊥DC ，交DC 延长线于N，如图：设正方形ABCD 的边长为2，则C （1，1），D （﹣1，1），∵E 为OE 中点，∴E （12-，12），设直线CE 解析式为y ＝kx +b ，把C （1，1），E （12-，12）代入得：11122k b k b +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得1323k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线CE 解析式为1233y x =+，在1233y x =+中，令x ＝﹣1得y ＝13，∴G （﹣1，13），∴GE∵将线段CE 绕点C 逆时针旋转90°得到CF ，∴CE ＝CF ，∠ECF ＝90°，∴∠MCE ＝90°﹣∠NCF ＝∠NFC ，∵∠EMC ＝∠CNF ＝90°，∴△EMC ≌△CNF （AAS ），∴ME ＝CN ，CM ＝NF ，∵E （12-，12），C （1，1），∴ME ＝CN ＝12，CM ＝NF ＝32，∴F （32，12-），∵H 是EF 中点，∴H （12，0），∴OH ＝12，∴GE OH ＝612＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，两点间距离公式等知识，以O 为原点，平行于AB 的直线为x 轴，建立直角坐标系是解题的关键．14．24【分析】设4OA a =，则2AB a =，从而可得()4,0A a 、()6,0B a ，由正方形的性质可得()4,4C a a ，由QN y ⊥轴，点P 在CD 上，可得,44k P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于Q 为BE 的中点，BE x ⊥轴，可得1==2BQ AB a ，则()6,Q a a ，由于点Q 在反比例函数()0k y k x =>的图象上可得26k a =，根据阴影部分为矩形，且长为4k a，宽为a ，面积为6，从而可得124=6ak a ⨯⨯，即可求解．【详解】解：设4OA a =，∵2OA AB =，∴2AB a =，∴==6OB AB OA a +，∴()6,0B a ，答案第18页，共37页在正方形ABEF 中，2AB BE a ==，∵Q 为BE 的中点，∴=12=BQ AB a ，∴()6,Q a a ，∵Q 在反比例函数()0k y k x =>的图象上，∴2=6=6k a a a ⨯，∵四边形OACD 是正方形，∴()6,6C a a ，∵P 在CD 上，∴P 点纵坐标为4a ，∵P 点在反比例函数()0k y k x =>的图象上，∴P 点横坐标为=4k x a，∴,44k P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵===90HMO HNO NOM ∠∠∠︒，∴四边形OMHN 是矩形，∴=4k NH a，MH a =，∴64OMHN k S NH MH a a =⨯=⨯= ，∴24k =，故答案为：24．【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键．15．证明过程见解析【分析】菱形的两条对角线相互垂直且平分，再根据两条对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形即可证明四边形AECF 是正方形．【详解】证明：∵四边形ABCD 是菱形∴OA =OC ，OB =OD 且AC ⊥BD ，又∵BE =DF∴OB -BE =OD -DF即OE =OF∵OE =OA∴OA =OC =OE =OF 且AC =EF又∵AC ⊥EF∴四边形DEBF 是正方形．【点睛】此题考查了菱形的性质和正方形的判定，解题的关键是掌握上述知识．16．(1)平行四边形，见解析(2)AC BD =且AC BD⊥【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到11,22BP AC OC CP BD OB ====，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．（2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可．【详解】（1）四边形BPCO 是平行四边形．理由如下：∵ABCD Y 的对角线,AC BD 交于点O ，∴,AO OC BO OD ==，∵以点,B C 为圆心，11,22AC BD 长为半径画弧，两弧交于点P ，答案第20页，共37页∴11,22BP AC OC CP BD OB ====∴四边形BPCO 是平行四边形．（2）∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，∴AC BD =且AC BD ⊥时，四边形BPCO 是正方形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．17．(1)见解析(2)AE CF=(3)平行四边形，证明见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质证得BEF AHE ∠=∠，根据角角边证明AEH BFE △≌△．（2）当AE CF =，证得AEH FCG △≌△，EBF △是等腰直角三角形，∠HEF =∠EFG =90°，即可证得四边形EFGH 是矩形．（3）利用正方形的性质证得AEGD 为平行四边形，过点H 作HM BC ⊥，垂足为点M ，交EG 于点N ，由平行线分线段成比例，设4OE x =，5OF x =，HN h =，则可表示出HN ，从而把△OEH 的面积用x 的代数式表示出来，根据二次函数求出最大值，则可得OE =OG ，OF =OH ，即可证得平行四边形．【详解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴90A B ∠=∠=︒，∴90AEH AHE ∠+∠=°．∵四边形EFGH 为正方形，∴EH EF =，90HEF ∠=︒，∴90AEH BEF ∠+∠=︒，∴BEF AHE ∠=∠．在AEH △和BFE △中，∵90A B ∠=∠=︒，AHE BEF ∠=∠，EH FE =，∴AEH BFE △≌△．∴AH BE =．∴AE AH AE BE AB +=+=；（2）AE CF =；证明如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴90A B ∠=∠=︒，AB =BC =AD =CD ，∵AE =AH ，CF =CG ，AE =CF ，∴AH =CG ，∴AEH FCG △≌△，∴EH =FG ．∵AE =CF ，∴AB －AE =BC －CF ，即BE =BF ，∴EBF △是等腰直角三角形，∴∠BEF =∠BFE =45°，∵AE =AH ，CF =CG ，∴∠AEH =∠CFG =45°，∴∠HEF =∠EFG =90°，∴EH ∥FG ，答案第22页，共37页∴四边形EFGH 是矩形．（3）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB CD ∥．∵AE DG =，AE DG ∥，∴四边形AEGD 为平行四边形．∴AD EG ∥．∴EG BC ∥．过点H 作HM BC ⊥，垂足为点M ，交EG 于点N ，∴HN HO HM HF=．∵:4:5OE OF =，设4OE x =，5OF x =，HN h =，则2051620h x -=，∴()44h x =-．∴21144(4)8(2)3222S OE HN x x x =⋅⋅=⋅⋅-=--+．∴当2x =时，OEH △的面积最大，∴1482OE x EG OG ====，15102OF x HF OH ====，∴四边形EFGH是平行四边形．【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，有一定的综合性，解题的关键是熟悉这些知识并灵活运用．18．(1)钝角三角形；证明见详解(2)①直角三角形；证明见详解；②S 四边形ABCD =5【分析】（1）根据等边三角形性质得出，BE =BD ，AB =CB ，∠EBD =∠ABC =60°，再证△EBA ≌△DBC （SAS ）∠AEB =∠CDB =60°，AE =CD ，求出∠ADC =∠ADB +∠BDC =120°，可得△ADC 为钝角三角形即可；（2）①以AE 、AG 、AC 为边的三角形是直角三角形，连结CG ，根据正方形性质，得出∠EBG =∠ABC ，EB =GB ，AB =CB ，∠BEA =∠BGE =45°，再证△EBA ≌△GBC （SAS ）得出AE =CG ，∠BEA =∠BGC =45°，可证△AGC 为直角三角形即可；②连结BD ，根据勾股定理求出AC=，然后利用正方形的面积公式求解即可．【详解】（1）证明：∵△ABC 与△EBD 均为等边三角形，∴BE =BD ，AB =CB ，∠EBD =∠ABC =60°，∴∠EBA +∠ABD =∠ABD +∠DBC ，∴∠EBA =∠DBC ，在△EBA 和△DBC 中，EB DB EBA DBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBA ≌△DBC （SAS ），∴∠AEB =∠CDB =60°，AE =CD ，∴∠ADC =∠ADB +∠BDC =120°，答案第24页，共37页∴△ADC 为钝角三角形，∴以AE 、AD 、AC为边的三角形是钝角三角形．（2）证明：①以AE 、AG 、AC 为边的三角形是直角三角形．连结CG ，∵四边形ABCD 和四边形BGFE 都是正方形，∴∠EBG =∠ABC ，EB =GB ，AB =CB ，∵EG 为正方形的对角线，∴∠BEA =∠BGE =45°，∴∠EBA +∠ABG =∠ABG +∠GBC =90°，∴∠EBA =∠GBC ，在△EBA 和△GBC 中，G EB B EBA GBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBA ≌△GBC （SAS ），∴AE =CG ，∠BEA =∠BGC =45°，∴∠AGC =∠AGB +∠BGC =45°+45°=90°，∴△AGC 为直角三角形，∴以AE 、AG 、AC 为边的三角形是直角三角形；②连结BD ，∵△AGC 为直角三角形，2210AE AG +=，由（2）可知，AE =CG ，∴AC 2210AG CG +=，∴四边形ABCD 为正方形，∴AC =BD 10，∴S 四边形ABCD =211522AC BD AC ⋅==．【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理是解题关键．19．(1)1；证明见解析(2)n m 32【分析】（1）过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，利用答案第26页，共37页正方形ABCD ，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°求证△ABM ≌△ADN 即可．（2）过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EC 交CD 的延长线于点N ，利用在矩形ABCD 中，BC ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°，求证△ABM ∽△ADN ．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可．（3）先证ABC ∆是等边三角形，设AB BC AC a ===，过点CN AB ⊥，垂足为N ，交BF 于点M ，则12AN BN a ==，在Rt BCN ∆中，利用勾股定理求得CN 的长，然后证NCE ABF ∆∆∽，利用相似三角形的对应边对应成比例即可求解．【详解】（1）1EG FH=，理由为：过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形AMFH 是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，∴AM ＝HF ，AN ＝EG ，在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°∵EG ⊥FH ，∴∠NAM ＝90°，∴∠BAM ＝∠DAN ，在△ABM 和△ADN 中，∠BAM ＝∠DAN ，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠ADN∴△ABM ≌△ADN∴AM ＝AN ，即EG ＝FH ，∴1EG FH=；（2）解：过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EC 交CD 的延长线于点N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形AMFH 是平行四边形，四边形AEGN 是平行四边形，∴AM ＝HF ，AN ＝EG ，在矩形ABCD 中，BC ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°，∵EG ⊥FH ，∴∠NAM ＝90°，∴∠BAM ＝∠DAN ．∴△ABM ∽△ADN ，∴AM AB AN AD=，∵AB m =，BC AD n ==，AM ＝HF ，AN ＝EG ，∴HF m EG n =，∴EG n FH m=；故答案为：nm （3）解：∵60ABC ∠=︒，AB BC =，∴ABC ∆是等边三角形，答案第28页，共37页∴设AB BC AC a ===，过点CN AB ⊥，垂足为N ，交BF 于点M ，则12AN BN a ==，在Rt BCN ∆中，2CN a ===，∵CN AB ⊥，CE BF ⊥，∴90ABF BMN ∠+∠=︒，90ECN CMF ∠+∠=︒，又∵CMF BMN ∠=∠，∴ABF ECN ∠=∠，∵CN AB ⊥，90DAB ∠=︒，∴90DAB CNE ∠=∠=︒，∴NCE ABF ∆∆∽，∴CE CN BF AB =，即2CE BF a ==．【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，难度较大，是一道难题．20．(1)GH GI =且GH GI⊥(2)GH GI =且GH GI ⊥，理由见详解(3)①12S S =，②258【分析】（1）连接DF ，延长BE 交DF 于P ，可证BAE DAF ≌ ，结合三角形中位线即可求解；（2）连接DF 交BE 于Q ，AD 与BE 交于M ，可证BAE DAF ≌ ，结合三角形中位线即可求解；（3）①过F 作FO BA ⊥，交BA 的延长线于O ，过E 作EN AD ⊥，可证FAO EAN ≌ ，即可求解；②可求218S BE =，由12EAF ABD BFED S S S S S +=-- 四边形即可求解．【详解】（1）解：GH GI =且GH GI ⊥，如图，连接DF ，延长BE 交DF 于P，四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=，90BAC ∠=︒，BAE DAF ∴∠=∠，AEF 是等腰直角三角形，AE AF ∴=，在BAE 和DAF △中AB AD BAE DAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BAE DAF ∴≌ (SAS )，BE DF ∴=，ABE ADF ∠=∠，点G ，H ，I 分别为线段BD ，BF ，DE 的中点，答案第30页，共37页12GI BE ∴=，GI BE ∥，12GH DF =，GH DF ∥，GI GH ∴=；90ABE BEA ∠+∠=︒ ，BEA DEP ∠=∠，90ABE DEP ∴∠+∠=︒，90ADF DEP ∴∠+∠=︒，BE DF ∴⊥，BE GH ∴⊥，GI GH ∴⊥；故GH GI =且GH GI ⊥．（2）解：GH GI =且GH GI ⊥，如图，连接DF 交BE 于Q ，AD 与BE 交于M，由（1）得：，AE AF =，90BAM EAF ∠=∠=︒，BAM DAE EAF DAE∴∠+∠=∠+∠BAE DAF∴∠=∠在BAE 和DAF △中AB AD BAE DAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BAE DAF ∴≌ (SAS )，BE DF ∴=，ABE ADF ∠=∠，点G ，H ，I 分别为线段BD ，BF ，DE 的中点，12GI BE ∴=，GI BE ∥，12GH DF =，GH DF ∥，GI GH ∴=；90ABM BMA ∠+∠=︒ ，BMA DMQ ∠=∠，90ABM DMQ ∴∠+∠=︒，90ADF DMQ ∴∠+∠=︒，BE DF ∴⊥，BE GH ∴⊥，GI GH ∴⊥；故GH GI =且GH GI ⊥．（3）解：①12S S =，如图，过F 作FO BA ⊥，交BA 的延长线于O ，过E 作EN AD ⊥，90ANE OAF ∴∠=∠=︒，90FAO OAE ∴∠+∠=︒，90EAN OAE ∠+∠=︒，FAO EAN ∴∠=∠，。

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中考数学复习之正方形习题（含答案）
1.下列命题正确的是（）
A. 平行四边形的对角线互相垂直平分
B. 矩形的对角线互相垂直平分
C. 菱形的对角线互相平分且相等
D. 正方形的对角线互相垂直平分
2.正方形ABCD的边长为8，顺次连接四边中点，所得的四边形面积是（）
A. 24
B. 32
C. 36
D. 40
3.如图，在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是(－1，2)、(－1，0)、(－3，0)，将
正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（）
A. (－6，2)
B. (0，2)
C. (2，0)
D. (2，2)
4.如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，
DF＝CF，则AG
GF的值是（）
A. 4
3 B.
5
4 C.
6
5 D.
7
6
5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，
则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是（）
A. AB
B. DE
C. BD
D. AF
6.如图，在直角坐标系中，正方形ABCO的顶点B的坐标为(3，3)，点A、C分别在y轴、x
轴上，对角线AC上有一动点E，连接BE，过点E作ED⊥BE交OC于点D.若点D的坐标
为(2，0)，则点E的坐标为______________．
7.如图，将边长为6的正方形纸片ABCD按如图所示方式折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，
使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，若点M为AD的三等分点，则折痕EF 的长为____________．
8.如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高，点O是AC中点，延长DO到E，使AE∥BC，
连接AE.
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)填空：
①若AB＝17，BC＝16，则四边形ADCE的面积＝____________；
②若AB＝10，当BC＝____________时，四边形ADCE是正方形．
参考答案：
1-5 DBBCD
6. (1，2)
10或213
8. (1)证明：∵点O是AC中点，
∴AO＝OC，
∵AE∥BC，
∴∠EAO＝∠OCD，
∵∠AOE＝∠DOC，
∴△AOE≌△COD(ASA)，
∴OE＝OD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形；
(2)解：①120；②10 2.。