最新Part2-第11章-桥梁结构几何非线性计算理论
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M1/4 影响线
位移η1/4 影响线 （×10 -7）
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
➢悬索桥一阶和二阶理论对比分析
杨浦大桥160+580+160m悬索桥方案
主跨包络图（1—一阶理论；2—二阶理论）
M(×105KN-m)
5.0 4.1
4.0
3.0
2.0
1.6
1.0
o
1/8
1/4
1 2
3/8
计算问题；桥梁结构的稳定
程，由此造成基本控制方程的 初始构形有关外，与受载后的
分析问题
非线性问题
应力、位移整体也有关
接触问题
悬索桥主缆与鞍座的接触 不满足理想约束假定而引起的 受力后的边界条件在求解前
状态；支架上预应力梁张拉 边界约束方程的非线性问题 未知
后的部分落架现象
1.2 几何非线性问题
几何非线性理论将平衡方程建立在结构变形后位置上 任何结构的平衡只有在其变形后的位置上满足，才是真实
Timoshenko于1928年提出了三角级数解
Godard通过忽略后期荷载对结构刚度的影响提出了线
性挠度理论
我国李国豪教授于1941年提出了用于悬索桥分析的等
代梁法
✓ 将挠度理论中的非线性项等代于偏心受拉梁的弯矩减小系数 ✓ 揭示了悬索桥受力的本质
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
➢悬索桥一阶和二阶理论对比分析
1.1 非线性问题及其分类(续)
➢ 经典线性理论基于三个基本假定，这些假定使得三组基本
方程成为线性
✓材料的应力、应变关系满足广义虎克定律
✓位移是微小的
✓约束是理想约束 ➢ 不满足其中任何一个假定，就转化为非线性问题
1.1 非线性问题及其分类(续)
非线性问题的分类及基本特点
非线性问题
定义
特点
桥梁工程中 的典型问题
Part2-第11章-桥梁结 构几何非线性计算理论
第十一章 桥梁结构几何非线性计算理论
本章主要内容
1概述 2 桥梁结构几何非线性分析的有限元方法 3 桥梁结构分析常用单元的切线刚度矩阵 4 桥梁结构几何非线性分析若干问题的讨论 5 非线性方程的求解 6算例 7小结
1 概述
➢ 二十世纪中叶，奠定了非线性力学的理论基础
加劲梁挠度
C—挠度折减系数
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
o
2
4
6
8 10
Co L —桥梁柔度
挠度折减系数与桥梁柔度关系图
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
➢悬索桥一阶和二阶理论对比分析
加劲梁弯矩和剪力
C—折减系数
1.0
0.8 0.6 剪力
0.4
弯矩
0.2
o
0.1
0.2
0.3
0.4
S=1L
EI Hg
由材料的非线性应力、应变关 材料非线性 系引起基本控制方程的非线性 材料不满足虎克定律
问题
砼徐变、收缩和弹塑性问题
几何非线性
放弃小位移假设，从几何上严 几何运动方程为非线性，平衡
柔性结构的恒载状态确定
格分析单元体的尺寸、形状变 方程建立在结构变形后的位
问题；柔性结构的恒、活载
化，得到非线性的几何运动方 置上，结构刚度除了与材料及
1/2
5/8
3/4
7/8
1
L
弯矩包络图
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
➢悬索桥一阶和二阶理论对比分析
杨浦大桥160+580+160m悬索桥方案
主跨包络图（1—一阶理论；2—二阶理论）
Q (×1 0 3 K N )
6.0
5.0 4.0
3.0
2.0
1.0
o
1/8
5.8
1
2.9 2
1/4
3/8
1/2
论和大位移、大应变理论，即有限应变理论两种
✓ 桥梁工程中的几何非线性问题一般都是有限位移问题
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究
➢ 1888年，Melan在悬索桥结构分析中提出了挠度理论
✓ 考虑主缆拉力二阶影响 ✓ 将平衡方程建立在变形后的位置上 ✓ 忽略了吊杆伸长、结构水平位移及加劲梁剪切变形的影响
x E1[x (y x)]
yz 2(1E)yz
y E1[y (x z)]
xz 2(1E)xz
z E1[z (x y)]
xy 2(1E)xy
1.1 非线性问题及其分类(续)
➢ 固体力学中有三组基本方程——
本构方程、几何运动方程和平衡方程
几何方程——位移与应变的关系
x
u x
y
v y
z
w z
yz
w y
意义上平衡的
一般结构的平衡状态不因变形而发生明显改变,线性理论才
得以广泛应用
1.2 几何非线性问题(续) P
A
B
C
P
B’
按线性理论求解无法找到平衡位置
按几何非线性分析方法求解，可以找到平衡位置B’ ， 即为B点
位移的解
受力状态因变形而发生明显改变时，就必须用几何非线性方法进
行分析
➢ 几何非线性理论一般可以分成大位移小应变即有限位移理
5/8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3/4
7/8
1
L
剪力包络图
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
➢悬索桥一阶和二阶理论对比分析
杨浦大桥160+580+160m悬索桥方案
✓ 由于计算繁复，许多非线性微分方程的边值问题无法求解 ✓ 用解析法解决非线性工程问题仍显得无能为力
➢ 二十世纪六十年代末，有限元法与计算机相结合，才使工
程中的非线性问题逐步得以解决
1.1 非线性问题及其分类
➢ 固体力学中有三组基本方程——
本构方程、几何运动方程和平衡方程
本构方程（广义胡克定律）
——应力与应变的关系
v z
yz
u z
w x
yz
v x
u y
1.1 非线性问题及其分类(续)
➢ 固体力学中有三组基本方程——
本构方程、几何运动方程和平衡方程
平衡方程——点的应力状态
x yx zx X 0 x y z xy y zy Y 0 x y z xz yz z Z 0 x y z
➢ 挠度理论从1908年开始应用于纽约的Manhattan大桥设计，大
大节省了工程造价，充分显示了它的优越性
➢ 此后的数十年中，挠度理论为悬索桥和大跨径拱桥的发展作
出了巨大贡献
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
挠度理论平衡微分方程的求解仍是十分复杂的
E Id dx 4 4 (H qH p)d dx 2 2p(x)H pd dx 2 2 y
加劲梁弯矩和剪力折减系数图
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
➢悬索桥一阶和二阶理论对比分析
影响线 1—一阶理论；2—H=Hg；3—H=Hg+maxHp0
Hp影响线
Q1/4 影响线
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
➢悬索桥一阶和二阶理论对比分析
影响线 1—一阶理论；2—H=Hg；3—H=Hg+maxHp0
位移η1/4 影响线 （×10 -7）
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
➢悬索桥一阶和二阶理论对比分析
杨浦大桥160+580+160m悬索桥方案
主跨包络图（1—一阶理论；2—二阶理论）
M(×105KN-m)
5.0 4.1
4.0
3.0
2.0
1.6
1.0
o
1/8
1/4
1 2
3/8
计算问题；桥梁结构的稳定
程，由此造成基本控制方程的 初始构形有关外，与受载后的
分析问题
非线性问题
应力、位移整体也有关
接触问题
悬索桥主缆与鞍座的接触 不满足理想约束假定而引起的 受力后的边界条件在求解前
状态；支架上预应力梁张拉 边界约束方程的非线性问题 未知
后的部分落架现象
1.2 几何非线性问题
几何非线性理论将平衡方程建立在结构变形后位置上 任何结构的平衡只有在其变形后的位置上满足，才是真实
Timoshenko于1928年提出了三角级数解
Godard通过忽略后期荷载对结构刚度的影响提出了线
性挠度理论
我国李国豪教授于1941年提出了用于悬索桥分析的等
代梁法
✓ 将挠度理论中的非线性项等代于偏心受拉梁的弯矩减小系数 ✓ 揭示了悬索桥受力的本质
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
➢悬索桥一阶和二阶理论对比分析
1.1 非线性问题及其分类(续)
➢ 经典线性理论基于三个基本假定，这些假定使得三组基本
方程成为线性
✓材料的应力、应变关系满足广义虎克定律
✓位移是微小的
✓约束是理想约束 ➢ 不满足其中任何一个假定，就转化为非线性问题
1.1 非线性问题及其分类(续)
非线性问题的分类及基本特点
非线性问题
定义
特点
桥梁工程中 的典型问题
Part2-第11章-桥梁结 构几何非线性计算理论
第十一章 桥梁结构几何非线性计算理论
本章主要内容
1概述 2 桥梁结构几何非线性分析的有限元方法 3 桥梁结构分析常用单元的切线刚度矩阵 4 桥梁结构几何非线性分析若干问题的讨论 5 非线性方程的求解 6算例 7小结
1 概述
➢ 二十世纪中叶，奠定了非线性力学的理论基础
加劲梁挠度
C—挠度折减系数
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
o
2
4
6
8 10
Co L —桥梁柔度
挠度折减系数与桥梁柔度关系图
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
➢悬索桥一阶和二阶理论对比分析
加劲梁弯矩和剪力
C—折减系数
1.0
0.8 0.6 剪力
0.4
弯矩
0.2
o
0.1
0.2
0.3
0.4
S=1L
EI Hg
由材料的非线性应力、应变关 材料非线性 系引起基本控制方程的非线性 材料不满足虎克定律
问题
砼徐变、收缩和弹塑性问题
几何非线性
放弃小位移假设，从几何上严 几何运动方程为非线性，平衡
柔性结构的恒载状态确定
格分析单元体的尺寸、形状变 方程建立在结构变形后的位
问题；柔性结构的恒、活载
化，得到非线性的几何运动方 置上，结构刚度除了与材料及
1/2
5/8
3/4
7/8
1
L
弯矩包络图
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
➢悬索桥一阶和二阶理论对比分析
杨浦大桥160+580+160m悬索桥方案
主跨包络图（1—一阶理论；2—二阶理论）
Q (×1 0 3 K N )
6.0
5.0 4.0
3.0
2.0
1.0
o
1/8
5.8
1
2.9 2
1/4
3/8
1/2
论和大位移、大应变理论，即有限应变理论两种
✓ 桥梁工程中的几何非线性问题一般都是有限位移问题
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究
➢ 1888年，Melan在悬索桥结构分析中提出了挠度理论
✓ 考虑主缆拉力二阶影响 ✓ 将平衡方程建立在变形后的位置上 ✓ 忽略了吊杆伸长、结构水平位移及加劲梁剪切变形的影响
x E1[x (y x)]
yz 2(1E)yz
y E1[y (x z)]
xz 2(1E)xz
z E1[z (x y)]
xy 2(1E)xy
1.1 非线性问题及其分类(续)
➢ 固体力学中有三组基本方程——
本构方程、几何运动方程和平衡方程
几何方程——位移与应变的关系
x
u x
y
v y
z
w z
yz
w y
意义上平衡的
一般结构的平衡状态不因变形而发生明显改变,线性理论才
得以广泛应用
1.2 几何非线性问题(续) P
A
B
C
P
B’
按线性理论求解无法找到平衡位置
按几何非线性分析方法求解，可以找到平衡位置B’ ， 即为B点
位移的解
受力状态因变形而发生明显改变时，就必须用几何非线性方法进
行分析
➢ 几何非线性理论一般可以分成大位移小应变即有限位移理
5/8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3/4
7/8
1
L
剪力包络图
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
➢悬索桥一阶和二阶理论对比分析
杨浦大桥160+580+160m悬索桥方案
✓ 由于计算繁复，许多非线性微分方程的边值问题无法求解 ✓ 用解析法解决非线性工程问题仍显得无能为力
➢ 二十世纪六十年代末，有限元法与计算机相结合，才使工
程中的非线性问题逐步得以解决
1.1 非线性问题及其分类
➢ 固体力学中有三组基本方程——
本构方程、几何运动方程和平衡方程
本构方程（广义胡克定律）
——应力与应变的关系
v z
yz
u z
w x
yz
v x
u y
1.1 非线性问题及其分类(续)
➢ 固体力学中有三组基本方程——
本构方程、几何运动方程和平衡方程
平衡方程——点的应力状态
x yx zx X 0 x y z xy y zy Y 0 x y z xz yz z Z 0 x y z
➢ 挠度理论从1908年开始应用于纽约的Manhattan大桥设计，大
大节省了工程造价，充分显示了它的优越性
➢ 此后的数十年中，挠度理论为悬索桥和大跨径拱桥的发展作
出了巨大贡献
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
挠度理论平衡微分方程的求解仍是十分复杂的
E Id dx 4 4 (H qH p)d dx 2 2p(x)H pd dx 2 2 y
加劲梁弯矩和剪力折减系数图
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
➢悬索桥一阶和二阶理论对比分析
影响线 1—一阶理论；2—H=Hg；3—H=Hg+maxHp0
Hp影响线
Q1/4 影响线
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
➢悬索桥一阶和二阶理论对比分析
影响线 1—一阶理论；2—H=Hg；3—H=Hg+maxHp0