一级倒立摆控制方法比较
一阶倒立摆平衡系统的控制方法研究
一阶倒立摆平衡系统的控制方法研究作者：何思瑶韦雪樊雨琰杨佩来源：《电脑知识与技术》2020年第23期摘要：一阶倒立摆平衡系统是一个不稳定的、多输入多输出的复杂非线性系统，一阶倒立摆的控制方法有多种不同的类型，不管是在理论还是算法上，研究此类典型倒立摆被控对象都有很重要的意义。
本文对一阶倒立摆平衡控制系统中常用的PID控制方法进行了研究，并比较了PID算法参数整定中经验凑试法、专家控制法、粒子群算法、遗传算法等不同方法的特点和优劣，研究内容对工程设计具有一定的借鉴作用。
关键词：一阶倒立摆;平衡系统;控制方法;PID算法中图分类号：TP311; ; 文献标识码：A文章编号：1009-3044（2020）23-0020-031 引言平时常见的头顶木桩杂技表演，需要杂技演员将一根长长的木桩顶在头顶，并保持木桩竖直不倒，该杂技在实质上可认为是一个一阶倒立摆平衡系统。
其中，木桩是不稳定的非线性被控对象，完全可以通过一些数学上的控制算法令其保持竖直不倒的平衡状态。
这个杂技表演揭示出了自然界的一种基本规律，即当将头顶木桩杂技表演归纳为一个一阶倒立摆模型后，就可以通过数学方法同样实现杂技的表演的平衡效果。
一个一阶倒立摆平衡系统中包含两个系统平衡位置，一个是倒立摆立起保持竖直不倒时的不稳定平衡位置，另一个是倒立摆未施加任何控制力，处于下垂而保持不动的稳定平衡位置。
在对一阶倒立摆进行平衡控制时，需要两个阶段，一个是施加控制力令倒立摆摆动起来以达到竖直平衡位置，另一个是在竖直位置施加控制力进一步地保持倒立摆平衡。
目前，在这两个控制阶段的研究方面，已比较成熟，有很多相关论文可以查阅。
这些成果基本均采用不同的控制策略和数学算法，实现对倒立摆两个控制阶段的稳定控制。
2 倒立摆介绍以及应用从20世纪60年代起，倒立摆平衡系统的研究工作就已经开始了。
一阶倒立摆平衡系统是一个不稳定的、多输入多输出的复杂非线性系统，该系统可以为控制方面的理论教学及相关课程实验提供一个理想且经典的研究验证平台，并通过该平台建立的模型来验证不同控制理论或算法的正确性和有效性，从而由倒立摆平衡系统的实例进一步在控制系统的非线性计算、稳定性分析、鲁棒性衡量、跟踪控制和随动控制等方面的问题进行深入研究。
一阶倒立摆的控制方法
一阶倒立摆的控制方法
一阶倒立摆是一种非常有趣的机械系统，它提供了在控制和稳定化方面的许多挑战。
一阶倒立摆的控制方法取决于许多因素，包括机械结构、系统响应、控制信号和传感器输入等。
在一阶倒立摆中，一个质点在垂直支撑物上平衡，支撑物可以是摆锤也可以是其他机械结构。
在“正常”情况下，质点的位置会小幅度波动，但总体上保持平衡。
在不正常的情况下，例如外力干扰或系统响应问题，质点的位置可能会失去平衡，导致设备失效。
为了解决这些问题，一些常见的控制方法包括PID控制、神经网络控制和模糊控制等。
其中，最常用的PID控制方法是基于比例、积分和微分控制来实现的。
这种方法可以计算出当前状态和目标状态的差异，然后调节偏差的大小和方向，以让设备回归到稳定状态。
另一种常见的控制方法是神经网络控制。
这种方法的理念是通过构建一个基于神经网络结构的模型来控制设备。
神经网络具有学习和记忆功能、非线性映射和复杂的自适应能力等特点，可以较好地应对一阶倒立摆的不稳定性与外部干扰的问题。
最后，模糊控制是一种模糊数学技术，它可以将输入和输出模糊化，以便通过一系列规则来达到控制目标。
模糊控制方法较为简单，但需要有丰富经验和良好的控制规则，否则很容易导致控制结果的不稳定性。
总的来说，在一阶倒立摆的控制中，各种方法都有自己的优缺点。
开发一种切实可行的控制方法需要考虑到各种因素，包括系统响应时间、控制稳定性、控制信号噪声干扰、成本等等。
因此，为了实现一
阶倒立摆的各种应用，需要有较为全面的控制方案和少量控制策略的
实践应用。
单级倒立摆三种控制方法的对比研究
单级倒立摆三种控制方法的对比研究一、本文概述倒立摆系统作为经典的控制理论实验平台，被广泛用于研究和验证各种控制算法的有效性。
单级倒立摆作为倒立摆系统中最简单的形式，其动态特性和控制难度适中，成为了许多学者研究的焦点。
本文将重点探讨三种常见的单级倒立摆控制方法，并通过对比分析，揭示各方法的优缺点以及在不同场景下的适用性。
本文将简要介绍单级倒立摆的基本结构和动力学特性，为后续控制方法的研究奠定基础。
随后，将详细介绍三种控制方法：PID控制、模糊控制和最优控制，并阐述各自的基本原理和实现过程。
在此基础上，本文将通过仿真实验和实物实验，对比三种控制方法在单级倒立摆稳定控制中的表现，评估其控制精度、响应速度和鲁棒性等方面的性能。
通过本文的研究，旨在为倒立摆控制领域的研究者提供有益的参考，并为实际工程应用中的控制策略选择提供理论支持。
也希望本文的研究能够推动倒立摆控制技术的发展，为智能控制领域的发展做出一定的贡献。
二、单级倒立摆系统概述单级倒立摆系统是一种典型的非线性、不稳定、不可控系统，是控制理论研究和教学实验中常用的典型实验对象。
该系统由一个支点、一个摆杆和一个小球组成，摆杆一端通过支点与地面相连，另一端固定一个小球。
小球受到重力作用，会自然下垂，而摆杆则可以在垂直平面内自由摆动。
当系统受到外部扰动时，小球会偏离平衡点，导致摆杆摆动，系统变得不稳定。
单级倒立摆系统的控制目标是通过施加一定的控制力，使小球能够稳定地倒立在摆杆顶端，即保持系统平衡。
由于该系统具有非线性、不稳定和不可控等特性，控制难度较大。
为了实现这一控制目标，需要设计合适的控制器，并采用合适的控制策略。
在单级倒立摆系统的控制中，常用的控制方法包括PID控制、模糊控制、神经网络控制等。
PID控制是一种基于误差反馈的控制方法，通过不断调整控制量来减小误差，使系统达到稳定状态。
模糊控制则是一种基于模糊逻辑的控制方法，通过模糊化输入和输出变量，实现对系统的非线性控制。
一级倒立摆的模糊控制
一级倒立摆的模糊控制一、 立题背景倒立摆( Inverted Pendulum)是处于倒置不稳定状态、通过人为控制使其处于动态平衡的一种摆。
它是一个复杂的快速、非线性、多变量、强耦合的非最小相位系统,是重心在上、支点在下控制问题的抽象。
倒立摆的控制一直是控制理论及应用的典型课题倒立摆系统通常用来检验控制策略的效果,是控制理论研究中较为理想的实验装置。
又因其与火箭飞行器及单足机器人有很大的相似之处,引起国内外学者的广泛关注。
控制过程中的许多关键问题,如镇定问题、非线性问题、鲁棒性问题、随动问题以及跟踪问题等都可以以倒立摆为例加以研究。
本文围绕一级倒立摆系统，采用模糊控制理论研究了倒立摆的控制系统仿真问题。
仿真 的成功证明了本文设计的模糊控制器有很好的稳定性。
二、 倒立摆的数学模型质量为m 的小球固结于长度为L 的细杆（可忽略杆的质量）上，细杆又和质量为M 的小车铰接相连。
由经验知：通过控制施加在小车上的力F （包括大小和方向）能够使细杆处于θ＝0的稳定倒立状态。
在忽略其他零件的质量以及各种摩擦和阻尼的条件下，推导小车倒立摆系统的数学模型。
倒立摆模型如图2-1所示。
图 2-2 单机倒立摆模型图小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。
电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。
导轨截面成H 型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。
轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。
以摆角θ、角速度θ’、小车位移x 、加速度x ’为系统状态变量，Y 为输出，F 为输入 以摆角θ、角速度θ’、小车位移x 、加速度x ’为系统状态变量，Y 为输出，F 为输入。
即X=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡x'x 'θθ Y=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x θ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡31x x由线性化后运动方程组得x1’=θ’=x2 x2’=''θ=()Ml g m M +x1-Ml1 F X3’ =x ’=x4 x4’=x ’’=-M mg x1+M 1 F 故空间状态方程如下：X ’=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'4'3'2'1x x x x =()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+00010000000010M mgMl g m M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x + ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-M Ml 1010 F Y= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡31x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡01000001 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x + 0⨯F 其中，M=1 kg ，m=0.1kg ，l=.1m ，g=10m/s 。
(完整word版)一级倒立摆控制方法比较
(完整word版)一级倒立摆控制方法比较一级倒立摆控制方法比较摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统。
针对一级倒立摆系统，首先利用牛顿力学的知识建立了数学模型，然后利用Simulink 及其封装功能建立倒立摆的仿真模型,使模型更具灵活性，给仿真带来很大方便。
根据状态方程判断系统的能控、能观性。
通过LQR控制算法和极点配置设计控制器使系统达到稳定状态,分析两种方法的优缺点, 并利用Matlab仿真加以证实。
关键词：倒立摆; LQR ；极点配置;MatlabDISCUSSION ON CONTROLOF INVERTED PENDULUMAbstract:the inverted pendulum system is a typical multi—variable, nonlinear, strong coupling and rapid movement of the natural unstable system. According to the level of inverted pendulum system，firstI make use of Newtonian mechanics knowledge to establishthe mathematical model，and use the Simulink and packaging function to establish inverted pendulum simulation model。
The model is more flexibility, bringing a lot of convenience for simulation. By the equation of state, controllability and observablityof system can be sure。
直线一级倒立摆控制方法研究毕业论文
直线一级倒立摆控制方法研究毕业论文目录前言 (1)第1章倒立摆系统 (2)1.1 倒立摆的简介 (2)1.2 倒立摆的分类 (3)1.3 倒立摆的特性 (5)1.4 控制器的设计方法 (6)1.5 倒立摆系统研究的背景及意义 (6)1.6 直线倒立摆控制系统硬件框图 (8)第2章倒立摆的数学模型 (9)2.1 数学模型概述 (9)2.2 拉格朗日建模法 (9)2.3 倒立摆系统参数 (11)2.4 实际数学模型 (12)第3章MATLAB工具软件 (13)3.1 MATLAB简介 (13)3.2 SIMULINK仿真 (14)3.3 SIMULINK仿真建模方法 (15)第4章PID控制 (17)4.1 PID控制简述 (17)4.2 国内外的研究现状和发展趋势 (18)4.3 PID控制器设计 (20)4.4 PID控制器参数的整定 (21)第5章直线一级倒立摆的PID控制 (22)5.1 直线一级倒立摆的PID控制Simulink仿真 (22)5.2 直线一级倒立摆的PID仿真程序 (25)5.3 直线一级倒立摆的PID实时控制 (26)第6章直线一级倒立摆LQR控制 (29)6.1 线性二次最优控制LQR基本原理及分析 (29)6.2 LQR控制参数调节及仿真 (30)6.3 直线一级倒立摆LQR控制simulink仿真 (32)6.4 直线一级倒立摆LQR控制 (34)结论 (37)谢辞 (38)参考文献 (39)附录 (41)外文资料翻译 (45)MATLAB (45)MATLAB简介 (51)前言倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。
由于倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为必备的控制理论教学实验设备]2[。
直线一级倒立摆文档
0 0 1 0
0 I ml 2 ( M m) I mMl 2 B 0 ml 2 ( M m ) I mMl C I 44
带入参数得线性化后的系统参数矩阵为
1 0 0 0 0.0883167 0.629317 A 0 0 0 0 0.235655 27.8285
图. 4 Simulink 框图
图. 5 小车位置图
图. 6 摆杆与垂直方向角度图
Y轴
φ 摆杆 l F
X轴 小 X
图2
车
导轨
图 3 是将小车与摆杆分开受力分析的示意图。其中（a）图是小车的受力分析示意图， （b）图是摆杆的受力分析示意图。其中 N 和 P 分别为小车与摆杆相互作用的水平和垂直方 向的分量。执行装置的正方向由图. 2 所示的矢量方向确定。
P N F 小 (a)
图. 3 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
(3) (4)
cos ml 2 sin F bx ml (M m) x
分析摆杆垂直方向上的合力，可以得到下面的方程：
P mg m
即：
d2 (l cos 2 cos P mg ml
根据式(9)可得到如下的状态空间方程：
AX Bu X Y CX
其中
X x1
x2
x3
x4
T
1 0 ( I ml 2 )b 0 ( M m) I mMl 2 A 0 0 mlb 0 ( M m) I mMl 2
0 m 2l 2 g ( M m) I mMl 2 0 ( M m)mgl ( M m) I mMl 2
单级倒立摆三种控制方法的对比研究
(14)
其中 S 由下列 Ricatti 方程获得
GTS G - GTS H ( HTS H + Ry) - 1 HTS G + CTQy C = S (15) Qy , Ry 分别用来对输出向量 Y( k) ,控制向量 u ( k) 引起
的性能度量的相对重要性进行加权 。在实际系统的控制过程
中 , 我们取 Qy = 4 ×I2×2 ; Ry = 0. 5 , 根据式 (14) 和式 (15) ,设
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第 11 期
单级倒立摆三种控制方法的对比研究
·49 ·
计出输出反馈增益矩阵为 Ky = [ - 2. 708 3 - 9. 702 0 - 4. 754 4 - 1. 139 98] (16)
= zn + αn3- 1 zn- 1 + … + α13 z1 + α03
(6)
Φ( A) = An + αn3- 1 An- 1 + … + α13 A1 + α03 I
Kp = (0 0 … 0 1) McΦ( A)
通过仿真及实际的控制经验 ,我们将实际闭环极点的配
置如下
z = [0. 990 0 - 0. 009 9 i 0. 990 0 + 0. 009 9 i
将对三种不同的线性控制器进行具体的设计 。
311 闭环状态反馈极点配置调节器 首 先 构 造 被 控 系 统 的 能 控 性 矩 阵 Mc =
[ H GH … Gn- 1 H ] ,通过计算可得 rank ( Mc) = 4 , 即系 统可控 。根据线性系统理论 , 可以设计状态反馈控制器将闭 环系统的极点配置在 S 域任意位置 。设极点配置的控制律 形式为
倒立摆控制方法的比较研究
ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｄｅｓｉｇｎ，ｂｕｔ ａｌｓｏ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ａ ｇｏｏｄ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｐｌａｔｆｏｒｍ ｆｏ ｒ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ａｎｄ ａｐｐｌｉ— ｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｍａｎｙ ａｄｖａｎｃｅｄ ｃｏｎｔｒｏｌ ｍ ｅｔｈｏｄｓ． Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌ ｍｅｔｈｏｄ． ｔｈｅ ｏｐｔｉｍ ａｌ ｃｏｎｔｒｏｌ
Ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅ ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｃｏｎｔｒｏｌ ｍ ｅｔｈｏｄ ｏｆ ｉｎｖｅｒｔｅｄ ｐｅｎｄｕｌｕｍ
ＰＵ Ｊｉａｎｂｏ，ＰＥＮＧ Ｘｉａｏｌｅ，ＹＩＮ Ｙａｎｄｏｎｇ，ＤＡＩ Ｍｅｎｇｘｉ，ＦＡＮ Ｗ ｅｎｒｕｉ （２０９ｔｈ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｃｈｉｎａ Ｏｒｄｎａｎｃｅ ｄ ，Ｃｈｅｎｇｄｕ ６１００４１，Ｃｈｉｎａ）
该 文 以单 级 倒立 摆 为 研 究对 象 ，并 利 用 ３种 控
２０１６年第 ２期
工业仪表与 ห้องสมุดไป่ตู้动化装置
·１３·
收 稿 日期 ：２０１５—０９—１０ 作者简介 ：蒲建波（１９８８），男 ，四川 广元 人 ，硕士研究 生，研究方 向为控制理论与控制工程 ，主要从事伺服 稳定平 台的稳定控 制算法 研 究 。
作 为 典 型 的控 制对 象 ，倒 立 摆 不仅 对 当前 控 制 设计 提 出 了很 大 的 挑 战 ，同 时也 为很 多 先 进 控 制 方 法 的研 究 和应 用 提供 了一 个很好 的实验 平 台 。文 献 ［２］中借鉴平面垂直起降飞行器的控制方法 ，将饱 和 非线 性控 制 方 法 应 用 于 —ｚ 倒 立 摆 的稳 定 控 制 ，解决 了 Ｘ—Ｚ倒 立摆 的稳 定 控 制 问题 ，但 其 鲁 棒 性较 差 。文献 ［３］中对 一 级倒 立 摆 采用 模 糊 神 经 网 络作为控制器 ，并 在 ＡＮＦＩＳ下进行了模糊推理 ，能 满足系统稳定要求 ，但稳定 时间较长。文献 ［４］以 ＰＩＤ算 法 为 核 心并 加 入 双 闭 环 位 置反 馈 ，改 善 了旋 转倒 立 摆 的环 境 自适应 能 力 ，且 稳态 误差 小 ，动态 响 应 快 。
一级倒立摆系统最优控制
摘要倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，许多抽象的控制理论概念都可以通过倒立摆实验直观的表现出来。
因此，倒立摆系统经常被用来检验控制策略的实际效果。
应用上，倒立摆广泛应用于航空航天控制、机器人，杂项顶杆表演等领域，研究倒立摆的精确控制对工业复杂对象的控制也有着重要的工程应用价值。
本文以固高公司生产的GIP-100-L型一阶倒立摆系统为研究对象，对直线一级倒立摆模型进行了建模，控制算法的仿真对比，并得出了相应的结论。
文中介绍了倒立摆的分类、特性、控制目标、控制方法等以及倒立摆控制研究的发展及其现状。
利用牛顿力学方法推到了直线以及倒立摆的动力学模型，求出其传递函数及其状态空间方程。
在建立了系统模型的基础下，本文还研究了倒立摆系统的线性二次型最优控制问题，并且使用了MATLAB软件进行仿真，通过改变LQR模块及状态空间模块中的参数，在仿真中取得了不同的控制效果，最终得到了最好的控制效果。
关键字：一级倒立摆线性系统、数学建模、最优控制、LQR、仿真目录1 一阶倒立摆的概述 (1)1.1倒立摆的起源与国内外发展现状 (1)1.2倒立摆系统的组成 (1)1.3倒立摆的分类： (1)1.4倒立摆的控制方法： (2)2．一阶倒立摆数学模型的建立 (3)2.1概述 (3)2.2数学模型的建立 (4)2.4实际参数代入： (5)3．定量、定性分析系统的性能 (7)3.1对系统的稳定性进行分析 (7)3.2 对系统的能空性和能观测性进行分析： (8)4．线性二次型最优控制设计 (9)4.1线性二次最优控制简介 (9)4.2 直线一级倒立摆LQR控制算法 (10)4.3 最优控制MATLAB仿真 (18)总结 (21)参考文献 (22)1 一阶倒立摆的概述1.1倒立摆的起源与国内外发展现状倒立摆的最初研究开始于二十世纪五十年代，麻省理工学院的控制理论专家根据火箭助推器原理设计出来一级倒立摆实验设备。
关于一级倒立摆的模糊控制
关于一级倒立摆的模糊控制班级：12级电气工程及其自动化2班学号：2012330301139姓名：吕杰1.倒立摆模糊控制的研究倒立摆一般有两种起始状态的控制。
一种是在摆杆自然下垂，竖直向下为起始状态，通过不断的摆动,最终使其稳定在竖直向上的不稳定点,这种控制叫做起摆稳定控制,也即DOWN-UP控制；另一种是用手提起摆杆,在不稳定平衡点处开始实行控制,称作稳定控制,也即UP-UP控制。
倒立摆系统也是一个复杂的、非线性的、不稳定的高阶系统。
倒立摆的控制一直是控制理论及应用的典型课题。
为了解决这个问题，张乃尧等提出双闭环的倒立摆模糊控制方案，内环控制倒立摆的角度，外环控制倒立摆的位移。
范醒哲等人将这一方法推广到三级倒立摆控制系统中，并提出两种模糊串级控制方案，用来解决倒立摆这类多变量系统模糊控制时的规则爆炸问题。
2.位置模糊控制器的设计位置模糊控制器是二维模糊控制器，以小车位移误差e和小车速度误差ec为该模糊控制器的输入，u为输出量。
位移误差e,控制输出速度误差ec，u的论域均选为｛6,4,2,0,2,4,6｝采用七级分割，表示为[NB,NM,NS.ZO,PS,PM,PB]。
图1-1模糊关系的建立在进行模糊推理运算时，采用Mamdani的max-min合成算法，而输出量的解模糊运算则采用常用的重心法。
通过该模糊控制规则,实现了小车的位移和速度的输入到虚拟角的输出。
从而间接控制了小车的位置。
还要注意到,由于位置控制器先运行,然后是角度控制器工作,两者串行工作,很好的解决了实时性的问题。
图1-2模糊规则的确定图1-3 模糊规则的建立位移误差e的实际范围为[-0.6,0.6]，单位为m,规定Kel=10。
速度误差ec实际范围为[-1,1],单位为m/s规定Kecl=1。
只讨论平衡点附近30°的倒立摆的稳定，输出量（虚拟角）实际范围为[-30°,30°]，[-0.52,0.52],单位rad,规定Kul=0.09。
一级直线倒立摆的控制策略与仿真分析
一级直线倒立摆的控制策略与仿真分析一、引言倒立摆系统是研究控制理论的一种典型的实验装置，具有成本低廉，结构简单，参数和结构易于调整的优点。
然而倒立摆系统具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，是一个绝对不稳定系统。
倒立摆实物仿真实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案，它对一类不稳定系统的控制以及对深入理解反馈控制理论具有重要意义。
倒立摆系统在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果已经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。
二、一级直线倒立摆模型的建立图1 一级直线倒立摆物理模型图2 小车和摆杆的受力分析图2.1 传递函数模型图1、2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
设小车质量为M，摆杆质量为m，小车摩擦系数为b，摆杆转动轴心到杆质心的长度为l，摆杆的转动惯量为I，根据牛顿第二定律，可以得到系统的两个运动方程：F ml ml x b x m M =-+++∙∙∙∙∙∙θθθθsin cos )(2（1）θθθcos sin )(2∙∙∙∙-=++x m l m gl m l I （2）设φπθ+=, 假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即c <<1，则可以进行近似处理：1cos -=θ,φθ-=sin ，0)(2=dtd θ。
用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：2()()I ml mgl ml x M m x b x ml uϕϕϕ∙∙∙∙∙∙∙∙∙+-=++-= （3）假设初始条件为0，对式(3)进行拉普拉斯变换得到：22222()()()()()()()()()I ml s s mgl s mlX s s M m X s s bX s s ml s s U s +Φ-Φ=++-Φ=（4）由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：mgl s ml I mls s X s -+=Φ222)()()(（5）令∙∙=x v ，则有：mgls ml I mls V s -+=Φ22)()()(（6） 把上式代入方程组的第二个方程，得到：)()()(])([)(])()[(222222s U s s ml s s sg ml ml I b s s s g ml ml I m M =Φ-Φ+++Φ-++（7）整理后得到传递函数：232()()()()mlss qb I ml M m mgl bmgl U s s s s q q qΦ=+++--（8） 其中])())([(22ml ml I m M q -++=。
一级倒立摆的模糊控制_张家祥
第19卷 第4期 郑州铁路职业技术学院学报 Vo.l 19 No .42007年12月Journal of Zhengzho u R a il w ay Vocati onal&Techn ica l College Dec .2007收稿日期:2007-03-13作者简介:张家祥(1979-)男,河南周口人,郑州铁路职业技术学院电气工程系助教。
颜丽莎(1957-)女,山东滕州人,郑州铁路职业技术学院实践教学中心实验师。
一级倒立摆的模糊控制张家祥 颜丽莎(郑州铁路职业技术学院 河南郑州 450052)摘 要:倒立摆系统是一个典型的非线性、多变量、绝对不稳定系统,常采用模糊控制来对其进行控制,常常会遇到因输入变量个数过多而带来的控制规则数呈指数增加的问题,即/规则爆炸0。
本文采用两个模糊控制器并联实现了对一级倒立摆系统控制,来降低控制器的维数,简化了设计的难度。
实验验证了该控制方法的有效性。
关键词:倒立摆系统 模糊控制 规则爆炸 1 一级倒立摆系统及其建模倒立摆系统是一个多变量、快速、严重非线性和绝对不稳定系统,必须采用适当的控制方法使之稳定。
其控制方法在军工、航天、机器人领域和一般工业过程中都有广泛用途。
倒立摆系统通常用来检验控制策略的效果,是控制理论研究中较为理想的实验装置,其结构如图1所示。
图1 一级倒立摆结构示意图采用分析力学中的Lagrange 方程可方便地建立一级倒立摆系统的数学模型[1]。
一级倒立摆的动力学方程可由式(1)直接推导:M (H )r..H..+N (H ,H .)r .H.=G(u ,H )(1)令X =[r r .H H .]c ,对式(1)在平衡点[0 0 0 0 ]c 进行线性化处理得到其线性化模型X .=AX +Bu (2)其中,A=0 0 1 00 0 0 00 0 0 10 025.284 -0.06,B =[0 1 0 3.25]c ,C =1 0 000 0 1 0系统的可控性矩阵为:P =[B AB A 2B A 3B ],rank(p)=4,可知一级倒立摆系统在平衡点附近可控。
一级倒立摆摆起研究
感谢老师对我的指导！ 感谢同学们对我的帮助！
立摆起摆所要解决的问题就是在最短的 时间内使摆杆由初始的垂直向下的位置摆 起到竖直向上的位置并保持稳定
起摆控制
★按位置摆起
★按时间摆起
稳定控制
★模糊控制
★线性二次型最优状态 调节器 （LQR）
按位置摆起
按时间摆起
两种起摆方式的总结 比较位置控制和时间控制两种方法，从实际曲线上 看，时间控制较位置控制在时间上要快一个周期。实 验中，位置控制需要来回摆动2.5次，到达最值，而时 间控制需要来回摆动1.5次，即可到达最值。表面看来， 这是两种不同的方法。但通过我的分析，发现其最本 质的控制同样是基于其摆杆的频率而言的。换句话说， 只是表现的形式不同罢了。总的来看，这两种方法都 能在很短的时间里起摆，控制较迅速。但缺点也是显 而易见的。由于两种方法都基于其频率，因此，对外 界环境的要求较高，也就是其鲁棒性不高。比如：要 保证摆杆处于绝对静止状态，整个倒立摆的实验设备 安装水平，皮带无较明显的摩擦。否则会引起一定的 谐振，使摆杆不能到达切换位置或过快超过切换位置。
隶属度与概率的区别
假如你在沙漠中不幸迷了路，而且已经 好几天没有见到水了。这是你突然看到 两个装着液体的瓶子，其中一个贴有标 签表示它盛有纯净水的概率是0.91，而另 一个瓶子上的标签表示瓶中液体属于纯 净水的隶属度是0.91。很显然，你会选择 后者的瓶子。因为前者可能会是有毒液 体，后者尽管不干净，但是一定能喝。
一级倒立摆摆起方法的研究
倒立摆系统在控制过程中能有效地反映控制 中的许多关键问题，如非线性、系统鲁棒性、 随动、镇定及跟踪问题等。当新的控制理论 与方法出现后，可以用倒立摆对其正确性和 实用性加以物理验证，并对各种方法进行快 捷、有效、生动的比较。许多抽象的控制理 论概念如系统的稳定性、可控性和抗干扰能 力等都可以通过倒立摆实验直观的表现出来， 还能将控制理论涉及的三个主要基础学科: 力学,数学和电学进行有机的综合应用。所 以倒立摆一直是进行教学和理论研究的典型 对象。由于倒立摆系统与双足机器人，火箭 飞行控制和各类伺服云台稳定有很大相似性， 因此对倒立摆控制机理的研究具有重要的理 论和实践意义。
一级直线倒立摆串联模糊控制方法研究
［３］刘丽 ，何华灿．五种倒 立摆控 制器对比研究 计算机 工程 与应用 ，
２００６，３０：３－５．
［４］薛安克 ，王俊宏 ，柴利等 ．倒 立摆控 制仿真与试验研 究现状 ．杭 州Ｉ 电子工业学院学报 ，２００５，１：３７－４１．
［５］石 辛 民，郝 整清．模 糊控 制及 其 ＭＡＴＬＡＢ仿 真．清 华大 学 出版 社 ，北京交通大学 出版社 ，２００８．
（上 接第４９页 ）
表 １分布参 数取 值
参数
ｌ
取 值范围
１．２５
－
０．０４４５３
１．０２１８～１．０９４０
Ｃ
Ｏ．１３７８－０．０８３５６
６ Ｃ６
１．０２１８～１．０９４０ Ｏ．１２４６－０．０６３８７
３．模 糊可靠度计算与分析 本 文运用 所建 模型 对某 型号 的钢带 缠绕式 等静 压机 （工 作压力 ３００ＭＰａ、内径 ￣ｂ５ＯＯｍｍ ）进行 了可靠度计算 ，把 以上 的分 布参数代人公 式得 出了该 型号的钢带缠绕式等 静压机工作载荷及屈 服载荷 （接 近使 结构屈服失效 的载荷 ）的模糊可靠度为 ：
（３）模 糊推理采用 ｍａｍｄａｎｉ最小运算。 （４）解模糊采用面积 中心法 。 ３．仿 真 实验 由 ＭＡＴＬＡＢ对控 制系统 进行 仿真实验 ，搭建系统模型如 图３。
。２
。
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科 技信 息
图３仿真模块结构 其 中 Ｋ１、Ｋ２、Ｋ５、Ｋ６为量化 因子 ，分别取 值 ８、６、５２、５；Ｋ３、Ｋ７为 比 例 因子 ，分别 取值 ０．０９、２０；Ｋ４为耦合因子 ，取值 ０．４。 图４所示 为摆杆初 始角 ０．１ｔａｄ，小车位移 、速度 、角度 、角 速度 的仿 真 曲线 ，可以看 出，上升时 间小 ，在较 短时间内恢复到平衡状态 ，并且 各 项指标超调量较 小 ，在可接受范围内。
平面一级倒立摆的稳定控制
其 中 Ｍ 为 Ｘ轴 方 向 上 的小 车 质 量 ， Ｓ为 小 质 量 块 ｄ ｓ到 小 车 上
摆 杆 的 长 度 ，在 本 系 统 中 因为 在 广 义 坐 标 上 均无 非 有 势 广 义 外 力作用 ， 所 以有 下 式 成 立 ：
本 文 采 用 的 研 究 对 象 为 表 １ 平面 一级倒 立摆的系统参数
ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ａ ｌ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ｉ ｔ ． Ａ Ｌ ＱＲ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ ｒ ａ ｎ ｄ ｆ ｕ ｚ ｚ ｙ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ ｒ ａ ｒ ｅ ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｅ ｄ ． Ｔ ｈ ｅ ｔ ｗｏ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ ｒ ｓ ａ ｒ ｅ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ａ ｌ － ｔ ｉ ｍｅ
摘 要
平 面倒 立摆 系统 是 进 行 控 制 理 论 研 究的 理 想 实验 平 台 。在 对 平 面 一 级 倒 立 摆 进 行 运 动 学和 动 力 学分 析 的 基 础 上 ， 采用 拉 格 朗 日方 程 建 立 了 它的 动 力 学模 型 。分 别 设 计 了 Ｌ ＱＲ控 制 器 和模 糊 控 制 器 ， 应 用 所 设 计 的控 制 器 对 倒 立 摆 系 统进 行 了
ｍｏｄｅ ｌ ｏ ｆ ｔ ｈｅ ｐｌ ａ ｎａ ｒ ｓｉ ｎｇｌ ｅ ｉ ｎ ｖ ｅｒ ｔ ｅ ｄ ｐｅ ｎｄｕ ｌ ｕ ｍ ｉ ｓ ｄｅ ｖ ｅｌ ｏｐｅ ｄ ｂｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ Ｌ ａｎ ｇｒ ａ ｎｇ ｅ ｅ ｑｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｂ ａｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｋ ｉ ｎ ｅｍａ ｔ ｉ ｃａｌ ａ ｎｄ
铰和编码 器的 总质量 摆杆 的质量 ０ １ ３ ｋ ｇ
基于一级倒立摆的PID与LQR控制算法对比分析
基于一级倒立摆的PID与LQR控制算法对比分析-工程论文基于一级倒立摆的PID与LQR控制算法对比分析陈聪CHEN Cong；赵莹ZHAO Ying；高金凤GAO Jin-feng（浙江理工大学机械学院自动化系，杭州310018）（Department of Automation，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）摘要：倒立摆系统是典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统，本文在给出一级倒立摆数学模型的基础上，设计了PID控制器与LQR控制器，并基于MATLAB软件对这两种控制算法进行了仿真对比分析，结果显示LQR控制算法的控制性能要优于PID控制算法。
Abstract：This paper presents the model of first-order inverted pendulum which is a classical rapid，multi-variable，nonlinear and unstable system. PID controller and LQR controller comparison analysis results are obtained based on MATLAB software. Numerical examples illustrate that the effect of LQR controller is superior than PID controller.关键词：倒立摆；PID；LQR；MATLAB软件Key words：inverted pendulum system；PID；LQR；MATLAB software 中图分类号：TP273 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2015）18-0209-02作者简介：陈聪（1994-），男，浙江金华人，在读本科生，研究方向为自动控制。
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一级倒立摆控制方法比较摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统。
针对一级倒立摆系统，首先利用牛顿力学的知识建立了数学模型，然后利用Simulink 及其封装功能建立倒立摆的仿真模型，使模型更具灵活性，给仿真带来很大方便。
根据状态方程判断系统的能控、能观性。
通过LQR控制算法和极点配置设计控制器使系统达到稳定状态，分析两种方法的优缺点，并利用Matlab仿真加以证实。
关键词：倒立摆; LQR ;极点配置 ;MatlabDISCUSSION ON CONTROLOF INVERTED PENDULUM Abstract：the inverted pendulum system is a typical multi-variable, nonlinear, strong coupling and rapid movement of the natural unstable system. According to the level of inverted pendulum system, firstI make use of Newtonian mechanics knowledge to establishthe mathematical model, and use the Simulink and packaging function to establish inverted pendulum simulation model.The model is more flexibility, bringing a lot of convenience for simulation. By the equation of state, controllability and observablityof system can be sure. Designing the LQR control algorithm and pole-place makes the system stable state, analyzes the advantages and disadvantages of two methods confirmed through the simulation of MATLAB.Key words：Inverted pendulum ;LQR ;pole-place ;Matlab0引言倒立摆系统作为研究控制理论的一种典型的实验装置，具有成本低廉，结构简单，物理参数和结构易于调整的优点。
研究倒立摆系统具有很强的理论意义，同时也具有深远的实践意义。
许多抽象的控制概念如稳定性、能控性和能观性，都可以通过倒立摆系统直观地表现出来。
希望对倒立摆的研究能够加深对控制理论的了解，为后面学习奠定坚实的基础。
倒立摆[1]的稳定控制主要可分为线性控制和智能控制两大类，下面分别对其归纳介绍。
1）线性理论控制方法应用线性控制方法的基本前提是倒立摆处在平衡点附近，偏移很小时，系统可以用线性模型来描述。
线性控制的典型代表有：PID 控制、状态反馈控制、LQR控制算法等。
2）智能控制方法智能控制融合了计算机科学、物理学、数学、脑科学、心理学、认知学、生物学等学科的思想，是自然学科与社会学科交叉渗透的方法。
它源自于人的实践经验，不需要精确的数学模型，是目前应用较广的控制方法。
在倒立摆的控制中用到的智能控制方法主要有神经网络控制、模糊控制、仿人智能控制、拟人智能控制、云模型控制和泛逻辑控制等[2-3]。
本论文采用LQR控制器和极点配置方法对一级倒立摆系统进行控制，主要工作如下：1、利用指导书中推导的模型和实际的参数，建立一级倒立摆的数学模型，并进行线性化；2、通过simulink建立仿真模型并进行封装；3、通过在matlab 编程中求取合适的反馈变量K,然后与仿真模型结合构成最优控制的一级倒立摆，通过图形分析是否满足系统的性能参数；4、选取合适的极点并通过图形分析是否满足系统的性能参数；5、最后比较这两种方法优缺点。
1一级倒立摆数学模型1.1数学模型推导对系统建立数学模型是系统分析、设计的前提，而一个准确有简练的数学模型将大大简化后期工作。
对于忽略空气阻力和各种摩擦之后，直线一级倒立摆系统抽象为小车和匀质杆组成的系统[4]。
图1 所示为一级倒立摆模型。
图1倒立摆小车和摆杆的受力分析应用Newton方法来建立系统的动力学方程如下：(1)分析小车水平方向受力情况M=F-b-N (1)(2)分析摆杆水平方向受力情况N=m22(sin)d yx ldxθ+(2)N=m+ml-ml sin(3)(3)把这式子(3)带入到(1)，就得到(m+M)+b+ml-ml=F(4)(4)对摆杆垂直向上的力进行分析P-mg=ml(5)力矩平衡方程如下-Plsin(6) 将(6)与(5)合并消去P和N ，所得((7)根据文献[5]，系统状态空间方程为：()()()()() ()()()()2222222222x xI ml b I mlm glx x uI M m Mml I M m Mml I M m Mmlmgl M mmlb mlx uI M m Mml I M m Mml I M m Mmlφφφφφ=-++ =++++++++ =+-=++++++++⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩表格 1本系统参数定义参数意义参数值M 小车质量0.5kgm 摆杆质量0.2kgb 小车摩擦系统0.1N/m/sl 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3mI 摆杆惯量0.006kg*m*mF 加在小车上的力x 小车位置Φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角1.2系统仿真模型建立Simulink 是Matlab最重要的组件之一，它提供一个动态系统建模、仿真和综合分析的集成环境。
在该环境中，可以构造出复杂的仿真模型，下文根据倒立摆的数学模型，利用Simulink 的封装功能，构建了倒立摆系统仿真模型子系统[5]。
根据倒立摆的状态空间模型，在Matlab 中，用Simulink 构建一级倒立摆模块daolibai,具体步骤如下：（1）双击Matlab图标，启动Matlab，在工具栏中双击Simulink 图标启动Simulink 模块库浏览器窗口，然后再单击其工具栏中的新建（creat a new mode）图标，新建一个Simulink 模型窗口。
（2）从Simulink 模块库浏览器的菜单Simulink 的子菜单端口和子系统模块（Port & Subsystems）下选中子系统Subsystem,并用左键拖入到新建的Simulink 模型窗口中。
左击系统框图下字符串“Subsystem ”，删除后输入“daolibai”，实现子系统的重新命名。
(3)双击中的daolibai模块，从Port &Subsystems 下在拖出三个输出模块out，把一个输入模块和四个输出模块分别重新命名为：u和x、x '、a、a ' ,分别代表系统的输入向量u 和输出向量x、x’、ϕ、ϕ’。
(4)双击daolibai模块，然后从Simulink 下子菜单“用户自定义函数模块”（User-Defined Functions）中拖出Fcn子模块，单击Fcn子模块下的Fcn，删除Fcn重新命名为K1；再双击Fcn子模块并将对话框中的“Expression”中的内容修改为：[ −4 * b /( 4 * M + m1) ]*u，然后按OK，这就定义好了K1。
(5)重复步骤4）依次定义K2，K3，K4，K5，K6。
(6) 在窗口中再加入四个积分模块和两个加法模块，双击四个积分模块，把“Initial condition”下的内容分别修改为“init_cond(1)、init_cond(2)、init_cond(3)、init_cond(4)”。
它们表示倒立摆的系统的初始条件。
(7) 利用Simulink 的Mask 功能进行封装,封装后的模型如图3。
右击daolibai模块，选择Mask Subsystem（封装子系统）菜单，弹出子系统封装对话框，点击Parmeters标签，在参数对话框中，依次添加init_ cond、M、M 1、l、b 、g 等各参数变量(8）双击封装后的子系统，弹出模块的参数对话框，分别输入上述各参数变量的值，完成后如图2。
图2 倒立摆模型封装1.3系统性能分析1、稳定性分析①根据李雅普诺夫第一法线性定常系统Σ：（A,b,c）y=cx平衡状态Xe=0渐进稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实数。
%实际参数M=0.5;m=0.2;b=0.1;l=0.3;I=0.6;g=9.8;q=I*(M+m)+M*m*l^2;A=[0 1 0 0;0 -(I+m*l^2)*b/q m^2*g*l^2/q 0;0 001;0 -1*m*l*b/q-1*m*l*b m*g*l*(M+m)/q 0];b=[0(I+m*l^2)/qm*l/q0]';c=diag([1 1 1 1]);d=[0 0 0 0]';[V,t]=eig(A) %求A的特征值V =1.0000 -1.0000 -0.0613 0.06080 0.0044 0.0600 0.05950 0.0001 -0.7115 0.71200 -0.0000 0.6974 0.6970t =0 0 0 00 -0.0044 0 00 0 -0.9801 00 0 0 0.9789从t可知，A的特征值有非负值，因此系统不稳定2、能控性系统完全能控取决于状态方程(A,B)矩阵，因此对于完全能控的系统，通常称之为（A，B）完全能控。
通过构造Tc=[B,AB,..A n-1B] (n是系统的阶数)，如果rank(Tc)=n,则称系统完全能控Tc=ctrb(A,b)Tc =0 0.0559 -0.0003 0.01150.0559 -0.0003 0.0115 -0.00010 0.1399 -0.0008 0.13420.1399 -0.0008 0.1342 -0.0009rank(Tc)ans = 4可见，因为Tc矩阵的秩为4，等于系统的阶数，所以系统完全可控。
3、能观性系统完全能观取决于状态方程(A,C)矩阵，因此对于完全能控的系统，通常称之为（A，C）完全能控。
通过构造To=[C,AC,..An-1C] T(n是系统的阶数)，如果rank(To)=n,则称系统完全能观To=obsv(A,c)To =1.0000 0 0 00 1.0000 0 00 0 1.0000 00 0 0 1.00000 1.0000 0 00 -0.0056 0.0822 00 0 0 1.00000 -0.0140 0.9594 00 -0.0056 0.0822 00 0.0000 -0.0005 0.08220 -0.0140 0.9594 00 0.0001 -0.0012 0.95940 0.0000 -0.0005 0.08220 -0.0012 0.0789 -0.00050 0.0001 -0.0012 0.95940 -0.0134 0.9205 -0.0012rank(To)ans =4可见，因为To矩阵的秩为4，等于系统的阶数，所以系统完全可观。