数学培优竞赛新方法(九年级)-第22讲 几何最值
数学培优竞赛新方法(九年级)-配方法
配方法把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。
配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。
运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。
熟悉以下基本等式：1.222)(2b a b ab a ±=+±2.2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++； 3.[]222222)()()(21a c cb b a ca bc ab c b a ±+±+±=±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++ 【例1】已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为（镇江市中考题）思路点拨 把y 用x 的式子表示，通过配方法求出y x +的最大值。
【例2】已知c b a 、、，满足722=+b a ，122-=-c b ， 1762-=-a c ，则c b a ++的值等于（ ）A.2B.3C.4D.5（河北省竞赛题）思路点拨 由条件等式的特点，从整体叠加配方入手【例3】已知a 是正整数，且a a 20042+是一个正整数的平方，求a 的最大值。
（北京市竞赛题）思路点拨 设222004m a a =+（m 为正整数），解题的关键是把等式左边配成完全平方式。
【例4】已知c b a 、、是整数，且01,422=-+=-c ab b a ，求c b a ++的值（浙江省竞赛题）【例5】若y x 、是实数，且y x y xy x m 446422--+-=，确定m 的最小值（北京市竞赛题）分析与解 选择x 为主元，将条件等式重新整理成x 的二次三项式，利用配方求m 的最小值。
练习1.设mn n m n m 4,022=+>>，则mnn m 22-的值等于（ ）A.32B.3C.6D.3（2011年南通市中考题）2.已知m m Q m P 158,15172-=-=（m 为任意实数），则Q P 、的大小关系为（ ） A.Q P > B.Q P = C.Q P < D.不能确定（泰州市中考题）3.若实数z y x 、、，满足0))((4)(2=----z y y x z x ，则下列式子一定成立的是（ ）A.0=++z y xB.02=-+z y xC.D.02=-+y x z（2011年天津市中考题）4.化简2121722321217223---++的结果是（ ） A.2 B.2- C.2 D.2-（2011年江西省竞赛题）5.已知实数c b a 、、满足016,72=++++=+-c b bc ab c b a ，则ab的值等于 （天津市竞赛题）6.当2>x 时，化简代数式1212--+-+x x x x 得（“希望杯”邀请赛试题）7.已知z y x 、、为实数，且满足52,352-=--=-+z y x z y x ，则222z y x ++的最小值为 。
全品培优-华师九上-第22章
第22章 一元二次方程22．1 一元二次方程22．2 一元二次方程的解法专题一 一元二次方程根的判别式与三角形形状1．已知a 、b 、c 是三角形ABC 的三边长，且方程(c －b )x 2＋2(b －a )x ＋a －b ＝0有两个相等的实数根，那么这个三角形的形状如何？2．设a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程x 2＋2bx ＋2c －a ＝0有两个相等的实数根，且方程3cx ＋2b ＝2a 的根为0.(1)求证：△ABC 为等边三角形；(2)若a 、b 为方程x 2＋mx －3m ＝0的两根，求m 的值．3． 已知：a 、b 、c 为△ABC 的三边长，当m >0时，关于x 的方程c (x 2＋m )＋b (x 2－m )axm 2 ＝0有两个相等的实数根．求证：△ABC 为直角三角形．专题二 一元二次方程根的判别式与韦达定理的综合运用4．已知关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋12k 2－2＝0. (1)求证：不论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)设x 1、x 2是方程的两根，且x 21－2kx 1＋2x 1x 2＝5，求k 的值．5．已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2－2mx ＋m 2－4＝0的两个实数根．(1)求证：不论m 取何值时，方程总有实数根；(2)若x 21＋2mx 1＋4mx 2＝3m 2＋8，求m 的值．6．已知关于x 的方程x 2－(m －2)x －m 24＝0. (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异的实数根；(2)若这个方程的两个实数根x 1、x 2满足||x 1＝||x 2＋2，求m 的值及相应的x 1、x 2.答案1．解：(2b －2a )2－4(a －b )(c －b )＝0，4a 2－4ab －4ac ＋4bc ＝0，(a －b )(a －c )＝0，∴a ＝b 或a ＝c ，∴△ABC 是等腰三角形．2．解：(1)证明：方程x 2＋2bx ＋2c －a ＝0有两个相等的实数根，∴(2b )2－4×(2c －a )＝0，即a ＋b ＝2c .方程3cx ＋2b ＝2a 的根为0，则2b ＝2a ，a ＝b ，∴2a ＝2c ，a ＝c ，∴a ＝b ＝c ，故△ABC 为等边三角形．(2)∵a 、b 相等，∴x 2＋mx －3m ＝0有两个相等的实根，∴m 2＋4×1×3m ＝0，解得m 1＝0，m 2＝－12.∵a 、b 为正数，∴m 1＝0(不合题意，合去)，故m ＝－12.3．证明：整理原方程c (x 2＋m )＋b (x 2－m )－2max ＝0.得cx 2＋cm ＋bx 2－bm －2max ＝0，(c ＋b )x 2－2max ＋cm －bm ＝0.∵方程有两个相等的实数根，∴(－2ma )2－4(c ＋b )(cm －bm )＝0，4ma 2－4(c 2m －bcm ＋bcm －b 2m )＝0，ma 2－c 2m ＋b 2m ＝0，∴m (a 2＋b 2－c 2)＝0.又∵m >0，∴a 2＋b 2－c 2＝0，∴a 2＋b 2＝c 2.又∵a 、b 、c 为△ABC 的三边长，∴△ABC 为直角三角形．4．[解析] (2)中给出的条件是一个方程两根的非对称式，要求k 的值，需设法建立起关于k的方程，直接利用根与系数的关系比较困难，而此时利用方程根的定义，就可找到突破口．解：(1)略(2)∵x 1是方程x 2－2kx ＋12k 2－2＝0的一个根， ∴x 21－2kx 1＋12k 2－2＝0， ∴x 21－2kx 1＝2－12k 2.又∵x 1、x 2是x 2－2kx ＋12k 2－2＝0的两个根， 由根与系数的关系得：x 1·x 2＝12k 2－2， ∴2－12k 2＋2⎝⎛⎭⎫12k 2－2＝5， ∴k 2＝14，∴k ＝±14.5．[解析](2)中同样给出的条件是一个方程两根的非对称式，仍需建立起关于k 的方程．解：方法一：类似上题的解法，可以解得：m ＝±1.方法二：利用一元二次方程的求根公式，可以求出两个根为：m ＋2和m －2，把它们分别代人x 21＋2mx 1＋4mx 2＝3m 2＋8中，可以得到一个关于m 的的方程：m 2－1＝0，∴m ＝±1.6．[解析](2)中给出的是带有绝对值的两根关系式，不太容易着手．如何建立关于m 的方程呢？解：(1)略(2)由||x 1＝||x 2＋2得||x 1－||x 2＝2，两边平方得x 21＋x 22－2||x 1·||x 2＝4，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2－2||x 1·||x 2＝4.∵x 1·x 2＝－m 24≤0， ∴||x 1·||x 2＝||x 1·x 2＝m 24， ∴m 2－4m ＝0，∴m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，两根为0和－2；当m ＝4时，两根为1＋5和1－ 5.22．3实践与探索专题一元二次方程在方案设计中的应用1．有100米长的篱笆材料，想围成一个矩形露天仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵长为50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米，宽10米的矩形仓库，但面积只有400平方米，不合要求，现请你设计矩形仓库的长和宽，使它符合要求．2．顾客李某于今年“五·一”期间到电器商场购买空调，与营业员有如下的一段对话：顾客李某：“A品牌的空调去年“国庆”期间价格还挺高，这次便宜多了，一次降价幅度就达到19%，是不是质量有问题？”营业员：“不是一次降价，这是第二次降价，今年春节期间已经降了一次价，两次降价的幅度相同．我们所销售的空调质量都是很好的，尤其是A品牌系列空调的质量是一流的”．顾客李某：“我们单位的同事也想买A品牌的空调，有优惠政策吗？”营业员：“有，请看《购买品牌系列空调的优惠办法》”．以上对话和A品牌系列空调销售的优惠办法，请你回答下列问题：(1)求A品牌系列空调平均每次降价的百分率？( 2)请你为顾客李某决策，选择哪种优惠更合算，并说明为什么？答案1．[解析]由于符合要求的设计方案不唯一，可以有多个设计．方案一：设计为矩形(长和宽均用材料)；方案二：设计为正方形；方案三：利用旧墙的一部分；方案四：利用整个旧墙(50米)．解：(1)如果设矩形的宽为x米，则用于长的材料为(50－x)米，这时面积为S＝x(50－x)，当S＝600时，x(50－x)＝60，整理得x2－50x＋600＝0，解得x1＝20，x2＝30.(2)根据在周长相等的条件下，正方形的面积大于长方形的面积，所以可设计所正方形仓库，它的边长为x米．则4x＝100，x＝25，这时面积达625平方米，符合要求．(3)如果利用场地的旧墙，取矩形的长与旧墙平行，设与墙垂直的边长为x米，则另一边长为(100－2x)米．∵旧墙长50米，∴100－2x≤50，即x≥25米．若S＝600平方米，则x(100－2x)＝600，整理得x2－50x＋300＝0，解得x1＝25＋513，x2＝25－513.∴利用旧墙，可取矩形垂直于旧墙的边长为25＋513米(或约43米)，另一边长约14米时，符合要求．(4)如果充分利用旧墙，即矩形一边长是50米旧墙时，用100米材料围成矩形仓库，则矩形另一边长为25米，这时矩形面积为S＝50×25＝1250(平方米)，即面积可达到1250平方米，符合设计要求．2．解：(1)设A品牌系列空调平均每次降价的百分率为x，原价为a，根据题意，得a(1－x)2＝a(1－19%)，解得x1＝1.9(不合题意，舍去)，x2＝0.1＝10%.(2)若顾客李某现在要买的A品牌系列空调的某一型号的价格为每台x元，按照优惠方案一每台需支付y1元，按照优惠方案二每台需支付y2元，则y1＝0.95x＋90，y2＝0.98x，当y1＞y2时，x＜3000(元)，此时应选方案二；当y1＝y2时，x＝3000(元)，此时选两种方案都一样；当y1＜y2时，x＞3000(元)，此时应选方案一．答：(1)A品牌系列空调平均每次降价的百分率为10%；(2)当A品牌系列空调某一型号的价格小于3000元/台时，应选方案二；当A品牌系列空调某一型号的价格为3000元/台时，两种方案都可以选；当A品牌系列空调某一型号的价格大于3000元/台时，应选方案一．。
人教版九年级上册数学同步培优第二十二章 二次函数 用二次函数求最值问题
(3)当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况 下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函 数的解析式．
解：当c＝b2时，二次函数的解析式为y＝x2＋bx＋b2，
图象开口向上，对称轴为直线x＝－ b .
①当－
b 2
＜b，即b＞0时，
2
在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况下，y随x的增大而增大，
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2．【教材P49探究1变式】【2021·广东】我国南宋时期数学 家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公
式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角 形的三边长分别为a，b，c，记p＝ a＋b＋c ，则其面积S
2 ＝ p（p－a）（p－b）（p－c）. 这个公式也被称为海伦 －秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大 值为( )
【点思路】设销售价为x元(x≥9)，每天所获利 润为y元，则y＝[20－4(x－9)]·(x－8)＝－4(x－ 11)2＋36，所以将销售价定为11元时，才能使每 天所获销售利润最大.
【答案】11
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5．【2021·鄂州】为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收 入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放 种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植 某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该 作物的成本y(元)与种植面积x(亩)之间满足一次函数关系 ，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960.
对称轴为直线 x＝1 810000－a， ∵x 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为 17 辆时， 月利润之差最大， ∴16.5≤1 810000－a≤17.5.解得 50≤a≤150.
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(1)求y与x之间的函数解析式(不求自变量的取值范围)； 【点方法】根据已知条件用待定系数法即可求出一次
人教2011课标版 初中 数学 九年级上册第22章22.1含参二次函数的最值问题(共21张PPT)
回顾二次函数的图像与性质
x＝－2ba
x＝－2ba
续表
性 质
－2ba，4ac4－a b2
当 x>－2ba时，y 随 x 的 增大而增大
当 x<－2ba时，y 随 x 的 增大而减小
－2ba，4ac4－a b2 x<－2ba
x>－2ba
小 y 最小＝4ac4－a b2
有最大值，即 y 最大＝ 4ac－b2
15
2
4
6
例8 3: 求函数y=x2-2x-3在k≤x≤k+2时 的6 最大值和最小值
4
x=1
2
k
k+2
10
28
当 k ＜1＜ k+2 时 即-1 ＜k ＜1时
①1-k>k+2-1时， 即-1<k<0时
5 由图 10 像 x可 k时 15 y知 最 ， 大 ： k22k3 x1时y最 ，小 -4
46
函数值的较大者是最大值,较小者是最小值；
（3）当x0不在m≤x≤n时，x=m、x=n时函数值 中的较大者是最大值，较小者是最小值.
例2：已知二次y函 x2数 2hxh (1)当-1x1时，函数的最-小 2，值 求 h的 为最大值； (2)当-1x1时，函数的最2小 h，值求 h为 的最大值； (3)当-1x1时，函数的最t小 ，值 求 t的为最大值；
8 8
10
例3:8 求函数y=x2-2x-3在k≤x≤k+2时 的最6大值和最小值
4
2 x=1 k+2
k
当k+2≤1即k ≤-1时
由图像 x可 k时知 y最 ， 大 ： k22k3
初三数学特长生讲义几何最值
初三数学特长生讲义几何最值BOBRB 几何最值求几何最值问题的基本方法： （1）特殊位置与极端位置法 （2）几何定理（公理）法 （3）数形结合法例1、如图，在ABC ∆中，2==BC AB ，︒=∠90ACB ，D 是BC 边的中点，E 是AB 边的一动点，则ED EC +的最小值是例2、如图，︒=∠45AOB ，点P 在角内，10=OP ，Q 、R 分别在OA 和OB 上，PQR ∆周长的最小值是例3、如图，圆锥的主视图是边长为6的正三角形ABC ，P 为母线AC 的中点，从B 沿圆锥面到P 的最短距离是AAM例4、如图，两圆内切于A ，大圆直径为48厘米，小圆直径为30厘米，两只甲虫同时从A 点出发，沿逆时针方向以相同的速度分别沿两个圆爬行，当小圆上的甲虫爬了 圈时，两只甲虫相距最远。
例5、如图，10=AB ，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边APC ∆和等边BPD ∆，求CD 长度的最小值。
例6、设正三角形ABC 边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上任意一点，求PM PA +的最大值和最小值。
例7、如图，已知平行四边形ABCD 中，a AB =，b BC =（b a >),P 为AB 边上一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ，求BQ AP +的最小值例8、如图，已知边长为4的正方形钢板。
有一个角锈蚀，其中2=AF ，1=BF ，在五边形EABCD 内截取一个矩形MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。
例9、在有定角A 和定半径r 的内切圆的一切三角形中，确定一个有最小周长的三角形。
例10、已知点A 、B 是圆O 外的两定点，点P 是圆O 上的动点，求22PB PA +的最大值和最小值。
例11、在锐角ABC ∆的AB 边取一点M ，作BC MP ⊥于点P ，AC MQ ⊥于点Q ，求点M 的位置，使线段PQ 最短例12、如图，边长为2的正三角形ABC 内有一点P ，它到三边的距离分别为PD 、PE 、PF ，求：（1）222PF PE PD ++的最小值（2）DEF ∆面积的最大值例13、在A B C ∆中，5=BC ，12=AC ，13=AB 。
初三数学最值问题基本求法
初三数学最值问题基本求法数学最值问题，听起来是不是有点头疼？其实，它并没有你想象中的那么复杂。
咱们可以把这类问题看作是寻找一个“最佳”的答案，也就是最大值或最小值。
接下来，我就来给你讲讲怎么把这些问题搞定，让你也能轻松应对！1. 最值问题的基本概念首先，我们得搞清楚什么是最值问题。
最值问题就是在某些条件下，我们要找到一个最优解。
简单来说，就是在一堆可能的答案里，找到那个最顶尖的、最牛的或者最小的。
1.1 最大值和最小值举个例子吧，假如你要找一个班级里成绩最好的同学，或者找出一个商场里最便宜的商品，这就是在找最大值或最小值。
数学里也是这么回事，我们要在一定的条件下，找到一个变量的最大或最小值。
1.2 设定问题的条件为了找到最值，我们必须明确问题的条件。
这就像是你去打游戏的时候，得知道规则和目标，才能发挥出最好的成绩。
在数学题里，条件就是题目给定的信息，比如函数的范围、限制条件等。
2. 基本求解方法那么，如何求解最值问题呢？这儿有几个常用的方法，跟着我一步步来，保准你能搞定！2.1 代入法代入法是一种最常见的解题技巧。
比如你有一个函数，你可以将已知的条件代入到这个函数里，然后通过计算，找出最大值或最小值。
这就像是你拿到一道数学题，直接把条件带进去，然后一头扎进去计算，结果就会显现出来。
2.2 画图法有时候，画图也是个好方法。
尤其是当你面对的函数比较复杂的时候，画图可以帮助你更直观地看到函数的走势。
就像看风景一样，你能更清楚地看到山峰和谷底，进而找到函数的极值点。
3. 进阶技巧掌握了基本方法之后，咱们可以深入一点，看看更高级的技巧。
3.1 函数的导数法导数法对于那些学过一点微积分的同学来说，可能会有点复杂，但也非常有效。
通过导数，我们可以找出函数的斜率，从而判断函数的极值点。
简单来说，就是通过分析函数的“走势”，来找出它的最大值或最小值。
3.2 二次函数的最值对于二次函数，我们有一种特别的办法来找最值。
2020年九年级数学中考经典几何题讲义系列：几何最值问题
中考经典几何题系列：几何最值问题【知识点】几何中最值问题包括： ①“面积最值” ②“线段（和、差）最值”.（1）求面积的最值方法：需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；（2）求线段及线段和、差的最值方法：需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理.一般处理方法：常用定理： 两点之间，线段最短（已知两个定点时）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）三角形三边关系下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。
（1） 两点一线的最值问题: （两个定点 + 一个动点）问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线PA +PB 最小， 需转化，使点在线异侧 Bl段和最短。
核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。
方法：1.定点过动点所在直线做对称。
2.连结对称点与另一个定点，则直线段长度就是我们所求。
变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。
1.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
（2）一点两线的最值问题: （两个动点+一个定点）问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个动点使线段和最短。
核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。
变异类型：1.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。
使△PAB的周长最小。
2.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小。
数学培优竞赛新方法-第22讲 几何最值
例2第22讲几何最值知识纵横几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。
求几何最值问题的基本方式有：1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，在进行一般情况下的推证。
2.几何定理（公理）法：应用几何中的不变量性质、定理.3.数行结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。
例题求解【例1】如图，在锐角ABC ∆中，24=AB ，45=∠BAC ，BAC ∠的平分线交BC于点D ，点M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BN BM +的最小值。
【例2】如图，在ABC ∆中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与AB 相切的动圆与CB、CA 分别相交于点E、F，则线段EF 的最小值（）。
A.24B.4.75C.5D4.8【例3】如图，正方形ABCD 的边长为4cm，点P 是BC 边上不与点B、C 重合的任意一点，连接AP，过点P 作PQ⊥AP 交DC 于点Q，设BP 的长为x cm，CQ 的长为y cm.(1)求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；(2)当41=y cm 时，求x 的值.例1例3【例4】如图，已知平行四边形ABCD，AB=a，BC=b（a>b）,P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q，求AP=BQ 的最小值.【例5】如图，在四边形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90，BC、AD 的延长线交于P，求AB·S△PAB 的最小值.图形折叠【例6】在等腰ABC ∆中，AB =AC =5，BC =6.动点M 、N 分别在两腰AB 、AC 上（M 不与A、B 重合，N 不与A、C 重合），且MN//BC，将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P.（1）当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上？（2）设x MN =，MNP ∆与等腰ABC ∆重叠部分的面积为y，试写出y 与x 的函数关系式.当x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？.例4例5例6第1题学力训练基础夯实1．如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长为6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_______。
人教版 九年级数学上册 第22章 二次函数 尖子生培优 (含答案)
人教版 九年级数学 第22章 二次函数 尖子生培优一、选择题（本大题共10道小题）1. 抛物线y ＝2x 2－5的顶点坐标为( )A ．(2，5)B ．(－2，5)C ．(0，－5)D ．(0，5)2. 在平面直角坐标系中，二次函数y ＝a (x －h )2 的图象可能是( )3. 抛物线y ＝x 2－2x ＋m 2＋2(m 是常数)的顶点在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. (2019•咸宁)已知点()()()()1,,1,,2,0Am B m C m n n -->在同一个函数的图象上，这个函数可能是 A ．y x ＝ B ．2y x=-C ．2y x ＝D ．2y x ＝﹣5. （2020·温州）9．已知(﹣3，1y )，(﹣2，2y )，(1，3y )是抛物线2312yx x m=--+上的点，则A ．3y ＜2y ＜1yB ．3y ＜1y ＜2yC ．2y ＜3y ＜1yD ．1y ＜3y ＜2y6. （2020·泰安）在同一平面直角坐标系内，二次函数y ﹦ax 2＋bx ＋b （a ≠0）与一次函数y ﹦ax ＋b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7. （2020·常德）二次函数的图象如图所示，下列结论：240b ac ->①；0abc <②；40a b +=③；420a b c -+>④．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则以下结论同时成立的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧abc>0，b 2－4ac<0 B.⎩⎪⎨⎪⎧abc<0，2a ＋b>0 C.⎩⎪⎨⎪⎧abc>0，a ＋b ＋c<0 D.⎩⎪⎨⎪⎧abc<0，b 2－4ac>09. （2020·遵义）抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2，抛物线与x 轴的一个交点在点(－4， 0)和点(－3，0)之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有：①4a －b ＝0;②c ≤3a ;③关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝2有两个不相等实数根;④b 2＋2b > 4ac ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10. 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA＝OC.有下列结论：①abc<0；②b 2－4ac 4a >0；③ac －b ＋1＝0；④OA·OB ＝－ca .其中正确的结论有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题（本大题共8道小题）11. 若抛物线y ＝x 2＋bx ＋25的顶点在x 轴上，则b 的值为________．12. （2020·襄阳）汽车刹车后行驶的距离s （单位：米）关于行驶时间t （单位：秒）的函数关系式是s＝15t－6t2，则汽车从刹车到停止所用时间为__________秒．13. 某抛物线与抛物线y＝7x2的形状、开口方向都相同，且其顶点坐标为(－2，5)，则该抛物线的解析式为__________________．14. 若二次函数y＝x2＋bx－5的图象的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋bx－5＝2x －13的解为______________．15. 将抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为________________．16. (2019•襄阳)如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为2h t t=-，则小球从飞出到落地所用的时间为205__________s．17. 如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，且3AB＝4OC，则此抛物线的解析式为__________________．18. 如图，平行于x 轴的直线AC 与函数y 1＝x 2(x ≥0)，y 2＝13x 2(x ≥0)的图象分别交于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC 交y 2的图象于点E ，则DEAB ＝________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在O 点正上方1 m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度y (m )与水平距离x (m )之间满足函数表达式y ＝a (x －4)2＋h .已知点O 与球网的水平距离为5 m ，球网的高度为1.55 m .(1)当a ＝－124时，①求h 的值，②通过计算判断此球能否过网．(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7 m ，离地面的高度为125 m 的Q 处时，乙扣球成功，求a 的值．20. 如图所示，在矩形ABCD中，AB ＝18 cm ，AD ＝4 cm ，点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，点P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，点Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．当一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为x s ，△PBQ 的面积为y cm 2. (1)求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； (2)求△PBQ 的面积的最大值．21. （2020·鄂州）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y （件）与售价x （元件）（x 为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：（1）求y 与x 的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m 元（16m ≤≤），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m 的取值范围．22. （2020·青岛）某公司生产A型活动板房成本是每个425元.图①表示A型活动板房的一面墙，它由长形和抛物线构成，长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m.(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用m=2(k≠0)表示.求该抛物线kxy+的函数表达式；(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房.如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户m.已知GM=2m，求每个B型活动板房的成本是多少？(每个B 的成本为50元/2型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个.公司每月最多能生产160个B型活动板房.不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？人教版九年级数学第22章二次函数尖子生培优-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】D3. 【答案】A [解析] 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(－b2a ，4ac －b 24a )．∵－b 2a ＝－－22＝1＞0，4ac －b 24a ＝4（m 2＋2）－44＝m 2＋1＞0，故此抛物线的顶点在第一象限．故选A.4. 【答案】D【解析】()()1,,1,A m B m -， ∴点A 与点B 关于y 轴对称；由于2y x y x==-，的图象关于原点对称，因此选项A ，B 错误；∵0n >，∴m n m -<，由()()1,,2,B m C m n -可知，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， 对于二次函数只有0a <时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， ∴D 选项正确，故选D ．5. 【答案】B【解析】本题考查了二次函数的增减性，当a ＞0，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，由对称轴x ＝12222(3)b a --=-=-⨯-，知（-3，y 1）和（-1，y 1）对称，因为a ＝-3＜0，所以当x ≥-2时，y 随x 的增大而减小，-2＜-1＜1，所以y 2＞y 1＞y 3，因此本题选B ．6. 【答案】C【解析】本题考查了一次函数与二次函数的图像性质，选项A 中y =ax 2+bx +c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y =ax +b 的图像可知a ＞0、b ＞0，则选项A 不正确；选项B 中y =ax 2+bx +c 的图像可知a ＜0、b ＜0，y =ax +b 的图像可知a ＞0、b ＜0，则选项B 不正确；选项C 中y =ax 2+bx +c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y =ax +b 的图像可知a ＞0、b ＜0，则选项C 正确；选项D 中y =ax 2+bx +c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y =ax +b 的图像可知a ＜0、b =0，则选项D 不正确；，因此本题选C ．7. 【答案】B 【解析】本题考查了二次函数图像与系数的关系.∵抛物线与x 轴有两个交点，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，240b ac ∴->，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴为直线2x =，22ba∴-=，40a b ∴+=，故③正确，由图象知，抛物线开口方向向下，0a ∴<.∵40a b +=，0b ∴>.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，0c ∴>. 0abc ∴<，故②正确，由图象知，当2x =-时，0y <，420a b c ∴-+<，故④错误.综上所述，正确的结论有3个，因此本题选B ．8. 【答案】C [解析] 由图象可知，当x ＝1时，y ＜0，∴a ＋b ＋c ＜0；∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴b 2－4ac>0；∵二次函数图象与y 轴的交点在y 轴负半轴上，∴c ＜0；∵二次函数图象开口向上，∴a ＞0；∵对称轴－b2a ＞0，a ＞0，∴b ＜0.∴abc ＞0.故选C.9. 【答案】C【解析】本题考查二次函数的图象与性质．由－ba2=－2得4a －b ＝0，故①正确;由ac b a -244＝3得4ac －b 2＝12a ，又4a ＝b ，代入消去b 得c ＝4a ＋3，故②错误; 由图，象得，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝2有两个不相等实数根正确; 由ac b a-244＝3得4ac －b 2＝12a ，∴4ac ＝12a ＋b 2＝3b ＋b 2，∵a ＜0，b ＜0，c ＜0，∴4ac ＜2b ＋b 2 ，故④正确．故选C ．10. 【答案】B [解析] ∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴b ＞0. ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0， ∴abc ＜0，故①正确．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴Δ＝b 2－4ac ＞0， 而a ＜0，∴b 2－4ac4a ＜0，故②错误．∵C(0，c)，OA ＝OC ，∴A(－c ，0)．把(－c ，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得ac 2－bc ＋c ＝0， ∴ac －b ＋1＝0，故③正确． 设A(x 1，0)，B(x 2，0)，∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点， ∴x 1和x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， ∴x 1·x 2＝ca .又∵x 1<0，∴OA·OB ＝－ca ，故④正确．故选B.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】±1012. 【答案】2.5．【解析】令s ＝0，得15t －6t 2＝0，解得t 1＝2.5，t 2＝0（不合题意，舍去），故答案为2.5．13. 【答案】y ＝7x 2＋28x ＋33 [解析] 设该抛物线的解析式为y ＝a(x －h)2＋k.∵该抛物线与抛物线y ＝7x 2的形状、开口方向都相同，∴a ＝7.又∵其顶点坐标为(－2，5)，∴它的解析式为y ＝7(x ＋2)2＋5，整理，得y ＝7x 2＋28x ＋33.14. 【答案】x 1＝2，x 2＝4 [解析] ∵二次函数y ＝x 2＋bx －5的图象的对称轴为直线x ＝2，∴－b 2＝2，∴b ＝－4，∴原方程化为x 2－4x －5＝2x －13，解得x 1＝2，x 2＝4.15. 【答案】y ＝2(x ＋1)2－216. 【答案】4【解析】依题意，令0h =得：∴20205t t =-，得：(205)0t t -=，解得：0t =(舍去)或4t =，∴即小球从飞出到落地所用的时间为4s ，故答案为：4．17. 【答案】 y ＝－x2＋2x ＋318. 【答案】3－3[解析] 设点A的坐标为(0，b)，则B(b，b)，C(3b，b)，D(3b，3b)，E(3 b，3b)．所以AB＝b，DE＝3 b－3b＝(3－3) b.所以DEAB＝（3－3）bb＝3－ 3.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】【思维教练】(1)将点P坐标代入解析式求出h的值，当抛物线到达球网位置的时候，对比抛物线与球网的高度判断是否能过网；(2)球能过网说明抛物线过点(0，1)和点(7，125)，代入抛物线解析式求解即可．解：(1)①把(0，1)代入y＝－124(x－4)2＋h，得h＝53.(2分)②把x＝5代入y＝124(x－4)2＋53，得y＝－124(5－4)2＋53＝1.625.∵1.625＞1.55.∴此球能过网；(4分)(2)把(0，1)，(7，125)代入y＝a(x－4)2＋h，得⎩⎪⎨⎪⎧16a＋h＝1，9a＋h＝125，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－15，h＝215.∴a＝－15.(8分)20. 【答案】[解析] 先运用三角形的面积公式求出y关于x的函数解析式，然后运用公式法或配方法把函数解析式化成顶点式，再根据x的取值范围求所得函数的最大值，进而解决问题．解：(1)∵S△PBQ＝12PB·BQ，PB＝AB－AP＝(18－2x)cm，BQ＝x cm，∴y＝12(18－2x)·x，即y ＝－x 2＋9x(0<x≤4)．(2)由(1)知y ＝－x 2＋9x ，∴y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋814. ∵当x<92时，y 随x 的增大而增大，而0<x≤4，∴当x ＝4时，y 最大值＝20，即△PBQ的面积的最大值是20 cm 2.21. 【答案】解：（1）设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，代入（4，10000），（5，9500）可得：10000495005k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：50012000k b =-⎧⎨=⎩，即y 与x 的函数关系式为50012000y x =-+；（2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w ，根据题意可得：315500120006000x x ≤≤⎧⎨-+≥⎩，解得：312x ≤≤，()()()2350012000327500551252w y x x x x =-=-+-⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭∵312x ≤≤，∴当x ＝12时，w 有最大值，w ＝54000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元．（3）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w ，当每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m 元时，()()()()()2350012000350050027500243w y x m x x m x m x m =--=-+--=-++-⨯-由题意，当x ≤15时，利润仍随售价的增大而增大，可得：()()50027152500m +-≥⨯-，解得：m ≥3，∵16m ≤≤∴36m ≤≤故m 的取值范围为：36m ≤≤．22. 【答案】解：（1）由题意得AD=4，AB=3，EH=4，∴OA=OD=21AD=21×4=2，OE=EH-OH=EH-AB=4-3=1， ∴A （-2，0），E （0，1），∴⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=+-⋅=m k m k 2201)2(0，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=141m k ， ∴该抛物线的函数表达式为：1412+-=x y . （2）由题意得OM=21GM=21×2=1，∴当x=1时，4311412=+⨯-=y ，∴MN=43. ∴每个B 型活动板房的成本是：425+50×4×43=575（元）. （3）由题意得)1065020100)(575(n n w -⨯+-==)]650(2100)[575(n n -+- =)21300100)(575(n n -+-=)21400)(575(n n --=805000255022-+-n n由⎪⎩⎪⎨⎧≤-⨯+≤≤1601065020100650575n n x 得620≤n≤650. ∵805000255022-+-=n n w 的对称轴5.637)2(22550=-⨯-=n 在620≤n≤650之内， ∴当公司将销售单价n(元)定为637.5时，每月销售B 型活动板房所获利润w(元)最大，最大利润是：)5.63721400)(5755.637(⨯--=w =62.5×125=7812.5（元）.。
人教版九年级数学上册第22章二次函数几何图形中的最值问题优秀教学案例
3.鼓励学生提问，培养学生的质疑精神。教师要积极回应学生的问题，引导学生通过探讨、交流，共同解决问题。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组合作，鼓励学生分享解题心得和方法。如：在解决实际问题时，引导学生运用合作交流、讨论等方式，共同探讨最值问题的解法。
3.注重评价的激励作用，激发学生的学习兴趣和自信心。如：对学生在解决问题过程中的亮点进行表扬，鼓励学生克服困难、勇和拓展性的作业，让学生在课后巩固所学知识，提高解决问题的能力。如：设计一些类似的实际问题，让学生运用所学方法求解最值问题。
2.鼓励学生主动查找相关资料，拓宽知识面。如：让学生课后查阅有关二次函数在几何图形中最值问题的案例，了解更多的解题方法。
4.多元化的评价方式：本节课采用多元化的评价方式，关注学生在解决问题过程中的数学思维方法和解决问题的能力。通过学生互评、自评、教师评等方式，对学生的解题过程和结果进行评价，激发学生的学习兴趣和自信心。
5.针对性的作业设计：本节课布置了具有针对性和拓展性的作业，让学生在课后巩固所学知识，提高解决问题的能力。通过设计一些类似的实际问题，让学生运用所学方法求解最值问题，进一步培养学生的应用能力和创新精神。
3.教师要关注学生的作业完成情况，及时给予反馈和指导。如：对学生在作业中的优点进行表扬，对存在的问题进行耐心讲解，帮助学生提高解题水平。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：本节课以生活实际为例，创设了富有情境的教学情境，让学生感受到数学与生活的紧密联系。通过设计“购物预算”、“最大利润”等问题，引出二次函数在几何图形中最值问题的学习，从而提高学生的学习兴趣和积极性。
人教版九年级数学上册第22章《 二次函数：22.3.1 利用二次函数求几何面积的最值问题》
第二十二章 二次函数
1.已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则 这个直角三角形的最大面积为( B )
A．25 cm2
B．50 cm2
C．100 cm2
D．不确定
2.用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长 方形，a的值不可能为( D )
A．20 B．40 C．100 D．120
225.
4a 4 (1)
也就是说，当l是15 m时，场地的面积S最大．
第二十二章 二次函数
总结
在周长一定的情况下，所围成的几何图形的形状不同， 所得到的几何图形的面积也不同.利用二次函数求几何图 形的最大（小）面积的一般步骤： （1）引入自变量，用含自变量的代数式分别表示与所求
问题相关的量. （2）分析题目中的数量关系，根据题意列出函数解析式. （3）根据函数解析式求出最值及取得最值时自变量的值，
4a
第二十二章 二次函数
1.二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c
的值为( B )
A．2
B．4
C．－4
D．16
2.已知x2＋y＝3，当1≤x≤2时，y的最小
C. 11
4
D．3
第二十二章 二次函数
【例1】总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少米时，场地的面积 S最大？
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
22.3.1 利用二次函数求几何面积的最值问题
第二十二章 二次函数
问题
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小 球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6).
九年级数学专家点拨-22相似的综合提高
∵AB∥CD，∴四边形CDBH是平行四边形，∴BH=CD，BD=CH。
∵AD=BC，∴AC=BD=CH。
∵CE⊥AB，
∴AE=EH。
∴EK是△AHC的中位线。
∴EK∥CH。
∴EF∥BD。
（2）解：由（1）得BH=CD，EF∥BD。
∴∠AEF=∠ABD。
∵AB=7，CD=3，
∴AH=10。
∵AE=CE，AE=EH，
y k (x 0)
又由于反比例函数 x
的图象在第一象限，k＞0。
所以k等于16。
yk 点评：本题考查了反比例函数 x 中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y轴垂线，所得矩形面积为| k |，这是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的
思想。
例4 如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD=BC。翻折纸片ABCD，使点A 与点C重合，折痕为EF。已知CE⊥AB。
一点通：根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案。 解：A：形状相同，符合相似图形的定义，故选项错误； B：形状相同，符合相似图形的定义，故选项错误； C：形状相同，符合相似图形的定义，故选项错误； D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但边的比不对应相等，故选项正确； 故选D。
2
点评：本题考查的是相似图形的定义，图形，即形状相同，大小不一定相同的图形叫 做相似形。全等形是相似形的一个特例。
y1x
y 1 x 1
可求直线OC的解析式为
2 ，直线DE的解析式为 4 ，
y
1 2
x
x
4 3
y
1
x
1
y
2
联立 4 ，解得 3 ，
42 即位似中心的坐标为（ 3 ， 3 ）。
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第22讲 几何最值
知识纵横
几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。
求几何最值问题的基本方式有：
1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，在进行一般情况下的推证。
2.几何定理（公理）法：应用几何中的不变量性质、定理.
3.数行结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。
例题求解
【例1】 如图，在锐角ABC ∆中，24=AB ，45=∠BAC ，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，点M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BN BM +的最小值 。
（陕西省中考题）
思路点拨 画折线为直线，综合运用轴对称、垂线段最短等知识。
例1
例2
【例2】 如图，在ABC ∆中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、F ，则线段EF 的最小值（ ）。
A.24 B.4.75 C.5 D4.8
（兰州市中考题）
思路点拨 设O 与AB 相切与T ，连OC 、OT,EF 为O 直径，则EF=OE+OF=OC+OT,将问题转化为求OC+OT 的最小值。
【例3】 如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B 、C 重合的任意一点，连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ，设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm.
(1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值； (2) 当4
1
=
y cm 时，求x 的值. （河南省中考题）
思路点拨 利用相似形建立y 与x 的函数关系式，由此导出y 的最大值
例3
【例4】 如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b （a>b ）,P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP=BQ 的最小值.
（永州市竞赛题）
思路点拨 设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式ab b a 22
2
≥+或
ab b a 2≥+（当且仅当a=b 时取等号）来求最小值.
【例5】 如图，在四边形ABCD 中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90，BC 、AD 的延长线交于P ，求AB ·S △PAB 的最小值.
例
4
例5
图形折叠
【例6】 在等腰ABC ∆中，AB =AC =5，BC =6.动点M 、N 分别在两腰AB 、AC 上（M 不与A 、B 重合，N 不与A 、C 重合），且MN//BC ，将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P.
（1）当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上？
（2）设x MN =，MNP ∆与等腰ABC ∆重叠部分的面积为y ，试写出y 与x 的函数关系式.当x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？.
（2011年宁夏中考题）
例6
第1题
学力训练
基础夯实
1．如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长为6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_______。
（荆门市中考题）
2．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是________。
（烟台市中考题）
3．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB=3，AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A 处，折痕为PQ ．当点A 在BC 边上移动时，折叠的端点P 、Q
也随之移动。
若限
第2题
定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ’在BC 边上可移动的最大距离为_______。
（河南省中考题）
4．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC,AD=DC=4，BC=8。
点N 在上，CN=2,E 是AB 中点，在AC 上找一点M ，使EM+MN 的值最小，此时最小值一定等于（ ）。
A. 6 B.8 C.4 D.34
（呼和浩特市中考题）
5．如图，在等腰ABC RT ∆中，︒=∠90C ，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、边上运动，且保持AD=CE ，连接DE 、DF 、EF.在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF 是等腰三角形；②四边形CDFE 不可能为正方形；③DE 长度的最小值为4；④四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为8.其中正确的结论是（ ）。
A ．①②③ B ．①④⑤ C ．①③④ D ．③④⑤
（重庆市中考题）
6．如图，已知A(-3,0)，b(0,-4)，P 为双曲线x
y 12
=
（0>x ）上任意一点，过P 作PC ⊥
X 第3题
第4题
第5题
轴于C 点，PD ⊥Y 轴于D 点，则四边形ABCD 面积的最小值为（ ）。
A.22 B.23 C.24 D.26
（杭州市中考题）
7．如图，圆O
的直径为5，在圆O
上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：CA=4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 重合），过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．
（1）求证：AC •CD=PC •BC ；
（2）当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长；
（3）当点P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大？并求这个最大面积S ．
（荆门市中考题）
第6题 第7题
8.工程师有一块长AD为12分米，宽AB为8分米的铁板，截去了长AE=2分米，AF=4分米的直角三角形，在余下的五边形中结的矩形MGCH，M必须在线段EF上．
（1）若截得矩形MGCH的面积为70平方分米，求矩形MGCH的长和宽．
（2）当EM为多少时，矩形MGCH的面积最大？并求此时矩形的周长．
（鄂州市中考题）
第8题。