数学培优竞赛新方法(九年级)-第22讲 几何最值

第22讲 几何最值

知识纵横

几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。求几何最值问题的基本方式有：

1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，在进行一般情况下的推证。

2.几何定理（公理）法：应用几何中的不变量性质、定理.

3.数行结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。

例题求解

【例1】 如图，在锐角ABC ∆中，24=AB ，45=∠BAC ，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，点M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BN BM +的最小值 。

（陕西省中考题）

思路点拨 画折线为直线，综合运用轴对称、垂线段最短等知识。

例1

例2

【例2】 如图，在ABC ∆中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、F ，则线段EF 的最小值（ ）。 A.24 B.4.75 C.5 D4.8

（兰州市中考题）

思路点拨 设O 与AB 相切与T ，连OC 、OT,EF 为O 直径，则EF=OE+OF=OC+OT,将问题转化为求OC+OT 的最小值。

【例3】 如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B 、C 重合的任意一点，连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ，设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm.

(1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值； (2) 当4

1

=

y cm 时，求x 的值. （河南省中考题）

思路点拨 利用相似形建立y 与x 的函数关系式，由此导出y 的最大值

例3

【例4】 如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b （a>b ）,P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP=BQ 的最小值.

（永州市竞赛题）

思路点拨 设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式ab b a 22

2

≥+或

ab b a 2≥+（当且仅当a=b 时取等号）来求最小值.

【例5】 如图，在四边形ABCD 中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90，BC 、AD 的延长线交于P ，求AB ·S △PAB 的最小值.

例

4

例5

图形折叠

【例6】 在等腰ABC ∆中，AB =AC =5，BC =6.动点M 、N 分别在两腰AB 、AC 上（M 不与A 、B 重合，N 不与A 、C 重合），且MN//BC ，将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P.

（1）当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上？

（2）设x MN =，MNP ∆与等腰ABC ∆重叠部分的面积为y ，试写出y 与x 的函数关系式.当x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？.

（2011年宁夏中考题）

例6

第1题

学力训练

基础夯实

1．如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长为6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_______。

（荆门市中考题）

2．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是________。

（烟台市中考题）

3．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB=3，AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A 处，折痕为PQ ．当点A 在BC 边上移动时，折叠的端点P 、Q

也随之移动。若限

第2题

定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ’在BC 边上可移动的最大距离为_______。

（河南省中考题）

4．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC,AD=DC=4，BC=8。点N 在上，CN=2,E 是AB 中点，在AC 上找一点M ，使EM+MN 的值最小，此时最小值一定等于（ ）。 A. 6 B.8 C.4 D.34

（呼和浩特市中考题）

5．如图，在等腰ABC RT ∆中，︒=∠90C ，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、边上运动，且保持AD=CE ，连接DE 、DF 、EF.在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF 是等腰三角形；②四边形CDFE 不可能为正方形；③DE 长度的最小值为4；④四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为8.其中正确的结论是（ ）。 A ．①②③ B ．①④⑤ C ．①③④ D ．③④⑤

（重庆市中考题）

6．如图，已知A(-3,0)，b(0,-4)，P 为双曲线x

y 12

=

（0>x ）上任意一点，过P 作PC ⊥

X 第3题

第4题

第5题

轴于C 点，PD ⊥Y 轴于D 点，则四边形ABCD 面积的最小值为（ ）。 A.22 B.23 C.24 D.26

（杭州市中考题）

7．如图，圆O

的直径为5，在圆O

上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：CA=4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 重合），过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．

（1）求证：AC •CD=PC •BC ；

（2）当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长；

（3）当点P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大？并求这个最大面积S ．

（荆门市中考题）

第6题 第7题