第三章 晶体的宏观对称

第三章晶体的宏观对称

第一节：对称性概述

教材上关于对称的形象化描述非常好：对称，顾名思义就是不同的物体或同一物体的不同部分相对又相称，因此将这不同的物体或同一物体的不同部分的空间位置以某种方式对换一下好像没动过一样（复原）。

晶体的宏观对称就是指晶体表面几何要素（但并非只是几何要素）的有规律重复。

一、几个相关术语

1.等同图形（同形等大的图形）；

2.对称操作；

3.对称元素；

4.关于左右型图形

的问题；5.对称图形的阶次和对称要素的阶次。

二、宏观对称元素

1.反映对称面(符号用P)；描述：面不动，阶次为2。

2.对称中心（符号用C）：描述：点不动。对称中心可以产生左右型、阶次为2。

3.旋转对称轴（用L n表示）：描述：线不动，阶次为n.；基转角、对称定律（画

图并作几何推导）。

对称定律：对应的对称轴只可能是L1、L6、L4、L3、L2。

4.旋转反伸对称轴（用L-n表示）：描述：点不动。基转角、旋转反伸对称轴次、

先旋转后反伸与先反伸后旋转、旋转反伸轴是一个复合对称操作，阶次为n。

反伸轴的等价对称操作：

一次反伸轴等于对称中心（L-1=C）(证明)

二次反伸轴等于对称面（L-2=P）(证明)

三次反伸轴等于三次对称轴加对称中心（L-3=L3C）(证明)

四次反伸轴无等价对称操作（独立）(证明)

六次反伸轴为三次反伸轴加反映对称面（L-6=L3P，优选L-6）(证明)

所以真正存在的旋转反伸轴只有四次反伸轴L-4和六次反伸轴L-6两种。

三、宏观对称要素和点阵的几何配置

1.对称中心对应于点阵点

2.旋转轴对应于点阵行列并垂直于点阵面网（包含平行）

3.对称面对应于点阵面（包含平行）

四、宏观对称要素与宏观晶体几何配置

对称中心总是位于晶体中心。

对称轴的出露点总是位于晶面中心、晶棱中心或角顶

对称面的出露位置可以平分晶面、平分或包含晶棱

第二节、对称要素的组合规律

对于一个宏观几何多面体，可以存在的对称要素一般不止一个（当然可以只存在一个），当有两个对称元素存在时，由于对称要素本身的相互作用就可能产生第三个对称要素，第三个对称要素单独作用的结果等于前两者连续作用的结果。下面研究这种组合规律。

一、反映对称面-反映对称面间的组合规律

定理：两个反映对称面相交，其交线为旋转对称轴。旋转对称轴的基转角为反映对称面交角的二倍（证）。

推论：基转角为α的旋转对称轴可分解为（注：不一定真实存在）两个反映对称面的连续操作，两个反映对称面的夹角为α/2。

二、反映对称面-旋转对称轴组合规律

定理：当一个反映对称面包含一L n时，必然有n个P同时包含L n。

三、旋转对称轴与对称中心的组合

定理：如果偶次对称轴上有对称中心，那么必有一对称面与对称轴垂直相交于对称中心。

推论1：在有对称中心时，若还有偶次对称轴，偶次对称轴的数目和对称面的数目相等。

推论2：对称面和偶次对称轴垂直，必有对称中心。

推论3：对称面和对称中心存在时，必有一垂直对称面的二次对称轴。四、旋转轴之间的组合

定理1：如果有一个L2垂直L n，则必然有n个L2垂直L n。相邻L2的夹角是L n基转角的一半。

推论：两个二次轴相交，交角为α，则垂直于这两个二次轴必然有一基转角为2α的n次对称轴。

定理2：（欧拉定理）：两个对称轴的适当组合可产生第三个对称轴。

五、旋转反伸轴与二次对称轴和对称面组合

定理：如果有一个二次旋转对称轴垂直于反伸轴（或有一个对称面包含反伸轴）当反伸轴的轴次为奇数时必然有n个L2垂直它，（或n个P包含它）的组）；当其为偶数时必然有n/2个L2垂直它，（或n/2个P包含它）

第三节、32种对称型（或32种点群）

在晶体宏观对称性中，对称要素的数目是有限的，根据对称要素的组合规律可推导出的对称要素组合的数目也是有限的，共计32种，我们称之为32种对称型。

由于在每种对称要素组合中，所有的对称要素相交于一点，换句话说，在每种对称要素操作过程中，至少有一点是不动的。所以，按照数学中群论的观点，这些对称要素的集合构成了一个群（符合群的基本属性），每种对称要素就是群中的元素。这些群元素在空间上相交于一点，所以我们也常将32种对称型称之为32种点群。

一、32种对称型推导

从前述内容可知，宏观晶体中可能存在的对称要素有：

旋转对称轴：L1、L2、L3、L4、L6；

反映对称面：P（L-2=P）

对称中心：C（L-1=C）

旋转反伸轴：（L-1= C、L-2=P、L-3= L3C）、L-4、L-6= L3P；

9种毒称要素可单独存在，就构成了9种对称型。

下面推导由这九种对称要素组合所产生的新的对称型。

为了便于推导，我们一般将这些对称要素的组合分成两类：将高次轴（n>2）不多于一个地组合称为A类，将高次轴多于一个的组合称为B 类。

先考虑A类：

1.对称轴与对称轴的组合，只有两种组合关系：垂直和包含。先考虑L2与

L n垂直组合，根据定理“如果有一个L2垂直L n，则必然有n个L2垂直L n，

相邻L2的夹角是L n基转角的一半。”即L2+ L n= L n n L2。组合所产生的新的

对称型有：（L1L2=L2）、3L2、L3 3L2、L4 4L2、L6 6L2

2.对称轴与垂直它的对称面组合，可产生的新的对称型有：（L1P=P）、L2 PC、

（L3P=L-6）、L4 PC、L6 PC

3.对称轴与包含它的对称面的组合，可产生的新对称型有：（L1P=P）、L2 2P、

L3 3P、L4 4P、L6 6P

4.对称轴同时与垂直它的对称面和包含它的对称面组合，可产生的新的对

称型有：（L1L2P=L22P）、3L23PC、（L33L24P=L-63L23P）、L44L25PC、

L66L27PC

5.旋转反伸轴与垂直它的L2（或包含它的P）的组合，可形成的新的对称型

有（定理有：如果有一个二次旋转对称轴垂直于反伸轴（或有一个对称

面包含反伸轴）当反伸轴的轴次为奇数时必然有n个L2垂直它，（或n个P