2019天津十二校联考数学理科答案
2019年天津市十二重点中学高三毕业班联考(一)数学理科
2019年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑； 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1. 集合2{|ln(1)},{|24},xM y y x N x M N ==+=<则等于（ ）A ．[]0,2B.(0,2) C ．[0,2) D ．(]0,22. 设变量满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-+≤+-0623063201y x y x y x ，则目标函数y x z 2-=的最大值为（ ）A ．3966-B.513- C ．2- D ．2 3.下列三个命题：①命题p ：2,0x R x x ∀∈+<，则p ⌝：2,0x R x x ∃∈+>；②命题p ：112≤-x ，命题q ：011>-x，则p 是q 成立的充分不必要条件； ③在等比数列{}n b 中，若52b =，98b =，则74b =±； 其中真命题的个数为( )A ．0 B.1 C.2 D.3 4.如图是一个算法流程图，则输出的k 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 5.将函数cos 26y x π=-（）的图象向左平移(0)ϕϕπ<<的单位后，得到函数cos(2)3y x π=+的图象，则ϕ等于（ ）A ．3π B ．6π C ．2π D ．4π6.已知0.313log 0.6a =,121log 4b =,0.413log 0.5c =,则实数,,a b c 的大小关系为（ ） A ． b a c << B.c a b << C ．b c a << D ．a b c <<7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过原点的直线与双曲线交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若ABC ∆的面积为22a ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．2y x =±B ．y = C．3y x =± D．y = 8. 已知函数32log (2),2()(3)2,2x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，1()1g x =x+x -，则方程(())f g x a =的实根个数最多为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9. 若i z 21+=，且i z bi a -=⋅+8)(，则=⋅b a ． 10. 已知0=a sinxdx π⎰，则5ax ⎛+ ⎝的二项展开式中，2x 的系数为 ．11．已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为 ． 12．直线l ：12x at y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C：3)4πρθ=-+（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C 上恰有三个点到直线l，则实数a = ．13.已知0>x ，0>y ，2是x 2与y4的等比中项，则yxx +1的最小值 ． 14. 在等腰梯形ABCD 中，下底AB 长为4，底角A 为45，高为m ， Q 为折线段B C D--上的动点，2AC AD AE += 设AE AQ ⋅ 的最小值为()f m ，若关于m 的方程()3f m km =-有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知222cos )2(2c b a A c b b -+=-. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若ABC ∆的面积4325=∆ABC S ，且5a =，求b c +.16.（本小题满分13分）“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习。
2019年天津卷理科数学真题（解析版）
2019年天津卷理科数学真题（解析版）一.选择题：每小题5分.共40分。
1.设集合A=(-1,1,2,3,5),8=03,4},C=|xe/?ll^x<3),则以。
)118=()A.{2}B.{2,3)C. {-b2,3}D.{1,2, 3.4}【答案】D【详解】因为ADC={L2},所以(AnC)U8={1.2,3.4}.故选D,2•设变量“满足约束条件r x+y.2<o/则目标函数z=-4x+y的最大值为（）x-y+2>0,X>-1,y2-1,A.2B.3C.5D.6【答案】D【详解】已知不等式蛆表示的平面区域如图中的阴影部分。
目标函数的几何意义是直线y=4x+z在）'轴上的截距，故目标函数在点A处取得最大值。
t y+2=0,•.,得A（-Ll）,所以Zmu=Yx（—1）+1=5°故选CoT3.设xeR,则 “J_5xv（）”是“1工一11<1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【详解】化简不等式，可知0vx<5推不出|a-1|<1；由|x-l|v1能推出0<x<5・故“r—5xv0”是“lx-ll<l”的必要不充分条件.故选4.阅读右边的程序框图・运行相应的程序・输出S的值为（）A.5B.8C.24D.29【答案】B【详解】S=1J=2t，=1,S=1+2・2】=5J=3S=8J=4.结束循环，故输出8。
故选B。
S.己知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为/.若与双曲线二亓=1(〃>CU>0)的两条渐近线分别变于cr点X和点H且\AB\=4\OF\(。
为原点)，则双曲线的离心率为()A.72B.73C.2D.^5【答案】D【详解】抛物线y2=4x的准线/的方程为x=-1,双曲线的渐近线方程为)，=±gx,则有人(_1,°),8(_1,—鸟a a a:.\AB\=— ,—=4.b=2a,.・.e=S"女.故选a a a a6 .己知n=log52,/?=log a50.2t c=0.5°2，则"he的大小关系为（）A.a<c<bB.a<b<CC.b<C<aD.c<a<b【答案】A【详解】it=logs2<log5 \/5b=log。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.理)含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =·如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =··一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，32i 1i=-（ ） Ａ．1i +Ｂ． 1i -+Ｃ．1i -Ｄ．1i --2．设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） Ａ．4Ｂ．11Ｃ．12Ｄ．143．“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ ） Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件4．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，且它的一条准线与抛物线24y x=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）Ａ．2211224x y -=Ｂ．2214896x y -= Ｃ．222133x y -=Ｄ．22136x y -= 5．函数2log 2)(0)y x =>的反函数是（ ） Ａ．142(2)xx y x +=-> Ｂ．142(1)x x y x +=-> Ｃ．242(2)x x y x +=->Ｄ．242(1)xx y x +=->6．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） Ａ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ Ｂ．若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ∥ Ｃ．若a b a b αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥ Ｄ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥7．在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[12]，上是减函数，则()f x （ ）Ａ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数 Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数 Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数 Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数8．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．89．设a bc ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） Ａ．a b c <<Ｂ．c b a <<Ｃ．c a b <<Ｄ．b a c <<10．设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，中央电视台mλ的取值范围是（ ） Ａ．Ｂ．[48]，Ｃ．Ｄ．2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答案前将密封线内的项目填写清楚．2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．11．若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为52，则a = （用数字作答）． 12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．13．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n n a n S →∞-= ．14．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于AB ，两点，则直线AB 的方程是 ．15．如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则ADBC =· ． 16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；AB DC（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．18．（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明CD AE ⊥；（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．20．（本小题满分12分）已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 21．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；ACDPE（Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立． 22．（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．2 12．14π 13．3 14．30x y +=15．83-16．390三、解答题17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）解法一：因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为1-．解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：x由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且23241()2C P A C ==，24262()5C P B C ==．故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P A B P A P B ==⨯=··． （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且21132422464()15C C C P C C C ==··，123422461()5C C PD C C ==·． 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=． （Ⅲ）解：ξ可能的取值为0123，，，．由（Ⅰ），（Ⅱ）得1(0)5P ξ==，7(1)15P ξ==， 13224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==．ξ的分布列为ξ的数学期望012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥．AC CD PA AC A ⊥=，∵，CD ⊥∴平面PAC ．而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴．（Ⅱ）证明：由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =． E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴．由（Ⅰ）知，AE CD ⊥，且PC CD C =，所以AE ⊥平面PCD ．而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴．PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴． 又AB AE A =∵，综上得PD ⊥平面ABE ．（Ⅲ）解法一：过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，连结EM ．则（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM PD ⊥． 因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，得30CAD ∠=°．设AC a =，可得332PA a AD a PD a AE a ====，，，． 在ADP Rt △中，AM PD ⊥∵，AM PD PA AD =∴··，则7a PA AD AM a PD===··． 在AEM Rt △中，sin 4AE AME AM ==． 所以二面角A PD C --的大小是arcsin4． 解法二：由题设PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ACD ，交线为AD ．过点C 作CF AD ⊥，垂足为F ，故CF ⊥平面PAD ．过点F 作FM PD ⊥，垂足为M ，连结CM ，故CM PD ⊥．因此CMP ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，可得30CAD ∠=°，设AC a =，可得13326PA a AD a PD a CF a FD a =====，，，，． FMD PAD ∵△∽△，FM FDPA PD=∴．于是，3a aFD PA FM PD ===··． 在CMF Rt △中，1tan aCF CMF FM === 所以二面角A PD C --的大小是．20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =+，4(2)5f =， ACD PEFM ABCDPEM又2222222(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·，6(2)25f '=-． 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46(2)525y x -=--， 即62320x y +-=．（Ⅱ）解：2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论． （1）当0a >时，令()0f x '=，得到11x a=-，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：所以()f x 在区间1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞，()a +，∞内为减函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数．函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 函数()f x 在21x a=处取得极大值()f a ，且()1f a =． （2）当0a <时，令()0f x '=，得到121x a x a==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的变化所以()f x 在区间()a -，∞，1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞内为增函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为减函数． 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =． 函数()f x 在21x a=-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解法一：22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+．以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时，12a =，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k kk a k λ=-+，那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k kk λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n nn a n λ=-+对任何n *∈N 都成立．解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+． （Ⅱ）解：设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+-， ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+- ② 当1λ≠时，①式减去②式， 得212311(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=---， 21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---． 这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--． 当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21a a 最大，下面证明： 21214,22n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥，因为222(4)(4)(1)(1)2n n n a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+· 1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．所以③式成立．因此，存在1k =，使得1121n k n k a a a a a a ++=≤对任意n *∈N 均成立．。
2019普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)—数学(理)解析版
2019 普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）—数学（理）解析版注意事项 ：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多 理解！无论是单选、多选还是论述题， 最重要的就是看清题意。
在论述题中， 问题大多具有委婉性， 尤其是历年真题部分， 在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料， 明确考察要点， 最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲， 揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
数学〔理科〕该套试卷整体上来说与往年相比， 比较平稳， 试题中没有偏题和怪题， 在考查了基础知识的基础上，还考查了同学们灵活运用所学知识的解决问题的能力。
题目没有很多汉字的试题， 都是比较简约型的。
但是不乏也有几道创新试题，像选择题的第8 题，填空题的 13 题，解答题第 20 题，另外别的试题保持了往年的风格，入题简单，比较好下手，但是做出来并不 是很容易。
整体上试题由梯度，由易到难，而且大部分试题适合同学们来解答表达了双基， 考查了同学们的四大思想的运用，是一份比较好的试卷。
本试卷分为第 I 卷〔选择题〉和第二卷( 非选择题 ) 两部分，共 150 分, 考试用时 120 分钟第 I 卷【一】选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 .〔1〕 i 是虚数单位，复数z= 7 i =3 i〔A 〕 2 i 〔Ｂ〕 2 i〔Ｃ〕2 i〔Ｄ〕2 i１、 B【解析】7 i =(7 i )(3 i ) =21 7i 3i1 =2 iz=3 i (3i )(3 i )10〔２〕设R ，那么“=0 ”是“f (x)=cos( x+ ) (xR) 为偶函数”的〔A 〕充分而不必要条件〔Ｂ〕必要而不充分条件 〔Ｃ〕充分必要条件〔Ｄ〕既不充分也不必要条件 2、 A【命题意图】 本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定 .【解析】∵ =0f (x)=cos( x+ ) (x R)为偶函数，反之不成立，∴“=0”是“f (x)=cos( x+) (x R) 为偶函数”的充分而不必要条件.〔３〕阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为 25 时，输出 x 的值为〔A 〕1〔Ｂ〕 1〔Ｃ〕 3 〔Ｄ〕 93、 C【命题意图】本试题主要考查了算法框图的读取，并能根据已给的算法程序进行运算.【解析】根据图给的算法程序可知：第一次 x=4，第二次x=1，那么输出x=2 1+1=3.〔4〕函数f (x)=2 x +x32 在区间 (0,1) 内的零点个数是〔A 〕 0〔Ｂ〕 1〔Ｃ〕 2〔Ｄ〕 3 4、 B【命题意图】 本试题主要考查了函数与方程思想， 函数的零点的概念， 零点存在定理以及作图与用图的数学能力 .【解析】解法 1：因为 f (0)=1+0 2= 1，f (1)=2+2 32=8，即f 0)( 1)<0(f且函数f (x)在 (0,1) 内连续不断，故 f (x) 在 (0,1)内的零点个数是1.解法2：设y 1 =2 x ，y 2=2 x 3 ，在同一坐标系中作出两函数的图像如下图：可知B 正确.425 102〔5〕在421 5 的二项展开式中，x 的系数为)(2 xx6〔A 〕 10〔Ｂ〕 -10 〔Ｃ〕 40〔Ｄ〕 -405、 D【命题意图】8 本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用， 并借助于通项公式分析项的系数 .【解析】∵T r +1 =C 5r (2 x 2 )5- r ( x 1) r= 25-r (1)rC 5r x10-3r ，∴10 3r =1，即r =3，∴x的系数为40.〔6〕在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别是 a,b,c ， 8b=5c ， C=2 B ，那么cosC=〔A 〕7 〔Ｂ〕7 〔Ｃ〕7 〔Ｄ〕 24252525256、 A【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式 . 考查学生分析、转化与计算等能力 .【解析】∵ 8b=5c，由正弦定理得8sin B=5sin C，又∵C=2 B，∴8sin B=5sin2B ，所以8sin B=10sin B cosB，易知sin B 0，∴4 ，cosC =cos 2B=2cos 2B1=7.cos =B255〔7〕△ ABC 为等边三角形， AB=2，设点P ，Q 满足AP = AB ， AQ=(1)AC，R，假设3 ，那么 =BQ CP=2〔A 〕 1 〔Ｂ〕 12〔Ｃ〕110 〔Ｄ〕3 2 2 22227、 A【命题意图】 本试题以等边三角形为载体， 主要考查了向量加减法的几何意义， 平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.【解析】∵ BQ= AQ AB =(1 )AC AB ，CP=AP AC=AB AC，又∵3 ，且|AB|=|AC|=2，< AB,AC >=60，AB AC =|AB ||AC|cos60 0=2，BQ CP=2∴) AC AB ]( ABAC )=3 ，2 21)AB2 3，[(12|AB| +(AC +(1 )|AC| =2所以+2( 21)+4(13 ，解得1.4)==22BPCQA〔8〕设 m ， n R ，假设直线(m1)x+( n1) y2=0与圆(x 1)2+(y 1)2=1相切，那么m+n 的取值范围是〔A 〕 [1 3,1+ 3]〔Ｂ〕(,13] [1+ 3,+ )〔Ｃ〕 [22 2,2+2 2]〔Ｄ〕(,2 2 2][2+22,+ )8、 D【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.【解析】∵直线 (m 1)x+( n 1)y2=0与圆(x 1) +(y1) =1 相切，∴圆心 (1,1)到直线22的距离为|(m 1)+(n 1) 2|，所以mm n)2，设t=mn，d =22=1mnn 1 ((m21) +(n 1)那么 12，解得 t(,22 2][2+2 2,+).tt+14【二】填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分.〔9〕某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所 . 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取所学校，中学中抽取所学校.9、 18， 9【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算 .【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为 250 所，所以应从小学中抽取150，中学中抽取75 .30=1830=9250 250〔10〕―个几何体的三视图如下图( 单位： m ) ，那么该几何体的体积为 m 3 .10、18+9【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能 力 .【解析】 由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体， 所以其体积为：4 3 3 =18+9 m 3.V=3 6 1+2()32〔11〕集合 A={ x R||x+2|<3} ，集合B={ x R|(x m)(x 2)<0} , 且A B=( 1,n)，那么 m= , n=.11、 1， 1 【命题意图】 本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质，同时考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法以及分类讨论思想.【解析】∵ A={ x R||x+2|<3} ={ x|| 5<x<1} ,又∵A B=( 1,n)，画数轴可知m= 1，n=1.〔12〕己知抛物线的参数方程为x=2 pt 2 ,〔 t为参数〕，其中p>0，焦点为F，准线为 l，y=2 pt,过抛物线上一点 M 作的垂线， 垂足为 E ，假设 |EF |=|MF |，点 M 的横坐标是 3，那么 p= . 12、 2【命题意图】 本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义， 抛物线的定义及其几何性质 . 【解析】 ∵x=2 pt 2 , 可得抛物线的标准方程为y 2=2 px (p>0) ，∴焦点 p,0) ，∵点 MF (y=2 pt,2的横坐标是 3，那么6 p)，所以点p ，pp 2M (3,E(EF 2+(06 p )2,6 p)=()222由抛物线得几何性质得，∵EF =MF，∴，解得.MF = p +3p 2+6 p= 1p 2+3 p+9p=224〔13〕如图， AB 和 AC 是圆的两条弦 . 过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D,过点 C作 BD 的平行线与圆相交于点Ｅ， 与 AB 相交于点 F ，AF =3，FB =1， 3 ，那么线段 CDEF =2的长为 .13、 43【命题意图】 本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理， 切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质 .【解析】∵ AF =3 ， FB =1，3 ，由相交弦定理得AF FB=EF FC，所以FC=2，EF =2又∵ BD ∥ CE ，∴ AF FC，AB4 = 8，设CD =x，那么AD =4x，再由= BD =FC =323ABBD AF切割线定理得 BD 2=CD AD ，即8 2 ，解得x=4 ，故4 .x 4x=()CD =333〔14〕函数2的图象与函数 y=kx2 的图象恰有两个交点， 那么实数 k 的取值范围|x 1| y=x 1是.14、(0,1) (1,4)【命题意图】 本试题主要考查了函数的图像及其性质， 利用函数图像确定两函数的交点，从而确定参数的取值范围 .【解析】 ∵函数 y=kx 2 的图像直线恒过定点B(0, 2) ，且A(1,2)，C ( 1,0) ，D (1,2) ，∴2+2，0+2，2+2，由图像可知 k(0,1)(1,4).k AB =1 0 =0k BC=1 0=2 k BD=1 0=442DCO5102AB4【三】解答题：本大题共 6小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.6〔15〕〔本小题总分值 13 分〕函数f (x)=sin (2 x+ )+sin(2 x)+2cos2， xR .8x 13310( Ⅰ ) 求函数 f(x) 的最小正周期；12〔Ⅱ〕求函数f (x)在区间, ]上的最大值和最小值 .[4 4【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】〔1〕f (x)=sin (2 x+)+sin(2 x )+2cos 2x 1 2sin 2x cos 3cos 2x2 sin(2 x)334函数f (x)的最小正周期为2T〔2〕232x2xsin(2 x ) 1 1f ( x)2 4444244当( x 时，f ( x)max2 ，当 2x( x 时，f ( x)min12x8)4)4244【点评】该试题关键在于将的函数表达式化为模型的图像与性质进行解题即可.y=Asin (x+ ) 的数学模型，再根据此三角〔16 〕〔本小题总分值 13 分〕现有 4 个人去参加某娱乐活动， 该活动有甲、 乙两个游戏可供参加者选择 . 为增加趣味性， 约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为 1 或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏 .〔Ⅰ〕求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率：〔Ⅱ〕求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：〔Ⅲ〕用X ,Y分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=|X Y| ，求随机变量的分布列与数学期望E .【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】〔1〕每个人参加甲游戏的概率为 1 ，参加乙游戏的概率为2p 1 p33这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为8C42 p2 (1p) 227〔2〕X B(4, p) P( X k)C4k p k (1 p) 4 k ( k0,1,2,3, 4)，这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为P( X3)P( X4)1 9〔3〕可取0,2, 4P(0)P( X2)8 27P(2)P( X1)P( X40 3)81P(4)P( X0)P( X17 4)81随机变量的分布列为024********E 02481 84017278181【点评】应用性问题是高考命题的一P818127个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新, 对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质 , 将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.〔17〕〔本小题总分值13 分〕如图，在四棱锥P ABCD 中，PA丄平面ABCD，AC 丄AD，AB丄BC，BAC45，PA=AD=2，AC =1.(Ⅰ)证明： PC 丄 AD ；〔Ⅱ〕求二面角A PC D 的正弦值；〔Ⅲ〕设 E 为棱 PA 上的点，满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 300，求 AE 的长.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】〔1〕以AD, AC , AP 为 x, y, z正半轴方向，建立空间直角左边系A xyz那么D (2,0,0), C (0,1,0), B( 1 ,1,0), P(0,0,2)2 2PC (0,1, 2), AD(2,0,0)PC AD 0 PC AD〔2〕 PC (0,1, 2), CD (2, 1,0)，设平面PCD的法向量n( x, y, z)那么 n PCy 2z 0 y2z取z1 n(1,2,1)n CD 0 2x y 0x zAD (2,0,0)是平面PAC的法向量cosAD, nAD n6 sin AD ,n30AD n66得：二面角 APCD 的正弦值为306〔3〕设 AEh [0,2]；那么AE(0,0, 2)，1 1(2, 1,0)BE ( ,, h), CD 22即10 cosBE, CDBE CD33 h10AE10BE CD10 20h 2210【点评】 试题从命题的角度来看， 整体上题目与我们平时练习的试题相似， 但底面是非特殊的四边形， 一直线垂直于底面的四棱锥问题， 那么创新的地方就是第三问中点 E 的位置是不确定的， 需要学生根据条件进行确定， 如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好 .〔 18〕 ( 本小题总分值13 分〕 {} 是等差数列，其前n 项和为， { } 是等比数列 , 且a nS nb na 1 =b 1=2，a 4 +b 4 =27 ，S 4 b 4 =10.( Ⅰ ) 求数列 { a n } 与 { b n } 的通项公式；( Ⅱ ) 记 T n a n b 1a n 1b2a n 2b3a 1b n；证明：T n +12= 2a n +10b n (n N + ) .【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】（1）设数列{ a n }的公差为d，数列{ b n }的公比为q；那么a 4b 4 27 2 3d 2q 327d 3S 4b 4 104a 1 6d 2q 310q2得： a n3n 1,b n 2n〔2〕T n a n b 1 a n 1b 2 a n 2b 3a 1b n 2na 1 2n 1a 22a n 2n(a 1 a 2an n1 )a n 3n 1 3n2 3n52 2c n2n 12n 12n 2 2n 1 c n1T n2n[( c 1 c 2 ) (c 2c 3 )(c n c n 1 )] 2n(c 1c n 1 )10 2n2(3n 5) 10b n2a n 12T n 12 10b n2a n【点评】该试题命制比较直接， 没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样， 第二问可以用错位相减法求解证明， 也可用数学归纳法证明， 给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原那么.A,B，点P〔19〕〔本小题总分值 14 分〕设椭圆22(a>b>0) 的左、右顶点分别为x + y=1a 2b 2在椭圆上且异于A, B 两点， O 为坐标原点 .〔Ⅰ〕假设直线AP 与 BP 的斜率之积为1 ，求椭圆的离心率；2〔Ⅱ〕假设|AP|=|OA|，证明：直线OP的斜率k满足|k|>3.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】〔1〕取 P(0, b) ，A(a,0), B( a,0) ；那么bb 1 a 22b2kAPkBP( )2aa2 a2b 212ea22e2〔 2〕设P(a cos , b sin )(0 2 ) ；那么线段 OP 的中点Q( a cos , bsin )22|AP|=|OA|AQOPkAQk1kAQb sin b sinak AQ cos2ak AQ2a a cos2ak AQb2a 2 k AQ 2 a 1 k AQ2kAQ3 k33【点评】〔20〕〔本小题总分值 14 分〕函数 f (x)x ln( xa) 的最小值为 0，其中a>0 .〔Ⅰ〕求 a 的值；〔Ⅱ〕假设对任意的 x [0,+) , 有f (x)kx 2 成立，求实数 k 的最小值；〔Ⅲ〕证明：ni =12(n N *).2i ln (2n+1)<21【参考答案】〔 1〕函数f (x) 的定义域为 ( a,)f ( x) x ln( x a)f ( x) 1x 1 x a 1 0 x 1 aaax af (x) 0 x 1 a, f ( x) 0a x 1 a得： x1a时，f ( x)minf (1 a) 1 a 0 a 1〔2〕设 g( x) kx2f ( x) kx2x ln( x 1)(x0)那么g(x) 0 在x [0,+ ) 上恒成立g( x)min0 g(0) 〔 *〕g(1) k1 ln 2kg (x) 2kx 11 x(2kx 2k 1)1x 1x①当0(k1 时，0 0x1 2k x 0g( x 0 ) 与〔*〕矛2k 1) g ( x) 2kg (0) 02盾②当1时，g ( x)g( x)ming(0)0 符合〔 *〕k2得：实数k的最小值为12〔3〕由〔 2〕得：对任意的x0 值恒成立x ln( x1) 1 x22取2：22x[ln(2 i 1)ln(2 i 1)](i 1,2,3, , n)2i1)2 2i11(2i当n1时，2 ln3 2得：ni =12ln (2n+1)<2 2i 1当i 2 时，211(2i1)22i32i1得：ni 1[212ln(2 i 1) ln(2 i 1)] 2 ln 3 12n2i11【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.。
2019年天津卷 理科数学真题(解析版)
2019年天津卷 理科数学真题（解析版）一、选择题：每小题5分，共40分。
1.设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈< ，则()A C B =（ ）A. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}【答案】D 【详解】因为{1,2}AC =，所以(){1,2,3,4}A C B =.故选D 。
2.设变量,x y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≤+，，，，1-y 1-x 02y -x 02-y x ，则目标函数4z x y =-+的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 5D. 6【答案】D【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。
目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距， 故目标函数在点A 处取得最大值。
由20,1x y x -+=⎧⎨=-⎩，得(1,1)A -，所以max 4(1)15z =-⨯-+=。
故选C 。
3.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【详解】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故选B 。
4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（ ）A. 5B. 8C. 24D. 29【答案】B【详解】1,2S i ==→11,1225,3j S i ==+⋅==8,4S i ==，结束循环，故输出8。
故选B 。
5.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A.2B.3 C. 2 D.5【答案】D【详解】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为b y x a =±，则有(1,),(1,)b bA B a a--- ∴2b AB a =，24b a =，2b a =，∴225c a b e a +===。
精品解析：【校级联考】天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考(二)数学(理)试题(解析版)
2019年天津市十二重点中学高三毕业班联考（二）数学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1.）A. B. D.【答案】C【解析】【分析】.【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，其中涉及到绝对值不等式的求解问题，属于基础题.2.（）A. B. D.【答案】C【解析】【分析】.【详解】根据约束条件可得如下图阴影部分所示的可行域：在轴截距最大时，平移可知，当【点睛】通过平移来解决.3.9）A. B. D.【答案】B【解析】【分析】.，不满足【点睛】本题考查程序框图中根据循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.4.( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够确定解集之间的包含关系，属于基础题.5.为直角三角形，值为( )A. B. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量数量积的运算律和已知中的长度关系，的二次函数问题，通过求解二次函数最小值得到结果.【详解】为直角三角形，斜边为，即时，本题正确选项：【点睛】本题考查向量数量积取值范围的求解，关键是能够通过线性运算将所求数量积向已知模长和夹角的向量进行转化，利用向量共线定理，构造出二次函数的形式，从而可以利用二次函数最值的求解方法得到结果.6.( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通过.本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数性质比较大小的问题，能够通过函数的解析式得到函数的奇偶性、单调性，将问题转化为自变量之间的比较是解决问题的关键.7.：：两点，点，则( )A. B. D.【答案】D【解析】【分析】.，则，点坐标为由椭圆对称性可知，当【点睛】本题考查抛物线中三角形面积的求解问题，从而得到斜率之间的关系，使得问题得以求解.8.，且在上单调，把个单位之后与原来的图象重合，当A. B. D.【答案】B【解析】【分析】的值，进而代入求得结果.的图象向右平移个单位后与原图象重合在上单调令，时，的一条对称轴当，本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够通过三角函数的图象平移、周期、特殊点等求解出函数解析式，再利用三角函数的对称性将问题转化为特定角的三角函数值求解.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.__________．【解析】【分析】根据复数除法运算的运算法则求解即可.【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.10.二项式展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中常数项等于__________．【答案】28【解析】【分析】.常数项：11.已知圆锥的高为3，底面半径长为4，则该球的体积为__________．【解析】【分析】先求圆锥侧面积，再求球半径，即得球体积.【点睛】本题考查圆锥侧面积、球表面积与体积，考查基本分析求解能力，属基础题.12.中，曲线的极坐标方程为__________．【解析】【分析】的距离角函数知识求得最值.当时，本题正确结果：【点睛】本题考查距离的最值问题的求解，涉及到极坐标与直角坐标的互化，解题关键是将问题转化为点到直线距离的最值问题，通过参数方程的意义，利用三角函数的知识来求解.13.__________．【解析】【分析】.，即由题意知，则，当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到构造出符合基本不等式的形式.14.______．【解析】【分析】识分别求解出两条切线斜率，从而得到所求范围.有四个零点等价于图象如下图所示：，解得：由图象可知：【点睛】本题考查利用函数零点个数求解参数范围的问题，其中还涉及到导数几何意义的应用、二次函数的相关知识.解决零点问题的常用方法为数形结合的方法，将问题转化为曲线与直线的交点问题后，通过函数图象寻找临界状态，从而使问题得以求解.三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.中，角【答案】（Ⅰ）【解析】【分析】面积公式求得结果.【详解】，【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用，属于常规题型.16.为响应党中央号召，学校以“我们都是追梦人”为主题举行知识竞赛。
2019年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考数学(理)试卷(含答案)
2019年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑； 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1. 集合2{|ln(1)},{|24},x M y y x N x M N ==+=<则等于（ ）A ．[]0,2B.(0,2) C ．[0,2) D ．(]0,22. 设变量满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-+≤+-0623063201y x y x y x ，则目标函数y x z 2-=的最大值为（ ）A ．3966-B.513- C ．2- D ．2 3.下列三个命题：①命题p ：2,0x R x x ∀∈+<，则p ⌝：2,0x R x x ∃∈+>； ②命题p ：112≤-x ，命题q ：011>-x，则p 是q 成立的充分不必要条件； ③在等比数列{}n b 中，若52b =，98b =，则74b =±； 其中真命题的个数为( )A ．0 B.1 C.2 D.3 4.如图是一个算法流程图，则输出的k 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55.将函数cos26y x π=-（）的图象向左平移(0)ϕϕπ<<的单位后，得到函数cos(2)3y x π=+的图象，则ϕ等于（ ）A ．3πB ．6πC ．2πD ．4π6.已知0.313log 0.6a =,121log 4b =,0.413log 0.5c =,则实数,,a b c 的大小关系为（ ） A ． b a c << B.c a b << C ．b c a << D ．a b c <<7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过原点的直线与双曲线交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若ABC ∆的面积为22a ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．2y x =±B ．y = C．y x= D．y = 8. 已知函数32log (2),2()(3)2,2x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，1()1g x =x+x -，则方程(())f g x a =的实根个数最多为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9. 若i z 21+=，且i z bi a -=⋅+8)(，则=⋅b a ． 10. 已知0=a sinxdx π⎰，则5ax ⎛+ ⎝的二项展开式中，2x 的系数为 ． 11．已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为 ．12．直线l ：12x at y t=⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C：3)4πρθ=-+（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C 上恰有三个点到直线l的距离为，则实数a = ．13.已知0>x ，0>y ，2是x 2与y4的等比中项，则yxx +1的最小值 ． 14. 在等腰梯形ABCD 中，下底AB 长为4，底角A 为45，高为m ， Q 为折线段B C D --上的动点，2AC AD AE += 设AE AQ ⋅ 的最小值为()f m ，若关于m 的方程()3f m km =-有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知222cos )2(2c b a A c b b -+=-. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若ABC ∆的面积4325=∆ABC S ，且5a =，求b c +.16.（本小题满分13分）“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.理)含详解
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，()=-+113i i i (A) 1- (B) 1 (C) i - (D) i（2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 （3）设函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,22sin π，则()x f 是 (A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数(C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数 （4）设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是(A) βαβα⊥⊥,//,b a (B) βαβα//,,⊥⊥b a (C) βαβα//,,⊥⊂b a (D) βαβα⊥⊂,//,b a（5）设椭圆()1112222>=-+m m y m x 上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右准线的距离为 (A) 6 (B) 2 (C)21(D) 772（6）设集合{}{}R T S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|，则a 的取值范围是(A) 13-<<-a (B) 13-≤≤-a(C) 3-≤a 或1-≥a (D) 3-<a 或1->a（7）设函数()()1011<≤-=x xx f 的反函数为()x f 1-，则(A) ()x f 1-在其定义域上是增函数且最大值为1 (B) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最小值为0 (C) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最大值为1 (D) ()x f1-在其定义域上是增函数且最小值为0（8）已知函数()⎩⎨⎧≥-<+-=0101x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是(A) {}121|-≤≤-x x (B) {}1|≤x x(C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x（9）已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan,75cos,72sinπππf c f b f a ，则 (A) c a b << (B) a b c << (C) a c b << (D) c b a <<（10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有 (A) 1344种 (B) 1248种 (C) 1056种 (D) 960种第Ⅱ卷注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考(一)数学(理)试卷附答案解析
天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（一）数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；参考公式：·如果事件、互斥，那么柱体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1.集合等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出中的范围确定出，求出中的范围确定出，找出与的交集即可．【详解】由，得到，，由中，得到，即，则，，故选：【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先作出不等式对应的可行域，再利用数形结合分析得到目标函数的最大值.【详解】作出不等式组的可行域如图所示，由题得目标函数为，直线的斜率为纵截距为，当目标函数经过点A()时，纵截距最小，z最大.所以.故答案为：B【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.3.下列三个命题：①命题：，则：；②命题：，命题：，则是成立的充分不必要条件；③在等比数列中，若，，则；其中真命题的个数为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对每一个命题逐一判断分析得解.【详解】①命题：，则：，所以该命题是假命题；②命题：0≤x≤1，命题：x＜1，则是成立的非充分非必要条件，所以该命题是假命题；③在等比数列中，若，，则，但是等比数列的奇数项都是同号的，所以要舍去-4,所以故选:A【点睛】本题主要考查全称命题的否定，考查充要条件的判断，考查等比数列的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.如图是一个算法流程图，则输出的的值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】分析程序中的变量，语句的作用，根据流程图的顺序，即可得出答案.【详解】由题意提供的算法流程图中的算法程序可知当S=1，k=1时，S=2<10，k=2；当S=2，k=2时，S=6<10，k=3；当S=6，k=3时，S=15>10，此时运算程序结束，输出k=3故选B.【点睛】本题主要考查了程序框图，属于简单题.5.将函数的图象向左平移的单位后，得到函数的图象，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将函数的图象向左平移的单位后，得到函数,所以，解之即得解.【详解】将函数的图象向左平移的单位后，得到函数,所以，因为，所以k=0时，. 故选：D【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.已知,,,则实数的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简得到b=2,再分析得到a<c,再证明c<2，即得解.【详解】由题得=2，因为，，所以.故选：C【点睛】本题主要考查对数函数指数函数幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若的面积为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，得到以为直径的圆的方程为，根据三角形的面积求出的坐标，代入双曲线方程进行整理即可得解．【详解】以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，以为直径的圆的方程为，由对称性知的面积，即，即点的纵坐标为，则由，得，因为点在双曲线上，则，即，即，即，即，即，得，即，得，得，.则双曲线的渐近线方程为.故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.已知函数，，则方程的实根个数最多为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】先求出函数g(x)的值域，再令g(x)=t换元得到f(t)=a,作出函数f(x)的图像，数形结合观查分析得到方程的实根个数最多为8.【详解】由题得函数的值域为，设g（x）=t(),作出函数f(x)的图像为：所以f(t)=a,当1≤a≤2时，直线和图像交点个数最多，有四个交点，也就是t有四个实根.且一个t≤-1，有三个t＞1.因为函数在（0,1）（-1,0）单调递减，在（1，+∞），（-∞，-1）单调递增.所以g(x)=t, 当t在每取一个t值时，x都有两个值和它对应，因为t最多有4个根，所以x 最多有8个解.故选:C【点睛】本题主要考查函数的图像和性质的综合应用，考查利用函数的图像研究零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.第Ⅱ卷非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9.若，且，则__________．【答案】6【解析】先化简已知得，解方程即得a,b的值，即得解.【详解】由题得（a+bi）(1-2i)=8-i,化简得a+2b+(b-2a)i=8-i ,即.故答案为：6【点睛】本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知，则的二项展开式中，的系数为__________．【答案】80【解析】【分析】由题得a=2,再利用二项式展开式的通项求出的系数.【详解】由题得，所以=，设二项式展开式的通项为，令所以的系数为.故答案为：80【点睛】本题主要考查定积分的计算和二项式展开式的某一项的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11.已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为_____________．【答案】【解析】【分析】设球的半径为r,由题得，再求圆柱外接球的表面积.【详解】设球的半径为r,由题得故答案为：【点睛】本题主要考查圆柱外接球表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.直线：（为参数），圆：（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆上恰有三个点到直线的距离为，则实数__________．【答案】【解析】【分析】先求出直线的普通方程为2x+ay-a=0,再求出圆的方程为，根据已知得到方程，解方程即得a的值.【详解】由题得直线的方程为2x+ay-a=0,圆的方程为，因为圆上恰有三个点到直线的距离为，所以，解之即得a=.故答案为：【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标与直角坐标的互化，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.已知，，是与的等比中项，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】先由已知得到x+2y=1,再对化简变形，再利用基本不等式求其最小值.【详解】由题得.所以=.当且仅当时取等.所以的最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.在等腰梯形中，下底长为4，底角为，高为，为折线段上的动点，设的最小值为，若关于的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为__________．【解析】【分析】建立直角坐标系，其中A(0,0),B(4,0),C(4-m,m),D(m,m),先对Q的位置分类讨论得到，根据已知得到有两个不相等的实根，再利用导数和数形结合求得k的取值范围.【详解】建立坐标系，其中A(0,0),B(4,0),C(4-m,m),D(m,m),所以,所以点E(2，m),且0＜m＜2，又动点Q为折线上B-C-D上的点，①Q在CD上时，，②Q在BC上时，，因为0＜m＜2，所以.因为，所以，构造函数，函数在单调递减，在单调递增.所以，即k∈.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算和数量积，考查导数求函数的单调性，考查导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.在中，内角所对的边分别为，已知.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积，且，求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用余弦定理正弦定理对化简即得. （Ⅱ）先化简得到,再利用余弦定理求得，再求b+c的值.【详解】（Ⅰ），，由正弦定理得，即，，,.（Ⅱ）,,,,, 即.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习。
天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考(一)数学(理)试题(含参考答案)
天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（一）数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；参考公式：·如果事件、互斥，那么柱体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1.集合等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出中的范围确定出，求出中的范围确定出，找出与的交集即可．【详解】由，得到，，由中，得到，即，则，，故选：【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先作出不等式对应的可行域，再利用数形结合分析得到目标函数的最大值.【详解】作出不等式组的可行域如图所示，由题得目标函数为，直线的斜率为纵截距为，当目标函数经过点A()时，纵截距最小，z 最大.所以.故答案为：B【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.3.下列三个命题：①命题：，则：；②命题：，命题：，则是成立的充分不必要条件；③在等比数列中，若，，则；其中真命题的个数为( )A. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】对每一个命题逐一判断分析得解.【详解】①命题：，则：，所以该命题是假命题；②命题：0≤x≤1，命题：x＜1，则是成立的非充分非必要条件，所以该命题是假命题；③在等比数列中，若，，则，但是等比数列的奇数项都是同号的，所以要舍去-4,所以.所以该命题是假命题.故选:A【点睛】本题主要考查全称命题的否定，考查充要条件的判断，考查等比数列的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.如图是一个算法流程图，则输出的的值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】分析程序中的变量，语句的作用，根据流程图的顺序，即可得出答案.【详解】由题意提供的算法流程图中的算法程序可知当S=1，k=1时，S=2<10，k=2；当S=2，k=2时，S=6<10，k=3；当S=6，k=3时，S=15>10，此时运算程序结束，输出k=3故选B.【点睛】本题主要考查了程序框图，属于简单题.5.将函数的图象向左平移的单位后，得到函数的图象，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将函数的图象向左平移的单位后，得到函数,所以，解之即得解.【详解】将函数的图象向左平移的单位后，得到函数,所以，因为，所以k=0时，.故选：D【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.已知,,,则实数的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简得到b=2,再分析得到a<c,再证明c<2，即得解.【详解】由题得=2，因为，，所以.故选：C【点睛】本题主要考查对数函数指数函数幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若的面积为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，得到以为直径的圆的方程为，根据三角形的面积求出的坐标，代入双曲线方程进行整理即可得解．【详解】以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，以为直径的圆的方程为，由对称性知的面积，即，即点的纵坐标为，则由，得，因为点在双曲线上，则，即，即，即，即，即，得，即，得，得，.则双曲线的渐近线方程为.故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.已知函数，，则方程的实根个数最多为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】先求出函数g(x)的值域，再令g(x)=t换元得到f(t)=a,作出函数f(x)的图像，数形结合观查分析得到方程的实根个数最多为8.【详解】由题得函数的值域为，设g（x）=t(),作出函数f(x)的图像为：所以f(t)=a,当1≤a≤2时，直线和图像交点个数最多，有四个交点，也就是t有四个实根.且一个t≤-1，有三个t＞1.因为函数在（0,1）（-1,0）单调递减，在（1，+∞），（-∞，-1）单调递增.所以g(x)=t, 当t在每取一个t值时，x都有两个值和它对应，因为t最多有4个根，所以x最多有8个解.故选:C【点睛】本题主要考查函数的图像和性质的综合应用，考查利用函数的图像研究零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.第Ⅱ卷非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9.若，且，则__________．【答案】6【解析】【分析】先化简已知得，解方程即得a,b的值，即得解.【详解】由题得（a+bi）(1-2i)=8-i,化简得a+2b+(b-2a)i=8-i ,即.故答案为：6【点睛】本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知，则的二项展开式中，的系数为__________．【答案】80【解析】【分析】由题得a=2,再利用二项式展开式的通项求出的系数.【详解】由题得，所以=，设二项式展开式的通项为，令所以的系数为.故答案为：80【点睛】本题主要考查定积分的计算和二项式展开式的某一项的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11.已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为_____________．【答案】【解析】【分析】设球的半径为r,由题得，再求圆柱外接球的表面积.【详解】设球的半径为r,由题得故答案为：【点睛】本题主要考查圆柱外接球表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.直线：（为参数），圆：（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆上恰有三个点到直线的距离为，则实数__________．【答案】【解析】【分析】先求出直线的普通方程为2x+ay-a=0,再求出圆的方程为，根据已知得到方程，解方程即得a的值.【详解】由题得直线的方程为2x+ay-a=0,圆的方程为，因为圆上恰有三个点到直线的距离为，所以，解之即得a=.故答案为：【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标与直角坐标的互化，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.已知，，是与的等比中项，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】先由已知得到x+2y=1,再对化简变形，再利用基本不等式求其最小值.【详解】由题得.所以=.当且仅当时取等.所以的最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.在等腰梯形中，下底长为4，底角为，高为，为折线段上的动点，设的最小值为，若关于的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，其中A(0,0),B(4,0),C(4-m,m),D(m,m),先对Q的位置分类讨论得到，根据已知得到有两个不相等的实根，再利用导数和数形结合求得k的取值范围.【详解】建立坐标系，其中A(0,0),B(4,0),C(4-m,m),D(m,m),所以,所以点E(2，m),且0＜m＜2，又动点Q为折线上B-C-D上的点，①Q在CD上时，，②Q在BC上时，，因为0＜m＜2，所以.因为，所以，构造函数，函数在单调递减，在单调递增.所以，即k∈.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算和数量积，考查导数求函数的单调性，考查导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.在中，内角所对的边分别为，已知.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积，且，求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用余弦定理正弦定理对化简即得. （Ⅱ）先化简得到,再利用余弦定理求得，再求b+c的值.【详解】（Ⅰ），，由正弦定理得，即，，,.（Ⅱ）,,,,, 即.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习。
2019年高考理科数学天津卷含答案
数学试卷 第 3页（共 16页）
数学试卷 第 4页（共 16页）
毕业学校_____________
姓名________________
考生号________________
________________ _____________
------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -----------------------------------
x，y
满足约束条件
x
1,
则目标函数 z 4x y 的最大值为（ ）
y 1,
题
A.2
B.3
C.5
D.6
3.设 x R ，则“ 0 x 5 ”是“ | x 1| 1 ”的
（）
无
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
效
数学试卷 第 1页（共 16页）
18.（本小题满分 13 分）
在
设椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左焦点为 F
，上顶点为 B .已知椭圆的短轴长为
4，离
心率为 5 . 5
（Ⅰ）求椭圆的方程；
此
（Ⅱ）设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，
点 N 在 y 轴的负半轴上.若 | ON || OF （| O 为原点），且 OP MN ，求直线 PB
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(天津卷)(含答案)
六大注意1 考生需自己粘贴答题卡的条形码考生需在监考老师的指导下，自己贴本人的试卷条形码。
粘贴前，注意核对一下条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号是否有误，如果有误，立即举手报告。
如果无误，请将条形码粘贴在答题卡的对应位置。
万一粘贴不理想，也不要撕下来重贴。
只要条形码信息无误，正确填写了本人的考生号、考场号及座位号，评卷分数不受影响。
2 拿到试卷后先检查有无缺张、漏印等拿到试卷后先检查试卷有无缺张、漏印、破损或字迹不清等情况，尽管这种可能性非常小。
如果有，及时举手报告；如无异常情况，请用签字笔在试卷的相应位置写上姓名、考生号、考场号、座位号。
写好后，放下笔，等开考信号发出后再答题，如提前抢答，将按违纪处理。
3 注意保持答题卡的平整填涂答题卡时，要注意保持答题卡的平整，不要折叠、弄脏或撕破，以免影响机器评阅。
若在考试时无意中污损答题卡确需换卡的，及时报告监考老师用备用卡解决，但耽误时间由本人负责。
不管是哪种情况需启用新答题卡，新答题卡都不再粘贴条形码，但要在新答题卡上填涂姓名、考生号、考场号和座位号。
4 不能提前交卷离场按照规定，在考试结束前，不允许考生交卷离场。
如考生确因患病等原因无法坚持到考试结束，由监考老师报告主考，由主考根据情况按有关规定处理。
5 不要把文具带出考场考试结束，停止答题，把试卷整理好。
然后将答题卡放在最上面，接着是试卷、草稿纸。
不得把答题卡、试卷、草稿纸带出考场，试卷全部收齐后才能离场。
请把文具整理好，放在座次标签旁以便后面考试使用，不得把文具带走。
6 外语听力有试听环外语考试14:40入场完毕，听力采用CD 播放。
14：50开始听力试听，试听结束时，会有“试听到此结束”的提示。
听力部分考试结束时，将会有“听力部分到此结束”的提示。
听力部分结束后，考生可以开始做其他部分试题。
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
2019年高考理科数学天津卷(附参考答案和详解)
之
前
到
校
的
概率
均
为
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!假
定
甲
/乙
两
位
同
学
到
校
情
况
互
不 影 响 #且 任 一 同 学 每 天 到 校 情 况 相 互 独 立 !
$!%用 8 表示甲同 学 上 学 期 间 的 三 天 中 7,+# 之 前 到 校 的
天数#求随机变量 8 的分布列和数学期望-
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7!已 知 函 数 *$#%'+9/:$#0%$+)##)##""#%是 奇 函 数#将 &'*$#%的 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 $
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三 解 答 题解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
!"!$本小题满分!+分%在'+0. 中#内角 +#0#. 所对的边分 别 为'#(#)!已 知(0)'$'#+)9/:0')'9/:.! $!%求5290 的值-
2019高考天津理科数学真题、答题卡、答案(16开、免排版、可编辑)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学(理工类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3－4页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：●如果事件A、B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)●如果事件A、B相互独立，那么P(AB)＝P(A)P(B).●圆柱的体积公式V＝Sh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高.●棱锥的体积公式V＝S h，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)设集合A＝{－1，1，2，3，5},B＝{2，3，4},C＝｛x∈R|1≤x＜3｝，则(A∩C) ∪B(A){2} (B){2，3}(C){－1，2，3} (D){1，2，3，4}(2)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝－4x＋y的最大值为(A)2 (B)3 (C)5 (D)6(3)设x∈R，则“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(4)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为(A)5(B)8(C)24(D)29(5)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0,＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|＝4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为(A)(B)(C)2 (D)(6)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(A)a＜c＜b(B)a＜b＜c(C)b＜c＜a(D)c＜a＜b(7)已知函数f (x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y＝f (x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g()＝,则f ()＝(A)－2 (B)－(C)(D)2(8)已知a∈R，设函数f (x)＝若关于x的不等式f (x) ≥0在R上恒成立，则a的取值范围为(A)[0，1] (B)[0，2](C)[0，e] (D)[1，e]绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学(理工类)第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
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2019年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数学理科参考答案二、填空题: 每小题5分，共30分.9.6； 10.80； 11. 20π； 12. 4-± 13. ； 14.三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）222cos )2(2c b a A c b b -+=-abc b a ab A c b b 22cos )2(2222-+=-∴ ………1分C a A c b cos cos )2(=-∴ ………2分由正弦定理得C A A C B cos sin cos )sin sin 2(=-∴………3分 即 C A A C A B cos sin cos sin cos sin 2+=∴2sin cos sin B A B ∴= ………4分0B π<<sin 0B ∴≠ ………5分21cos =∴A ………6分 0A π<< 3A π∴=………7分 （Ⅱ）4325sin 21==∆A bc S ABC ………8分 25bc ∴=………9分 22222251cos 22252b c a b c A bc +-+-===⨯ ………10分2250b c ∴+= ………11分222()2100b c b c bc ∴+=++= ………12分 即10b c += ………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）7212636)(49241213==⋅⋅=C C C C A P ………3分（列式2分，结果1分） （Ⅱ）X 可能取值为3,2,1,0………4分42512615)0(490346==⋅==C C C X P ………5分（列式1分，结果1分） 211012660)1(491336==⋅==C C C X P ………7分（列式1分，结果1分） 14512645)2(492326==⋅==C C C X P ………9分（列式1分，结果1分） 2111266)3(493316==⋅==C C C X P ………11分（列式1分，结果1分）3213142211420=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ………13分（列式1分，结果1分） (本题得数不约分不扣分)17．（本小题满分13分）（Ⅰ）CM 与BN 交于F ，连接EF由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，所以F 是BN 的中点． 因为E 是AB 的中点，所以AN ∥EF ………1分 又EF ⊂平面MEC ， ………2分AN ⊄平面MEC ，………3分所以AN ∥平面MEC ………4分（Ⅱ）由于四边形ABCD 是菱形，3DAB π∠=，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥．又ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，平面ADNM平面ABCD AD =DN ∴⊥平面ABCD ………5分如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D，E ,(0,2,0)C,1,1)M -,,0)B ,(0,0,1)N 设平面MBC 的法向量为1111(,,)n x y z =(0,2,1)MB =-(,0)BC =1100MB n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200y z y -=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩ 1(1,3,2n ∴=………6分 (0,1,1)ME =- ………7分111cos ,||||2ME n ME nME n ⋅-<>===………8分ME ∴与平面MBC 9分 （Ⅲ）设1,)P h -，(3,2,0)CE =-,(0,1,)EP h =- 设平面PEC 的法向量为1(,,)n xy z =则， 1100CE n EP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200y y hz -=∴-+=⎪⎩令y =， 1(2n h ∴=………10分又平面ADE 的法向量2(0,0,1)n =1212121cos ,2||||7n n n n n n ⋅<>===………11分解得，h =………12分 371>在线段AM 上不存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π．………13分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）12n n a a +=+{}n a ∴是以12a =为首项，2为公差的等差数列………1分1(1)22n a a n n ∴=+-=………2分13b =，13n n b b += {}n b ∴是以13b =为首项，3为公比的等比数列………3分3n n b ∴=………4分（Ⅱ）由(1)知()()()123(1)23(1)2nn n n n n na b n n n ∴⋅--=⋅--=⋅--⋅ ………5分 设{23}n n ⋅的前n 项和为'n T'12312343632(1)323n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅① '234132343632(1)323n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅②①—②得 '123122323232323n n n T n +-=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅………6分'116(13)2233(12)313n n n n T n n ++--=-⋅=-+-⋅-………7分'131()322n n T n +=+-⋅………8分设{(1)2}n n -⋅的前n 项和为''n T当n 为偶数时，''24682(1)222n nT n n n =-+-+---+=⋅=………10分当n 为奇数时，1n +为偶数，''''12(1)1221n n T T n n n n +=-+=+--=--………12分1131()3()2231()31(22n n n n n n T n n n ++⎧+-⋅+⎪⎪∴=⎨⎪+-⋅--⎪⎩为偶数为奇数）………13分 19.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知22==a c e ，222c b a +=，得c b =，c a 2= ………1分21F PF ∆为等腰三角形，∴P F F F 221=………2分则222)3()12()2(+-=a c 解得1=c ………3分1,222==∴b a ∴椭圆W 方程为1222=+y x ………4分 （Ⅱ）①由题意可得直线1l 的方程为1y x =+.………5分与椭圆方程联立,由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可求41(,)33B --. ………6分②当2l 与x 轴垂直时，,C D 两点与E ,G 两点重合，由椭圆的对称性，11EF FG =. ………7分 当2l 不与x 轴垂直时，设()11,C x y ，()22,D x y ，2l 的方程为(1)y k x =+（1k ≠）.由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2222214220k x k x k +++-=.则21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+.………8分 由已知，20x ≠，则直线AD 的方程为2211y y x x --=，………9分 令1x =-，得点E 的纵坐标2221E x y y x -+=. 把()221y k x =+代入得()221(1)E x k y x +-=.………10分由已知，143x ≠-，则直线BC 的方程为111143()4333y y x x ++=++,………11分 令1x =-，得点G 的纵坐标111143()3G y x y x --=+.把()111y k x =+代入得()111(1)34G x k y x +-=+.………12分()()21211(1)1(1)34E G x k x k y y x x +-+-+=++()()212121(1)1(34)1(34)k x x x x x x -++-+⎡⎤⎣⎦=⋅+[]121221(1)23()4(34)k x x x x x x -+++=⋅+………13分把21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+代入到121223()4x x x x +++中， 121223()4x x x x +++=222222423()402121k k k k --⨯+⨯+=++. 即0E G y y +=，即11EF FG =. .…………14分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当2n =时，12()(2ln )f x m x x =-，()(2ln f x m x '=-0=≤在[]1,e 恒成立.…………1分 即2ln 0m x m --≤在[]1,e 恒成立[]1,,1ln 2x e x ∈∴≤≤2ln 1m x ∴≥+，.…………2分令2()ln 1x x ϕ=+，22()0(ln 1)x x x ϕ-'=<+.…………3分 2()ln 1x x ϕ∴=+在[]1,e 单调递减，max ()(1)2x ϕϕ∴==，2m ∴≥.…………4分（Ⅱ）①当1=m 时,nx x n x f 1)ln ()(⋅-=111111111'ln 11)ln (1)ln (1)(----⋅⋅-=-+-=-+⋅-=n n n n n x x n x n x n x x n x n x x x f.…………5分0>x ∴令0)('=x f 1=x.…………6分(交代单调性，不列表也可以）n f x f ==)1()(max .…………7分 ②要证明当a e ≥，0k >时，关于x ln )x kx a -=-+有唯一解，令t =，即证明2()22ln g t kt t t t a =+--有唯一零点. 我们先证三个引理【引理1】(1ln )1x x -≤.............（由第1问取1n =即可） 【引理2】1ln 1x x≥-...........（由【引理1】变形得到） 【引理3】ln 1x x ≤-........（可直接证明也可由【引理2推出】证明：11ln ln(1)11x x xx=-≤--=-. 证毕！.…………8分下面我们先证明函数()g t 存在零点，先由【引理2】得到：221()22(1)2g t kt t t a kt a t≤+---=+-.令t =()0g t ≤.再由【引理3】得到ln x x <，于是()((2)g t t kt t a =-+-4)(2)t a >-.令216t k >，且2at >，可知()0g t >.由连续性可知该函数一定存在零点. .…………10分下面我们开始证明函数()g t 最多只能有一个零点.我们有ln ()22ln 2()tg t kt t t k t'=-=-. 令ln ()t h t t =，则21ln ()th t t -'=，则()h t 在(0,)e 递增，在(,)e +∞递减，即max 1()h t e =..…………11分当1k e ≥时，有()0g t '≥恒成立，()g t 在(0,)+∞上递增，所以最多一个零点.当10k e <<时，令12()()0g t g t ''==，12t e t <<，即11ln t kt =，于是111111()ln 22ln g t t t t t t a =+--11(2ln )t t a =--..…………12分再令1(01)t eT T =<<，由【引理1】可以得到1()(1ln )10g t eT T a e a =--<⨯-≤..…………13分因此函数()g t 在1(0,)t 递增，12(,)t t 递减，2(,)t +∞递增， 1t t =时，()g t 有极大值但其极大值1()0g t <，所以最多只有一个零点. .…………14分综上，当0k >，a e ≥时，函数()y f x =与y kx a =-+的图像有唯一交点.。