传播问题与一元二次方程
巧用一元二次方程，助力疫情防控
巧用一元二次方程，助力疫情防控作者：***来源：《初中生世界·九年级》2022年第09期一元二次方程存在于我们生活的方方面面，以新冠肺炎疫情为背景的问题就有多种题型。
下面，我们通过三个问题，一起来看一下如何用一元二次方程解决此类问题。
一、传播问题例1 新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后可能有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了多少人？【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被感染，那么一轮传染结束后应该有（x+1）人携带病毒，第二轮传染中有（x+1）x人被感染，根据经过两轮传染后可能有169人患新冠肺炎，即可得数量关系：原本携带病毒人数+第一次传染人数+第二次传染人数=总感染人数。
解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有（x+1）x人被感染。
根据题意，得1+x+（x+1）x=169，即（1+x）2=169。
解这个方程，得x1=12，x2=-14（不合题意，舍去）。
答：每轮传染中平均每个人传染了12人。
【点评】用一元二次方程解决实际问题，主要是找准数量关系，而本题的关键点是一轮传染结束后应该有（x+1）人携带病毒，总的感染人数中原本携带病毒的人数不能忘記，然后才能正确列出一元二次方程。
本题中得出来的两个实数根需要进行检验，检查是否符合实际情况，对于不符合题意的答案，我们要舍去。
二、增长（降低）率问题例2 为了有效抗击新冠肺炎疫情，根据国家的政策，某市疫情防控应急指挥部要求全市符合新冠疫苗接种的人群应接尽接，为落实这一要求，某街道统计，7月份共有2500人接种，9月份增加到3600人，如果每月接种人数的增长率相同，求每月接种人数的平均增长率？【分析】设每月接种人数的平均增长率为x，首先有这样的数量关系：变化前的量×（1+平均增长率）=变化后的量。
传播问题与一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播问题与一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.会分析实际问题（（重点） 2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系 .（难点） 3.会找出实际问题（传播问题等）中的相等关系并建模 解决问题 .
的人数
人数
人数
(1+x)1
(1+x)2
(1+x)3
第1种做法 以1人为传染源 ,3轮传染后的人数是 : (1+x)3=(1+10) 3=1331 人.
第2种做法 以第2轮传染后的人数 121为传染源,传染一 次后就是 :121(1+x)=121(1+10)=1331 人.
思考：如果按这样的传染速度， n轮后传染后有多 少人患了流感？
解方程,得 x1= 10 , x2= -12 . (不合题意,舍去) 答:平均一个人传染了 ___1_0____个人. 注意:一元二次方程的解有可能不符合题意，所以 一定要进行检验 .
想一想：如果按照这样的传染速度 ,三轮传染后有 多少人患流感 ? 分析
第一轮传染后 第二轮传染后的 第三轮传染后的
传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数
第一轮 1
1?x=x
1+x
第二轮 1+x
(1+x)x
1+x+(1+x)x= (1+x)2
第三轮 (1+x)2 (1+x)2?x 第n轮
(1+x)2+(1+x)2?x= (1+x)3 (1+x)n
经过n轮传染后共有 (1+x)n 人患流感 .
一元二次方程应用题汇总(传染、增长率、面积、利润、球赛、数字等问题)
一元二次方程应用题分类汇总一、传播问题：1、 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，求，，每轮感染中平均一台电脑能感染几台？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？2、有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?3、甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？二、增长率问题：平均增长（降低）率公式注意：（1）1与x的位置不要调换（2）解这类问题列出的方程一般用直接开平方法1. 某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程为_________________2. 某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为_____________3、雪融超市今年的营业额为280万元，计划后年的营业额为403.2万元，求平均每年增长的百分率？4、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价后，由每盒121元降到每盒100元，则这种药品平均每次降价的百分率为多少？5、我国土地沙漠化日益严重，西部某市2003年有沙化土地100平方公里， 到2005年已增至144平方公里。
请问：2003至2005年沙化土地的平均增长率为多少？三、面积问题：1、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？2、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。
人教版九年级数学上章节知识点深度解析 第1课时 传播问题与一元二次方程
由题意得 x2＋（11－ x ）2＝85，
解得 x1＝2， x2＝9.
当 x ＝2时，两位数为92，
当 x ＝9 时，两位数为29.
答：这个两位数为92或29.
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第二十一章
一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播问题与一元二次方程
要点归纳
知识要点 传播问题
1. 传播、裂变问题：若有一个人患了流感，设每
轮传染 x 人， n 轮传染后患流感的总人数为（1＋x ）n .
2. 握手次数问题： x 位同学为表示友好，他们相
（−）
互握手，则握手次数为
A. （ x ＋1）2＝73
B. x ＋2 x ＋1＝73
C. x （ x ＋1）＝73
D. x2＋ x ＋1＝73
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2. 教材P22习题T6变式某校九年级组织一次篮球比
赛，每两班之间都赛一场，共进行了55场比赛，则
该校九年级共有班级个数为（
A. 9
B. 10
C. 11ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D. 12
C
）
3. 小明去参加聚会，每两人都互相赠送一件礼物，
；若他们彼此通
信，则信件的总件数为 x （ x －1） .
3. 比赛场次问题： x 支足球队进行比赛，若赛
制为双循环制（每两队之间都赛两场），比赛的总
场次为
x （ x －1）
；若赛制为单循环制（每两
传播问题与一元二次方程公式(一)
传播问题与一元二次方程公式(一)一元二次方程公式介绍一元二次方程是数学中常见的方程形式，通常可表示为：ax^2 + bx + c = 0。
在传播问题中，一元二次方程公式可以用于计算传播过程中的变量之间的关系。
一元二次方程公式一元二次方程公式可以用于求解传播问题中的变量值。
以下是一元二次方程的公式：1.一元二次方程的一般解求根公式： x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a2.一元二次方程的顶点坐标公式： x = -b / (2a) y =-Δ / (4a)，其中Δ = b^2 - 4ac解释和例子下面通过举例来解释一元二次方程公式的应用：例子1：计算传播过程中的变量关系假设某种传播活动的传播速度为v，传播时间为t，传播距离为d，其中传播速度和传播时间满足一元二次方程关系。
已知传播速度为2m/s，传播时间为5s，求传播距离。
根据一元二次方程公式，我们可以得到： t = d / v d = vt代入已知值，可以计算得到： d = 2m/s * 5s = 10m因此，传播距离为10m。
例子2：求解一元二次方程的根解方程：x^2 + 4x + 4 = 0根据一元二次方程公式，我们可以得到： x = (-b ± √(b^2 -4ac)) / 2a代入已知值，可以计算得到： a = 1, b = 4, c = 4 x = (-4 ± √(4^2 - 414)) / (2*1) x = (-4 ± √(16 - 16)) / 2 x = (-4 ± √0) / 2 x = -2因此，该一元二次方程的解为x = -2。
总结一元二次方程公式是解决传播问题中变量关系的重要方法之一。
通过使用一元二次方程公式，我们可以计算出传播过程中各个变量之间的关系，并求解方程的根。
在实际应用中，我们可以根据具体的传播问题，灵活运用一元二次方程公式进行计算。
21.3实际问题与一元二次方程1传播问题(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《实际问题与一元二次方程1——传播问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过信息或病毒传播的情况？”（如微信朋友圈的谣言传播、流感病毒传播等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索传播问题的奥秘。
4.培养学生数据分析素养，使学生能够通过对传播问题的研究，理解数据背后的规律，为现实生活中的类似问题提供解决思路。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解传播问题背景，能从实际问题中抽象出一元二次方程。
-通过案例分析，让学生明确如何从传播问题中提炼出一元二次方程，掌握方程构建的方法。
-强调一元二次方程在解决传播问题中的应用，如病毒传播、信息传播等。
3.通过传播问题，掌握解决实际问题时如何列出相关的一元二次方程，并求解。
4.分析以下案例：
（1）病毒传播问题：在某次疫情中，病毒通过接触传播，假设每个感染者在接触一个人后，有50%的概率将病毒传播给对方。如果已知病毒最初由一个人传播，求经过5次传播后，预计有多少人可能感染病毒。
（2）信息传播问题：在社交网络上，一个热门话题最初由一名用户发布，如果每个阅读该话题的用户有20%的概率转发，求经过3次转发后，预计有多少人看到该话题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
传播问题与一元二次方程公式
传播问题与一元二次方程公式传播问题与一元二次方程公式一元二次方程公式的定义•一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b 和c是已知的常数，且a≠0。
•一元二次方程通常表示为的解式形式即 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
传播问题中的一元二次方程公式•在某些传播问题中，可以使用一元二次方程的公式来分析和解决问题。
1. 投射物体的高度与时间的关系•当一个物体沿着竖直方向进行抛射时，可以使用一元二次方程来描述物体在不同时间下的高度。
•假设一个物体从地面上方的高度H0被抛射，并受到重力加速度g 的作用，那么它在时间t后的高度H可以用一元二次方程描述：H = H0 - ^2。
2. 声音的传播距离与时间的关系•声音在空气中的传播速度是已知的，通常用v表示。
•在空气中，当一个声源开始发出声音时，声音通过距离x传播到接收者处所需的时间t，可以用一元二次方程描述：t = (x - d) / v，其中d是声源与接收者之间的初始距离。
3. 光线的折射角度与入射角度的关系•光线从一个光密介质射入到一个光疏介质时，会产生折射现象。
•光线在介质交界面上折射时，折射角度θ_2与入射角度θ_1之间满足一定的关系，可以使用一元二次方程公式来求解。
•斯涅尔定律说明了折射角和入射角之间的关系：n_1sin(θ_1) = n_2sin(θ_2)，其中n_1和n_2分别是两个介质的折射率。
总结•一元二次方程公式在传播问题中有着广泛的应用，能够帮助我们分析和解决与传播相关的各种问题。
•通过理解和应用一元二次方程公式，我们可以更好地理解和解释传播现象，并能够进行更准确的预测和计算。
4. 传感器信号的强度与距离的关系•在无线传感器网络或其他传感器应用中，传感器的信号强度通常会随着距离的增加而减弱。
•可以使用一元二次方程来描述传感器信号的强度与距离之间的关系。
•假设传感器的信号强度S0与距离x之间满足关系S = S0 / (x^2)，其中S是距离为x时的信号强度。
实际问题与一元二次方程题型知识点归纳总结
实际问题与一元二次方程题型知识点归纳总结典型题型归纳1、传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数例、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？2、平均增长率问题：M=a(1±x)n， n为增长或降低次数 ,M为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率例1、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
练习：1、恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.2、从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数？3、商品销售问题例1、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？练习：1、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。
当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。
该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。
经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。
综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。
一元二次方程传染问题公式
一元二次方程传染问题公式
嘿呀，一元二次方程传染问题公式啊，其实就是一个很有意思的工具呢！比如说，如果有一个传染病，最初只有一个人感染了，然后每天会以固定的比例传染给其他人，那我们就可以用一元二次方程来模拟这个传播过程啦！
公式大概就是这样的哦：y = a(1 + r)^x，在这个公式里呀，y 就表示
最终感染的人数，a 就是最初感染的人数，r 是每天传染的比例，x 呢就是
经过的天数。
举个例子吧，假如最初有5 个人感染了，每天传染的比例是，经过 10 天，那感染的人数不就是 y = 5(1 + )^10 吗！哎呀，你想想，这
多神奇呀，就这么一个小小的公式，就能把传染病的传播情况给大致算出来呢！这就好像是我们拿着一个神奇的望远镜，能看到传染病是怎么一点点蔓延开来的呢！
在现实生活中，这个公式可是很有帮助的呢！它能让我们更好地了解传染病的传播规律，从而采取更有效的措施来防控呀！可不是嘛，这多重要呀！所以呀，一元二次方程传染问题公式可真是个了不起的工具呢！。
一元二次方程实际问题传染公式
一元二次方程实际问题传染公式引言一元二次方程是数学中的重要概念之一，广泛运用于各个领域。
本文将介绍一种特殊的一元二次方程，即"实际问题传染公式"，它在处理与传染病相关的实际问题时具有重要的应用价值。
首先我们将详细介绍一元二次方程的基本概念和公式，然后解释实际问题传染公式的具体应用，最后通过实际案例加深对该公式的理解。
一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是形如$a x^2+bx+c=0$的方程，其中$a\ne q0$。
其中$a,b,c$是已知常数，$x$是未知数。
在解一元二次方程时，我们通常使用求根公式：$$x=\f ra c{-b\p m\sqr t{b^2-4ac}}{2a}$$二、实际问题传染公式的概述实际问题传染公式是一种基于一元二次方程的推导而来的公式，用于解决与传染病传播相关的实际问题。
该公式可用于计算传染病在不同时间和空间条件下的传播速率、传播范围和距离等重要指标，对于公共卫生和疫情预测具有重要作用。
三、实际问题传染公式的推导实际问题传染公式的推导基于一元二次方程解的含义，在考虑传染病传播时，我们通常需要将传染速率、感染危险性等因素纳入考虑。
假设有一个传染病在某个地区传播，设传染速率为$r$，感染危险性为$p$，传染范围为$x$。
根据传染速率和传染范围的定义，我们可以得到以下两个方程：$$r x=p$$$$r(x+1)=p$$根据一元二次方程的求根公式，我们可以得到：$$x=\f ra c{-r+\sq rt{r^2+4rp}}{2r}$$利用该公式，我们可以推导出实际问题传染公式的表达式。
四、实际问题传染公式的应用实际问题传染公式可以广泛应用于传染病的疫情预测和公共卫生管理等领域。
以下是一些具体的应用案例：1.疫情传播速率计算假设某地区的传染病已知感染危险性为$p=0.05$，传染速率为$r=0.02$。
代入实际问题传染公式中，可以计算出传染病在该地区的传播速率为：$$x=\f ra c{-0.02+\sq rt{0.02^2+4\ti me s0.02\tim e s0.05}}{2\ti mes0.02}$$通过计算，可以得到传染病在该地区的传播速率近似为0.354。
传播问题与一元二次方程
第1课时 传播问题与一元程
活动2
教材导学
传播与裂变问题 阅读教材探究 1 后填空： 设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人． 开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了 (x＋1) 个人患了流感； x ________ 个人，用代数式表示，第一轮后共有 ________ 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了 x 个人，用代数式表示， [1＋x＋x(1＋x)] 个人患了流感． 第二轮后共有 ____________________ 1＋x＋x(1＋x)＝121 ． 列方程，得 ____________________ －12 不合题意，舍去)． 10 ，x2＝________( 解方程，得 x1＝ ________ 10 个人． 答：平均一个人传染了 ________ 再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？
［答案］ 121＋121×10＝1331(个)， 答：三轮后有1331个人患流感．
第1课时 变化率问题与一元二次方程
互 动 探 究
探究问题一 传播与裂变问题
例1 ［教材探究1变式题］ 某种电脑病毒传播速度非常
快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被 感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染 几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电 脑会不会超过700台？
第1课时 变化率问题与一元二次方程
［归纳总结］按这样的感染速度， n 轮后有多少 台电脑被感染？ 第一轮：(1＋x)台； 第二轮： (1＋ x)2 台； 第三轮：(1＋x)2＋(1＋ x)2x＝ (1＋ x)3 台． 依此规律： 第 n 轮：(1＋x)n 台．
第1课时 变化率问题与一元二次方程
传播问题与一元二次方程公式(二)
传播问题与一元二次方程公式(二)传播问题与一元二次方程公式一元二次方程公式的表达式•一元二次方程的一般表达式：ax2+bx+c=0•一元二次方程的解法：–通过求根公式：x=−b±√b2−4ac2a–通过配方法变形等方式求解传播问题与一元二次方程公式的应用在一些传播领域，一元二次方程公式常常被用来描述和解决一些问题，下面是一些常见的应用例子：1. 音频传播的距离计算假设某个音频源以恒定的速度向四周扩散，我们希望计算在不同时间下离音源一定距离的人听到声音所经过的时间。
根据声音在空气中传播的速度，我们可以得到下面的一元二次方程：vt−√(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=0其中： - v表示声音的传播速度 - (x0,y0,z0)表示音源的坐标- (x,y,z)表示听者的坐标 - t表示声音传播的时间通过求解上述方程，我们可以计算出在不同的空间距离中听到声音所需要的时间。
2. 病毒传播的蔓延模型在流行病学研究中，经常使用病毒传播的蔓延模型来预测和控制疾病的传播。
其中，一元二次方程可以被用来表示病毒的传播规律。
例如：P(t)=a1+be−ct其中， - P(t)表示时间为t时的患病人数 - a表示初始患病人数 - b和c是模型的参数通过求解上述方程，可以预测疾病在不同时间点的扩散情况，有助于采取有效的防控措施。
3. 社交媒体传播的用户增长模型在社交媒体的发展中，用户增长模型被广泛应用。
一元二次方程可以用来描述社交媒体平台上用户的增长趋势。
例如：U(t)=a+bt+ct2其中， - U(t)表示时间为t时的用户数 - a表示初始用户数 - b和c是模型的参数通过求解上述方程，可以预测社交媒体平台在不同时间点的用户增长情况，有助于制定营销策略和改进用户体验。
结论一元二次方程公式在传播问题中有着广泛的应用，帮助我们理解和解决各种与传播相关的问题。
无论是音频传播的距离计算、病毒传播的蔓延模型还是社交媒体传播的用户增长模型，一元二次方程公式都为我们提供了有效的工具和方法。
初中数学九年级上册《21.3 第1课时 传播问题与一元二次方程1》教案
21．3实际问题与一元二次方程第1课时传播问题与一元二次方程1．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得的结果是否合理．2．联系实际，让学生进一步经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解应用题的步骤和关键．一、情境导入某细菌利用二分裂方式繁殖，每次一个分裂成两个，那么五次繁殖后共有多少个细菌呢？二、合作探究探究点：传播问题与一元二次方程【类型一】疾病传染问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意可知，在第一轮，有x个人被传染，此时，共有(1＋x)人患了流感；到了第二轮，患流感的(1＋x)人作为“传染源”，每个人又传染给了x个人，这样，在第二轮中新增加的患了流感的人有x(1＋x)人，根据等量关系可列一元二次方程解答．解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝64，解之，得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．(2)7×64＝448(人)．答：又将有448人被传染．方法总结：建立数学模型，利用一元二次方程来解决实际问题．读懂题意，正确的列出方程是解题的关键．【类型二】分裂增长问题月季生长速度很快，开花鲜艳诱人，且枝繁叶茂．现有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73.求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得：1＋x＋x2＝73，解得：x1＝8，x2＝－9(舍去)．答：每个支干长出8个小分支．三、板书设计教学过程中，强调利用一元二次方程解应用题的步骤和关键．特别是解有关的传播问题时，一定要明确每一轮传染源的基数.数学选择题解题技巧1、排除法。
《用一元二次方程解决“传播问题”》教学设计北京市中关村中学 杨爱青
《用一元二次方程解决“传播问题”》教学设计北京市中关村中学杨爱青一、内容和内容解析1．内容用一元二次方程解决“传播问题”．2．内容解析许多现实问题的数量关系都可以抽象为一元二次方程，与前面所学的方程比较，一元二次方程有更广泛的应用，是初中学生体会和理解数学与外部世界联系的重要载体．探究1以流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的问题．这类问题在现实世界中有许多原型，例如细胞分裂、信息传播、传染病扩散等．探究1讨论的是两轮的传播，它可以用一元二次方程作为数学模型，相比前面出现的实际问题，它在分析数量关系方面更复杂些，问题情境与实际情况也更接近．二、目标和目标解析1．教学目标（1）通过解决“传播问题”，体验建立方程模型解决问题的一般过程；（2）体会一元二次方程的数学模型作用，增强应用意识和应用能力．2．目标解析（1）理解“传播问题”的问题背景，能找出可以作为列方程依据的主要等量关系，并根据它列出一元二次方程，正确求解所列方程，能检验方程的解是否符合实际意义，得到合乎实际的结果；（2）认识到许多现实问题的数量关系都可以抽象为一元二次方程，通过解“传播问题”的经历，积累问题背景知识，并会把与“传播问题”类似的实际意义问题数学化、方程化．三、教学问题诊断分析本节课是在由实际问题列出一元二次方程，研究其解法的基础上，进一步以“探究”的形式更深入地讨论如何用一元二次方程解决“传播问题”．由于“传播问题”的背景和表达都比较贴近实际，综合性较强，学生缺乏对问题系统、全面的认识，会出现各种认识和理解上的错误，所以在探究过程中正确找到数量关系，建立一元二次方程是主要难点．为此，本节课实施以下三个步骤：（1）由简单问题入手，让学生独立思考然后解答问题，唤起学生对问题的原有认知；（2）针对学生中出现的不同答案（有错有对）再次思考、讨论，形成对问题的初步认识；（3）教师在学生认识的基础上引导学生数学化地解决问题，使学生进一步加深对问题的理解，并独立解决相关问题．四、教学过程设计1．问题引入同学们听说过“一传十，十传百”这句话吗，它出自哪里，本意是什么？“一传十，十传百”语出宋陶谷《清异录·丧葬义疾》：“一传十，十传百，展转无穷，故号义疾．”意思是说，“一个人传染给十个人，十个人传染给一百个人，辗转传染，越传染越多，没有休止，所以这种病叫传染病”．后来人们活用此语，指“言语消息辗转相传，越传越广”．2．对问题的初步认识问题1如果把“一传十”称为第一轮传染，那么两轮之后总共有多少人被传染？师生活动：这里，让学生独立思考，调动学生对“传播问题”的原有认知，通过计算得到答案（121人），也有可能出现错误答案（111人）．【设计意图】设置这个简单的算术问题，是想了解学生对“传播问题”了解多少，程度如何，会出现哪些问题．问题2你是怎么得到答案的？师生活动：这里给学生充分表达、展示的机会，引导学生自我反思，借鉴其他同学的观点，再表达，以澄清问题，修正错误，明确正确答案．【设计意图】设置这个问题，是想针对问题1中学生出现的各种答案，通过讨论交流，引导学生自我反思，然后再交流，达到加深对问题理解的目的．3．对问题的深入探究给出课本第19页的探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？问题3若设每轮传染中平均一个人传染了个人，第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人又传染了人，第二轮后共有人患了流感（用含的代数式表示）．师生活动：教师提出问题，学生思考、回答．【设计意图】通过回答问题，进一步明确“传播问题”的基本数量关系，同时考查学生用代数式表示未知量的能力．问题4你能得到探究1的答案吗？如何得到的？师生活动：学生依据已知条件列方程，解方程，检验方程的解是否符合实际意义，进而得到探究1的答案．教师巡视，及时发现学生解答中的问题，适时引导．【设计意图】让学生经历建模解题的完整过程．问题5如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？师生活动学生独立思考，列出算式，得到答案人．【设计意图】把“传播问题”推广到两轮以上，其基本数量关系不变．通过这个问题的解决，进一步加深学生对“传播问题”的基本数量关系的认识．4．小结问题6通过这节课，你对类似的“传播问题”中的数量关系有什么新的认识？师生活动：请学生回顾“传播问题”的探究过程，并回答问题：若设每轮传染中平均一个人传染了个人，第一轮的传染源有人．第一轮有人被传染，共有人患流感；第二轮传染中，这些人又传染了人，第二轮后共有人患了流感；第三轮传染中，这些人又传染了人，第三轮后共有人患了流感；……第n轮后共有人患了流感．【设计意图】设置这个问题，是想在得到探究1的正确解答后，更进一步，引导学生进行题后反思，使学生加深对“传播问题”的认识，感受与“增长率”相关的数学模型中的数量关系．5．巩固应用利用我们在“探究1”中学会的方法，探究下面的问题：某种传染病，传播速度极快，通常情况下，每天一个人会传染给若干人．（1）现有一人患病，开始两天共有人患病，求一人传染给几个人？（2）两天后人们有所察觉，这样平均一人一天以少传染人的速度递减，求再经过两天后，共有几人患病？师生活动：教师提出问题，学生思考、回答．选学生展示解答过程，教师点评．【设计意图】在完成“探究1”之后，通过类似问题让学生刚刚获取的经验得到巩固和深化，进一步熟悉解决问题的方法和过程，从而提高分析问题和解决问题的能力．附：解题过程（1）设每天一人传染了人．列方程，得．解方程，得（不符合题意，舍去）．答：每天一人传染了14人．（2）．答：共有人患病．6．布置作业教科书习题21.3第4，6题．五、目标检测设计甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？【设计意图】考查学生对“传播问题”中的基本数量关系的掌握情况及利用一元二次方程解决综合性问题的能力．。
实际问题与一元二次方程——传播问题学情分析
传播问题与一元二次方程学情分析一、教学目标(1).通过学生自主探究,会根据传播问题中的数量关系列一元二次方程并求解,熟悉解题的具体步骤。
(2).通过实际问题的解答,让学生认识到对方程的解必须要进行检验,方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准。
二、学情分析(1).通过列一元二次方程解决实际问题,培养学生的“模型思想”和对数学的“应用意识”。
(2).传播问题中要使学生弄清每一轮的传播源(即每一轮的感染者也是下一轮的传播者),三、重点难点(1).重点:利用一元二次方程解决传播问题(2).难点:如何理解传播问题的传播过程,找到传播问题中的数量关系。
四、教学策略在本课的学习中，应重视相关内容与实际的联系，加强对一元二次方程是解决现实问题的一种数学模型的认识。
分析和解决的关键是找出问题中的相关数量之间的相等关系，并把这样的关系“翻译”为一元二次方程。
五、教学环境和资源准备1、教学环境：多媒体教室2、资源准备：多媒体课件。
六、教学过程一：创设情境、导入新课问题：谚语“一传十、十传百、百传千千万”的意思是什么？现在新冠病毒的传播速度怎么样？作为中学生，我们能做些什么？学生自主思考后，小组内讨论交流，形成思维上的模型．问题：若A同学患了流感，每轮传染中能传染3个人，且受感染的其他同学每轮也以相同的速度传染其他人，则第一轮传染过后共有多少人患了流感？第二轮传染过后共有多少人患了流感呢？师生共同讨论，运用表格或图形的方式给予表示，从表格中得到问题的答案二：实践探究、交流新知【探究1】问题：若一人患了流感，每轮传染中平均一个人能传染x个人，则第一轮传染过后共有多少人患了流感？第二轮传染过后共有多少人患了流感？按照这样的传染速度，n轮传染过后共有多少人患了流感？师生活动：学生独立思考以上问题，教师给予充分的时间，在得到各自的答案后，小组内交流答案，教师给予点拨和辅导，最后总结出规律．被传染数＝传染源数×传染倍数．【探究2】问题：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？师生活动：教师指导学生进行审题，并进行解答．设每轮传染中平均一个人传染了x个人．教师出示问题：(1)第一轮后被传染的人数有多少？传染的倍数是多少？(2)第二轮传染的传染源数是多少？传染的倍数是多少？教师引导学生注意本问题中第一轮的传染源有1人，第二轮的传染源有(x＋1)人．1＋x＋x(1＋x)＝121，解得x1＝10，x2＝－12(不合题意，舍去)．最后作答．教师总结：解一元二次方程很多时候有两个解，可能其中一个解不符合问题的实际意义需要舍去．传染源数×传染倍数＝被传染数(传染倍数为x)三：开放训练、体现应用1.某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，求每个枝干长出多少小分支？解：设每个枝干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91，即x2＋x－90＝0.解得x1＝9，x2＝－10(舍去)．2.某种细胞细胞分裂时，每个细胞在每轮分裂中分成两个细胞.（1）经过三轮分裂后细胞的个数是8 .（2）n轮分裂后，细胞的个数共是2n四：课堂检测1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，则每轮传染中，平均一个人传染的人数为(C)A．11人B．10人C．9人D．8人2.某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700 台？解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑.则(1 +x) 2 = 81，解得x 1 = 8,x 2 = −10(舍).(1 +8) 3 = 729(台).答：每轮感染中平均一台电脑会感染8 台电脑，若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会超过700 台，达到729 台.五：课堂小结1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答．2．传播问题中的数量关系：一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2。
17.传播问题与一元二次方程(一)
再见
小明
根据示意图，列表如下：
传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数
1
1+x=(1+x)1
1+x+x(1+x)=(1+x)2
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，得
(1+x)2=121
解方程,得
x1意,舍去) .
10 答:平均一个人传染了________ 个人. 注意:一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验.
知识梳理
列一元二次方程解决实际问题
列一元二次方程解决实际问题，就是先把实际问题抽象为数学问题（列 方程），然后通过解决数学问题来解决实际问题。
列一元二次方程解应用题的一般步骤
（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量 以及它们之间的等量关系．
（2）设：是指设元，也就是设未知数．
传播问题与一元二次方程（一）
问题探究
问题：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中
平均一个人传染了几个人? 分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染源记作小明，其传染
示意图如下：
第2轮
第1轮
第1轮后共有（1+x）个人患了流感
1
2 ••• 小明 x
注意：不要 忽视小明的 二次传染
（3）列：就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达 应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的 各个量，就得到含有未知数的等式，即方程． （4）解：就是解方程，求出未知数的值． （5）检验：是指检验方程的解能否保证实际问题有意义． （6）答：就是写出答案．
传播问题与一元二次方程
传播问题与一元二次方程
有一人患了流感,每轮传 染每个人传染10人。
第一轮传染后，有多少人患有流感？
1+10=11
第二轮传染后有多少人患有流感？
11x10 +11
有一人患了流感,经过两轮传染后共 有121人患了流感,每轮传染中平均一 个人传染了几个人? 解1：设第传每一染轮轮后传染1中+x平均第传一二染个轮后人传染1+x了+xx(个1+人x) .
有一个人利用手机发短信，获得信 息的人也按他的发送人数发送该条 短信，经过两轮短信的发送，共有 100人手机上获得同一条信息，则 每பைடு நூலகம்发送短信过程中平均一个人向 多少个人发送短信？
某种电脑病毒传播非常快，如果一台 电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81台电脑被感染。请你用学过的知识 分析，每轮感染中平均一台电脑会感 染几台电脑？
典型练习题
1、一个两位数个位数字比十位数字大1，个位数字与十位数字 对调后所得的两位数比原数大9，求：这个两位数
3、某班同学在圣诞节期间互赠礼物182件，求：这个班级的人 数
4、某校进行乒乓球单循环比赛，共比赛55场，问：共有多少名 同学参加
5、 一名同学进行登山训练，上山速度为2千米/小时，下山速度 为6千米/小时，求：往返一次的平均速度。
1+x+x(1+x)=121 传播问题与一元二次方程 如果按照这个责任速度，再经过5天的传染后，这个地区一个将有多少人患甲流？ 有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有100人手机上获得同一条信息， 则每轮发送短信过程中平均一个人向多少个人发送短信？ 传播问题与一元二次方程 1、一个两位数个位数字比十位数字大1，个位数字与十位数字对调后所得的两位数比原数大9，求：这个两位数 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 3、某班同学在圣诞节期间互赠礼物182件，求：这个班级的人数
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甲型h1n1流感病毒的传染性很强,某 地因1人患了甲型h1n1流感没有及 时隔离治疗，经过两天传染够共有9 人患了甲流，每天传染中平均一个 人传染了几个人？
如果按照这个责任速度，再经过5天 的传染后，这个地区一个将有多少 人患甲流？
有一个人利用手机发短信，获得信 息的人也按他的发送人数发送该条 短信，经过两轮短信的发送，共有 100人手机上获得同一条信息，则 每轮发送短信过程中平均一个人向 多少个人发送短信？
某种电脑病毒传播非常快，如果一台 电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81台电脑被感染。请你用学过的知识 分析，每轮感染中平均一台电脑会感 染几台电脑？
通过这节课的学习:
我学会了…… 使我感触最深的是……
我发现生活中……
我还感到疑惑的是……
有一人患了流感 , 每轮传 染每个人传染10人。
第一轮传染后，有多少人患有流感？
1+10=11
第二轮传染后有多少人患有流感？ 11x10 +11
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
1+x+x(1+x)=121
解方程,得 -12 (不合题意 10 ,舍去) _____, ______ . x1 x2
典型练习题
1、一个两位数个位数字比十位数字大1，个位数字与十位数字 对调后所得的两位数比原数大9，求：这个两位数 3、某班同学在圣诞节期间互赠礼物182件，求：这个班级的人 数 4、某校进行乒乓球单循环比赛，共比赛55场，问：共有多少名 同学参加 5、 一名同学进行登山训练，上山速度为2千米/小时，下山速度 为6千米/小时，求：往返一次的平均速度。
有一人患了流感 , 经过两轮传染后共 有121人患了流感,每轮传染中平均一 个人传染了几个人? 第二轮 1+x+x(1+x) 第一轮 1 传染后 1+x 传染后
10 答:平均一个人传染了________ 个人.
如果按照这样的传染速度, 三轮传染后有多少人患流菌经过两轮繁 殖后，共有256个细菌，每轮繁 殖中平均一个细菌繁殖了多少个 细菌？