高精度计算
高精度
• f(3)=2;
{
• f(4)=3;
f3=f1+f2;
• f(5)=5; • f(6)=8;
F(i)=f(i-2)+f(i-1)
f1=f2; f2=f3; }
printf("%ld\n",f3);
• 一、n数求和（problem.c）
• 【问题描述】
•
有n个数，计算这n个数的和。
• 【输入文件】
• 【问题描述】
• 学习程序我们都要从基础学起，在解决简单的数学问题中学会使用程序，学 会程序的基本的语法和基本的算法。今天我们练习一个简单数学运算——求两 个正整数的和。
• 【输入文件】
•
文件名：sum.in
•
文件中有两个正整数，已知这个数字不超过1000000000000000000。
• 【输出文件】
• 加法运算 • 减法运算 • 乘法运算 • 除法运算
高精度除以单精度 ★高精度除以高精度
高精度运算涉及到的主要操作： • 数据的输入和存储
• 数据的运算
加、减、乘、除运算 加法和乘法的进位 减法的借位和符号确定 除法商和余数的处理
• 数据的输出
加法
A+B problem
• 输入两个整数a和b • 计算a+b的值 • 样例输入： 10 20 • 样例输出： 30
1234567891011+17161514 13121110987654321=????
1237 __+____4__7_6____ ____1__6__10__13___
17 1 3
我们该怎么来表示一个几百位数的数呢？
一般变量表示
×
字符串表示
高精度计算
高精度运算所谓的高精度运算,是指参与运算的数(加数,减数,因子……）范围大大超出了标准数据类型（整型，实型）能表示的范围的运算。
例如，求两个200位的数的和。
这时，就要用到高精度算法了。
在这里，我们先讨论高精度加法。
高精度运算主要解决以下三个问题：一、加数、减数、运算结果的输入和存储运算因子超出了整型、实型能表示的范围，肯定不能直接用一个数的形式来表示。
在Pascal中，能表示多个数的数据类型有两种：数组和字符串。
数组：每个数组元素存储1位（在优化时，这里是一个重点！），有多少位就需要多少个数组元素；用数组表示数的优点：每一位都是数的形式，可以直接加减；运算时非常方便。
用数组表示数的缺点：数组不能直接输入；输入时每两位数之间必须有分隔符，不符合数值的输入习惯；字符串：字符串的最大长度是255，可以表示255位。
用字符串表示数的优点：能直接输入输出，输入时，每两位数之间不必分隔符，符合数值的输入习惯；用字符串表示数的缺点：字符串中的每一位是一个字符，不能直接进行运算，必须先将它转化为数值再进行运算；运算时非常不方便；综合以上所述，对上面两种数据结构取长补短：用字符串读入数据，用数组存储数据：var s1,s2:string;a,b,c:array [1..260] of integer;i,l,k1,k2:integer;beginwrite('input s1:');readln(s1);write('input s2:');readln(s2);{————读入两个数s1，s2，都是字符串类型}l:=length(s1);{求出s1的长度，也即s1的位数；有关字符串的知识。
}k1:=260;for i:=l downto 1 dobegina[k1]:=ord(s1[i])-48;{将字符转成数值}k1:=k1-1;end;k1:=k1+1;{————以上将s1中的字符一位一位地转成数值并存在数组a中；低位在后（从第260位开始），高位在前（每存完一位，k1减1），完后，k1指向最高位} 对s2的转化过程和上面一模一样。
高精度数值计算算法与实现
高精度数值计算算法与实现在现代科学和工程应用中，对于大规模的数据计算和准确性要求较高的问题，传统的浮点数计算方法常常难以满足需求。
此时，高精度数值计算算法的应用就显得尤为重要。
本文将介绍高精度数值计算算法的原理、应用和实现。
一、高精度数值计算算法概述高精度数值计算算法是一种能够处理更大精度数字运算的方法。
传统的浮点数计算方法在计算过程中，会引入舍入误差，导致结果不够准确。
而高精度数值计算算法通过使用大整数或者分数表示数值，以及精确的计算规则，可以在一定程度上解决浮点数计算误差的问题。
二、高精度数值计算算法的原理1. 大整数算法大整数算法是高精度数值计算算法中常用的一种方法。
它通过使用数组或者链表等数据结构来存储大整数，并且设计了相应的加、减、乘、除等运算规则。
在大整数算法中，每一位数字都被分别存储，可以进行高精度的计算操作。
2. 分数算法分数算法是另一种常用的高精度数值计算算法。
它通过使用分子和分母的形式来表示数值，并且利用相应的运算规则来进行精确计算。
在分数算法中，数值的精度可以通过增加分子和分母的位数来提高，从而得到更加准确的计算结果。
三、高精度数值计算算法的应用高精度数值计算算法在科学和工程领域有着广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景。
1. 金融领域在金融领域，精确计算利息、股票价格和风险评估等问题非常重要。
高精度数值计算算法可以提高计算的准确性，保证金融决策的可靠性。
2. 数值模拟在数值模拟中，精确计算涉及到对于真实物理过程的重现。
高精度数值计算算法可以减小舍入误差，提高模拟的准确性，从而得到更可靠的模拟结果。
3. 加密算法在密码学和网络安全领域，高精度数值计算算法常常用于加密和解密操作。
通过使用高精度计算，可以增加密码破解的难度，提高加密算法的安全性。
四、高精度数值计算算法的实现高精度数值计算算法的实现可以通过各种编程语言和库来实现。
以下是几种常见的实现方式。
1. 使用大整数库大多数编程语言中，都提供了大整数库用于高精度数值计算。
高精度计算
数字一个一个输入，存入数组
一个正整数，把它的数字从最高位开始，一个 一个输入，直至最后一个数字，再输入一个任 意负数，表示输入结束。 每输入一个数字，就存入数组的一个元素之中。 具体操作如下：
1) 2)
3)
输入一个数字，如为负数，就结束输入； 判断此数字是否合法，合法就存入数组，不合法就显 示出错的停息，结束； 重复(1)、(2)操作。
四种基本的高精度计算
高精度加法 高精度减法 高精度乘法 高精度除法
高精度加法
高精度加法运算的算法，需要从输入、处 理和输出这三部分来分析
数据的输入与存储，估计结果的位数， 定义存储数组的大小
1)
设参与加法运算的两个数串为 a_str 和 b_str：
输入 a_str 与 b_str，计算两者的长度 La = LEN(a_str) : Lb = LEN(b_str) 比较 La 与 Lb 的大小，如 Lb 大，要交换 a_str 和b_str (同时交换La和Lb)，然后定义数组： DIM as integer a(La+1), b(La+1) 两数相加，其和存放在 a() 数组中，不再开辟新的 存储单元；
一位一位取出被除数； 在除法运算中，每次都要把上一次的余数*10， 再加上取出的本位被除数 ( 与 例9 不同 )， 临时组成被除数。
具体的算法是： Y = Y * 10 + A(K) ‘A(K)：被除数 D(K) = Y \ B ‘D(K)：商 Y = Y MOD B ‘ 余数
循环结束时，如除不尽，余数保存在 y 中。 第一次做除法运算前，先设 Y = 0。
高精度计算的主要步骤：
第13讲 高精度计算
#include <stdio.h> //判断number在basis进制下是否位回文数，如果是，返回true bool IsPalindrom( int number, int basis ) { //number最大为50000，转换成2进制不超过16位 int a[16]; //将十进制数number转换成basis进制数得到的每一位 int i = 0, j = 0, k; //循环变量 int Len; //转换到basis进制后的位数 while( number ) { a[i++] = number % basis; number /= basis; } Len = i; k = Len/2; while( j < k ) //判断转换后的数是否为回文数 { if( a[j] != a[Len-1-j] ) return false; j++; } return true; } 12
16
输入描述：
输入文件中的每一行为两个无符号整数，少于10位。最后一行 位两个0，表示输入结束。 第二种输入方 式!!!!! 输出描述： 对输入文件(最后一行除外)每一行的两个加数，计算它们进行 加法运算时进位的次数并输出。具体输出格式详见样例输出。
样例输入： 123 456 555 555 123 594 00
15
例6.2 初等算术(Primary Arithmetic) 题目来源：University of Waterloo Local Contest 2000.09.23 题号：ZOJ1874，POJ2562
题目描述： 小学生在学多位数的加法时，是将两个数右对齐，然后从右往 左一位一位地加。多位数的加法经常会有进位。如果对齐的位 相加结果大于或等于十就给左边一位进一。对小学生来说，进 位的判断是比较难的。你的任务是：给定两个加数，统计进位 的次数，从而帮助老师评估加法的难度。
高精度算法
高精度算法问题的引入由于计算机运算是有模运算,数据范围的表示有一定限制,如整型int(C++中int 与long相同)表达范围是(-2^31~2^31-1),unsigned long(无符号整数)是(0~2^32-1),都约为几十亿.如果采用实数型,则能保存最大的double只能提供15~16位的有效数字,即只能精确表达数百万亿的数。
因此,在计算位数超过十几位的数时,不能采用现有类型,只能自己编程计算。
目前在青少年信息学奥林匹克竞赛中所涉及到的高精度计算包括加(addition)、减(subtract)、乘(multiply)、除(divide)四种基本运算。
此外，在C++语言中，int类型（4个字节/32位计算机）元素存储十进制的一位数字非常浪费空间，并且运算量也非常大，因此常将程序代码优化为万进制，即数组的每个元素存储高精数字的四位。
（为什么选择万进制，而不选择更大的进制呢？十万进制中的最大值99999相乘时得到的值是9999800001超过4个字节的存储范围而溢出，从而导致程序计算错误。
）本文以暂时以10进制为例讲述高精度算法一、高精度数字的存储高精度计算通用方法:高精度计算时一般用一个数组来存储一个数,数组的一个元素对应于数的一位(当然,在以后的学习中为了加快计算速度,也可用数组的一个元素表示数的多位数字,暂时不讲),表示时,由于数计算时可能要进位,因此为了方便,将数由低位到高位依次存在数组下标对应由低到高位置上,另外,我们申请数组大小时,一般考虑了最大的情况,在很多情况下,表示有富余,即高位有很多0,可能造成无效的运算和判断,因此,我们一般将数组的第0个下标对应位置来存储该数的位数.如数:3485(三千四百八十五)，表达在数组a[10]上情况是:下标0 1 2 3 4 5 6 7 8 9内容 4 5 8 4 3 0 0 0 0 0说明：位数个位十位百位千位例：一个不超过200位的非负整数，可能有多余的前导0。
高精度数值计算方法的优化与应用
高精度数值计算方法的优化与应用第一章前言高精度数值计算方法是一种针对数值运算精度不够的解决方案，它可以解决数值计算中的精度问题，适合于在科学计算、金融计算、工程计算等领域应用。
本文旨在探讨高精度数值计算方法的优化和应用。
第二章高精度数值计算方法高精度数值计算方法，是指对计算机中的浮点数进行扩展，提高其计算精度的方法。
一般来说，高精度数值计算可归为两种方法，一种是基于多精度算法，一种是基于浮点数精度的扩展。
多精度算法是将数据的位数扩展至数百位或数千位，以保证运算精度，同时也增加了运算的复杂度和时间。
而浮点数精度的扩展则是通过增加尾数位数或扩充指数的方法，直接提高了精度。
第三章高精度数值计算方法的优化在实践应用中，高精度数值计算方法面临着诸多困难和挑战。
针对这些问题，可以进行一些优化。
以下是一些常见的优化方法：1. 采用高效的数据结构：在计算过程中，数据的存储结构非常重要，可以使用链表、数组或向量来存储。
其中，向量相对于链表或数组的存储方式，时间效率更高。
2. 使用快速数论变换算法（FFT）：FFT算法是多项式乘法的高效实现，使用FFT算法可以大大提高精度计算的效率。
3. 使用预处理技术：高精度数值计算涉及到很多重复计算，可以采用预处理技术，将计算结果存储下来，用于后续的计算。
4. 算法并行化：高精度数值计算的计算量较大，可以通过并行化加快计算速度。
5. 有效的指令优化：对数值计算的汇编代码进行优化，可以提高计算效率。
6. 采用合适的算法：不同的算法在不同的情况下，会有不同的效率表现。
因此，在实际应用时，要根据具体情况采用合适的算法。
第四章高精度数值计算方法的应用高精度数值计算方法广泛应用于科学计算、金融计算、工程计算等领域。
以下是一些典型的应用领域：1. 科学计算：在科学计算中，需要对粒子、分子、波动等进行计算。
由于这些计算需要高精度，因此，高精度数值计算方法在科学计算中应用广泛。
2. 金融计算：在金融领域中，需要计算一些复杂的金融衍生品的价格。
高精度计算方法的选择与应用
高精度计算方法的选择与应用
以下是选择合适的精度控制方法的一些示例：
1.在金融计算中，通常需要高精度计算来确保准确的数值结果。
在这种情况
下，可以选择增加小数点后的位数，或者使用专门的金融计算软件或库来提供更高的精度。
2.在科学实验中，有时候需要测量和计算非常小的数值，例如分子或原子的
质量。
在这种情况下，可以选择增加小数点后的位数，或者使用更精确的测量仪器和设备来提高精度。
3.在计算机图形学中，需要进行大量的浮点运算。
为了提高计算效率，可以
选择降低精度，例如使用单精度浮点数代替双精度浮点数。
这样可以在保证一定精度的前提下，减少计算时间和内存消耗。
4.在工程设计中，需要进行大量的数值计算和模拟。
为了确保结果的可靠性
和准确性，可以选择使用高精度的计算方法和软件，或者进行更多的验证和测试。
总之，选择合适的精度控制方法需要根据实际需求和情况来决定。
在处理需要高精度计算的问题时，应该综合考虑精度、计算效率、资源消耗和问题特性等因素，选择最合适的方法来控制精度。
数值计算方法的高精度和高效率实现
数值计算方法的高精度和高效率实现数值计算方法是在计算机中使用有限精度表示实数时所面临的困难的一个研究领域。
由于计算机中使用二进制表示实数会引起舍入误差，因此在一些应用中需要对计算结果进行高精度的计算。
同时，高精度计算也会增加计算量，因此如何既实现高精度又具有高效率是一个挑战。
高精度计算方法的实现可以从以下几个方面考虑：1.数据结构选择：在实现高精度计算方法时，需要选择合适的数据结构来表示实数。
一种常用的数据结构是大整数（例如字符串），它可以表示任意位数的整数。
另一种常用的数据结构是有理数，它由一个分子和一个分母组成，可以精确表示分数。
对于浮点数，可以使用自定义的浮点数表示方法，包括分数表示法和尾数表示法等。
2.算法选择：高精度计算方法的实现需要选择合适的算法来进行计算。
在加减乘除运算中，可以采用传统的竖式计算方法，并使用进位和借位来处理进位和借位的情况。
在开方和求幂等复杂运算中，可以采用二分法或牛顿迭代法等高效的算法，以减少计算量。
此外，还可以使用FFT（快速傅里叶变换）等算法来加速一些特殊的运算。
3.舍入误差控制：在高精度计算中，舍入误差是不可避免的。
为了控制舍入误差，可以使用附加位的方法来增加计算精度，并在计算结果中进行舍入。
另外，可以使用数值分析中的数值稳定性分析来估计计算中的误差，并采取相应的措施来减小误差。
高效率实现高精度计算方法的关键在于优化算法和数据结构的选择，并合理利用现代计算机的硬件特性。
以下是一些提高高效性的方法：1.并行计算：可以利用计算机多核处理器的并行计算能力，将计算任务划分为多个子任务，并在多个处理器上并行执行，从而提高计算效率。
2.缓存优化：在数据结构的设计中，可以利用局部性原理来减少数据访问的开销。
通过合理设计数据结构，将常用的数据存储在高速缓存中，并减少对主存的访问次数，从而提高计算效率。
3.精简算法：对于一些复杂的算法，可以通过分析其特点，对算法进行精简和优化，以减少计算量和时间复杂度，从而提高计算效率。
理解高精度计算的重要性
理解高精度计算的重要性随着科技的不断进步和应用领域的拓展，高精度计算在现代社会中变得越来越重要。
无论是在科学研究领域、工程设计中还是商业决策中，高精度计算都扮演着举足轻重的角色。
本文将从多个角度来探讨高精度计算的重要性。
第一部分：高精度计算在科学研究领域的重要性高精度计算在科学研究领域中扮演着至关重要的角色。
科学家们常常需要进行复杂的数值模拟、数据分析和建模等工作，而这些工作往往需要高度精确的计算结果。
例如，在天文学领域，科学家们需要通过计算来推导宇宙的演化过程、预测行星的轨道以及潮汐力的作用等。
而这些计算结果的精确性将直接影响到科学理论的验证和发展。
另外，在物理学、化学、生物学等领域，高精度计算也扮演着不可或缺的角色。
科学家们通过计算可以模拟分子的运动、反应动力学以及材料的性质等，从而帮助他们揭示物质世界的奥秘。
而高精度计算能够提供准确的数值结果，为科学家们的研究提供可靠的依据和支持。
第二部分：高精度计算在工程设计中的重要性高精度计算在工程设计中也具有不可或缺的重要性。
在航空航天、汽车制造、建筑设计等领域，高精度计算可以帮助工程师们预测和模拟各种工程问题，确保设计的安全性和可靠性。
例如，在飞机设计中，工程师们需要进行气动性能的分析、结构强度的计算以及燃料效率的评估等。
这些都需要高精度的计算来提供准确的结果，以确保飞机在飞行过程中的安全和性能。
此外，在电路设计、通信系统规划、水利工程设计等领域，高精度计算也是不可或缺的工具。
通过计算，工程师们可以模拟电路的性能、优化信号传输的质量以及预测水利工程的水流情况等。
高精度计算不仅可以减少工程设计的试错成本，还可以提高设计的效率和质量。
第三部分：高精度计算在商业决策中的重要性在商业决策中，高精度计算也扮演着重要角色。
企业在制定战略、进行市场分析、进行风险评估等决策过程中，常常需要进行精确的计算。
例如，在金融投资领域，投资者需要通过计算来评估投资风险、计算收益率以及优化投资组合等。
高精度计算方法研究及其应用
高精度计算方法研究及其应用随着科技的不断进步，计算机对精度的要求也越来越高。
特别是在一些科学计算和工程计算领域，精度的要求更加苛刻。
高精度计算方法的研究就应运而生。
本文将探讨高精度计算方法的研究及其应用。
一、高精度计算方法的概念高精度计算方法是指在计算机上进行运算时，能够保证计算结果的精度高于普通计算机运算的方法。
通常情况下，计算机进行运算的精度受到计算机硬件位数的限制，也就是说，计算机所能够处理的数字有一定的精度范围。
而高精度计算方法则通过一些算法和编程技巧，提高了计算机进行运算时的精度。
二、高精度计算方法的分类1.多精度算法多精度算法是比较传统的高精度计算方法，它主要是通过在计算机上模拟一台高精度计算器的方式来进行计算，从而提高精度。
多精度算法的主要特点是使用了高位数的数据类型，这使得多精度算法所能够处理的数字范围较大，同时精度也较高。
2.区间算法区间算法是一种利用区间表示法来计算高精度数值的方法。
具体来说，区间算法将一个数值表示为一个区间，其中区间的左端点和右端点都是高精度数值。
因为区间算法的计算过程中会出现一定的误差，所以它能够保证的是计算结果的范围，而不能保证计算结果的精确值。
不过，将多个区间合并起来可以获得更加精确的结果。
3.迭代算法迭代算法是指将一个问题不断地迭代求解，从而逼近精确的解的方法。
在高精度计算中，通常会使用迭代算法来求解方程和解决数值积分问题。
迭代算法的主要特点是，每一次迭代都会逼近精确的解，所以可以保证计算结果的精度。
三、高精度计算方法的应用1.科学计算高精度计算方法在科学计算中的应用非常广泛。
例如，在天文学中，需要进行高精度的星表计算和轨道计算；在数学中，需要计算一些较为复杂的数值积分和微分方程；在物理中，需要对复杂的物理模型进行数值模拟和计算等等。
高精度计算方法可以为这些科学计算提供必要的支持，确保计算结果的精度和可靠性。
2.工程计算在工程计算中，高精度计算方法也有着重要的应用。
高精度计算
输出时注意跳过高位时多余的0 输出时注意跳过高位时多余的0 数组需要稍微大一些，避免运算时溢出
程序实现
交给大家解决！谢谢老师们！
高精度乘法: 高精度乘法: 高精度乘单精度大体算法 单精度大体算法: 高精度乘单精度大体算法: 由低位到高位逐位乘以单精度数b 由低位到高位逐位乘以单精度数b，把 a[i]*b的除 的余数作为更新 的值 a[i]*b的除10的余数作为更新a[i]的值， 的除10的余数作为更新a[i]的值， 而对10取整赋值给 作为进位。 取整赋值给g 而对10取整赋值给g作为进位。
三、高精度要处理的几个问题： 高精度要处理的几个问题： ）、数据的读入和存贮方法 数据的读入和存贮方法。 （1）、数据的读入和存贮方法。 如果所处理的数据小于或等于255位 如果所处理的数据小于或等于255位，可直接使用字符串 读入，利用字符串操作把它们存贮在数组中。 读入，利用字符串操作把它们存贮在数组中。如果超过 255位，可使用字符数组逐位读入并存贮。 255位 可使用字符数组逐位读入并存贮。 ）、计算结果位数的确定 （2）、计算结果位数的确定。 ）、计算结果位数的确定。 位数的确定： 位数的确定：利用对数函数 L=trunc(log(x)/log(10))+1来确定位数。定义 A（L） 来确定位数。 来确定位数 （ ） （3）进位和借位处理。 ）进位和借位处理。 加法进位： 加法进位：a[i]:=a[i]+b[i],若a[i]>=10则a[i]:=a[i]若 则 10;a[i+1]:=a[i+1]+1 减法借位： 减法借位：若a[i]<b[i]则a[i+1]:=a[i+1]则 1;a[i]:=a[i+10];a[i]:=a[i]-b[i] 乘法进位： 乘法进位：y:=a[i]*b[i]+c;c:=y div 10;a[i]:=y-c*10
高精度计算c++加法
高精度计算c++加法在计算机科学中，高精度计算是经常需要用到的一种技术，尤其是在处理大数运算时。
C语言是一种常用的编程语言，它提供了许多内置函数来处理整数，包括高精度计算。
在C语言中，可以使用长整型数据类型来进行高精度计算。
本文将介绍如何使用C语言进行高精度加法运算。
一、高精度加法原理高精度加法运算与普通的加法运算有一些不同。
在普通加法中，我们需要考虑进位的问题，而在高精度加法中，我们需要考虑的是位的数量。
也就是说，我们需要将两个大数分别表示成一位一位的形式，然后逐位相加，如果有进位，则要向上一位加。
最终得到的结果就是两个大数和的最高位以及剩下的位。
二、实现高精度加法下面是一个简单的C语言程序，用于实现高精度加法：```c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define MAX_DIGITS 1000 // 定义最大位数// 高精度加法函数long long add(long long a, long long b) {long long carry = 0; // 进位初始化为0long long result[MAX_DIGITS+1]; // 结果数组，长度为最大位数+1int i, k; // i表示当前处理的位数，k表示当前位的值for (i = 0; i < MAX_DIGITS; i++) { // 处理每一位k = (int)a % 10 + (int)b % 10; // 当前位的值result[i] = k + carry; // 加上进位carry = result[i] / 10; // 计算进位result[i+1] += carry * 10; // 将进位写入下一个位置}if (carry > 0) { // 如果有进位result[MAX_DIGITS] += carry; // 将最高位的进位写入结果数组的最后一位}// 将结果数组逆序输出即可得到结果for (i = MAX_DIGITS-1; i >= 0; i--) {printf("%lld ", result[i]);}printf("\n");return result[0]; // 返回结果数组的第一个值}int main() {long long a, b, result;printf("Enter two large numbers: \n");scanf("%lld %lld", &a, &b); // 读入两个大数result = add(a, b); // 对两个数进行高精度加法运算printf("Result: %lld\n", result); // 输出结果return 0;}```这个程序中，我们首先定义了一个常量MAX_DIGITS来表示最大位数。
高精度中误差计算公式
高精度中误差计算公式一、高精度中误差的基本概念。
1. 定义。
- 在测量学中，中误差是衡量观测精度的一种数字标准。
它是观测值与真值偏差的平方和观测次数n比值的平方根。
对于高精度测量，中误差的计算更为精确和复杂，需要考虑更多的因素。
二、高精度中误差的计算公式。
1. 等精度观测的中误差计算公式。
- 设对某一未知量X进行了n次等精度观测，观测值分别为l_1, l_2,·s, l_n，其算术平均值为¯x=(l_1 + l_2+·s+ l_n)/(n)。
- 观测值l_i的真误差Δ_i = l_i - X（i = 1,2,·s,n），中误差m=±√(frac{[ΔΔ]){n}}，其中[ΔΔ]=Δ_1^2+Δ_2^2+·s+Δ_n^2。
2. 由改正数计算中误差（白塞尔公式）- 在实际测量中，未知量的真值往往是不知道的，此时可以用观测值的改正数来计算中误差。
设观测值l_i的改正数为v_i，v_i=¯x-l_i。
- 中误差m = ±√(frac{[vv]){n - 1}}，其中[vv]=v_1^2 + v_2^2+·s+v_n^2。
3. 不同精度观测的中误差（权与中误差的关系）- 对于不同精度的观测值，设观测值L_1, L_2,·s, L_n，其对应的中误差为m_1, m_2,·s, m_n，权为p_1, p_2,·s, p_n。
- 权与中误差的关系为p_i=(μ^2)/(m_i^2)（μ为任意选定的比例常数）。
- 加权平均值¯L=(p_1L_1 + p_2L_2+·s+p_nL_n)/(p_1 + p_2+·s+p_n)，其加权平均值的中误差M=±√(frac{1){[p]}}，其中[p]=p_1 + p_2+·s+p_n。
基础算法 —— 高精度计算
【概述】利用计算机进行数值计算，有时会遇到这样的问题：有些计算要求精度高，希望计算的尾数可达到几十甚至几百位，虽然计算机本身精度足够高，但受硬件限制，往往达不到实际问题所要求的精度，因此我们用程序设计的方法去实现这样的高精度计算。
除 C++ 高精算法之外，还可以选用 Java 大数类来处理高精问题，而且由于 Python 没有数据类型的限制，因此也可用 Python 来解决高精问题。
【要处理的问题】1.数据接收与存储：当数据很长时，可以用字符串方式输入，利用字符串函数和运算操作，将每一位取出存入数组中。
void input(){string s;cin>>s;//读入字符串a[0]=s.length();//用a[0]存储字符串s的位数for(i=1;i<=a[0];i++)//将数串转为数组a，并倒序存储a[i]=s[a[0]-i]-'0';}2.位数的确定：接收时使用字符串，所以它的位数等于字符串的长度。
3.补零问题：当两个操作数长度不一样时，需要进行补零。
void fixed(){string str1,str2;int len1,len2;int i;cin>>str1;//读入字符串1cin>>str2;//读入字符串2len1=str1.length();//求字符串长度1len2=str2.length();//求字符串长度2if(len1<len2)//当字符串1＜字符串2时，对字符串1补零for(i=1;i<=len2-len1;i++)str1="0"+str1;else//当字符串1>字符串2时，对字符串1补零for(i=1;i<=len1-len2;i++)str2="0"+str2;}4.进位、借位处理加法：c[i]=a[i]+b[i];if(c[i]>=10){ c[i]%=10;++c[i+1]; }减法：if(a[i]<b[i]){ --a[i+1];a[i]+=10; }c[i]=a[i]-b[i];乘法：c[i+j-1]=a[i]*b[i]+x+c[i+j-1];x=c[i+j-1]/10;c[i+j-1]%=10;5.商和余数的处理：视被除数、除数的位数情况进行处理【分类】1. 高精度加法点击这里2. 高精度减法点击这里3. 高精度乘法点击这里4. 高精度除法点击这里5. Java 大数类：点击这里【例题】1.入门模版题1. A+B Problem（高精）（洛谷-P1601）(高精加)：点击这里2. 大整数加法（信息学奥赛一本通-T1168）(高精加)：点击这里3. 高精度减法（洛谷-P2142）(高精减)：点击这里4. 大整数减法（信息学奥赛一本通-T1169）(高精减)：点击这里5. A*B Problem（洛谷-P1303）(高精乘)：点击这里6. 高精度乘法（信息学奥赛一本通-T1307）(高精乘)：点击这里7. 大整数乘法（信息学奥赛一本通-T1174）(高精乘)：点击这里8. 求10000以内的阶乘（信息学奥赛一本通-T1172）(高精乘)：点击这里9. 计算2的N次方（信息学奥赛一本通-T1170）(高精乘)：点击这里10. 阶乘和（信息学奥赛一本通-T1173）(高精乘+高精加)：点击这里2.混合题1. B进制星球（洛谷-P1604）(高精度加法+递推)：点击这里2. 回文数（信息学奥赛一本通-T1309）(高精加+条件判断)：点击这里3. 除以13（信息学奥赛一本通-T1175）(高精除低精+预处理)：点击这里4. 高精除（信息学奥赛一本通-T1308）(高精除高精)：点击这里5. 大整数的因子（信息学奥赛一本通-T1171）(高精除分解因数)：点击这里6. 国王游戏（洛谷-P1080）(高精乘+贪心)：点击这里3.Java 与 Python1. 初中的算术（51Nod-1873）(Java)：点击这里2. 一半的一半（51Nod-2382）(Java)：点击这里3. Applese 涂颜色（2019牛客寒假算法基础集训营 Day4-E）(Java+推导)：点击这里4. Resistors in Parallel （Gym-102028E）(Java+推导)：点击这里5. Fibonacci in the Pocket（ZOJ-4108）(Java+斐波那契数列)：点击这里6. Chilly Willy（CF-248B）(Python+暴力)：点击这里7. 处女座的百日理财计划（2019牛客寒假算法基础集训营 Day3-H）(Python+DP)：点击这里。
高精度计算(C版PPT培训课件
C语言数据类型
总结词
C语言有多种数据类型，包括基本数据类型 和派生数据类型。
详细描述
基本数据类型包括整型（int）、字符型 （char）、浮点型（float、double）等。 派生数据类型包括数组、结构体、联合、枚 举等，允许用户自定义数据结构。
C语言运算符
总结词
C语言支持多种运算符，包括算术运算符、关系运算符、逻辑运算符等。
高精度计算(C语言版)培训课 件
目录
• 高精度计算概述 • C语言基础 • 高精度计算在C语言中的实现 • 高精度计算的应用实例 • 高精度计算的性能优化 • 高精度计算的发展趋势和展望
01
高精度计算概述
高精度计算的背景和意义
高精度计算在科学计算、金融、工程 等领域具有广泛的应用，能够解决大 规模数值计算问题，提高计算精度和 可靠性。
04
高精度计算的应用实例
大数分解质因数
总结词
通过高精度计算，能够快速准确地分解大数 的质因数，有助于解决一些数学问题。
详细描述
高精度计算可以处理大整数，利用高精度算 法，可以快速地分解大数的质因数。这对于 密码学、数论等领域的研究具有重要意义， 例如在加密算法、数论检验等方面有广泛应
用。
求解高精度方程
优化
在快速幂算法中，可以通过预计算和缓存部分中间结果来减少重复计算，提高算法效率。
矩阵乘法
01
矩阵乘法
矩阵乘法是一种基本的线性代数 运算，可以通过两个矩阵相乘得 到一个新的矩阵。
02
03
算法步骤
优化
首先将两个矩阵按照对应元素相 乘，然后将得到的值相加得到新 的矩阵的元素。
在矩阵乘法中，可以采用分块处 理和压缩存储等技术来提高算法 效率。
第1章 高精度计算
int a[10001]={0},b[10001]={0},c[10001]={0}; char n[10001],n1[10001],n2[10001]; cin>>n1; //输入被减数 cin>>n2; //输入减数 if (strlen(n1)<strlen(n2)||(strlen(n1)==strlen(n2)&&strcmp(n1,n2)<0)) //strcmp()为字符串比较函数，当n1==n2, 返回0; //n1>n2时，返回正整数；n1<n2时，返回负整数 { //处理被减数和减数，交换被减数和减数
第一章 高精度计算
利用计算机进行数值计算，有时会遇到这样的问题：有些计算要求精度高，希望计算 的数的位数可达几十位甚至几百位，虽然计算机的计算精度也算较高了，但因受到硬件的 限制，往往达不到实际问题所要求的精度。我们可以利用程序设计的方法去实现这样的高 精度计算。介绍常用的几种高精度计算的方法。
高精度计算中需要处理好以下几个问题：
init(a); init(b); add(a,b); for(int i=c[0];i>=1;i--)cout<<c[i]; return 0; }
void init(int a[]){ //传入一个数组
char s[10001]; cin>>s; //读入字符串s a[0]=strlen(s); //用a[0]计算字符串s的位数
}
if(x>0)c[i]=x; else i--; while(c[i]==0&&i>1)i--;//最高位的0不输出
高精度四则运算
高精度四则运算
高精度除法： 1. 将被除数和除数从高位开始逐位相除，将每一位的结果保存在一个新的数组中。 2. 需要注意的是，如果被除数小于除数Байду номын сангаас则需要向高位借位。 3. 最后将得到的结果进行逆序输出即可。
需要注意的是，在进行高精度运算时，需要考虑到进位和借位的情况，以及结果的正负号 等特殊情况。
高精度四则运算
高精度减法： 1. 将被减数和减数从低位开始逐位相减，将每一位的结果保存在一个新的数组中。 2. 需要注意的是，如果减数大于被减数，则需要向高位借位。 3. 最后将得到的结果进行逆序输出即可。
高精度乘法： 1. 将两个大整数从低位开始逐位相乘，将每一位的结果保存在一个新的数组中。 2. 需要注意的是，相乘的结果可能会超过10，需要进行进位。 3. 最后将得到的结果进行逆序输出即可。
高精度四则运算
高精度四则运算是指在计算过程中保持数值的精度，避免因计算过程中的截断误差而导致 结果不准确的问题。在计算机中，通常使用字符串或数组来表示大整数，通过模拟手工计算 的过程进行运算。
高精度加法： 1. 将两个大整数从低位开始逐位相加，将每一位的结果保存在一个新的数组中。 2. 需要注意的是，如果相加的两个位数之和超过了9，则需要进位。 3. 最后将得到的结果进行逆序输出即可。
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高精度计算由于计算机具有运算速度快，计算精度高的特点，许多过去由人来完成的烦琐、复杂的数学计算，现在都可以由计算机来代替。
计算机计算结果的精度，通常要受到计算机硬件环境的限制。
例如，pascal 要计算的数字超过19位，计算机将按浮点形式输出；另一方面，计算机又有数的表示范围的限制，在一般的微型计算机上，实数的表示范围为l0-38 -l038。
例如，在计算N!时，当N=21时计算结果就超过了这个范围，无法计算了。
这是由计算机的硬件性质决定的，但是，我们可以通过程序设计的方法进行高精度计算（多位数计算）。
学习重点1、掌握高精度加、减、乘、除法。
3、理解高精度除法运算中被除数、除数、商和余数之间的关系。
4、能编写相应的程序，解决生活中高精度问题。
学习过程一、高精度计算的基本方法用free pascal程序进行高精度计算，首先要处理好以下几个基本问题：【数据的输入与保存】（1）一般采用字符串变量存储数据，然后用length函数测量字符串长度确定其位数。
（2）分离各位数位上的数字分离各数位上的数通常采用正向存储的方法。
以“163848192”为例，见下表：A[9] A[8] A[7] A[6] A[5] A[4] A[3] A[2] A[1]1 6 3 8 4 8 1 9 2基本原理是A[1]存放个位上的数字，A[2]存放十位上的数字，……依此类推。
即下标小的元素存低位上的数字，下标大的元素存高位上的数字，这叫“下标与位权一致”原则。
【计算结果位数的确定】（1）高精度加法：和的位数为两个加数中较大数的位数+1。
（2）高精度减法：差的位数为被减数和减数中较大数的位数。
（3）高精度乘法：积的位数为两个相乘的数的位数之和。
（4）高精度除法：商的位数按题目的要求确定。
【计算顺序与结果的输出】高精度加、减、乘法，都是从低位到高位算起，而除法相反。
输出结果都是从高位到低位的顺序，注意：高位上的零不输出（整数部分是零除外）。
高精度加法【参考程序】var a,b:array[1..10000] of byte;i,w,la,lb:integer;s1,s2:ansistring;beginreadln(s1);la:=length(s1);readln(s2);lb:=length(s2);for i:=1 to la do a[i]:=ord(s1[la+1-i])-48;for i:=1 to lb do b[i]:=ord(s2[lb+1-i])-48;if lb>la then la:=lb;for i:=1 to la do begina[i]:=a[i]+b[i]+w;w:=a[i] div 10;a[i]:=a[i] mod 10;end;if w>0 then begin la:=la+1;a[la]:=w;w:=0;end;for i:=la downto 1 do write(a[i]);end.高精度减法【参考程序】var a,b:array[1..10000] of integer;i,la,lb:integer;s,s1,s2:ansistring;beginreadln(s1);la:=length(s1);readln(s2);lb:=length(s2);if (la<lb) or (la=lb) and (s1<s2) then beginwrite('-');s:=s1;s1:=s2;s2:=s;la:=length(s1);lb:=length(s2);end;for i:=1 to la do a[i]:=ord(s1[la+1-i])-48;for i:=1 to lb do b[i]:=ord(s2[lb+1-i])-48;for i:=1 to la do begina[i]:=a[i]-b[i];if a[i]<0 then begin a[i+1]:=a[i+1]-1;a[i]:=a[i]+10;end; end;while (a[la]=0) and (la>1) do dec(la);for i:=la downto 1 do write(a[i]);end.高精度乘法【参考程序】var a,b,c:array[1..10000] of byte;i,j,x,w,la,lb,lc:integer;s1,s2:ansistring;beginreadln(s1);la:=length(s1);readln(s2);lb:=length(s2);for i:=1 to la do a[i]:=ord(s1[la+1-i])-48;for i:=1 to lb do b[i]:=ord(s2[lb+1-i])-48;for i:=1 to la dofor j:=1 to lb do beginw:=i+j-1;x:=a[i]*b[j];c[w]:=c[w]+x mod 10;c[w+1]:=c[w+1]+x div 10+c[w] div 10;//双进位c[w]:=c[w] mod 10;end;lc:=la+lb;if c[lc]=0 then lc:=lc-1;for i:=lc downto 1 do write(c[i]);end.上面的算法是常见高精度乘法的一般形式，在高精度乘法中还存在许多特殊的算法例如计算高精度N!，求M的N次方幂等。
这里给出这两个问题的程序段，相信你能从其中发现更多的高精度乘法的规律。
求N！的程序var a,b,c:array[1..50000] of byte;i,j,k,x,w,n,t,la,lb,lc:integer;beginread(n);a[1]:=1;la:=1;for i:=2 to n do begint:=i;lb:=0;repeatlb:=lb+1;b[lb]:=t mod 10;t:=t div 10;until t=0;for j:=1 to la dofor k:=1 to lb do beginx:=a[j]*b[k];w:=j+k-1;c[w]:=c[w]+x mod 10;c[w+1]:=c[w+1]+x div 10+c[w] div 10;c[w]:=c[w] mod 10;end;lc:=la+lb;while (c[lc]=0) and (lc>1) do lc:=lc-1;a:=c;la:=lc;fillchar(c,sizeof(c),0);//c数组一定要清零end;for i:=la downto 1 do write(a[i]);end.var a:array[1..10000] of longint;i,j,w,l,n:integer;beginread(n);a[1]:=1;l:=1;for i:=2 to n do beginfor j:=1 to l do begina[j]:=a[j]*i+w;w:=a[j] div 10000;a[j]:=a[j] mod 10000;end;if w>0 then begin l:=l+1;a[l]:=w;w:=0;end; end;write(a[l]);for i:=l-1 downto 1 doif a[i]>=1000 then write(a[i])else if a[i]>=100 then write('0',a[i]) else if a[i]>=10 then write('00',a[i]) else write('000',a[i]);end.M的N次方幂程序var a,b,c:array[1..50000] of byte;i,j,k,x,w,m,n,la,lb,lc:integer;beginread(m,n);repeatla:=la+1;a[la]:=m mod 10;m:=m div 10;until m=0;b:=a;lb:=la;for i:=2 to n do beginfor j:=1 to la dofor k:=1 to lb do beginx:=a[j]*b[k];w:=j+k-1;c[w]:=c[w]+x mod 10;c[w+1]:=c[w+1]+x div 10+c[w] div 10; c[w]:=c[w] mod 10;end;lc:=la+lb;if c[lc]=0 then lc:=lc-1;a:=c;la:=lc;fillchar(c,sizeof(c),0);end;for i:=la downto 1 do write(a[i]);end.var a:array[1..10000] of longint;i,j,w,m,n,l:integer;beginread(m,n);a[1]:=m;l:=1;for i:=2 to n do beginfor j:=1 to l do begina[j]:=a[j]*m+w;w:=a[j] div 10000;a[j]:=a[j] mod 10000;end;if w>0 then begin l:=l+1;a[l]:=w;w:=0;end;end;write(a[l]);for i:=l-1 downto 1 doif a[i]>=1000 then write(a[i])else if a[i]>=100 then write('0',a[i])else if a[i]>=10 then write('00',a[i])else write('000',a[i]);End.【练一练】【问题描述】N的阶乘值问题（JSOI2004小学组复赛第3题）阶乘是数学中的一种运算，N的阶乘表示为：N！=1*2*3*4*……*N编写程序，根据一个给出的N，求得其阶乘中所有数字之和P。
并判断P是否为素数。
【输入输出】输入：键盘输入一个自然数N（1<=N<=100）。
输出：N的阶乘值的所有数字之和P，若P为素数输出“T”，否则输出“F”。
[样例1]输入：5输出：3 T[样例2]输入：20输出：54 F【想一想】N！的高精度乘法运算中和被乘数相比较，乘数是一个什么样的数，做这一类的题目有什么规律？★印度国王的棋盘（JSOI2001小学组第3题）[问题描述]：这是一个有名的古代故事。
有一个数学家发明了一种棋盘献给了印度国王，数学家看国王非常欢喜，就向国王提出了奖赏的要求：在棋盘的第一格放一粒米，第二格放二粒米，第三格放四粒米，第四格放八粒米，．．．．．也就是说每一格都放进了比前一格多一倍的米。