六年级奥数第13讲：最大值与最小值
六年级奥数 代数法解题
第13讲 代数法解题一、知识要点有一些数量关系比较复杂的分数应用题, 用算术方法解答比较繁、难, 甚至无法列式算式, 这时我们可根据题中的等量关系列方程解答.二、精讲精练【例题1】某车间生产甲、乙两种零件, 生产的甲种零件比乙种零件多12个, 乙种零件全部合格, 甲种零件只有54合格, 两种零件合格的共有42个, 两种零件个生产了多少个？ 练习1：1、某校参加数学竞赛的女生比男生多28人, 男生全部得优, 女生的43得优, 男、女生得优的一共有42人, 男、女生参赛的各有多少人？2、有两盒球, 第一盒比第二盒多15个, 第二盒中全部是红球, 第一盒中的52是红球, 已知红球一共有69个, 两盒球共有多少个？3、六年级甲班比乙班少4人, 甲班有31的人、乙班有41的人参加课外数学组, 两个班参加课外数学组的共有29人, 甲、乙两班共有多少人？【例题2】阅览室看书的学生中, 男生比女生多10人, 后来男生减少41, 女生减少61, 剩下的男、女生人数相等, 原来一共有多少名学生在阅览室看书？练习2：1、某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多5人. 今年参加无线电小组的同学减少51, 参加航模小组的人数减少101, 这样, 两个组的同学一样多. 去年两个小组各有多少人？2、原来甲、乙两个书架上共有图书900本, 将甲书架上的书增加85, 乙书架上的书增加103, 这样, 两个书架上的书就一样多. 原来甲、乙两个书架各有图书多少本？【例题3】甲、乙两校共有22人参加竞赛, 甲校参加人数的51比乙校参加人数的41少1人, 甲、乙两校各有多少人参加？练习3：1、学校图书馆买来文艺书和连环画共126本, 文艺书的比连环画的少7本, 图书馆买来的文艺书和连环画各是多少本？2、某小有学生465人, 其中女生的比男生的少20人, 男、女生各有多少人？【例题4】甲书架上的书是乙书架上的65, 两个书架上各借出154本后, 甲书架上的书是乙书架上的74, 甲、乙两书架上原有书各多少本？ 练习4：1、儿子今年的年龄是父亲的61, 4年后儿子的年龄是父亲的41, 父亲今年多少岁？2、某校六年级男生是女生人数的32, 后来转进2名男生, 转走3名女生, 这时男生人数是女生的43. 原来男、女生各有多少人？【例题5】一个班女同学比男同学的32多4人, 如果男生减少3人, 女生增加4人, 男、女生人数正好相等. 这个班男、女生各有多少人？练习5：1、某学校的男教师比女教师的83多8人. 如果女教师减少4人, 男教师增加8人, 男、女教师人数正好相等. 这个学校男、女教师各有多少人？2、某无线电厂有两个仓库. 第一仓库储存的电视机是第二仓库的3倍. 如果从第一仓库取出30台, 存入第二仓库, 则第二仓库就是第一仓库的94. 两个仓库原来各有电视机多少台？三、课后作业1、某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多700个. 今天生产的甲种零件比昨天少101, 生产的乙种零件比昨天增加203, 两种零件共生产了2065个. 昨天两种零件共生产了多少个？2、王师傅和李师傅共加工零件62个, 王师傅加工零件个数的比李师傅的少2个, 两人各加工了多少个？3、第一车间人数的53等于第二车间人数的109, 第一车间比第二车间多50人. 两个车间各有多少人？4、某工厂第一车间的人数比第二车间的人数的54少30人. 如果从第二车间调10人到第一车间, 则第一车间的人数就是第二车间的43. 求原来每个车间的人数.面积计算一、知识要点计算平面图形的面积时, 有些问题乍一看, 在已知条件与所求问题之间找不到任何联系, 会使你感到无从下手. 这时, 如果我们能认真观察图形, 分析、研究已知条件, 并加以深化, 再运用我们已有的基本几何知识, 适当添加辅助线, 搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”, 就会使你顺利达到目的. 有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征, 添加一些辅助线, 运用平移旋转、剪拼组合等方法, 对图形进行恰当合理的变形, 再经过分析推导, 方能寻求出解题的途径.二、精讲精练【例题1】已知如图, 三角形ABC的面积为8平方厘米, AE＝ED, BD=2/3BC, 求阴影部分的面积.练习1：1、如图, AE＝ED, BC=3BD, S△ABC＝30平方厘米. 求阴影部分的面积.2、如图所示, AE=ED, DC＝1/3BD, S△ABC＝21平方厘米. 求阴影部分的面积.3、如图所示, DE＝1/2AE, BD＝2DC, S△EBD＝5平方厘米.求三角形ABC的面积.【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形, 如图所示, 已知两个三角形的面积, 求另两个三角形的面积各是多少？练习2：1、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形, （如图所示）, 已知两个三角形的面积, 求另两个三角形的面积是多少？2、已知AO＝1/3OC, 求梯形ABCD的面积（如图所示）.【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分, 且四边形AECF的面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图所示）.练习3：1、四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分, 且四边形AECG的面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图）.2、如图所示, 求阴影部分的面积（ABCD为正方形）.【例题4】如图所示, BO＝2DO, 阴影部分的面积是4平方厘米. 那么, 梯形ABCD的面积是多少平方厘米？练习4：1、如图所示, 阴影部分面积是4平方厘米, OC＝2AO. 求梯形面积.2、已知OC＝2AO, S△BOC＝14平方厘米. 求梯形的面积（如图所示）.3、已知S△AOB＝6平方厘米. OC＝3AO, 求梯形的面积（如图所示）.【例题5】如图所示, 长方形ADEF的面积是16, 三角形ADB的面积是3, 三角形ACF的面积是4, 求三角形ABC的面积.练习5：1、如图所示, 长方形ABCD的面积是20平方厘米, 三角形ADF的面积为5平方厘米, 三角形ABE的面积为7平方厘米, 求三角形AEF的面积.2、如图所示, 长方形ABCD的面积为20平方厘米, S△ABE＝4平方厘米, S△AFD＝6平方厘米, 求三角形AEF的面积.三、课后练习1、已知三角形AOB的面积为15平方厘米, 线段OB的长度为OD的3倍. 求梯形ABCD的面积. （如图所示）.2、已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分, 且阴影部分面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图所示）.3、如图所示, 长方形ABCD的面积为24平方厘米, 三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米, 求三角形AEF的面积.。
小学六年级奥数——最大与最小(竞赛班)
小学六年级奥数——最大与最小【知识要点】研究某种量（或几种量）在一定条件下取得最大值或最小值的问题，我们称为最大与最小问题.在日常生活、科学研究和生产实践中，存在大量的最大与最小问题.如，把一些物资从一个地方运到另一个地方，怎样运才能使路程尽可能短，运费最省；一项（或多项）工作，如何安排调配，才能使工期最短、效率最高等等，都是最大与最小问题.这里贯穿了一种统筹的数学思想-最优化原则.概括起来就是：要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果.这一原则在生产、科学研究及日常生活中有广泛的应用.【例题】例1 （1）把14拆成两个自然数的和，如何拆可以使乘积最大？（2）14分拆为3个自然数之和，使它们的乘积最大.（3）14分拆为几个自然数之和，使它们的乘积最大.例2、（1）把1、2、3、4组成两位数乘两位数的算式，积最大与最小分别是多少？（2）1、2、3、4、5组成两位数乘三位数的算式，积最大与最小分别是多少？例3.用长和宽分别是4厘米和3厘米的长方形小木块,拼成一个正方形,最少要用这样的木块多少块？例4、975⨯935⨯972⨯( ),要使这个连乘积的最后四个数字都是零.在括号内最小应填 .例5、在一条公路上，每隔100千米有一个仓库，共5个.一号仓库存货10吨，二号仓库存货20吨，五号仓库存货40吨，三、四号仓库空着.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要0.8元运费，那么最少要花多少运费？【池中戏水】1．下面算式中的两个方框内应分别填和______,才能使这道整数除法题的余数最大.□÷25=104…□2、100个自然数,它们的总和是10000,在这些数里,奇数的个数比偶数的个数多,那么这些数里至多有多少个偶数？3.把小正方体的六个面分别写上1、2、3、4、5、6.拿两个这样的正方体,同时掷在桌子上.每次朝上的两个面上的数的和,最小可能是 .最大可能是 ,可能出现次数最多的两个面的数的和是 .4、王奶奶有一个24米长的篱笆，想围成一个长方形的养鸡场，这个养鸡场的面积最大可以是多少平方米？如果一边靠墙呢？【江中畅游】1．某车场每天有4辆汽车经过A1、A2、A3、A4、A5、A6六个点组织循环运输（如图）.在A1点装货，需6个工人；在A2点卸货，需4个工人；在A3点装货，需8个工人；在A4点卸货，需5个工人；在A5点装货需3个工人；在A6点卸货，需4个工人.若每个点固定工人太多，会造成人力浪费，我们可以让装卸工人跟车走.这样有人跟车，有人固定，问最少要安排多少名装卸工人？【海中冲浪】1.王大伯从家(A点处)去河边挑水,然后把水挑到积肥潭里(B点处).请帮他找一条最短路线,在下图表示出来,并写出过程.AB··河。
【五升六】小学数学奥数第13讲：最小公倍数-教案
六年级备课教员：×××第13讲最小公倍数一、教学目标： 1. 理解公倍数和最小公倍数的意义。
2. 把问题转化成求最小公倍数的问题。
3. 学会用分解质因数法求最小公倍数。
4. 假设推理能力得到提升。
二、教学重点： 1. 用分解质因数法求最小公倍数。
2. 培养学生假设推理能力。
三、教学难点：转换问题成求最小公倍数问题。
四、教学准备：PPT、卡片五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)师：大家喜欢玩游戏吗？生：喜欢。
师：今天我们来玩一个新游戏——抢倍数。
左边分为小5组，右边分为小7组。
师：规则和分组：有7张数字卡片，这些数字分别是5、6、9的倍数。
每组快速派一名代表上来。
其他学生共同商讨，只能拿一张。
拿到它们倍数最多的小组为胜。
（PPT出示）（卡片为25、30、45、54、90、108、120）师：请获胜的队伍来说说你为什么选择这个数？生：90既是5的倍数,又是6的倍数，还是9的倍数。
师：说的真棒！90既是5的倍数,又是6的倍数，还是9的倍数，这里我们把 90叫做5、6、9的公倍数，今天我们就来学习“最小公倍数”。
板书：最小公倍数二、探索发现授课（40分）（一）例题一：（10分）有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。
这个自然数最小是多少？（PPT出示)师：同学们，我们先来看看除数和余数，它们有什么关系？生：除数和余数的差都是3。
师：不错，如果我们把这个数加上3后，这个“新数”能被10、7、4整除。
那么这个问题转换成什么了呢？生：求4、7、10的最小公倍数。
师：是！4、7、10的最小公倍数是多少呢？快拿出你们的笔算一算。
生：140。
师：回答得又快又正确，请这位同学来告诉老师是怎么算的？生：4、10是合数，先把它们分解成4=2×2,10=2×5，它们有最大公约数是2。
所以三个数最小公倍数是2×2×5×7=140。
六年级奥数考点：极值问题
考点：极值问题一、知识要点人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
二、精讲精练【例题1】a和b是小于100的两个不同的自然数，求a－ba+b的最大值。
根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。
所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99a－b a+b 的最大值是99－199+1=4950答：a－ba+b的最大值是4950。
练习1：1、（课后）设x和y是选自前100个自然数的两个不同的数，求x－yx+y的最大值。
99 1012、a和b是小于50的两个不同的自然数，且a＞b，求a－ba+b的最小值。
1 973、设x和y是选自前200个自然数的两个不同的数，且x＞y，①求x+yx－y的最大值；②求x+yx－y的最小值。
（1）399 （2）201 199【例题2】有甲、乙两个两位数，甲数27等于乙数的23。
这两个两位数的差最多是多少？甲数：乙数=23：27=7：3，甲数的7份，乙数的3份。
由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56答：这两个两位数的差最多是56。
练习2：1.（课后）有甲、乙两个两位数，甲数的310等于乙数的45。
这两个两位数的差最多是多少？甲、乙两数的比是8：3，甲数最大是96 ，差最大是60。
2、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的56恰好等于乙数的14。
这两个两位数的和最小是多少？甲、乙两数的比是3：10，甲数最小是102，和最小是442。
3.加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？一、二、三道工序所需的工人数的比是148：132：128＝14：21：24，所以至少安排14+21+24＝59个工人。
六年级奥数第13讲：应用题(一)-课件
第二堆 第三堆
（3＋1＋2）份 少3颗
＝105颗
3颗 第二堆：
和倍公式
（105＋3）÷（3+1+2）=18（颗）
小数＝和÷（倍数＋1）
第三堆：
大数＝小数×倍数
18×2－3＝33（颗）
答：第三堆糖果有33颗。
练习二
46是甲、乙、丙、丁4个数的和。如果甲数 加上2，乙数减少3，丙数除以2，丁数乘2后，则 4个数相等。求这4个数各是多少？
小数＝（和－差）÷2
乙车库原来有车：（20＋6）÷2＝13（辆） 甲车库原来有车：（20－6）÷2＝7（辆） 答：甲车库有7辆，乙车库有13辆。
练习一
三个物体的平均重量是25千克，甲物体比乙、 丙两个物体重量之和轻17千克，乙物体比丙物体 重4千克，三个物体各重多少千克？
和差公式
大数＝（和＋差）÷2
小数＝（和－差）÷2
甲、乙、丙：25×3＝ 75（千克） 甲： （75－17）÷2＝ 29（千克） 乙、丙： 75－29＝46（千克）
乙： （46＋4）÷2＝ 25（千克）
丙： 46－25＝ 21（千克）
答：甲重29千克，乙重25千克， 丙重21千克。
例题二
三堆糖果共有105颗，其中第一堆糖果的数量是第二 堆的3倍，而第三堆糖果的数量又比第二堆的2倍少3颗。 第三堆糖果有多少颗？
两手共有30颗大拇指，其中左手的大 拇指数量比右手多20颗，左右手各有多少 颗大拇指？
应用题（一）
例题一
甲、乙两个车库共有汽车20辆，甲车库开进4辆， 乙车库开出1辆，这时乙车库还比甲车库多1辆，求甲、 乙两个车库原来各有车多少辆？
甲车库······ 乙车库······
20辆
六年级奥数第13讲三角形面积计算(教师版)
16+8+8+4＝36平方厘米
7、如图18－18所示,长方形ABCD的面积是20平方厘米,三角形ADF的面积为5平方厘米,三角形ABE的面积为7平方厘米,求三角形AEF的面积。
【解析】
20÷2－7＝3
3× ＝1.5
20－7－5－1.5＝6.5
课后反击
1、如图所示,AE=ED,DC＝ BD,S△ABC＝21平方厘米。求阴影部分的面积。
〈4〉迭到一起的总面积．
【解析】
〈1〉从图中可看出,有〈20-1=〉19个间隔,每个间隔距离是〈44-6〉÷19=2〈厘米〉．
〈2〉观察三个三角形的迭合．画横行的两个三角形重叠画井线是三个三角形重叠部分,
它是与原来的三角形一般模样,但底边是原来三角形底的 〈2厘米〉,高也是原来三角形高的 〈3厘米〉,所以面积为 〈cm2〉．每三个连着的三角形重叠产生这样的一个小三角形,每增加一个大三角形,就多产生个一个三次重叠的三角形,而且与前一个不重叠．因此这样的小三角形共有20-2=18〈个〉,面积之和是3×18=54〈cm2〉。
【解析】连结长方形对角线AC,可知S△ABC=S△ACD=12〈平方厘米〉．
因为S△AFD=6〈平方厘米〉,所以S△ACF=6〈平方厘米〉,由此可知F是DC边的中点．
因为S△ABE=5〈平方厘米〉,所以S△AEC=7〈平方厘米〉,由此可知BE∶EC=5∶7．
小学六年级奥数第13讲 代数法解题(含答案分析)
第13讲 代数法解题一、知识要点有一些数量关系比较复杂的分数应用题，用算术方法解答比较繁、难，甚至无法列式算式，这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。
二、精讲精练【例题1】某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有54合格，两种零件合格的共有42个，两种零件个生产了多少个？练习1：1、某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的43得优，男、女生得优的一共有42人，男、女生参赛的各有多少人？2、有两盒球，第一盒比第二盒多15个，第二盒中全部是红球，第一盒中的52是红球，已知红球一共有69个，两盒球共有多少个？3、六年级甲班比乙班少4人，甲班有31的人、乙班有41的人参加课外数学组，两个班参加课外数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少人？【例题2】阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少41，女生减少61，剩下的男、女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？练习2：1、某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多5人。
今年参加无线电小组的同学减少51，参加航模小组的人数减少101，这样，两个组的同学一样多。
去年两个小组各有多少人？2、原来甲、乙两个书架上共有图书900本，将甲书架上的书增加85，乙书架上的书增加103，这样，两个书架上的书就一样多。
原来甲、乙两个书架各有图书多少本？【例题3】甲、乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的51比乙校参加人数的41少1人，甲、乙两校各有多少人参加？练习3：1、学校图书馆买来文艺书和连环画共126本，文艺书的比连环画的少7本，图书馆买来的文艺书和连环画各是多少本？2、某小有学生465人，其中女生的23比男生的45少20人，男、女生各有多少人？【例题4】甲书架上的书是乙书架上的65，两个书架上各借出154本后，甲书架上的书是乙书架上的74，甲、乙两书架上原有书各多少本？练习4：1、儿子今年的年龄是父亲的61，4年后儿子的年龄是父亲的41，父亲今年多少岁？2、某校六年级男生是女生人数的32，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男生人数是女生的43。
小学奥数
第13讲数字谜综合内容概述各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题．典型问题1．ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字．已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少?【分析与解】因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小．A显然只能为1，则BCD+EFG=993，当ABCD与EFG的积最大时，ABCD、EFG最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD最小为234，对应EFG为759，所以有1234×759是满足条件的最大乘积；当ABCD与EFG的积最小时，ABCD、EFG差最大，则BCD尽可能大，EFG尽可能小，有EFG最小为234，对应BCD为759，所以有1759×234是满足条件的最小乘积；它们的差为1234×759—1759×234=(1000+234)×759一(1000+759)×234=1000×（759—234)=525000．2.有9个分数的和为1，它们的分子都是1．其中的5个是13,17,19,111,133另外4个数的分母个位数字都是5．请写出这4个分数．【分析与解】 l一(13+17+19+111+133)=210133711⨯⨯⨯⨯=1010335711⨯⨯⨯⨯⨯需要将1010拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3×3×7×1l的约数．因此，它们可能是3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693．经试验得693+231+77+9=1010．所以，其余的4个分数是：15,115,145,1385.3.请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式．【分析与解】1988=2×2×7×7l=4×497，112+14＝13，在等式两边同时乘上1497，就得1 5964+11988＝11491．显然满足题意．又135+114=110，两边同乘以1142，就得14970+11988＝11420．显然也满足．13053+11988＝11204，18094+11988＝11596均满足.4．小明按照下列算式：乙组的数口甲组的数○1=对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入表14—1的表中．有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正．问改正后的两个数的和是多少?【分析与解】 甲组的前三个数0.625，23，914都是小于1的数，21732与这三个数运算后，得5.05，45164，4516；不论减1还是加l 后，这三个数都比21732大，而这是21732与小于1的数运算的结果，因此可以猜想方框内是除号．现在验算一下：21732÷0.625=8132×85=8120=4.05；21732÷23=8132×32=31564； 21732÷914=8132×149=6316=31516；21732÷3=2732.从上面四个算式来看，圆圈内填加号，这样有三个结果是对的，而4516是错的．按照算式乙组的数÷甲组的数+1…………………………* 2÷3+1=123，显然不为1.5，上面已认定3是正确的，因此，只有把2改为1.5，才有1.5÷3+1=112，而1.5÷0.625+l=3.4，1.5÷23+1=3.25．由此可见，确定的算式*是正确的．表中有两个错误，4516应改为41516，2应改为1.5，41516+112=5+15816=6716．改正后的两个数的和是6716．5．图14—3中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形．现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个项点上．(1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法：如果不能，请说明理由．(2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由．【分析与解】 (1)无论怎样填法，都不可以使八个三角形顶点上数字之和相等．事实上，假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等，不妨设每个三角形顶点上数字之和为k．在计算八个三角形顶点上数字之和时，大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次；中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次；小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次．因此，这八个三角形顶点上数字之和的总和为：8k=(1+2+3+4)+3×(1+2+3+4)+2×(1+2+3+4)，即8k=60,k不为整数，矛盾，所以假设是错误的． (2)易知：不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之和最小为1 +1+2=4，最大为3+4+4＝11．而4～11共8个数，于是有可能使得8个三角形顶点上数字之和各不相同，可如下构造，且填法不惟一．图(a)和图(b)是两种填法．6．图14—5中有11条直线．请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等．求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数．【分析与解】表述1：设每行的和为S，在左下图中，除了a出现2次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有4S=(1+2+3+…+11)+a=66+a；在右上图中除了a 出现5次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有5S=(1+2+3+…11)+4a＝66+4a ． 综合以上两式466(1)5664(2)S a S a =+⎧⎨=+⎩，①×5-②×4得66-11a=0，所以a=6，则S=18． 考虑到含有*的五条线，有4*+(1+2+3+4+…+11)-t=5S=90．即4*-t=24，由t 是1～11间的数且t≠*，可知*=7，而每行相等的和S 为18.表述2：如下图所示，在每个圆圈内标上字母，带有*的圆圈标为x ，首先考虑以下四条直线：(h 、f 、a)，(i 、g 、a)，(x 、d 、b)，(j 、e 、c)，除了标有a 的圆圈外，其余每个圆圈都出现了一次，而标有a 的圆圈出现了两次，设每条直线上数字之和为S ，则有： (1＋11)×11÷2+a=4S ，即66+a=4S ．再考虑以下五条直线：(h 、f 、a)，(i 、g 、a)，(j 、x 、a)，(e 、d 、a)，(c 、b 、a)，同理我们可得到66+4a=5S ．综合两个等式6646645a Sa S +=⎧⎨+=⎩，可得a 为6，每条直线上和S 为18．最后考虑含x 的五条直线：(x 、h)，(x 、g 、f)，(j 、x 、a)，(x 、d 、b)，(i 、x 、c)．其中除了x出现了5次，e 没有出现，其他数字均只出现了一次，于是可以得到：66+4x －e=5S=90，即4x-e=24，由e 是1—11间的数且e≠x 可知x=7．即每行相等的和S 为18，*所填的数为7．7．一个六位数，把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数，再将这个六位数的个位数字移到最前面又得到一个新的六位数，如此共进行5次所得的新数连同原来的六位数共6个数称为一组循环数．已知一个六位数所生成的一组循环数恰巧分别为此数的l 倍，2倍，3倍，4倍，5倍，6倍，求这个六位数．【分析与解】方法一：17=..0.142857，27=..0.285714，37＝..0.428571，47＝..0.571428，57＝.. 0.714285，67＝..0.857142。
高斯小学奥数六年级上册含答案第13讲 概率初步
第十三讲概率初步日常生活中，我们经常会遇到一些无法事先预测结果的事情，比如抛掷一枚硬币出现正面还是反面，明天会不会下雨，欧洲杯谁会夺冠等，这些事情我们称作随机事件，它们的结果都有不确定性，是无法预知的．尽管无法预知结果，但有时我们可以根据一些迹象或者经验了解结果发生的可能性的大小，例如：今天乌云密布，那么明天很有可能下雨；中国足球队参加世界杯夺冠的可能性非常小；一次投掷10枚硬币，出现10个正面的可能性非常小．为了能够更准确的描述这种“可能性的大小”，法国数学家费马和帕斯卡在17世纪创立了概率论，把对随机事件的研究上升到一门科学．（当时他们通过信件讨论了社会上的两个热点问题——掷骰子问题和比赛奖金分配问题）概率基本概念概率反应了一个随机事件结果发生的可能性，例如：投掷一枚硬币，正面和反面出现的可能性相同，所以概率均为；投掷一个骰子，每种点数出现的可能性相同，所以概率均为．关于概率，大家要有一个正确的认识，投掷1枚硬币，正面出现的概率为，并不是说投掷2次一定会有1次正面，而是说每次扔都有可能性出现正面． 虽然投掷2次硬币，不见得正面会出现一半，但是，投掷次数越多，正面出现的比例越接近一半（例如无论谁投掷10000次硬币，正面出现的比例都会很接近0.5）．（这个特点在概率论中被称为大数定律）换言之，概率可以展示出大量重复实验结果的规律性．基于此，在17世纪概率刚创始的年代，人们提出了古典概率模型．古典概率模型古典概率模型是最简单的概率计算模型，它的想法非常简单，用“条件要求的情况总量”除以“全部情况数量”即可．古典概型中，第一个重要条件是“全部情况的数量是有限个．．．．．．．．．．．”，下面我们先用几个简单例子来看一下古典概型的用法：1．A 、B 、C 排成一排，共有6种排法，其中A 占排头的方法共2种，所以A 站排头的概率是． 2．从3个男生、2个女生中，随意选出2个人去参加数学竞赛，共有10种方法，其中选出2个男生的方法数有3种，所以选出2个男生的概率是． 3．3个男生、2个女生站成一排照相共有120种站法，其中女生互不相邻的站法共72种，所以3男、2女站成一排，女生互不相邻的概率是． 上面的例子都比较简单，因为计算概率所需要的两个数都非常好算，接来下我们再看几个例子，从这几个例子中，大家要能体会到古典概型的第二个重要条件——等可能．．．性．． 4．从10个红球、1个白球中，随意的取出1个球，取到红球的概率是． 5．投掷两枚硬币，出现2个正面的概率是，出现1正1反的概率是，出现2反的概率是． 6．从3个红球、2个白球中，随意取出2个球，取到2个红球的概率是． 例4比较简单，在例5中，从硬币的结果看，只有3种情况——“2正、1正1反、31014 12 14 1011 35310131212 1 122反”，但概率都不是，因为这3种结果出现的可能性不同，给硬币编上A 和B ，那么出现1正1反有两种情况“A 正B 反、A 反B 正”，而2正和2反都只有1种情况（投掷2枚硬币共4种情况）．而例6和例2是相同的题目（把红球换成男生，白球换成女生即可）．从这3个例子可以看出，在计算概率时，不能简单的看有几种最终结果，因为结果必须是“等可能”才行（例4的结果只有红球和白球两种，但概率显然不相等）．为了计算“等可能”的结果，一个简单方法是给每个物体编号，例如例4，假设红球是1号到10号，白球是11号，那么显然共有11种不同取法，其中有10种取到红球，所以概率是．例题1. 4个男生、2个女生随机站成一排照相，请问：（1）女生恰好站在一起的概率是多少？（2）女生互不相邻的概率是多少？（3）男生互不相邻的概率是多少？「分析」对于排队问题大家还记得“捆绑”和“插空”法吗？练习1、关羽、张飞、赵云、黄忠、马超随机的站成一行上台领奖，请问：（1）关羽站在正中间的概率是多少？（2）关羽和张飞相邻的概率是多少？（3）关羽和张飞中间恰好隔着一个人的概率是多少？例题2. 一个不透明的袋子里装着2个红球，3个黄球和4个黑球．从口袋中任取一个球，请问：（1）这个球是红球的概率是多少？（2）这个球是黄球或者是黑球的概率是多少？（3）这个球是绿球的概率是多少；不是绿球的概率是多少？「分析」首先计算一下取球的总的情况数，再计算问题要求的取球情况数．练习2、北京数学学校从集训队中随机选出3个人去参加比赛，已知集训队中共有4个男生、3个女生，请问：（1）选出3个男生的概率是多少？（2）选出2男1女的概率是多少？1011 13例题3.一次投掷两个骰子，请问：（1）两个骰子点数相同的概率是多少？（2）两个骰子点数和为5的概率是多少？（3）两个骰子点数差是1的概率是多少？「分析」骰子是一个正方体，每个面上的点数从1到6，可以按题目要求枚举一些情况，根据枚举结果总结规律计算最后答案．练习3、一次投掷3枚硬币，请问：（1）出现3个正面的概率是多少？（2）出现1正2反的概率是多少？例题4.两个盒子中分别装有形状大小相同的黑球、白球和黄球各1个，现在从两个盒子中各取一个球，那么它们同色的概率是多少？不同色的概率是多少？「分析」任取两球它们颜色的可能情况有多少种？其中有多少同色情况？练习4、一个不透明的袋子里装着2个红球、3个黄球和4个黑球．从中任取两个球，请问：取出2个黑球的概率是多少？取出1红1黄的概率是多少？取出1黄1黑的概率是多少？概率的独立性如果两个或多个随机事件的结果互不影响，则称它们相互独立，例如：A买彩票是否中奖和B买彩票是否中奖是独立的；甲考试能否及格和乙考试能否及格是独立的；如果两个随机事件相互独立，那么它们同时发生的概率是它们单独发生概率的乘积．例题5.神射手和神枪手两人打靶，已知他们的命中率分别为0.8和0.9，他们每人开一枪，那么他们都命中的概率是多少？都没命中的概率是多少？「分析」理解概率独立性，根据独立性解题即可．需要分步计算的概率问题有些随机事件，在发生时有先后顺序，这时在计算概率时需要分步计算，这时只要把每步的概率算出来，然后相乘即可，例如：一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球，然后从剩下的球中再取出一个，那么第一次抽到黑球的概率是，第二次抽到黑球的概率是，所以两次都抽到黑球的概率是．在分步拿球的问题中，大家还要注意“无放回拿球．．．．．”和“有放回拿球．．．．．”的区别，它关系到每步的概率计算结果．例如：一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球，然后把它放回去，再从盒子中取出一个，那么两次都抽到黑球的概率是．例题6. 3个人进行抽签，已知3个签中只有一个写有“中奖”，3个人先后抽取，那么第一个抽和第二个抽的中奖概率哪个大？「分析」分步计算概率即可．111224⨯= 111236⨯= 13 12小概率事件之买彩票彩票市场产生于16世纪的意大利，从古罗马、古希腊开始，即有彩票开始发行．发展到今天，世界上已经有139个国家和地区发行彩票，规模比较大的国家和地区有美国、西班牙、德国、日本、法国、英国、意大利、加拿大、希腊、巴西、泰国、香港、韩国、新加坡、印度、挪威、比利时、澳大利亚、新西兰、南非、俄罗斯、保加利亚等．发行彩票集资可以说是现代彩票的共同目的．各国、各地区的集资目的多种多样，社会福利、公共卫生、教育、体育、文化是主要目标．以合法形式、公平原则，重新分配社会的闲散资金，协调社会的矛盾和关系，使彩票具有了一种特殊的地位和价值．目前，彩票的种类随着社会的发展而发展．在不断追求提高彩票娱乐性的过程中，彩票类型已经从以传统型彩票为主发展到传统型彩票、即开型彩票和乐透彩票等多种彩票并存的局面．2011年，全国彩票销售规模首次突破了2000亿元，达到2215亿元，彩票公益金筹集量达634亿元．1987年到2011年，我国累计销售彩票达10951亿元，累计筹集彩票公益金3433亿元．在我国有两个彩票发行机构，进而形成了以下彩票：福利彩票：福利彩票是指1987年以来由中国福利彩票管理中心发行的彩票．福利彩票早期有传统型彩票和即开型彩票，近年来主要有即开型彩票（如刮刮乐）、乐透型彩票（如双色球、36选5）和数字型彩票(如3D)三种，后两种均是电脑型彩票．体育彩票：体育彩票是指由1994年3月以来由中国体育彩票管理中心发行的彩票．其种类主要有即开型彩票（如顶呱刮）、乐透型彩票(如大乐透、22选）．截止到2013年世界上中得彩票最大额为一个美国80多岁的老太太，独中5.9亿美元．作业1.在一只口袋里装着4个红球，5个黄球和6黑球．从口袋中任取一个球，请问：（1）这个球是红球的概率有多少？（2）这个球是黄球或者是黑球的概率有多少？（3）如果从口袋中任取两个球出来，取到两个红球的概率是多少？2.小高与墨莫做游戏：由小高抛出3枚硬币，如果抛出的结果中，有2枚或2枚以上的硬币正面朝上，小高就获胜；否则就墨莫获胜．请问这个游戏公平吗？3.神射手和神枪手两人打靶，已知他们的命中率均为0.3，他们每人开一枪，那么他们都命中的概率是多少？都没命中的概率是多少？4.连续抛掷2个骰子．如果已知点数之和大于9，那么点数之和是12的概率有多大？5.6名小朋友在操场上做游戏．他们被老师分成3组，每组2个人．请问：赵倩和孙莉恰好分到了同一组的概率是多少？第十三讲 概率初步例题：例1． 答案：（1）13；（2）23；（3）0 详解：若没有任何要求共有66A 种排法，（1）捆绑法：两个女生捆绑当作一人和其他4名男生一起排队共55A 种排法，两个女生可互换位置，所以女生站一起的概率是5566213A A ⨯=；（2）总的情况去掉（1）问的情况的即可，所以12133-=，该问用插空法也可以；（3）男生无法互不相邻，所以该问概率为0．例2． 答案：（1）29；（2）79；（3）0、1 详解：共有9个球每个球都有可能被取到（1）红球的数量是2个，所以取到红球的概率是29；（2）排除法可得：27199-=；（3）没有绿球，所以绿球出现的概率是0．一定不是绿球，概率是1．例3． 答案：（1）16；（2）19；（3）518 详解：（1）两个骰子点数共有6636⨯=种情况，其中相同的情况有6种，所以概率为16（2）和为5可以是1+4、2+3、3+2、4+1，共四种，概率为19，（3）按第一个骰子的点数分类，第一个骰子点数为1~6时，第二骰子的点数依次有1、2、2、2、2、1种情况所以概率为518． 例4． 答案：13；23详解：两个盒子各取一个球放在一起有3×3=9种取法，同色的情况有黑黑、白白、黄黄三种，所以，同色概率为三分之一，不同色为1－13=23．例5． 答案：0.72；0.02详解：他们都命中的概率是他们分别命中的概率的乘积，即0.80.90.72⨯=；都没命中的概率是他们分别没命中的概率的乘积，即0.10.20.02⨯=．例6． 答案：一样大详解：先计算第一个人的中奖概率为13，再计算第二个人中奖的概率，首先第一个人要没有中奖概率为23，此时第二个人抽中的概率为12，所以，第二个人中奖的概率为211323⨯=，综上，两个人中奖的概率一样大．练习：1. 答案：0.2；0.4；0.3简答：45450.2A A ÷=；425425()0.4A A A ⨯÷=；． 2. 答案：435；1835 简答：共有七人选出3人的的选法总数是3776535321C ⨯⨯==⨯⨯种，（1）选出3男有4种选法，所以，概率为443535÷=；（2）2男有6种选法，1女有3种选法，2男1女共有18种选法，所以，概率为1835． 3. 答案：18；38 简答：（1）每枚硬币出现正面的概率为12，3个正面的概率是11112228⨯⨯=，（2）投掷3枚硬币可能的情况有：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反，共8种，其中1正2反的次数是3次，所以，概率为38． 4. 答案：16；16；13简答：任取2球，取法总数为2936C =种，其中2黑的取法有246C =种，1红1黑取法有2×3=6种，1黄1黑有3×4=12种，所以，概率为16，16，13． 作业：6. 答案：（1）；（2）；（3） 简答：（1）任取一个球，全部情况的数量是15，取到红球的数量是4，所以概率是；（2）取到黄球或黑球的数量是11，所以概率是；（3）任取两个球，全部情况的数量是，取到两个红球的数量是，所以概率是．7. 答案：公平简答：每枚硬币正面朝上与反面朝上的概率都是，按照这个游戏规则，小高获胜的概率是：，墨莫获胜的概率是，这个游戏对于小高和墨莫来说，获胜的概率都是一样的，所以这个游戏是公平的. 12353235()0.3C A A A ⨯⨯÷=13111111311222222882C ⨯⨯⨯+⨯⨯=+= 23111111311222222882C ⨯⨯⨯+⨯⨯=+= 12 2610535÷= 246C = 215105C = 1115 415 235 1115 4158. 答案：0.09；0.49简答：；．9. 答案：简答：点数和大于9的情况有6种：（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6，6）．其中和为12的概率为．10. 答案：1/5简答：赵倩与其它另一位同学分到一起的概率都是1/5，所以赵倩与孙莉分到一起的概率是1/5．16 160.70.70.49⨯= 0.30.30.09⨯=。
六年级奥数--最大最小问题
六年级奥数——最大最小问题一、知识要点人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
二、精讲精练【例题1】a 和b 是小于100的两个不同的自然数，求a －b a+b的最大值。
根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。
所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99a －b a+b 的最大值是99－199+1 =4950答：a －b a+b 的最大值是4950。
练习1：1、设x 和y 是选自前100个自然数的两个不同的数，求x －y x+y的最大值。
2、a 和b 是小于50的两个不同的自然数，且a ＞b ，求a －b a+b的最小值。
3、设x 和y 是选自前200个自然数的两个不同的数，且x ＞y ，①求x+y x －y的最大值；②求x+y x －y的最小值。
有甲、乙两个两位数，甲数27等于乙数的23。
这两个两位数的差最多是多少？甲数：乙数=23：27=7：3，甲数的7份，乙数的3份。
由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56答：这两个两位数的差最多是56。
练习2：1、有甲、乙两个两位数，甲数的310等于乙数的45。
这两个两位数的差最多是多少？2、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的56恰好等于乙数的14。
这两个两位数的和最小是多少？3、加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？【例题3】如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。
问：这样的数对共有多少个？在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。
最大值与最小值是什么关系
最大值与最小值是什么关系在数学和统计学中，最大值和最小值是常见的概念。
它们在许多领域都有着重要的作用。
最大值代表了一组数据中的最大数值，而最小值则代表了一组数据中的最小数值。
下面我们将探讨最大值与最小值之间的关系以及它们在数据分析中的应用。
最大值与最小值的定义首先，我们来定义最大值和最小值。
在一组数据中，最大值是指数值中最大的那个，表示数据中的最高点；而最小值则是指数值中最小的那个，表示数据中的最低点。
在统计学中，最大值和最小值可以帮助我们找到数据集的范围，即最大值与最小值之间的距离。
最大值与最小值的关系最大值和最小值之间有着密切的关系。
一般情况下，在一个数据集中，最大值和最小值是有限的，而且最大值一定大于等于最小值。
这是因为最大值代表了整个数据集中最大的数值，而最小值则代表了整个数据集中最小的数值。
因此，在数值上，最大值和最小值之间一定存在一种顺序关系，即最大值总是大于或等于最小值。
最大值与最小值的作用最大值和最小值在数据分析中具有重要作用。
首先，通过比较最大值和最小值，我们可以得到数据集的范围，进而了解数据集的分布情况。
其次，最大值和最小值也可以帮助我们识别数据集中的异常值。
如果某个数值远远大于最大值或远远小于最小值，那么这个数值很可能是异常值，需要进行进一步的调查和处理。
此外，通过比较最大值和最小值，我们还可以了解数据集的波动情况和变化趋势，为进一步的分析提供参考。
结论最大值和最小值是一组数据中的重要指标，它们之间存在着密切的关系，最大值一定大于等于最小值。
在数据分析中，最大值和最小值可以帮助我们了解数据集的范围、分布情况、异常值等重要信息，为后续分析提供参考。
因此，理解最大值和最小值之间的关系对于数据分析和统计学具有重要意义。
六年级奥数：第13讲 代数法解题
第13講代數法解題一、知識要點有一些數量關係比較複雜的分數應用題，用算術方法解答比較繁、難，甚至無法列式算式，這時我們可根據題中的等量關係列方程解答。
二、精講精練【例題1】某車間生產甲、乙兩種零件，生產的甲種零件比乙種零件多124合格，兩種零件合格的共有42個，兩個，乙種零件全部合格，甲種零件只有5種零件個生產了多少個？練習1：3得1、某校參加數學競賽的女生比男生多28人，男生全部得優，女生的4優，男、女生得優的一共有42人，男、女生參賽的各有多少人？2、有兩盒球，第一盒比第二盒多15個，第二盒中全部是紅球，第一盒中2是紅球，已知紅球一共有69個，兩盒球共有多少個？的53、六年級甲班比乙班少4人，甲班有31的人、乙班有41的人參加課外數學組，兩個班參加課外數學組的共有29人，甲、乙兩班共有多少人？【例題2】閱覽室看書的學生中，男生比女生多10人，後來男生減少41，女生減少61，剩下的男、女生人數相等，原來一共有多少名學生在閱覽室看書？練習2：1、某小學去年參加無線電小組的同學比參加航模小組的同學多5人。
今年參加無線電小組的同學減少51，參加航模小組的人數減少101，這樣，兩個組的同學一樣多。
去年兩個小組各有多少人？2、原來甲、乙兩個書架上共有圖書900本，將甲書架上的書增加85，乙書3，這樣，兩個書架上的書就一樣多。
原來甲、乙兩個書架各有架上的書增加10圖書多少本？1比乙校參加【例題3】甲、乙兩校共有22人參加競賽，甲校參加人數的51少1人，甲、乙兩校各有多少人參加？人數的4練習3：1、學校圖書館買來文藝書和連環畫共126本，文藝書的比連環畫的少7本，圖書館買來的文藝書和連環畫各是多少本？2、某小有學生465人，其中女生的比男生的少20人，男、女生各有多少人？【例題4】甲書架上的書是乙書架上的65，兩個書架上各借出154本後，甲書架上的書是乙書架上的74，甲、乙兩書架上原有書各多少本？練習4：1、兒子今年的年齡是父親的61，4年後兒子的年齡是父親的41，父親今年多少歲？2、某校六年級男生是女生人數的32，後來轉進2名男生，轉走3名女生，這時男生人數是女生的43。
小学六年级奥数教案13-18
小学六年级奥数教案—13立体图形我们学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。
这一讲将通过长方体、正方体及其组合图形，讲解有关的计数问题。
例1左下图中共有多少个面？多少条棱？例2右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。
例3右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？例4有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔（见下页左上图），求这个立体图形的表面积。
例5右图是由120块小立方体构成的4×5×6的立方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少块？例6 给一个立方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种，每种颜色涂两个面，共有多少种不同涂法？（两种涂法，经过翻动能使各种颜色的位置相同，认为是相同的涂法。
）练习131.下页左上图中共有多少个面？多少条棱？2.有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色。
求被涂成红色的表面积。
3.有一个正方体，红、黄、蓝色的面各有两面。
在这个正方体中，有一些顶点是三种颜色都不同的面的交点，这种顶点最多有几个？最少有几个？4.将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为1厘米3的小正方体，其中一点红色都没有的小立方体只有3块。
求原来长方体的体积。
5.将一个5×5×5的立方体表面全部涂上红色，再将其分割成1×1×1的小立方体，取出全部至少有一个面是红色的小立方体，组成表面全部是红色的长方体。
那么，可组成的长方体的体积最大是多少？6.在边长为3分米的立方体木块的每个面的中心打一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1分米的正方形（见左下图）。
求挖洞后木块的体积及表面积。
7.把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形（右上图）。
用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？小学六年级奥数教案—14立体图形二本讲主要讲长方体和立方体的展开图，各个面的相对位置，提高同学们的看图能力和空间想象能力。
六年级奥数第13讲-三角形面积计算(学)
例 1、已知图 12－1 中，三角形 ABC 的面积为 8 平方厘米，AE ＝ED ，BD= BC ，求阴影部分的面积。
学员编号：学员姓名：学科教师辅导讲义年 级：六年级辅导科目：奥数课 时 数：3学科教师：授课主题授课类型T 同步课堂第 13 讲-三角形面积计算P 实战演练 S 归纳总结教学目标① 掌握三角形的面积计算公式；② 学会使用拆补法求解三角形面积； ③ 通过题目中给定比例关系求解面积比。
授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂知识梳理计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。
这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥” 就会使你顺利达到目的。
有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。
典例分析23AEFBD 12－1C例 △2、在 ABC 中（图 12-2），BD=DE=EC ，CF ：AC=1：△3。
若ADH 的面积比△HEF 的面积多 24 平方厘米，求三角形 ABC 的面积是多少平方厘米？F 12-2例3、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图12－3所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？A DO126B12-3C 例4、四边形ABCD的对角线BD被E、两点三等分，且四边形AECF的面积为15平方厘米。
求四边形ABCD 的面积（如图12－4所示）。
DAFEB C12－4例5、如图12－5所示，BO＝2DO，阴影部分的面积是4平方厘米。
那么，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？A DOEB12－5C例6、如图18－17所示，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，求三角形ABC的面积。
六年级奥数培训第13讲 倒推法解题
第13讲倒推法解题一、知识要点有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。
所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。
二、精讲精练【例题1】一本文艺书，小明第一天看了全书的13，第二天看了余下的35，还剩下48页，这本书共有多少页？【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推，它占余下的1－35＝25。
第一天看后还剩下48÷25＝120页，这120页占全书的1－13＝23，这本书共有120÷23＝180页。
即48÷（1－35）÷（1－13）＝180（页）答：这本书共有180页。
练习1：1．某班少先队员参加劳动，其中37的人打扫礼堂，剩下队员中的58打扫操场，还剩12人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？2．一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的38，第二天走了余下的23，第三天走了250千米到达乙地。
甲、乙两地间的路程是多少千米？【例题2】筑路队修一段路，第一天修了全长的15又100米，第二天修了余下的27，还剩500米，这段公路全长多少米？【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推，它占余下的1－27＝57，第一天修后还剩500÷57＝700米，如果第一天正好修全长的15，还余下700+100＝800米，这800米占全长的1－15＝45，这段路全长800÷45＝1000米。
列式为：[500÷（1－27）+100]÷（1－15）＝1000（米）答：这段公路全长1000米。
练习2：1．一堆煤，上午运走27，下午运的比余下的13还多6吨，最后剩下14吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？2．用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的13又2公顷，第二天耕的比余下的12多3公顷，还剩下35公顷，这块地共有多少公顷？【例题3】有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出13给乙桶后，又从乙桶中倒出15给甲桶，这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？【思路导航】从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有（24×2）＝48千克，当乙桶没有倒出15给甲桶时，乙桶内有油24÷（1－15）＝30千克，这时甲桶内只有48－30＝18千克，而甲桶已倒出13给了乙桶，可见甲桶原有的油为18÷（1－13）＝27千克，乙桶原有的油为48－27＝21千克。
奥数最大与最小教案
奥数最大与最小教案教案标题：奥数最大与最小教案教案目标：1. 学生能够理解和应用最大值和最小值的概念。
2. 学生能够在奥数问题中运用最大值和最小值的思维方法解决问题。
3. 学生能够独立思考和解决奥数问题。
教学资源：1. 奥数教材或题库。
2. 纸和铅笔。
教学步骤：引入活动：1. 向学生介绍最大值和最小值的概念。
例如，最大值是指一组数中最大的数，最小值是指一组数中最小的数。
2. 给学生举一些简单的例子，帮助他们理解最大值和最小值的概念。
例如，给出一组数字，让学生找出其中的最大值和最小值。
探究活动：1. 给学生提供一些奥数问题，要求他们运用最大值和最小值的思维方法解决问题。
例如，有一堆苹果，其中有10个红苹果和8个绿苹果，求红苹果和绿苹果个数之差的最大值和最小值。
2. 让学生独立思考和解决问题，并在纸上写下他们的答案和解决思路。
讨论与总结：1. 让学生互相分享他们的解决思路和答案。
2. 引导学生总结最大值和最小值的应用场景和解决方法。
3. 与学生一起讨论如何运用最大值和最小值的思维方法解决其他类型的奥数问题。
拓展活动：1. 给学生更复杂的奥数问题，要求他们运用最大值和最小值的思维方法解决。
例如，某公司有50名员工，其中30人会英语，25人会法语，15人既会英语又会法语，求至少会一种语言的员工人数的最大值和最小值。
2. 鼓励学生尝试不同的解决思路，并与同学分享他们的方法和答案。
评估方式：1. 观察学生在探究活动中的参与程度和解决问题的能力。
2. 收集学生在讨论与总结环节中的回答和总结。
3. 根据学生在拓展活动中的表现评估他们对最大值和最小值的理解和应用能力。
教学延伸：1. 给学生更多的奥数问题，让他们继续运用最大值和最小值的思维方法解决。
2. 引导学生思考最大值和最小值的局限性，讨论在某些情况下是否存在最大值和最小值。
3. 鼓励学生进一步探索其他数学概念和方法，如平均值、中位数等，与最大值和最小值的关系。
六年级上册奥数第13讲 代数法解题
第13讲代数法解题讲义专题简析有一些数量关系比较复杂的分数应用题，用算术方法解答比较繁琐，甚至无法列出算式，这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。
例1、现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的，而9年前弟弟的年龄只是哥哥年龄的，今年哥哥多少岁?练习1、今年小红的年龄是爸爸年龄的，4年后，小红的年龄是爸爸年龄的，小红和爸爸今年各多少岁?2、原来学校书法组的人数是美术组人数的，这学期书法组和美术组各增加了5人，现在书法组的人数是美术组人数的。
原来书法组和美术组各有多少人?3、原来甲书架上的书的本数是乙书架上的书的本数的，后来从甲书架搬60本书到乙书架，这时甲书架上的书的本数是乙书架上的书的本数的。
原来两个书架上各有多少本书?例2、某工厂生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有合格，两种零件合格的共有42个。
两种零件各生产了多少个?练习：1、某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的得优，男生、女生得优的一共有42人。
男生、女生参赛的各有多少人?2、有两盒球，第一盒比第二盒多15个球，第二盒中全部是红球，第一盒中是红球，已知红球一共有69个，两盒球共有多少个？3、六年级甲班比乙班少4人，甲班有的人、乙班有的人参加了课外兴趣小组，两个班参加课外兴趣小组的共有29人。
甲、乙两班共有多少人?例3、阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少，女生减少，利下的男生、女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？练习：1、某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多5名。
今年参加无线电小组的同学减少，参加航模小组的同学减少，这样，两个组的同学一样多。
去年两个小组各有多少名同学？2、原来甲、乙两个书架上共有图书900本，将甲书架上的书增加，乙书架上的书增加，这样，两个书架上的书就一样多。
原来甲、乙两个书架上各有图书多少本?3、某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多700个。
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六年级奥数第13讲：最大值与最小值
【知识要点】
解决最大最小问题，常用的方法和思路有以下几种：
1.枚举比较。
在有限的情况下，通过计算，将所有情况的结果列举出来，然后比较出最大值或最小值。
2.运用规律。
①和一定的两个数，差越小，积越大。
②积一定的两个数，差越小，和越小。
③两点之间直线段最短。
3.解答最大最小问题，还要考虑极端的情形。
即可以从最特殊的情况入手，即可能出现的最大值或最小值考虑。
[例1] 两个数的和为198，这两个数的积最大是多少？
点拨：和为198的两个数（整数或分数）有无穷多组，将每组的积计算出来再比较是不可能的。
我们先通过特例来寻求积的变化规律。
如果两数都是自然数，积的情况如下：
197×1=197，196×2=392，195×3=585，194×4=776，……
可以猜想，和为198的两个数，一定可以写成：
99 + a与99 - a（0 ≤a ≤ 99），而（99 + a）×（99 - a）=99² - a²
可见，由此可以得出，两个数的和一定，则当它们的差越来越小时，乘积越来越大；当它们相等时（差为0时），乘积最大。
解答：当a = 0时，积最大，最大值即为99×99=9801
[试一试1] 两个数的和为15，积的最大值是多少？（答案：56.25）
[例2] 将1、2、3、4、5、6这六个数字分成两组，分别排成两个三位数，并且使这两个数的乘积最大。
这个乘积是多少？
点拨：要使两个数的乘积最大，应把6和5两个数放在千位，4和3两个数放在百位。
但4和3分别放在哪一个数字后面呢？
由例1我们可以知道，当两个数的和一定时，两个数的差越小，积就越大。
64和53相差11，63和54相差9，所以3应放在6的后面，4应放在5的后面。
同样道理，1应放在3的后面，2应放在4的后面。
解答：631×542=342002，乘积最大。
[试一试2] 用2～9这八个数字分别组成两个四位数，使这两个四位数的乘积最大。
（答案：9642×8753=84396426）
[例3] 把17拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？
点拨：我们先分析一些隐含的限制条件：
①要使17拆成的自然数的乘积最大，所拆成的数的个数要尽可能多，多一个可以多乘一次，但1不应出现，因为1与任何数的积仍为原数。
②由于4=2+2，又4=2×2，因此拆出的加数中要以不出现4。
③拆出的加数不要超过4，例如5，它还可以拆成2和3，而2×3›5，所以加数大于4的数还要继续拆小。
④拆出的加数中2的个数不能多于两个。
例如拆成三个2，不如拆成两个3。
因为三个2的积为8，两个3的积为9，这就是说，应尽可能多拆出3。
解答：因为17=3×5+2，所以把17拆成3、3、3、3、3、2时，积为3×3×3×3×3×2=486最大。
[试一试3] 把16拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？（答案：3×3×3×3×2×2=324）
[例4] 已知p.q-1=x，其中p.q为质数且均小于1000，x是奇数，那么x的最大值是多少？
点拨：由p.q-1=x，x是奇数，可知：p.q =x+1是偶数。
又因为p.q为质数，所以p.q中必有一个为偶质数2，不妨设p=2。
为了使x尽可能大，只须取q为最大的三位质数997.
解答：2×997-1=1993，是x的最大值。
[试一试4] 高a和b是选自前100个自然数中的两个不同的数，那么（a+b）÷（a-b）的最小可能值是多少？（答案：1）
[例5] 一箱玻璃弹子有若干颗（不多于1000颗）。
如果按2颗一次，或3颗一次，按4颗一次，或5颗一次，按6颗一次取出时，最后箱子里总是剩下1颗；如果按7颗一次取出时，箱子里就1颗也不剩。
问：箱子里原来最多有多少颗玻璃弹子？
点拨：根据题意，按2、3、4、5、6颗一次分别取出时，箱子里还剩下1颗，也就是说，总颗数应该比这几个数的最小公倍数多1。
而这几个数的最小公倍数是
60，所以可以用（60×k + 1）（小于等于1000）来表示总颗数，这样k ‹17；又根据7颗一次取出时，没有剩余，可以知道（60×k + 1）能被7整除。
解答：当k=5时，60×k + 1=301‹1000能被7整除。
容易知道，当k=5+7=12，k=5+7×2=19时，60×k + 1也能被7整除。
当k=19时，大于17，不符合题意，所以k=12，即60×k + 1=721.
答：箱子里最多有721颗玻璃弹子。
[试一试5] 一车苹果有若干个（不多于500个）。
如果按2个一次，或3个一次，或4个一次，或5个一次，或6个一次取出时，最后车里总还剩下一个。
如果按7个一次取出时，车里就一个也不剩。
问：车里原来最多有多少个苹果？
（答案：301个）
[例6] 甲、乙、丙三人各拿一个水桶到水龙头前接水。
水龙头注满甲水桶需要5分钟，注满乙水桶需要3分钟，注满丙水桶需要8分钟，现在只有一个水龙头可以用。
问：怎样安排甲、乙、丙三人的接水顺序，能使他们所花的总时间最少？最少的时间是多少？
点拨：由于三个人都要把水接满，不管谁先谁后三桶水接满的时间是一定的，是5+3+8=16（分钟）。
为使它们所花的总时间最少，关键是怎样安排才能使他们等候别人接水的总时间最少。
显然应该让接水时间短的人先接水，这样后面的人等候的时间短，所花的总时间就少。
解答：接水的先后顺序应该是：乙、甲、丙。
乙：接水用3分钟；
甲：等3分钟，自己接水5分钟，共用8分钟；
丙：等8分钟，自己接水8分钟，共用16分钟。
三人所用的时间最少是3×3+5×2+8=27（分钟）
答：按乙、甲、丙的先后顺序接水，所花的总时间最少。
最少的时间为27分钟。
[试一试6] 码头上现在同时有3艘货船需要卸货，但是只能一条一条地卸货，已知甲船卸完货需要30分钟，乙船卸完货需要70分钟，丙船卸完货需要55分钟，那么按照怎样的顺序卸货能使3艘货船等候的总时间最少？最少要用多长时间？（答案：270分钟）。