2009哈工大级研究生《数值分析》试卷

2009级研究生《数值分析》试卷

一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为x

y

y x y x u 223),(+=，其中，y x ,由

统计方法得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限

)(u ε和相对误差限)(u r ε.

二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .

三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[12

1

)]1()0([21)(10f f f f dx x f -++≈⎰的代数精

度.

四.(12分) 已知函数122)(2

3

-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间

},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.

其中,权函数1)(=x ρ,15

4

))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ.

五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:

(1) 填写均差计算表(标有*号处不填):

(2) 分别求出满足条件)2,1,0(),()(),()(22===k x f x N x f x L k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.

(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示. 六.(16分)

(1). 用Romberg 方法计算⎰3

1

dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).

(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈1

1

2

)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数

k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰3

1dx x .

七.(14分)

(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5

110||-+<-k k x x ). 八. (12分) 用追赶法求解方程组:

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解.

九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==0

0)()

,('y x y y x f y 的计算格式为:

)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .

2008年春季学期数值数学试题

一．（10分）设给实数0a >，初值00x >：

⑴试建立求1

a

的Newton 迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算；

⑵证明给定初值0x ，迭代收敛的充分必要条件为02

0x a

<<；

⑶该迭代的收敛速度是多少？

⑷取00.1x =，计算1

5

的近似值，要求计算迭代三次的值（结果保留5位小数）。

二．（10分）试确定参数,,a b c ，使得下面分段多项式函数()s x 是三次样条函数。

332

,01

()1(1)(1)(1),132

x x s x x a x b x c x ⎧≤≤⎪

=⎨--+-+-+≤≤⎪⎩ ()s x 是否是自然样条函数？

三．（10分）利用Dollite 三角分解方法求解方程组

123121022331302x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 四．（10分）给定3阶线性方程组

123122*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

讨论其Jacobi 迭代格式的收敛性

五．（10分）推导出中矩形求积公式()()()2

b

a

a b f x dx b a f +≈-⎰ ，并求出其截断误差。

六．（10分

用最小二乘法确定拟合公式bx y ae =中的参数,a b 。 七．（10

建立不超过三次的Newton 插值项式。

八．（10分）试确定常数01,A A ,使求积公式

1011

()(f x dx A f A f -≈+⎰

有尽可能高的代数精度,并指出代数精度是多少,该公式是否是Gauss 型?并用此 公式计算积分311

I dx x

=⎰（结果保留5位小数）。

九．（10分）利用经典四阶Runge-Kutta 方法求初值问题：

20,

01

(0)1

y y x y '=-≤≤⎧⎨

=⎩

在0.2x =处的数值解（取步长0.1h =）。

10．（10分）讨论两步方法 11112

(4)33

n n n n

y y y hy +-+'=-+ 的局部截断误差，求出它的局部阶段误差的首项（主部），它是多少阶的？ （在线性多步法的局部截断误差中

10111[()()],2,3,!p p

r

r r i i i i C i a r i b r r -==-⎧⎫=--+-=⎨⎬⎩⎭

∑∑ ）