高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量课时跟踪训练北师大版选修21

高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量课

时跟踪训练北师大版选修21

[A 组 基础巩固]

1．下列说法正确的是( )

A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小

C ．向量的大小与方向有关

D ．向量的模可以比较大小

解析：任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，故A 、B 不正确．向量的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C 不正确．由于向量的模是一个非负实数，故可以比较大小．

答案：D

2．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( ) ①任一向量与它的相反向量不相等；

②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若a ≠b ，则|a |≠|b |；

⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

解析：因为零向量与它的相反向量相等，所以①不正确；根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，②正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，③不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，④不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，⑤不正确．综上可知，只有②正确，故选B.

答案：B

3．在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，且|AC →|＝|BD →

|，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形

D ．不确定

解析：若AB →＝DC →，则AB ＝DC ，且AB ∥DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，又|AC →|＝|BD →

|，

即AC ＝BD ，

∴四边形ABCD 为矩形． 答案：B

4．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，平面ACC 1A 1的法向量是( ) A.BD → B.BC 1→ C.BD 1→

D.A 1B →

解析：∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1， ∴BD ⊥面ACC 1A 1，

故BD →

为平面ACC 1A 1的法向量． 答案：A

5．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则FE →

与GH →

所成的角等于( )

A ．45°

B ．60°

C ．90°

D ．120°

解析：因为FE →与BA 1→同向共线，GH →与BC 1→同向共线，所以〈FE →，GH →〉＝〈BA 1→，BC 1→

〉，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中△A 1BC 1为等边三角形，所以〈FE →，GH →〉＝〈BA 1→，BC 1→

〉＝60°.

答案：B

6.如图，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，PA ＝AC ，则在向量AB →，BC →

，CA →，PA →，PB →，PC →

中，夹角为90°的共有______对．

解析：夹角为90°的有：AB →与BC →，PA →与AB →，PA →与BC →，PA →与CA →，BC →与PB →

，共5对． 答案：5

7．给出以下命题：

①若a ，b 是空间向量，则|a |＝|b |是a ＝b 的必要不充分条件； ②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑤在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→

； ⑥空间中任意两个单位向量必相等． 其中，正确的命题序号是________．

解析：以上命题①②④⑤正确．两向量若相等，必须方向相同且模相等．但相等的向量起点不一定相同，故③错；两个单位向量虽模相等，但方向不一定相同，故⑥错．

答案：①②④⑤

8．在正四面体A ­BCD 中，O 为平面BCD 的中心，连接AO ，则平面BCD 的一个法向量可以是________．

解析：由于A ­BCD 是正四面体，易知AO ⊥平面BCD . 答案：AO →

9．已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1，则分别以此棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，与向量AA 1→的模相等的向量(AA 1→本身除外)共有多少个，与向量AA 1→相等的向量(AA 1→

本身除外)共有多少个．

解析：与AA 1→的模相等的向量有A 1A →，BB 1→，B 1B →，C 1C →，CC 1→，共5个，与AA 1→相等的向量有BB 1→

，

CC 1→

，共2个．

10．如图所示是棱长为1的正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1.

(1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，举出与向量AB →

相等的向量；

(2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，举出向量AC →

的相反向量； (3)若E 是BB 1的中点，举出与向量AE →

平行的向量．

解析：(1)由正三棱柱的结构特征知与AB →相等的向量只有向量A 1B 1→

. (2)向量AC →的相反向量有CA →，C 1A 1→

.

(3)取AA 1的中点F ，连接B 1F ，则B 1F →，FB 1→，EA →都是与AE →

平行的向量．

[B 组 能力提升]

1．下列有关平面法向量的说法中，不正确的是( ) A ．平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量 B ．一个平面的所有法向量互相平行

C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直

D ．如果a ，b 与平面α平行，且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量 解析：依据平面法向量的概念可知A ，B ，C 都是正确的．当a 与b 共线时，n 就不一定是平面α的法向量，故D 错误．

答案：D

2．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →

＝0，则△BCD 是( )

A ．钝角三角形

B ．锐角三角形

C ．直角三角形

D ．不确定

解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长，应用余弦定理可得△BCD 为锐角三角形． 答案：B

3．给出以下命题：

①若a ∥b ，b 与c 的夹角是30°，则a 与c 的夹角也是30°； ②平面的所有法向量方向相同；

③若两个向量的起点相同，终点也相同，则这两个空间向量相等． 其中正确命题的序号是__________． 解析：只有③正确． 答案：③

4．如图正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AD ，BC ，CC 1的中点，则〈EF →，GH →

〉＝________.

解析：连接DB ，BC 1，DC 1，