分式方程增根分类举例(含答案)
例析分式方程中有关增根的问题
２ ＋ ＝ ＋６ ｋ， ｘｘ４ －
３ ＝ｌ － ｘ Ｏ ｋ，
＝
１（Ｏ ｋ ． １－ ）
产生 。 ｘ ３ 即 ＝ 是增根 。 故可求 出 ／的值 ． １ ，
解 ：‘ ・ ’
Ｘ－ －． ５
・ ．
‘
原方程 的增根 为 ｘ ３ ＝，
１ ～
Ｘ－ －Ｊ
，
２ ０ 年 ７ ８月 ０ ８ —
维普资讯
全 等 三 角 形
巧 解 几 何 问 题
。
－ ． ．
１（０ ｋ ＝ ，１一 ＝ ， １一 ）３ ０ ｋ ９
．
．
１ ａ ５ ３ ， １ａ ５－ ５ － ＝ （一 ） － ＝ ｘ １ ，
即 ａ１ ＝．
当 ｎ１ ， ＝ 时 分式方程
增根 ．
Ｘ－ Ｊ －
求 出含 ｎ的式子表 示方程 的解 ， 代人 的值
就可求出 ０ 的值．
解 ：。 ． － — ＋ —
Ｘ－３ Ｊ－ － ＂ Ｘ
由以上几例 可以看 出 ，解 决这类 问题 时 ，
＝， ５
先求 出关 于某个 字母 的表达式 ，再借助增根 ， 就可求 出这个 字母的值 ．
ｘ－Ｊ
ｍ＋ ＝ｌ ３ ，
即 — ＋： ． ２一 Ｉ ＝
ｘ －３
即 ｍ＝ ２ 一．
＋ （一 ） 一 ４ ， ２ ３ ＝ （一 ）
例 ２ 如果关 于 的方程
ｘ－ ３
＝一 １
ｘ－ ． ５ ．
有
＋ ６ ４． ２ 一 ＝一 ＋
增根 。 ／的值． 求 １ ，
分式方程的增根与无解详解(最新整理)
x-2 (x-3)=m
整理得：
x=6-m
∵原方程有解，故 6-m 不是增根。
∴6-m≠3 即 m≠3
∵x＞0
∴m＜6
由此可得答案为 m 的取值范围是 m＜6 且 m≠3。 一、分式方程有增根，求参数值
2
x2 4xa 例 7 a 为何值时，关于 x 的方程 x 3 =0 有增根？
解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得 x2-4x+a=0（※） 因为分式方程有增根，增根为 x=3，把 x=3 代入（※）得，9-12+a=0 a=3
整理得（a－1）x＝－10
②
1
若原方程无解，则有两种情形： （1）当 a－1＝0（即 a＝1）时，方程②为 0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。 （2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为 x＝2 或－2，把 x＝2 或－2 代入方程②中，求出 a＝－4 或 6． 综上所述，a＝1 或 a＝一４或 a＝6 时，原分式方程无解． 例 5：（2005 扬州中考题）
入（※）得 m=-2
3 所以 m=- 2 或-2 时，原分式方程有增根
k
2
点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实根），如方程 x 1 +1= ( x 1)( x 2) 有增根，可求得 k=-
2
8
3 ，但分式方程这时有一实根 x= 3 。
二、分式方程是无实数解，求参数值
x2 m 例 9 若关于 x 的方程 x 5 = x 5 +2 无实数，求 m 的值。
整理得：
m(x+1)=7-x2
当 x= -1 时,此时 m 无解；
当 x=1 时,解得 m=3。
分式方程增根分类举例
与分式方程根有关的问题分类举例与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。
1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值解答此类问题必须明确增根的意义：（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。
（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。
利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。
例1. （2000年潜江市）使关于x 的方程a x x a x 2224222-+-=-产生增根的a 的值是（ ） A. 2 B. －2C. ±2D. 与a 无关解：去分母并整理，得： ()a x 22401--=<>因为原方程的增根为x =2，把x =2代入<1>，得a 2=4所以a =±2故应选C 。
例2. （1997年山东省） 若解分式方程21112x x m x x x x+-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2C. 1或2D. 1或－2解：去分母并整理，得：x x m 22201---=<>又原方程的增根是x =0或x =-1，把x =0或x =－1分别代入<1>式，得： m =2或m =1故应选C 。
例3. （2001年重庆市）若关于x 的方程ax x +--=1110有增根，则a 的值为__________。
解：原方程可化为：()a x -+=<>1201又原方程的增根是x =1，把x =1代入<1>，得：a =-1故应填“-1”。
例4. （2001年鄂州市）关于x 的方程x x k x -=+-323会产生增根，求k 的值。
解：原方程可化为：()x x k =-+<>231又原方程的增根为x =3，把x =3代入<1>，得：k=3例5. 当k 为何值时，解关于x 的方程：()()()1151112x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1。
解分式方程及增根_无解的典型问题含答案
分式圆程之阳早格格创做1. 解分式圆程的思路是：（1）正在圆程的二边皆乘以最简公分母，约来分母，化成整式圆程. （2）解那个整式圆程. （3） 把整式圆程的根戴进最简公分母，瞅截止是没有是为整，使最简公分母为整的根是本圆程的删根，必须舍来.（4） 写出本圆程的根.“一化二解三考验四归纳”例1：解圆程214111x x x +-=-- 例2：解闭于x 的圆程223242ax x x x +=--+有删根，则常数a 的值. 解：化整式圆程的(1)10a x -=-由题意知删根2,x =或者2x =-是整式圆程的根，把2,x =代进得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代进得-2a+2=-10，解得6a =所以4a =-或者6a =时，本圆程爆收删根.要领归纳：1.化为整式圆程.2.把删根代进整式圆程供出字母的值.例3：解闭于x 的圆程223242ax x x x +=--+无解，则常数a 的值. 解：化整式圆程的(1)10a x -=-当10a -=时，整式圆程无解.解得1a =本分式圆程无解. 当10a -≠时，整式圆程有解.当它的解为删根时本分式圆程无解.把删根2,x =或者2x =-代进整式圆程解得4a =-或者6a =. 综上所述：当1a =或者4a =-或者6a =时本分式圆程无解. 要领归纳：1.化为整式圆程.2.把整式圆程分为二种情况计划，整式圆程无解战整式圆程的解为删根.例4：若分式圆程212x a x +=--的解是正数，供a 的与值范畴. 解：解圆程的23a x -=且2x ≠，由题意得没有等式组：2-a 032-a 23>≠解得2a <且4a ≠-思索：1.若此圆程解为非正数呢？问案是几？2．若此圆程无解a 的值是几？圆程归纳：1.化为整式圆程供根，然而是没有克没有及是删根.2.根据题意列没有等式组.当堂检测1. 解圆程11322x x x-=---问案：2x =是删根本圆程无解. 2. 闭于x 的圆程12144a x x x-+=--有删根，则a =-------问案：7 3. 解闭于x 的圆程15m x =-下列道法精确的是（C ） 5x m =+5m >-时，圆程的解为正数1x a a x +=-无解，则a 的值为-----------问案：1或者-1 =11m x x +-有删根，则m 的值为-------------问案：-1121m x x =-+有删根，则删根为------------问案：2或者-1 x 的圆程1122k x x +=--有删根，则k 的值为-----------问案：1 x a a a+=无解，则a 的值是----------问案：0 201m x m x ++=-无解,则m 的与值是------问案：-1或者1-2x 的圆程(1)5321m x m x +-=-+无解，则m 的值为-------问案：6，10 x 的圆程311x m x x--=-无解，供m 的值为-------问案： 21162-x 2312x x x -=---问案67x =- 13．解圆程2240x-11x -=- x 的圆程21326x m x x -=--有删根，则m 的值-----问案：m=2或者-217.当a 为何值时，闭于x 的分式圆程311x a x x --=-无解.问案:-2或者1。
(完整版)分式方程无解增根专题
分式方程专题一：知识梳理如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。
二：例题精讲例题1：若方程﹣=1有增根，则它的增根是，m=．【解答】解：由分式方程有增根，得到（x+1）（x﹣1）=0，解得：x=±1，分式方程去分母得：6﹣m（x+1）=x2﹣1，把x=1代入整式方程得：6﹣2m=0，即m=3；把x=﹣1代入整式方程得：6=0，无解，综上，分式方程的增根是1，m=3．故答案为：1；3．反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．（2）关于x的方程+=2有增根，则m=．（3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．例题2：若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是．【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：﹣2+x+m=2（x﹣2），解得：x=m+2，∵方程的解为正数，∴m+2＞0，且m+2≠2，解得：m＞﹣2，且m≠0，故答案为：m＞﹣2且m≠0．反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是．例题3：若关于x的分式方程=a无解，则a的值为．【解答】解：两边同乘以x+1，得x﹣a=ax+a移项及合并同类项，得x（a﹣1）=﹣2a，系数化为1，得x=，∵关于x的分式方程=a无解，∴x+1=0或a﹣1=0，即x=﹣1或a=1，∴﹣1=，得a=﹣1，故答案为：±1．反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为．（2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．（3）若关于x的分式方程无解，则m=．三：典型错题1.在中，x的取值范围为．2.要使方式的值是非负数，则x的取值范围是．3.已知，则分式的值为．4.将分式（a、b均为正数）中的字母a、b都扩大到原来的2倍，则分式值为原来的倍．5.若=+，则A=，B=．6.若解分式方程产生增根，则m=．7.若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是．8.关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是9.已知，则的值为．10．已知a2+b2=9ab，且b＞a＞0，则的值为．参考答案：例题1：反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．【解答】解：去分母得：2x﹣a=x+1，由分式方程有增根，得到x+1=0，即x=﹣1，把x=﹣1代入得：﹣2﹣a=0，解得：a=﹣2，故答案为：﹣1；﹣2（2）关于x的方程+=2有增根，则m=．【解答】解：去分母得：5x﹣3﹣mx=2x﹣8，由分式方程有增根，得到x﹣4=0，即x=4，把x=4代入整式方程得：20﹣3﹣4m=0，快捷得：m=，故答案为：（3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．【解答】解：去分母得：5x﹣5=x+2k﹣6x，由分式方程有增根，得到x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，把x=0代入整式方程得：k=﹣；把x=1代入整式方程得：k=，则k的值为或﹣．故答案为：或﹣例题2：反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．【解答】解：解关于x的方程=3得x=m+6，∵方程的解是正数，∴m+6＞0且m+6≠2，解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是．【解答】解：把方程移项通分得，∴方程的解为x=a﹣6，∵方程的解是负数，∴x=a﹣6＜0，∴a＜6，当x=﹣2时，2×（﹣2）+a=0，∴a=4，∴a的取值范围是：a＜6且a≠4．故答案为：a＜6且a≠4．例题3：反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为．【解答】解：去分母得：2x+4+kx=3x﹣6，当k=1时，方程化简得：4=﹣6，无解，符合题意；由分式方程无解，得到x2﹣4=0，即x=2或x=﹣2，把x=2代入整式方程得：4+4+2k=0，即k=﹣4；把x=﹣2代入整式方程得：﹣4+4﹣2k=﹣12，即k=6，故答案为：﹣4或6或1（2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．【解答】解：两边都乘以（x﹣2），得x﹣1=m+3（x﹣2）．m=﹣2x+5．分式方程的增根是x=2，将x=2代入，得m=﹣2×2=5=1，故答案为：1．（3）若关于x的分式方程无解，则m=．【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：m﹣（x﹣1）=0，即m=x﹣1，∵关于x的分式方程无解，∴x=1或x=﹣1，当x=1时，m=0，当x=﹣1时，m=﹣2，故答案为：0或﹣2．典型错题：1.在中，x的取值范围为0＜x≤1．2.要使方式的值是非负数，则x的取值范围是x≥1或x＜﹣2．3.已知，则分式的值为．4.将分式（a、b均为正数）中的字母a、b都扩大到原来的2倍，则分式值为原来的倍．5.若=+，则A=﹣12，B=17．6.若解分式方程产生增根，则m=﹣2或1．．7.若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是m≥﹣2且m≠﹣1 ．8.关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0．9.已知，求的值．【解答】解：将两边同时乘以x，得x2+1=3x，===．10．已知a2+b2=9ab，且b＞a＞0，求的值．【解答】解：∵a2+b2=9ab，∴a2+b2+2ab=11ab，a2+b2﹣2ab=7ab，即（a+b）2=11ab，（a﹣b）2=7ab，∵b＞a＞0，即b﹣a＞0，∴a+b=，b﹣a=，则原式=﹣=﹣=﹣．。
分式方程中增根及无解问题
分式方程有增根、无解等问题【真题演练】1．（2021秋•德江县期末）关于x的方程有增根，则m的值是（）A．0B．2或3C．2D．32．（2021秋•开福区校级期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（）A．m＝2或m＝6B．m＝2C．m＝6D．m＝2或m＝﹣63．（2021秋•庄浪县期末）若关于x的方程＝2有增根，则m的取值是（）A．0B．2C．﹣2D．14．（2021秋•黔西南州期末）若关于x的方程+2＝有增根，则m的值是（）A．﹣2B．2C．1D．﹣15．（2022春•原阳县月考）分式方程+2＝有增根，则m＝．6．（2022春•靖江市校级月考）已知关于x的分式方程有增根，则m＝．7．（2021秋•新田县期末）解关于x的分式方程＝时不会产生增根，则m的取值范围是．8．（2021秋•平江县期末）若关于x 的分式方程有增根，则m 的值是 ．【真题演练】9．（2022春•江都区校级月考）若关于x 的分式方程无解，则实数a 的值为（ ） A ．7B ．3C ．3或7D ．±710．（2022春•西峡县校级月考）若关于x 的分式方程无解，则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．﹣10C ．0或﹣6D ．﹣6或﹣1011．（2021春•南召县期中）若关于的x 方程无解，则a 的值为（ ） A ．或B ．0或3C ．或3 D ．0或12．（2021秋•晋安区期末）若关于x 的分式方程＝无解，则k 的值为（ ） A ．1或4或﹣6B ．1或﹣4或6C ．﹣4或6D ．4或﹣613．（2021秋•两江新区期末）若关于x 的方程＝1无解，则a ＝（ ） A ．3B ．0或8C ．﹣2或3D ．3或814．（2021秋•官渡区期末）若关于x的方程无解，则a的值为（）A．2B．C．1或2D．2或15．（2022•南海区一模）若关于x的方程无解，则a ＝．16．（2021秋•虎林市校级期末）若关于x 的分式方程无解，则a 的值为（）A．﹣2B．1C．﹣2或1D．1或0【真题演练】17．（2022春•海陵区校级月考）关于x的方程有正数解，则m取值范围是．18．（2022•禅城区一模）若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m为．19．（2022•仁寿县模拟）已知关于x的方程＝5的解不是正数，则m的取值范围为．20．（2022•任城区一模）关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围是．21．（2021秋•北安市校级期末）关于x的方程的解不小于1，则m的取值范围为．22．（2021秋•绵阳期末）若关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和等于．23．（2022春•普宁市校级月考）若分式方程的解为整数，则整数a＝（）A．a＝±2B．a＝±1或a＝±2C．a＝1或2D．a＝±124．（2021秋•南沙区期末）若正整数m使关于x的分式方程的解为正数，则符合条件的m的个数是（）A．2B．3C．4D．525．（2021秋•合川区期末）若a≥﹣4，且关于x的分式方程+3＝有正整数解，则满足条件的所有a的取值之积为．。
知识点143 分式方程的增根(解答)
1．当m为何值时，去分母解方程=1﹣会产生增根？考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母3（x﹣2）=0，所以增根是x=2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．解答：解：方程两边都乘3（x﹣2），得4x+1=3x﹣6+3（5x﹣m）即3m=14x﹣7分式方程若有增根，则分母必为零，即x=2，把x=2代入整式方程，3m=14×2﹣7，解得m=7，所以当m=7时，去分母解方程=1﹣会产生增根．点评：根问题可按如下步骤进行：①根据分式方程的最简公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．2．a为何值时，关于x的方程会产生增根？考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+2）（x﹣2）=0，得到x=﹣2或2，然后代入化为整式方程的方程算出a的值．解答：解：原方程可化为2（x+2）+ax=3（x﹣2）（a﹣1）x=﹣10．此方程的增根x=±2，当x=2时，（a﹣1）×2=﹣10，a=﹣4；当x=﹣2时，（a﹣1）×（﹣2）=﹣10，a=6．因此当a=﹣4或a=6时，关于x的方程会产生增根．点评：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．3．分式方程+3=有增根．（1）这个增根是什么？（2）求m的值．考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x﹣2=0，所以增根是x=2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．解答：解：（1）∵方程有增根，∴最简公分母x﹣2=0，即增根是x=2．（2）方程两边都乘（x﹣2），得m+3（x﹣2）=x﹣1把增根x=2代入整式方程，得m=1．点评：增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．本题需注意分母互为相反数的分式方程的最简公分母是相反数中的一个．4．已知关于x的方程有增根，则k为多少？考点：分式方程的增根。
分式方程的增根与无解详解
分 式 方 程 的 增 根 与 无 解 讲 解例1解方程—24x 3•①x 2 x 4 x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 )，得2 (x+2) -4x=3 (x-2 ).②解这个方程，得x=2.经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=2是原方程的增根.所以原方程无解.例2解方程x 13 x2 .x 22 x解：去分母后化为x — 1 = 3— x + 2 (2+ x ).整理得0x = 8.因为此方程无解，所以原分式方程无解.例3 (2007湖北荆门)若方程 王卫二―丄无解，则m= ------------ .x 22 x解：原方程可化为x 3二—m.x 2 x 2方程两边都乘以x — 2，得x — 3=— m解这个方程，得x=3— m因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根.即 x=2，所以2=3— m 解得m=1.故当m=1时，原方程无解.ax例4当a为何值时，关于x的方程齐厂齐①会产生增根?解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2)+ ax= 3 (x —2)整理得(a—1) x = —10若原分式方程有增根，则x= 2或-2是方程②的根.把x = 2或一2代入方程②中，解得，a = —4或6.若将此题“会产生增根”改为“无解”，即:2 ax 3当a为何值时，关于x的方程厂2 厂门①无解?此时还要考虑转化后的整式方程（a—1）x二—10本身无解的情况，解法如下:解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2)+ ax= 3 (x —2)整理得(a—1) x = —10若原方程无解，则有两种情形:（1）当a—1 = 0 （即a= 1）时，方程②为0x =一10，此方程无解，所以原方程无解。
（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解•原方程若有增根，增根为x = 2或一2,把x = 2或一2代入方程②中，求出a= —4或6.综上所述，a= 1或a = —4或a=6时，原分式方程无解.例5: （2005扬州中考题）6A 、0B 、1C 、-1D 、1 或-1分析：使方程的最简公分母(x+1)(x-1)=0 则x=-1或x=1，但不能忽略增根除满足最简公 分母为零,还必须是所化整式方程的根。
分式方程增根分类举例(含答案)
与分式方程根有关的问题分类举例与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。
1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值解答此类问题必须明确增根的意义：（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。
（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。
利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。
例1. （2000年潜江市）使关于x 的方程a x x a x 2224222-+-=-产生增根的a 的值是（ ） A. 2 B. －2C. ±2D. 与a 无关解：去分母并整理，得： ()a x 22401--=<>因为原方程的增根为x =2，把x =2代入<1>，得a 2=4所以a =±2故应选C 。
例2. （1997年山东省） 若解分式方程21112x x m x x x x+-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2C. 1或2D. 1或－2解：去分母并整理，得：x x m 22201---=<>又原方程的增根是x =0或x =-1，把x =0或x =－1分别代入<1>式，得：m =2或m =1故应选C 。
例3. （2001年重庆市）若关于x 的方程ax x +--=1110有增根，则a 的值为__________。
解：原方程可化为：()a x -+=<>1201又原方程的增根是x =1，把x =1代入<1>，得：a =-1故应填“-1”。
例4. （2001年鄂州市）关于x 的方程x x k x -=+-323会产生增根，求k 的值。
解：原方程可化为：()x x k =-+<>231又原方程的增根为x =3，把x =3代入<1>，得：k=3例5. 当k 为何值时，解关于x 的方程：()()()1151112x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1。
分式方程增根
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不适合于原方程的根.
使分母值为零的根
产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式 后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程 的根.
解：将x 2 - 4分解因式，原方程化为 x-2 16 1 x 2 x 2 x - 2
练习
பைடு நூலகம்
m2 m0
3-2X 2+mx 1.关于X方程 + =-1无解，求m值。 X-3 3-x x m 2.关于x方程 -2= 有一个正数解， x-3 x-3 求m取值范围。 m 3 m 1
m6 m3
x - 2 16 例4 解方程： - 2 1 x2 x -4
方程两边同乘 x 2 x - 2，得
x - 2
2
-16 x 2 x - 2
整理，得 -4x 8 解这个方程，得 x -2 2 检验：当x 2时，x2 4 (2)2 4 0
(D) 2
x 若关于x的方程，
若方程 则（B ） A、k=±2 C、k=-2
2
1 k 4x 1 会产生增根， 2 x2 x2 x 4
B、k=2 D、k为任何实数
4x a 有增根，求a的值。 1 x3 a=3
例题
2x+m 1.关于X 方程 =-m无解,求m值. m=-6或 x-3 m=-2 m 2.关于x方程 =1的解是负数,则m范围----x+2
所以，x -2不是原方程的根，应当舍去. 原方程无解.
检验新办法：把求出的根代入最简公分母， 若值为0，则为增根。
x m 2 当m为何值时，方程 x 3 x 3 会产生增根
m=3
(完整版)解分式方程及增根,无解的典型问题含答案
分式方程1. 解分式方程的思路是：（1） 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。
（2） 解这个整式方程。
（3） 把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。
（4） 写出原方程的根。
“一化二解三检验四总结”例1：解方程214111x x x +-=-- （1） 增根是使最简公分母值为零的未知数的值。
（2） 增根是整式方程的根但不是原分式方程的，所以解分式方程一定要验根。
例2：解关于x 的方程223242ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。
解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a =所以4a =-或6a =时，原方程产生增根。
方法总结：1.化为整式方程。
2.把增根代入整式方程求出字母的值。
例3：解关于x 的方程223242ax x x x +=--+无解，则常数a 的值。
解：化整式方程的(1)10a x -=-当10a -=时，整式方程无解。
解得1a =原分式方程无解。
当10a -≠时，整式方程有解。
当它的解为增根时原分式方程无解。
把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。
综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。
方法总结：1.化为整式方程。
2.把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根。
例4：若分式方程212x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围。
解：解方程的23a x -=且2x ≠，由题意得不等式组：2-a 032-a 23>≠解得2a <且4a ≠- 思考：1.若此方程解为非正数呢？答案是多少？2．若此方程无解a 的值是多少？方程总结：1. 化为整式方程求根，但是不能是增根。
分式方程增根专题
m x 1有增根，则增根为（C
）
A、2
B、-1 C、2或-1 D、无法确定
3.若分式方程
k 1 x2 1
1 x2
x
k 5 x2 x
有增根
x 1 ,那么k的值为__k_=_9___
自学指导2、 (4分钟)
当m为 何 值 时, 关 于x的 方 程
解：方程两边同时乘以x
x 1
程的根
经检验x 1是原方程的增根
原方程无解
变有((式增12)) 、根增 增（，根 根岳则是是阳增使整中根最式考_简方_）_公 程x_=关分 的_1_于母 根__x值 但_的_为 不_方_零 是程_的 原x未分7知式1数方 3的程值的x..所m1
以解分式方程一定要验根.
变式1、 (3分钟)
2 mx
x2x2 2x
2
4
3 无解 x2
得2x 2 mx 3x 2
当m 1 0时，即m 1,
m 1x 10
整式方程m 1x 10无解
从而原分式方程无解
当m 1 0时，原分式方程有增根x 2
把x 2分别代入上式得 2m 1 10或 2m 1 10
x 4 - m2 x 2时原方程的增根
2 4 - m2 m 2
3.当m为何值时,方程
2 mx 3 x 1 x2 1 x 1
产生无增解根.
解：2x 2 mx 3x 3
(m 1)x 5
x x1, 1x，x1,m1产生 1会增无根解
5m511, 1，5m511,1m 1
学习目标:(1分钟)
1.有关分式方程增根求字母系数问题；
第8讲分式方程的增根问题答案
第8讲1．解：方程两边都乘以x -3，得2x -1= x -3，解得2x =-.2．解：方程两边都乘以x (x -1)，得4(x -1)=3x ，解得4x =.3．解：把原分式方程化为整式方程，求得这个整式方程的解是x =1或3．当x =1时，公分母x-1的值为零，故分式方程的增根为x =1.4．解：把原分式方程化为整式方程，并解得2227m x x =+-．由已知条件1x =是原分式方程的增根，故把1x =代入2227m x x =+-得3m =-.5．解：方程两边同乘以x -2，并整理得24m x =-+，当分式方程出现增根时，公分母的值必为零，故增根必为2x =，把2x =代入24m x =-+，得22m =．即m =，故答案为C .6．解：把原分式方程化为整式方程，可得2k x =。
由已知条件，原分式方程不会产生增根，则公分母210x -≠，故1, 2.x k ≠±≠±从而故答案为C .7．解：方程两边同乘(-1)(1)x x +，得2(1)0.x x --=解这个方程，得2x = 检验： 当2x =时，(1)(1)0x x -+≠，所以2x =是原方程的解.8．解：方程两边同乘(1)(1)x x +-，得63(1)x =+解这个方程，得1x = 检验： 当1x =时，(1)(1)0x x +-=，所以1x =是增根，舍去.故原方程无解.9．解：小明的解法有三处错误：步骤①去分母错误；步骤②去括号错误；步骤⑥之前缺少“检验”步骤.正确的解答过程如下：去分母，得1(2)x x --=，去括号，得12x x -+=，移项，得12x x --=--，合并同类项，得23x -=-，两边同除以2-，得32x =.经检验，32x=是原方程的解，∴原方程的解是32x=.10．解：化分式方程为整式方程得：(2)3a x+=，考虑到x的系数含参数，故要分两种情况讨论：（1）当20a+=，即2a=-时，方程无解，故原分式方程无解；（2）当20a+≠时，方程两边同除以2a+，得32xa=+，因为原方程无解，所以32xa==+或1.若32a=+，则无解；若312a=+，解得1a=.综上分析，21a=-或.。
利用分式方程的增根解题
利用分式方程的增根解题大家知道，解分式方程时有时会产生增根，分式方程的增根是由于把分式方程化为整式方程时，方程两边所乘的最简公分母为零造成的，因此分式方程的增根具有以下性质：⑴能使分式方程的最简公分母为零；⑵增根虽然不是原方程的根，但它却是去分母后所得整式方程的根．利用这两条性质，可以帮助我们对一些题目的顺利解答，下面举例说明．1．方程有增根例1 若关于x 的方程1101ax x +-=-有增根，则a 的值为__________________. 解：去分母并整理，得11ax x +=-，因为原方程有增根，增根只能是1x =，将1x =代入去分母后的整式方程，得1a =-.2．方程有解例2．若方程22121242x a x x x ++=-+--有解，则a 的取值范围是___________. 解析：去分母，整理，得36x a =--，所以23a x =--. 由原分式方程知2x =或2x =-是原方程的增根，即当223a ±=--，12a =-或0a =时，原方程有增根，应舍去.所以，当12a ≠-且0a ≠时，原方程有解，解为23a x =--. 3．方程无解例3 若关于x 的方程2233x m x x -=+--无解，则m 的值是_________. 析解：去分母并整理，得40x m +-=.解之，得4x m =-.因为原方程无解，所以4x m =-为方程的增根.又由于原方程的增根为3x =.所以43m -=，1m =.4．方程有唯一解例4．若方程233x R x x -=--有唯一解，则R 的取值范围是_______________. 解析：去分母，整理，得6R x =-.由于3x =是原方程的增根，故3x ≠，故3R ≠.5．方程的解有范围例5 当ｍ为何值时，分式方程622132-+-=-+-+x x m x x x x x 的解不小于１？ 正解 去分母化为整式方程，得７ｘ－２ｍ＋３＝０，解得，ｘ＝732-m ． ∵原方程的解不小于１，∴732-m ≥１，得ｍ≥５．又因为x =2, x=－3是方程的增根，应舍去，所以732-m ≠－３且732-m ≠２，得ｍ≠－９且ｍ≠217．∴当ｍ≥５且ｍ≠217时，分式方程622132-+-=-+-+x x m x x x x x 的解不小于１．。
分式方程解法及增根问题例题
分式方程解法及增根问题例题分式方程解法及增根问题例题在代数学中，分式方程是指方程中含有分式的方程。
在解分式方程时，通常需要使用增根和减根的方法。
本文将介绍分式方程的解法以及增根问题，并提供一些例题进行讲解。
一、分式方程的解法解分式方程的一般步骤如下：1. 化简分式：将分式方程中的分式进行化简，使方程变得更加简单。
2. 通分：将方程中的分式通分，使得方程中的分母相同，便于计算和化简。
3. 求解：利用通分后的方程，进行运算和求解，得出方程的解。
对于分式方程 3/(x+2) = 1/(x-1)，首先可以将分式进行通分，得到3(x-1) = (x+2)。
然后进行计算和求解，得出 x 的值。
二、增根问题在解分式方程时，经常会遇到增根问题。
增根指的是在解出方程的根之外，还需要添加一些特殊的值，以满足方程的条件。
解决增根问题的一般步骤如下：1. 求解得到普通根：按照正常的解方程方法，求解得到方程的普通根。
2. 分析增根条件：分析方程中是否存在增根的条件，例如分式方程中的分母不能为零等条件。
3. 添加增根：根据增根的条件，添加符合条件的增根，让方程能够满足所有条件。
对于分式方程 1/(x-3) = 2/(x+2)，首先可以求解得到普通根 x=4。
然后分析发现，当 x=3 时，方程中的分母为零，因此需要添加增根 x=3，才能满足方程的条件。
三、例题讲解现在，我们通过一些例题来具体讲解分式方程的解法和增根问题。
例题1：解方程 2/(x-1) - 3/(x+2) = 1/(x-3)解题步骤：1. 化简得到通分形式：2(x+2) - 3(x-1) = (x-3)2. 化简得到普通根：2x+4 - 3x+3 = x-33. 求解得到普通根：-x+7 = x-3，得到 x=54. 分析增根条件：当 x=1 时，分式中的分母为零。
5. 添加增根：添加增根 x=1，使得方程满足所有条件。
例题2：解方程 1/(x-2) + 2/(x+1) = 3/(x-3)解题步骤：1. 化简得到通分形式：(x-2) + 2(x-3) = 3(x+1)2. 化简得到普通根：x-2 + 2x-6 = 3x+33. 求解得到普通根：3x-8 = 3x+3，得到矛盾4. 分析增根条件：由于方程中出现了矛盾，需要分析增根条件。
知识点143 分式方程的增根(解答)
知识点143 分式方程的增根(解答)1、m2、m3的关系是m3=m1+m2﹣15 ．考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：解分式方程，根据方程有增根求得m的值即可，根据规律即可得出结论．第三问设方程的三根为a，b，c 且a+b=c，再求得对应的m．即可得出它们之间的关系．解答：解：探究1：方程两边都乘（x﹣3），得3x+5（x﹣3）=﹣m∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣3）=0，解得x=3，当x=3时，m=﹣9，故m的值是﹣9．探究2：方程两边都乘（x﹣3），得3x+5（x﹣3）=﹣m∵原方程的根为x=﹣1，∴m=23，探究3：由（1）（2）得x=，方程的三个对应根为a，b，c且a+b=c，即可得出对应的m，m1=15﹣8a，m2=15﹣8b，m3=15﹣8c，探究4：∵a+b=c，∴+=，整理得m3=m1+m2﹣15，故答案为m3=m1+m2﹣15．点评：本题考查了分式方程的增根，解分式方程要验根，但解含有字母参数的分式方程不用验根．17．解方程：=1+．考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：找到最简公分母（y+2）（y﹣2），方程两边同乘以最简公分母，然后化为整式方程求解．解答：解：去分母得：y+2=y2﹣4+4，…（2分）∴y2﹣y﹣2=0，…（1分）∴y1=2，y2=﹣1，…（2分）经检验知：y1=2是增根，舍去，y2=﹣1是原方程的根，…（1分）∴原方程的根是y=﹣1．点评：本题考查了分式方程的解法以及分式方程的增根，注：解分式方程要检验．18．已知方程有增根x=1，求k的值．考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，得到x=1或﹣1，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．解答：解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）+k（x+1）=6∵原方程有增根x=1，∴当x=1时，k=3，故k的值是3．点评：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．19．使分式方程产生增根，则k的值为﹣8或8 ，增根为x=﹣4或4 ．考点：分式方程的增根。
分式方程的增根答案 (1)(1)
分式方程的增根、无解、特殊解答案一、选择题1．（2021·武冈市第二中学八年级月考）若方程（）xx -3﹣2＝kx -3会产生增根，则k 的值为A．6﹣x B．x﹣6 C．﹣3 D．3 【答案】D【分析】由于方程xx -3﹣2＝kx -3会产生增根，故x＝3，所以把x＝3 代入x-2（x−3）＝k，求得k的值即可．【详解】解：∵所给的关于x 的方程有增根，即有x−3＝0，∴增根是x＝3，而x＝3 一定是整式方程x-2（x−3）＝k 的解，将其代入，得3-2（3−3）＝k，解得：k＝3．故选：D．【点睛】本题考查对分式方程增根的理解，因为增根是使方程分母为零的数值，所以在解关于增根的方程时会形成一个关于另一个字母的整式方程，要注意体会二者之间的联系．2．（2021·上海九年级专题练习）若关于x 的分式方程取值范围是( )1x +k=5x -1的根为正数，则k 的A．k<-1且k≠-1 B．k≠-1 C．-51 1<k<1 D．k<-5 5【答案】A【分析】先去分母求出分式方程的解，再根据此方程的解为正数，列出关于k 的不等式，注意此方程有解，则x≠1，x≠﹣k，求出k 的取值范围即可．【详解】方程两边同时乘以（x+k）（x-1）得：⎩x ﹣1=5x +5k 解之：x = -5k +14∵x ＞0 且 x ≠1，x ≠﹣k ∴ -5k +1＞0 且-5k +1≠1 且-5k +1≠﹣k ，4 44解得：k ＜ - 1且 k ≠﹣1，5∴k ＜ - 1且 k ≠﹣15故答案为：A 【点睛】本题考查分式方程的解、解分式方程、解一元一次不等式，理解分式方程的解，熟练掌握分 式方程的解法是解答的关键，注意使分式有意义的隐含条件． 3．（2021·山东日照市·八年级期末）已知关于 x 的分式方程x - a = 1的解是非负数，那么x - 2 2a 的取值范围是（） A ． a ≥ 1 【答案】CB ． a ≤ 1C ． a ≥ 1且 a ≠ 2D ． a ≥ 1且 a ≠ 1【分析】先解分式方程，再根据方程 x - a = 1的解为非负数，列不等式组可以求得 a 的取值范围． x - 2 2【详解】 解：x - a = 1 ，x - 2 2方程两边同乘 2（x ﹣2），得 2（x ﹣a ）＝x ﹣2， 去括号，得 2x ﹣2a ＝x ﹣2， 移项、合并同类项，得 x ＝2a ﹣2， ∵关于 x 的分式方程x - a = 1的解为非负数，x ﹣2≠0， x - 2 2⎧2a - 2 0 ∴ ⎨2a - 2 - 2 ≠ 0 ， 解得 a ≥1 且 a ≠2． 故选：C ． 【点睛】⎩ m 本题考查解一元一次不等式组、分式方程的解，解答本题的关键是明确解分式方程的方法，注意：分式方程分母不能为 0．4．（2021·河北廊坊市·八年级期末）若关于x 的分式方程 m- 3= 1的解是非负数， x -1 1- x则 m 的取值范围是（ ）A ． m ≥ -4 ， m ≠ 1 C ． m ≥ 2且m ≠ 3B ． m ≥ -4 且 m ≠ -3 D ． m > -4【答案】B 【分析】先去分母得到整式方程 m +3＝x ﹣1，再由整式方程的解为非负数得到 m +4≥0，由整式方程的解不能使分式方程的分母为 0 得到 m +4≠1，然后求出不等式的公共部分得到 m 的取值范围． 【详解】解：去分母得 m +3＝x ﹣1，整理得 x ＝m +4，因为关于 x 的分式方程 -3=1 的解是非负数，所以 m +4≥0 且 m +4≠1， 解得 m ≥﹣4 且 m ≠﹣3， 故选：B ． 【点睛】x -1 1- x本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于 0 的未知数的值，这个值叫方程的解．在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，可 能产生增根，增根是令分母等于 0 的值，不是原分式方程的解．⎧2(x +1) -1 3 5．（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级期末）若关于 x 的不等式组⎨x - a ≥ 0无解，且关于 y 的分式方程y= a - 6 -1有正整数解，则所有满足条件的 a 的值之和为（ ） y -3 3- yA ．16B ．15C ．13D ．12【答案】D 【分析】先根据不等式组无解解得 a > 1，再计算分式方程当 y 为正整数解时，解得符合条件的 a 的⎩ 值，最后求和．【详解】⎧2(x +1) -1 3① 解： ⎨x - a ≥ 0②解不等式①得： x ≤ 1， 解不等式② 得： x ≥a此方程无解，∴a > 1y = a - 6 -1 y -3 3- y∴y = 6 - a -y - 3 y - 3 y - 3 y - 3∴y y - 3 = 6 - a - y + 3 y - 3此分式方程有正整数解，∴ y ≠ 3∴ y = 6 - a - y + 3 ∴ y =9 - a > 0, y 为正整数2∴1 < a < 9, y = 1、2、4即∴9 - a = 2、9 - a = 4、9 - a = 8∴ a = 7、a = 5所有满足条件的 a 的值的和为： 5 + 7 = 12 故选：D ． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、分式方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是 解题关键．6．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学八年级开学考试）若整数 a 使关于 x 的不等式组+⎧ 1(x - 4) + x ≥ 3 ⎪ 2 2 ax 3 无解，且使关于 x 的分式方程 + = 2有整数解，那么所有满足 ⎨ a - x x - 3 3 - x ⎪ ≥ 0 ⎩⎪ 4条件的 a 的值的和是（）A ．2B ．3C ．7D ．8【答案】B【分析】解不等式组中的两个不等式，根据不等式组无解得出 a 的范围；解分式方程知 x =33，2 - a由分式方程有整数解可知【详解】2 - a=±1、-3，求得 a 的值后求和即可得.1x 解：解不等式 2 （x -4）+ 2≥3 得 x ≥5，a - x 解不等式4≥0，得 x ≤a ，∵不等式组无解，∴a ＜5；ax3 解方程组= 2得 x = 3 ， x - 3 3 - x ∵分式方程有整数解， 32 - a∴2 - a=±1、-3，解得：a =1、-1 或 3，∴所有满足条件的 a 值的和为 1-1+3=3， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和分式方程的能力，解题的关键是熟练掌握解不等式（组） 和分式方程的基本技能，并求得符合条件的 a 的值．7．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学九年级月考）若整数 a 使关于 x 的分式方程3xa - 5 ⎧ y + a > 7 y - 4 - = 1的解为正数，且使关于 y 的不等式组 ⎪ y -1 2 y -1 有且只有两个整数x - 2 2 - x ⎨ ≤解，则所有符合条件的整数a 的和为（ ） ⎩⎪ 2 3⎪ ⎪ A ． -2 【答案】AB ． -3C ．1D ．4【分析】根据题意可以求得 a 的取值范围，从而可以得到符合条件的a 的整数值，从而可以解答本题．【详解】3x 解：由方程- a - 5 = 1， x - 2 2 - x 解得： x = 3 - a ，2⎧ 3 - a > 0 ⎪ 2 ∴ ⎨3 - a ，≠ 2 ⎩⎪ 2解得： a < 3且 a ≠ -1；⎧ y + a > 7 y - 4⎪ 解不等式组⎨ y -1 ≤2 y -1 ， ⎩⎪ 2 3⎧ y < 4 + a 解得： ⎨ 6 ， ⎪⎩ y ≥ -1∵不等式组有且只有两个整数解，∴0 < 4 + a ≤ 1，6∴ -4 < a ≤ 2， ∵ a < 3且 a ≠ -1； ∴ -4 < a ≤ 2，且 a ≠ -1，∴所有符合条件的整数 a 有： -3， -2 ，0，1，2； ∴ -3 + (-2) + 0 +1+ 2 = -2 ； 故选：A ． 【点睛】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式（组）、一元一次不等式组的整数解，解答本题 的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用不等式的性质解答．⎨ ⎨ ⎨ ⎧ 2x + 3 ≥ x -18．（2021·上海九年级专题练习）如果关于x 的不等式组⎪3 有且只有两个奇数 ⎪⎩4x - 6 > a - 4解，且关于 y 的分式方程3y - a -10= 1的解为非负整数，则符合条件的所有整数 a 的 y - 2 2 - y和为（）A ．8B ．16C ．18D ．20【答案】B【分析】⎧ 2x + 3 ≥ x -1a + 2由关于 x 的不等式组⎪3 可得 < x ≤ 6，由关于y 的分式方程 4 ⎪⎩4x - 6 > a - 43y - a -10 = 1可得 y = 8 - a，进而可由不等式组的解有且只有两个奇数解和分式方程y - 2 2 - y2的解为非负整数可求解． 【详解】⎧ 2x + 3 ≥ x -1a + 2解：由关于x 的不等式组⎪3 可得 < x ≤ 6，4 ⎪⎩4x - 6 > a - 4∵关于 x 的不等式组有且只有两个奇数解， ∴1 ≤a + 2 < 3 ，解得： 2 ≤ a < 10，4由关于 y 的分式方程3y- a -10 = 1可得 y = 8 - a 且 y ≠ 2 ，y - 2 2 - y 2∵关于 y 的分式方程的解为非负整数， ∴ a ≤ 8且 a ≠ 4 的整数，∴综上可得符合条件 a 的值有 2、6、8； ∴它们的和为 2+6+8=16； 故选 B ． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法及分式方程的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法及分式方程的解法是解题的关键．二、填空题9．（2021·广西河池市·八年级期末）若方程x -1=x - 52mx -5无解，则m =．【答案】2【分析】当分母不为0 时，方程可转化为x -1 = 2m ，根据题意原方程无解，则可知当分母为0 时，原方程无解，即当x - 5 = 0 时，方程无解，所以x = 5，将x = 5代入x -1 = 2m 即可求出m 的值．【详解】当分母不为0 时，去分母得：x -1 = 2m ，根据题意可知原方程无解，则当分母为0 时，原方程无解，即当x - 5 = 0 时，方程无解，所以x = 5，将x = 5代入x -1 = 2m ，得：5 -1 = 2m ，所以m = 2 ．故答案为：2 ．【点睛】本题主要考查了分式方程无解的条件，解题的关键是熟知当分式方程的分母为0 时，该方程无解．10．（2021·福建省福州第一中学八年级期末）若关于x 的分式方程x -a=1无解，则a = ．【答案】2【分析】2x - 4 3先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件看能否得出一类a 值，再根据分式方程无解的条件看能否得出另外一类a 值即可．【详解】x -a 1解：=，2x - 4 3去分母得： 3(x - a )＝2x - 4 ， 整理得： x = 3a - 4，由于此方程未知数的系数是 1 不为 0，故无论 a 取何值时， 3(x - a )＝2x - 4 都有解，故此情形下无符合题意的 a 值；由分式方程无解即有增根，可得 2x ﹣4＝0，得 x =2 把 x ＝2 代入 x = 3a - 4，解得：a ＝2，故此情形下符合题意的 a 值为 2；综上，若要关于 x 的分式方程x - a = 1无解，a 的值为 2． 2x - 4 3故答案为： 2． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键． 3x -a 1 211．（2021·广东阳江市·九年级一模）若分式方程 x 2 - 2x＋x - 2＝ x有增根，则实数 a的取值是．【答案】4 或 8 【分析】化为整式方程 2x ＝a ﹣4，当 x ＝0 或 x ＝2 时，分式方程有增根，分别求出 a 的值即可． 【详解】解：∵ 3x - a +1 = 2， x 2 - 2x x - 2 x去分母得，3x ﹣a +x ＝2x ﹣4， 整理得，2x ＝a ﹣4， ∵分式方程有增根，∴x ＝0 或 x ＝2， 当 x ＝0 时，a ＝4； 当 x ＝2 时，a ＝8． 故答案是 4 或 8． 【点睛】本题主要考查分式方程的增根，掌握分式方程的增根使其分母为 0 是解题的关键．⎩ ⎩12．（2021·湖南常德市·八年级期末）已知方程 2 - a + 2 = 3，且关于 x 的不等式组⎧x ≥ a 只aa有 3 个整数解，那么b 的取值范围是 ．【答案】3≤b ＜4 【分析】⎨x ≤ b首先解分式方程求得 a 的值，然后根据不等式组的解集确定 x 的范围，再根据只有 3 个整数解，确定 b 的范围． 【详解】 解：解方程2 - a + 2 = 3， a a两边同时乘以 a 得：2-a ＋2a =3，解得：a =1，⎧x ≥ a∴关于 x 的不等式组 ⎨x ≤ b ，则解集是 1≤x ≤b ，∵不等式组只有 3 个整数解，则整数解是 1，2，3，∴3≤b ＜4．故答案是：3≤b ＜4． 【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和解分式方程，求不等式组的解集，应遵循以下原则： 同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．13．（2021·全国九年级专题练习）若关于 x 的方程 x +1 - 1 x 2- x 3x = k 3x - 3有增根，k 的值是 ；若关于 x 的方程【答案】6 6 或 2【分析】x +1 - 1 x 2 - x 3x = k3x - 3 无解，k 的值是 ．①增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最 简公分母3x (x -1) = 0 ，得到 x = 0 或 3，然后代入化为整式方程的方程算出 k 的值； ②分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为 0 求出 x 的值， 代入整式方程即可求出 k 的值．⎪ 【详解】解：①方程两边都乘3x (x -1)， 得3(x +1) - x +1 = kx ∵原方程有增根，∴最简公分母3x (x -1) = 0 ， 解得 x = 0 或 1， 当 x = 0时，方程不成立． 当 x = 1时， k = 6 ， 故 k 的值是 6．②分式方程去分母得： 3x + 3 - x +1 = kx ， 移项合并得： (k - 2)x = 4，当k - 2 = 0，即 k = 2时，方程无解； 当 k = 6 时，分式方程有增根， 故 k 的值是 6 或 2， 故答案为 6；6 或 2． 【点睛】本题考查对分式方程的增根和无解的理解，分式方程有增根即对应化简后的整式方程有解， 并且解为使得最简公分母为 0 的值，而分式方程无解包含有增根或对应整式方程无解两种情 况．⎧ x -1< 7 - x x⎪ 214．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学九年级期末）若关于 的一元一次不等式组 ⎨x -1 a ≥ ⎩⎪ 4 2有解，且关于 y 的分式方程 y - a + 7= 1有非负整数解，则符合条件的所有整数 a 的和1 - y y - 1为．【答案】 -14【分析】先对不等式组进行求解，然后根据不等式组有解得出 a 的取值范围；再求解分式方程，结合⎪ ⎩分式方程有非负整数解以及增根的情况讨论出所有符合题意的整数 a 的值，最终求和即可． 【详解】⎧ x -1< 7 - x⎪ 2⎧x < 5对于 ⎨x -1 a≥ ，解得： ⎨x ≥ 2a +1，⎩⎪ 4 2∵该不等式组有解，∴ 2a +1 < 5，解得： a < 2 ，对于y - a+ 7 = 1，解得： y = 8 + a ，1 - y y - 1 2∵ y = 1为原分式方程的增根， ∴ y ≠ 1，即：8 + a ≠ 1，解得： a ≠ -6 ，2又∵原分式方程有非负整数解，且 a < 2 ， ∴8 + a ≥ 0 ，解得： -8 ≤ a < 2且 a ≠ -6 ，2∴在此范围内能使得 y =8 + a 是非负整数的整数 a 是 -8、- 4、- 2、0 ，2∴符合条件的所有整数 a 的和为 -8 - 4 - 2 + 0 = -14 ， 故答案为： -14． 【点睛】本题考查含参分式方程与不等式组的求解，通过题目条件，准确分步求出参数的范围是解题关键．15．（2021·全国九年级专题练习）已知关于 x 的分式方程2 - ax - 1+1＝0 有整数解，⎧3x ≤ 2(x - 1) 1- x x -1⎪ 且关于 x 的不等式组 ⎨ 2x -1 解集为 x ≤﹣1，则符合条件的所有整数 a 的个数是 ．⎪2x - < a⎩⎪3【答案】2【分析】解分式方程得出 x ＝4 a +1，根据题意得出 a +1＝±1 或 a +1＝±2 或 a +1＝﹣4，据此得出 a ＝0⎪或﹣2 或 1 或﹣3 或﹣5；解不等式组两个不等式，根据解集为 x ≤﹣1，得出综合以上两点得出整数 a 的值，从而得出答案． 3a -1 5＞﹣1；【详解】 解：分式方程2 - ax - 1+1＝0，1- x x -1去分母，得：ax ﹣2﹣1+x ﹣1＝0，4解得：x ＝，a +1∵关于 x 的分式方程2 - ax - 1+1＝0 有整数解，1- x x -1∴a +1＝±1 或 a +1＝±2 或 a +1＝﹣4，∴a ＝0 或﹣2 或 1 或﹣3 或﹣5，⎧3x ≤ 2(x - 1)① ⎪ 2 ⎨x -1 ， ⎪2x - < a ② ⎩⎪ 3解不等式①得：x ≤﹣1， 3a -1 解不等式②得：x ＜，5∵不等式组的解集为 x ≤﹣1， 3a -1 ∴54 ＞﹣1，即 a ＞﹣3则整数 a 的值为 0，1，∴符合条件的所有整数 a 的个数为 2， 故答案为 2． 【点睛】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式组，解题的关键是根据分式方程的解的情况及不等式组解集的情况得出 a 的取值范围．16．（2021·全国九年级专题练习）关于 x 的分式方程⎧ 4x -13 +1 < xx + m x - 2 +2m2 - x＝3 的解为正实数，且不 等式组 ⎨ ⎪⎩ 12 4 无解，则满足条件的正整数m 之和等于 ．x - m ≥ 0【答案】13⎩【分析】表示出分式方程的解，由分式方程解为正数，得到 m 的取值范围；不等式组变形后，根据不等式组无解，确定出 m 的范围，进而求出 m 的值，得到所有满足条件的正整数 m 之和． 【详解】解：分式方程去分母得：x +m ﹣2m ＝3x ﹣6， 6 - m 解得：x ＝，26 - m6 - m 由分式方程的解为正数，得到： 2∴m ＜6 且 m ≠2，＞0 且2≠2，⎧ x < 1不等式组整理得： ⎨x ≥ m ，∵不等式组无解，∴m ≥1，∴综上，m 的范围为 1≤m <6 且 m ≠2∴整数 m ＝1，3，4，5∴所有满足条件的正整数 m 之和是 13， 故答案为：13． 【点睛】本题考查由分式方程的解求参数范围、由不等式组的解集情况求参数，掌握解分式方程和解 不等式组的方法是解题的关键．三、解答题x17．（2021·全国九年级专题练习）若关于 x 的分式方程= 2 -m 的解为正数，求正整数 m 的值．x - 2 2 - x【答案】 x 解：方程= 2 - m两边同时乘以(x - 2) 得：x - 2 2 - xx = 2(x - 2) + m ，∴ x = 2 x - 4 + m ， ∴ x = 4 - m ，∵解为正数，∴4 - m > 0， ∴ m < 4 ，又 m 为正整数，∴ m = 1或 m = 2 或 m = 3．∵当 x = 4 - m = 2 时， x - 2 = 0，∴ m = 2 不符合题意．∴正整数 m 的值为 1 或 3．18．（2021·全国九年级专题练习）已知，关于 x 的分式方程a 2x + 3 -b - x = 1．x - 5（1）当a = 1,b = 0 时，求分式方程的解； ab - x（2）当 a = 1时，求 b 为何值时分式方程2x + 3 - = 1无解； x - 5【答案】（1） x = - 10 ；（2） b = 11或b = 5 ．11 2【分析】（1）将 a 和 b 的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把 a 的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论 b 的值，使分式方程无解即可． 【详解】解：（1）把 a = 1,b = 0 代入分式方程a 2x + 3 -b - x = 1中，得x - 51 - 2x + 3 -x = 1x - 5方程两边同时乘以(2x + 3)(x - 5) ，得(x - 5) + x (2x + 3) = (2x + 3)(x - 5)x - 5 + 2x 2 + 3x = 2x 2 - 7x -15解得， x = - 1011检验：把x =-10代入(2x + 3)(x - 5) ≠ 0 ，所以原分式方程的解是x =-10．11 11答：分式方程的解是x =-10．11（2）把a = 1代入分式方程a-b -x= 1得，1-b -x= 1 2x + 3方程两边同时乘以(2x + 3)(x - 5) ，x -52x + 3 x - 5 (x - 5) - (b -x)(2x + 3) = (2x + 3)(x - 5)x - 5 + 2x2 + 3x - 2bx - 3b = 2x2 - 7x -15(11- 2b)x = 3b -1011①当11 - 2b = 0 时，即b ，方程无解；2=。
解分式方程及增根_无解的典型问题含答案
分式方程1.解分式方程的思路是：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。
（2）解这个整式方程。
（3）把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。
（4）写出原方程的根。
“一化二解三检验四总结”例1：解方程214111x x x 例2：解关于x 的方程223242ax x x x 有增根，则常数a 的值。
解：化整式方程的(1)10a x 由题意知增根2,x 或2x 是整式方程的根，把2,x代入得2210a,解得4a ,把2x 代入得-2a+2=-10，解得6a 所以4a 或6a 时，原方程产生增根。
方法总结： 1.化为整式方程。
2.把增根代入整式方程求出字母的值。
例3：解关于x 的方程223242ax x x x 无解，则常数a 的值。
解：化整式方程的(1)10a x 当10a时，整式方程无解。
解得1a 原分式方程无解。
当10a 时，整式方程有解。
当它的解为增根时原分式方程无解。
把增根2,x 或2x 代入整式方程解得4a 或6a 。
综上所述：当1a 或4a 或6a 时原分式方程无解。
方法总结： 1.化为整式方程。
2.把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根。
例4：若分式方程212xa x的解是正数，求a 的取值范围。
解：解方程的23a x 且2x ，由题意得不等式组：2-a 032-a23解得2a 且4a思考：1.若此方程解为非正数呢？答案是多少？2．若此方程无解a 的值是多少？方程总结： 1. 化为整式方程求根，但是不能是增根。
2.根据题意列不等式组。
当堂检测1.解方程11322xx x 答案：2x 是增根原方程无解。
2.关于x 的方程12144axx x 有增根，则a =-------答案：73.解关于x 的方程15mx 下列说法正确的是（ C ）A.方程的解为5x mB.当5m 时，方程的解为正数C.当5m 时，方程的解为负数D.无法确定4.若分式方程1x aa x 无解，则a 的值为-----------答案：1或-15. 若分式方程=11m xx 有增根，则m 的值为-------------答案：-16.分式方程121mx x 有增根，则增根为------------答案：2或-17. 关于x 的方程1122kx x 有增根，则k 的值为-----------答案：18. 若分式方程x aa a 无解，则a 的值是----------答案：09.若分式方程201m xm x 无解,则m 的取值是------答案：-1或1-210. 若关于x 的方程(1)5321m x m x 无解，则m 的值为-------答案：6，1011. 若关于x 的方程311x m x x 无解，求m 的值为-------答案：12.解方程21162-x 2312x x x 答案67x 13．解方程224x-11x 14. 解方程2212525x x x 15. 解方程222213339x x x x 16. 关于x 的方程21326x m x x 有增根，则m 的值-----答案：m=2或-217.当a 为何值时，关于x 的分式方程311x a x x 无解。
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与分式方程根有关的问题分类举例
与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。
1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值 解答此类问题必须明确增根的意义：
（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。
（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。
利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。
例1. （2000年潜江市）
使关于x 的方程a x x a x
2
2
24222-+-=
-产生增根的a 的值是（ ） A. 2 B. －2
C. ±2
D. 与a 无关
解：去分母并整理，得：
()
a
x 2
240
1--=<>
因为原方程的增根为x =2，把x =2代入<1>，得a 2=4 所以a =±2 故应选C 。
例2. （1997年山东省）
若解分式方程2111
2x x m x x x x
+-++=
+产生增根，则m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2 C. 1或2 D. 1或－2 解：去分母并整理，得：
x x m 2220
1---=<>
又原方程的增根是x =0或x =-1，把x =0或x =－1分别代入<1>式，得： m =2或m =1 故应选C 。
例3. （2001年重庆市）
若关于x 的方程
ax x +--=1
110有增根，则a 的值为__________。
解：原方程可化为：()a x -+=<>120
1
又原方程的增根是x =1，把x =1代入<1>，得： a =-1
故应填“-1”。
例4. （2001年鄂州市）
关于x 的方程x x k
x -=+
-323会产生增根，求k 的值。
解：原方程可化为：()x x k
=-+<>231
又原方程的增根为x =3，把x =3代入<1>，得：
k=3
例5. 当k 为何值时，解关于x 的方程：()()()115
111
2
x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1。
解：原方程可化为：
()()()()x k x k x ++--=-<>151112
把x =1代入<1>，得k=3
所以当k=3时，解已知方程只有增根x =1。
评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是： （1）将所给方程化为整式方程；
（2）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）； （3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。
2. 已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围 例6. （2002年荆门市）
当k 的值为_________（填出一个值即可）时，方程x x k x
x x
-=--122
只有一个实数根。
解：原方程可化为：x x k 220
1+-=<>
要原方程只有一个实数根，有下面两种情况：
（1）当方程<1>有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由
∆=+=440k 得k=－1。
当k=－1时，方程<1>的根为x x 121==-，符合题意。
（2）方程<1>有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，所以由∆=+>440k ，得k>－1。
又原方程的增根为x =0或x =1，把x =0或x =1分别代入<1>得k=0，或k=3，均符合题意。
综上所述：可填“－1、0、3”中的任何一个即可。
例7. （2002年孝感市）
当m 为何值时，关于x 的方程211
1
2x x m x x x ---=+-无实根？
解：原方程可化为：
x x m 220
1-+-=<>
要原方程无实根，有下面两种情况：
（1）方程<1>无实数根，由()()∆=---<14202
m ，得m <
74
； （2）方程<1>的实数解均为原方程的增根时，原方程无实根，而原方程的增根为x =0或x =1，把x =0或x =1分别代入<1>得m =2。
综上所述：当m <7
4
或当m=2时，所给方程无实数解。
例8. （2003年南昌市）
已知关于x 的方程11
x m
x m --=有实数根，求m 的取值范围。
解：原方程化为：mx x 210
1-+=<>
要原方程有实数根，只要方程<1>有实数根且至少有一个根不是原方程的增根即可。
（1）当m =0时，有x =1，显然x =1是原方程的增根，所以m =0应舍去。
（2）当m ≠0时，由∆=-≥140m ，得m ≤1
4。
又原方程的增根为x =0或x =1，当x =0时，方程<1>不成立；当x m ==10，。
综上所述：当m ≤
1
4
且m ≠0时，所给方程有实数根。
评注：由以上三例可知，由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围的基本思路是：
（1）将所给方程化为整式方程； （2）根据根的情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。
3. 已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围
例9. 当a 取何值时，解关于x 的方程：()()
x x x x x ax
x x ---++=+-+12212212无增根？ 解：原方程可化为：
230
12x ax +-=<>
又原方程的增根为x =2或x =-1，把x =2或x =-1分别代入<1>得：
a =-5
2或a =-1
又由∆=+>a 2240知，a 可以取任何实数。
所以，当a ≠-
5
2
且a ≠-1时，解所给方程无增根。
评注：解答此类问题的基本思路是： （1）将已知方程化为整式方程；
（2）由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范围；
（3）从有实数根的范围里排除有增根的值，即得无增根的取值范围。
4. 已知分式方程根的符号，求字母系数的取值范围
例9. 已知关于x 的方程x a
x +-=-2
1的根大于0，求a 的取值范围。
解：原方程可化为：22x a =-
所以x a
=-12
由题意，得：
120->a 且122-≠a
所以a <2且a ≠-2
例10. 已知关于x 的方程x k
x +-=2
2的根小于0，求k 的取值范围。
解：原方程可化为：x k x +=-24 所以x k =+4
由题意，得：k +<40 所以k <-4
评注：解答此类题的基本思路是： （1）求出已知方程的根；
（2）由已知建立关于字母系数的不等式，求出字母系数的取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。
说明：注意例9与例10的区别，例9有12
2-≠a
，而例10无k +≠42这一不
等式？请读者思考。