材料力学第12章 用能量法计算变形

微元 dx 上轴力 FN(x) 做的功:
dW
=
1 2
FN (x)d
d = e = s = FN (x)
dx
e EA
d = FN (x)dx
EA
2. 扭转杆应变能计算 微元 dx 上扭矩 T(x)做的功:
杆件应变能的计算
3、弯曲杆应变能计算 微元 dx 上弯矩 M(x) 做的功:
杆件应变能的计算
Fi
×d i
/
2
+
Fi ×d i
iVe / Fi = d i / 2 + d i
Fi 0时 , d i 0
当 Ve / Fi = d i 即卡氏定理。
卡氏定理
由意大利工程师阿尔伯托·卡斯提格里安诺
(Alberto Castigliano， 1847—1884)提出。
我们得到另一结论，因 Fi = kd i 所以 Ve ( F1 ,..., Fn ) = Ve (d 1 ,..., d n )
子思 《中庸》第二十章
引言
引言
前面解决了强度问题（简单变形——组合 变形） 刚度问题怎么办？ （1）能否避免组合变形的微分方程？ （2）能否只求出若干控制点的变形，避免求 整个变形曲线，用揭示本质法，进行寻根 ？
引言
质
点
能量
力
学
动量
挠
方法：变过程为状态
曲 线
动量法 或 能量法？
本章就寻找能量方法，用于求位移。 优点：（1）不管中间过程，只算最终状态；
设法推导出（不是简单的证明）
卡氏定理
推导的出发点
只有第 i 号外力有增量
F1
F2
F + F
d i + d i i
i
Fn
F1 F2
卡氏定理
d i Fi Fn
d i Fi
Fi ×d i = Fi ×d i
卡氏定理
F1 F2
+ F F
di + di i
i
F1 F2 d i Fi
Fi ×d i = Fi ×d i
性体内部：
—— 什么含义？
通过计算 功，得到 应变能。 F
F 广义力（力，力偶）；
广义位移（线，角位移）。
d
W = Fd = kd = 1 k2 = 1 F
0
0
2
2
进而推导用 Vε 计算：变形体的位移或内力，即能量法。
杆件应变能的计算
三、杆件应变能的计算
1. 轴向拉压杆的应变能计算
di Fi
Fn
Fn
Ve( F1 ,..., Fi + Fi ,..., Fn ) = Ve( F1 ,..., Fi ,..., Fn ) + Ve(0,..., Fi ,..., 0) + Fi × d i
Ve( F1 ,..., Fi + Fi ,..., Fn ) - Ve( F1 ,..., Fi ,..., Fn ) =
四、应变能的普遍表达式
杆件应变能的计算
1.轴力、扭矩和弯矩各自变形垂直,相互不做功。 2.应变能与加载次序无关，可相互叠加（略掉剪力的
影响）。于是得：
现在用内力表达了应变能，能否也能用 应力表达应变能？
思路：
应变能中的内力 换成应力。
1. 拉压 2. 扭转
杆件应变能的计算
代入应变能公式中，得：
3. 弯曲
杆件应变能的计算
代入应变能公式中，得：
将三种情况都代入应变能中，得：
杆件应变能的计算
如果利用郑玄-胡克定律，可得到：单用应变 表示的应变能；用应变、应力联合表示应变能。
另一种推导： 设一个微元 dV =dAdx上 沿 dx 方向的应力
dF
σ = 沿 dx 方向产生的应变为
dA
故由公式：
用dV =dAdx除上式两边, 得:
第十二章 用能量法
计算变形
Calculating Deformation by Using Energy Method
目录
赠言 引言 杆件应变能的计算 卡氏定理 莫尔定理 计算莫尔积分的图乘法 互等定理 虚功原理
赠言
赠言
子曰： 好学近乎知， 力行近乎仁， 知耻近乎勇。 知斯三者，则知所以修身； 知所以修身，则知所以治人； 知所以治人，则知所以治天下国家矣。
F2 F1
wenku.baidu.com载荷F2在载荷F1起的位移上做 的功。
注意：(1)载荷交互作用做功，不同于自力做功是 变载由零一点一点增大，而是常力做功。
(2)实质是虚功原理
(3)因F1dA2 = F2dB1 ，也包含互等定理。
六、利用功能原理求位移
杆件应变能的计算
根据外力功 W 全部转成应变能
可以求出一个集中力下的位移 Δ 。
= p F 2 R 2 (1 - cos j )2 Rdj + p F 2 R 2 (sin j )2 Rdj
0
2GI P
0
2 EI
= 3F 2 R 3p + F 2 R 3p
4GI P
4 EI
（3） 外力功等于应变能
\
fA
=
3FR 3p 2GI P
+
FR 3p 2 EI
卡氏定理
一、卡氏定理的推导
（2）能量是标量，容易计算。
杆件应变能的计算
杆件应变能的计算
一、条件 大前提：（1）小变形； （2）服从郑玄-胡克定律。
线弹性体响应（内力、应力和变形）为外载 的 线性函数。
小前提：缓慢加载。 变力做功，功只转成应变能——
无损失， 不转成动能、热能。
杆件应变能的计算
二、变力做功 —— 贮能
外力缓慢做功W ，无损失地转化为应变能 ，贮存于弹
dF dΔ dW = dA dx dV 2
故：
杆件应变能的计算
杆件应变能的计算
五、关于交互项的重要意义
内力、应力和位移都可以叠加，
变形位能的计算能不能用叠加原理?
F1 F2
F1
F2
M = M1 + M2
M1
M2
可见变形位能的计算不能用叠加原理。
杆件应变能的计算
如何解释交叉项？
单独作用时
则
W - (W1 +W2 ) =
杆件应变能的计算
例 半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受
铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。
解：用能量法（外力功等于应变能）
（1）求内力
MN
F
A
j
FN
F
A
B
T
R
MT
FS
弯矩 : M T (j ) = FR sin j
A
扭矩 : M N (j ) = FR(1 - cosj )
（2） 应变能
杆件应变能的计算
M1M 2dx EI
交叉项是两个载荷相互作用的外力功〈解释1〉
F1
A
F2
M 1M 2dx =
EI
M
1
(
M 2dx EI
)
=
M 1dq 2 = F1d A2
dA2
载荷F1在载荷F2起的位移上做的功。
杆件应变能的计算
〈解释2〉
M1M 2dx = EI
M
2
(
M 1dx EI
)
=
M 2dq1 = F2d B1