极值点偏移
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设g(x) f (x) f (2 x) (x 2)ex xe2x
g(x) (x 1)(ex e2 ) 0 x 1,有g(x) 0恒成立，g(x)在(,1)上递增 ex
g(1) 0, 设x1 1 x2 , g(x1) 0 f (x1) f (2 x1),又 f (x1) f (x2 ) f (x2 ) f (2 x1),又x2 1,2 x1 1, f (x)在（1， ） ， x2 2 x1 x1 x2 2
2 x1 3 (2 x2 3) 2[ln(2 x1 3) ln(2x2 3)]
由对数均值不等式 a b a b 可知:
ln a ln b
2
(2 x1 ln(2 x1
3) (2 x2 3) 3) ln(2 x2 3)
2 x1
2x2 2
2
x1 x2
e2
例7：已知函数 f (x) xex , 若x1 x2 , 有f (x1) f (x2 ), 证明：x1 x2 2
解法一：构造法，f ( x) (1 x)e x 0 x 1
f ( x)在(,1)上为单调递增函数，在（1， ）上递减
ln
x1 ln
x2
a(x1 x2 )
ln
x1 x2 x1 ln x2
1 a
ln x1 ln x2 a(x1 x2 )
由对数均值不等式 a b a b ln a ln b 2
ln
x1
ln
x2
a( x1
x2 )
a
2 a
2
ln( x1x2 )
设g ( x) f ( x) f (2 x) xex (2 x)e x2
g( x)
(1
x)(1 e2 x2 ) ex
,
g ( x)
0,
g ( x)在R上单调递增，g (1)
0
x2 1, g (1) 0, 有f ( x2 ) f (2 x2 ), f ( x1 ) f ( x2 ),
1,由对数均值不等式 ln
ab a ln b
ab 2
x1 x2 2
1
x1 x2
2
世上有一条很长很美的路，叫做梦想； 还有一堵很高很硬的墙，叫做现实； 翻越那堵墙，叫做坚持； 推倒那堵墙，叫做突破。 只有拼搏了才会知道自己有多优秀!
谢谢 聆听
a b ,可知
2
ln
x1 x2 x1 ln x2
x1 x2 2
, x1 x2
2
（2019年适应性考试）已知函数f (x) ln x 2(x 1) , g(x) ex1
1 x
2x 3
Βιβλιοθήκη Baidu
（1）求函数f (x)在[1,)上的最小值;
（2）设b a 0, 证明： b a a b ; ln b ln a 2
x
x
g(x)
(x 1)ex x2
0
x 1,有g(x)在(0,1)上递减，(1,)上递增
g(x)min e 1,m e 1
例3、已知函数f (x) ex x的图像与y ax的图像在x (0,)上有两个不同的 交点p(x1, y1),Q(x2, y2 ) （1）求a的取值范围； （2）求证：x1 x2 2
f ( x1 ) f (2 x2 ), x1 1 x2 ,2 x2 1, x1 2 x2
x1 x2 2
解法二：公式法：xex
a
x
ln
x a
x1
ln
x
ln
a,
x2
ln
x
ln
a
x1
x2
ln
x1 ln
x2
ln
x1 x1
x2 ln x2
6 , ( x1
x2 )
x1 x2 5
例6、已知函数f (x) ln x ax有两个零点x1, x2 , （1）求实数a的取值范围 （2）求证：x1.x2 e2
(1)a (0, 1) e
(2) ln x ax, 有 ln x1 ax1, ln x2 ax2
高考专题研究
巧解高考压轴题---导数 铜仁二中曾凡界老师
函数问题中的极值点偏移研究
铜仁二中教师： 曾凡界
什么叫极值点偏移问题？
极值点偏移的常见几何形态与代数表达
极值点偏移函数的常见基本形态
（Ⅱ）分析：
解答极值点偏移函数问题
基本 步骤
化双变量为单变量
构造函数法
例（2 2016年全国卷）已知函数f (x) (x 2)ex a(x 1)2有两个零点x1、x2 （1）求a的取值范围; （2）证明：x1 x2 2
例（2 2016年全国卷）已知函数f (x) (x 2)ex a(x 1)2 有两个零点x1、x2 （1）求a的取值范围;(a 0) （2）证明：x1 x2 2
证明：f (x) (x 1)(ex 2a) 0 x 1,有f (x)在（1， ）上递增
（3）若存在实数m，使方程g ( x)
m有两个实根x1,
x2 , 且x1
x2
3 2
证明：x1 x2 5
证明：e x1 m x ln m(2 x 3) 1 2x 3
x1 ln m(2x1 3) 1, x2 ln m(2 x2 3) 1
x1 x2 ln(2 x1 3) ln(2 x2 3)
例3、已知函数f (x) ex x的图像与y ax的图像在x (0,)上有两个不同的 交点p(x1, y1),Q(x2, y2 ) （1）求a的取值范围； （2）求证：x1 x2 2
解：（1）由ex x ax ex 1 a(x 0),设g(x) ex 1
解：
（2）证明：ex x ax ex (a 1)x x ln(a 1)x
x1 ln(a 1) ln x1
x2 ln(a 1) ln x2
x1 x2
ln
x1 ln
x2
ln
x1 x2 x1 ln x2
1,由对数均值不等式
ab ln a ln b
g(x) (x 1)(ex e2 ) 0 x 1,有g(x) 0恒成立，g(x)在(,1)上递增 ex
g(1) 0, 设x1 1 x2 , g(x1) 0 f (x1) f (2 x1),又 f (x1) f (x2 ) f (x2 ) f (2 x1),又x2 1,2 x1 1, f (x)在（1， ） ， x2 2 x1 x1 x2 2
2 x1 3 (2 x2 3) 2[ln(2 x1 3) ln(2x2 3)]
由对数均值不等式 a b a b 可知:
ln a ln b
2
(2 x1 ln(2 x1
3) (2 x2 3) 3) ln(2 x2 3)
2 x1
2x2 2
2
x1 x2
e2
例7：已知函数 f (x) xex , 若x1 x2 , 有f (x1) f (x2 ), 证明：x1 x2 2
解法一：构造法，f ( x) (1 x)e x 0 x 1
f ( x)在(,1)上为单调递增函数，在（1， ）上递减
ln
x1 ln
x2
a(x1 x2 )
ln
x1 x2 x1 ln x2
1 a
ln x1 ln x2 a(x1 x2 )
由对数均值不等式 a b a b ln a ln b 2
ln
x1
ln
x2
a( x1
x2 )
a
2 a
2
ln( x1x2 )
设g ( x) f ( x) f (2 x) xex (2 x)e x2
g( x)
(1
x)(1 e2 x2 ) ex
,
g ( x)
0,
g ( x)在R上单调递增，g (1)
0
x2 1, g (1) 0, 有f ( x2 ) f (2 x2 ), f ( x1 ) f ( x2 ),
1,由对数均值不等式 ln
ab a ln b
ab 2
x1 x2 2
1
x1 x2
2
世上有一条很长很美的路，叫做梦想； 还有一堵很高很硬的墙，叫做现实； 翻越那堵墙，叫做坚持； 推倒那堵墙，叫做突破。 只有拼搏了才会知道自己有多优秀!
谢谢 聆听
a b ,可知
2
ln
x1 x2 x1 ln x2
x1 x2 2
, x1 x2
2
（2019年适应性考试）已知函数f (x) ln x 2(x 1) , g(x) ex1
1 x
2x 3
Βιβλιοθήκη Baidu
（1）求函数f (x)在[1,)上的最小值;
（2）设b a 0, 证明： b a a b ; ln b ln a 2
x
x
g(x)
(x 1)ex x2
0
x 1,有g(x)在(0,1)上递减，(1,)上递增
g(x)min e 1,m e 1
例3、已知函数f (x) ex x的图像与y ax的图像在x (0,)上有两个不同的 交点p(x1, y1),Q(x2, y2 ) （1）求a的取值范围； （2）求证：x1 x2 2
f ( x1 ) f (2 x2 ), x1 1 x2 ,2 x2 1, x1 2 x2
x1 x2 2
解法二：公式法：xex
a
x
ln
x a
x1
ln
x
ln
a,
x2
ln
x
ln
a
x1
x2
ln
x1 ln
x2
ln
x1 x1
x2 ln x2
6 , ( x1
x2 )
x1 x2 5
例6、已知函数f (x) ln x ax有两个零点x1, x2 , （1）求实数a的取值范围 （2）求证：x1.x2 e2
(1)a (0, 1) e
(2) ln x ax, 有 ln x1 ax1, ln x2 ax2
高考专题研究
巧解高考压轴题---导数 铜仁二中曾凡界老师
函数问题中的极值点偏移研究
铜仁二中教师： 曾凡界
什么叫极值点偏移问题？
极值点偏移的常见几何形态与代数表达
极值点偏移函数的常见基本形态
（Ⅱ）分析：
解答极值点偏移函数问题
基本 步骤
化双变量为单变量
构造函数法
例（2 2016年全国卷）已知函数f (x) (x 2)ex a(x 1)2有两个零点x1、x2 （1）求a的取值范围; （2）证明：x1 x2 2
例（2 2016年全国卷）已知函数f (x) (x 2)ex a(x 1)2 有两个零点x1、x2 （1）求a的取值范围;(a 0) （2）证明：x1 x2 2
证明：f (x) (x 1)(ex 2a) 0 x 1,有f (x)在（1， ）上递增
（3）若存在实数m，使方程g ( x)
m有两个实根x1,
x2 , 且x1
x2
3 2
证明：x1 x2 5
证明：e x1 m x ln m(2 x 3) 1 2x 3
x1 ln m(2x1 3) 1, x2 ln m(2 x2 3) 1
x1 x2 ln(2 x1 3) ln(2 x2 3)
例3、已知函数f (x) ex x的图像与y ax的图像在x (0,)上有两个不同的 交点p(x1, y1),Q(x2, y2 ) （1）求a的取值范围； （2）求证：x1 x2 2
解：（1）由ex x ax ex 1 a(x 0),设g(x) ex 1
解：
（2）证明：ex x ax ex (a 1)x x ln(a 1)x
x1 ln(a 1) ln x1
x2 ln(a 1) ln x2
x1 x2
ln
x1 ln
x2
ln
x1 x2 x1 ln x2
1,由对数均值不等式
ab ln a ln b