极值点偏移
极值点偏移
精心整理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21， （1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏； （2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏； （2）证明略.左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔）左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔） 左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔）左慢右快（极值点右偏221xx m +>⇔）二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=； （3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+.（1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；（2（3(0x f 得出)(x F （4)2，故)(1x f 0x <且)(x f （5单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故0212x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减，故0)2('21<+x x f . 【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(x f 的单调性、极值点，证明)(0x x f +与)(0x x f -（或)(x f 与)2(0x x f -）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0212x x x <+或0)2('21<+x x f 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题. 三、对点详析，利器显锋芒 ★已知函数)()(R x xe x f ∈=. (1)求函数)(x f 的单调区间和极值；(2)若21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明：221>+x x .∵12>x ，∴122<-x ，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，∴212x x ->，∴221>+x x .★函数3434)(x x x f -=与直线)31(->=a a y 交于),(1a x A 、),(2a x B 两点. 证明：221<+x x .★已知函数2()ln f x x x=+，若1x ≠2x ，且)()(21x f x f =，证明：421>+x x .【解析】由函数2()ln f x x x=+单调性可知：若)()(21x f x f =，则必有212x x <<，。
极值点偏移四种解题方法
极值点偏移四种解题方法极值点偏移是数学中一个重要的概念，它指的是极值点在函数图像上偏移的现象。
本文将介绍四种解决极值点偏移问题的解题方法。
下面是本店铺为大家精心编写的5篇《极值点偏移四种解题方法》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《极值点偏移四种解题方法》篇1一、定义法定义法是解决极值点偏移问题的一种基本方法。
该方法的主要思路是利用函数的定义式，通过分析函数在某一点处的导数值，来判断该点是否为极值点。
如果函数在某一点处的导数值等于零，则该点为极值点。
如果函数在某一点处的导数值不存在，则该点也可能是极值点。
二、导数法导数法是解决极值点偏移问题的另一种基本方法。
该方法的主要思路是利用函数的导数，通过分析函数在某一点处的导数值，来判断该点是否为极值点。
如果函数在某一点处的导数值等于零，则该点为极值点。
如果函数在某一点处的导数值不存在，则该点也可能是极值点。
三、极值判定法极值判定法是解决极值点偏移问题的一种重要方法。
该方法的主要思路是利用函数的极值判定条件，通过分析函数在某一点处的极值条件，来判断该点是否为极值点。
如果函数在某一点处满足极值条件，则该点为极值点。
四、图像法图像法是解决极值点偏移问题的一种直观方法。
该方法的主要思路是通过绘制函数的图像，来判断函数的极值点是否偏移。
如果函数的图像在某一点处发生变化，则该点可能是极值点。
如果函数的图像在某一点处出现拐点，则该点可能是极值点。
综上所述，极值点偏移四种解题方法分别为定义法、导数法、极值判定法和图像法。
《极值点偏移四种解题方法》篇2极值点偏移是高中数学中常见的问题之一，通常出现在导数相关的题目中。
极值点偏移指的是，在可导函数的一个区间内，如果存在一个极值点，且该极值点左右两侧的增减速度不同，那么这个极值点可能会偏移到区间的中点，从而造成函数图像的不对称。
解决极值点偏移问题的方法有很多种，以下是四种常见的解题方法： 1. 构造函数法：该方法的本质是构造一个新的函数，使得新函数的导数与原函数的导数之间存在一定的关系。
极值点偏移定义及判定定理
极值点偏移定义及判定定理所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。
若函数在处取得极值，且函数与直线()f x 0x x =()y f x =y b =交于,两点，则的中点为，而往往.如下图1(,)A x b 2(,)B x b AB 12(,)2x x M b +1202x x x +≠所示.极值点没有偏移一、极值点偏移判定方法1、极值点偏移的定义对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为)(x f y =),(b a 0x 0)(=x f ，且，（1）若，则称函数在区间上极21x x 、b x x a <<<210212x x x ≠+)(x f y =),(21x x 值点偏移；（2） 若，则函数在区间上极值点左偏，简0x 0212x x x >+)(x f y =),(21x x 0x 称极值点左偏； （3）若，则函数在区间上极值点右0x 0212x x x <+)(x f y =),(21x x 0x 偏，简称极值点右偏。
0x 2、极值点偏移的判定定理判定定理： 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点)(x f y =),(b a ，方程的解分别为，且，（1）若，则0x 0)(=x f 21x x 、b x x a <<<210)2('21>+x x f ，即函数在区间上极大（小）值点右（左）偏；（2）0021)(2x x x ><+)(x f y =),(21x x 0x 若，则，即函数在区间上极大（小）值点0)2('21<+x x f 021)(2x x x <>+)(x f y =),(21x x 左（右）偏。
0x二、极值点偏移问题的一般题设形式：1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f ； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f三、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；（3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+.（1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增.（2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=；注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.（3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系；假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+.（4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论；接上述情况，由于0x x >时，)()(00x x f x x f ->+且201x x x <<，)()(21x f x f =，故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f -=-->-+==，又因为01x x <，0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减，从而得到2012x x x -<，从而0212x x x <+得证.（5）若要证明0)2('21<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证. 此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故0212x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减，故02('21<+x x f . 【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(x f 的单调性、极值点，证明)(0x x f +与)(0x x f -（或)(x f 与)2(0x x f -）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0212x x x <+或02('21<+x x f 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.。
高中数学专题 微专题13 极值点偏移问题
由 f′(x)＝1－1x＋ln x－2x＋a＝0 得
a＝2x＋1x－ln x－1，
所以直线 y＝a 与函数 g(x)＝2x＋1x－ln x－1 的图象有两个交点，
由
g(x)
＝
2x
＋
1 x
－
பைடு நூலகம்
ln
x－1
得
g′(x)
＝
2
－
1 x2
－
1 x
＝
2x2－x－1 x2
＝
2x＋1x－1
x2
，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，因此g(x)min＝g(1)＝2， 当x→0时，g(x)→＋∞， 当x→＋∞时，g(x)→＋∞， 作出y＝g(x)的大致图象，如图所示. 所以若有两个交点，只需a>2，即a的取值范围为 (2，＋∞).
(2)设x1，x2是函数f(x)的两个极值点，证明：x1＋x2>2.
因为x1，x2是函数f(x)的两个极值点， 所以f′(x1)＝f′(x2)＝0，由(1)可知g(x1)＝g(x2)＝a，不妨设0<x1<1<x2， 要证明x1＋x2>2，只需证明x2>2－x1， 显然2－x1>1， 由(1)可知，当x∈(1，＋∞)时，g(x)单调递增，所以只需证明g(x2)>g(2 －x1)， 而g(x1)＝g(x2)＝a， 所以证明g(x1)>g(2－x1)即可， 即证明函数h(x)＝g(x)－g(2－x)>0在x∈(0,1)时恒成立，
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(2)若f′(x0)＝0(f′(x)为f(x)的导函数)，方程f(x)＝m有两个不相等的实数 根x1，x2，求证：x1＋x2>2x0.
高考数学培优点 极值点偏移
跟踪训练 1 (2022·全国甲卷)已知函数 f(x)＝exx－ln x＋x－a. (1)若f(x)≥0，求a的取值范围；
由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞). 由 f′(x)＝exxx－2 1－1x＋1 ＝exx－1x2－x＋x2＝ex＋xx2x－1， 可得函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
x－bx＝0，得
b＝lnx
x (x>0).
令 φ(x)＝lnxx(x>0)，则 φ′(x)＝1－xl2n x，
由φ′(x)>0，得0<x<e；由φ′(x)<0，调递增，在(e，＋∞)上单调递减.
所以 φ(x)max＝φ(e)＝1e. 又φ(1)＝0，且当x→＋∞时，φ(x)→0；当x→0时，φ(x)→－∞，
题型一 对称化构造函数
例1 (2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝xe2－x. (1)求f(x)的极值；
因为f(x)＝xe2－x， 所以f′(x)＝(1－x)e2－x， 由f′(x)>0，解得x<1；由f′(x)<0，解得x>1， 所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 又f(1)＝e， 所以f(x)在x＝1处取得极大值e，无极小值.
由题意知f(x)＋2＝ln x－ax＋1＝0，
于是ln ln
x1＋1＝ax1， x2＋1＝ax2，
令xx21＝t，则由 x2>2x1 可得 t>2.
于是 t＝xx21＝llnn xx21＋ ＋11＝ln tl＋n xln1＋x11＋1，
即 ln x1＝tl－n t1－1.
从而 ln x2＝ln t＋ln x1＝tt－ln 1t －1.
另一方面，对 x1x22>3e23 两端分别取自然对数，
导数之极值点的偏移
导数之极值点的偏移基础内容讲解：一、极值点偏移的含义单峰函数()x f 顶点的横坐标0x 就是极值点。
如果对定义域内的任意自变量x 都有()()x x f x f －＝02成立。
说明函数()x f 的图像关于直线0x x ＝对称，故在0x 两侧()x f 的图像的升降走势相同。
若()x f ＝a 存在两个根1x 与2x ，则有2210x x x ＋＝成立，此时极值点不偏移。
反之极值点偏移。
如果2210x x x ＋＜，则极值点左偏；如果2210xx x ＋＞，则极值点右偏。
二、极值点偏移的判定定理对于可导函数()x f y ＝在区间D 上只有一个极值点0x ，方程()0＝x f 在区间D 上的解分别为21x x 、。
其中21x x ＜ （1）、若0221＞＋⎪⎭⎫⎝⎛'x x f ，当2210x x x ＋＜时，极小值点左偏，当2210x x x ＋＞时，极大值点右偏；（2）若0221＞＋⎪⎭⎫⎝⎛'x x f ，当2210x x x ＋＜时，极大值点左偏，当2210x x x ＋＞时，极小值点右偏；三、极值点偏移的用处函数存在两个零点时关于零点间不等式的证明。
四、极值点偏移的用法例一、已知函数()x x x f ln ＝的图像与直线m y ＝交于不同的两个点()11y x A ，，()22y x B ，。
求证：2211ex x ＜变式练习一、已知函数()x x f ln ＝和()ax x g ＝，若存在两个不相同的实数21x x 、满足()()11x g x f ＝，()()22x g x f ＝。
求证： （1）、e x x 221＞＋ （2）、221e x x ＞例二、已知()x x x f ln －＝，若存在两个不相同的正实数21x x 、满足()()21x f x f ＝。
求证：()()021＜＋x f x f ''变式练习二、已知函数()x x x f ln 2＝的图像与直线m y ＝交于不同的两个点()11y x A ，，()22y x B ，。
解决极值点偏移的15种方法
解决极值点偏移的15种方法解决极值点偏移的问题是一个重要的数学和工程问题，涉及到多个领域的知识和技术。
以下是一些常见的方法：1. 数值优化方法，使用数值优化算法，如梯度下降、牛顿法、拟牛顿法等，来寻找函数的极值点。
这些方法可以通过迭代过程逐步逼近极值点，并且对于一些非线性、高维度的问题也能够有效地求解。
2. 约束优化方法，在某些情况下，极值点的偏移可能受到一些约束条件的限制，比如线性约束、非线性约束等。
这时可以使用约束优化方法，如拉格朗日乘子法、KKT条件等，来求解带约束条件的极值点问题。
3. 统计学方法，在统计学中，可以使用最大似然估计、最小二乘法等方法来估计函数的参数，从而找到极值点。
这些方法常用于拟合模型、回归分析等领域。
4. 信号处理方法，在信号处理领域，可以使用滤波器设计、频域分析等方法来寻找信号的极值点，比如峰值检测、谷值检测等。
5. 机器学习方法，在机器学习中，可以使用神经网络、支持向量机、决策树等方法来学习函数的极值点，从而进行分类、回归、聚类等任务。
6. 图像处理方法，在图像处理中，可以使用边缘检测、角点检测等方法来找到图像中的极值点，比如检测图像中的角落、边缘等特征点。
7. 数学分析方法，通过对函数的导数、二阶导数等进行分析，可以找到函数的临界点和拐点，从而找到极值点的位置。
8. 模拟退火算法，模拟退火算法是一种全局优化算法，可以用来寻找函数的全局极值点，它通过模拟退火的过程来逐步逼近最优解。
9. 遗传算法，遗传算法是一种启发式优化算法，可以用来求解复杂的优化问题，包括寻找函数的极值点。
10. 粒子群算法，粒子群算法是另一种启发式优化算法，灵感来源于鸟群觅食的行为，可以用来寻找函数的极值点。
11. 蚁群算法，蚁群算法是模拟蚂蚁觅食的行为，可以用来解决组合优化问题和寻找函数的极值点。
12. 深度学习方法，深度学习技术可以通过神经网络的训练来学习复杂的函数关系，从而找到函数的极值点。
(完整版)极值点偏移问题
(完整版)极值点偏移问题
极值点偏移是指某个函数的最大值或最小值在其定义域内发生改变的现象。
这种现象多出现在对某些因素进行调整或改变时，导致函数的极值点位置发生偏移或移动，使得函数的最大值或最小值也相应地发生改变。
极值点偏移问题在实际生活中比较常见，例如在优化生产、优化销售、优化成本等领域中应用比较广泛。
在这些领域中，常常需要对某些条件进行调整，以实现最佳效益，从而使得函数的极值点位置发生变化。
例如，在优化生产过程中，如果加入了一些新的设施或流程，将会导致生产效率的变化。
这时，需要重新调整生产程序，使得在新的条件下，生产效率最高。
这个问题可以看做是一个优化问题，需要找到使得函数（生产效率）最大值或最小值的最优解。
然而，由于新的条件的影响，函数的极值点位置会发生偏移，需要重新计算最优解。
另一个例子是在销售领域中。
销售策略的不同会导致客户对某种产品的需求量发生变化，从而导致该产品的销量发生变化。
这时，需要重新制定销售策略，以实现最佳销售效果。
同样地，由于销售策略的变化，函数的极值点位置也会发生偏移，需要重新计算最佳销售策略。
总之，极值点偏移问题在实际生活中十分常见，需要我们在进行优化时认真分析和计算，以找到最佳的解决方案。
极值点偏移问题归纳
极值点偏移问题归纳极值点偏移是指一个实际问题中的极值点（如最大值、最小值等点）与模型中预测的极值点位置存在误差，偏离了真实位置。
这种偏移可能导致模型预测结果与实际情况不符，降低模型的准确性或可靠性。
本文将从几个方面总结极值点偏移问题，并提出解决方案。
一、造成极值点偏移的原因1.数据采集不准确。
数据采集是建立模型的基础，如果采集到的数据存在偏差或误差，就会导致模型预测结果与实际情况不符。
例如，传感器在安装过程中未能精确定位，导致采集到的数据存在偏移，就会影响模型的准确性。
2.模型参数调整不当。
模型的参数设定直接影响模型预测结果，如果模型参数调整不当，就会导致模型预测结果偏离真实位置。
例如，在神经网络模型中，学习率过高或过低都会影响模型的训练效果，进而导致模型预测结果偏离真实值。
3.模型不够准确或复杂度不够高。
模型的准确性与模型复杂度直接相关，如果模型不够准确或复杂度不够高，就会导致模型预测结果偏离真实位置。
例如，在图像识别模型中，如果模型的复杂度不够高，就会导致模型无法准确区分相似的图像。
二、解决方案1.加强数据采集质量。
正确的数据采集方式和准确的数据处理方法是保证数据准确性的关键。
在数据采集过程中，应使用准确的传感器，并确保传感器精确定位。
此外，还要对采集的数据进行多次检验，确保数据准确无误，避免偏移。
2.优化模型参数设定。
模型参数的正确设定是保证模型准确性的关键。
在设定模型参数时，应根据实际问题情况进行调整，找到最优解。
例如，在神经网络模型中，可以通过交叉验证、网格搜索等技术找到最优参数。
3.增加模型复杂度。
如果模型准确性不够，可以通过增加模型复杂度来改善模型准确性。
例如，在图像识别模型中，可以增加卷积层数、降采样层数等来提高模型复杂度和准确性。
综上所述，极值点偏移问题是一种常见的模型预测误差，可能导致模型预测结果与实际情况不符。
造成极值点偏移的原因包括数据采集不准确、模型参数调整不当、模型复杂度不够高等。
极值点偏移
极值点偏移问题一、极值点偏移的含义众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为221x x +，则刚好有0212x xx =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则221x x +与极值点m 必有确定的大小关系： 若221x x m +<，则称为极值点左偏；若221xx m +>，则称为极值点右偏.左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔） 如函数xe x x g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点221x x +的左边，我们称之为极值点左偏.二、极值点偏移问题的一般题设形式：1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f ；4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f . 5.()2120x x x >< 三、应对极值点偏移问题的若干思路 思路一: 对称化构造 1、方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；或)2()()(0x x f x f x F --=（3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+.（1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增.[KS5UKS5U.KS5U（2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=；注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.[KS5UKS5U]（对结论()2120x x x ><，构造()()20x F x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭），（3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系；假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+.（4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论；接上述情况，由于0x x >时，)()(00x x f x x f ->+且201x x x <<，)()(21x f x f =，故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f -=-->-+==，又因为01x x <，0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减，从而得到2012x x x -<，从而0212x x x <+得证.（5）若要证明0)2('21<+x x f ，还需进一步讨论221xx +与0x 的大小，得出221x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故0212x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减，故0)2('21<+x x f . 【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(x f 的单调性、极值点，证明)(0x x f +与)(0x x f -（或)(x f 与)2(0x x f -）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0212x x x <+或0)2('21<+x x f 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.[KS5U 口诀为：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随。
高中数学极值点偏移问题
高中数学极值点偏移问题极值点偏移问题极值点偏移问题是指可导函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上只有一个极大（小）值点 $x$，方程 $f(x)=m$ 的解分别为$x_1,x_2$ 且 $ax$，则称函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上极值点$x$ 右偏移。
极值点偏移的判定定理是指对于可导函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上只有一个极大（小）值点 $x$，方程 $f(x)=m$ 的解分别为 $x_1,x_2$ 且 $a<x_1<x_2<b$，有以下判定条件：1）若 $f(x_1)<f(2x-x_2)$，则极值点偏移为峰偏右。
2）若 $f(x_1)>f(2x-x_2)$，则极值点偏移为谷偏左。
3）若 $f(x_1)>f(2x-x_2)$，则极值点偏移为峰偏左。
4）若 $f(x_1)<f(2x-x_2)$，则极值点偏移为谷偏右。
拓展内容：1）若 $f(a+x)=f(b-x)$，则函数 $f(x)$ 的图像关于直线$x=\dfrac{a+b}{2}$ 对称；特别地，若 $a+b=2a$，则函数$f(x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 对称。
2）若函数$f(x)$ 满足$\forall x\in(0,a)$ 有下列之一成立：① $f(x)$ 在 $(0,a)$ 递增，在 $(a,2a)$ 递减，且 $f(a-x))f(a+x)$（$f(x))f(2a-x)$）。
② $f(x)$ 在 $(0,a)$ 递减，在 $(a,2a)$ 递增，且 $f(a-x)>((<)f(2a-x)$）。
则函数 $f(x)$ 在 $(0,2a)$ 的图像关于直线 $x=a$ 偏移（偏对称，俗称峰谷偏函数）。
其中，①极大值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）；②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）。
已知函数y=f(x)满足f(x1)=f(x2)，x1和x2为函数y=f(x)的极值点，证明：x1+x2>2x首先，求函数f(x)的极值点x。
01极值点偏移概念
专题01极值点便宜的概念一、极值点偏移的含义众所周知，函数()f x 满足定义域内任意自变量x 都有()(2)f x f m x =-，则函数()f x 关于直线x m =对称；可以理解为函数()f x 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若()f x 为单峰函数，则x m =必为()f x 的极值点．如二次函数()f x 的顶点就是极值点0x ，若()f x c =的两根的中点为122x x +，则刚好有1202x x x +=，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移．若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数()f x 的极值点为m ，且函数()f x 满足定义域内x m =左侧的任意自变量x 都有()(2)f x f m x >-或()(2)f x f m x <-，则函数()f x 极值点m 左右侧变化快慢不同．故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数1x ，2x 满足12()()f x f x =，则122x x +与极值点m 必有确定的大小关系：若122x x m +<，则称为极值点左偏；若122x x m +>，则称为极值点右偏． 如函数()x x g x e =的极值点01x =刚好在方程()g x c =的两根中点122x x +的左边，我们称之为极值点左偏．二、极值点偏移问题的一般题设形式：1．若函数()f x 存在两个零点1x ，2x 且12x x ≠，求证：1202x x x +>（0x 为函数()f x 的极值点）； 2．若函数()f x 中存在1x ，2x 且12x x ≠满足12()()f x f x =，求证：1202x x x +>（0x 为函数()f x 的极值点）；3．若函数()f x 存在两个零点1x ，2x 且12x x ≠，令1202x x x +=，求证：0()0f x '>； 4．若函数()f x 中存在1x ，2x 且12x x ≠满足12()()f x f x =，令1202x x x +=，求证：0()0f x '>．三、问题初现，形神合聚★函数2()21xf x x x ae =-++有两极值点1x ，2x ，且12x x <． 证明：124x x +>．【解析】令()()22xg x x x a f e ='=-+，则1x ，2x 是函数()g x 的两个零点． 令()0g x =，得2(1)xx a e-=-， 令2(1)()xx h x e -=-，则()()12h x h x =， 24()xx h x e -'=，可得()h x 在区间(,2)-∞单调递减，在区间(2,)+∞单调递增， 所以122x x <<，令()(2)(2)H x h x h x '=+--，则()22222()(2)(2)x x x xx e e H x h x h x e e -++--'''=+--=⋅，当02x <<时，()0H x '<，()H x 单调递减，有()(0)0H x H <=， 所以(2)(2)h x h x +<-，所以12222()()[2(2)][2(2)](4)h x h x h x h x h x ==+-<--=-， 因为12x <，242x -<，()h x 在(,2)-∞上单调递减 所以124x x >-，即124x x +>．★已知函数()ln f x x =的图象1C 与函数21()(0)2g x ax bx a =+≠的图象2C 交于P ，Q ，PQ 过的中点R 作x 轴的垂线分别交1C ，2C 于点M ，N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，()12x x ≠，则1212,22x x y y R ++⎛⎫⎪⎝⎭， 点M ，N 的横坐标122M N x x x x +==， 1x ，2x 是函数()()()F x f x g x =-的两个零点，原问题即探究122x f x +⎛'⎫⎪⎝⎭，122x x g +⎛⎫' ⎪⎝⎭的大小关系，即121212222f x x x x x x F g +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'的符号，实质也是探究()F x 的极值点是否偏移中点．四、招式演练1．已知函数 f (x ) = x e −x (x ∈R) （Ⅰ）求函数 f (x )的单调区间和极值; （Ⅰ）若x ∈ (0, 1), 求证: f (2 − x ) > f (x );（Ⅰ）若x 1 ∈ (0, 1), x 2∈(1, +∞), 且 f (x 1) = f (x 2), 求证: x 1 + x 2 > 2.【答案】（1）在(,1-∞)内是增函数, 在(1,+∞)内是减函数.在1x =处取得极大值(1)f 且1(1)f e=（2）见解析(3)见解析 【解析】解：()'f x =（1﹣x ）e ﹣x 令()'0f x =，则x =1当x 变化时，()'f x ，f （x ）的变化情况如下表：★f （x ）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数 ★f （x ）在x =1处取得极大值1e； （★）证明：令g （x ）=f （x ）﹣f （2﹣x ） 则g （x ）=x e ﹣x ﹣（2﹣x ）e x ﹣2 ★g '（x ）=（x ﹣1）（e 2x ﹣2﹣1）e ﹣x★当01x <<时, 220x -<,从而2210x e --< 0x e ->又所以()'0g x >,从而函数()g x 在()0,1是增函数.★e ﹣x ＞0，★g '（x ）＞0，★g （x ）在[1，+∞）上是增函数又★g （1）=0★0<x <1时,g （x ）<g （1）=0 即当0<x <1时，f （x ）<f （2﹣x ） (★) 证明:★101x << ★121x ->由(★)得:()()112f x f x <- ★()()12f x f x = ★()()212f x f x <- ★()f x 在(1,+∞)内是减函数 ★212x x >- 即122x x +> 2．已知函数f （x ）=()2x 11e 2--x 2+e•f ′（12）x ． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅰ）若存在x 1，x 2（x 1＜x 2），使得f （x 1）+f （x 2）=1，求证：x 1+x 2＜2．【答案】（★）在R 上单调递增；（★）见解析 【解析】（I ）f ′（x ）=e 2（x -1）-2x +e•f ′（12）． 令x =12，则f ′（12）=1e -1+e•f ′（12），解得f ′（12）=1e．★f ′（x ）=e 2（x -1）-2x +1．f ″（x ）=2e 2（x -1）-2=2（e x -1+1）（e x -1-1），1x >时0,()f x f x '>（）单调递增；1x <时0,()f x f x '<（）单调递减， ★x =1时，函数f ′（x ）取得极小值即最小值，★f ′（x ）≥f ′（1）=0， ★函数f （x ）在R 上单调递增． （II ）由（I ）可得：函数f （x ）=()2x 11e 2--x 2+x 在R 上单调递增． 要证明：x 1+x 2＜2★x 1＜2-x 2★f （x 1）＜f （2-x 2），又f （x 1）+f （x 2）=1，因此f （x 1）＜f （2-x 2）★1-f （x 2）＜f （2-x 2），即f （x 2）+f （2-x 2）-1＞0，f （1）=1112-+=12，则x 1＜1＜x 2．令g （x ）=f （2-x ）+f （x ）-1=()21x 1e2--（2-x ）2+2-x +()2x 11e 2--x 2+x =()21x 1e 2-+()2x 11e 2--2x 2+4x -2，x ＞1，g （1）=0．g′（x ）=-e 2（1-x ）+e 2（x -1）-4x +4，g ″（x ）=2e 2（1-x ）+2e 2（x -1）-4≥0，★g′（x ）在（1，+∞）上单调递增． ★g′（x ）＞g′（1）=0，★函数g （x ）在（1，+∞）上单调递增． ★g （x ）＞g （1）=0，因此结论x 1+x 2＜2成立． 3．已知函数()311sin cos 23x cosx sinx x f x ex a x x x -⎛⎫-⎛⎫=-+--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()0,∞+内有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），其中a 为常数. （1）求实数a 的取值范围； （2）求证：x 1+x 2＞2.【答案】（1）a ＞1；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为()()()1sin x f x eax x x -'=--,由题意知x 1，x 2是导函数()f x '的变号零点,令()sin x x x ϕ=-,则()1cos 0x x ϕ'=-≥,所以()x ϕ在()0,∞+上单调递增, 又()0,x ∈+∞,所以()()00ϕϕ>=x ,所以x 1，x 2是1x y eax -=-的两个零点,即12111200x x e ax e ax --⎧-=⎨-=⎩,则211112x x e e a x x --==, 又令()1x e g x x-=,则g （x 1）=g （x 2）, 从而只需直线y =a 与函数g （x ）1x e x-=的图象在x ★（0,+∞）上有两个交点,由()()121x x e g x x --'=可得当()0,1x ∈时,()0g x '<；当()1,x ∈+∞时,()0g x '>, 所以g （x ）在（0,1）递减,在（1,+∞）递增, 从而()()11min g x g ==, 所以a ＞1.（2）证明:由（1）知,0＜x 1＜1＜x 2,若不等式x 1+x 2＞2成立,则g （x 2）＞g （2﹣x 1）,即g （x 1）＞g （2﹣x 1）, 令F （x ）=g （x ）﹣g （2﹣x ）,x ★（0，1）,则只需F （x ）＞0, 而()()()11112122x x x e x xe F x x e x x x x ---⎛⎫⎛⎫--'=-+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,只需研究()12xh x x xe -=--的符号, 因为()()111xh x ex -'=--,()()120x h x e x -''=->,所以()()110h x h ''<=-<, 所以()()10h x h >=,则()0F x '<, 所以()()10F x F >=, 即x 1+x 2＞2成立. 4．已知函数(1).求函数f (x )的单调区间及极值;(2).若x 1≠x 2满足f (x 1)=f (x 2),求证：x 1＋x 2＜0 【答案】（1）的增区间是，减区间是，在处取得极小值，无极大值；（2）证明过程详见解析. 【解析】 （1）★，★当时，；当时，.则()f x 的增区间是，减区间是.所以()f x 在处取得极小值，无极大值. 6分（2）★且，由（1）可知异号.不妨设，，则.令=， 8分则， 所以在上是增函数. 10分又，★，又★()f x 在上是增函数，★，即. 12分5．已知函数2()(2)(1)xf x x e a x =-+-有两个零点. （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅰ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<. 【答案】（★）(0,)+∞；（★）见解析 【解析】（★）'()(1)2(1)(1)(2)xxf x x e a x x e a =-+-=-+．（★）设0a =，则()(2)xf x x e =-，()f x 只有一个零点．（★）设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞单调递减，在(1,)+∞单调递增．又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln2ab <，则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->， 故()f x 存在两个零点．（★）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-． 若2ea ≥-，则ln(2)1a -≤，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞单调递增．又当1x ≤时()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．若2ea <-，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞．（★）不妨设12x x <，由（★）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<． 由于222222(2)(1)x f x x ea x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，所以222222(2)(2)x x f x x e x e --=---．设2()(2)xx g x xex e -=---，则2'()(1)()x x g x x e e -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <． 从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<． 6．已知函数f （x ）＝e x ﹣()212ax a R ∈有两个极值点． （1）求实数a 的取值范围；（2）若函数f （x ）的两个极值点分别为x 1，x 2，求证：x 1+x 2＞2． 【答案】（1）（e ，+∞）；（2）见解析 【解析】（1）解：f ′（x ）＝e x ﹣ax ． ★函数f （x ）＝e x ()212ax a R -∈有两个极值点． ★f ′（x ）＝e x ﹣ax ＝0有两个实数根． x ＝0时不满足上述方程，方程化为：a xe x =，令g （x ）xe x=，（x ≠0）．g ′（x ）()21x e x x-=，可得：x ＜0时，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减；0＜x ＜1时，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减；x ＞1时，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增． g （1）=e,得到函数草图如图所示.a ＞e 时，方程f ′（x ）＝e x ﹣ax ＝0有两个实数根． ★实数a 的取值范围是（e ，+∞）．（2）证明：由（1）可知：a ＞e 时，函数f （x ）有两个极值点分别为x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2．证明：1x +2x ＞2★2x ＞2﹣1x ＞1★212212x x e e x x --＞， 由1212x x e e x x =，因此即证明：112112x x e e x x --＞． 构造函数h （x ）22x xe e x x-=--，0＜x ＜1，2﹣x ＞1． h ′（x ）()()222212(2)x x xe x e x e xx -----+=-=-（x ﹣1）222(2)x x e e x x -⎛⎫- ⎪-⎝⎭，令函数u （x ）2xe x=，（0＜x ＜2）．u ′（x ）()320x e x x-=<．可得函数u （x ）在（0，2）内单调递减，于是函数v （x ）222(2)x xe e x x -=--在（0，1）内单调递减．v （x ）≥v （1）＝0．★h ′（x ）=（x ﹣1）2220(2)x x e e x x -⎛⎫-< ⎪-⎝⎭,h （x ）在（0，1）内单调递减． ★h （x ）＞h （1）＝0,★112112x x e e x x --＞．因此1x +2x ＞2成立．7．已知函数()(2)x f x a x e =-，2()(1)g x x =-.(1)若曲线()y g x =的一条切线经过点(0,3)M -，求这条切线的方程. (2)若关于x 的方程()()f x g x =有两个不相等的实数根x 1，x 2。
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f ( x1 ) f (2 x2 ), x1 1 x2 ,2 x2 1, x1 2 x2
x1 x2 2
解法二：公式法：xex
a
x
ln
x a
x1
ln
x
ln
a,
x2
ln
x
ln
a
x1
x2
ln
x1 ln
x2
ln
x1 x1
x2 ln x2
解：
（2）证明：ex x ax ex (a 1)x x ln(a 1)x
x1 ln(a 1) ln x1
x2 ln(a 1) ln x2
x1 x2
ln
x1 ln
x2
ln
x1 x2 x1 ln x2
1,由对数均值不等式
ab ln a ln b
2
x1 x2
e2
例7：已知函数 f (x) xex , 若x1 x2 , 有f (x1) f (x2 ), 证明：x1 x2 2
解法一：构造法，f ( x) (1 x)e x 0 x 1
f ( x)在(,1)上为单调递增函数，在（1， ）上递减
（3）若存在实数m，使方程g ( x)
m有两个实根x1,
x2 , 且x1
x2
3 2
证明：x1 x2 5
证明：e x1 m x ln m(2 x 3) 1 2x 3
x1 ln m(2x1 3) 1, x2 ln m(2 x2 3) 1
x1 x2 ln(2 x1 3) ln(2 x2 3)
ln
x1 ln
x2
a(x1 x2 )
ln
x1 x2 x1 ln x2
1 a
ln x1 ln x2 a(x1 x2 )
由对数均值不等式 a b a b ln a ln b 2
ln
x1
ln
x2
a( x1
x2 )
a
2 a
Hale Waihona Puke 2ln( x1x2 )x
x
g(x)
(x 1)ex x2
0
x 1,有g(x)在(0,1)上递减，(1,)上递增
g(x)min e 1,m e 1
例3、已知函数f (x) ex x的图像与y ax的图像在x (0,)上有两个不同的 交点p(x1, y1),Q(x2, y2 ) （1）求a的取值范围； （2）求证：x1 x2 2
设g(x) f (x) f (2 x) (x 2)ex xe2x
g(x) (x 1)(ex e2 ) 0 x 1,有g(x) 0恒成立，g(x)在(,1)上递增 ex
g(1) 0, 设x1 1 x2 , g(x1) 0 f (x1) f (2 x1),又 f (x1) f (x2 ) f (x2 ) f (2 x1),又x2 1,2 x1 1, f (x)在（1， ） ， x2 2 x1 x1 x2 2
a b ,可知
2
ln
x1 x2 x1 ln x2
x1 x2 2
, x1 x2
2
（2019年适应性考试）已知函数f (x) ln x 2(x 1) , g(x) ex1
1 x
2x 3
（1）求函数f (x)在[1,)上的最小值;
（2）设b a 0, 证明： b a a b ; ln b ln a 2
6 , ( x1
x2 )
x1 x2 5
例6、已知函数f (x) ln x ax有两个零点x1, x2 , （1）求实数a的取值范围 （2）求证：x1.x2 e2
(1)a (0, 1) e
(2) ln x ax, 有 ln x1 ax1, ln x2 ax2
1,由对数均值不等式 ln
ab a ln b
ab 2
x1 x2 2
1
x1 x2
2
世上有一条很长很美的路，叫做梦想； 还有一堵很高很硬的墙，叫做现实； 翻越那堵墙，叫做坚持； 推倒那堵墙，叫做突破。 只有拼搏了才会知道自己有多优秀!
谢谢 聆听
高考专题研究
巧解高考压轴题---导数 铜仁二中曾凡界老师
函数问题中的极值点偏移研究
铜仁二中教师： 曾凡界
什么叫极值点偏移问题？
极值点偏移的常见几何形态与代数表达
极值点偏移函数的常见基本形态
（Ⅱ）分析：
解答极值点偏移函数问题
基本 步骤
化双变量为单变量
构造函数法
例（2 2016年全国卷）已知函数f (x) (x 2)ex a(x 1)2有两个零点x1、x2 （1）求a的取值范围; （2）证明：x1 x2 2
设g ( x) f ( x) f (2 x) xex (2 x)e x2
g( x)
(1
x)(1 e2 x2 ) ex
,
g ( x)
0,
g ( x)在R上单调递增，g (1)
0
x2 1, g (1) 0, 有f ( x2 ) f (2 x2 ), f ( x1 ) f ( x2 ),
例（2 2016年全国卷）已知函数f (x) (x 2)ex a(x 1)2 有两个零点x1、x2 （1）求a的取值范围;(a 0) （2）证明：x1 x2 2
证明：f (x) (x 1)(ex 2a) 0 x 1,有f (x)在（1， ）上递增
例3、已知函数f (x) ex x的图像与y ax的图像在x (0,)上有两个不同的 交点p(x1, y1),Q(x2, y2 ) （1）求a的取值范围； （2）求证：x1 x2 2
解：（1）由ex x ax ex 1 a(x 0),设g(x) ex 1
2 x1 3 (2 x2 3) 2[ln(2 x1 3) ln(2x2 3)]
由对数均值不等式 a b a b 可知:
ln a ln b
2
(2 x1 ln(2 x1
3) (2 x2 3) 3) ln(2 x2 3)
2 x1
2x2 2