利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类
高中数学_导数类型题求含参函数单调性教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计一．教学目标确立依据（一）课程标准要求及解读1.课程标准要求：导数在研究函数中的应用，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式的单调区间，函数的单调性尤其是含有参数的函数的单调性更是一大难点，也是高考经常考查的考点之一。
2.课程标准解读：微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。
导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。
在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性中的作用，能够通过数学结合，分类讨论，化归转化等数学思想学好含参函数单调性的研究。
（二）教材分析1.教材的地位和作用本节课是新课标高中数学人教B版选修2-2第一章第三节的内容，是在学习了函数单调性的定义，导数的概念及运算的基础上展开的另一个研究函数单调性的方法。
本节的教学内容属导数的应用，特别是含参函数单调性的判断难度相对较大，学好本节课的类型专训既可加深对导数的理解，又为函数的极值和最值打好基础，也可以培养学生的数形结合和分类讨论的能力。
2.(1)知识与技能目标：借助于函数的单调性与导数的关系，培养学生的观察能力，归纳能力，增强分类讨论思想.（2）过程与方法目标：会判断含参函数在给定区间的单调性，会求含参函数的单调区间。
（3）情感、态度与价值观目标：通过实例探究函数的单调性与导数关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力。
3.本节课通过求含参函数的导数，观察分析参数讨论点，找出函数的单调区间，判断函数的大体走向，了解函数的大致图像，可以增强对函数直观认识.同时导数也蕴涵着丰富的数学思想方法，是培养学生辨证思维和逻辑思维的重要载体.也是高考命题的生长点和热点.导数又提供了研究函数单调性的一种有效的方法和手段.鉴于此，本节重点难点确定如下：重点利用导数判断含参函数的单调性.难点通过讨论参数与区间端点，零等特殊点的关系，进而求出函数的单调区间，并且能提高灵活应用导数法解决有关函数单调性问题的能力。
用导数讨论含参函数的单调性
单调性是描述函数的变化趋势的重要概念，其中，用导数讨论含参函数的单调性尤为重要。
首先，我们来解释“含参函数”一词的意思。
含参函数是指具有参数的函数，也叫带参数函数，它们可以用参数来控制函数的变化趋势。
其次，让我们来看看如何用导数讨论含参函数的单调性。
在微积分中，导数是用来表示函
数变化率的重要概念，它可以帮助我们确定函数的单调性。
通常情况下，当函数的导数大于0时，函数在此处是单调递增的；当函数的导数小于0时，函数在此处是单调递减的。
例如，考虑函数$y=ax^2+bx+c$，其中a，b，c均为常数。
该函数的导数为$y'=2ax+b$。
因此，当$2a>0$时，函数是单调递增的；当$2a<0$时，函数是单调递减的。
更一般地，如果函数$f(x)$的导数$f'(x)$满足$f'(x)>0$，则函数$f(x)$在$[a, b]$内是单调递
增的；如果$f'(x)<0$，则函数$f(x)$在$[a, b]$内是单调递减的。
再比如，考虑函数$y=sin(x)$，其导数为$y'=cos(x)$，当$cos(x)>0$时，函数$y=sin(x)$是单调递增的；当$cos(x)<0$时，函数$y=sin(x)$是单调递减的。
总之，用导数讨论含参函数的单调性是很有用的，我们可以用它来判断函数是单调递增还是单调递减。
正如著名数学家高斯所说：“数学是一种分析、综合和抽象的技术，它既是
一种艺术，也是一种科学。
”。
函数单调性之分类讨论
函数单调性之分类讨论本文介绍了含参函数单调性的分类讨论方法。
首先，根据函数的形式（一次函数、二次函数、分式函数、含ex函数）进行分类讨论。
对于一次函数，根据参数k的正负和零来标记数轴上的根，并确定单调区间；对于二次函数，先进行因式分解，然后根据参数a的正负和零以及判别式Δ的大小来确定单调区间；对于分式函数和含ex函数，需要进行通分或提取e 等操作，然后根据参数分类讨论。
接下来，通过两个例题来演示如何使用分类讨论方法讨论函数单调性。
第一个例题中，给定函数f(x)=lnx-ax，根据导数的正负确定函数在定义域上的单调性；第二个例题中，给定函数f(x)=lnx-ax+(a-1)x^2/2，先求导得到导数，然后根据判别式Δ的大小和根的位置确定函数在定义域上的单调性。
总的来说，分类讨论法是一种通用的方法，适用于各种含参函数单调性的讨论。
在具体操作时，需要根据函数的形式和参数的取值进行分类讨论，然后根据导数的正负、判别式的大小和根的位置等来确定函数在定义域上的单调性。
首先需要进行一些符号的修正和排版调整，然后再进行改写。
1.讨论函数$f(x)=ae^x$的单调性。
解析：定义域为$(-\infty。
+\infty)$，函数的导数为$f'(x)=ae^x$。
当$a0$时，$f(x)$在$(-\infty,1)$单调递减，在$(1,+\infty)$单调递增。
2.讨论函数$f(x)=\ln x+ax^2+(2a+1)x$的单调性。
解析：定义域为$(0,+\infty)$，函数的导数为$f'(x)=\frac{1}{x(x+1)}+(4a+2)x+2a+1$。
当$a\geq 0$时，$f(x)$在$(0,+\infty)$单调递增；当$a<0$时，令$f'(x)=0$得到$x_1=-\frac{1}{2a}$和$x_2=-1$，因此$f(x)$在$(0,x_1)$和$(x_2,+\infty)$单调递减，在$(x_1,x_2)$单调递增。
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类一、根据判别式 △=b ²-4ac 讨论↵例1.已知函数. f(x)=x ³+ax ²+x+1(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=3x²+2ax +1,判别式△=b ²-4ac=4(a ²-3),(1)当 a >√3或 a <−√3时，则在 (−∞,−a−√a 2−33)和 (−a+√a 2−33,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;在 (−a−√a 2−33,−a+√a 2−33),f ′(x )<0,f(x)是减函数;(2)当 −√3<a <√3时,则对所有x∈R, f'(x)>0, f(x)是(-∞,+∞)上的增函数;↵二、根据判二次函数根的大小讨论↵例2：已知函数. f (x )=(x²+ax −3a²+3a )eˣ(a ∈R 且 a ≠23),求f(x)的单调区间. 解: f ′(x )=[x²+(a +2)x −2a²+4a ]⋅eˣ,f ′(x )=(0得x=-2a 或x=a-2↵(1)当 a >23时,则-2a<a-2,在(-∞,-2a)和(a-2,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(-2a,a-2)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;(2)当 a <23时,则a-2<-2a,在(-∞,a -2)和(-2a,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(a-2,-2a)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;题型归纳总结：求导后是二次函数的形式，如果根的大小不确定，应对根的大小讨论确定单调区间.练习2↵三、根据定义域的隐含条件讨论。
例3:已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=1x −a (x ⟩0), (1)当a≤0时, f ′(x )=1x −a >0,在(0,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;(2)当a>0时,令 f ′(x )=1x −a =0,得 x =1a ,题型归纳总结：定义域有限制时，定义域与不等式解集的交集为分类标准讨论。
导数分类讨论解决含参问题(三种常见类型)
导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.类型一：导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),a -∞a(),1a --1()1,-+∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -.当1a =-时，()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),1-∞--1()1,a -a(),a +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况.类型二：导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x >在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得13a x --=，23a x -+=，显然12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x ()1,x -∞1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当a ≤≤时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为,3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭和,3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,33a a ⎛---+ ⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。
导数小专题-----单调性的分类讨论
导数小专题----单调性的分类讨论函数的单调性是求函数极值，最值（值域），恒成立问题，零点与交点个数问题的基础，所以掌握好单调性是解决函数问题的第一步，它往往出现在压轴题的第一问，为人人必得分。
那么求单调性最难的一点就是含参函数的分类讨论，这是难点、重点、考点。
这类问题的难点在于学生不知道怎么讨论，或者讨论问题不全面，某种情况没有讨论到，这里总结了含参函数单调性的分类讨论的固定套路，学会之后，不存在不知道怎么讨论或者漏讨论的情况。
以下为讨论单调性固定套路（能解决绝大多数讨论单调性问题）:第一步：求定义域，函数离开定义域的讨论都是毫无意义的，求定义域要考虑4种情况（1）偶次根式，根号下整体大于0（2）分式，分母不等于0（3）对数函数，真数大于0（4）()tan ，（）整体不等于ππk +≠2第二步：求函数导数，令0)(,=x f ，解出它的根21,x x注意：先通分再因式分解，因式分解的好处在于方便于我们解根和判断导数正负第三步：如果两根，要考虑4种情况；如果一根只需要考虑第一种情况；如果解不出来根，也判断不出导数正负，那我们要求该函数的二阶导数，通过二阶导的正负得一阶导的单调性，从而得到最值。
（1）某一根不存在（主要考虑根不在定义域里），得到参数取值范围（2）21x x =，得到参数取值范围 （3）21x x >，得到参数取值范围（4）21x x <得到参数取值范围第四步：判断21,x x 把定义域分得每个区域导数的正负，导数大于0，单调增，导数小于0，单调减。
判断导数正负有以下三种方法：（1）数轴穿根法：主要用于导数中只有单一的高次函数或单一的对数指数函数，用得最多（2）函数图像法：主要适用于导数中有高次函数和对数指数函数的混合相乘的式子（3）区域判断法：只需要判断每个因式的正负第五步：综述：把讨论情况单调性相同的合并在一起。
综述是很多人容易忽略的一步，没有这一步，是要扣分的【例题详解】例1.（2011，浙江高考改编）设函数ax x x a x f +-=22ln )(，求)(x f 单调区间解：该函数定义域为），（∞+0（第一步：对数真数大于0求定义域） 令0)2)((2)(2'=+--=+-=x a x a x a x x a x f ，解得2,21a x a x -== （第二步，令导数等于0，解出两根21,x x ）（1）当0>a 时，)(,0)(),,0('x f x f a x >∈单调增，)(,0)(),,('x f x f a x <+∞∈单调减（第三步，1x 存在，2x 不存在得到0>a ；第四步数轴穿根或图像判断正负）（2）当0<a 时，1x 不存在)(,0)(),2-,0('x f x f a x >∈单调增，)(,0)(),,2-('x f x f a x <+∞∈单调减 （第三步，2x 存在，1x 不存在得到0<a 第四步数轴穿根或图像判断正负）（3）当0=a 时，)(,02)(),,0('x f x x f x <-=+∞∈单调减（第三步，21x x =得到0=a 第四步很显然-2x<0恒成立）综上可知：当0>a 时)(),,0(x f a x ∈单调增，)(),,(x f a x +∞∈ 单调减;当0<a )(),2-,0(x f a x ∈时,单调增，)(),,2-(x f a x +∞∈单调减；当0=a 时，)(),,0(x f x +∞∈单调减（第五步综述一定要有）小结：这是一道比较简单的分类讨论单调性，按照我们的步奏，就不会存在漏解的情况。
导数讨论含参单调性习题含详细讲解问题详解
实用标准文案m(x + n)f(x) = lnx z g(x) = --- (m > 0)1.设函数X + 1 (D 当m = 1时，函数y = f(x)与y = g(x)在x = i 处的切线互相垂直，求n 的值:(2)若函数y = f(x)-g(x)在定义域不单调，求m-n 的取值国; 满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由.2. 已知函数= (ax + l)lnx-ax + 3z a € R /g (x)^f(x)^导函数，e 为自然对数的底数. (1) 讨论g(x)的单调性； (2) 当a>e 时，证明：g(e _a)>0.(3) 当a>e 时，判断函数f(x)零点的个数，并说明理由. bf(x) = a(x + -)+ blnx3. 已知函数 x (其中，a,b 6 R).(1) 当b = -4时，若f(x)在其定义域为单调函数，求a 的取值围；(2) 当a = 7时，是否存在实数b,使得当xe ［e,e 2］时，不等式f(x)>0恒成立，如果存在, 求b的取值围，如果不存在，说明理由(其中e 是自然对数的底数，e = 2.71828 -).4. 已知函数g(x) = x 2+ ln(x + a)，其中a 为常数. (1) 讨论函数g(x)的单调性；g(xj + g(x 2) x x + x 2 > g( --------- )(2) 若g(x)存在两个极值点X/2,求证：无论实数a 取什么值都有2 2・5. 已知函数f(x) = ln(e x+ a) (a 为常数)是实数集R 上的奇函数，函数g(x) = Xf(x) + sinx 是 区间【-1, 1］上的减函数.(1)求a 的值;(2)若g(x)<t 2+ Xt + l 在xEHL, 1］及入所在的取值国上恒成立，求t 的取值国:Inx 2—=x -2ex + m(3)讨论关于x 的方程f(x)的根的个数.(3)是否存在正实数6使得 2a xf(;)・f 声屮(寿 <0对任意正实数X 恒成立？若存在，求出文档大全实用标准文案6. 已知函数 f (x) = ax-\nx,F (x) = e x + ax ,其中 x>O,a <0.(1) 若/(X)和F(x)在区间(0,ln3)上具有相同的单调性，数a 的取值围；(2) 若aw -oo,-—,且函数 g (x) = xe a ^1 - 2av+ f (x)的最小值为 M,求M 的X €-最小值.7. 已知函数 f(x) = e x+m -\nx.(1 )如X = 1是函数/(X)的极值点，数〃7的值并讨论的单调性/(X):(2)若X = A O 是函数/(X)的极值点，且f(x) > 0恒成立，数加的取值围(注：已知 常数a 满足<71116/= 1)・牙3(1) 当加=1 时，求证：-lvxS 0 时，f (x) < —:(2) 试讨论函数y = /(A )的零点个数.9. 已知£ 是自然对数的底数，F(x) = 2e'~1+x+liix,/(x) = d r(x-l) + 3.⑴设T(x) = F(x)-/(x),当0 = 1 + 2以时，求证：T(x)在(0,+oo)±单调递增;(2)若 Vx>l,F(x)>/(x),数a 的取值囤. 10. 已知函数 /(x) = e v+ax-2(1) 若a = -l 求函数/(%)在区间［-1,1］的最小值； (2) 若a G /?,讨论函数/(X)在(0,+co)的单调性； (3) 若对于任意的為,耳丘(°，+8)，且兀 <耳，都有xJ/CG + a ］ vxJ/Vj + a ］成立，求a 的取值囲。
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类深圳南头中学袁作生d―、根据判别式A = -4ac讨论」例1-已知函数/（x）= ?+ar:+x+l（a e^）?求的单调区间.期解：f（Q = 3/+2ec+l,判别式A = ^-4o£=4（£f2-3）,屮（1＞当"昉或X W时，则在（f 壬戸）和（壬戸严）上,卩/（力是増函数；/在（土竺半三几r（z）＜0, 是軀熱P⑵当-击＜*少时，则对所有x^R f /Xx）＞O J HE是（y,h）上的増国数卅⑶当“士曲时，则对所有英g f（（x）＞O f八0是CQ+功上的増函数・心题型归纳总结：求导后是二&函数的形式，iBB翔g尹昌拭AM'-4*大于o,小于0』等于0讨论,筑习1：（11年广东文〉设＞0,讨论函数f（x）=ki x-i-a（l-a）x2 -2（l~a）x的单调性•“+J二、根据判二次函数根的大小讨论屮例壬已^函数/（x）= （jr+^-3^+3^x〔*迓且卫工扌片求门＞）的单调区间1解：广（血二［++3+2挑一2^+4旬-菱，厂（© = 0得丸二丄衍或上=住一2*2（1）当卫〉亍时，则-2a＜a-2,在（一芯-站）和@一2+功上，广（工）＞0, /（工）是増函数』在（一九卫-2）上，f\x）＜0 ,门＞）是减函数；斗2（2）3^＜y 时，则垃一2 c—2s 在（Y 冲一2）和（一如+ 功上，f\x）＞ 0, 是増函数；在@-2厂2动上，f f（x）＜ 0 ,才仗）杲减函数；+题型归纳总结：求导后是二次函数的形式，如果根的大小不确定，应对根的大小讨论确定单调区间■屮练习W三、根据定义域的隐含条件讨论卩例3：已知函数恵对耳咔―d （a eA）,求O）的单调区间.4 解：炖丄畑叽卩X⑴当必D时，/（x） = l-^>0,在①+x）上』f\x） > 0, 是增函数―X（2）当“>0日寸，令f\沪丄一^ = 0.得"丄，dX £7在（0丄）上，r（x）>0, 是增函数；在（二皿）上》/^）<0, f（x）是减国数，屮a a即増区间为（0.1）?减区间为（丄=炖）.存题型归纳总结：定龙域有限制时，粘义域与不等式解集的交集为分类标准讨论祕练习3 + d四、转化为二次函数讨论2例3：已知M/（x）=]nx-ax+ —-1 求门»的单调区间・，x 2解: f\x)二丄—a+ 口，1~~— (x > 0) 令g(x) = —x+l—a f JC>0^(1)当口 = 0 时』f\x)-*在（1「+功上，f\x） > o, f（x）是増函数；4x x x在（0.1）±, r（x）<o,几力是减函数，"⑵当"寺时，宫（力[几八力―—2 2 2x在（Q+血杲减函如心（耳当0<垃<1时，丄一1",在他1）和（丄一匕他）上，胃仗）>0,广（为<0,"2 a a在（i丄-1）上，巩©<o, rw>o^ a所的递减区间为（Q1）和（--1.-K0）；递増区间为（1丄-D,』zr nM- M-（4）当a<0fl 寸，--l<0,在（0J）±, g（x） > 0 . 卩a在（l：+x）上，g（x）<0?广（功>2m/w的递减区间为递増区间対©1)—题型归纳总结；求导舷s复杂^转化为二次圈数的讨论问题，求单调区间* 练习*+J五、多次求导求单调区间d例5；已知函数/(x) = xhx-Ax>l),求几巧的单调区间.屮解：y F(^ = l + lnx-3x; (x > 1),令二f (力二1+】口工一3/，屮『S二丄_ 6工」6云，因为工>1时宮。
导数问题常见分类讨论
在高考中导数问题常见的分类讨论（一）热点透析由于导数内容对大学数学与中学数学的衔接具有重大的作用，所以自从导数进入高考后，立即得到普遍地重视，在全国各地的数学高考试卷中占有相当重的份额，许多试题放在较后的位置，且有一定的难度..分类讨论是中学数学的一种解题思想，如何正确地对某一问题进行正确地分类讨论，这就要求大家平时就要有一种全局的观点，同时要有不遗不漏的观点。
只有这样在解题时才能做到有的放矢。
下面我想通过对导数类题的解答的分析，来揭示如何水道渠成顺理推舟进行分类讨论。
（二）知识回顾1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（三）疑难解释1．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．2．f′(x)>0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1． 若函数f (x )＝x ＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝2x 2＋2x －x 2－a (x ＋1)2＝x 2＋2x －a(x ＋1)2.因为f (x )在x ＝1处取极值，所以1是f ′(x )＝0的根，将x ＝1代入得a ＝3.2． 函数f (x )＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(x )在区间(1，＋∞)上是增函数，则f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2在(1，＋∞)上恒成立．∴a ≥－3.3. 如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断：①f (x )在[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．其中正确的判断是________．(填序号) 答案 ②③解析 ①∵f ′(x )在[－2，－1]上是小于等于0的， ∴f (x )在[－2，－1]上是减函数；②∵f ′(－1)＝0且在x ＝0两侧的导数值为左负右正， ∴x ＝－1是f (x )的极小值点； ③对， ④不对，由于f ′(3)≠0.4． 设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( )A ．－1B ．0C ．－239D.33答案 C解析 g (x )＝x 3－x ，由g ′(x )＝3x 2－1＝0，解得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)． 当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化情况如下表：所以当x 5． (2011·辽宁)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，∵m ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}，即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞). 二、高频考点专题链接题型一. 需对导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系讨论的问题。
高中数学讲义：含参数函数的单调区间
含参数函数的单调区间在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临的分类讨论。
本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧，便于更加快速准确的分析含参数函数的单调区间。
一、基础知识：1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间。
即确定定义域→求出导函数→令()'0f x >解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对x 的限制有时会简化含参不等式的求解3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式4、关于分类讨论的时机与分界点的确定（1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式：0x a ->，其解集为(),a +¥，中间并没有进行分类讨论。
思考：为什么？因为无论参数a 为何值，均是将a 移到不等号右侧出结果。
所以不需要分类讨论，再例如解不等式20x a ->，第一步移项得：2x a >（同样无论a 为何值，均是这样变形），但是第二步不等式两边开方时发现a 的不同取值会导致不同结果，显然a 是负数时，不等式恒成立，而a 是正数时，需要开方进一步求解集，分类讨论由此开始。
体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影响不相同时，就是分类讨论开始的时机。
所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的，而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自然的进行分类讨论。
（2）分界点的确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定。
要想找好分界点，首先要明确参数在问题中所扮演的角色。
例如上面的不等式2x a >，a 所扮演的角色是被开方数，故能否开方是进行下一步的关键，那自然想到按a 的符号进行分类讨论。
（3）当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解（4）当参数a 扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类。
(完整word版)导数单调性分类讨论
类型二：导数单调性专题类型１。
导数不含参。
类型２.导数含参。
类型３：要求二次导 求单调性一般步骤：(1) 第一步：写出定义域，一般有()0ln >⇒x x(2) 第二步:求导，(注意有常数的求导）若有分母则通分。
一般分母都比0大，故去死若无分母，因式分解（提公因式,十字相乘法）或求根(观察分子）判断导函数是否含参，再进行讨论（按恒成立与两个由为分界）(3) 第三步由()()⎩⎨⎧≤≥解出是减区间解出是增区间00x f x f(4) 下结论类型一：导函数不含参：()()()⎪⎩⎪⎨⎧-+=--++=++=21223,22,,x x e m e x f x x c bx ax x f x b kx x f 如指数型如：二次型如：一次型对于这类型的题，直接由导函数大于0，小于0即可（除非恒成立） 例题１求函数()()x e x x f 3-=的单调递增区间 解：()()()23'-=-+=x e e x e x f x x x 由()()202'>⇒>-=x x e x f x 所以函数在区间()+∞,2单调递增 由()()202'<⇒<-=x x e x f x所以函数在区间()2,∞-单调递减例题２：求函数()()2211x e x x f x --=的单调区间解：()()()()x e e x e x xe e x f x x x x x +-=-+-=-+-=11111'由()()()01011'>-<⇒>+-=x x x e x f x 或所以函数在区间(][)∞+-∞-，和01,单调递增由()()()01011'<<-⇒<+-=x x e x f x 所以函数在区间()0,1-单调递减 例题３：求函数()xxx f ln =的单调区间例题４：已知函数()()()R k kx e x x f x ∈--=21 （1)若1=k 时，求函数()x f 的单调区间例题５．（2010·新课标全国文，21）设函数f (x ）＝x （e x －1)－ax 2.(1）若a ＝错误!，求f (x )的单调区间；例题６:已知函数()()112++-=x e ax x f x (1）若0=a ，求函数()x f 的单调区间7。
利用导数讨论函数的单调性
利用导数讨论函数的单调性广西南宁市第二十六中学（530201）许莉［摘要］导数是研究函数性质的一个重要工具，利用求导研究含参函数的单调性是高考的热点，也是学生感到棘手的一个问题.文章结合实例，分类讨论研究导数与函数的单调性之间的关系.［关键词］导数；函数；单调性［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2021）14-0030-02一、利用导数求函数的单调区间利用导数研究函数单调性的依据：若函数y=f(x)在某个区间内可导：若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；若f′(x)=0，则f(x)在这个区间内是常数函数[1].［例1］（2013年高考天津卷节选）已知函数f(x)=x2ln x.求函数f(x)的单调区间.分析：在对f(x)进行求导之前，应先考虑函数的定义域（因为单调区间必须是在定义域的限定范围内，而这个也是学生容易忽略的问题），再进行求导判断符号.解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=2x ln x+x=x()2ln x+1，令f'(x)>0，得x>1e；令f'(x)<0，得0<x<1e，所以函数f(x)的单调递减区间是()0,1e，单调递增区间是()1e,+∞.小结：利用导数判断函数单调性的一般步骤：第一步，求函数的定义域；第二步，求导数f′(x)，其中求导后若有分母就考虑通分，若能因式分解就要因式分解，不能因式分解再考虑求根公式或者其他化简；第三步，在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；第四步，写出函数f(x)的单调区间.二、利用导数讨论含参数函数的单调性［例2］（2015年高考新课标卷2节选）已知函数f(x)=ln x+a(1-x)，讨论函数f(x)的单调性.分析：在对f(x)进行求导后，发现求导后的函数不能直接判断符号，而是当a不为0时分子为一个含参的一次函数，这类问题就转化为求解含参的一次函数问题.解：f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=1x-a=1-axx，若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增.若a>0，则当x∈()0,1a时，f′(x)>0；当x∈()1a,+∞时，f′(x)<0.所以f(x)在()0,1a单调递增，在()1a,+∞单调递减.小结：求导后导函数为含参的一次函数，求解不等式ax+b>0(<0)的步骤：（1）将不等式化为ax>-b；（2）a=0时，不等式不是一元一次不等式，单独讨论；（3）若a>0，则x>-ba；若a<0，则x<-ba，还要注意单调区间必须包含在定义域内.［例3］（2016年高考四川卷节选）已知函数f(x)=ax2-a-ln x，其中a∈R，讨论f(x)的单调性.分析：在对f(x)进行求导后，发现求导后的函数不能直接判断符号，而当a不为0时分子为一个含参的二次函数，这类问题就转化为求解含参的二次函数问题.对于含参的二次函数，首先考虑的是二次函数图像的开口方向，其次是是否有根，是否能直接求零点，而这也正是分类讨论的标准.对于学生来说，不重不漏地进行分类是答题的关键点.解：定义域{x|x>}0，f′()x=2ax-1x=2ax2-1x，x>0，当a≤0时，2ax2-1≤0，f′()x≤0，f()x在（0，+∞）上单调递减.当a>0时，令f'(x)=0，得x=当x∈(时，f'(x)<0；当x∈)∞时，f′(x)>0.故f(x)在(上单调递减，在)+∞上单调递增.小结：求导后导函数为含参的二次函数，求解不等式ax2+bx+c>0(<0)的步骤：（1）讨论二次项系数；（2）判断是否有零点；（3）根据对应一元二次方程数学·解题研究根的情况，得到一元二次不等式的解集，从而得到函数的单调性.［例4］（2019年高考全国卷Ⅲ理20节选）已知函数f (x )=2x 3-ax 2+b .讨论f (x )的单调性.分析：在对f (x )进行求导后，发现求导后可以因式分解，从而得到二次含参函数的零点，这时二次函数的开口方向已经确定，只需要对得到的两个两点进行分类讨论即可.解：（1）f '(x )=6x 2-2ax =2x (3x -a )，令f ′(x )=0，得x =0或x =a3.若a >0，则当x ∈()-∞,0∪()a3,+∞时，f '(x )>0；当x ∈()0,a3时，f '(x )<0.故f (x )在()-∞,0和()a3,+∞上单调递增，在()0,a3上单调递减；若a =0，f (x )在(-∞,+∞)上单调递增；若a <0，则当x ∈()-∞,a3∪()0,+∞时，f ′(x )>0；当x ∈()a3,0时，f ′(x )<0；故f (x )在()-∞,a3∪()0,+∞上单调递增，在()a3,0上单调递减.综上所述，若a =0，f (x )在()-∞,+∞上单调递增；若a <0，f (x )在()-∞,a3和()0,+∞上单调递增，在()a3,0上单调递减.若a >0时，f (x )在()-∞,0和()a3,+∞上单调递增，在()0,a3上单调递减.小结：求导后导函数为含参的二次函数，但是可以直接求出导函数的零点，只需要判断两根的大小，再根据“大于取两边，小于取中间”，得到f ′(x )>0，则f (x )在这个区间内单调递增；若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间内单调递减即可.［例5］（2018年高考全国卷Ⅰ节选）已知函数f (x )=1x -x +a ln x .讨论f (x )的单调性.分析：在对f (x )进行求导后，发现求导后的二次函数的开口方向已经确定，但是是否有零点还不能判断，因此分类的标准应该是对判别式进行讨论，进而再对可能存在的零点进行讨论，做到不重不漏.解：f (x )的定义域为()0,+∞，f '(x )=-1x2-1+a x =-x 2-ax +1x 2.（1）若a ≤2，则f '(x )≤0，所以f (x )在()0,+∞单调递减.（2）若a >2，令f '(x )=0，得x =a -a 2-42或x =a +a 2-42.当x ∈()0,a -a 2-42∪()a +a 2-42,+∞时，f '(x )<0；当x ∈()0,a -a 2-42,a +a 2-42时，f ′(x )<0.所以f (x )在()0,a -a 2-42，()a +a 2-42,+∞单调递减，在()0,a -a 2-42,a +a 2-42单调递增.小结：求导后导函数为含参的二次函数，但是不能判断导函数是否有零点，则需要根据判别式的正负从而得到“存在零点”和“不存在零点”的分类标准，当判别式大于零时，还要判断是否可以比较两零点的大小，以及零点与定义域的关系，做到分类有序、不重不漏[2].通过以上例题发现，利用导数研究函数的单调性是一个有效的工具.利用导数求含参函数单调性的分类标准为：（1）求导后若导函数为含参数的一次函数，可以根据含参数的一次函数进行分类讨论.（2）求导后若导函数为含参数的二次函数，若求导后不能判断开口方向的，分类的标准是先讨论二次函数的开口方向，再讨论是否存在零点；若求导后导函数可以直接因式分解得到零点，则分类标准是直接对零点进行分类讨论；若求导后导函数确定了开口方向，但是不能判断是否有零点，则分类标准是直接对判别式进行分类讨论[3].而在分类时要做到不重不漏.［参考文献］［1］祝敏芝.利用导数研究函数的单调性问题［J ］.中学数学教学参考，2020（Z1）：130-133.［2］王历权，范美卿，金雷.利用导数研究函数的单调性问题［J ］.中学数学教学参考，2019（7）：36-39.［3］陈达辉.利用导数研究函数单调性的几种类型［J ］.数学学习与研究，2019（8）：97.（责任编辑陈昕）数学·解题研究。
利用导数讨论含参函数的单调性
利用导数讨论含参函数的单调性讨论函数的单调性是研究函数问题的基础，对于函数的最值、极值、零点等性质的研究，都是以函数的单调性为基础展开的。
在此，主要讨论含参函数单调性的讨论方法。
函数的单调性由导函数的正负决定，讨论函数的单调性关键在于研究导函数的正负。
含参函数导函数正负的确定最大的困难在于参数的影响，如何对参数进行分类讨论是问题的关键。
在此，我们将提出三种方法。
一．分离参数、数形结合函数求导后，导函数中的参数可以分离，形如：m x g x f -=)()('的形式，若)(x g 有最小值，则分min )(x g m ≤，min )(x g m >两种情况进行分类讨论。
（1）当min )(x g m ≤时，0)()('≥-=m x g x f ；（2）当min )(x g m >时，若0)()('=-=m x g x f 有一个解，且)(x g 单调，设解为0x ，则0x 将定义域分为两个区间，讨论函数的单调性。
若)(x g 有最大值，则分max )(x g m ≥，max )(x g m <两种情况进行分类讨论。
1.（2012年全国卷文科21题） 设函数2)(--=ax e x f x . （1）求)(x f 的单调区间；解：函数)(x f 的定义域为()+∞∞-,，a e x f x -=)('，①若0≤a ，则0)('>x f ，)(x f 在()+∞∞-,单调递增； ②若0>a ，则由0)('=x f 得a x ln =，当()a x ln ,∞-∈时，0)('<x f ，当()+∞∈,ln a x 时，0)('>x f ； 所以)(x f 的单调减区间是()a ln ,∞-，单调增区间是()+∞,ln a ； 2.（2016年山东文科20题）设x a ax x x x f )12(ln )(2-+-=，R a ∈. （1）令)()('x f x g =，求)(x g 的单调区间. 解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，1221ln )()('-+-+==a ax x x f x g ，a xx g 21)('-=（1）若0≤a ，则0)('>x g ，)(x g 在()+∞,0单调递增；（2）若0>a ，则由0)('=x g 得ax 21=，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 21,0时，0)('>x g ，当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,21a x 时，0)('<x g ，所以)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21a 单调递减.3.（2015年北京卷文科19题）设函数x k x x f ln 2)(2-=.（1）求)(x f 的单调区间和极值；解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，xkx x k x x f -=-=2')(，①若0≤k ，则0)('>x f ，)(x f 在()+∞,0单调递增； ②若0>k ，则由0)('=x f 得k x =，当()k x ,0∈时，0)('<x f ，当()+∞∈,k x 时，0)('>x f所以)(x f 的单调减区间是()k ,0，单调增区间是()+∞,k .4.（2015年全国二卷文科21题） 已知函数)1(ln )(x a x x f -+=. （1）讨论)(x f 的单调性；解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，xaxa x x f -=-=11)('， ①若0≤a ，则0)('>x f ，)(x f 在()+∞,0单调递增；②若0>a ，则由0)('=x f 得ax 1=，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 1,0时，0)('>x f ，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈0,1a x 时，0)('<x f ；所以)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛0,1a单调递减； 5.（2016年四川卷文科21题） 设函数x a ax x f ln )(2--=. （1）讨论)(x f 的单调性； 解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=22'121212)(x a x x ax x ax x f ，①若0≤a ，则0)('<x f ，)(x f 在()+∞,0单调递减；②若0>a ，则由0)('=x f 得ax 21=，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 21,0时，0)('<x f ，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,21a x 时，0)('>x f ；所以)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21a 单调递增； 若0)()('=-=m x g x f 有两个解，则可以将定义域分为三个区域进行讨论。
专题10 分类讨论法解决含参函数单调性问题(解析版)
专题10分类讨论法解决含参函数单调性问题1．函数与导数问题中往往含有变量或参数，这些变量或参数取不同值时会导致不同的结果，因而要对参数进行分类讨论．常见的有含参函数的单调性、含参函数的极值、最值等问题，解决时要分类讨论．分类讨论的原则是不重复、不遗漏，讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，使解题步骤完整．2．利用分类讨论解决含参函数的单调性、极值、最值问题的思维流程3．口诀记忆导数取零把根找，先定有无后大小；有无实根判别式，两种情形需知晓．因式分解见两根，逻辑分类有区分；首项系数含参数，先论系数零正负．首项系数无参数，根的大小定胜负；定义域，紧跟踪，两根是否在其中．题型一可求根或因式分解1．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)，讨论函数f (x )的单调性．解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，①当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．2．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)．讨论函数f (x )的单调性．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当a >0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当a <0时，f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减；当a ＝0时，f (x )为常函数．3．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)，讨论函数f (x )的单调性．解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )4．已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．解析：函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝ax 2－(a ＋1)x ＋1x ＝(ax －1)(x －1)x ．①当0<a <1时，1a >1，∴x ∈(0，1)f ′(x )>0；x f ′(x )<0，∴函数f (x )在(0，1)②当a ＝1时，1a ＝1，∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；③当a >1时，0<1a <1，∴x (1，＋∞)时，f ′(x )>0；x f ′(x )<0，∴函数f (x )(1，＋∞)综上，当0<a <1时，函数f (x )在(0，1)当a ＝1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >1时，函数f (x )(1，＋∞)5．设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．讨论函数f (x )的单调性．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝ax ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2．当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)．(1)当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(3)当－12＜a ＜0时，Δ＞0．设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a ．由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a ＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )6．已知f (x )＝(x 2－ax )ln x －32x 2＋2ax ，求f (x )的单调递减区间．解析：易得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(2x －a )ln x ＋x －a －3x ＋2a ＝(2x －a )ln x －(2x －a )＝(2x －a )(ln x －1)，令f ′(x )＝0得x ＝a2或x ＝e ．当a ≤0时，因为x ＞0，所以2x －a ＞0，令f ′(x )＜0得x ＜e ，所以f (x )的单调递减区间为(0，e)．当a ＞0时，①若a2＜e ，即0＜a ＜2e ，当x f ′(x )＞0，当x f ′(x )＜0，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )②若a2＝e ，即a ＝2e ，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )没有单调递减区间；③若a2＞e ，即a ＞2e ，当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，当x f ′(x )＜0，当x f ′(x )＞0，所以f (x )综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，e)；当0＜a ＜2e 时，f (x )当a ＝2e 时，f (x )无单调递减区间；当a ＞2e 时，f (x )7．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程；(2)判断函数f (x )的单调性．解析：(1)∵a ＝e ，∴f (x )＝e x －e x －1，∴f ′(x )＝e x －e ，f (1)＝－1，f ′(1)＝0.∴当a ＝e 时，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－1.(2)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a .易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．8．已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，其中g (x )的函数图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴．(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性．解析：(1)g ′(x )＝1x ＋2ax ＋b (x ＞0)．由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴，得g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，所以b ＝－2a －1.(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x .因为函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，所以当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x.由g ′(x )＞0，得0＜x ＜1，由g ′(x )＜0，得x ＞1，即函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．当a ＞0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a，若12a ＜1，即a ＞12，由g ′(x )＞0，得x ＞1或0＜x ＜12a ，由g ′(x )＜0，得12a＜x ＜1，即函数g (x )(1，＋∞)若12a ＞1，即0＜a ＜12，由g ′(x )＞0，得x ＞12a 或0＜x ＜1，由g ′(x )＜0，得1＜x ＜12a，即函数g (x )在(0,1)若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0，即函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0＜a ＜12时，函数g (x )在(0,1)当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞12时，函数g (x )(1，＋∞)9．已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ．若a >0，试讨论函数f (x )的单调性．解析：因为f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，所以f ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x．由题意知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝12a ，若12a <1，即a >12，由f ′(x )>0得x >1或0<x <12a ，由f ′(x )<0得12a <x <1，即函数f (x )(1，＋∞)若12a >1，即0<a <12，由f ′(x )>0得x >12a 或0<x <1，由f ′(x )<0得1<x <12a ，即函数f (x )在(0，1)若12a ＝1，即a ＝12，则在(0，＋∞)上恒有f ′(x )≥0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当0<a <12时，函数f (x )在(0，1)当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数f (x )减，在(1，＋∞)上单调递增．10．函数f (x )＝2ax －a 2＋1x 2＋1，当a ≠0时，求f (x )的单调区间与极值．解析：因为f ′(x )＝－2ax 2＋2(a 2－1)x ＋2a (x 2＋1)2＝－2a(x 2＋1)2·(x －a (1)a >0时x (－∞，－a －1)(－a －1，a )(a ，＋∞)f ′(x )－＋－f (x )的极小值为f (－a －1)＝－a 2，极大值为f (a )＝1.(2)当a <0时，x (－∞，a )(a ，－a －1)(－a －1，＋∞)f ′(x )＋－＋f (x )的极小值为f (－a －1)＝－a 2，极大值为f (a )＝1.综上，当a >0时，f (x )的递增区间是(－a －1，a )，递减区间是(－∞，－a －1)，(a ，＋∞)，f (x )的极小值为f (－a －1)＝－a 2，极大值为f (a )＝1.当a <0时，f (x )的递增区间是(－∞，a )，(－a －1，＋∞)，递减区间是(a ，－a －1)，f (x )的极小值为f (－a －1)＝－a 2，极大值为f (a )＝1.11．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)，讨论f (x )的单调性．解析：f ′(x )＝x (x －(a 2－2a ))(x ＋1)(x ＋a )2.①当a 2－2a <0时，即1<a <2，又a 2－2a ＝(a －1)2－1>－1.②当a ＝2时，f ′(x )＝x (x ＋1)(x ＋2)2≥0，f (x )在(－1，＋∞)上递增．③当a 2－2a >0时，即a >2时，x (－1,0)(0，a 2－2a )(a 2－2a ，＋∞)f ′(x )＋－＋综上，当1<a <2时，f (x )的递增区间是(－1，a 2－2a )，(0，＋∞)，递减区间是(a 2－2a,0)；当a >2时，f (x )的递增区间是(－1,0)，(a 2－2a ，＋∞)，递减区间是(0，a 2－2a )；当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)上递增．12．已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论f (x )的单调性．解析：函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a ＞0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a .当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．③若a ＜0，则由f ′(x )＝0，得x ＝当x ∞，f ′(x )＜0；当x f ′(x )＞0.故f (x )∞，13．已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2，讨论f (x )在定义域上的单调性．解析：f ′(x )＝a x ＋1－a －2x 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－a ＋22f (x )的定义域为(－1，＋∞)，①当－a ＋22≤－1，即当a ≥0时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．②当－1＜－a ＋22＜0，即－2＜a ＜0时，若x 1f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x －a ＋22，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．③当－a ＋22＝0，即a ＝－2时，f ′(x )≤0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．④当－a ＋22＞0，即a ＜－2时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x －a ＋22，＋f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．综上，当a ≥0时，f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当－2＜a ＜0时，f (x )1－a ＋22，(0，＋∞)上单调递减；当a ＝－2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减；当a ＜－2时，f (x )在(－1，0)－a ＋22，＋14．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，g (x )＝e x ·(cos x －sin x ＋2x －2)，其中e 是自然对数的底数．(1)求函数g (x )的单调区间；(2)讨论函数h (x )＝g (x )－af (x )(a ∈R)的单调性．解析：(1)g ′(x )＝(e x )′·(cos x －sin x ＋2x －2)＋e x (cos x －sin x ＋2x －2)′＝e x (cos x －sin x ＋2x －2－sin x －cos x ＋2)＝2e x (x －sin x )．记p (x )＝x －sin x ，则p ′(x )＝1－cos x ．因为cos x ∈[－1，1]，所以p ′(x )＝1－cos x ≥0，所以函数p (x )在R 上单调递增．而p (0)＝0－sin 0＝0，所以当x <0时，p (x )<0，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减；当x >0时，p (x )>0，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增．综上，函数g (x )的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)因为h (x )＝g (x )－af (x )＝e x (cos x －sin x ＋2x －2)－a (x 2＋2cos x )，所以h ′(x )＝2e x (x －sin x )－a (2x －2sin x )＝2(x －sin x )(e x －a )．由(1)知，当x >0时，p (x )＝x －sin x >0；当x <0时，p (x )＝x －sin x <0．当a ≤0时，e x －a >0，所以x >0时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增；x <0时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减．当a >0时，令h ′(x )＝2(x －sin x )(e x －a )＝0，解得x 1＝ln a ，x 2＝0．①若0<a <1，则ln a <0，所以x ∈(－∞，ln a )时，e x －a <0，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增；x ∈(ln a ，0)时，e x －a >0，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；x ∈(0，＋∞)时，e x －a >0，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增．②若a ＝1，则ln a ＝0，所以x ∈R 时，h ′(x )≥0，函数h (x )在R 上单调递增．③若a >1，则ln a >0，所以x ∈(－∞，0)时，e x －a <0，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增；x ∈(0，ln a )时，e x －a <0，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；x ∈(ln a ，＋∞)时，e x －a >0，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增．综上所述，当a ≤0时，函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减；当0<a <1时，函数h (x )在(－∞，ln a )，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a ，0)上单调递减；当a ＝1时，函数h (x )在R 上单调递增；当a >1时，函数h (x )在(－∞，0)，(ln a ，＋∞)上单调递增，在(0，ln a )上单调递减．题型二导函数不可因式分解1．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．讨论f (x )的单调性．解析：由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a )．①当a ≥13时，f ′(x )≥0，f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3，令f ′(x )>0，则x <x 1或x ＞x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2．所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )∞2．已知函数f (x )＝x 3－kx ＋k 2．讨论f (x )的单调性．解析：由题意，得f ′(x )＝3x 2－k ，当k ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当k ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝±k 3，令f ′(x )＜0，得－k3＜x ＜k3，令f ′(x )＞0，得x ＜－k3或x ＞k 3，所以f (x )－k 3，∞k3，＋3．已知函数f (x )＝(1＋ax 2)e x －1，当a ≥0时，讨论函数f (x )的单调性．解析：由题易得f ′(x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x ，当a ＝0时，f ′(x )＝e x ＞0，此时f (x )在R 上单调递增．当a ＞0时，方程ax 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－4a ．①当0＜a ≤1时，Δ≤0，ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，所以f ′(x )≥0，此时f (x )在R 上单调递增；②当a ＞1时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1－1－1a，x 2＝－1＋1－1a．x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．所以f (x )∞，－11＋1－1a，＋1－1－1a，－1综上，当0≤a ≤1时，f (x )在R 上单调递增；当a ＞1时，f (x )∞，－11＋1－1a，＋1－1－1a ，－14．已知函数f (x )＝1x－x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性．解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2.①当a ≤2时，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＞2时，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42.当x f ′(x )＜0；当x f ′(x )＞0.所以f (x )综合①②可知，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )5．已知f (x )＝ax －1x ，g (x )＝ln x ，x ＞0，a ∈R 是常数．(1)求函数y ＝g (x )的图象在点P (1，g (1))处的切线方程；(2)设F (x )＝f (x )－g (x )，讨论函数F (x )的单调性．解析：(1)因为g (x )＝ln x (x ＞0)，所以g (1)＝0，g ′(x )＝1x ，g ′(1)＝1，故函数g (x )的图象在P (1，g (1))处的切线方程是y ＝x －1.(2)因为F (x )＝f (x )－g (x )＝ax －1x －ln x (x ＞0)，所以F ′(x )＝a ＋1x 2－1x ＝a －14.①当a ≥14时，F ′(x )≥0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＝0时，F ′(x )＝1－xx 2，F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；③当0＜a ＜14时，由F ′(x )＝0，得1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a＞0，且x 2＞x 1，故F (x )④当a ＜0时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a ＜0，F (x )6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1.(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )－23，－a 的取值范围．解析：(1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1.①当Δ≤0⇒－3≤a ≤3，f ′(x )≥0，且在R 的任给一子区间上，f ′(x )不恒为0，所以f (x )在R 上递增；②当Δ>0⇒a <－3或a > 3.由f ′(x )＝0⇒x 1＝－a －a 2－33，x 2＝－a ＋a 2－33.x(－∞，x 1)(x 1，x 2)(x 2，＋∞)f ′(x )＋－＋所以f (x )的单调递增区间是(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)；单调递减区间是(x 1，x 2)．(2)因为f (x )－23，－－23，－(x 1，x 2)．所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1≤0－23，－所以2a ≥－3x －1x在－23，－a ≥2.7．已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a ＞0，讨论f (x )的单调性．解析：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ≤0，即0＜a ≤22时，对一切x ＞0都有f ′(x )≥0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＞0，即a ＞22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0＜x 1＜x 2.由f ′(x )>0，得0<x <x 1或x >x 2.由f ′(x )<0，得x 1<x <x 2.所以f (x )在。
用导数求含参函数的单调区间
用导数求含参函数的单调区间作者：***
来源：《教育周报·教研版》2020年第01期
导数是研究函数的重要工具，而利用导数来判断函数的单调性是高考重点考查的内容之一，也是高考的常考题型，属于中等偏难的题目，同学们往往容易得分但是得满分难，只因其主要考查数形结合思想以及分类整合思想.因为在其解答过程中往往会蕴含著几个层次的分类讨论，当它们叠加在一起的时候，需要我们有很好的分析问题和解决问题的能力，同时还需要细心与耐心，否则极易出错。
本文笔者结合自己的多年教学实践，从例题出发，谈谈解决这一类问题的粗浅看法。
本人认为，对函数（可求导函数）的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论，若有多个讨论点时，要注意讨论层次与顺序，一般先根据参数对导函数的类型进行分类，再从简单到复杂进行分类讨论。
分类讨论证明或求函数的单调区间(含参)(教师版)--2024新高考数学导数微专题训练
专题14分类讨论证明或求函数的单调区间（含参）1．设函数21()sin cos 2f x x x x ax =+-．（1）当12a =时，讨论()f x 在(,)ππ-内的单调性；（2）当13a >时，证明：()f x 有且仅有两个零点．【答案】（1）在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭或,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,3ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）证明见解析.【分析】（1）先求导，根据导数和函数的单调性，结合三角函数的性质即可求出单调区间；（2）先判断出函数为偶函数，则问题转化为()f x 在(0,)+∞有且只有一个零点，再利用导数和函数单调性的关系，以及函数零点存在定理即可求出．【详解】（1）当12a =时，21()sin cos 4f x x x x x =+-，11()sin cos sin (cos 22f x x x x x x x x ∴'=+--=-，令()0f x '=，解得0x =或3x π=，3x π=-，当()0f x '<时，解得03x π-<<或3x ππ<<，当()0f x '>时，解得3x ππ-<<-或03x π<<，()f x ∴在(3π-，0)或(3π，)π上单调递减，在(,)3ππ--或(0,)3π上单调递增；（2）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2211()()sin()cos()()sin cos ()22f x x x x a x x x x ax f x -=--+-+-=+-= ，()f x ∴为偶函数，(0)10f => ，()f x ∴有且仅有两个零点等价于()f x 在(0,)+∞有且只有一个零点，()(cos )f x x x a '=- ，当1a 时，cos 0x a -，()0f x '恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减，2211()sin cos 1022f a a ππππππ=+-=--< ，(0)·()0f f π∴<，()f x ∴在(0,)+∞上有且只有一个零点，当113a <<时，令()(cos )0f x x x a '=-=，即cos x a =，可知存在唯一(0,)2πθ∈，使得cos a θ=，当(0,)x θ∈或(22,22)x k k ππθππθ∈+-++时，k ∈N ，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当(2,22)x k k πθππθ∈++-时，k ∈N ，()0f x '<，函数()f x 单调递减，由tan θ=113a <<，可得0tan θ<<，当k ∈N ，22tan 2(k ππθθπ++->，2221113(22tan )10(22)[(22tan )1][(22tan )1]022626k f k a k k a ππθθππθππθθππθθ++--∴++=-++--+<-++--+=-<，()f x ∴在(0,)+∞上有且只有一个零点，综上所述，当13a >时，()f x 有且仅有两个零点．【点睛】方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论；若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．2、用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.2．已知函数2()2ln 2(1)f x mx x m x =-+-．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当1x ≠时，求证：2286ln 3521x x x x x x---<-．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）先求导，分为0m ≥，1m =-，1m <-和10m -<<四种情形进行分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；（2）等价于3226(1ln )23501x x x x x-+--<-，令()()3261ln 235h x x x x x =-+--，利用当2m =时的结论，根据导数判断()h x 与0的关系，即可证明.【详解】解：()f x 的定义域为(0,)+∞，则22(1)1(1)(1)()22(1)22mx m x mx x f x mx m x x x+--+-'=-+-=⋅=⋅，当0m 时，10mx +>，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，∴函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，当0m <时，令()0f x '=，解得1x =或1x m=-，当1m =-时，2(1)()2·0x f x x-'=-恒成立，∴函数()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间，当1m <-时，101m<-<，当1(0,x m ∈-或(1,)+∞时，()0f x '<，当1(x m∈-，1)时，()0f x '>，∴函数()f x 的单调递减区间为1(0,)m -或(1,)+∞，单调递增区间为1(m-，1)，当10m -<<，11m ->，当(0,1)x ∈或1(m -，)+∞时，()0f x '<，当1(1,x m∈-时，()0f x '>，∴函数()f x 的单调递减区间为(0,1)或1(m -，)+∞，单调递增区间为1(1,m．综上所述：当0m 时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，当1m =-时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间，当1m <-时，函数()f x 的单调递减区间为1(0,)m -，(1,)+∞，单调递增区间为1(m-，1)，当10m -<<时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)或1(m -，)+∞，单调递增区间为1(1,)m．（2）证明：要证2286ln 3521x x x x x x---<-，即证3226(1ln )23501x x x x x -+--<-，令32()6(1ln )235h x x x x x =-+--，则22()66ln 6663(22ln 2)h x x x x x x x '=--+-=--，由（1），当2m =时，2()22ln 2f x x x x =--，可得()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，即()h x '的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，()h x h ∴''（1）0=，()h x ∴在(0,)+∞上单调递增，h （1）6(1ln1)2350=-+--=，∴当01x <<时，()0h x <，210x ->，当1x >时，()0h x >，210x -<，∴3226(1)23501x lnx x x x -+--<-，即22863521x xlnx x x x---<-．【点睛】含有参数的函数单调性讨论常见的形式：（1）对二次项系数的符号进行讨论；（2）导函数是否有零点进行讨论；（3）导函数中零点的大小进行讨论；（4）导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等.3．已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈.（1）若1a =，求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）极小值为0，无极大值；（2）答案见解析.【分析】（1）当1a =时，求得()1x f x x-=，利用导数分析函数()f x 的单调性，由此可求得函数()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值；（2）求得()()10ax f x x x-'=>，分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间.【详解】（1）当1a =时，()1ln f x x x =--，所以，()()1110x f x x x x-¢=-=>，列表；x1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭1(]1,e ()f x '-+()f x 单调递减极小单调递增所以，()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的有极小值()10f =，无极大值；（2） 函数()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=.当0a ≤时，10ax -<，从而()0f x '<，故函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，若10x a<<，则10ax -<，从而()0f x '<；若1x a>，则10ax ->，从而()0f x '>.故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；当0a >时，函数()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：讨论含参数函数的单调性，通常以下几个方面：（1）求导后看函数的最高次项系数是否为0，需分类讨论；（2）若最高次项系数不为0，且最高次项为一次，一般为一次函数，求出导数方程的根；（3）对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，结合导数的符号变化可得出函数的单调性.4．已知函数()21()xm x xf x e++=．（1）试讨论()f x 的单调性；（2）若0m ≤，证明：()ln ef x x x +≤．【答案】（1）答案不唯一见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）对函数进行求导得(1)(1)()xx mx m f x e--'+=-，再对m 分三种情况讨论，即0m =，0m >，0m <三种情况；（2）要证明()ln ef x x x +≤，只需证明 ()ln ef x x x ≤-，而ln 1x x -≥，因此只需证明1()f x e≤，再利用函数的单调性，即可得证；【详解】解析：（1）因为(1)(1)()xx mx m f x e --'+=-，①当0m =时，1()x x f x e-=-'，当1x >时，()0f x '<，当1x <时，()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；②当0m >时，1(1)11(),11x m x x m f x e m'⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=--<，当11,1x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,1(1,)x m ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在11,1m ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,1,(1,)m ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递减；③当0m <时，111m ->，当11,1x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1(,1)1,x m ⎛⎫∈-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在11,1m ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，在1(,1),1,m ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递增．（2）要证明()ln ef x x x +≤，只需证明 ()ln ef x x x ≤-，而ln 1x x -≥，因此只需证明1()f x e≤，当0m =时，()x xf x e =，由（1）知()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max 1()(1)f x f e==；当0m <时，()211()xx m x xx f x e e e++=<≤，故()ln ef x x x +≤．【点睛】利用导数研究含参函数的单调区间，要注意先求导后，再解导数不等式.5．已知函数()e x f x ax =，a 为非零常数.（1）求()f x 单调递减区间；（2）讨论方程()()21f x x =+的根的个数.【答案】（1）当0a >时，()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，当0a <时，()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞；（2）当0a >时，原方程有且仅有一个解；当0a <时，原方程有两个解.【分析】（1）求导，对a 分类讨论，利用()0f x '<可解得结果；（2）转化为函数2(1)()exx g x x +=与y a =的图象的交点的个数，利用导数可求得结果.【详解】（1）()(1)e x x x f x ae axe a x '=+=+，由()0f x '=得1x =-，①若0a >时，由()0f x '<得1x <-，所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-；②若0a <时，由()0f x '<得1x >-，所以()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞.综上所述，当0a >时，()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-；当0a <时，()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞.（2）因为方程2()(1)f x x =+等价于2(1)e x x a x +=，令2(1)()exx g x x +=，所以方程()()21f x x =+的根的个数等于函数2(1)()exx g x x +=与y a =的图象的交点的个数，因为()2222(1)12(1)(1)()()()ex x x x x x x x xe x e xe g x xe x +++-++=-'=，由()0g x '=，得1x =-，当(,1)x ∈-∞-，时，()0g x '>，()g x 在(,1)-∞-上单调递增；当()()1,00,x ∈-+∞ 时，()0g x '<，所以()g x 在()1,0-，()0,∞+上单调递减，又()10g -=，所以当(,1)x ∈-∞-时，()(),0g x ∈-∞；当()1,0x ∈-时，()(),0g x ∈-∞；当()0,x ∈+∞时，()()0,g x ∈+∞.所以，当0a >时，原方程有且仅有一个解；当0a <时，原方程有两个解.【点睛】方法点睛：讨论函数零点(或方程根)的个数的常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，可得方程根的个数；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解6．已知函数()21ln 2f x ax x x b =-⋅+，()()g x f x '=.（1）判断函数()y g x =的单调性；（2）若(]()0, 2.718x e e ∈≈，判断是否存在实数a ，使函数()g x 的最小值为2？若存在求出a 的值；若不存在，请说明理由；（3）证明：1233ln 2341n n n ⎛⎫++++>-⎪+⎝⎭ .【答案】（1）答案见解析；（2）存在，2a e =；（3）证明见解析.【分析】（1）先求()()g x f x '=，再对()y g x =求导，对参数a 进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性；（2）对参数a 进行讨论确定()y g x =导数的正负，即得函数()y g x =单调性，再根据单调性确定最值等于2，解得符合条件的参数值即得结果；（3）先构造函数11()ln 31,,132h x x x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭，证明其小于零，即得1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时13ln 13x x >+，再将1nx n =+代入求和即证结论.【详解】解：（1）由()21ln 2f x ax x x b =-⋅+，知()()ln 1g x f x ax x '==--，0x >，故()11ax g x a x x-'=-=，0x >.当0a ≤时，()0g x '<，即()g x 在()0,∞+为减函数，当0a >时，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，所以()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上()0g x '>，所以()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭增函数.（2）当0a ≤时，()g x 在(]0,e 为减函数，所以()()min 11g x g e ea ==-≤-.故不存在最小值3.当10a e <≤时，1e a≥，()g x 在(]0,e 为减函数，所以()()min1ln 2g x g e ea e ==--=，所以4a e=，不合题意，舍去当1a e >时10e a <<，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，函数()g x 单调递减；在1,e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()0g x '>，函数()g x 单调递增，由此()min 1111ln 2g x g a a ⎛⎫==--=⎪⎝⎭，所以ln 2a =.解得2a e =故2a e =时，使函数()g x 的最小值为2.（3）构造函数11()ln 31,,132h x x x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭，则119()3033x h x x x -'=-=>，故1()ln 313h x x x =-+在1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上递减，111111()ln 3120232232h x h ⎛⎫≤=-⨯+=--< ⎪⎝⎭，故1ln 3103x x -+<，即1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时13ln 13x x >+，而11,1112n n N x n n *⎡⎫∈==-⎪⎢++⎣⎭，故13ln 1311n n n n >++⋅+，即[]ln(13ln 131)1n n n n ->++⋅+，将n *∈N 依次代入并相加得[]()1ln1ln 12313ln 2ln 3...ln(1)ln 1231ln 4323n n n n n n n ⎛⎫++++>-+-++-+-+ ⎭+⎪+⎝= ，即1233ln 2341n n n ⎛⎫++++>- ⎪+⎝⎭ .【点睛】本题解题关键在于观察证明式1233ln 2341n n n ⎛⎫++++>-⎪+⎝⎭ ，构造函数11()ln 31,,132h x x x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭，以证明13ln 13x x >+，将1n x n =+代入求和即突破难点.用导数解决与正整数n 有关的不等式证明问题，属于难点，突破点就在于观察构造合适的函数，通过导数证明不等式，再将关于n 的式子代入即可.7．已知函数()()21ln ,2f x ax x x b a b R =-⋅+∈，()()g x f x '=.（1）判断函数()y g x =的单调性；（2）若(]()0, 2.718x e e ∈≈，判断是否存在实数a ，使函数()g x 的最小值为2？若存在求出a 的值；若不存在，请说明理由；【答案】（1）答案见解析；（2）存在，2a e =.【分析】（1）先求()()g x f x '=，再对()y g x =求导，对参数a 进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性；（2）对参数a 进行讨论确定()y g x =导数的正负，即得函数()y g x =单调性，再根据单调性确定最值等于2，解得符合条件的参数值即得结果；【详解】（1）由()21ln 2f x ax x x b =-⋅+，知()()ln 1g x f x ax x '==--，0x >，故()11ax g x a x x-'=-=.当0a ≤时，()0g x '<，即()g x 在()0,∞+为减函数，当0a >时，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，所以()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上()0g x '>，所以()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭增函数.（2）当0a ≤时，()g x 在(]0,e 为减函数，所以()()min 11g x g e ea ==-≤-.故不存在最小值3.当10a e <≤时，1e a≥，()g x 在(]0,e 为减函数，所以()()min1ln 2g x g e ea e ==--=，所以4a e=，不合题意，舍去.当1a e >时，10e a <<，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，函数()g x 单调递减；在1,e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()0g x '>，函数()g x 单调递增，由此()min 1111ln 2g x g a a ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，所以ln 2a =.解得2a e =，故2a e =时，使函数()g x 的最小值为2.【点睛】利用导数研究函数()f x 的单调性和最值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，讨论不等式何时()0f x '>和()0f x '<③对应得到增区间和减区间及极值点，进而比较端点和极值点的值确定指定区间的最值即可.8．已知函数()()()ln 1f x x ax a =+-∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性.（2）若()()2112g x x x a f x =--+-，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，求证:()()12152ln 28x g x g -≥-.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先求得()f x 的定义域和导函数()'fx ，对a 分成0a ≤和0a >两种情况进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）求得()g x 的表达式，求得()'g x ，利用根与系数关系得到12,x x 的关系式以及1x 的取值范围，将()()12g x g x -表示为只含1x 的形式，利用构造函数法求得()()12g x g x -的最小值，从而证得不等式成立.【详解】(1)由题意得，函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，()11f x a x '=-+.当0a ≤时，()101f x a x '=->+，∴函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增.当0a >时，令()0f x '=，得11x a=-+.若11,1x a ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭，则()0f x '>，此时函数()f x 单调递增；若11,x a ⎛⎫∈-++∞ ⎪⎝⎭，则()0f x '<，此时函数()f x 单调递减.综上，当0a ≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在11,1a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递减.(2)()()21ln 12g x x x a x =+-+Q ，0x >，()()11g x x a x '∴=+-+()211x a x x-++=.由()0g x '=得()2110x a x -++=，()240321a a ∆=+⇒-≥>121x x a ∴+=+，121=x x ，211x x ∴=.32a ≥Q ，512a +≥，12x x <111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩，解得1102x <≤.()()12x g x g ∴-()()()221121221ln12x x x a x x x =+--+-21121112ln 2x x x⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.设()221112ln 022x h x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()()22331210x h x x x x x-'=--=-<，∴函数()h x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减.∴当112x =时，()min 1152ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.32a ∴≥时，()()12152ln 28x g x g -≥-成立.【点睛】求解含有参数的函数的单调性题，求导后要根据导函数的形式进行分类讨论.9．已知函数()2xf x e ae x =-.（1）讨论()f x 的单调区间；（2）当0a <时，证明：()2ln f x e x >.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间；当0a >时，()f x 的减区间为(),2ln a -∞+，增区间()2ln ,a ++∞，（2）证明见解析【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导数，分0a ≤和0a >，分别由导数大于零和小于零，可求得函数的单调区间；（2）要证明22ln x ae x e x e ->，只要证2ln 0x e e x ->，构造函数()2ln xg x e e x =-，然后利用导数求出此函数的最小值即可，或要证明22ln xae x e x e ->，只要证22ln x e x xe x ae ->，构造函数()()20x g x ae x x e =->，然后用导数求其最小值，构造函数()()2ln 0x h x e x x=>，然后利用导数求其最大值，或要证明22ln x ae x e x e ->．由于当0a <时，20ae x <，只要证2ln 0x e e x ->，构造函数()()()222222ln ln x x g x e e x e x e x e e e e x =-=-++--，令()()220x h x e e x e x =-+>，()222ln m x e x e e x =--，再利用导数求其最小值即可【详解】（1）解：()f x 的定义域为(),-∞+∞，()2x f x e ae '=-．当0a ≤时，()0f x ¢>，则()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间．当0a >时，由()0f x ¢=，得2ln x a =+．当(),2ln x a ∈-∞+时，()0f x ¢<；当()2ln ,x a ∈++∞时，()0f x ¢>，所以()f x 的减区间为(),2ln a -∞+，增区间()2ln ,a ++∞．（2）证明：法一：要证明22ln x ae x e x e ->．由于当0a <时，20ae x <，只要证2ln 0x e e x ->．设()2ln xg x e e x =-，则()2xg x e e x '=-，()220xg x e xe ''=+>，所以()g x '在()0,+¥上是增函数．又()210g e e '=-<，()2222022e g ee '=-=>，所以存在()01,2x ∈，使得()02000x g e x e x '=-=，即020x e e x =，00ln 2x x =-．所以当()00,x x ∈时，()0g x ¢<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x ¢>，因此()g x 在()00,x 上是减函数，在()0,x +∞上是增函数，所以()g x 有极小值，且极小值为()()022222222000000ln 22220x g x e e x e x e x e e e x e x e =-=--=+->-=．因此()0gx >，即2ln 0x e x -->．综上，当0a <时，()2ln f x e x >．法二：要证明22ln xae x e x e ->，只要证22ln x e x xe x ae ->．设()()20x g x ae x x e =->，则()()21x x e g x x-'=．当01x <<时，()0g x ¢<；当1x >时，()0g x ¢>，所以()g x 在()0,1上是减函数，在()1,+¥上是增函数，所以1x =是()g x 的极小值点，也是最小值点，且()()2min 1g x g e ae ==-．令()()2ln 0xh x e x x =>，则()()221ln x h x xe -'=．当0x e <<时，()0h x '>；当e x >时，()0h x '<，所以()h x 在()0,e 上是增函数，在(),e +∞上是减函数，所以x e =是()h x 的极大值点，也是最大值点，且()()max h x h e e ==，所以当0a <时，()()2g x e ae e h x ≥->≥，即22ln x e x xe x ae ->．综上，当0a <时，()2ln f x e x >．法三：要证明22ln x ae x e x e ->．由于当0a <时，20ae x <，只要证2ln 0x e e x ->．设()()()222222ln ln xxg x e e x e x ex ee e e x =-=-++--，令()()220xh x e e x ex =-+>，则()2x h x e e '=-，当02x <<时，()0h x '<；当2x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,2上是减函数，在()2,+¥上是增函数，所以2x =是()h x 的极小值点，也是()h x 的最小值点，即()()min 20h x h ==．设()222ln m x e x e e x =--，则()()2221x e m x e x xe-'=-=．当01x <<时，()0m x '<；当2x >时，()0m x '>，所以()m x 在()0,1上是减函数，在()1,+¥上是增函数，所以1x =是()m x 的极小值点，也是()m x 的最小值点，即()()min 10m x m ==．综上，()0h x ≥（当且仅当2x =时取等号），()0m x ≥（当且仅当1x =时取等号），所以()()()0g x h x m x =+>，故当0a <时，()2ln f x e x >．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数证明不等式，解题的关键是将不等式等价转化，然后构造函数，利用导数求函数的最值，考查数学转化思想，属于较难题10．已知函数2()ln f x x ax x =-+.（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）对任意0a <，满足2()ln f x x ax x =-+的图象与直线y kx =恒有且仅有一个公共点，求k 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，在(0,)+∞单调递增；当0a >时，在10,4a ⎛-+ ⎝⎭单调递增，在14a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减；（2）1k ≤或3221k e -+≥.【分析】（1）首先求函数的导数2121'()21(0)ax x f x ax x x x-++=-+=>，分0a ≤和0a >两千情况讨论导数的正负，确定函数的单调性；（2）由方程()f x kx =，转化为2ln x ax xk x -+=，构造函数()2ln x ax x h x x-+=，利用二阶导数判断函数的单调性，并分情况讨论()h x '最小值的正负，并结合零点存在性定理，确定函数的性质，根据2ln x ax xk x-+=有唯一解，确定k 的取值范围.【详解】（1）2121'()21(0)ax x f x ax x x x-++=-+=>当0a ≤时，恒有'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，令2210ax x -++=，则180a ∆=+>，则10x =，211804x a-=<（舍去），当1(0,)4x a -+∈时，'()0f x >，()f x 在1(0,)4a-+单调递增；当)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x在)+∞单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在118(0,)4a -单调递增，()f x 在118()4a-+∞单调递减.（2）原命题等价于对任意0a <，2ln x ax x kx -+=有且仅有一解，即2ln x ax xk x-+=；令ln ()1x h x ax x =-+则21ln '()x h x a x -=-，332(ln )2''()x h x x -=，令''()0h x =得32x e =所以)'(h x 在32(0,)e 上递减，在32(,)e +∞上递增，3232min 331ln 1'()'()2e h x h e a ae e -==-=--当312a e ≤-时，'()0h x ≥，所以()h x 在R 上单调递增，又当0x →时，ln ,0xax x→-∞-→，所以()h x →-∞；当x →+∞时，ln ,xax x→+∞-→+∞，所以()h x →+∞.所以()h x 在R 上必存在唯一零点，此时k ∈R ；当3102a e-<<时，32min '()'()0h x h e =<，同时又当0x →时，21ln ,x a x-→+∞-→+∞，所以'()h x →+∞；当x →+∞时，21ln 0,x a x-→-→+∞，所以'()h x →+∞.所以方程'()0h x =存在两根12,x x ，即2211221ln 1ln 0x ax x ax --=--=且332212(0,),(,)x e x e ∈∈+∞，所以()h x 在1(0,)x 上单调递增，12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，所以()h x 的极大值为1()h x ，极小值为2()h x 要使有方程2ln x ax xk x-+=唯一解，必有1()k h x >或2()k h x <，又2222222222ln ln 1ln 2ln 1()111x x x x h x ax x x x x --=-+=-+=+，又322(,)x e ∈+∞，则2ln 1()1x x x ϕ-=+，232ln '()0x x xϕ-=<，所以()ϕx 在32(,)e +∞递减，且x →+∞时，2ln 1()11x x xϕ-=+→，所以1k ≤；同理1112ln 1()1x h x x -=+，321(0,)x e ∈，2ln 1()1x x x ϕ-=+在32(0,)e 递增，3322322()()121x e eeϕϕ-<=+=+，所以3221k e -+≥.综上可得，1k ≤或3221k e -+≥.【点睛】思路点睛：本题是一道利用导数研究函数性质，零点的综合应用题型，属于难题，一般利用导数研究函数零点或方程的实数根时，需根据题意构造函数()f x ，利用导数研究函数在该区间上的单调性，极值，端点值等性质，以及零点存在性定理等研究函数的零点.11．设函数223223()3,()33,22a a f x x x ax g x ax x a ⎛⎫=-+=-++-∈ ⎪⎝⎭R .（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数[]()23()()()0,222a x f x g x x x ϕ=--∈在0x =处取得最大值，求a 的取值范围.【答案】（1）当3a ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当3a <时，()f x 的单调递增区间为93,13⎛-∞- ⎝⎭和9313⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1⎛-+ ⎝⎭；（2）6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【分析】（1）先对()f x 求导，对导函数分3a ≥和3a <两种情况讨论即可.（2）因为函数()x ϕ在0x =处取得最大值，所以[]23223133(0)()(1)3,0,22222a x ax a x x a x ϕϕ==+--+∈，利用分离参数法转化为不等式恒成立问题，求函数的最值即可.【详解】解：（1）()22()36313f x x x a x a '=-+=-+-，当3a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当3a <时，令()0f x '>，得13x <-或13x >+，所以()f x 的单调递增区间为93,13⎛-∞- ⎝⎭和9313⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭令()0f x '<，得1133x -<<+，所以()f x 的单调递减区间为9393133⎛-+ ⎝⎭.综上，当3a ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当3a <时，()f x 的单调递增区间为,1⎛-∞- ⎝⎭和1⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为9393133⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭.（2）由题意得[]322133()(1)3,0,2222x ax a x x a x ϕ=+--+∈.因为函数()x ϕ在0x =处取得最大值，所以[]23223133(0)()(1)3,0,22222a x ax a x x a x ϕϕ==+--+∈，即[]3213(1)30,0,222ax a x x x +--∈，当0x =时，显然成立.当(]0,2x ∈时，得()21313022ax a x +--≤，即()()()()()22323232322221+2x x ax xx x x x ++==++-+-+--.令(]22,4t x =+∈，则2()1,(2,4]th t t t =--∈，()2210h t t '=+>恒成立，所以2()1,(2,4]t h t t t =--∈是增函数，5()0,2h t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3625(2)12x x +--+，即65a ，所以a 的取值范围为6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】思路点睛：对含参数的函数求单调区间，根据导函数分类讨论是解决这类题的一般方法；已知函数的最大值求参数的取值范围，往往转化为不等式恒成立问题，如果能分离参数的话，分离参数是解决这类题的常用方法，然后再求函数的最值即可.12．已知函数()()()21ln 1f x x a x x =-+-+（0a >）.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()1ln x xf x x x-'≥在()1+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）02a <≤.【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，判断函数的单调性即可；（2原不等式化为：ln 2x a x x ≤-在()1+∞，上恒成立，设()ln 2xh x x x=-，()1,x ∈+∞，求出函数的导数，再令()221ln g x x x =-+，根据函数的单调性求出a 的范围即可．【详解】（1）()()()1121121x f x x a x a x x -⎛⎫⎛⎫'=-+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()12121a x x a x x xx---=--=，()0,x ∈+∞，令()0f x '=，则2ax =或1x =，当02a <<时，函数()f x 在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增，在区间,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当2a =时，函数()f x 在()0+∞，上单调递增，当2a >时，函数()f x 在区间()0,1和,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；（2）原不等式化为：ln 2xa x x≤-在()1+∞，上恒成立，设()ln 2xh x x x=-，()1,x ∈+∞，()2221ln 21ln 2x x x h x x x--+'=-=，令()221ln g x x x =-+，则()140g x x x '=+>，所以()g x 在()1+∞，上单调递增，()()110g x g >=>，所以()0h x '>，则函数()h x 在()1+∞，上单调递增，且()12h =，02a ∴<≤.【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究单调性（含参），考查利用导数研究恒成立问题，解决第（2）问的关键是将原不等式转化为ln 2xa x x≤-在()1+∞，上恒成立，进而利用导数研究函数的单调性，从而得解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想，属于常考题.13．已知函数()ln 2ag x x x x=++.（1）讨论()g x 的单调性；（2）当10a e <<时，函数()()222a f x xg x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在其定义域内有两个不同的极值点，记作1x 、2x ，且11x x <，若m 1≥，证明：112m mx x e +⋅>.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求出函数()g x 的定义域，求得()222x x a g x x+-'=，对实数a 的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()g x 的单调递增区间和递减区间；（2）利用分析法得出所证不等式等价于()()()121212121ln0m x x x x x x x mx +-<>>+，令()120,1x t x =∈，构造函数()()()11ln m t h t t t m+-=-+，其中()0,1t ∈，利用导数证明出()0h t <对任意的()0,1t ∈恒成立，由此可证得原不等式成立.【详解】（1）函数()ln 2ag x x x x=++的定义域为()0,∞+，()()222122a x x ag x a R x x x+-'=+-=∈，方程220x x a +-=的判别式18a ∆=+.①当18a ≤-时，0∆≤，()0g x '≥，()g x 在()0,∞+为增函数；②当18a >-时，0∆>，方程220x x a +-=的两根为114x -'=，214x -'=，（i ）当108a -<≤时，120x x ''<≤，对任意的0x >，()0g x '>，()g x 在()0,∞+为增函数；（ii ）当0a >时，120x x ''<<，令()0g x '<，可得20x x '<<，令()0g x '>，可得2x x '>.所以，()g x在1,4⎛⎫+∞⎝⎪⎪⎭为增函数，在10,4⎛⎤- ⎥ ⎝⎦为减函数.综上所述：当0a ≤时，()g x 的增区间为()0,∞+，无减区间；当0a >时，()g x的增区间为1,4⎛⎫+∞- ⎝⎪⎪⎭，减区间10,4⎛⎤- ⎥ ⎝⎦；（2）证明：()()2ln 2a f x x x x x a a R =--+∈ ，所以()ln f x x ax '=-，因为()f x 有两极值点1x 、2x ，所以11ln x ax =，22ln x ax =，欲证112mm x x e +⋅>等价于要证：()112ln ln m m x x e +⋅>，即121ln ln m x m x +<+，所以()1212121ln ln m x m x ax max a x mx +<+=+=+，因为m 1≥，120x x <<，所以原不等式等价于要证明121ma x mx +>+.又11ln x ax =，22ln x ax =，作差得()1122lnx a x x x =-，1212ln x x a x x ∴=-，所以原不等式等价于要证明()()112211212212ln11ln x m x x x x m x x x mx x x mx +-+>⇔<-++，令12x t x =，()0,1t ∈，上式等价于要证()()11ln m t t t m+-<+，()0,1t ∈，令()()()11ln m t h t t t m+-=-+，所以()()()()221t t m h t t t m --'=+，当m 1≥时，20t m -<，则()0h t '>，所以()h t 在()0,1上单调递增，因此()()10h t h <=，()()11ln m t t t m+-∴<+在()0,1t ∈上恒成立，所以原不等式成立.【点睛】利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.14．已知实数0a >，函数()22ln f x a x x x=++，()0,10x ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ､()()22,Q x f x (12x x <)处的切线分别为1l ､2l ，且1l ､2l 在y 轴上的截距分别为1b ､2b .若12//l l ，求12b b -的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）6ln 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）对函数求导，按照110a ≥、1010a<<分类，求得()0f x '<、()0f x '>的解集即可得解；（2）由极值点的性质可得1a =，由导数的几何意义可得1b 、2b 及()12122x x x x =+，转化条件为1211212221ln 1x x x b b x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=++，构造新函数结合导数即可得解.【详解】（1）由题意，()()()()222212010ax ax a f x a x x x x+-'=-++=<<，0a > ，010x <<，∴20ax +>，①当110a ≥，即10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<，()f x ∴在()0,10上单调递减；②当1010a <<，即1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x ∴在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.综上所述：当10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在()0,10上单调递减；当1,10a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）∵1x =是()f x 的极值点，∴()10f '=，即()()210a a +-=，解得1a =或2a =-（舍），此时()2ln f x x x x =++，()2211f x x x'=-++，1l ∴方程为()1112111221ln 1y x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-++=-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0x =，得1114ln 1b x x =+-，同理可得2224ln 1b x x =+-，12//l l ，221122212111x x x x ∴-++=-++，整理得：()12122x x x x =+，12122x x x ∴=-，又12010x x <<<，则1112102x x x <<-，解得1542x <<，()1212211111211221222221244ln ln ln 1x x x x x x x x xb b x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭∴-=+=+=+++，令12x t x =，则1111211,1224x x t x x -⎛⎫=⋅=-∈ ⎪⎝⎭，设()()211ln ,,114t g t t t t -⎛⎫=+∈ ⎪+⎝⎭，则()()()()222141011t g t t t t t -'=-+=>++，()g t ∴在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()10g =，16ln 445g ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()6ln 4,05g t ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭，即12b b -的取值范围为6ln 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，再构造新函数，结合导数即可得解.15．已知函数32()23(1)6()f x x m x mx x R =+++∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若(1)5f =，函数2()()(ln 1)0f x g x a x x=+-≤在(1,)+∞上恒成立，求证：2a e <.【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）证明见解析【分析】（1）求导后分解因式，分类讨论即可得到函数的单调性；（2）由题意求出0m =，转化为23ln 1x a x +≤+在(1,)x ∈+∞上恒成立，利用导数求出23()(1)ln 1x h x x x +=>+的最小值，即可求解.【详解】（1）()()()'22661661fx x m x m x m x m ⎡⎤=+++=+++⎣⎦6(1)()x x m =++若1m =时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增；若1m >时，1m -<-，当x m <-或1x >-时，()0f x '>，()f x 为增函数，当1m x -<<-时，()0f x '<，()f x 为减函数，若1m <时，1m ->-，当1x <-或x m >-时，()0f x '>，()f x 为增函数，当1x m -<<-时，()0f x '<，()f x 为减函数.综上，1m =时，()f x 在R 上单调递增；当1m >时，()f x 在(,)-∞-m 和(1,)-+∞上单调递增，在(,1)m --上单调递减；当1m <时，()f x 在(,1)-∞-和(,)m -+∞上单调递增，在(1,)m --上单调递减.（2）由(1)23(1)65f m m =+++=，解得0m =，所以32()23f x x x =+，由(1,)x ∈+∞时，ln 10x +>，可知()(ln 1)230g x a x x =+--≤在(1,)+∞上恒成立可化为23ln 1x a x +≤+在(1,)x ∈+∞上恒成立，设23()(1)ln 1x h x x x +=>+，则22132(ln 1)(23)2ln ()(ln 1)(ln 1)x x x x x h x x x +-+⨯-'==++，设3()2ln (1)x x x x ϕ=->，则223()0x x xϕ'=+>，所以()ϕx 在(1,)+∞上单调递增，又3ln163(2)2ln 2022ϕ-=-=<，3()20e eϕ=->所以方程()0h x '=有且只有一个实根0x ，且00032,2ln .x e x x <<=所以在0(1,)x 上，()0h x '<，()h x 单调递减，在0(,)x +∞上，()0,()h x h x '>单调递增，所以函数()h x 的最小值为0000002323()223ln 112x x h x x e x x ++===<++，从而022.a x e ≤<【点睛】关键点点睛：解答本题的难点在于得到232ln ()(ln 1)x x h x x -'=+后，不能求出()h x '的零点，需要根据()h x '的单调性及零点存在定理得到0x 的大致范围，再利用0x 的范围及0032ln x x =证明不等式.16．设()1,,54m h x x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，其中m 是不等于零的常数，（1）写出()4h x 的定义域；（2）求()h x 的单调递增区间；【答案】（1）15,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）答案见解析.【分析】（1）由已知得出1454x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，解出x 可得()4h x 的定义域；（2）对函数()h x 求导，按0m <，1016m <≤，12516m <<和25m ≥四种情况，分别求出函数的单调递增区间即可．【详解】（1）∵1454x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴15164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()4h x 的定义域为15164⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（2）()21m h x x '=-0m <时，()0h x '>恒成立，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递增；0m >时，令()0h x '>，解得x >或x <，即函数的单调增区间为(,-∞，)+∞14≤即1016m <≤时，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递增当154<<即12516m <<时，()h x 在⎤⎦递增5≥即25m ≥时，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦，无递增区间综上可得：0m <时，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递增；1016m <≤时，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增；12516m <<时，()h x 在⎤⎦递增【点睛】关键点点睛：本题考查函数的定义域，考查导数研究函数的单调性，解决本题的关键是令()0h x '>求出函数的单调增区间，讨论定义域的区间端点和单调区间的关系，考查了学生分类讨论思想和计算能力，属于中档题．17．已知1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦，函数2()(1)x f x x e kx =--．（ 2.71828e = 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在[0,]k 上的最大值．【答案】（1）单调增区间为(ln 2,),(0)k +∞-∞，，单调减区间为(0,ln 2)k ；（2）3(1)k k e k --.【分析】（1）由题得()(2)x f x x e k '=-，再利用导数求函数的单调区间得解；（2）证明0(2)ln k k <<，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值．【详解】（1）由题得()(1)2(2)x x x f x e x e kx x e k '=+--=-，令0()0,20x x f x e k >⎧'>∴⎨->⎩或020x x e k <⎧⎨-<⎩，因为1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦，所以122k <≤，所以不等式组的解为ln 2x k >或0x <，所以函数()f x 的单调增区间为(ln 2,),(0)k +∞-∞，；令0()0,20x x f x e k >⎧'<∴⎨-<⎩或020x x e k <⎧⎨->⎩，解之得0ln 2x k <<，所以函数()f x 的单调减区间为(0,ln 2)k ；所以函数()f x 的单调增区间为(ln 2,),(0)k +∞-∞，，单调减区间为(0,ln 2)k .（2）令()(2)k k ln k ϕ=-，1(2k ∈，1]，11()10k k k k ϕ-'=-=所以()k ϕ在1(2，1]上是减函数，ϕ∴（1）1()()2k ϕϕ<，112()2ln k k ϕ∴-<<．即0(2)ln k k<<所以()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：x(0，(2))ln k (2)ln k ((2)ln k ，)k ()'f x -0+()f x极小值(0)1f =-，()(0)f k f -3(1)(0)k k e k f =---3(1)1k k e k =--+3(1)(1)k k e k =---2(1)(1)(1)k k e k k k =---++2(1)[(1)]k k e k k =--++。
专题02 利用导数研究函数单调性问题(含参数讨论) (解析版)
导数及其应用专题二：利用导数研究函数单调性问题（含参数讨论）一、知识储备往往首先考虑是否导数恒大于零或恒小于零，再考虑可能大于零小于零的情况。
常与含参数的一元二次不等式的解法有关，首先讨论二次项系数，再就是根的大小或判别式，能表示出对应一元二次方程的根时讨论根的大小、端点实数的大小，不能时讨论判别式。
二、例题讲解1．（2022·山东莱州一中高三开学考试）已知函数()1ln f x x a x =--（其中a 为参数）. （1）求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）求导可得()af x x x'-=，分0a ≤和0a >进行讨论即可； 【详解】 （1）()af x x x'-=，(0,)x ∈+∞， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上递增， 当0a >时，令()0f x '=，得x a =，()0,x a ∈时，()f x 单调递减， (,)x a ∈+∞时，()f x 单调递增；综上：0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增，无减区间，当0a >时，()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(,)a +∞；2．（2022·宁夏银川一中高三月考（文））已知函数2()(2)ln f x x a x a x =---（a R ∈） （1）求函数()y f x =的单调区间； 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，分0a ≤和0a >两种情况判断导数的正负，从而可求得函数的单调区间， 【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，(1)(2)()2(2)a x x a f x x a x x'+-=---= 当0a ≤时，()0f x '>对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 所以，函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增； 当0a >时，由()0f x '>得2a x >，由()0f x '<，得02ax <<， 所以，函数在区间,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；综上：0a ≤时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间. 0a >时，()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪.3．（2022·广西高三开学考试（理））函数()322f x x x ax =++，（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； 【分析】（1）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调性.【详解】（1）()'234f x x x a =++，1612a ∆=-①若43a ≥，则0∆≤，()'0f x ≥；()f x 单调递增； ②若43a <则0∆>，当x <x >()'0f x >，()f x 单调递增；x <<，()'0f x <，()f x 单调递减； 【点睛】若函数的导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.三、实战练习1．（2022·全国高三月考）设函数()()()21ln 11f x x x ax x a =++--+-，a R ∈．(1)求()f x '的单调区间 【答案】(1)答案见解析； 【分析】(1)先对函数()f x 进行求导，构造函数再分0a ≤，0a >两种情况进行讨论，利用导数研究函数的单调性即可求解； 【详解】(1)由题意可得()f x 的定义域为{}1x x >-，()()ln 12f x x ax +'=-． 令()()()ln 121g x x ax x =+->-， 则()1122211a axg x a x x --=-='++． 当0a ≤时，当()1,x ∈-+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当0a >时，当11,12x a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当11,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，所以当0a ≤时，()f x '的单调递增区间为()1,-+∞； 当0a >时，()f x '的单调递增区间为11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．2．（2022·浙江舟山中学高三月考）已知函数()22ln (R)f x x x a x a =-+∈（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）当12a ≥时，函数在()0+∞，递增；当102a <<时，函数在()10,x 递增，()12,x x 递减，()2,x +∞递增其中12x x =； 【分析】（1）求()f x '，令()0f x '=可得2220x x a -+=，分别讨论0∆≤和0∆>时，求不等式()0f x '>，()0f x '<的解集，即可求解；【详解】（1）()22ln (R)f x x x a x a =-+∈定义域为()0,∞+， ()22222a x x af x x x x-+'=-+=()0x >， 令()0f x '=可得2220x x a -+=， 当480a ∆=-≤即12a ≥时，()0f x '≥对于()0,x ∈+∞恒成立， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增，当480a ∆=->即102a <<时，由2220x x a -+=可得：x =，由()0f x '>可得：0x <<或x >由()0f x '<x <<所以()f x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减， 综上所述：当12a ≥时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当102a <<时，()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减区间为⎝⎭. 3．（2022·山东济宁一中）已知函数()ln f x x a x =-，a ∈R ． （1）求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）对函数求导，进而讨论a 的范围，最后得到函数的单调区间； 【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x >，()1a x a f x x x'-=-=0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；0a >时，令()0f x '=，得x a =．当0x a <<时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当x a >时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间； 当0a >时，函数()x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞． 4．（2022·仪征市精诚高级中学高三月考）已知函数()()1n f x x ax a =-∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）求出函数导数，讨论a 的范围结合导数即可得出单调性； 【详解】 （1）11()(0)axf x a x xx-'=-=> 当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得到1x a=， 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．5．（2022·嘉峪关市第一中学高三模拟预测（理））已知函数()21xf x e ax =--，()()2ln 1g x a x =+，a R ∈.（1）求()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】(1)求出函数()f x 的导函数()f x '，按a 分类解不等式()0f x '<、()0f x '>即得；【详解】(1)对函数()21x f x e ax =--求导得，()2xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上为增函数，当0a >时，由()20xf x e a '=-=，解得：()ln 2x a =，而()f x '在R 上单调递增，于是得当(,ln(2))∈-∞x a 时，()0f x '<，()f x 在(,ln(2))a -∞上为减函数， 当()()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()()ln 2,a +∞上为增函数， 所以，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为R ，当0a >时，()f x 的单调递减区间是(,ln(2))a -∞，单调递增区间是()()ln 2,a +∞；6．（2022·榆林市第十中学高三月考（文））已知函数()2ln f x ax x x =--，0a ≠．（1）试讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）当0a <时，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 【分析】（1）求出导函数()212121ax x f x ax x x -'-=--=，设()221g x ax x =--，对a 分类讨论：当0a <时，函数()f x在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 【详解】函数()2ln f x ax x x =--的定义域为()0+∞，. （1）()212121ax x f x ax x x-'-=--=，设()221g x ax x =--当0a <时，因为函数()g x 图象的对称轴为104x a=<，()01g =-． 所以当0x >时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0g x =．得1x =2x =当20x x <<时，()0<g x ，()0f x '<，当2x x >时，()0>g x ，()0f x '>．所以函数()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 7．（2022·嘉峪关市第一中学高三三模（理））设函数()2ln f x ax a x =--，其中a ∈R ．（1）讨论()f x 的单调性； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）求导，当0a ≤时，可得()0f x '<，()f x 为单调递减函数；当0a >时，令()0f x '=，可得极值点，分别讨论在⎛ ⎝和+⎫∞⎪⎭上，()'f x 的正负，可得()f x 的单调区间，即可得答案.【详解】（1）()()212120.ax f x ax x x x-'=-=>当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+内单调递减. 当0a >时，由()0f x '=，有x =此时，当x ∈⎛⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ∈+⎫∞⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增. 综上：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递减，当0a >时，()f x 在⎛ ⎝内单调递减，在+⎫∞⎪⎭单调递增. 8．（2022·贵州省思南中学高三月考（文））设函数()22ln 1f x x mx =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性； 【答案】(1)函数()f x 的单调性见解析； 【分析】(1)求出函数()f x 的定义域及导数，再分类讨论导数值为正、为负的x 取值区间即得； 【详解】(1)依题意，函数()f x 定义域为(0,)+∞，()222(1)2mx f x mx x x-'=-=，当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，由()0f x '=得x =，当0x <<()0f x '>，当x >时，()0f x '<，于是得()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减，所以，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减；9．（2022·河南（理））已知函数()()2ln f x x m x x =--（8m ≥-，且0m ≠）．（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； 【分析】（1）求导得到221()mx mx f x x --'=-，转化为二次函数2()21g x mx mx =--的正负进行讨论，分0∆≤，0∆>两种情况讨论，即得解； 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，2121()(21)mx mx f x m x x x--'=--=-， 令2()21g x mx mx =--，()g x 为二次函数，28m m ∆=+， ①当80m -≤<时，0∆≤，()0g x ≤， 所以()0f x '≥，故()f x 在()0,∞+单调递增； ②当0m >时，0∆>， 令()0g x =，得1x =2x =，显然120x x <<，所以当()20,x x ∈，()0g x <， 所以()0f x '>，故()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()0g x >， 所以()0f x '<，()f x 单调递减．综上，当0m >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减； 当80m -≤<时，()f x 在()0,∞+单调递增．10．（2022·河南高三月考（文））已知函数()()2ln f x x m x x =--（8m ≥-，且0m ≠）.（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导2121()(21)mx mx f x m x x x --'=--=-，令2()21g x mx mx =--，然后由0∆≤，0∆>讨论求解；【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，2121()(21)mx mx f x m x x x--'=--=-， 令2()21g x mx mx =--，()g x 为二次函数，28m m ∆=+， ①当80m -≤<时，0∆≤，()0g x ≤， 所以()0f x '≥，故()f x 在()0,∞+单调递增； ②当0m >时，0∆>，令()0g x =，得1x =2x =，显然120x x <<，所以当()20,x x ∈，()0g x <， 所以()0f x '>，()f x 单调递增； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x >， 所以()0f x '<，()f x 单调递减.综上，当80m -≤<时， ()f x 在()0,∞+单调递增；当0m >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减. 11．（2022·湖南高三模拟预测）设函数1()ln ,()3a f x x g x ax x-=+=-． （1）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调递增区间； 【答案】（1）答案见解析；（2）存在符合题意的整数λ，其最小值为0．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；【详解】解：（1）函数()ϕx 的定义域为()0,∞+，函数()ϕx 的导数2(1)(1)()x ax a x x ϕ'++-=， 当0a <时，()ϕx 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减 当01a 时，()ϕx 在R +上单调递增．当1a >时，()ϕx 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上可知，当0a <时，()ϕx 的单调递增区间是10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；当01a 时，()ϕx 的单调递增区间是(0,)+∞；当1a >时，()ϕx 的单调递增区间是1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 12．（2022·安徽高三月考（文））已知函数21()ln 2f x x a x =-． （1）讨论()f x 的单调性； 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）12a =． 【分析】 （1）求导函数()'f x ，分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；【详解】解：（1）由题意，可得0x >且2 ()a x a f x x x x-'=-= ①若0a ≤，()0f x '>恒成立，则()f x 在(0,)+∞上是增函数②0a >，则2()a x a f x x x x -==='-所以当x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>则()f x 在上是减函数，在)+∞上是增函数综上所述，若0a ≤，()y f x =在(0,)+∞上是增函数若0a >，()y f x =在上是减函数，在)+∞上是增函数13．（2022·湖北武汉·高三月考）已知函数2()ln (1),2a f x x x a x a R =+-+∈ （1）讨论函数()f x 的单调区间；【答案】（1）答案见解析；【分析】（1）求得(1)(1)()x ax f x x '--=，分0a ≤，01a <<，1a =和1a >四种情况讨论，结合导数的符号，即可求解； 【详解】（1）由题意，函数2()ln (1)2a f x x x a x =+-+的定义域为(0,)+∞， 且21(1)1(1)(1)()(1)ax a x x ax f x ax a x x x-++--=+-+=='， ①当0a ≤时，令()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，解得1x >，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；②当01a <<时，令()0f x '>，解得01x <<或1x a>， 令()0f x '<，解得11x a <<， 所以()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； ③当1a =时，则()0f x '≥，所以在(0,)+∞上()f x 单调递增，④当1a >时，令()0f x '>，解得10x a<<或1x >， 令()0f x '<，解得11x a <<， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 综上，当0a ≤时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时，()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 14．（2022·双峰县第一中学高三开学考试）已知函数()2()1e x f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在(),1a -∞-和(1,)-+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；当0a >时，()f x 在(),1-∞-和(1,)a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，讨论0a =，0a >和0a <情况下，导数的正负，即可得到()f x 的单调性；【详解】（1）函数()2()1e x f x x ax =-+，求导()()()()21e 11e 2x x f x x a x a x a x '⎡⎤+=⎣+-⎦=-+-+由()0f x '=，得11x a =-，21x =-①当0a =时，()()21e 0x f x x '+≥=，()f x ∴在R 上单调递增；②当0a <时， 在(),1x a ∈-∞-有()0f x '>，故()f x 单调递增；在()1,1x a ∈--有()0f x '<，故()f x 单调递减；在(1,)x ∈-+∞有()0f x '>，故()f x 单调递增；③当0a >时， 在(),1x ∈-∞-有()0f x '>，故()f x 单调递增；在()1,a 1x ∈--有()0f x '<，故()f x 单调递减；在(1,)x a ∈-+∞有()0f x '>，故()f x 单调递增；综上所述，当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在(),1a -∞-和(1,)-+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；当0a >时，()f x 在(),1-∞-和(1,)a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；。
求含参数三次函数单调区间的分类讨论思路
求含参数三次函数单调区间的分类讨论思路舒云水求含参数三次函数的单调区间是高考热点﹒这类问题涉及二次函数的性质、二次不等式求解、二次方程求根等多方面知识，需要对字母进行分类讨论，是高考考查分类与讨论思想的热点﹒正确对字母的取值范围进行分类讨论是解决这类问题的关键，本文主要谈对字母取值进行分类讨论的思路﹒求含参数三次函数的单调区间的题目按下列步骤进行：第一步，求出导函数)(x f y '=（设原函数为)(x f y =）；第二步，算出导函数的判别式∆，并考查判断判别式∆的正负；第三步，若判别式∆的值不确定，即∆的取值可正可负，则对∆进行讨论，按∆0>，∆0<，∆=0三种情况进行分类讨论求解；若∆0≥，即方程0)(='x f 有实根，先求出两实根1x ，2x ﹒再按1x >2x ，1x <2x ，1x =2x 三种情况进行分类讨论求解﹒由上知分类讨论的方式有两种，下面分别举例说明﹒1. 按判别式取值的正负进行分类讨论例1 已知函数1)(23+++=x ax x x f ，R a ∈﹒讨论函数)(x f 的单调区间﹒ 分析：先求出2()321f x x ax '=++，算出其判别式∆)3(42-=a ，再判断24(3)a -的正负，易知24(3)a -正负不确定，然后按判别式∆0>，∆0<，∆=0三种情况进行分类讨论求解﹒解：2()321f x x ax '=++，其判别式∆)3(42-=a ﹒ （1） 当∆0>，即3>a 或3-<a 时，由0)(>'x f 得：332-+->a a x 或332---<a a x ； 由0)(<'x f 得：<<---x a a 332332-+-a a ﹒ 函数)(x f 在)33,(2----∞a a ，),33(2+∞-+-a a 上是增函数；在区间)33,33(22-+----a a a a 是减函数﹒ ⑵当∆0<，即33<<-a 时，对所有R x ∈都有0)(>'x f ，故此时)(x f 在R 上是增函数﹒⑶当∆0=，即3±=a 时，则0)3(=-'a f ，且对所有的3a x -≠都有0)(>'x f ，故此时)(x f 在R 上是增函数﹒点拨：按判别式∆0>，∆0<，∆=0三种情况进行分类讨论求解是解本题的关键﹒ 例2 已知函数)ln 2(2)(x a xx x f -+-=，0>a ﹒讨论函数)(x f 的单调性﹒ 分析：本题函数)(x f 虽然不是三次函数，但由于导数)(x f '的正负值的取值范围与二次函数2)(2+-=ax x x g 是一样的，对导数)(x f '值的讨论就可转化为对二次函数)(x g 值的讨论﹒由于82-=∆a 的值不确定，要按判别式∆0>，∆0<，∆=0三种情况进行分类讨论求解﹒解：由题知，)(x f 的定义域是),0(+∞﹒ 222221)(xax x x a x x f +-=-+='﹒ 设2)(2+-=ax x x g ，二次方程0)(=x g 的判别式82-=∆a ﹒ ⑴当∆0>，即22>a 时，方程0)(=x g 有两个不同的实根：2821--=a a x ，2822-+=a a x ，210x x <<﹒ 由0)(>'x f ，即0)(>x g 且0>x 得：2x x >或10x x <<；由0)(<'x f ，即0)(<x g 且0>x 得：21x x x <<﹒函数)(x f 在)28,0(2--a a ，),28(2+∞-+a a 上是增函数，在 )28,28(22-+--a a a a 上是减函数﹒ ⑵当∆0<，即220<<a 时，对一切0>x 都有0)(>'x f ，)(x f 在),0(+∞上是增函数﹒⑶当∆0=，即22=a 时，仅对2=x 有0)(='x f ，对其余的0>x 都有0)(>'x f ，)(x f 在),0(+∞上是增函数﹒点拨：例2与例1可以说是形异质同﹒本题的分类讨论思路基本上与例1一样﹒ 例3 已知函数)(x f 1223+-+=x a ax x ，R a ∈﹒求函数)(x f 的单调区间﹒分析：先求出)(x f '2223a ax x -+=，再算出其判别式216a ∆=﹒由于0162≥=∆a ，求出方程0)(='x f 的两根得：31a x =，a x -=2﹒由于3a ，a -的大小不确定，所以要按a a ->3，a a -<3，a a -=3三种情况分类讨论求解﹒ 解：)(x f '2223a ax x -+=，方程)(x f '0=的判别式0162≥=∆a ﹒求方程0)(='x f 的两根得31a x =，a x -=2﹒ ⑴当a a ->3，即0>a 时， 由0)(>'x f 得：3a x >或a x -<； 由0)(<'x f 得：3a x a <<- ﹒ 函数)(x f 在),(a --∞，),3(+∞a 上是增函数；在)3,(a a -上是减函数﹒ ⑵当a a -<3，即0<a 时， 由0)(>'x f 得：a x ->或3a x <； 由0)(<'x f 得：a x a -<<3﹒ 函数)(x f 在)3,(a -∞，),(+∞-a 上是增函数；在),3(a a -上是减函数﹒ ⑶当a a -=3，即0=a 时， 仅对0=x 有0)(='x f ，对所有的0≠x 都有0)(>'x f ，)(x f 在R 上是增函数﹒ 点拨：按两根3a ，a -的大小关系分类讨论求解是解本题的关键﹒ 例4 已知函数)(x f x e a a ax x )32(22+-+=，其中R a ∈﹒求函数)(x f 的单调区间﹒分析：本题函数)(x f 也不是三次函数﹒导数)(x f '的正负值的取值范围与二次函数)(x h 是一样的，对导数)(x f '值的讨论就可转化为对二次函数)(x h 值的讨论﹒由于)(x h 的判别式0)23(2≥-=∆a ，方程0)(=x h 的两根a 2-，2-a 的大小不确定，本题就得按22->-a a ，22-<-a a ，22-=-a a 三种情况分类讨论求解﹒解：x e a a x a x x f ]42)2([)(22+-++='﹒设)(x h a a x a x 42)2(22+-++=，方程0)(=x h 的判别式0)23(2≥-=∆a ，求方程0)(=x h 的两根得a x 21-=，22-=a x ﹒⑴当21x x >，即32<a 时， 由0)(>'x f ，即0)(>x h 得：a x 2->或2-<a x ；由0)(<'x f ，即0)(<x h 得：a x a 22-<<- ﹒函数)(x f 在)2,(--∞a ，),2(+∞-a 上是增函数；在)2,2(a a --上是减函数﹒ ⑵当21x x <，即32>a 时， 由0)(>'x f ，即0)(>x h 得：2->a x 或a x 2-<；由0)(<'x f ，即0)(<x h 得：22-<<-a x a ﹒函数)(x f 在)2,(a --∞，),2(+∞-a 上是增函数；在)2,2(--a a 上是减函数﹒ ⑶当21x x =，即32=a 时， 仅对34-=x 有0)(='x f ，对所有的34-≠x 都有0)(>'x f ，)(x f 在R 上是增函数﹒ 点拨：本题的分类讨论思路基本上同例3一样﹒例4与例3也是形异质同，我们在解题时要抓住这一点﹒练习：1.已知函数)(ln 1)(R a x a x x x f ∈--=﹒讨论)(x f 的单调性﹒ 2.已知函数1634)(223-+-+=t x t tx x x f ，R x ∈，其中R t ∈﹒当0≠t 时，求)(x f 的单调区间﹒答案：1. )(x f 的定义域为),0(+∞﹒222111)(xax x x a x x f +-=-+='﹒设1)(2+-=ax x x g ，其判别式42-=∆a ﹒⑴当2≤a 时，0≤∆，0)(≥'x f ，故)(x f在),0(+∞上单调递增﹒⑵当2-<a 时，0>∆，0)(=x g 的两根都小于0，在),0(+∞上，0)(>'x f ，故)(x f 在),0(+∞上单调递增﹒⑶当2>a 时，0>∆，)(x g 0=的两根为2421--=a a x ，2422-+=a a x ，当10x x <<时，0)(>'x f ；当21x x x <<时，0)(<'x f ；当2x x >时，0)(>'x f ，故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减﹒2.当0<t 时，在)2,(t -∞，),(+∞-t 上单调递增，在),2(t t -上单调递减；当0<t 时，在),(t --∞，),2(+∞t 上单调递增，在)2,(t t -上单调递减﹒。