(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案

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两角和与差及二倍角公式定理讲义,例题含规范标准答案

3.3 两角和与差及二倍角公式（答案）3.3 两角和与差及二倍角公式一．【复习要求】1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.二、【知识回顾】1．两角和与差的三角函数sin()αβ+= ；sin()αβ-= ； cos()αβ+= ；cos()αβ-= ； tan()αβ+= ；tan()αβ-= ；2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()αβαβαβ+++中令αβ=，可得相应的二倍角公式。

sin2α= ；cos2α= = =tan 2α= 。

3．降幂公式2sin α= ； 2cos α= .注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用4．辅助角公式证明：)sin cos x x y x x +=+=sin sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+其中，cos ϕ=sin ϕ=，tan baϕ=且角ϕ终边过点(,)a b 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想如：sin cos αα+= ；sin cos αα-= 。

5.公式的使用技巧（1）连续应用：sin()sin[()]sin()cos cos()sin αβγαβγαβγαβγ++=++=+++ （2）“1”的代换：22sin cos 1αα+=，sin 1,tan124ππ==（3）收缩代换：sin cos y x x =+=)x ϕ+，（其中,a b 不能同时为0）（4）公式的变形：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ+=+++tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ-=---如：tan 95tan 3595tan 35-=oooo。

高考数学一轮复习专题4.3 两角和与差及二倍角的三角函数(测)

专题4.3 两角和与差及二倍角的三角函数一、填空题1．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝【解析】依题意得cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π42＝12(cos α＋sin α)2＝12(1＋sin 2α)＝23.2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝3．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝sin αcos αcos π5＋sinπ5sin αcos αcos π5－sinπ5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cosπ5cos π5－sinπ5＝3sinπ5sinπ5＝34．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝【解析】由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75， ①由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725，所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝725， ②由①②可得cos α＋sin α＝－15， ③由①③可得sin α＝35.5．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为6．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3·tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是【解析】 ∵α为锐角，sin α－cos α＝16，∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α.7．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________．【解析】∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π8．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.【解析】∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23>0，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156. 答案：2－1569．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________.【解析】由题意得tan α＋tan β＝－33<0，tan α·tan β＝4>0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，且tan α<0，tan β<0，又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－2π3.答案：－2π310．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝________.二、解答题11．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值；(2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. 解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34.(2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α.因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋2212×35－32×45＝10＋32－4620.12．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．。

两角差的公式练习试题及答案(整理)

第三章三角函数恒等式一、两角和与差的余、正弦公式公式：=+)cos(βα =+)sin(βα=-)cos(βα )sin(βα-=例1 求值：（1）12cosπ= （2）︒105cos = （3）=︒15sin （4）125sin π= 例2 化简（1） 17sin 13cos 17cos 13sin +=（2）-cos70︒cos20︒+sin110︒sin20︒=（3）)25sin()55cos()25cos()35cos(αααα+︒+︒-+︒︒-=（4）=--+)4cos()4cos(θπθπ 例3 已知432παβπ<<<，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求sin2α的值例4 利用和（差）角公式化简（１）x x sin 23cos 21-= （２）x x cos sin 3+=练习：1．在ABC ∆中（１）若135cos ,53sin ==B A ，求C cos ；（２）若1312cos ,53sin ==B A ，求C cos ．2．已知53cos =ϕ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πϕ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-6sin πϕ= 3．求值（1）()[]︒︒+︒+︒80sin 210tan 3110sin 50sin 22；（2）︒︒-︒70sin 20sin 10cos 28sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin )3(-+)32sin(3)3sin(2)3sin()4(πππ--++x x 4．已知sin(α+β) =21，sin(α-β) =101，求βαtan tan 的值.5.已知ββαcos 5)2cos(8++=0，求αβαtan )tan(+的值6．已知21cos cos ,31sin sin =--=-βαβα，求)cos(βα-的值．7. 已知βα,都是锐角，且βαβα+==求,1010sin ,55sin 的值二、两角和与差的正切公式：=+)tan(βα =-)tan(βα例1 求值：（1）tan15︒= ，tan75︒= ，cot15︒= （2）︒︒-︒+︒43tan 17tan 143tan 17tan = （3）75tan 175tan 1-+= 例2 已知α、β为锐角，且53sin =α，71tan =β，求βα+．例3 （1）计算 40tan 20tan 340tan 20tan ++（2）证明：已知Z k k B A ∈+=+,4ππ，求证2)tan 1)(tan 1(=++B A练习：在△ABC 中，tan A ＝31，tan B ＝－2，则C ＝在△ABC 中，若1-cot A ·cot B ＜0,则△AB Ｃ一定是( )A 等边三角形B 直角三角形Ｃ锐角三角形Ｄ钝角三角形3.计算 tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20°4..已知βαtan ,tan 是方程04332=++x x 的两根，且)23,2(,ππβα∈，试求βα+的值.三、倍角公式公式：α2sin = =α2cos = = =α2tan =例1 求值（1）0367cos 0367sin 2'︒'︒（2）8sin 8cos 22ππ- （3）112cos 22-π（4）︒-75sin 212（5）︒-︒5.22tan 15.22tan 22 （6）)4cos()4cos(θπθπ+- （7）︒+-15si n 34312 （8）θθcot tan -（9）θθ2cos cos 212-+例2 化简并求值：（1）cos20︒cos40︒cos80︒ （2）sin10°sin30°sin50°sin70°（3）θ-θ+θ-θ-+θ-θ-θ-θ+sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1 （4）)10tan 31(50sin +例3 已知5sin(),(0,),4134x x ππ-=∈求x 2cos 的值.练习：1.已知α为锐角，且582sin sin ：：=αα，则αcos 的值为（） .A 54 258.B 2512.C 257.D 2．若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈27,25ππα，则ααsin 1sin 1-++的值为（） .A 2cos 2α2cos 2.α-B 2s i n 2.α-C 2sin 2.αD 3．若270°＜α＜360°，则α2cos 21212121++等于 ( ) A .sin 2α B .cos 2α C .－sin 2α D .－cos 2α 4.已知θ是第三象限的角，且95cos sin 44=+θθ，则=θ2sin （）.A 232232.-B 32.-C 32.D5．sin6°cos24°sin78°cos48°的值为( ) 81D. 321C. 161B. 161A.- 6．已知()πααα<<-=+0231cos sin ，则α2cos 的值为（） .A 21± 21.B 41.±C 41.D 7.化简或求值（1）2sin 2cos 44αα- (2)ααtan 11tan 11+-- (3)︒-︒10cos 310sin 18.若tan θ = 3，求sin2θ - cos2θ 的值9.已知71tan =α，31tan =β，2,0πβα<<，求βα2+的值．10.求证：)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值是与α无关的定值四、半角公式===2tan 2cos 2sinααα 例1 用半角公式求12cos π，︒15sin 以及︒15tan 的值例2 已知sin α - cos α =21，π<α<π2，求2tan α例3 求值：.70sin 170cos )5cot 5(tan ︒+︒⋅︒-︒ 例4 求证.2tan cos 1cos 2cos 12cos 4cos 14sin x x x x x x x =+⋅+⋅+练习：1、如果｜cos θ｜＝51，25π＜θ＜3π,则sin 2θ的值等于() 515D. 515C. 510B. 510A.--。

高考数学总复习第三章第三节两角和与差及二倍角三角函数公式课时精练试题文(含解析)

第三节两角和与差及二倍角三角函数公式题号 1 2 3 4 5 6 7答案1.计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32解析：原式＝cos 45°＝22.故选B.答案：B2．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值是( ) A.318 B.322 C.1318 D ．－1322解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 答案：B3．求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案：D4．(2012·江西卷)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12解析：由tan θ＋1tan θ＝4得，sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，即112sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝12.故选D.答案：D5．(2012·重庆卷)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32解析：sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°＋30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12.故选C.答案：C6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α等于( ) A ．－79 B ．－13 C.13 D.79答案：C 7．(2012·山西省考前适应性训练)已知α，β都是锐角，cos 2α＝－725，cos (α＋β)＝513，则sin β＝( )A.1665B.1365C.5665D.3365解析：∵cos 2α＝2cos 2α－1，cos 2α＝－725，又α为锐角，∴cos α＝35， sin α＝45.∵cos (α＋β)＝513，∴(α＋β)为锐角，sin (α＋β)＝1213.∴si n β＝sin []α＋β－α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α ＝1213×35－513×45＝1665.故选A. 答案：A8．(2013·上海卷)若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________.解析： cos x cos y ＋sin x sin y ＝cos(x －y )＝13，所以cos 2(x －y )＝2cos 2(x －y )－1＝－79.答案：－799．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β＝________________.解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，cos β＝35，∴cos α＝45，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0＜α＋β＜π，故α＋β＝π2.答案：π210．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α＝________.解析：2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134.答案：13411．(2013·广州二模)已知α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，则sin α＝__________.解析：因为α为锐角，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，则sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝45×22－35×22＝210. 答案：21012．(2013·江门一模)已知函数f (x )＝2sin x ·cos x ＋2cos 2x －1，x ∈R . (1)求f (x )的最大值；(2)若点P (－3,4)在角α的终边上，求f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8的值．解析：(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f (x )的最大值为 2.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2cos 2α， P (－3,4)在角α的终边上，cos α＝－35.所以f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8＝22cos 2α－2＝－7225.13．(2013·梅州二模)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，若f (C )＝2,2 sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )，求tan A 的值．解析：(1)函数f (x )＝2cos 2＋23sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，∴函数的最小正周期为2π2＝π.(2)∵f (C )＝2，∴2 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 C ＋π6＋1＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 C ＋π6＝12， ∵0＜C ＜π，∴π6<2C ＋π6<2π＋π6，∴2C ＋π6＝5π6，C ＝π3；∵2 sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2 sin A sin C ， ∴sin(A ＋C )＝sin A sin C ，即：sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A sin C ，即：tan A ＝sin C sin C －cos C ＝sinπ3sin π3－cos π3＝3232－12＝3＋32.。

两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案

两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是A ．2B ．－2C ．211D ．-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A ．16B ．15C ．29D ．3103、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+A ．1318B ．322C ．1322D ．-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝ ⎫⎭⎪232则等于A ．-12B ．-32C ．12D ．325、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+=；7、若αα23tan ，则=所在象限是；8、已知=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则；9、=︒︒-︒+︒70tan 65tan 70tan 65tan · ；10、化简3232sin cos x x +=。

三、解答题： 11、求的值。

·︒︒+︒100csc 240tan 100sec12、的值。

，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+13、已知求的值。

cos ,sin cos 23544θθθ=+14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x·cos()αβ+的值。

两角和与差的三角函数及倍角公式答案一、 1、B2、D 提示: tan x = 3, 所求122sin x , 用万能公式。

3、B 提示: ()απαββπ+=+--⎛⎝ ⎫⎭⎪444、A 提示: 把x =π3代入5、B提示: ∵cos(A + B ) > 0∴角C 为钝角。

(完整版)专题三：两角和差公式、二倍角公式

暑期培训专题三两角和差公式、二倍角公式1. 两角和与两角差公式： (2) sin( a + 3 )=(4) sin( a - 3 )=(6) tan( a - 3 )=2. 倍角公式： (1) sin2 a = ____________________________ :(2) COS2 a = _____________ = ________ (3) tan2 a =-,试求：(1) cos( ) ； (2) tan( ).5 4 3变式 1 cos75O =__________________________o2. tan 105 = ________________________54 3. 在△ ABC 中，已知 cosA =, cosB =，求 cosC 的值1354. △ ABC 不是直角三角形，求证：tan A ta nB ta nC tan A?ta nB?ta nC1例 2、①已知 sin( + ) =, sin(2(1 ) COS ( a + 3 )= ______ (3)COS ( a - 3 )= _________(5) tan( a + 3 )=降幕公式：sin 2a2cos a = ________________;sin cos = ______例1设Q ),若sin)=—，求-tan—的值10 tan已知 sin +sin =3cos +cos—，求 cos(52变式(1)、( 07 福建)sin 15°cos75° cos15o sin105o例5、求证： cosx+sinx= ■, 2 cos(x)4二倍角公式应用：11、（ 08 浙江）若 sin （— ）—,贝U cos2 _____________________2 5(2) si n17 cos47sin 73 cos43 =例3.已知3■ ?, cos()44 44）的值.1 tan15 sin(—4tan1513’求 sin( +变式：已知壬 V aV, cos ( a — 3)=12 , sin ( a + 3)=—-，求 sin2 a 的值. 135例 4、tan10 tan 20 , 3(tan10 tan20 ) = __________变式〔、已知tan ,tan 是方程x 2 5x0的两个实根，求tan （）的值。

(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案

：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝； C(α＋β)：cos(α＋β)＝； S(α＋β)：sin(α＋β)＝； S(α－β)：sin(α－β)＝； T(α＋β)：tan(α＋β)＝； T(α－β)：tan(α－β)＝； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝； 2T α：tan2α＝；2C α：cos2α＝＝＝；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。

如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )711A 、 711B 、-713C 、 713D 、-2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B. 3 C ．2 D ．1 题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒- 题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=--- 例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。

两角和与差及二倍角公式

例题1
计算cos(π/3 - α)的值。
例题2
计算sin2α的值。
解
利用两角和与差公式，cos(π/3 - α) = cosπ/3cosα + sinπ/3sinα = 1/2cosα + √3/2sinα。
解
利用二倍角公式，sin2α = 2sinαcosα。
THANKS
谢谢
二倍角公式的应用
计算三角函数值
利用二倍角公式，可以计算一些三角函数值，例如计算sin2α、 cos2α等。
证明三角恒等式
通过二倍角公式，可以证明一些三角恒等式，例如 sin2α=2sinαcosα等。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如角度的调整、测量等，可以利用二倍角公式进行计算。
例题解析与解答
公式应用与例题解析
两角和与差公式的应用
计算角度的和与差
利用两角和与差公式，可以方便地计算两个角的和或差，例如计算两个角的和或差的角度。
简化三角函数式
通过两角和与差公式，可以将复杂的三角函数式进行简化，从而便于计算或化简。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如角度的调整、测量等，可以利用两角和与差公式进行计算。
04
角的乘法性质是三角函数中一个重要的性质，它可以用于推导其他的三角函数公式和定理。
03
CHAPTER
公式推导与证明
两角和与差公式的推导
两角和公式推导
利用三角函数的加法公式，将两角视为不同象限的角，通过三角函数的性质推导出两角和的三角函数公式。
两角差公式推导
利用三角函数的减法公式，将两角视为同象限的角，通过三角函数的性质推导出两角差的三角函数公式。
两角和与差及二倍角公式

第三节两角和与差及二倍角三角函数公式

，则tan α＝－
∴tan＝
.
高考总复习•数学（理科）
高考总复习•数学（理科）点评： (1) 两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同
名不同角的三角函数运算规律”，对公式要会“正用”“逆
用”“变形用”； (2) 应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求值，其关键是熟练掌握公式的特点，准确使用公式； (3) 已知三角函数值求角，应根据条件确定角的范围，然
设条件先求这个角所对应的三角函数值，再根据所求角的所在范围确定这个角的大小．解决这类问题，重点是三角函数
值的求解，难点是角的范围的确定．
高考总复习•数学（理科）变式探究 3．已知cos α＝则β＝________. ，cos(α－β)＝，且0<β<α< ，
解析：∵0<β<α<
又∵cos(α－β)＝ ∴sin(α－β)＝
(3)注意二倍角的相对性；
(4)注意角的范围；
(5) 熟悉常用的方法和技巧，如切化弦、异名化同名、
异角化同角等．
高考总复习•数学（理科）变式探究 4．(2012· 南京二模)设向量a＝(2，sin θ)，b＝(1，cos θ)， θ为锐角． (1)若a· b＝，求sin θ＋cos θ的值；的值．
.
作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
高考总复习•数学（理科）
高考总复习•数学（理科）
答案：(1)C (2)
再求2α－β的正切值)
(也可先求2α－β的正弦、余弦值，
高考总复习•数学（理科）
点评：三角函数的“给值求角”问题，一般是根据题

(2021年整理)高中必修4两角和与差公式及倍角公式练习及答案

高中必修4两角和与差公式及倍角公式练习及答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中必修4两角和与差公式及倍角公式练习及答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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两角和与差公式及二倍角公式练习一、选择题：1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A ．16B ．15C ．29D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+ A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝ ⎫⎭⎪232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．325、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题：6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ；7、若αα23tan ，则=所在象限是；8、已知=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ;9、=︒︒-︒+︒70tan 65tan 70tan 65tan ·； 10、化简3232sin cos x x += 。

专题22 两角和与差及二倍角的正弦、余弦、正切公式(解析版)

2、使用两角和、差公式求值，应注意与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用．
类型二、两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用
基础知识：
1．两角和与差的正切公式：tan(α±β)＝ .
2.常用和差角正切公式变形：
(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；（2）tanα·tanβ＝1－＝－1.
(3) ＝tan ；(4) ＝tan 。
基础题型：
1．（两角差正切公式的正用）若，则 =．
【答案】
【解析】．
2．（两角差、和正切公式的正用））tan 15°＋tan 105°等于()
A．－2 B．2＋
C．4D.
【答案】A
【解析】tan 15°＋tan 105°＝tan ＋tan ＝＋＝－2 .
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
7．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知，且，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，得，即，
解得或（舍去），又．
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题．
【答案】①.1②.
【解析】
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.
【详解】∵ ，∴ ，∴
3.（2022·浙江卷T13）若，则 __________， _________．
【答案】①. ②.
【解析】
【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．

4.3__两角和与差、二倍角的公式(二)(含答案版)

4.3 两角和与差、二倍角的公式（二）【知识点】 1.在公式S （α+β）、C （α+β）、T （α+β）中，当α=β时，就可得到公式S 2α、C 2α、T 2α，在公式S 2α、C 2α中角α没有限制在T 2α中，只有当α≠2πk +4π且α≠k π+2π时，公式才成立. 2.余弦二倍角公式有多种形式即cos2α=cos 2α－sin 2α=2cos 2α－1=1－2sin 2α.变形公式sin 2α=22cos 1α-，cos 2α=22cos 1α+.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂作用. 【基础类题目】 1.下列各式中，值为21的是 A.sin15°cos15°B.2cos 212π－1C.230cos 1︒+ D.︒-︒5.22tan 15.22tan 2解析：︒-︒5.22tan 15.22tan 2=21tan45°=21. 答案：D2．已知sin2θ+cos 2θ=332，那么sin θ的值为____________，cos2θ的值为____________.解析：由sin 2θ+cos 2θ=332，得1+sin θ=34，sin θ=31，cos2θ=1－2sin 2θ=1－2·91=97.答案：31 973．已知f （x ）=x -1，当θ∈（4π5，2π3）时，f （sin2θ）－f （－sin2θ）可化简为A.2sin θB.－2cos θC.－2sin θD.2cos θ解析：f （sin2θ）－f （－sin2θ）=θ2sin 1-－θ2sin 1+=｜sin θ－cos θ｜－｜sin θ+ cos θ｜.∵θ∈（4π5，2π3）， ∴－1＜sin θ＜－22＜cos θ＜0. ∴cos θ－sin θ＞0，cos θ+sin θ＜0.∴原式=cos θ－sin θ+cos θ+sin θ=2cos θ. 答案：D 4．已知sin （x －4π3）cos （x －4π）=－41，求cos4x 的值.剖析：4x 为2x 的二倍角，2x 为x 的二倍角. 解：由已知得sin （x －2π－4π）cos （x －4π）=－41，∴cos 2（x －4π）=41.∴sin2x =cos （2π－2x ）=2cos 2（4π－x ）－1=－87.∴cos4x =1－2sin 22x =1－6498=－3217. 5．若8cos （4π+α）cos （4π－α）=1，则sin 4α+cos 4α=_______. 解析：由已知得8sin （4π－α）cos （4π－α）=1， ∴4sin （2π－2α）=1.∴cos2α=41.sin 4α+cos 4α=（sin 2α+cos 2α）2－2sin 2αcos 2α=1－21sin 22α=1－21（1－cos 22α） =1－21（1－161）=1－21×1615=3217. 答案：32176．已知α为第二象限角，cos 2α+sin2α=－25，求sin 2α－cos 2α和sin2α+cos2α的值. 解：由cos 2α+sin2α=－25平方得 1+2sin2αcos2α=45，即sin α=41，cos α=－415.此时k π+4π＜2α＜k π+2π.∵cos2α+sin2α=－25＜0， sin 2αcos 2α=81＞0， ∴cos 2α＜0，sin2α＜0.∴2α为第三象限角.∴2k π+4π5＜2α＜2k π+2π3，k ∈Z . ∴sin2α＜cos2α，即sin2α－cos2α＜0.∴sin2α－cos2α=－αsin 1-=－23， sin2α+cos2α=2sin αcos α+1－2sin 2α=8157-. 评述：由三角函数值判断2α的范围是关键.【提高类题目】7．若tan x =2，则xx x xcos sin 1sin 2cos 22+--=_______. 解析：原式=x x x x sin cos sin cos +-=x x tan 1tan 1+-=2121+-=1212--）（=22－3.答案：22－3 8．已知0＜α＜2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin （α－3π）的值. 解：由已知tan 2α+cot2α=αsin 2=25，得sin α=54.∵0＜α＜2π，∴cos α=α2sin 1-=53.从而sin （α－3π）=sin α·cos 3π－cos α·sin 3π=54×21－53×23=101（4－33）.9．设a =sin14°+cos14°，b =sin16°+cos16°，c =66，则a 、b 、c 的大小关系是 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜bC.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c解析：a =2sin59°，c =2sin60°，b =2sin61°，∴a ＜c ＜b . 答案：B10．若f （tan x ）=sin2x ，则f （－1）的值是 A.－sin2B.－1C.21 D.1解析：f （－1）=f ［tan （－4π）］=－sin 2π=－1. 答案：B11．化简xx x x x 2sin 1cos sin 1cos sin ））（（+--+.解：原式=xxx x x 2sin 12sin 21sin 12sin 21sin 22））（（++---+=xxx xx x x x x cos 2cos 2sin 42sin 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 222））（（+- =xxxx x x x cos 2cos 2sin2sin 2cos 2sin 2cos ⋅+-））（（ =x x x x x cos 2cos 2sin 2sin 2cos 22⋅-）（=xx xx cos 2cos 2sincos ⋅⋅=tan 2x . 12．化简8sin 1-=_________.解析：8sin 1-=24cos 4sin ）（-=|sin4－cos4|=sin4－cos4.答案：sin4－cos4 13．已知sin （4π－x ）=135，0＜x ＜4π，求）（x x +4cos 2cos 的值.分析：角之间的关系：（4π－x ）+（4π+x ）=2π及2π－2x =2（4π－x ），利用余角间的三角函数的关系便可求之.解：∵（4π－x ）+（4π+x ）=2π， ∴cos （4π+x ）=sin （4π－x ）. 又cos2x =sin （2π－2x ） =sin2（4π－x ）=2sin （4π－x ）cos （4π－x ）， ∴）（x x +4πcos 2cos =2cos （4π－x ）=2×1312=1324.14．已知sin2α=53，α∈（4π5，2π3）. （1）求cos α的值；（2）求满足sin （α－x ）－sin （α+x ）+2cos α=－1010的锐角x . 解：（1）因为4π5＜α＜2π3，所以2π5＜2α＜3π. 所以cos2α=－α2sin 12-=－54.由cos2α=2cos 2α－1，所以cos α=－1010. （2）因为sin （α－x ）－sin （α+x ）+2cos α=－1010，所以2cos α（1－sin x ）=－1010. 所以sin x =21. 因为x 为锐角，所以x =6π. 15．已知tan （4π+α）=2，求：（1）tan α的值；（2）sin2α+sin 2α+cos 2α的值.（1）解：tan （4π+α）=ααtan tan 1-1+=2，∴tan α=31.（2）解法一：sin2α+sin 2α+cos2α=sin2α+sin 2α+cos 2α－sin 2α =2sin αcos α+cos 2α =1+ααα2cos cos sin 2=ααααα222cos sin cos cos sin 2++ =1+1+αα2tan tan 2=23.解法二：sin2α+sin 2α+cos2α=sin2α+sin 2α+cos 2α－sin 2α =2sin αcos α+cos 2α.①∵tan α=31，∴α为第一象限或第三象限角.当α为第一象限角时，sin α=101，cos α=103，代入①得2sin αcos α+cos 2α=23；当α为第三象限角时，sin α=－101，cos α=－103，代入①得2sin αcos α+cos 2α=23. 综上所述sin2α+sin 2α+cos2α=23. 16．设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求cos （α+β）. 剖析：2βα+=（α－2β）－（2α－β）.依上述角之间的关系便可求之. 解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π，∴4π＜α－2β＜π，－4π＜2α－β＜2π. 故由cos （α－2β）=－91，得sin （α－2β）=954.由sin （2α－β）=32，得cos （2α－β）=35.∴cos （2βα+）=cos ［（α－2β）－（2α－β）］=…=2757. ∴cos （α+β）=2cos 22βα+－1=…=－729239.评述：在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时，首先要分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系.其中变角是常见的三角变换.17．tan15°+cot15°等于A.2B.2+3C.4D.334 解析一：tan15°+cot15°=︒︒15cos 15sin +︒︒15sin 15cos =︒︒︒+︒15sin 15cos 15cos 15sin 22=︒⋅30sin 211=4.解析二：由tan15°=tan （45°－30°）=︒︒+︒-︒30tan 45tan 130tan 45tan =331331+-=3333+-. ∴原式=3333+-+3333-+=4.答案：C【拓展类题目】【万能公式】 18．若cos α=53，且α∈（0，2π），则tan 2α=____________. 解析一：由cos α=53，α∈（0，2π），得sin α=α2cos 1-=54， tan 2α=2cos2sinαα=2cos 2sin 22sin 22ααα=ααsin cos 1-=54531-=21. 解析二：tan 2α=ααcos cos 1+1-=531531+-=21. 答案：21 【技巧之“1”的用法】 19．已知6sin 2α+sin αcos α－2cos 2α=0，α∈［2π，π），求sin （2α+3π）的值. 分析：本题考查三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能. 解法一：由已知得（3sin α+2cos α）（2sin α－cos α）=0⇔3sin α+2cos α=0或2sin α－cos α=0. 由已知条件可知cos α≠0，所以α≠2π，即α∈（2π，π）. 于是tan α＜0，∴tan α=－32. sin （2α+3π）=sin2αcos 3π+cos2αsin 3π =sin αcos α+23（cos 2α－sin 2α） =αααα22sin cos cos sin ++23×αααα2222sin cos sin cos +-=αα2tan tan +1+23×αα22tan tan 1+1-. 将tan α=32代入上式得 sin （2α+3π）=232132）（）（-+-+23×22321321）（）（-+--=－136+3265，即为所求. 解法二：由已知条件可知cos α≠0，则α≠2π， ∴原式可化为6tan 2α+tan α－2=0，即（3tan α+2）（2tan α－1）=0.又∵α∈（2π，π）.∴tan α＜0，∴tan α=－32.下同解法一.。

第18讲两角和与差及二倍角公式

第十八讲两角和与差及二倍角公式班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235C ．－45 D.45解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝45 3∴32cos α＋32sin α＝453，3⎝⎛⎭⎫12cos α＋32sin α＝453，3⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋76π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－45.答案：C2．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值是( ) A.2＋33 B ．－2＋33 C.2－33 D.－2＋33解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.而sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－13＝23，所以原式＝－33－23＝－2＋33.答案：B3．若sin α＝55，sin β＝1010，且α、β为锐角，则α＋β的值为() A ．－π4 B.π4C ．±π4 D.π3解析：解法一：依题意有cos α＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255， cos β＝1－⎝⎛⎭⎫10102＝31010， ∴cos(α＋β)＝255×31010－55×1010＝22＞0. ∵α，β都是锐角，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π4. 解法二：∵α，β都是锐角，且sin α＝55＜22， sin β＝1010＜22， ∴0＜α，β＜π4，0＜α＋β＜π2， ∴cos α＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255， cos β＝1－⎝⎛⎭⎫10102＝31010， sin(α＋β)＝55×31010＋1010×255＝22. ∴α＋β＝π4. 答案：B 4．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( ) A.1665 B.5665C.1665或5665D ．－1665 解析：在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，cos A ＝45＞0，cos B ＝513＞0，得0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，从而sin A ＝35，sin B ＝1213，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝35×1213－45×513＝1665，故选A. 答案：A5．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±3解析：由cos2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或12.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0；当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3. 答案：D评析：本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握公式，并注意不能出现丢解错误．6．(2011·海口质检)在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7.2cos10°－sin20°sin70°的值是________．解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20°cos20°＝ 3. 答案： 38．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α(α∈⎝⎛⎭⎫0，π4)＝________. 解析：∵cos2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α－sin 2α22(sin α＋cos α) ＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α) ＝2(cos α－sin α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－α. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则π4－α∈⎝⎛⎭⎫0，π4.由cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝513. ∴原式＝1013. 答案：10139．(1＋3tan10°)·cos40°＝________.解析：(1＋3tan10°)cos40°＝⎝⎛⎭⎫1＋3sin10°cos10°cos40° ＝3sin10°＋cos10°cos10°·cos40° ＝2sin(10°＋30°)cos10°·cos40° ＝2sin40°cos40°cos10°＝sin80°cos10°＝1. 答案：110．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α＝________.解析：依题意有cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵α、β均为锐角 ∴sin β＋cos β≠0，必有cos α＝sin α∴α＝π4. 答案：π4三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：由已知得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角， ∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55. ∴tan α＝7，tan β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan2β1－tan α·tan2β＝7＋431－7×43＝－1. ∵α、β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4. 12．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2. (1)求tan2α的值；(2)求β的值．分析：由已知可求sin α，进而可求tan α，tan2α；由角的关系入手，利用角的变换β＝α－(α－β)可求得cos β.解：(1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫172＝437. ∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3. 于是tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又∵cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝3314由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. 所以β＝π3. 13．已知0<β<π4<α<34π，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．解：∵π4<α<3π4， ∴－3π4<－α<－π4，－π2<π4－α<0. 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－45. 又∵0<β<π4，∴3π4<3π4＋β<π. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－1213， ∴sin(α＋β)＝－cos ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β)＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋β－⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋βcos ⎝⎛⎭⎫π4－α－sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋βsin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－⎝⎛⎭⎫－1213×35－513×⎝⎛⎭⎫－45 ＝3665＋2065＝5665. 评析：三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)常见的配角技巧α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α.。

高考数学两角和与差及二倍角的三角函数训练试题

卜人入州八九几市潮王学校陕飞二中2021高考数学两角和与差及二倍角的三角函数训练考项一、两角和与差的正余弦函数1、在单位圆中，1〕、证明两角差的余弦公式C βα-:cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 并由C βα-推导两角差的正弦公式S βα-:sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β2)、计算：①sin15︒②sin43︒cos13︒-sin13︒sin47︒③Cos43︒cos77︒+sin43︒sin167︒2、设sin ＝，那么sin2θ＝。

3、cos α＝，α是第一象限角，那么＝。

4、αβ是锐角，且sin α=734，cos(α+β)=-1411，求sin β的值。

5、函数f(x)=sinx-cos(x+6π)的值域为。

考向三、二倍角的三角函数7、求以下各式的值：1〕、sin75︒sin15︒=；2〕、2cos 212π-1=； 3〕、︒︒-150tan 1150tan 22=；4〕、sin10︒sin50︒sin70︒=；5〕、＝________． 6〕、化简(0<θ<π)．考向四、三角函数的求值或者求角问题8、(1)0<β<<α<π，且cos ＝－，sin ＝，求cos(α＋β)的值；(2)、α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．〔3〕、cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，(1)求tan2α的值；(2)求β.考向五、三角变换的简单应用9、函数f(x)＝cos2－sincos－.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)假设f(α)＝，求sin2α的值．10、函数f(x)＝sin＋sin＋2cos2x－1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．。

七.两角和与差公式及二倍角公式

七、两角和与差公式及二倍角公式基础知识：1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式①()cos cos cos :(sin sin ) C αβαβαβαβ--+=；②()cos cos cos :(sin sin )C αβαβαβαβ-=+＋ ③():sin sin cos o n )i (c s s S αβαβαβαβ-=-－；④()sin sin cos :(cos sin )S αβαβαβαβ+=+＋ ⑤()()tan tan :tan 1tan tan T αβαβαβαβ---=+；⑥()()tan tan :tan 1tan tan T αβαβαβαβ+++=- (2)公式变形①(tan tan tan 1tan ta )()n αβαβαβ++-＝；②tan tan tan 1tan t ()n )(a αβαβαβ-=-+. 2. 二倍角公式(1)公式①sin22sin cos ααα=；②2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；③22tan tan 21tan ααα=-. (2)公式变形 ①221cos21cos2cos ,sin 22αααα+-==；②()21sin 2sin cos ααα+=+，()21sin 2sin cos ααα-=-，sin cos 4αααπ⎛⎫±=± ⎪⎝⎭. 一、典型例题1. 若1sin ,3α=且ππ2α<<，则sin2α=（）.A. B. C. D. 2. 若1sin 33απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）. A. 79 B. 23 C. 23- D. 79- 3. 已知()()π3π123,cos ,sin 24135βααβαβ<<<-=+=-，则cos2α=__________. 二、课堂练习 1. 已知31tan(),tan()534αββπ+=-=，那么tan()3απ+的值为（）. A. 318 B. 1323 C. 723D. 717 2. 已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=__________.3. 记直线:210l x y -+=的倾斜角为α，则1tan2sin2αα+的值为________. 三、课后作业1. 若1sin 3α=，则cos2α=（）. A. 89B. 79C. 79-D. 89-2. 已知cos 6θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 26θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）. A.13 B. 23 C. 13- D. 23- 3. 已知1sin 23α=，则2cos 4απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）. A. 13 B. 13- C. 23 D. 23-4. 已知0α<<π2β<，满足cos α=，sin β=，求αβ+的值（）. A. π4 B. π4或3π4 C. π2π4k + D. 3π4 5. 已知(),0,παβ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan2α的值为__________. 6. 在ABC 中，已知()()212cos cos sin sin cos 22A B B A B B A C ---++=，（1）求角A ；（2）若π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()3sin 5A B -=，求sin B .。

(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案

两角和与差及二倍角公式定理讲义,例题含规范标准答案

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