正态分布的概率密度与分布函数(修).

t
x

P( x1  X  x2 )
x2  



1  2 
x2  

x

x2
1

e

( x  )2  2 2

dx
x1  

1 1 1  e dt  e dt     e dt  2 π x1   2 π  2 π  x2   x1   ( )  ( ).  
说明： 若 X ~ N (  , 2 ) , 则

P( X    3 )  1  P( X    3 )
 1  0.9973  0.0027  0.003.

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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数

由此可知 X 落在 (   3 ,   3 ) 之外的概率小于 通常把区间 根据小概率事件的实际不可能性原理， 3 ‰，
FY ( y )  P(Y  y )  P( X 2  y).

x2  2

当 y  0 时，
FY ( y)  0 ;
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数

当 y  0 时，
FY ( y )  P( y  X 
y 1  e   y 2π x2  2
第四章

正态分布
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数

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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数

正态分布是最常见因而也是最重要的分布: 1. 很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述； 2. 在一定条件下， 某些概率分布可以利用正态分布 近似计算； 3. 在非常一般的充分条件下， 大量独立随机变量的
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数

[例6] 设随机变量 X 服从标准正态分布 N (0 ,1) , 求随
机变量函数 Y  X 2 的概率密度. 解：已知随机变量 X 的概率密度

1 f X ( x)  e ,    x  . 2π 先求随机变量Y的分布函数：
f ( x)

分布曲线的特征： 1.关于直线 x   对称；

1 2 

2.在 x   处达到最大值；
3.在 x     处有拐点；
O



x

4. x   时曲线以 x 轴为渐近线.

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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数

5. 固定 , 改变  . 则图形沿 x 轴平移而不改变 其形状. 曲线的形状与一尖塔相似； 当  值增大时，

解： 设随机变量 X 表示这种机械零件的直径(mm) , 则X ~ N (100 ,0.62 ) ,按题意， 不合格品率为 P( X  100  1.2) X  100  2)  1  P( X  100  1.2)  1  P( 0.6 X  100  1  P(2   2)  1  [ (2)   (2)] 0.6  1  [0.9772  (1  0.9772 )]  0.0456  4.56%.

2.标准正态分布 N (0 ,1) 的概率密度与分布函数：



 ( x)  1 e
2π

x2  2

,    x  .

1 Φ ( x)  e dt.  2π
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t2 x  2 

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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数

3.标准正态分布分布函数的性质：  ( x)  1   ( x). 4.利用 ( x )求正态变量落在某区间内的概率：

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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数

P( X  30)  P(30  X  30) 30  20  30  20 ( )  ( ) 40 40   (0.25)   (1.25)
  (0.25)  [1   (1.25)]  0.5987  (1  0.8944 )  0.4931.
内为正品，求产品的正品率。 解

X ~ N (10.05, 0.06 2 ) P( x  10.05  0.12) x  10.05  P(  2) 0.06  (2)  (2)  2(2)  1  0.9544

故产品的正品率为0.9544
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[例5]

公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的

机会在 0.01 以下来设计的。 设男子的身高

X ~ N (168, 7 2 ). 问车门的高度应如何确定？ 解 设车门高度为 x(cm), 则 P( X  x)  0.01 于是 P( X  x)  0.99 x  168 X  168 x  168 即 P( )  0.99,  )  0.99, ( 7 7 7 由于 (2.33)  0.9901  0.99, 可取 x  168  2.33 7 x  184.31 故车门高度应设计为 184.31 厘米。
f ( x)

6. 固定  , 改变  , 则当  很小时，

 1

  1.5
 3
  7.5
O
x

曲线将趋于平坦.
ห้องสมุดไป่ตู้
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数

正态分布 N (  , 2 ) 的分布函数为

1 F ( x)  2 π
(   3 ,   3 )看作是随机变量 X 的实际 可能的取值

区间. 这一原理叫做 “三倍标准差原理”(或"3 法则").

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[例4] 某机器生产的螺栓的长度（cm)服从正态分布

N (10.05, 0.06 2 ) ,规定长度在范围 10.05  0.12
(2) P(1.6  X  2.5).

解：(1) P( X  1.96)   (1.96)  0.975;
( 2) P(1.6  X  2.5)   (2.5)   (1.6)   (2.5)  [1   (1.6)]   (2.5)  1   (1.6)

所以， 在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过

30 m 的概率

p  1  (1  0.4931)3  0.8698.

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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数

[例2] 已知某机械零件的直径 (mm) 服从正态分布 N (100 ,0.62 ) , 规定直径在 100  1.2(mm) 内为合格品. 求这种机械零件的不合格品率.

   (k )   (k )



  (k )  [1   (k )]  2 (k )  1, k  1 ,2 ,3 ,.

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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数

查附表2得

P( X     )  2 (1)  1  0.6826, P( X    2 )  2 (2)  1  0.9544, P( X    3 )  2 (3)  1  0.9973.

若 X ~ N ( , 2 ), 则
P( x1  X  x2 )  (

x2  



)  (

x1  



).

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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数

补充例题
[例1] 测量到某一目标的距离时发生的随机误差 X (m) 具有概率密度 ( x 20 ) 2  1 f ( x)  e 3200 , 40 2 π 求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过 30 m 的概率. 解：按题意， 每次测量时发生的随机误差 X (m) 服从 正态分布 N (20 ,402 ) , 于是
F ( x)
1

e

( x  )2 x  2 2 

dx ,    x  .

0.5

O



x

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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数

标准正态分布的概率密度：

1  ( x)  e ,    x  ; 2π 标准正态分布的分布函数： 1 Φ ( x)  e dt .  2π  ( x) 的性质：
正态分布(或高斯分布). 记作： X ~ N (  , 2 ). 当  0,  1时称 X 服从标准正态分布. 记为： 特别，

( x  )2  2 2

X ~ N (0 ,1).
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数

 正态分布的概率密度与分布函数 正态分布 N (  , 2 ) 的概率密度 f ( x) 的图形：

y

y)

y

dx
 y
O

所以， Y 的分布函数为
FY ( y )

y

x

 2 y  e dx ,    2π 0  0, 
x2  2

y 0; y  0.

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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数

求导得到 Y 的概率密度
fY ( y )
y   1 1 y 2 e 2,    2π  0, 

y 0; y  0.

所得的分布称为自由度为 1的 2分布.

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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数

小 结
1.正态分布 N ( , 2 )的概率密度：
( x )2  2 2

1 f ( x)  e 2 π

,    x  .
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t2  2

t2  2

t2  2

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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数

[例2] 设随机变量 X 服从正态分布 N (1 ,22 ) , 求概率 P(1.6  X  2.4). 解：P(1.6  X  2.4)   ( 2.4  1)   (  1.6  1) 2 2   (0.7)   (1.3)

和近似地服从正态分布；
4. 数理统计中:(1)某些常用分布是由正态分布推导 得到的.(2) 统计推断中常用正态分布的统计量.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数

 正态分布的定义

[定义] 若随机变量 X 的概率密度为

1 f ( x)  e ,    x  , 2 π   0. 则称随机变量 X 服从 其中  及  都是常数，

 0.9938  1  0.9452  0.9390.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数

 一般正态分布的概率计算 [定理] 设 X ~ N ( , 2 ) , 则 x2   x1   P( x1  X  x2 )   ( )  ( ).   证：
t2 x  2 

x2  2

 (0)  0.5;

 ( )  1;  ( x)  1   ( x).

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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数

[例1] 设 X 服从标准正态分布N (0 ,1) , 求 (1) P( X  1.96);
  (0.7)  [1   (1.3)]  0.7580  (1  0.9032 )  0.6612.

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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数

[例3] 设随机变量 X 服从正态分布N (  , 2 ) , 求 X 落 在区间 (   k ,   k ) 内的概率，这里 k  1 ,2 ,3 ,. 解： P( X    k )  P(   k  X    k )   k     k   ( )  ( )