全等三角形的性质及判定(讲义)

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《全等三角形》讲义

《全等三角形》讲义一、全等三角形的定义两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形。

“完全重合”意味着它们的形状和大小完全相同，对应边相等，对应角也相等。

例如，我们将一个三角形沿着某条直线对折，如果对折后的两部分能够完全重合，那么这就是一个全等三角形。

二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这是全等三角形最基本的性质之一。

如果两个三角形全等，那么它们对应的三条边的长度是相等的。

比如，三角形 ABC 全等于三角形DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。

2、全等三角形的对应角相等同样，如果两个三角形全等，它们对应的三个角的度数也是相等的。

还是以上面的例子来说，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。

3、全等三角形的周长相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长也必然相等。

4、全等三角形的面积相等由于全等三角形的形状和大小完全相同，所以它们所覆盖的面积也是相等的。

三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

比如说，有三角形 ABC 和三角形 DEF，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定三角形 ABC 全等于三角形 DEF。

2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

假设在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么可以得出这两个三角形全等。

3、 ASA（角边角）当两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等时，这两个三角形全等。

例如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，∠C ＝∠F，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。

4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

比如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么这两个三角形全等。

全等三角形的性质及判定(经典讲义)

全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）（3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠= .【仿练1】如图2，已知ABC ADE ∆≅∆，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是 . 【仿练2】如图3，ABC ADE ∆≅∆，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= .、图4EDCB A图2 图3M DA NBC 图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF ∵CM 是△的中线∴_____________( )∴____________________∴__________（）或 ∵AC=EF∴____________________∴__________（）AB=AB （）在△ABC 和△DEF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （）例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．BFECAFE DCB ACMBA B A例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠C B．AB=AD C．AD∥BC D．AB∥CD2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACE D．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSS B．SAS C．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。

全等三角形与三角形全等的判定(SSS)知识点

====Word 行业资料分享--可编辑版本--双击可删====源-于-网-络-收-集 12.1 全等三角形一、全等形：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示．说明：如果两个或两个以上的图形全等，那么这些图形放在一起就能完全重合。

这里的重合包括两层含义：一是形状相同，二是大小相等，二者缺一不可。

二、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，•重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．全等用符号用“≌”表示．如△ABC 与△DEF 全等，则可表示为△ABC ≌△DEFA B C D E F B(E)注意：1、对应边与对边，对应角与对角的区别。

对应边、对应角是对两个三角形而言的，对边、对角是对同一个三角形的边和角的关系而言的。

2、在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置时，这样容易写出对应边、对应角。

3、由于两个三角形的位置关系不同，在找对应边、对应角时，可以针对两个三角形不同的位置关系，寻找对应边、角的规律：（1）有公共边的，•公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）三、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

说明：1、因为全等三角形能够完全重合，所以对应边上的中线、高线和对应角的角平分线也相等，全等三角形的周长相等，面积相等。

很多情况下，全等三角形的性质可以用来证明线段或角相等。

2、全等三角形有传递性，若△ABC 与△DEF 全等，△DEF 与△MNP 全等，则△ABC 与△MNP 也全等。

三角形全等的判定（SSS ）一、判定方法：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS ”）．二、判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．三、例题：如图所示，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架，求证△ABD ≌△ACD ．证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD在△ABD 和△ACD 中,,.AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD （SSS ）．。

全等三角形的性质与判定(经典讲义)

全等三角形培优讲义

第6讲全等三角形一、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。

对应角：∠A=∠A ′∠B=∠B ′∠C=∠C ′△ AB C ≌'''A B C ∆ AB=''A B对应边： BC =''B C AC =''A C 二、全等三角形的判定：1、两边及夹角对应相等的两个三角形全等。

AB=''A B∠B=∠B ′ △AB C ≌'''A B C ∆ （SAS ）BC =''B C（1）、已知：如图，AD ∥BC ，AD ＝CB ，你能说明△ADC ≌△CBA 吗？证明： ∵AD ∥BC （已知）∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）在中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∠=∠（公共边）＝（已证）（已知）＝ ∴ ≌ （）A B C A ′B ′C ′ACBDA BCA ′B ′C ′（2）、如图，AB＝AC ，AD平分∠BAC，你能证明△ABD≌△ACD？证明：∵AD平分∠BAC（）∴∠＝∠（角平分线的定义）在△ABD和△ACD中∴△ABD △ACD（）（3）、如图（五--1），点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，AB∥ED ，AC=FD ，求证：AB=DE（4）、如图，已知AB＝AC，AE＝AD，∠1＝∠2，你能说明△ABD≌△ACE吗？（5）、求证：等腰三角形的两底角相等。

2、三边对应相等的两个三角形全等。

AB CA′B′C′AB CD图五—1BEADCFAB CDE12AB=''A BBC =''B C △AB C ≌'''A B C ∆ （SSS ）AC =''A C（1）、如图，已知AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，你能说明AD 是角平分线吗？证明：∵AD 是BC 边上的中线（已知）∴ ＝（中线的定义）在中∴ ≌ （）∴ ＝（全等三角形的对应角相等） ∴AD 是角平分线（）（2）．如图，已知：AC=AD ，BC=BD 求证：∠1=∠2 (泉州)证明：（3）、已知AB=DE ，AC=DF ，BF=EC ，求证：∠B=∠F证明：3、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

全等三角形的讲义整理讲义

全等三角形专题一全等三角形的性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。

）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角。

【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1)AB 与是对应边，BC 与是对应边， CA 与是对应边；(2)∠A 与是对应角，∠ABC 与是对应角， ∠BAC 与是对应角【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。

(1)有公共边的，公共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。

【练习1】如图，图中有两对三角形全等，填空： (1)△BOD ≌ ； (2)△ACD ≌ .【知识点3】全等三角形的对应边相等，对应角相等。

（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相DABCOE ABCD等，对应角的角平分线相等）【例题2】（海南省中考卷第5题）已知图2中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A.72°B.60°C.58°D.50°【例题3】（清远）如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠= ．【练习2】如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（）A 20° B．30° C ．35° D ．40°【练习3】如图，△ABD 绕着点B 沿顺时针方向旋转90°到△EBC ，且∠ABD=90°。

全等三角形经典讲义

全等三角形状元笔记【知识要点】1．全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．3．三角形全等的判定方法(1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)．(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)．(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)．(4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)．4．直角三角形全等的判定方法斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)．【温馨提示】1．两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形全等．2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．3．“HL”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等．【方法技巧】1．应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：（1）以对应顶点为顶点的角是对应角；（2）对应顶点所对应的边是对应边；（3）公共边（角）是对应边（角）；（4）对顶角是对应角；（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）．全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△ABC≌△DEF，说明A与D，B与E， C与F是对应点，则∠ABC与∠DEF是对应角，边AC与边DF是对应边．2．判定两个三角形全等的解题思路：专题一三角形全等的判定1．如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ．求证：△ABE≌△CDF ．2．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与B ，C 重合），F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE . 请你添加一个条件，使△BDE ≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．（1）你添加的条件是：__________；（2）证明：SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩找夹角——已知两边找另一边——边为角的对边——找任一角——找夹角的另一边——已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角——找边的对角——找夹边——已知两角找任一边——3．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，BD=BE，要使△ADB≌△CEB，还需添加一个条件．（1）给出下列四个条件：①AD=CE；②AE=CD；③∠BAC=∠BCA；④∠ADB=∠CEB；请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB的条件，并给出证明；（2）在（1）中所给出的条件中，能使△ADB≌△CEB的还有哪些？直接在题后横线上写出满足题意的条件序号．__________________．专题二全等三角形的判定与性质4．如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（）AB ．4C ．D ．55．【2013·襄阳】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，将△ADC 绕点A 顺时针旋转，使AC 与AB 重合，点D 落在点E 处，AE 的延长线交CB 的延长线于点M ，EB 的延长线交AD 的延长线于点N .求证：AM ＝AN .6．【2012·泸州】如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连接AE ．求证：AE ∥BC ．NME D B CA专题三全等三角形的应用7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（）A．60° B．90° C．120° D．150°8．有一座小山，现要在小山A、B的两端开一条隧道，施工队要知道A、B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B两端的距离，你能说说其中的道理吗？9．已知如图，要测量水池的宽AB ，可过点A 作直线AC ⊥AB ，再由点C 观测，在BA 延长线上找一点B′，使∠ACB′=∠ACB ，这时只要量出AB′的长，就知道AB 的长，对吗？为什么？10．如图，点D 、B 分别在∠A 的两边上，C 是∠A 内一点，AB = AD ，BC = CD ，CE ⊥AD 于E ，CF ⊥AF于F ．求证：CE = CF11.已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB = AC ，BD 平分∠ABC ．求证：BC = AB + ADFA BECD12．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB13．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B14．如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．DBACPEDCBA D CBA15．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：16．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．OEDCBAFEA17.已知:在△ABC中,∠BAC=90,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由；(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；(3)归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.18、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E，，在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；图1图2DCAB（2）证明：DC BE⊥．19．如图-1，ABC△的边BC在直线l上，AC BC⊥，且AC BC=；EFP△的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF FP=．（1）在图-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP关系；（2）将EFP△沿直线l向左平移到图-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP的关系，请证明你的猜想；（3）将EFP△沿直线l向左平移到图-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．A （E）B C （F）Pl l l图-1 图-2图-3全等三角形——角的平分线的性质状元笔记【知识要点】1．角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2．角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【温馨提示】1．到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是其他线段的交点．2．到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点，还有相邻两外角的平分线的交点，这样的点共有4个．【方法技巧】1．利用角的平分线的性质解决问题的关键是：挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——直接考虑垂线段相等，若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段．2．利用角平分线的判定解决问题的策略是：挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——先证明两条垂线段相等，然后说明角平分线或角的关系；若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，再证明两条垂线段相等；若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段后，证明两条垂线段相等．专题一利用角的平分线的性质解题1．如图，在△ABC中，AC=AB，D在BC上，若DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF=DG．求证：AD⊥BC.2．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB=OC．3．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，，AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，AC =3 cm ，求BE 的长．专题二角平分线的性质的应用 4．如图，三条公路把A 、B 、C 三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A ．在AC 、BC 两边高线的交点处B ．在AC 、BC 两边中线的交点处C ．在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处D ．在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处5．如图，要在河流的南边，公路的左侧M 区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A 处的距离为1cm （指图上距离），则图中工厂的位置应在__________，理由是__________．21BAC B ∶∶∠∠6. 如图， ∠ B= ∠ C=90 °， M 是 BC 中点， DM 平分 ∠ ADC ，求证： AM 平分 ∠ DAB ．7. 如图，已知 △ ABC 的周长是 22 ， OB 、 OC 分别平分 ∠ ABC 和 ∠ ACB ， OD ⊥ BC 于 D ，且 OD=3 ， △ ABC 的面积是多少？8.如图，已知 ∠ 1= ∠ 2 ， P 为 BN 上的一点， PF ⊥ BC 于 F ， PA=PC ，求证： ∠ PCB+ ∠ BAP=180 º9.如图，△ ABC 中， P 是角平分线 AD ， BE 的交点．求证：点 P 在∠ C 的平分线上．10. 如图，在 △ ABC 中， BD 为 ∠ ABC 的平分线， DE ⊥ AB 于点 E ，且 DE=2cm ， AB=9cm ， BC=6cm ，求 △ ABC 的面积．21NP F C BA11.如图， D 、 E 、 F 分别是△ ABC 的三条边上的点， CE=BF ，△ DCE 和△ DBF 的面积相等．求证： AD 平分∠ BAC ．。

全等三角形的性质和判定

全等三角形的性质和判定要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。

要点二、对应顶点,对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应位置上,这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC ≌△DEF ，其中点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点；AB 和DE ，BC 和EF,AC 和DF 是对应边；∠A 和∠D ，∠B 和∠E ，∠C 和∠F 是对应角.要点三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点四、全等三角形的判定（SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ）全等三角形判定一（SSS ，SAS)全等三角形判定1-—“边边边”三边对应相等的两个三角形全等。

（可以简写成“边边边”或“SSS ”）。

要点诠释:如图，如果''A B ＝AB,''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2-—“边角边"两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边"或“SAS ”).要点诠释：如图,如果AB ＝ ''A B ,∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2。

有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。

如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合,故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。

全等三角形讲义

全等三角形讲义(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--全等三角形一、知识点：1.全等形的定义2.全等三角形的定义3.对应顶点、对应边、对应角的定义4.全等三角形的性质二、重难点：1.全等三角形的概念2.对应顶点、对应边、对应角的定义3.全等三角形的性质三、考点全等三角形的性质一、全等形1. 叫做全等形。

全等用符号表示，读作2.两个图形是否为全等形，关键是看两个图形的是否相同，是否相等，而与图形所在的无关；判断两个图形是否是全等形，只要把它们在一起，看是否完全；一个图形经过、、等变换后，所得到的图形与原图形全等。

例题：1.下列说法不正确的是（）A．形状相同的两个图形是全等形 B.大小不同的两个图形不是全等形C. 形状、大小都相同的两个图形是全等形D.能够完全重合的两个图形是全等形2.下列说法正确的是（）A．面积相等的两个图形是全等图形 B.周长相等的两个图形是全等图形C. 形状相同的两个图形是全等图形D.能够重合的两个图形是全等图形二、全等三角形1. 叫做全等三角形2. 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做，重合的边叫做，重合的角叫做3.寻找对应因素的方法：①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角；③全等三角形的公共角是对应角；④全等三角形的公共边是对应边；⑤全等三角形中的对顶角是对应角；⑥全等三角形中一对最长（短）的边是对应边，一对最大（小）的角是对应角例题：1．下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角oO BCDCDABCDCBD2．将ABC ∆沿直线BC 平移，得到DEF ∆，说出你得到的结论，说明理由B AD3．如图，,ACD ABE ∆≅∆AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知： 30,43=∠=∠B A ，求ADC ∠的大小。

(完整版)全等三角形的性质及判定

全等三角形第 1 节全等三角形的性质和判断【知识梳理】1、全等图形：能够完整重合的两个图形就是全等图形．2、全等三角形的观点与表示：能够完整重合的两个三角形叫作全等三角形．能够互相重合的极点、边、角分别叫作对应极点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．3、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角均分线相等，面积相等．4、全等三角形的判断方法：(1)边角边定理 ( SAS) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理 ( ASA) ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理 ( SSS) ：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理 ( AAS ) ：两个角和此中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理 ( HL ) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．【诊疗自测】1、假如ABC≌Δ DBC，则 AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠DBC的对应角是_____，∠ DCB的对应角是_____．2、如图，已知△ABE≌△ DCE， AE＝2 cm， BE＝1.5 cm，∠ A＝25°，∠ B＝48°；那么 DE＝_____cm，EC＝ _____cm，∠C＝ _____°；∠D＝ _____°．C 和点E，点 B 和点D 分别是对应点，则另一3、假如△ABC和△ DEF这两个三角形全等，点组对应点是，对应边是，对应角是，表示这两个三角形全等的式子是．【考点打破】种类一：全等形例 1、由同一张底片冲刷出来的两张五寸照片的图案 _____全等图案，而由同一张底片冲刷出来的五寸照片和七寸照片 ____全等图形。

（填“是”或许“不是”）种类二：全三角形的定义和性质例 2、如图，点 E，F 在线段 BC 上，△ ABF 与△ DCE 全等，点 A 与点 D ，点 B 与点 C 是对应极点， AF 与 DE 交于点 M ，则∠ DCE= （）A ．∠B B．∠ A C．∠ EMF D ．∠ AFB例 3、如图，△ ABE 和△ ADC 是△ ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折 180°形成的，若∠ BAC ：∠ABC ：∠ BCA=28 ： 5： 3，则∠α的度数为（）A ． 90° B． 85° C． 80° D． 75°种类三：全等三角形的判断（SSS）例 4、用直尺和圆规作一个角等于己知角的作图印迹如下图，则作图的依照是（）A ． SSS B． SAS C． ASA D． AAS例 5、已知：如图 2－ 1，△ RPQ 中， RP＝ RQ， M 为 PQ 的中点．求证： RM 均分∠ PRQ．剖析：要证 RM 均分∠ PRQ，即∠ PRM＝ ______，只需证 ______≌ ______证明：∵M 为 PQ 的中点（已知），∴______＝ ______在△ ______和△ ______中，RP RQ(已知 ),PM ______,______ ______(),∴______≌ ______（）．∴∠ PRM ＝ ______（ ______）．即 RM．例 6．已知：如图， AD ＝BC． AC＝ BD ．试证明：∠ CAD ＝∠ DBC .种类四：全等三角形的判断（SAS）例 7. 已知：如图3－1，AB、CD订交于O点，AO＝CO，OD＝OB．求证：∠ D＝∠ B．剖析：要证∠ D＝∠ B，只需证 ______≌ ______证明：在△ AOD 与△ COB 中，AO CO ( ),______ ______( ),OD ______( ),∴△ AOD ≌△ ______ （）．∴∠D＝∠ B （ ______）．例8、小红家有一个小口瓶（如下图），她很想知道它的内径是多少？可是尺子不可以伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有方法了．她拿来了两根长度同样的细木条，而且把两根长木条的中点固定在一同，木条能够绕中点转动，这样只需量出AB 的长，就能够知道玻璃瓶的内径是多少，你知道这是为何吗？请说明原因．（木条的厚度不计）例 9、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接∠ABC= ∠ EBD=90 °），连结 AE 、 CD，试确立 AE 结论．（A 、B、D 三点共线，AB=CB ，EB=DB ，与 CD 的地点与数目关系，并证明你的种类五：全等三角形的判断（AAS和 ASA）例 10、某同学把一块三角形的玻璃打坏成了 3 块，现要到玻璃店去配一块完整同样的玻璃，同学小明知道只需带③ 去就行了，你知道此中的道理是（）A ． SAS B． SSA C． ASA D． HL例 11.如图，已知△ ABC的六个元素，则以下甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是例 12、已知：如图，PM ＝ PN，∠ M＝∠ N．求证： AM＝ BN．剖析：∵ PM＝ PN，∴要证AM＝BN，只需证PA＝ ______，只需证 ______≌ ______．证明：在△ ______与△ ______中，______ ______( ),______ ______( ),______ ______( ),∴△ ______≌△ ______ （）．∴ PA＝ ______ （）．∵PM＝PN （），∴PM － ______＝ PN－ ______，即 AM ＝ ______．例 13、已知： AB ⊥ AE ，AD ⊥ AC ，∠ E=∠ B， DE=CB ．求证： AD=AC ．．例 14、如图，在△ ABC中，∠ ACB＝90°， AC＝BC，BE⊥CE于点 E． AD⊥CE于点D．求证：△ DEC≌△ CDA．种类六：全等三角形的判断（HL）例 15. 已知在△ ABC和△ DEF中 , ∠ A=∠D=90°, 则以下条件中不可以判断△ABC和△DEF全等的是 ( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠ F,BC=EF例 16、如下图，在△ ABC中，∠ C=90°， DE⊥AB 于点 D， BD=BC,若 AC=6，则AE+DE=_____BDAE C【易错优选】1、如下图，△ABC ≌△ DEC，则不可以获得的结论是（）A ． AB=DEB ．∠ A= ∠ D C． BC=CD D ．∠ ACD= ∠ BCE2、如图，梯形 ABCD中，AD∥BC，点 M是 AD的中点，且 MB=MC，若 AD=4，AB=6，BC=8，则梯形 ABCD的周长为（）A．22 B．24 C．26 D． 283、如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则∠ ABC+∠ DFE=__________度【精髓提炼】判断三角形全等的基本思路：找夹角SAS已知两边 SS找直角HL找另一边SSS边为角的对边→找随意一角→AAS找这条边上的另一角→ASA已知一边一角 SA边就是角的一条边找这条边上的对角→AAS找该角的另一边→ SAS找两角的夹边ASA已知两角 AA找随意一边AAS备注：找寻对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边 ( 或最大角 ) 是对应边 ( 或对应角 ) ，一对最短边 ( 或最小角 ) 是对应边 ( 或对应角 ) ．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是重点．全等三角形的图形概括起来有以下几种典型形式：⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型【本节训练】训练【 1】如图， E 为线段 BC 上一点， AB ⊥BC，△ ABE ≌△ ECD ，判断 AE 与 DE 的关系，并证明你的结论．训练【 2】如图，点A、F、C、D在同向来线上，点 B 和点 E 分别在直线 AD的双侧，且 AB＝DE，∠ A＝∠ D，AF＝ DC．求证： BC∥EF．训练【 3】已知图中的两个三角形全等，则∠ 1 等于度．【训练 4】．如图，∠ BAC= ∠DAE ，∠ ABD= ∠ ACE ，AB=AC ．求证： BD=CE ．基础稳固一、选择题1、以下说法：①有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；④有一条边相等的两个等腰直角三角形全等．此中正确的有（）．A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个DE=BC，以D、 E 为两个极点作地点不一样的三2、如图，△ABC是不等边三角形，角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多能够画出[ ] ．A．2 个B．4 个C．6 个D．8 个3、以下说法正确的选项是（）A、全等三角形是指周长和面积都同样的三角形;B、全等三角形的周长和面积都同样;C、全等三角形是指形状同样的两个三角形;D、全等三角形的边都相等4、以下两个三角形中，必定全等的是（）A.两个等边三角形B.有一个角是 40°，腰相等的两个等腰三角形C.有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形D.有一个角是 100°，底相等的两个等腰三角形5、如图，△ ABC与△ BDE都是等边三角形， AB<BD，若△ ABC不动，将△ BDE绕点CD的大小关系为( )B 旋转，则在旋转过程中，AE与A．AE=CD B ． AE>CD C．AE<CD D．没法确立ECA B D6、如图，已知 AB=AD，那么增添以下一个条件后，仍没法判断△ABC≌△ ADC的是（）A．CB=CD B ．∠ BAC=∠DAC C．∠ BCA=∠ DCA D．∠ B=∠D=90°二、填空题6、如图，在△ ABC 中，AD⊥ BC 于 D，BE⊥ AC 于 E，AD 与 BE 订交于点F，若 BF=AC，则∠ ABC=_______7、如图，等腰直角三角形ABC的直角极点 B 在直线 PQ上，AD⊥ PQ于 D，CE⊥PQ 于 E，且 AD=2cm，DB=4cm，则梯形 ADEC的面积是 _____ ．8、（着手操作实验题）如下图是小明自制对顶角的“小仪器”表示图：（1）将直角三角板 ABC的 AC边延伸且使 AC固定；（2）另一个三角板 CDE?的直角极点与前一个三角板直角极点重合；（3）延伸 DC，∠PCD与∠ ACF就是一组对顶角，已知∠ 1=30°，∠ ACF为多少？三、简答题9、如图，已知AB=AC ，∠ 1=∠ 2，AD=AE ，求证：∠ C=∠ B．10、如图，在△ ABC中， AD是∠ BAC的均分线， DE、DF分别是△ ABD和△ ACD的高线，求证： AD⊥EF。

八年级下数学第一章(三角形的证明)-讲义

知识点一全等三角形的性质及判定1、全等三角形的对应边相等、对应角相等。

2、判定两三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL。

例：如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？知识点二等腰三角形的性质和判定1、等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）2、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”。

3、等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高、两底角的平分线长度均相等。

4、有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形。

例：已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50º，则这个等腰三角形的底角是。

例:在等腰三角形ABC中,AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长。

例:如图，在ABA 1中，∠B=20º，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C 上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠A n的度数为。

知识点三等边三角形的性质和判定1、三条边都相等的三角形是等边三角形。

2、三个角都相等，且都等于60º.3、有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形；三个角或三条边都相等的三角形是等边三角形。

例：如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.M C B A 例：如图1，已知：∠MON=30º，点A 1、A 2、A 3……在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 6B 6A 7的边长为．图1 图2例：如图2，在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60º，得到△BAE ，连接ED ，若BC=10，BD=9，则△AED 的周长是。

专题06 全等三角形的性质与判定篇(解析版)

专题06 全等三角形的判定与性质1. 三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。

2. 三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180°。

3. 三角形的外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。

大于它不相邻的任意一个内角。

4. 全等三角形的性质：若两个三角形全等，则他们的对应边相等；对应角相等；对应边上的中线相等，高线相等，角平分线也相等；且这两个三角形的周长和面积均相等。

5. 全等三角形的判定：①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。

②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。

③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。

④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。

全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件。

在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形。

1．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB＝∠ACD，利用ASA证明△ACB≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．【解答】证明：∵∠3＝∠4，∴∠ACB＝∠ACD，在△ACB和△ACD中，，∴△ACB≌△ACD（ASA），∴AB＝AD．2．如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠DCB，进而利用SAS证明△EBC与△DCB全等，再利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠DCB，在△EBC与△DCB中，，∴△EBC≌△DCB（SAS），∴BD＝CE．3．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解．【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC与△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SAS），∴∠D＝∠C＝50°．4．如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）由AC平分∠BAD，得∠BAC＝∠DAC，根据CB⊥AB，CD⊥AD，得∠B＝90°＝∠D，用AAS可得△ABC≌△ADC；（2）由（1）△ABC ≌△ADC ，得BC ＝CD ＝3，S △ABC ＝S △ADC ，求出S △ABC ＝AB •BC ＝6，即可得四边形ABCD 的面积是12．【解答】（1）证明：∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠DAC ，∵CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，∴∠B ＝90°＝∠D ，在△ABC 和△ADC 中，，∴△ABC ≌△ADC （AAS ）；（2）解：由（1）知：△ABC ≌△ADC ，∴BC ＝CD ＝3，S △ABC ＝S △ADC ，∴S △ABC ＝AB •BC ＝×4×3＝6，∴S △ADC ＝6，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ADC ＝12，答：四边形ABCD 的面积是12．5．如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，CD ＝AB ，DE ∥AB ，∠DCE ＝∠A ．求证：DE ＝BC ．【分析】利用平行线的性质得∠EDC ＝∠B ，再利用ASA 证明△CDE ≌△ABC ，可得结论．【解答】证明：∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ，在△CDE 和△ABC 中，，∴△CDE ≌△ABC （ASA ），∴DE ＝BC ．6．如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC 于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【分析】（1）过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ是等边三角形，易证△QMP≌△CNP（AAS），即可得证；（2）根据等边三角形的性质可知AH＝HQ，根据全等三角形的性质可知QP＝PC，即可表示出HP的长．【解答】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等边三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，，∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QP＝AC，∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝a．7．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC ＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC DEF．求证：AB∥DE．【分析】（1）根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，即可解决问题；（2）根据全等三角形的性质可得∠A＝∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．【解答】（1）解：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．故答案为：①，SSS；（答案不唯一）．（2）证明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．【分析】（1）证明△BCD≌△FCE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DBC＝∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论；（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS），∴∠DBC＝∠EFC，∴BD∥EF，∵AF⊥EF，∴BD⊥AF；（2）解：由题意补全图形如下：CD＝CH．证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，∵AC⊥BF，BC＝CF，∴AB＝AF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，∵AB2＝AE2+BD2，∴AF2＝AE2+EF2，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF，∴BD⊥AE，∴∠DHE＝90°，又∵CD＝CE，∴CH＝CD＝CE．9．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．【分析】（1）可利用SAS证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠ACE＝∠ABD，利用等腰直角三角形的性质可求得∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，再根据三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数，进而可求可求解【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，∵∠EAC＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠EAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝75°﹣45°＝30°．10．如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．【分析】（1）由CD∥AB得∠ABC＝∠ECD，而CD＝CB，CE＝AB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD；（2））由∠A＝90°，根据全等三角形的对应角相等证明∠BED＝∠CED＝∠A＝90°，设BE＝x，由BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，列方程（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，解方程求得符合题意的x的值为2，则BC＝5，再根据勾股定理求出DE的长，即可求出△BCD的面积．【解答】（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵∠A＝90°，∴∠CED＝∠A＝90°，∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，设BE＝x，∵EC＝AB＝3，BD＝2，∴CD＝BC＝3+x，∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，整理得x2+3x﹣10＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），∴BE＝2，BC＝3+2＝5，∴DE＝＝＝4，＝BC•DE＝×5×4＝10，∴S△BCD∴△BCD的面积为10．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；（2）由等腰三角形三角形的性质可得BC的长，由角度关系可求∠ADC＝67.5°＝∠CAD，可得AC＝CD ＝1，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴BC＝，∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAD＝22.5°，∴∠ADC＝67.5°＝∠CAD，∴AC＝CD＝1，∴BD＝﹣1．12．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．（1）求证：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三角形全等即可；（2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF与△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（AAS）；（2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴x2+a2＝（8﹣a）2，∴a＝，∴tan∠DAF＝＝．13．如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如图①，易证：BC+BE ＝BF．请解答下列问题：（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S＝123，则BC＝，BF＝．△ABC【分析】（1）根据图形分别得出答案；（2）利用AAS证明△ABC≌△DFE，得BC＝EF，再根据图形可得结论；（3）首先利用含30°角的直角三角形的性质求出BH和AH的长，从而得出BC，再对点E的位置进行分类即可．【解答】解：（1）图②：BC+BE＝BF，图③：BE﹣BC＝BF；（2）图②：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BC+CE，∴BC+BE＝EF+BC+CE＝BF；图③：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BF+EF，∴BE﹣BC＝BF+EF﹣BC＝BF+BC﹣BC＝BF；（3）当点E在BC上时，如图，作AH⊥BC于H，∵∠B＝∠F＝60°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝3，∴AH＝3，∵S＝12，△ABC∴＝12，∴BC＝8，∵CE＝2，∴BF＝BE+EF＝8﹣2+8＝14；同理，当点E在BC延长线上时，如图②，BF＝BC+BE＝8+10＝18，故答案为：8，14或18．14．△ABC和△ADE都是等边三角形．（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【分析】（2）证明△ABD≌△ACE（SAS）和△BAF≌△CAP（SAS），得AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，再证明△AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论；（3）如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理可得结论．【解答】解：（2）PB＝PA+PC，理由如下：如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠DAB＝∠EAC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，BF＝CP，∴△BAF≌△CAP（SAS），∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，∴∠BAC＝∠PAF＝60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF＝PA，∴PB＝BF+PF＝PC+PA；（3）PC＝PA+PB，理由如下：如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理得：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，PB＝CM，∴△AMC≌△APB（SAS），∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，∴∠BAC＝∠PAM＝60°，∴△AMP是等边三角形，∴PM＝PA，∴PC＝PM+CM＝PA+PB．15．【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．【分析】【情境再现】由△OBE≌△OAF，得BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，可证明△BHE≌△AGF （SAS），得BH＝AG；【迁移应用】由△BHE≌△AGF，得∠BHE＝∠AGF，可得∠AGF+∠GPO＝90°，从而∠BHE+∠HPD＝90°，∠HDP＝90°，故DG⊥BH；【拓展延伸】设AB交OH于T，交AC于K，根据△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，可得OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，即得△BOT∽△AOK，有＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，又OH＝GO，可得＝＝，故△BTH∽△AKG，即得＝＝，BH＝AG．【解答】【情境再现】证明：由阅读材料知△OBE≌△OAF，∴BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，∴∠BEH＝∠AFG，∵OH＝OG，∴OH﹣OE＝OG﹣OF，即EH＝GF，在△BHE和△AGF中，，∴△BHE≌△AGF（SAS），∴BH＝AG；【迁移应用】解：猜想：DG⊥BH；证明如下：由【情境再现】知：△BHE≌△AGF，∴∠BHE＝∠AGF，∵∠HOG＝90°，∴∠AGF+∠GPO＝90°，∴∠BHE+∠GPO＝90°，∵∠GPO＝∠HPD，∴∠BHE+∠HPD＝90°，∴∠HDP＝90°，∴DG⊥BH；【拓展延伸】解：猜想：BH＝AG，证明如下：设AB交OH于T，OG交AC于，如图：由已知得：△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∴OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，∴△BOT∽△AOK，∴＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，∴OT＝OK，BT＝AK，∠BTH＝∠AKG，∵OH＝GO，∴HT＝OH﹣OT＝GO﹣OK＝（GO﹣OK）＝KG，∴＝＝，∴△BTH∽△AKG，∴＝＝，∴BH＝AG．。

人教版八年级上册数学讲义第二章全等三角形的判定(基础)

第三讲全等三角形的判定（基础）考试目标解读一．全等图形1.全等图形的概念：能够完全重合的两个图形就是全等图形；2.全等图形的性质：全等多边形的对应边和对应角分别相等；3.全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形对应边，对应角分别相等。

同样，如果两个三角形的边，角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

全等的符号是“≌”，读作“全等于”。

全等三角形的性质：全等三角形对应边相等；全等三角形对应角相等。

二．全等三角形判定两个全等三角形能重合到一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

三角形全等的条件：1.三边对应相等的两个三角形全等（可写成“边边边”或“SSS”）2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）4.角边角（ASA）公理推论：有两个角和一角所对边对应相等的两个三角形全等。

（简称为“角边角”或“ASA”）。

5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL”）1.典型例题例1：已知：如图AC=BD，∠CAB=∠DBA。

求证：∠CAD=∠DBC。

例2：已知：AB=CD，AB∥DC,求证：△ABC≌△CDB例3：已知：在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AD，BF⊥AD。

求证：CE=BF例4．已知：如图AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于G。

求证：AG平分∠BAC.例5：已知：△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，连结DE、EF，∠ADE=∠EFC，∠AED=∠ACB，DE=FC。

求证：△ADE≌△EFC例6：已知：△ABC是等边三角形，∠GAB=∠HBC=∠DCA，∠GBA=∠HCB=∠DAC。

求证：△ABG≌△BCH≌△CAD。

全等三角形及基本判定定理

全等三角形全等三角形【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等（2）全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆ （2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．全等三角形的判定1：SSS三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”．如图，在ABC ∆和DEF ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DEABABC ∆∴≌DEF ∆【典型例题】例1．如图，ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点D 是对应点，︒=∠26BAC ，且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求A C D D C A D ∠∠∠,,的度数及ACD ∆的面积．A BC DEFABDC例2．如图，ABC ∆≌DEF ∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠，求ED F ∠的度数及CF 的长．例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：（1）ABC ∆≌DEF ∆ （2）AB//DE ，BC//EFA B E C FD A BE CD ABCDFE例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；（2）BD 平分ABC ∠ （角平分线的相关证明及性质）全等三角形判定定理2：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”。

三角形全等的判定定理和性质是什么

经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。

全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。

三角形全等的判定定理(1)三边对应相等的三角形是全等三角形。

SSS(边边边)(2)两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。

SAS(边角边)(3)两角及其夹边对应相等的三角形全等。

ASA(角边角)(4)两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。

AAS(角角边)(5)在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。

RHS(直角、斜边、边)三角形全等顺口溜：全等三角形，性质要搞清。

对应边相等，对应角也同。

角边角，边角边，边边边，角角边，四个定理要记全。

全等三角形的性质(1)全等三角形的对应角相等。

(2)全等三角形的对应边相等。

(3)能够完全重合的顶点叫对应顶点。

(4)全等三角形的对应边上的高对应相等。

(5)全等三角形的对应角的角平分线相等。

(6)全等三角形的对应边上的中线相等。

(7)全等三角形面积和周长相等。

(8)全等三角形的对应角的三角函数值相等。

相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例。

(2)相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。

(3)相似三角形周长的比等于相似比。

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。

由(4)可得：相似比等于面积比的算术平方根。

(5)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(6)若a/b=b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项(7)a/b=c/d等同于ad=bc.(8)不必是在同一平面内的三角形里。

中考数学点对点-全等三角形判定与性质定理(解析版)

【答案】见解析。
【解析】求出AC=DF，根据SSS推出△ABC≌△DEF．由（1）中全等三角形的性质得到：∠A=∠EDF，进而得出结论即可．
证明：（1）∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF
∴AC=DF
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）由（1）可知，∠F=∠ACB
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA＝∠OHB＝90°，
在△OGA和△OHB中，
∵ ，
∴△OGA≌△OHB（AAS），
∴OG＝OH，
∴OM平分∠AMD，故④正确；
假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
，
∴△AMO≌△OMD（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
（4）角角边定理：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成AAS）.
D．AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误。
【例题2】（2020•北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是（写出一个即可）．
【答案】BD＝CD．
【解析】由题意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACD全等．

著名机构七年级数学春季班讲义10全等三角形的判定及性质(教师)

全等三角形的判定及性质课时目标1. 理解全等三角形的概念及性质，并灵活运用；2. 掌握全等三角形的判定方法，并熟练应用于证明题.知识精要1. 全等形能够重合的两个图形叫做全等形.2. 全等三角形（1）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形.（2）两个全等三角形，经过运动后一定能够重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角.注：（1）全等三角形不一定是两个图形之间的关系，还可能是多个图形之间的关系. （2）全等图形也可以看作是把图形翻折，旋转、平移等变换而得到的图形；反过来说，两个全等图形经过这样的变换一定能够重合.3. 全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等；4. 确定三角形形状和大小的三个元素有四种情况（1）两角及夹边（2）两边及其夹角（3）三边（4）两角及其中一角的对边注：知道两边及其中一边的对角时，一般不能确定三角形的形状，大小.5. 全等三角形的判定判定1：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等地，那么这两个三角形全等.（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等SAS）判定2：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等地，那么这两个三角形全等.（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等ASA）判定3：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等AAS）DBEDB判定4：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等（三边对应相等的两个三角形全等SSS ）热身练习1. AC 与BD 交于点O ，且AB ∥CD ，AO=CO ，OB=OD ，AB=CD. 求证：△ABD ≌△ACE. 证明：在△ABD 和△ACE 中，⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(已知已知已知CD AB OD OB CO AO∴△ABD ≌△ACE （SSS ）2. 已知△ABD ≌△ACE ，AD=3cm ，BD=1cm ，BC=6cm ，求△ADE 的周长. 解：∵△ABD ≌△ACE∴AE=AD=3cm ，CE=BD=1cm 又∵BC=6cm ∴DE=4cm ∴ADE C ∆=10cm3. 已知△ABC ≌△DBC ，如果∠ABC=72°，∠ACB=45° （1）求∠D 的度数. （2）求∠ABD 的度数. 解：∠A=180°－72°－45°=63°∵△ABC ≌△DBC∴∠D=∠A=63°（全等三角形的对应角相等）同理：∠DBC=∠ACB=45° ∴∠ABD=72°－45°=27°4. 在水平桌面上放置了一块三角形木块，∠A=30°，∠B=90°，AC=2cm ，经过AECBDBEDBDCA运动后△ABC 到A B C '''∆的位置. （1）求ACB '∆的度数.（2）点A 的运动路线是什么图形？求出它的长度. 解：（1）60°（2）运动路线是圆弧：ππ342231=⋅⋅=l5. 已知AD=AE ，∠ADB=∠AEC ，BE=DC （1）试说明：△ABE ≌△ACD. （2）AB 与AC 相等吗？为什么？证明：在△ABE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC BE AEC ADB AEAD∴△ABE ≌△ACD (SAS) ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)6. 已知AC ∥BE 且AC=BE ，点B 是AD 的中点，试说明△ABC ≌△BDF. 证明：∵AC ∥BE ∴∠A=∠EBD ∵AC=BE ，AB=BD ∴△ABC ≌△BDF （SAS ）7. 已知AD=AE ，∠ADC=∠AEBCBDA （1）△ADC 和△AEB 全等吗？为什么？（2）BD 与CE 相等吗？为什么? 解：（1）△ADC ≌△AEB 全等，证明略（ASA ）（2）∵△ADC ≌△AEB ∴AB=AC∴AB －AD=AC －AE即 BD=CE精解名题例1 △ABC ≌△DEF ，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE 的度数与EC 的长.解：∵△ABC ≌△DEF∴∠DEF=∠ACB=180°－30°－50°=100° EC=BF=2例2 P 为∠AOB 的平分线OC 上任意一点，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，求证：OP 是EF 的垂直平分线. 证明：易证 △OEP ≌△OFP （AAS ） ∴OE=OF∴△OME ≌△OMF ∴EM=FM ，∠OME=90° ∴OP 是EF 的垂直平分线例3 在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，求证：BC=AC+AD. 证明：在BC 上截取EC=ACFBO∵CD 是∠ACB 的平分线 ∴∠DCB=∠DCA易证△DEC ≌△ACD （SAS ） ∴∠A=∠DEC=2∠B ，AD=DE ∴∠BDE=∠B ∴BE=DE=AD ∴BC=AC+AD例4 △ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角为∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连结MN ，形面一个△AMN ，求△AMN 的周长. 解：延长NC 到L ，使CL=BM ，连接DL先证BDM DCL ≅V V （SAS ） DMN DLN ≅V V （SAS ） ∴MN NL NC CL NC BM ==+=+ ∴AMN C AM AN MN =++V AM BM AN NC =+++= 2巩固练习1. 如图，△ABC ≌△ DEF ，这两个三角形的对应边是 AB 与 AC ， BC 与 DE ， CA 与 FE .ACDBA(1题图)2. △ABC≌△DEF，那么∠A=∠D3. △ABC以点B为旋转中心，A旋转到E，CDA B D CB(3题图) (4题图)4. AD，BE，CF是△ABC的高，沿AD翻折，点F与点E，点B与点C重合，那么图中全等的三角形有（ D ）A. 3对B. 5对C. 6对D. 7对5. 给定一个三角形的六个元素中的下列条件画三角形，所画的三角形的大小形状可能不唯一确定的是（ D ）A. 两角及夹边B. 两角及其中一个角的对边C. 两边及夹角D. 两边及其中一条边的对角6. 下列判断错误的是（ A ）A. 全等三角形的所有边都相等B. 全等形的周长、面积一定对应相等C. 已知三角形的两条边及其中一条边的对角，所画的三角形不一定是唯一的D．确定一个三角形至少要有一个元素是边7. 下列判断中错误的是（ C ）A. 成轴对称的两个图形全等B. 成中心对称的两个图形全等C．两个正方形一定是全等形 D. 运动后能重合的两个三角形全等8. 已知△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，EEBAED CB求∠DFB 和∠DGB 的度数. 解：∠DFB =90°，∠DGB =65°9. 已知：△ABD ≌△ACE.求证：∠EBO ≌∠DCO. 证明：∵△ABD ≌△ACE ∴∠D=∠E ，DC=BE ∵∠DOC=∠BOE ∴∠EBO ≌∠DCO （AAS ）10. 已知BE=CD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C 解：∵BE=CD∴BD=EC ∵∠ADE=∠AED ∴∠ADB=∠AEC 又∵∠B=∠C∴△ABD ≌△ACE （ASA ）自我测试1. 如图1，已知△ABC ≌ △CDA ，则对应边是 AB 和CD ，BC 和DA ， AC 和CA ，对应角是 ∠ABC 和∠CDA ，∠BCA 和∠DAC ， ∠BAC 和∠DCA .DC图2 图32. 已知ABC∆≌'''CBA∆，A与'A，B与'B是对应顶点，ABC∆的周长为10cm，AB =3cm，BC =4cm.则''BA= 3 cm，''CB= 4cm，''CA= 3 cm.3. 已知ABC∆≌DEF∆，A与D，B与E分别是对应顶点，︒=∠52A，︒=∠67B，BC =15cm，则F∠= 61°，FE = 15 cm.4. 填空题：（1）如图2，已知AC =DB，要使ABC∆≌DCB∆，需增加一个条件是AB=CD等. （2）如图3，已知ABC∆中，090=∠C，AM平分CAB∠，CM =20cm那么M到AB的距离是20cm.（3）如图4，AB =EB，∠1=∠2，∠ADE =120°，AE、BD相交于F，则∠3的度数为30°．（4）如图5，已知：∠1 =∠2，∠3 =∠4，要证BD =CD，需先证△AEB ≌△AEC，根据是ASA ，再证△BDE ≌△BCE ，根据是SAS ．（5）如图6，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，AD⊥AB于A，BC =AE．若AB = 5，则AD = 5 ．5. 如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，B=C∠∠，求证:AD=AE.证明：先证△AEB ≌△ADC（ASA）∴AD=AE(全等三角形的对应边相等)图1E图5 图6图4AACDFEAB6. 如图，DF=AE ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，CE=BF.求证：∠A=∠D. 证明：先证△CDF ≌△BAE (SAS)∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等)7. 如图，已知：在梯形ABCD 中，AB//CD ，E 是BC 的中点，直线AE 与DC 的延长线交于点F. 求证：△ABE ≌△FCE. 证明：∵AB//CD∴∠FCE=∠B ，∠F=∠EAB 又E 是BC 的中点 ∴CE=BE∴△ABE ≌△FCE (AAS)8. 求证：△ABE ≌△FCE 如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，求证：BE=CD. 证明：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ∴∠E=∠CDA=90°EFDCBA∴∠BCE+∠EBC=90°∵∠ACB=90°∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠EBC=∠ACD∴△CBE≌△ACD(AAS)∴BE=CD(全等三角形的对应边相等)9. 已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上.求证：（1）△ACD≌△BCE （2）CF=CG （3）△FCG是等边三角形证明：（1）△ACD≌△BCE （SAS）（2）∵△ACD≌△BCE∴∠ADC=∠BEC∴△CDG≌△CEF(ASA)∴CF=CG（3）∵CF=CG，∠ACE=60°∴△FCG是等边三角形G F。