(完整版)均值不等式及其证明

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均值不等式的证明精选多的篇

均值不等式的证明篇一:均值不等式（AM-GM不等式）是数学中常用的一种不等式关系，它说明了算术平均数和几何平均数之间的关系。

具体表达式为：对于任意非负实数集合{a1,a2,an}，有(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)其中，等号成立当且仅当所有的非负数都相等。

下面，我们将给出AM-GM不等式的证明。

证明：首先，我们可以假设所有的a1,a2,an都是正实数。

因为AM-GM不等式对于非负实数也是成立的，所以我们可以通过限制条件来放缩实数集合。

考虑对数变换。

定义函数f(x) = ln(x)，其中x>0。

因为ln(x)在整个定义域都是凸函数，所以根据对数函数的性质，我们有：f((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(f(a1)+f(a2)+.+f(an))即，ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(ln(a1)+ln(a2)+.+ln(an))这是因为凸函数的定义是在一条直线上任取两个点，它总是在两点的连线上方。

继续推导，根据ln的性质，我们有：ln(a1 a2 .*an) = ln(a1) + ln(a2) + . + ln(an)将上述不等式代入这个等式中，得到ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ ln(a1 a2 .*an)^(1/n)移项化简得到(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)即AM-GM不等式得证。

最后，我们来说明等号成立的条件。

根据对数函数的性质，等号成立当且仅当所有的非负数的对数都相等，即a1 = a2 = . = an。

至此，我们完成了AM-GM不等式的证明。

总结： AM-GM不等式是数学中常用的一种不等式关系。

它表明算术平均数大于等于几何平均数，并且等号成立的条件是所有的非负数相等。

该不等式的证明可以通过对数变换和凸函数的性质进行推导得到。

篇二:在数学中，均值不等式是一类用于比较多个数的重要不等式。

高考数学考点均值不等式全解

高考数学考点均值不等式全解2.平均值不等式名师点拨：1.定理2的常见变形2.利用平均值不等式求最值对两个正实数a,b.(1)若它们的和S是定值,则当且仅当x=y时,它们的积P取得最大值;(2)若它们的积P是定值,则当且仅当x=y时,它们的和S取得最小值.对于三个正数a,b,c.利用平均值不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”,即:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.01利用平均值不等式求最值分析：根据题设条件,合理变形,创造出能应用平均值不等式的条件和形式,然后应用平均值不等式求解.反思感悟平均值不等式的基本功能在于“和与积”的相互转化,利用平均值不等式求最值时,给定的形式不一定能直接应用平均值不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑积或和是定值的形式),构造出平均值不等式的形式再进行求解,求解时一定注意平均值不等式成立的条件:①各项或各因式应为正;②和或积为定值;③各项或各因式能取到使等号成立的值,简记为:“一正、二定、三相等”02利用平均值不等式证明不等式分析：(1)考虑到a+b+c=1,可将不等式左边每个括号中分子上的1替换为a+b+c,化简后再利用平均值不等式,然后根据不等式的性质证明.(2)因为左边有分式,也有整式的形式,所以要两次利用平均值不等式.反思感悟：利用平均值不等式证明不等式的方法与技巧(1)用平均值不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备平均值不等式的结构和条件,然后合理地选择平均值不等式或其变形形式进行证明.(2)对含条件的不等式的证明问题,要将条件与结论结合起来,找出变形的思路,构造出平均值不等式,切忌两次使用平均值不等式用传递性证明,因为这样有可能导致等号不能取到.03利用平均值不等式解决实际问题【例3】已知26辆货车以相同速度v由A地驶向400 km处的B地,每两辆货车间距离为d km,现知d与速度v的平方成正比,且当v=20 km/h时,d=1 km.(1)写出d关于v的函数关系式;(2)若不计货车的长度,则26辆货车都到达B地最少需要多少小时?此时货车速度为多少?分析：对于(1),可由已知数据代入求得;(2)先列出时间与速度的关系式,再借助平均值不等式求解.反思感悟：利用平均值不等式求解实际问题时的注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用平均值不等式求得函数的最值;(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.均值不等式的解题方法均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。

均值不等式函数证明

均值不等式函数证明均值不等式函数是初等数学中的一类基本不等式，我们来研究一下如何证明它。

定义：设 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是 $n$ 个非负实数，则有：$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geqslant \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$$证明：为了方便证明，假设 $a_1,a_2, \cdots,a_n$ 是按照大小排列的，即 $a_1\leqslant a_2 \leqslant \cdots \leqslant a_n$。

我们考虑构造一个函数 $f(x)$，使得 $f(x)$ 满足以下两个性质：1. $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增；为了找到这样一个函数，我们考虑$f(x)=\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-x\right)^n-x^n$。

可以验证，这个函数满足上面两个性质。

首先，我们证明当 $x \geqslant a_1$ 时，$f(x) \geqslant 0$，即$\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-x\right)^n \geqslant x^n$。

这是因为当 $x\geqslant a_1$ 时，$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-x \leqslant\frac{a_2+\cdots+a_n}{n} \leqslant \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$，所以$\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-x\right)^n \geqslant\frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n)^n}{n^n} \geqslant \frac{(a_1 \cdot a_2 \cdotsa_n)^n}{n^n} = x^n$。

最后，当且仅当 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 时，$f(x)$ 在 $[a_1,a_n]$ 上取到最小值$0$（因为 $f(a_k)=0$）。

均值不等式的证明方法

均值不等式的证明方法第一篇：均值不等式的证明方法柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong（数学之家）本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。

一般的均值不等式我们通常考虑的是An≥Gn: 一些大家都知道的条件我就不写了x1+x2+ (x)n≥x1x2...xn我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：二维已证，四维时：a+b+c+d=(a+b)+(c+d)≥2ab+2cd≥4八维时:(a+b+c+d)+(e+f+g+h)≥4abcd+4efgh≥8abcdefghabcd=4abcd这样的步骤重复n次之后将会得到x1+x2+ (x2)n≥nx1x2...x2n令x1=x1,...,xn=xn;xn+1=xn+2= (x2)nx1+x2+ (x)n=A由这个不等式有nA+(2-n)Ann≥nx1x2..xnA2-nn=(x1x2..xn)2An1-n2n即得到x1+x2+ (x)n≥nx1x2...xn这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：例1：n若0<ai<1(i=1,2,...,n)证明∑i=111-ai≥n1-(a1a2...an)n例2：若ri≥1(i=1,2,...,n)证明∑i=11ri+1≥n1+(r1r2...rn)n这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：给出例1的证明：当n=2时11-a1+11-a2≥⇔(1--a1-a2)≥2(1-a1)(1-a2)设p=a1+a2,q=⇔(1-q)(2-p)≥2(1-p+q)⇔p-2q+pq≥2q⇔p(1+q)≥2q(q+1)⇔p≥2q，而这是2元均值不等式因此11-a1≥+11-a22n+11-a3+11-a4≥+此过程进行下去n≥因此∑1-ai1-(a1a2...a2n)2n令an+1=an+2=...=a2n=(a1a2...an)n=Gn有∑i=1n11-ai11-ai+(2-n)n11-G≥nn2-nn=n1-(GG≥n1-Gn)n1-G即∑i=1例3：已知5n个实数ri,si,ti,ui,vi都>1(1≤i≤n),记R=T= nn∑r,Sii=1nn∑sii1nn∑t,Uii=1nn∑uii,V=1nn∑v，求证下述不等式成立：ii∏i=1（risitiuivi+1risitiuivi-1)≥（RSTUV+1RSTUV-1)n要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式其实由均值不等式，以及函数f(x)=ln因此e+1e-1xx是在R上单调递减RSTUV≥=（RSTUV+1RSTUV-1)≤n我们要证明：n∏(rstuvi=1iiiirisitiuivi+1i-1)≥证明以下引理：n∏(xi=1xi+1ix2+1x2-1n-1)≥n=2时，⇔(令A=x1+1x1-1)（）≥2⇔A(x1x2+1+x1+x2)+(x1+x2+1+x1x2)-2A(x1x2+x1+x2+1)≥A(x1x2+1-x1-x2)+(1+x1x2-x1-x2)+2A(x1x2+1-x1-x2)⇔(A+1)(x1x2+1)≥2A(x1x2+1)显然成立2-nnn因此∏（i=1xi+1xi-1n)•（G+1G-1)2-nn≥（GGGGnnnn+1-12-n2n)，G=n=（G+1G-1n)因此∏（i=1xi+1xi-1n)≥所以原题目也证毕了这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明Jensen:f(x1)+f(x2)≥f（x1+x2)，则四维：f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)≥2f（x1+x2)+2f（x3+x4)≥4f（x1+x2+x3+x4)一直进行n次有f(x1)+f(x2)+...+f(x2n)n≥f（x1+x2+ (x2)n),令x1=x1,...,xn=xn;xn+1=xn+2= (x2)nx1+x2+ (x)nn=A有f(x1)+...+f(xn)+(2-n)f(A)nn≥f（nA+(2-n)An)=f(A)所以得到f(x1)+f(x2)+...+f(xn)n≥f（x1+x2+ (x)n)所以基本上用Jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明而且有些时候这种归纳法比Jensen的限制更少其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件第二篇：常用均值不等式及证明证明常用均值不等式及证明证明这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤QnΛ、ana1、a2、∈R+，当且仅当a1=a2=Λ=an时取“=”号仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用均值不等式的变形：(1)对实数a,b，有a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a,b>0>2ab(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)a2+b2≥2ab≥0(5)对非负实数a,b，有(8)对实数a,b,c，有a2+b2+c2≥ab+bc+aca+b+c≥abc(10)对实数a,b,c，有均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

3.2均值不等式

a +b 3.我们把不等式 3.我们把不等式 ≥0,b ≥ ab (a≥0,b≥0) 2
称为基本不等式
a+b 看做两个正数正数a 的等差中项，看做两个正数a，b 的等差中项，把 2 看做正数正数a 的等比中项， ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：那么上面不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于两个正数的等差中项不小于它们的等比不小于它们的等比中项。中项。运用均值不等式的条件: 运用均值不等式的条件: 一正二定三相等
规律：规律：
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
练习:P72 练习
练习B 5 练习
2 x + x 3 例5．求函数 f ( x) = ( x > 0) x
2
的最大
值，及此时x的值。及此时x的值。练习:P72 练习练习B 3 练习
4 π 3 求函数y = sin α + 其中α ∈ 0， ] （ sin α 2 的最小值。 4 4 解：y = sin α + ≥ 2 sin α sin α sin α = 4,∴函数的最小值为。 4
用均值不等式求最值, 用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条相等” 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
4 练习4.当 >3时练习4.当a>3时,求函数 f ( x) = a + a 3 的最值; 的最值;
下面几道题的解答可能有错如果错了下面几道题的解答可能有错，如果错了，有错，错了，那么错在哪里？那么错在哪里？ 1 １．已知函数 f (x) = x + ，求函数的 x 最小值和此时x的取值．最小值和此时x的取值．

均值不等式及其应用

均值不等式及其应用均值不等式是初中数学中一种很重要的概念，被广泛应用在各个领域中，特别是在概率论、数论、统计学和实际问题中，都有着广泛的应用。

在本文中，我们将会介绍均值不等式的概念以及其在实际问题中的应用。

一、均值不等式的概念均值不等式是指对于一组非负实数，它们的算数平均数总是大于等于它们的几何平均数。

它的数学表达式为：若a1,a2,…,an≥0，则有:(a1+a2+…+an)/n≥(a1 * a2 * … * an)^(1/n)其中，a1,a2,…,an均为非负实数，/代表除法，*代表乘法，n代表a1,a2,…,an的个数。

这个不等式有时候也被称为算术平均值和几何平均值的不等关系。

二、均值不等式的应用1.求最大值和最小值在某些问题中，通过均值不等式，可以得到最大值或最小值。

例如，求函数f(x)=1/x在[1,2]上的最大值。

首先，我们可以对f(x)求导得到f’(x)=-1/x^2，然后将其置于均值不等式中，得到：1/2=(1+1/4)/2≥(1/x+1/y)/2化简后得到：xy≥4，因此，f(x)=1/x的最大值为f(2)=1/2。

2.证明不等式均值不等式可以用来证明某些不等式，特别是在不等式的证明中，一般都采用归纳法、绝对值法、平方和法、插叙法、套路变形法等方法来完成。

例如，我们来证明对于任意的正整数n，都有1/2+1/3+1/4+…+1/(n+1)≥ln(n+2)-1。

证明：首先，将1/2+1/3+1/4+…+1/n-1/n+1写成一个和式，得到：1/2+1/3+1/4+…+1/n-1/n+1＝1/2+（1/3-1/2）+（1/4-1/3）+…+（1/n-1/n-1）+1/n+1＝（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+…+（1/n-1/n+1）+1/n+1＝1/2-1/(n+1)接着，将该式和ln(n+2)-ln2相加，得到：1/2+1/3+1/4+…+1/n+1/(n+1)+ln(n+2)-ln2＝1/2-1/(n+1)+ln(n+2)把该式与等式(1)做比较，我们发现不等式成立。

高中数学均值不等式证明过程

高中数学均值不等式证明过程在高中数学中，均值不等式是一种重要的数学定理。

它是用来比较几个数的平均值的大小关系的定理。

下面我将通过证明过程来介绍这个定理。

我们来看均值不等式的基本形式。

对于任意给定的正实数a1，a2，…，an，它们的算术平均数A和几何平均数G满足以下不等式：A ≥ G其中，算术平均数定义为这些数的和除以它们的个数，几何平均数定义为这些数的乘积的n次方根。

现在我们来证明这个不等式。

假设n=2，也就是只有两个数a1和a2。

根据算术平均数和几何平均数的定义，我们有：A = (a1 + a2) / 2G = √(a1 * a2)为了证明A ≥ G，我们可以将不等式两边平方，得到：A^2 ≥ G^2展开计算后得到：(a1 + a2)^2 / 4 ≥ a1 * a2化简后得到：a1^2 + 2a1a2 + a2^2 ≥ 4a1a2继续化简得到：a1^2 - 2a1a2 + a2^2 ≥ 0这是一个平方差的形式，可以写成：(a1 - a2)^2 ≥ 0由于平方的结果永远是非负的，所以不等式成立。

因此，当n=2时，均值不等式成立。

接下来，我们来证明当n=k时，均值不等式也成立。

假设对于任意的k个正实数a1，a2，…，ak，均值不等式成立。

即：(a1 + a2 + … + ak) / k ≥ √(a1 * a2 * … * ak)现在，我们考虑n=k+1的情况。

即有k+1个正实数a1，a2，…，ak，ak+1。

我们可以将a1，a2，…，ak的和记作S，即S=a1 + a2 + … + ak。

对于这k+1个数，它们的算术平均数记作A，几何平均数记作G。

根据定义，我们有：A = (S + ak+1) / (k + 1)G = √(a1 * a2 * … * ak * ak+1)为了证明A ≥ G，我们可以将不等式两边平方，得到：A^2 ≥ G^2展开计算后得到：[(S + ak+1) / (k + 1)]^2 ≥ a1 * a2 * … * ak * ak+1化简后得到：[(S + ak+1)^2] / (k + 1)^2 ≥ a1 * a2 * … * ak * ak+1再继续化简得到：(S^2 + 2Sak+1 + ak+1^2) / (k + 1)^2 ≥ a1 * a2 * … * ak * ak+1接下来，我们将右边的乘积展开，得到：a1 * a2 * … * ak * ak+1 = (a1 * a2 * … * ak) * ak+1然后，我们利用假设，将左边的不等式中的(S^2 + 2Sak+1 + ak+1^2) / (k + 1)^2替换成(S / k) * (S / k) + 2(S / k) * (ak+1 / k) + (ak+1 / k)^2，得到：(S / k) * (S / k) + 2(S / k) * (ak+1 / k) + (ak+1 / k)^2 ≥ (a1 * a2 * … * ak) * ak+1继续化简得到：(S / k) * (S / k) + 2(S / k) * (ak+1 / k) + (ak+1 / k)^2 ≥ a1 * a2 * … * ak * ak+1这是一个平方和的形式，可以写成：[(S / k) + (ak+1 / k)]^2 ≥ a1 * a2 * … * ak * ak+1由于平方的结果永远是非负的，所以不等式成立。

均值不等式公式四个及证明

均值不等式公式四个及证明1.算术均值-几何均值不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数 a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1*a2*...*an)证明：当n=2时，不等式成立。

因为(a1+a2)/2≥√(a1*a2)，即a1+a2≥2√(a1*a2)。

假设当 n=k 时，不等式成立，即(a1+a2+...+ak)/k ≥√(a1*a2*...*ak)。

现在考虑 n=k+1 的情况，即要证明(a1+a2+...+ak+ak+1)/(k+1) ≥ √(a1*a2*...*ak*ak+1)。

根据已知条件，我们有：(a1+a2+...+ak+ak+1)/(k+1) = [(a1+a2+...+ak)/k]*(k/(k+1)) + ak+1/(k+1)由归纳假设，(a1+a2+...+ak)/k ≥ √(a1*a2*...*ak)。

因此，上式可以表示为：(a1+a2+...+ak+ak+1)/(k+1) ≥ (√(a1*a2*...*ak))*(k/(k+1)) + ak+1/(k+1)根据加权平均不等式，我们有：(√(a1*a2*...*ak))*(k/(k+1)) + ak+1/(k+1) ≥√(a1*a2*...*ak*ak+1)因此，不等式成立。

2. 广义均值不等式（Cauchy不等式）：对于非负实数 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1^p+a2^p+...+an^p)^(1/p) * (b1^q+b2^q+...+bn^q)^(1/q) ≥ a1*b1+a2*b2+...+an*bn其中，p和q是正实数，满足1/p+1/q=1证明：当n=2时，不等式成立。

因为(a1^p+a2^p)^(1/p)*(b1^q+b2^q)^(1/q)≥a1*b1+a2*b2假设当 n=k 时，不等式成立，即 (a1^p+a2^p+...+ak^p)^(1/p) * (b1^q+b2^q+...+bk^q)^(1/q) ≥ a1*b1+a2*b2+...+ak*bk。

(完整版)均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)

均值不等式归纳总结1. (1)若，则(2)若，则（当且仅当R b a ∈,ab b a 222≥+R b a ∈,222b aab +≤时取“=”）b a =2. (1)若，则(2)若，则（当且仅当时取*,R b a ∈abb a ≥+2*,R b a ∈ab b a 2≥+b a =“=”）(3)若，则 (当且仅当时取“=”）*,R b a ∈22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab b a =3.若，则 (当且仅当时取“=”）0x >12x x +≥1x =若，则 (当且仅当时取“=”）0x <12x x+≤-1x =-若，则 (当且仅当时取“=”）0x ≠11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或b a =4.若，则 (当且仅当时取“=”）0>ab 2≥+ab ba b a =若，则 (当且仅当时取“=”）0ab ≠22-2a b a ba bbabab a+≥+≥+≤即或b a =5.若，则（当且仅当时取“=”）R b a ∈,2)2(222b a b a +≤+b a =『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋（2）y ＝x ＋12x 21x解：(1)y ＝3x 2＋≥2＝ ∴值域为[，+∞）12x 266(2)当x ＞0时，y ＝x ＋≥2＝2；1x 当x ＜0时， y ＝x ＋= －（－ x －）≤－2=－21x 1x ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知，求函数的最大值。

54x <14245y x x =-+-解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所450x -<1(42)45x x --A以对要进行拆、凑项，42x -，5,5404x x <∴-> 11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。

均值不等式的证明(精选多篇)

均值不等式的证明(精选多篇)常用均值不等式及证明证明这四种平均数满足hn?gn?an?qn?、ana1、a2、?r?，当且仅当a1?a2???an时取“=”号仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用均值不等式的变形：(1)对实数a,b，有a222?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号)， a,b?0?2ab(4)对实数a,b，有a?a-b??b?a-b?a2?b2?2ab?0(5)对非负实数a,b，有(8)对实数a,b,c，有a2?b2?c2?ab?bc?aca?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?bn注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0 ，a+b≥0 (用数学归纳法)。

当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即那么当n=k+1时，不妨设ak?1是则设a1,a2,?,ak?1中最大者，kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区间(a,b)内的任意n个点，设f?x??lnx，f?x?为上凸增函数所以，在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）均值不等式证明一、已知x,y为正实数，且x+y=1求证xy+1/xy≥17/41=x+y≥2√(xy)得xy≤1/4而xy+1/xy≥2当且仅当xy=1/xy时取等也就是xy=1时画出xy+1/xy图像得01时，单调增而xy≤1/4∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4得证继续追问：拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证补充回答：我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二：证xy+1/xy≥17/4即证4(xy)?-17xy+4≥0即证(4xy-1)(xy-4)≥0即证xy≥4，xy≤1/4而x,y∈r+，x+y=1显然xy≥4不可能成立∵1=x+y≥2√(xy)∴xy≤1/4，得证法三：∵同理0xy+1/xy-17/4=(4x?y?-4-17xy)/4xy=(1-4xy)(4-xy)/4xy≥0∴xy+1/xy≥17/4试问怎样叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!二、已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】那么1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0三、1、调和平均数：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：an=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足hn≤gn ≤an≤qn的式子即为均值不等式。

均值不等式

利用柯西不等式证明
总结词
柯西不等式是均值不等式的特殊形式，利用柯西不等式证明均值不等式是常见的证明方法之一。
详细描述
柯西不等式是：如果 $p>0$，$q>0$，那么 $(p+q)^2 \geq p^2+q^2$。令 $p=a_i^2$， $q=b_i^2$，则 $(a_i^2+b_i^2)^2 \geq a_i^4+b_i^4$。利用这个不等式可以推出 $(\sum a_i^2)(\sum b_i^2) \geq (\sum a_i^4)(\sum b_i^4)^{1/2}$
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均值不等式的扩展
柯西不等式
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柯西不等式
这个不等式是数学中的一个基本不等式，它表明向量的模长的平方和大于等于各向量分量乘积的平泛的应用，包括统计学、概率论、微分学、最优化理论等。
不等式证明
柯西不等式可以通过数学归纳法、构造法等方式进行证明。
例如，在描述两个总体的平均水平差异时，利用均值不等式可以给出两个总体的平均值之间的差异的上界或下界，从而帮助我们更清晰地理解两个总体的差异程度。
在优化问题中的应用
在优化问题中，均值不等式常常被用来解决一些与最优化相关的问题。特别是当问题涉及到求函数的最大值或最小值时，均值不等式可以提供一种有效的解决方法。
切比雪夫不等式
切比雪夫不等式
这个不等式是概率论和统计学中常用的一种不等式，它给出了一组随机变量的和的方差与这组随机变量的方差之和的关系。
应用领域
切比雪夫不等式在统计学、金融学、信号处理等领域都有广泛的应用。
不等式证明
切比雪夫不等式可以通过数学归纳法、切比雪夫定理等方式进行证明。

均值不等式详解

4 π 函 y 其 α∈ 0 ] 中（， 3 求数 = sin α + sin α 2 的小。最值 4 4 解 y = sin α + ： ≥ 2 sin α • sin α sin α = 4,∴ 数最值 4 函的小为。
用均值不等式求最值,必须注意相等” 用均值不等式求最值必须注意 “相等” 的条件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值如果取等的条件不成立则不能取到该最值. 则不能取到该最值
（2）设矩形的长、宽分别为）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，，，依题意有2(x+y)=36，即x+y=18，，依题意有，
x+ y 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ 因为，，所以， 2
因此 xy ≤ 9 将这个正值不等式的两边平方，将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，时式中等号成立，当且仅当此时x=y=9，，此时
那么上面不等式可以叙述为：那么上面不等式可以叙述为：两个正数的等差中项大于或等于它们的两个正数的等差中项大于或等于它们的大于或等于等比中项。等比中项。
2
的最大
的值。值，及此时x的值。及此时的值
3 解： f ( x) = 1 − (2 x + ) ，因为x>0，因为， x
3 3 所以 2 x + ≥ 2 2 x ⋅ = 2 6 x x 3 得 −(2 x + )≤ -2 6 x
因此f(x)≤ 1 − 2 6 因此
当且仅当号成立。号成立。
均值不等式详解
定理：定理：如果a， ∈ ，那么a 如果，b∈R，那么 2+b2≥2ab 时取“ ）（当且仅当a=b 时取“=”）当且仅当证明：证明： a 2 + b 2 − 2ab = (a − b) 2

柯西不等式证明均值不等式

柯西不等式证明均值不等式柯西不等式证明均值不等式引言：在高等数学中，我们经常会遇到各种各样的不等式问题。

其中一个非常经典和重要的不等式就是均值不等式。

均值不等式给出了一组数字的平均数与其它某种函数的值之间的关系。

在本文中，我将通过证明柯西不等式，来展示它与均值不等式之间的紧密联系。

一、柯西不等式的表述和证明：柯西不等式是指对于任意的实数 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn，有如下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... +an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)柯西不等式的证明非常巧妙，基于向量内积的性质。

我们定义两个 n 维向量 a 和 b：a = (a1, a2, ..., an)b = (b1, b2, ..., bn)我们计算它们的内积a∙b：a∙b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn接下来，我们考虑向量 a - λb，其中λ 是一个参数。

根据向量的长度与内积之间的关系，我们可以得到：|a - λb|^2 = (a - λb)∙(a - λb) = a∙a - 2λa∙b + λ^2b∙b由于a∙a 和b∙b 是非负值，我们可以将右边的式子写成一个平方和的形式：|a - λb|^2 = (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) - 2λ(a1b1 + a2b2 + ... + anbn) + λ^2(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)现在，我们希望找到一个合适的参数λ，使得右边的式子最小化。

根据二次函数的性质，当λ = (a∙b) / (b∙b) 时，右边的式子达到最小值。

将λ 带入右边的式子，我们得到：|a - (a∙b)/(b∙b) * b|^2 = (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) - 2(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 / (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) * (b1^2 +b2^2 + ... + bn^2)注意到左边的式子是一个长度为 n 的向量的平方和，它必定非负。

均值不等式证明过程

均值不等式证明过程
嘿，朋友们！今天咱来唠唠均值不等式的证明过程。

你说这均值不等式啊，就像一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门呢！它就好像是一个公平的裁判，告诉你几个数的平均水平和它们的乘积之间有着特别的关系。

咱就拿两个正数 a 和 b 来说吧。

它们的算术平均值就是 (a+b)/2，几何平均值呢就是根号下 ab。

那为啥说均值不等式厉害呢？咱想想啊，如果有一堆苹果要分给两个人，算术平均值就像是平均分，让每个人得到的差不多；而几何平均值就像是一种更紧凑的分配方式，保证了整体的“紧凑性”。

那怎么证明它呢？咱可以这样来想呀。

你看，(a-b)² 总是大于等于 0 的吧，这没毛病吧？展开它就得到a² - 2ab + b² 大于等于 0 呀。

把式子稍微变一变，就得到a² + 2ab + b² 大于等于 4ab 啦。

然后再把左边变成
(a+b)²，这不就出来了(a+b)² 大于等于 4ab 嘛。

两边同时开方，再除以4，不就得到了 (a+b)/2 大于等于根号下 ab 嘛！咋样，是不是挺神奇的？
这就好比盖房子，均值不等式就是那稳固的根基，有了它，上面才能建起高楼大厦呀！你再想想，如果没有这个不等式，那数学世界得变得多么混乱呀！
而且哦，均值不等式的应用可广啦！在好多实际问题里都能看到它的影子呢。

比如计算面积啦、优化资源分配啦等等。

所以说呀，可别小瞧了这均值不等式，它可是数学里的大宝贝呢！咱可得好好把它弄明白，让它为咱的数学学习助力呀！这就是均值不等式的证明过程和它的重要性，你说是不是很有意思呢？。

均值不等式及其证明复习过程

均值不等式及其证明复习过程对于任意非负实数 a1，a2，...，an，有以下两个不等式成立：1. 算术平均数不小于几何平均数：(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)2. 平方算术平均数不小于平方几何平均数：[(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)/n]^(1/2) ≥ (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)首先，我们回顾一下几何平均数和算术平均数的定义。

几何平均数是一组数字连乘后开 n 次方根的结果。

例如，对于正数a1，a2，...，an，几何平均数定义为 G = (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)。

算术平均数是一组数字相加后除以 n 的结果。

例如，对于数字 a1，a2，...，an，算术平均数定义为 A = (a1 + a2 + ... + an)/n。

证明：对于上述不等式1，我们可以通过数学归纳法来证明。

当n=2时，不等式的形式为(a1+a2)/2≥(a1*a2)^(1/2)。

这是开普勒和荷赛公式，可以使用平方运算来证明。

当 n = k + 1 时，即有 k 个非负实数，我们需要证明以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + ak + ak+1)/(k+1) ≥ (a1 * a2 * ... * ak *ak+1)^(1/(k+1))假设上述不等式对于 k 个非负实数成立。

即有(a1 + a2 + ... + ak)/k ≥ (a1 * a2 * ... * ak)^(1/k)将不等式左边的分子拆分成两个部分代入假设成立的不等式，得到(a1 + a2 + ... + ak + ak+1)/k ≥(k * [a1 * a2 * ... * ak]^(1/k) + ak+1)/k再次应用均值不等式，有 (k * [a1 * a2 * ... * ak]^(1/k) +ak+1)/k ≥ [(k * [a1 * a2 * ... * ak]^(1/k))^k * ak+1]^(1/(k+1))化简得(k * [a1 * a2 * ... * ak]^(1/k) + ak+1)/k ≥ (a1 * a2 * ... * ak * ak+1)^(1/(k+1))即有(a1 + a2 + ... + ak + ak+1)/(k+1) ≥ (a1 * a2 * ... *ak * ak+1)^(1/(k+1))从而完成了归纳法的证明。

均值不等式与不等式的证明

均值不等式与不等式的证明均值不等式和不等式的证明一．已知不等式的关系，求目标式的取值范围例1：（2019辽宁理14）已知且则的取值范围。

变式1：已知且，求f(3)的范围。

x2x3变式2：（2019江苏12）设x,y为实数，满足则4的最大值是yy2。

二．利用均值不等式求函数的最值I.利用均值不等式求最值要注意条件的验证12的最小值例1：（1）若，求函数（2）若，求函数12的值域 x变式1.（1）求函数的值域；（2）求函数（3）求函数2的最小值；2的最小值。

II.通过代数变换凑配成使用均值不等式的形式51例1:已知，求函数的最大值。

且的最小值。

变式1：求函数变式2：求最大值。

III.“1”的变换例1：已知，且变式1：（2019重庆理7）已知，则变式2：函数19，求的最小值。

xy14的最小值是 ab的图像恒过定点A，若点A在直线n上，则的最小值为变式3：，证明：变式4：已知求。

149的最小值。

xyzIV.注意转化思想和方程消元思想在求二元函数最值中的应用例1：若正数a,b满足，则：（1）ab的取值范围是；（2）的取值范围是。

变式1：（2019重庆理7）已知满足，则的最小值是。

V.灵活选择和运用均值不等式的变形形式y2，则的最大值为。

例1：设，2变式1：已知，求的最小值。

VI.合理配组，反复应用均值不等式例1：设，则222的最小值是。

2变式1：若x,y是正数，则的最小值是三．利用均值不等式证明不等式例1：（1）设求证：。

a2b2c2。

（2）a,b，求证：bca（3）已知且，求证：变式1：若，且。

求证：变式2：证明：若，，则。

四．不等式的证明I.比较法（插值法、比值法）例1：已知a,b,m均为正实数，且，求证：变式1：已知且求证：nn。

II.利用函数的单调性例1：已知，求证：13x。

6变式1：证明：当22x。

III.综合法（由因导果）与分析法（由果索因）例1：证明：。

变式1：设，求证：。

例2：设求证：。