M02资_惯性矩和惯性积的平行移轴定理

第5章 平面的几何性质 5
材料力学
本章主要内容
§5–1 面积矩与形心位置 惯性矩、惯性积、 §5–2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 §5–3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 §5–4 惯性矩和惯性积的转轴定理 、 截面的主惯性轴和主惯性矩
材料力学
§5-1 静矩与形心位置
一、面积（对轴）矩：(与力矩类似) 面积（对轴） y 是面积与它到轴的距离之积。
I AB = I x + d 2 A=
π d 4 π d 4 5π d 4
64 + 4 = 64
材料力学
§5 - 4
惯性矩和惯性积的转轴定理、 惯性矩和惯性积的转轴定理、 截面的主惯性轴和主惯性矩
y y1 x1
一、 惯性矩和惯性积的转轴定理
x 1 = x cos α + y sin α y 1 = − x sin α + y cos α
i i
1
1
2
A2
A
A1 + A2
x
5×(−70×110) = =−20.3 120×80−70×110
图(b)
材料力学
§5 - 2
惯性矩、惯性积、 惯性矩、惯性积、极惯性矩
是面积与它到轴的距离的平方之积。
与转动惯量类似） 一、惯性矩：(与转动惯量类似） 惯性矩： 与转动惯量类似
I x =∫ y dA
tg2 0=− α IxC−I yC
2IxC yC
形心主惯ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ矩：
IxC+I yC 2 2 IxC0 IxC+I yC ± ( ) +IxCyC = 2 2 I yC0
材料力学
3.求截面形心主惯性矩的方法 ①建立坐标系 ②计算面积和面积矩 ③求形心位置
S y ∑ x i Ai x= = A A y = S x = ∑ y i Ai A A
材料力学
2 A
y
I y =∫ x 2 dA
二、极惯性矩： 极惯性矩： 矩。
A
x
dA y x
是面积对极点的二次
ρ
I ρ =∫ ρ 2 dA=I x +I y
A
材料力学
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。 惯性积：
I xy =∫ xydA
A
y 是对称轴， 如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0 x dA y x
10
1
2
A2
A
A1 + A2
图(a)
−35×10×110 = =−20.3 10×110+80×10 60×10×110 y= =34.7 10×110+80×10
材料力学
y
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
C1（0,0） C2（5,5）
负面积 C2 C1
∑x A = x A + x x=
例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d) y 2d d yC O x1 解： ①建立坐标系如图。 ②求形心位置。 x xC b
∑ x i Ai = 0 = 0 x= A A d πd 2 ∑ y i Ai = − 2 × 4 = − 0 . 177 d y= 2 A 2 πd 3d − 4
Ix1 +I y1 =Ix+I y
材料力学
二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩 1.主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到α= α0 时；恰好有
I x 0 y 0 =(
I x −I y 2
sin 2α 0 + I xy cos 2α 0 )=0
与 α0 对应的旋转轴x0 y0 称为主惯性轴；平面图形对主 轴之惯性矩主惯性矩。
tg 2α 0 =−
2 I xCyC I xC − I yC
I x0 I x + I y I x −I y 2 2 主惯性矩： = ± ( ) + I xy 2 2 I y0
材料力学
2.形心主轴和形心主惯性矩： 主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之 惯性矩，称为形心主惯性矩
材料力学
例2 求图示圆对其切线AB的惯性矩。 y 解 ：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分； d O B x 二是用平行移轴定理等知识求。 建立形心坐标如图,求图形对形 心轴的惯性矩。
A
Iρ =
I P πd 4 I x =I y = = 2 64
πd 4
32
=I x +I y ⇒2 I x
圆
)
x
S y = Ax =∑ Ai xi S x = Ay=∑ Ai yi
材料力学
例1 试确定下图的形心。
10
y
120 C2 C1(0,0) C2(-35,60)
解 ： 组合图形，用正负面积法解之。 1.用正面积法求解，图形分割及坐标 如图(a)
C1 80
x
∑x A = x A + x x=
i i
1
④建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC ⑤求形心主轴方向 — α0 ⑥求形心主惯性矩
tg 2α 0 =− 2 I xCyC I xC − I yC
I xC0 I xC +I yC I xC −I yC 2 2 = ± ( ) +I xCyC 2 2 I yC0
材料力学
③ 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy
材料力学
I xC =I 矩xC −I圆xC =I 矩x + A矩 y 2 −[ I圆x1 + A圆 (0.5d − y ) 2 ]
1.5d×(2d ) 3 πd 4 πd 2 = +3d 2 (−0.177 d ) 2 −[ + (0.5d +0.177 d ) 2 ]=0.685d 4 12 64 4
x y
M n max N max Mn σ max = ; θ= ; τ max = A GI P WP
dA
d S x =d A⋅ y d S y =d A⋅x
S x =∫dS x =∫ ydA
x
A A
S y =∫dS y =∫ xdA
A A
材料力学
二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。) 形心：
y 2d d yC O x1
(1.5d ) 3×2d πd 4 I yC =I 矩xC −I圆xC = − =0.513d 4 12 64
I xCyC =0 ∴ x C y C 轴便是形心主轴 I xC 、I yC 便是形心主惯性矩
x xC b
材料力学
本章小结
一、知识点 1、熟练计算典型形状的静矩和形心 2、熟练计算典型形状的惯性矩、惯性积、 惯性半径 3、掌握平行移轴公式的应用方法 二、重点内容 1、常见形状的二次矩计算 2、平行移轴公式
∫ xdm x=
m
质心：
m
等厚
∫ xtρdA= ∫ xtdA= S
A
y=
y x
x
∫m ydm 均质
m
tρA
A
y
A
A
x
∫ ytρdA= ∫ ytdA= S
A
等于形心坐标
tρA
A
A
A
d A y
y
∑ x i Ai x= A ( 正负面积法公式 累加式 : y = ∑ y i Ai A
A 2 =∫ ( yC +2byC +b 2 )dA A
Ix=IxC+b A
2
S xC = AyC =0
=I xC +2bS xC +b 2 A
材料力学
Ix=IxC+b2 A
I y = I yC + a2 A
注意: 点必须为形心 注意 C点必须为形心
Ixy = IxCyC + abA
Iρ =IρC+(a+b)2 A
ρ
材料力学
§5 - 3
y
惯性矩和惯性积的平行移轴定理
以形心为原点，建立与原坐标轴平行 yC 的坐标轴如图
一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似） 平行移轴定理
x a
dA xC C b y x
x=a + xC y =b + y C
I x =∫ y 2 dA
A
ρ
=∫ ( yC +b) 2 dA
x y
dA y1 x1 x
Ix+I y Ix−I y Ix1 = + α α 2 cos2 −Ixysin2 2
α
材料力学
Ix+I y Ix−I y − I y1 = α α 2 cos2 −Ixysin2 2 Ix−I y Ix1y1 = sin2 +Ixycos2 α α 2