三角形中线等分面积的应用

第5讲例说三角形中线等分面积的应用如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则S △ABD ＝12BD·AE，S △ADC ＝12DC·AE，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。

因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。

一、求图形的面积例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等，问题得解。

解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，从而得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等且等于31×4ab =12ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ=ab －4×12ab =32ab。

例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ．（1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=________（用含a 的代数式表示）；（2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由；（3）在图4的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如图6），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的_______倍．图1图2ABE图4DAB C F 图5图3AB应用：去年在面积为10m 2的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH （如图5）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m 2？分析：从第1个图可以发现AC 就是△ABD 的中线，第2个图通过连接DA ，可得到△ECD 的中线DA ，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。

解：（1）由CD=BC ，可知AC 就是△ABD 的中线，中线AC 将△ABD 的分成两个三角形△ABC 、△ACD ，这两个三角形等底等高，所以它们的面积相等；所以S 1=a ；（2）若连接DA ，则DA 就是△ECD 的中线，中线AD 将△ECD 分成△CDA 、△EDA ，它们的面积相等；所以S 2=2a ；（3）根据以上分析，可知△BFD 、△CED 、△EAF 面积都为2a ；所以S 2=6a ；发现：由题意可知扩展一次后的△DEF 的面积是S △DEF =S 3+S △ABC =6a +a =7a ；即扩展一次后的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的7倍。

应用：由以上分析可知 扩展一次后S 总1=7a ， 扩展二次后S 总2=S 总1=72a ，扩展三次后S 总3=S 总2=73a ，拓展区域的面积：（72－1）×10=480（m 2）说明：本题是从一个简单的图形入手，逐步向复杂的图形演变，引导我们逐步进行探索，探索出有关复杂图形的相关结论，这是我们研究数学问题的一种思想方法：从特殊到一般的思想。

所以我们在平时的学习中，要注意领会数学思想和方法，使自己的思维不断升华。

二、巧分三角形例3、如图7，已知△ABC ，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1:2:3的三个三角形.分析：可以把三角形先两等份，再把其中一个再两等份，所以联想到作三角形的中线。

解：方法1：取BC 的中点E ，然后在BE 上取点D ，使BD 13=BE ，则AD 、AE 把△ABC 分成面积之比为1:2:3的三个三角形（如图8）.方法2：在BC 边上截取DC 31=BC ，连结AD ，然后取AB 的中点P ，连结BP 、CP ，则△PAC 、△PAB 、△PBC 的面积之比为1:2: 3（如图9）.图6D E AB CFHM图7图8图954321想一想：方法2中，这三个三角形的面积之比为什么是1:2:3？ 二、巧算式子的值例2 在数学活动中，小明为了求2341111122222n ++++⋅⋅⋅+的值（结果用n 表示），设计了如图10所示的几何图形.请你利用这个几何图形求2341111122222n ++++⋅⋅⋅+的值. 分析：由数据的特征：后面的数为前面一个数的21，联想到将三角形的面积不断的平分，所以可以构造如图10的图形进行求解。

解：如图10，设大三角形的面积为1，然后不断的按顺序作出各个三角形的中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，图中三角形除了最后一个小三角形，其余部分的面积为234111111222222n n ++++⋅⋅⋅++， 因此2341111111222222n n ++++⋅⋅⋅+=-.说明：此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙.三角形角和定理及外角性质的应用三角形三个角的和等于180°，这是三角形角和定理．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角，这是三角形外角性质．三角形角和定理及外角性质应用广泛，下面以例说明． 一、求三角形的角例2 (08)在△ABC 中，∠B =40°，∠C =80°，则∠A 的度数为( ) A ．30° B ．40° C ．50° D ．60°解：由三角形角和定理，得∠A =180°-∠B -∠C =180°-40°-80°=60°，答案选D ． 例3 (08东营)如图1，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=＿＿． 解：∠4=180°-∠1=180°-100°=80°， ∠5=180°-∠2=180°-140°=40°，由三角形角和定理，得∠3=180°-∠4-∠5=180°-80°-40°=60°，答案选D ． 图1 说明：在求出∠4=80°后，也可根据三角形外角性质，得∠2=∠4+∠3，所以∠3=∠2-∠4=140°-80°=60°．二、判断三角形的形状例1 (08)一个三角形三个角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 解：设三个角分别为2k ，3k ，5k ，由三角形角和定理，得2k +3k +5k =180°．解得k =15°，所以2k =30°，3k =45°，7k =105°，所以这个三角形是钝角三角形，答案选C ．三、求角平分线的夹角图10CBA21O D Al 1l 2BC 21312CB l 2l 1AD E (a ∥b )b a 122121C B DA 12例4 (08)已知△ABC 中，∠A =60°，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为＿＿．解：如图2，由BO 平分∠ABC ，得∠1=12∠ABC ； 由CO 平分∠ACB ，得∠2=12∠ACB ．所以∠1+∠2=12(∠ABC +∠ACB )=12(180°-∠A ) 图2=12(180°-60°)=60°． 四、求三角形的外角 例5 (08)如图5，直线l 1∥l 2，AB ⊥l 1，垂足为D ，BC 与直线l 2相交于点C ，若∠1=30°，则∠2=＿＿＿．解：如图6，延长AB 交l 2于点E ．因为l 1∥l 2，由两直线平行，错角相等，得∠BEC =∠3． 由AB ⊥l 1，得∠3=90°．所以∠BEC =90°．由三角形外角性质，得∠2=∠BEC +∠1=90°+30°=120°．图5 图6说明：本题也可延长CB 交l 1于点F ，构造△FBD 进行求解，完成请同学们完成．五、比较角的大小例5 (08凉山)下列四个图形中∠2大于∠1的是( )A B C D解：A 选项中，利用两直线平行，错角相等及对顶角相等，可得∠1=∠2；B 选项，根据三角形的外角性质，可得∠2大于∠1．C 选项中的∠2与∠1的大小关系无法确定；D 选项中，由对顶角相等，可得∠1=∠2．答案选B ．全等三角形水平测试（1）薛建辉一、试试你的身手1．如图所示，沿直线AC 对折，△ABC 与△ADC 重合，则△ABC ≌__________，AB 的对应边是________，AC 的对应边是____________，∠BCA 的对应角是__________．ACA D2．如图所示，△ACB ≌△DEF ，其中A 与D ，C 与E 是对应顶点，则CB 的对应边是________，∠ABC 的对应角是__________．3．△ABC 和A B C '''∆中，若AB A B ''=，BC B C ''=，则需要补充条件________可得到ABC A B C '''∆≅∆4．如图所示，AB ，CD 相交于O ，且AO ＝OB ，观察图形，图中已具备的另一相等的条件是________，联想到SAS ，只需补充条件________，则有△AOC ≌△________．5．如图所示，有一块三角形镜子，小明不小心破裂成Ⅰ、Ⅱ两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上________块，其理由是__________． 6．如图所示，若只有AD ⊥BD 于点D 这个条件，要证△ABD ≌△ACD ，则需补充的条件是________或__________或__________．7．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，将△ABC 绕着点A 顺时针旋转40°后得到△ADE ，则∠BAE 的度数为__________．二、相信你的选择1．下列说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长．面积分别相等，其中正确的说法为（ ） Ａ．①②③④ Ｂ．①③④ Ｃ．①②④ Ｄ．②③④ 2．下列结论错误的是（ ）Ａ．全等三角形对应角所对的边是对应边 Ｂ．全等三角形两条对应边所夹的角是对应角 Ｃ．全等三角形是一个特殊三角形Ｄ．如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形也全等 3．下面各条件中，能使△ABC ≌△DEF 的条件的是（ ）Ａ．AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，BC ＝EF Ｂ．AB ＝BC ，∠B ＝∠E ，DE ＝EFAC OD B A ?? A B C D A BC DE０．AB ＝EF ，∠A ＝∠D ，AC ＝DF Ｄ．BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，AC ＝DF4．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，若证△ABC ≌△DEF ，还要补充一个条件，错误的补充方法是（ ）Ａ．∠B ＝∠E Ｂ．∠C ＝∠F Ｃ．BC ＝EF Ｄ．AC ＝DF 5．下列说确的是（ ）Ａ．两边一角对应相等的两个三角形全等 Ｂ．两角一边对应相等的两个三角形等 Ｃ．两个等边三角形一定全等 Ｄ．两个等腰直角三角形一定全等6．如图所示，BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，垂足分别是E ．F ，若BE ＝CF ，则图中全等三角形有（ ） Ａ．1对 Ｂ．2对 Ｃ．3对 Ｄ．4对7．如图，AB ＝DB ，BC ＝BE ，欲证△ABC ≌△DBC ，则需补充的条件是（ ） Ａ．∠A ＝∠D Ｂ．∠E ＝∠C Ｃ．∠A ＝∠C Ｄ．∠1＝∠2 三、挑战你的技能1．如图，若∠DAB ＝∠CBA ，请你再添加一对相等的条件，使△ABD ≌△CAB ，并说明三角形全等的理由．2．（1）完成下面的证明：如图，AB ＝AC ，E ，F 分别是A C ，AB 的中点，那么△ABE ≌△ACF ． 证明：E F ，分别是AC ，AB 的中点，12AE AC ∴=，12AF AB =（ ） AB AC =，AE AF ∴= 在ABE △和ACF △中______________()______________()______________()=⎧⎪=⎨⎪=⎩，，， ABE ACF ∴≅△△．（2）根据（1）的证明，若连结BC ．请证明：△EBC ≌△FCB ．A B C D E 1 2A B C F E A BC D ABEFAEF3．如图，已知：BE ＝DF ，AE ＝CF ，AE ∥CF ，求证：AD ∥BC ．4．如图，已知：CE ⊥AD 于E ，BF ⊥AD 于F ，（1）你能说明△BDF 和△CDE 全等吗？（2）若能，请你说明理由，若不能，在不用增加辅助线的情况下，请添加其中一个适当的条件，这个条件是__________，来说明这两个三角形全等，并写出证明过程．四、拓广探索飞翔建筑公司在扩建二汽修建厂房时，在一空旷地上发现有一个较大的圆形土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，由于条件限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离，请你用学过的数学知识，按以下要求设计测量方案． （1）画出测量方案（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）（3）计算AB 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）AB CD E FA BC DEF A B参考答案：一、1．△ADC ，AD ，AC ，∠DCA 2．EF ，∠DFE 3．B B AC A C '''∠=∠=或 4．∠AOC =∠BOD ，OC =OD ，△BOD 5．Ⅰ，有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 6．∠BAD =∠CAD ，AB =AC ，BD =CD 7．100° 二、1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D三、1．需要再添加的条件为：∠DBA =∠BAC （A S A ）或∠DAC =∠CBD （A S A ）或AD =BC （S A S ） 2．（1）中点定义，()()(SAS)()AE AF A A AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已证公共角，已知 （2）证明：ABE ACF ≅△△，BE CF ∴=；又E ，F 分别为AC ，AB 的中点，12EC AC ∴=，12BF AB =，AB AC =，EC BF ∴=，在EBC △和FCB △中，BE CF BC CB EC FB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，EBC FCB ∴≅△△． 3．证明：AE CF ∥，AEB DFC ∴=∠∠，180180AEB DFC ∴-=-∠∠，AED BFC ∴=∠∠，BE DF =，BE EF DF EF ∴-=-，BF DE ∴=．在ADE △和CBF △中，AE CF AED BFC DE BF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，∠∠ADE CBF ∴≅△△，ADE CBF ∴=∠∠，AD BC ∴∥．4. （1）不能，（2）添加的条件为：BD =DC 或DF =DE 或BF =CE ．选：BD =DC ． 证明：CE AD ⊥，BF AD ⊥，90CED BFD ∴==∠∠，在CED △和BFD △中， ()()CDE BFD CDE BDF CE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已证对顶角相等∠∠，CED BFD ∴≅△△．四、（1）如图所示 （2）在地上找到可以直接到达点A ，B 的一点O ，在AO 的延长线上取一点以，并测得OC =OA ，在BO 的延长线上取一点在，并测得OD =OB ，这时测得CD 的长为A ，则AB 的长就是A ． （3）理由：由测法可得．OC =OA ，OD =OB ，∠COD =∠AOB ，所以△COD ≌△AOB ，所以CD =AB =A ．ABO。